Différents types sont la solution optimale. Résolution d'un problème de programmation linéaire. Méthode simplex. La forme canonique du problème de programmation linéaire

Formulation générale du problème de programmation linéaire (LPP). Exemples de LPP

La programmation linéaire est une branche des mathématiques qui étudie les méthodes de résolution de problèmes extrêmes, caractérisées par une relation linéaire entre les variables et un critère linéaire d'optimalité. Quelques mots sur le terme même de programmation linéaire. Cela demande une bonne compréhension. Dans ce cas, la programmation n'est bien sûr pas l'écriture de programmes informatiques. Ici, la programmation doit être interprétée comme une planification, la formation de plans, l'élaboration d'un programme d'action. Les problèmes mathématiques de la programmation linéaire comprennent l'étude de situations de production et économiques spécifiques, qui, sous une forme ou une autre, sont interprétées comme des problèmes d'utilisation optimale de ressources limitées. L'éventail des tâches résolues à l'aide de méthodes de programmation linéaire est assez large. C'est par exemple :

• - le problème de l'utilisation optimale des ressources dans la planification de la production ;
• - le problème des mélanges (planifier la composition des produits) ;
• - le problème de trouver la combinaison optimale de différents types de produits pour le stockage en entrepôt (gestion des stocks ou "problème du sac à dos") ;
• - tâches de transport (analyse de la localisation de l'entreprise, circulation des marchandises). La programmation linéaire est la branche la plus développée et la plus largement utilisée de la programmation mathématique (en plus, cela comprend : la programmation entière, dynamique, non linéaire, paramétrique). Cela est dû aux éléments suivants :
• - les modèles mathématiques d'un grand nombre de problèmes économiques sont linéaires par rapport aux variables recherchées ;
• - ce type de problème est actuellement le plus étudié. Pour lui, des méthodes spéciales ont été développées à l'aide desquelles ces tâches sont résolues, ainsi que les programmes informatiques correspondants;
• - de nombreux problèmes de programmation linéaire, ayant été résolus, ont trouvé une large application ;
• - certains problèmes, qui dans la formulation originale ne sont pas linéaires, après un certain nombre de restrictions et d'hypothèses supplémentaires peuvent devenir linéaires ou peuvent être réduits à une forme telle qu'ils peuvent être résolus par des méthodes de programmation linéaire. Le modèle économique et mathématique de tout problème de programmation linéaire comprend : une fonction objectif dont la valeur optimale (maximum ou minimum) doit être trouvée ; des contraintes sous la forme d'un système d'équations linéaires ou d'inégalités ; exigence de non-négativité des variables. De manière générale, le modèle s'écrit comme suit :
• - fonction objectif :

C1x1 + c2x2 + ... + cnxn> max (min) ; - restrictions :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn (? =?) b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn (? =?) b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn (? =?) bm;

Exigence de non-négativité :

Dans ce cas, aij, bi, cj () sont des constantes données. Le problème est de trouver la valeur optimale de la fonction (2.1) soumise aux contraintes (2.2) et (2.3). Le système de contraintes (2.2) est appelé les contraintes fonctionnelles du problème, et les contraintes (2.3) sont appelées directes. Un vecteur satisfaisant les contraintes (2.2) et (2.3) est appelé une solution réalisable (plan) du problème de programmation linéaire. La conception dans laquelle la fonction (2.1) atteint sa valeur maximale (minimum) est appelée optimale.

Vous trouverez ci-dessous des exemples de problèmes typiques résolus à l'aide de méthodes de programmation linéaire. Ces tâches ont un réel contenu économique. Maintenant, nous les formulerons uniquement en termes de LPP, et nous examinerons ci-dessous les méthodes pour résoudre ces problèmes.

1. Le problème de l'utilisation optimale des ressources dans la planification de la production. La signification générale des tâches de cette classe est la suivante. L'entreprise fabrique n produits différents. Leur production nécessite m différents types de ressources (matières premières, matériaux, temps de travail, etc.). Les ressources sont limitées, leurs réserves dans la période de planification sont respectivement b1, b2, ..., bm d'unités conventionnelles. Il existe également des coefficients technologiques connus aij, qui montrent combien d'unités de la i-ème ressource sont nécessaires pour produire une unité du produit du j-ème type (). Le bénéfice que l'entreprise tire de la vente du produit du j-ième type est égal à cj. Dans la période de planification, les valeurs de aij, bi et cj restent constantes. Il est nécessaire d'élaborer un tel plan de production, dans la mise en œuvre duquel le profit de l'entreprise serait le plus grand. Vous trouverez ci-dessous un exemple simple d'une tâche de cette classe.

L'entreprise se spécialise dans la production de crosses de hockey et de jeux d'échecs. Chaque club génère 2 $ de profit pour l'entreprise, et 4 $ pour chaque jeu d'échecs. Il faut quatre heures pour fabriquer une massue sur le site A et deux heures sur le site B. Un jeu d'échecs est fabriqué avec six heures sur le site A, six heures sur le site B et une heure sur le site C. La capacité de production disponible sur le site A est 120 Nm. - heures par jour, section B - 72 n heures et section C - 10 n heures. Combien de clubs et de jeux d'échecs une entreprise doit-elle produire quotidiennement pour maximiser ses profits ?

Les conditions des problèmes de cette classe sont souvent présentées sous forme de tableau (voir tableau 2.1).

Sous cette condition, nous formulons un problème de programmation linéaire. Désignons : x1 - le nombre de crosses de hockey produites quotidiennement, x2 - le nombre de jeux d'échecs produits quotidiennement. Libellé ZLP :

4x1 + 6x2 ? 120,

Soulignons que chaque inégalité du système de contraintes fonctionnelles correspond dans ce cas à l'un ou l'autre site de production, à savoir : le premier au site A, le second au site B, et le troisième au site C.

Le système de variables dans le problème de l'optimisation de la structure des surfaces ensemencées en tenant compte des rotations culturales

De nos jours, le programme éducatif des spécialités liées à l'économie, la finance et la gestion comprend une discipline appelée « Méthodes de décisions optimales ». Au sein de cette discipline, les étudiants étudient l'aspect mathématique de l'optimisation, la recherche opérationnelle, la prise de décision et la modélisation. La principale caractéristique de cette discipline est déterminée par l'étude conjointe des méthodes mathématiques avec leur application à la résolution de problèmes économiques.

Tâches d'optimisation : informations générales

Si nous considérons le cas général, alors le sens du problème d'optimisation est de trouver la solution dite optimale qui maximise (minimise) la fonction objectif sous certaines conditions de contrainte.

Selon les propriétés des fonctions, les problèmes d'optimisation peuvent être divisés en deux types :

• problème de programmation linéaire (toutes les fonctions sont linéaires);
• problème de programmation non linéaire (au moins une des fonctions n'est pas linéaire).

Des cas particuliers de problèmes d'optimisation sont des problèmes de programmation linéaire fractionnaire, dynamique et stochastique.

Les problèmes d'optimisation les plus étudiés sont les problèmes de programmation linéaire (LPP), dont les solutions ne prennent que des valeurs entières.

ZLP : formulation, classement

Dans le cas général, le problème de programmation linéaire consiste à trouver le minimum (maximum) d'une fonction linéaire sous certaines contraintes linéaires.

Le LPP général est appelé un problème de la forme

avec restrictions

où - variables, - nombres réels donnés, - fonction objectif, - plan de travail, (*) - (***) - contraintes.

Une caractéristique importante du LPP est que l'extremum de la fonction objectif est atteint à la frontière de la région des solutions réalisables.

Les méthodes de solutions optimales trouvent une application économique pratique lors de la résolution de problèmes des types suivants :

• les tâches de mélange (c'est-à-dire la planification de la composition du produit) ;
• le problème de l'allocation optimale des ressources dans la planification de la production ;

ZLP : exemples

Problème de mélange

La solution au problème des mélanges consiste à trouver l'ensemble le moins cher constitué de certaines matières premières qui apportent un mélange aux propriétés recherchées.

Problème d'allocation des ressources

L'entreprise produit m divers produits pour la fabrication desquels il est nécessaire m différents types de ressources. Les réserves des ressources utilisées sont limitées et s'élèvent en conséquence b 1, b 2,…, b m cu De plus, les coefficients technologiques sont connus un ij qui montrent combien d'unités je-ième ressource est nécessaire pour la production d'une unité du produit j-ème type (). Bénéfice que l'entreprise tire de la vente du produit j-ème type est c j unités monétaires Il est nécessaire d'élaborer un plan de production de produits dont le profit de l'entreprise dans la mise en œuvre sera le plus grand.

Les conditions des problèmes de mélange et d'allocation des ressources sont souvent écrites sous forme de tableau.

Les problèmes de mixage et d'allocation des ressources peuvent être résolus de plusieurs manières :

• méthode graphique (dans le cas d'un petit nombre de variables dans le modèle mathématique) ;
• méthode simplex (si le nombre de variables dans le modèle mathématique est supérieur à deux).

Une tâche de transport est une classe de tâches qui ont une certaine structure spécifique. Le problème de transport le plus simple est le problème du transport d'un produit vers des destinations depuis les points de départ au coût le plus bas du transport de tous les produits.

Pour plus de clarté et de commodité de perception, l'état du problème de transport est généralement écrit dans un tableau de la forme suivante :

Dans le cas général, la solution du problème de transport s'effectue en plusieurs étapes :

• Etape I : construction d'un premier plan de référence ;
• Étape II : vérification de l'optimalité du plan de référence ;
• Étape III : clarification du plan de référence, s'il n'est pas optimal.

Il existe plusieurs méthodes pour obtenir un plan de référence initial, par exemple la méthode Northwest Corner, la méthode Vogel et la méthode Low Cost.

La vérification de l'optimalité du plan est effectuée à l'aide de la méthode du potentiel :

- pour les cellules occupées,
- pour les cellules inoccupées.

Si le plan n'est pas optimal, la construction de cycles et la redistribution du trafic sont effectuées.

Conclusion

Dans le cadre d'un article, il n'est pas possible de couvrir toute la théorie et la pratique des méthodes de solutions optimales, par conséquent, seuls quelques points sont considérés qui permettent de donner une idée générale de cette discipline, des problèmes et des méthodes de leur solution .

De plus, il est bon de noter que le complément MS Excel "Rechercher une solution" peut être utilisé très efficacement pour vérifier les solutions obtenues aux problèmes d'optimisation. Mais c'est déjà une autre histoire, en fait, ainsi qu'un examen détaillé des méthodes de résolution des problèmes d'optimisation.

Voici quelques tutoriels pour apprendre les méthodes de résolution optimale :

1. Bundy B. Principes fondamentaux de la programmation linéaire : par. de l'anglais - M. : Radio et communication, 1989.-- 176 p.
2. Kremer N.Sh. Recherche opérationnelle en économie : manuel. manuel pour les universités / N. Sh. Kremer, BA. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman ; Éd. prof. N.Ch. Kremer. - M. : UNITI, 2005 .-- 407 p.

Solution de méthodes d'optimisation à la commande

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Définition... Toute solution du système de contraintes est appelée solution admissible du LPP.
Définition... Une solution réalisable dans laquelle la fonction objectif atteint sa valeur maximale ou minimale est appelée la solution optimale.

En vertu de ces définitions, le problème LP peut être formulé comme suit : parmi tous les points d'une région convexe qui est une solution au système de contraintes, en choisir un dont les coordonnées minimisent (maximisent) la fonction linéaire F = avec 1 X + avec 2 oui.
Notez que les variables X, oui dans le LPP prendre, en règle générale, des valeurs non négatives ( X≥ 0, oui 0); par conséquent, la région est située dans le quart I du plan de coordonnées.

Considérons une fonction linéaire F = avec 1 X + avec 2 oui et corriger certaines de ses valeurs F... Soit, par exemple, F= 0, c'est-à-dire avec 1 X + avec 2 oui= 0. Le graphique de cette équation sera une droite passant par l'origine des coordonnées (0; 0) (Fig.).
Dessin
Lors de la modification de cette valeur fixe F = ré, droit avec 1 X+ avec 2 y = d se déplacera parallèlement et "tracera" tout le plan. Laisser être ré- polygone - zone de résolution du système de contraintes. Quand ça change ré droit avec 1 X + avec 2 oui = ré, à une certaine valeur ré = ré 1 atteindra le polygone ré, appelons ce point UNE"Point d'entrée", puis, en passant le polygone, à une certaine valeur ré = ré 2 nous aurons le dernier point commun avec elle V, appelons V"Point de sortie".
De toute évidence, la fonction objectif de sa valeur la plus petite et la plus grande F=avec 1 X + avec 2 oui arrivera aux points d'entrée UNE et "sortir" V.
Tenant compte du fait que la fonction objectif prend la valeur optimale sur l'ensemble des solutions réalisables aux sommets de la région ré, le plan suivant pour résoudre le LPP peut être proposé :

1. construire le domaine des solutions du système de restrictions ;
2. construire une droite correspondant à la fonction objectif, et par transfert parallèle de cette droite trouver le point "d'entrée" ou de "sortie" (selon l'exigence de minimiser ou de maximiser la fonction objectif);
3. déterminer les coordonnées de ce point, calculer la valeur de la fonction objectif en eux.

Lors de la résolution graphique du LPP, il existe deux cas possibles qui nécessitent une discussion particulière.

Cas 1
Figure 6
En se déplaçant tout droit avec 1 X + avec 2 oui= ré"Entrée" ou "sortie" (comme sur l'image) se produira sur le côté du polygone. Cela se produira si le polygone a des côtés parallèles à une ligne droite. avec 1 N.-É.+ avec 2 à = ré .
Dans ce cas, les points de "sortie" ("entrée") sont innombrables, à savoir, n'importe quel point du segment UN B... Cela signifie que la fonction objectif prend la valeur maximale (minimum) non pas en un point, mais en tous les points situés du côté correspondant du polygone ré.

Cas 2
Considérons le cas où la plage de valeurs admissibles est illimitée.
Dans le cas d'une zone non bornée, la fonction objectif peut être spécifiée de telle sorte que la droite correspondante n'ait pas de point de « sortie » (ou « d'entrée »). Ensuite, la valeur maximale de la fonction (minimum) n'est jamais atteinte - ils disent que la fonction n'est pas limitée.
Dessin
Il faut trouver la valeur maximale de la fonction objectif F = 4X + 6oui→ max, avec un système de restrictions
Construisons la région des solutions réalisables, c'est-à-dire nous allons résoudre graphiquement le système d'inéquations. Pour ce faire, nous construisons chaque droite et définissons les demi-plans donnés par les inégalités.
X + oui = 18

0,5X + oui = 12

F = 4X + 6oui→ max.

F = 0: 4X + 6oui X+ 6oui AVEC(12 ; 6). c'est en elle F = 4X + 6oui
Par conséquent, pour X = 12, oui= 6 fonction F F= 4 12 + 6 6 = 84, égal à 84. Le point de coordonnées (12; 6) satisfait toutes les inégalités du système de contraintes, et en lui la valeur de la fonction objectif est optimale F* = 84 (la valeur optimale sera notée "*").
Le problème a été résolu. Ainsi, il est nécessaire de produire 12 produits de type I et 6 produits de type II, tandis que le bénéfice sera de 84 000 roubles.

La méthode graphique est utilisée pour résoudre des problèmes qui n'avaient que deux variables dans le système de restrictions. Cette méthode peut également être appliquée à des systèmes d'inégalités à trois variables. Géométriquement, la situation sera différente, le rôle des droites sera joué par des plans dans l'espace à trois dimensions, et la solution à l'inégalité à trois variables sera un demi-espace situé d'un côté du plan. Le rôle des domaines sera joué par les polyèdres, qui sont l'intersection des demi-espaces.

Exemple #2. La mine développe deux filons. Le rendement de la coupe dans la première couche est de 1 % ; sur le second - a2%. La production maximale de la longue taille pour la première couche est de B1 mille tonnes par an, pour la deuxième couche - B2 mille tonnes par an. Selon la technologie de travail, la production de la deuxième couche ne peut pas dépasser la production de la première couche. Le rendement de la mine dans la mine ne devrait pas dépasser C1 mille tonnes par an. La charge totale sur les deux couches par an doit être d'au moins C2 000 tonnes par an. Créez un modèle mathématique et construisez un ensemble de valeurs de charge admissibles pour les première et deuxième couches par an.

Exemple n°3. La boutique vend 2 types de boissons non alcoolisées : Cola et limonade. Le revenu d'une canette de cola est de 5 cents, tandis que le revenu d'une canette de limonade est de 7 cents. En moyenne, un magasin ne vend pas plus de 500 canettes des deux boissons par jour. Malgré le fait que le cola soit produit par une marque bien connue, les acheteurs préfèrent la limonade car elle est beaucoup moins chère. On estime que le volume des ventes de cola et de limonade devrait être d'au moins 2 : 1 ; en outre, le magasin est connu pour vendre au moins 100 canettes de cola par jour. Combien de canettes de chaque boisson le magasin doit-il avoir au début de la journée pour maximiser les revenus ?

Exemple n° 4. Résoudre le problème de programmation linéaire approximativement graphiquement avec le calcul ultérieur de la valeur exacte et max (min) de la valeur de la fonction objectif.

Exemple n° 5. Une agence de voyages n'exige pas plus de bus de trois tonnes et pas plus de cinq tonnes. Le prix de vente des bus de la première marque est de 20 000 USD, celui de la deuxième marque est de 40 000 USD. Une agence de voyages ne peut allouer plus de 1 $ pour l'achat d'autobus. Combien de bus de chaque marque doivent être achetés séparément afin que leur capacité de charge totale (totale) soit maximale. Résoudre le problème graphiquement.

Exemple n° 6. À l'aide de la méthode graphique, trouvez le plan de production optimal pour la tâche indiquée dans le tableau.

Exemple n° 7. Résoudre un problème de programmation linéaire par une méthode graphique, en soumettant le système de contraintes du problème aux transformations de Jordan-Gauss. Le système de contraintes du problème est le suivant :
un 11 x 1 + un 12 x 2 + un 13 x 3 + un 14 x 4 + un 15 x 5 = b 1
un 21 x 1 + un 22 x 2 + un 23 x 3 + un 24 x 4 + un 25 x 5 = b 2
un 31 x 1 + un 32 x 2 + un 33 x 3 + un 34 x 4 + un 35 x 5 = b 3
Des lignes directrices... Les transformations Jordan-Gauss peuvent être effectuées à l'aide de ce service ou par l'étude des SLAE.

Exemple n° 8. L'entreprise fabrique deux types de produits, A et B, pour la production desquels trois types de matières premières sont utilisés. Pour la fabrication d'une unité de produit A, il est nécessaire de dépenser des matières premières de chaque type a1, a2, a3 kg, respectivement, et pour une unité de produit B - b1, b2, b3 kg. La production est fournie avec des matières premières de chaque type en quantité de Р1, Р2, Р3 kg, respectivement. Le coût d'une unité de produit A est de C1 roubles et l'unité de produit B est de C2 roubles. Il est nécessaire d'établir un plan de production des produits A et B, qui assure le coût maximum du produit fini.

Exemple #2. Il faut trouver la valeur maximale de la fonction objectif F = 4X + 6oui→ max, avec un système de restrictions :

Construisons la région des solutions réalisables, c'est-à-dire nous allons résoudre graphiquement le système d'inéquations. Pour cela, sélectionnez le nombre de restrictions égal à 4 (Figure 1).
Image 1

Ensuite, nous remplissons les coefficients pour les variables et les contraintes elles-mêmes (Figure 2).
Image 2

figure 3
X= 12 - parallèle à l'axe OY;
oui= 9 - parallèle à l'axe BŒUF;
X> = 0 - axe OY
oui= 0 - axe BŒUF;
X≥ 0 - demi-plan à droite de l'axe OY;
oui≥0 - demi-plan au-dessus de l'axe BŒUF;
oui≤ 9 - demi-plan ci-dessous oui = 9;
X≤ 12 - demi-plan à gauche X = 12;
0,5X + oui≤ 12 - demi-plan au-dessous d'une droite 0,5 X + oui = 12;
X + oui≤ 18 - demi-plan au-dessous d'une droite X + oui = 18.

L'intersection de tous ces demi-plans est le pentagone ABCDE, avec des sommets aux points UNE(0; 0), B(0;9), C(6; 9), ré(12;6), E(12 ; 0). Ce pentagone forme la région des solutions réalisables au problème.

Considérer la fonction objective du problème F = 4X + 6oui→ max.

On construit une droite correspondant à la valeur de la fonction F = 0: 4X + 6oui= 0. Nous allons déplacer cette ligne de manière parallèle. De toute la famille des lignées, 4 X + 6oui= const le dernier sommet par lequel passe la droite en dépassant la limite du polygone sera le sommet AVEC(12 ; 6). c'est en elle F = 4X + 6oui atteint sa valeur maximale.

Par conséquent, pour X = 12, oui= 6 fonction F atteint sa valeur maximale F= 4 12 + 6 6 = 84, égal à 84. Le point de coordonnées (12; 6) satisfait toutes les inégalités du système de contraintes, et la valeur de la fonction objectif y est optimale F* = 84.

Les modèles mathématiques sont à la base de la résolution des problèmes économiques.

Modèle mathématique La tâche est un ensemble de relations mathématiques qui décrivent l'essence de la tâche.

• sélection des variables de tâche
• l'élaboration d'un système de restrictions
• choix de la fonction objectif

Tâches variables on appelle les grandeurs X1, X2, Xn, qui caractérisent parfaitement le processus économique. Habituellement, ils sont écrits sous forme de vecteur : X = (X 1, X 2, ..., X n).

Un système de restrictions les problèmes sont appelés un ensemble d'équations et d'inégalités qui décrivent les ressources limitées du problème considéré.

Fonction cible la tâche s'appelle la fonction des variables de la tâche, ce qui caractérise la qualité de la tâche et l'extremum dont on veut trouver.

En général, un problème de programmation linéaire peut être écrit comme suit :

Cette notation signifie la suivante : trouver l'extremum de la fonction objectif (1) et les variables correspondantes X = (X 1, X 2, ..., X n), à condition que ces variables satisfassent le système de contraintes (2) et les conditions de non-négativité (3) ...

Une solution valable(plan) d'un problème de programmation linéaire est tout vecteur à n dimensions X = (X 1, X 2, ..., X n) qui satisfait le système de contraintes et les conditions de non-négativité.

L'ensemble des solutions réalisables (plans) du problème se forme gamme de solutions réalisables(ODR).

La solution optimale(plan) d'un problème de programmation linéaire est une solution réalisable (plan) du problème auquel la fonction objectif atteint un extremum.

Un exemple de compilation d'un modèle mathématique

Le problème de l'utilisation des ressources (matières premières)

État: Pour la fabrication de n types de produits, m types de ressources sont utilisés. Faire un modèle mathématique.

Connu:

• b i (i = 1,2,3, ..., m) - stocks de chaque i-ème type de ressource;
• a ij (i = 1,2,3, ..., m; j = 1,2,3, ..., n) - les coûts de chaque i-ième type de ressource pour la production d'une unité de volume du j-ième type de produit;
• c j (j = 1,2,3, ..., n) - profit de la vente d'une unité de volume du j-ème type de produit.

Il est nécessaire d'élaborer un plan de production des produits, qui permette de rentabiliser au maximum les contraintes données sur les ressources (matières premières).

Solution:

Nous introduisons le vecteur de variables X = (X 1, X 2, ..., X n), où xj (j = 1,2, ..., n) est le volume de production du j-ième type de produit.

Les coûts du i-ème type de ressource pour la fabrication d'un volume donné x j de produits sont égaux à a ij x j, par conséquent, la restriction sur l'utilisation des ressources pour la production de tous les types de produits est la suivante :
Le profit de la vente du j-ième type de produit est égal à c j x j, donc la fonction objectif est égale à :

Réponse- Le modèle mathématique est :

La forme canonique du problème de programmation linéaire

Dans le cas général, un problème de programmation linéaire est écrit de telle sorte que les équations et les inégalités soient des contraintes, et les variables peuvent être à la fois non négatives et arbitrairement variables.

Dans le cas où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables satisfont la condition de non-négativité, le problème de programmation linéaire est appelé canonique.

Il peut être représenté en notation coordonnée, vectorielle et matricielle.

Le problème de programmation linéaire canonique en notation coordonnée a la forme :

Le problème de programmation linéaire canonique en notation matricielle a la forme :

• A est la matrice des coefficients du système d'équations
• X - matrice-colonne de variables de tâche
• Ao - matrice-colonne des membres droits du système de restrictions

Souvent utilisés sont des problèmes de programmation linéaire, dits symétriques, qui en notation matricielle ont la forme :

Réduire le problème de programmation linéaire générale à la forme canonique

Dans la plupart des méthodes de résolution des problèmes de programmation linéaire, on suppose que le système de contraintes est constitué d'équations et de conditions naturelles pour la non-négativité des variables. Cependant, lors de l'élaboration de modèles de problèmes économiques, les contraintes se forment principalement sous la forme d'un système d'inégalités, il est donc nécessaire de pouvoir passer d'un système d'inégalités à un système d'équations.

Prenez l'inégalité linéaire a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + anxn ≤b et ajoutez à son membre de gauche une quantité xn + 1 telle que l'inégalité se transforme en l'égalité a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + anxn + x n + 1 = b. De plus, cette valeur x n+1 est non négative.

Considérons tout avec un exemple.

Apportez le problème de programmation linéaire à la forme canonique :

Solution:
Passons au problème de trouver le maximum de la fonction objectif.
Pour ce faire, on change les signes des coefficients de la fonction objectif.
Pour transformer les deuxième et troisième inégalités du système de contraintes en équations, nous introduisons des variables supplémentaires non négatives x 4 x 5 (sur le modèle mathématique, cette opération est repérée par la lettre D).
La variable x 4 est introduite dans le côté gauche de la deuxième inégalité avec le signe "+", puisque l'inégalité a la forme "≤".
La variable x 5 est introduite dans le côté gauche de la troisième inégalité avec le signe "-", puisque l'inégalité a la forme "≥".
Les variables x 4 x 5 sont entrées dans la fonction objectif avec un coefficient. égal à zéro.
Nous écrivons le problème sous une forme canonique.

Le problème général de programmation linéaire (LPP) est formulé comme suit - trouver les variables du problème X 1 , X 2 , ..., X n, qui fournissent l'extremum de la fonction objectif

Une solution admissible (plan) d'un problème de programmation linéaire (LPP) est toute m vecteur -dimensionnel X=(X 1 , X 2 , ..., X n) satisfaire le système de contraintes d'égalité et d'inégalité. L'ensemble des solutions réalisables au problème forme le domaine des solutions réalisables ré.

La solution optimale (plan) d'un problème de programmation linéaire est une solution réalisable telle que la fonction objectif Z(X) atteint un extrême.

Le problème de programmation linéaire canonique (LCPP) a la forme

(1.2)

Il diffère d'OZLP en ce que son système de contraintes est un système d'équations seules et toutes les variables sont non négatives.

Amener OZLP à la forme canonique de ZLP :

Pour remplacer le problème de minimisation d'origine par le problème de maximisation (ou vice versa, le problème de maximisation par le problème de minimisation), il suffit de multiplier la fonction objectif par "-1" et de chercher le maximum (minimum) de la fonction obtenue ;

S'il y a des inégalités entre les contraintes, alors en introduisant des variables non négatives supplémentaires X n +1 ≥ 0 ils se convertissent en égalités :

inégalité une je 1 X 1 +…+une dans X n b i est remplacé par l'égalité une je 1 X 1 +…+une dans X n + X n+1 = b je,

inégalité une je 1 X 1 +…+une dans X n b i est remplacé par l'égalité une je 1 X 1 +…+une dans X n + X n+1 = b je;

Si une variable X k n'a pas de restrictions de signe, alors il est remplacé (dans la fonction objectif et dans toutes les restrictions) par la différence entre deux nouvelles variables non négatives : X k = X" k – X” k , où X" k ≥ 0. X” k ≥ 0.

Méthode graphique de résolution de LPP à deux inconnues

ZLP à deux inconnues a la forme :

La méthode est basée sur la possibilité d'afficher graphiquement la zone de solutions réalisables et de trouver la solution optimale parmi elles.

Le domaine des solutions réalisables (ODS) du problème est un polygone convexe et est construit comme l'intersection (partie commune) des domaines de solutions à chacune des inégalités des contraintes du problème.

Le domaine de solution de l'inégalité une je 1 X 1 +une je 2 X 2 ≤ b i est l'un des deux demi-plans auxquels la droite une je 1 X 1 +une je 2 X 2 = b Le i correspondant à cette inégalité divise le plan de coordonnées. Pour déterminer lequel des deux demi-plans est la région des solutions, il suffit de substituer les coordonnées d'un point qui ne se trouve pas sur la ligne de démarcation à l'inégalité :

Si l'inégalité est vraie, alors le domaine des solutions est le demi-plan contenant ce point ;

Si l'inégalité n'est pas vraie, alors le domaine des solutions est un demi-plan qui ne contient pas ce point.

Les lignes de niveau sont utilisées pour trouver la solution optimale parmi les solutions réalisables.

La ligne de niveau s'appelle une ligne droite. avec 1 X 1 +avec 2 X 2 = je, où je= const, sur laquelle la fonction objectif de la tâche prend une valeur constante. Toutes les lignes de niveau sont parallèles les unes aux autres.

Gradient de fonction objectif diplômé Z(X) définit le vecteur normal C = (c 1 , c 2) lignes de niveau. La fonction objectif sur les lignes de niveau augmente si les lignes de niveau sont déplacées dans la direction de leur normale, et diminue dans la direction opposée.

La ligne de référence est une ligne de niveau qui a au moins un point commun avec l'ODR et par rapport à laquelle l'ODR est situé dans l'un des demi-plans. L'IDD du problème n'a pas plus de deux lignes de support.

La solution optimale de la ZLP se trouve sur la ligne de support au point d'angle du polygone ODR. Le ZLP a une solution unique si la ligne de support passe par un point d'angle de l'ODR, un ensemble infini de solutions si la ligne de support passe par le bord du polygone ODR. Le LPP n'a pas de solution si l'ODR est un ensemble vide (lorsque le système de contraintes est incohérent) et si l'ODR est non borné dans le sens de l'extremum (la fonction objectif est non bornée).

Algorithme d'une méthode graphique de résolution de LPP à deux inconnues :

Construisez un SDT.

Construire un vecteur normal C = (c 1 , c 2) et ligne de niveau avec 1 X 1 +avec 2 X 2 = 0 passant par l'origine et perpendiculaire au vecteur AVEC.

Déplacez la ligne de niveau vers la ligne de référence dans la direction du vecteur AVEC dans le problème pour max, ou dans la direction opposée - dans le problème pour min.

Si, lorsque la ligne de niveau se déplace dans la direction de l'extremum, l'ODR tend vers l'infini, alors le LPP n'a pas de solution en raison de l'illimité de la fonction objectif.

Si le LPP a une solution optimale, alors pour la trouver, résolvez conjointement les équations des droites qui limitent le GDR et ont des points communs avec la ligne de support. Si l'extremum est atteint à deux points d'angle, alors le LPP a un ensemble infini de solutions appartenant au bord de l'ODR délimité par ces points d'angle. Dans ce cas, les coordonnées des deux points d'angle sont calculées.

Calculer la valeur de la fonction objectif au point extremum.

Méthode simplex pour résoudre LPP

La méthode du simplexe repose sur les dispositions suivantes :

L'ODS d'un problème de programmation linéaire est un ensemble convexe avec un nombre fini de points d'angle ;

La solution optimale du LPP est l'un des points d'angle du SDT. Les points d'angle de l'ODR représentent algébriquement quelques solutions de base (support) du système de contraintes LPP.

La solution de base (de support) du LPP est appelée une telle solution admissible X 0 =(X 10 , X 20 , ..., X m 0, 0, ... 0), pour lesquels les vecteurs de conditions (colonnes de coefficients à inconnues dans le système de contraintes) sont linéairement indépendants.

Coordonnées non nulles X 10 , X 20 , ..., X m 0 solution X 0 sont appelées variables de base, les coordonnées restantes de la solution X 0 - variables libres. Le nombre de coordonnées non nulles de la solution de référence ne peut pas être supérieur au rang r systèmes de contraintes LPP (le nombre d'équations linéairement indépendantes dans le système de contraintes LPP). De plus, nous supposons que le système de contraintes LPP est constitué d'équations linéairement indépendantes, c'est-à-dire r = m.

La signification de la méthode simplex consiste en une transition délibérée d'une solution de référence du LPP à une autre (c'est-à-dire d'un point d'angle du SDT à un autre) dans la direction de l'extremum et consiste en une séquence d'étapes :

Trouver la solution d'assistance initiale ;

Effectuer le passage d'une solution de référence à une autre ;

Déterminer le critère pour atteindre la solution optimale ou conclure qu'il n'y a pas de solution.

Algorithme d'exécutionMéthode simplexe ZLP

L'algorithme de la méthode du simplexe fait le passage d'une solution de référence du LPP à une autre dans la direction de l'extremum de la fonction objectif.

Soit le LPP donné sous la forme canonique (1.2) et la condition

b je 0, je=1,2,…,m, (1.3)

la relation (1.3) peut toujours être remplie en multipliant l'équation correspondante par "-1" dans le cas de négativité b je. On suppose aussi que le système d'équations dans les contraintes du problème (1.2) est linéairement indépendant et de rang r = m... Dans ce cas, le vecteur de la solution support a m coordonnées non nulles.

Soit le problème original (1.2), (1.3) être réduit à la forme, où les variables de base X 1 , X 2 , ..., X m sont exprimés en termes de variables libres X m + 1 , X m + 2 , ..., X m

(1.4)

Sur la base de ces ratios, nous construisons le tableau 1

Tableau 1.

Le tableau 1 est appelé un tableau simplex. Toutes les transformations ultérieures sont associées à des modifications du contenu de ce tableau.

Algorithme avecméthode implex:

1. Dans la dernière ligne Z les tables du simplexe dans le problème min trouvent le plus petit élément positif (dans le problème max - le plus petit élément négatif), sans compter le terme libre. La colonne correspondant à cet élément est dite permissive.

2. Calculez le rapport entre les membres libres et les éléments positifs de la colonne de résolution (rapport simplex). Trouvez la plus petite de ces relations du simplexe, elle correspond à la chaîne de résolution.

3. A l'intersection de la ligne de résolution et de la colonne de résolution se trouve l'élément de résolution.

4. S'il existe plusieurs relations simplexes de la même taille, choisissez l'une d'entre elles. Il en va de même pour les éléments positifs de la dernière ligne du tableau simplex.

5. Après avoir trouvé l'élément de résolution, passez au tableau suivant. Les variables inconnues correspondant à la ligne et à la colonne de résolution sont permutées. Dans ce cas, la variable de base devient une variable libre et vice versa. Simplex - le tableau est converti comme suit (tableau 2) :

Tableau 2

6. L'élément du tableau 2, correspondant à l'élément permissif du tableau 1, est égal à l'inverse de l'élément permissif.

7. Les éléments de la rangée du tableau 2, correspondant aux éléments de la ligne d'autorisation du tableau 1, sont obtenus en divisant les éléments correspondants du tableau 1 par l'élément d'autorisation.

8. Les éléments de la colonne du tableau 2, correspondant aux éléments de la colonne d'autorisation du tableau 1, sont obtenus en divisant les éléments correspondants du tableau 1 par l'élément d'autorisation et sont pris avec le signe opposé.

9. Le reste des éléments est calculé par règle du rectangle: tracer mentalement un rectangle dans le tableau 1, dont un sommet coïncide avec l'élément résolvant (Re), et l'autre avec l'élément que l'on cherche ; désignons l'élément dans le nouveau tableau 2 à (Ne), et l'élément se trouvant à la même place dans l'ancien tableau 1 - à (Se). Les deux autres sommets A et B complètent la forme en un rectangle. Alors l'élément requis Ne du tableau 2 est égal à Ne = Se - A * B / Re.

10. Critère d'optimalité. Dès que vous obtenez un tableau dans lequel dans la dernière ligne du problème pour min tous les éléments sont négatifs (dans le problème pour max tous les éléments sont positifs), on considère que l'extremum a été trouvé. La valeur optimale de la fonction objectif est égale au terme libre dans la ligne Z, et la solution optimale est déterminée par les termes libres avec les variables de base. Toutes les variables libres sont mises à zéro.

11. Si dans la colonne de résolution tous les éléments sont négatifs, alors le problème n'a pas de solution (le minimum n'est pas atteint).

Méthode de base artificielle pour résoudre le LPP

L'algorithme de la méthode du simplexe est applicable si une solution de support du LPP est sélectionnée, c'est-à-dire que le LPP original (1.2) est réduit à la forme (1.4). La méthode des bases artificielles propose une procédure pour construire une telle solution de référence.

La méthode de base artificielle est basée sur l'introduction de variables de base artificielles oui 1 , oui 2 ,…, oui m, à l'aide duquel le système de contraintes LPP (2.2)

(1.5)

peut être converti en forme

(1.6)

Les systèmes (1.5) et (1.6) sont équivalents si tous oui je sera égal à zéro. Comme auparavant, nous pensons que tout b je ≥ 0. À à je étaient égales à 0, nous devons transformer le problème de telle sorte que toutes les variables de base artificielles oui je passé en variables libres. Une telle transition peut se faire par l'algorithme de la méthode du simplexe par rapport à la fonction objectif supplémentaire

F(oui) = oui 1 + oui 2 + ... + oui m = ré 0 – (ré 1 X 1 +ré 2 X 2 +…+ré m X n). (2.7)

La table du simplexe d'origine pour cette méthode est

Tout d'abord, la table du simplexe est transformée par rapport à la fonction objectif F(oui) jusqu'à l'obtention de la solution de référence. La solution de référence est trouvée lorsque le critère suivant est rempli : F(oui) = 0 et toutes les variables artificielles à je traduit en variables libres. Ensuite, une ligne est supprimée de la table simplex pour F(oui) et des colonnes pour à je et résoudre le problème pour la fonction objectif d'origine Z(X) jusqu'à l'obtention d'une solution optimale.