Approches fondamentales de la construction de modèles mathématiques de systèmes. Schémas de modélisation mathématique typiques Schémas mathématiques pour les systèmes de modélisation

Dans l'article qui vous est proposé, nous vous proposons des exemples de modèles mathématiques. De plus, nous porterons une attention particulière aux étapes de création de modèles et analyserons certaines des tâches associées à la modélisation mathématique.

Une autre question est celle des modèles mathématiques en économie, des exemples dont nous examinerons la définition un peu plus tard. Nous proposons de commencer notre conversation par la notion même de « modèle », d'examiner brièvement leur classification et de passer à nos principales questions.

La notion de "modèle"

On entend souvent le mot « modèle ». Qu'est-ce que c'est? Ce terme a de nombreuses définitions, en voici seulement trois :

• un objet spécifique qui est créé pour recevoir et stocker des informations, reflétant certaines propriétés ou caractéristiques et ainsi de suite de l'original de cet objet (cet objet spécifique peut être exprimé sous différentes formes : mentale, description à l'aide de signes, etc.) ;
• même sous le modèle, on entend l'affichage d'une situation, d'une vie ou d'une gestion spécifiques ;
• le modèle peut être une copie réduite d'un objet (ils sont créés pour une étude et une analyse plus détaillées, puisque le modèle reflète la structure et les relations).

Sur la base de tout ce qui a été dit précédemment, une petite conclusion peut être tirée : le modèle permet d'étudier en détail un système ou un objet complexe.

Tous les modèles peuvent être classés selon un certain nombre de caractéristiques :

• par domaine d'utilisation (éducatif, expérimental, scientifique et technique, jeu, simulation) ;
• par dynamique (statique et dynamique) ;
• par branche de connaissance (physique, chimique, géographique, historique, sociologique, économique, mathématique) ;
• par le mode de présentation (matériel et informatif).

Les modèles d'information, à leur tour, sont divisés en signe et verbal. Et les plus emblématiques - en informatique et non informatique. Passons maintenant à un examen détaillé d'exemples du modèle mathématique.

Modèle mathématique

Comme vous pouvez le deviner, le modèle mathématique reflète toutes les caractéristiques d'un objet ou d'un phénomène à l'aide de symboles mathématiques spéciaux. Les mathématiques sont nécessaires pour modéliser les lois du monde environnant dans votre langue spécifique.

La méthode de modélisation mathématique est née il y a longtemps, il y a des milliers d'années, avec l'émergence de cette science. Cependant, l'impulsion pour le développement de cette méthode de modélisation a été donnée par l'apparition des ordinateurs (calculateurs électroniques).

Passons maintenant au classement. Elle peut également être réalisée sur certains terrains. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Nous proposons de nous arrêter et d'examiner la dernière classification plus en détail, car elle reflète les modèles généraux de modélisation et les objectifs des modèles en cours de création.

Modèles descriptifs

Dans ce chapitre, nous proposons de nous attarder plus en détail sur les modèles mathématiques descriptifs. Afin de rendre tout très clair, un exemple sera donné.

Pour commencer, cette vue peut être appelée descriptive. Cela est dû au fait que nous ne faisons que des calculs et des prévisions, mais nous ne pouvons en aucun cas influencer le résultat de l'événement.

Un exemple frappant de modèle mathématique descriptif est le calcul de la trajectoire de vol, de la vitesse, de la distance à la Terre d'une comète qui a envahi l'immensité de notre système solaire. Ce modèle est descriptif, car tous les résultats obtenus ne peuvent que nous avertir d'un danger. Hélas, nous ne pouvons pas influencer l'issue de l'événement. Cependant, sur la base des calculs obtenus, vous pouvez prendre toutes les mesures pour préserver la vie sur Terre.

Modèles d'optimisation

Nous allons maintenant parler un peu des modèles économiques et mathématiques, dont des exemples sont des situations différentes qui se sont développées. Dans ce cas, nous parlons de modèles qui aident à trouver la bonne réponse dans certaines conditions. Ils ont nécessairement certains paramètres. Pour que ce soit très clair, considérons un exemple de la partie agraire.

Nous avons un grenier, mais le grain se détériore très vite. Dans ce cas, nous devons choisir la bonne température et optimiser le processus de stockage.

Ainsi, nous pouvons donner une définition à la notion de « modèle d'optimisation ». Au sens mathématique, il s'agit d'un système d'équations (à la fois linéaires et non), dont la solution aide à trouver la solution optimale dans une situation économique spécifique. Nous avons considéré un exemple de modèle mathématique (l'optimisation), mais je voudrais ajouter : ce type appartient à la classe des problèmes extrêmes, ils aident à décrire le fonctionnement du système économique.

Notons encore une nuance : les modèles peuvent être de nature différente (voir le tableau ci-dessous).

Modèles multicritères

Nous vous invitons maintenant à parler un peu du modèle mathématique d'optimisation multicritère. Avant cela, nous avons donné un exemple de modèle mathématique pour l'optimisation d'un processus par un seul critère, mais que se passe-t-il s'il y en a plusieurs ?

Un exemple frappant d'une tâche multicritères est l'organisation d'une alimentation correcte, utile et en même temps économique pour de grands groupes de personnes. De telles tâches se retrouvent souvent dans l'armée, les cantines scolaires, les camps d'été, les hôpitaux, etc.

Quels critères nous sont donnés dans cette tâche ?

1. La nourriture doit être saine.
2. Les frais de nourriture doivent être réduits au minimum.

Comme vous pouvez le voir, ces objectifs ne coïncident pas du tout. Cela signifie que lors de la résolution d'un problème, il est nécessaire de rechercher une solution optimale, un équilibre entre deux critères.

Modèles de jeu

Lorsqu'on parle de modèles de jeux, il est nécessaire de comprendre le concept de "théorie des jeux". En termes simples, ces modèles reflètent des modèles mathématiques de conflits réels. Il convient seulement de comprendre que, contrairement à un conflit réel, un modèle mathématique de jeu a ses propres règles spécifiques.

Je vais maintenant donner un minimum d'informations de la théorie des jeux qui vous aideront à comprendre ce qu'est un modèle de jeu. Et donc, le modèle contient nécessairement des côtés (deux ou plus), qui sont généralement appelés joueurs.

Tous les modèles ont certaines caractéristiques.

Le modèle de jeu peut être jumelé ou multiple. Si on a deux sujets, alors le conflit est apparié, s'il est plus, il est multiple. On peut aussi distinguer un jeu antagoniste, on l'appelle aussi jeu à somme nulle. Il s'agit d'un modèle dans lequel le gain de l'un des participants est égal à la perte de l'autre.

Modèles de simulation

Dans cette section, nous nous concentrerons sur les modèles de simulation mathématique. Voici des exemples de tâches :

• un modèle de la dynamique du nombre de micro-organismes ;
• un modèle du mouvement des molécules, et ainsi de suite.

Dans ce cas, on parle de modèles qui se rapprochent le plus possible des processus réels. Dans l'ensemble, ils imitent toute manifestation dans la nature. Dans le premier cas, par exemple, on peut modéliser la dynamique du nombre de fourmis dans une colonie. Dans ce cas, on peut observer le sort de chaque individu individuel. Dans ce cas, la description mathématique est rarement utilisée, le plus souvent des conditions écrites sont présentes :

• après cinq jours, la femelle pond des œufs ;
• au bout de vingt jours, la fourmi meurt, et ainsi de suite.

Ainsi, ils sont utilisés pour décrire un grand système. La conclusion mathématique est le traitement des données statistiques obtenues.

Exigences

Il est très important de savoir que certaines exigences sont imposées à ce type de modèle, parmi lesquelles celles données dans le tableau ci-dessous.

Étapes de simulation

Au total, il est d'usage de distinguer quatre étapes dans la modélisation mathématique.

1. Formulation de lois liant les parties du modèle.
2. Recherche de problèmes mathématiques.
3. Connaître la coïncidence des résultats pratiques et théoriques.
4. Analyse et modernisation du modèle.

Modèle économique et mathématique

Dans cette section, nous allons brièvement mettre en évidence le problème. Des exemples de tâches incluent :

• formation d'un programme de production pour la production de produits à base de viande, garantissant le maximum de profit de production;
• maximiser les profits de l'organisation en calculant le nombre optimal de tables et de chaises produites dans une usine de meubles, etc.

Le modèle économique et mathématique affiche une abstraction économique, qui s'exprime à l'aide de termes et de signes mathématiques.

Modèle mathématique informatique

Voici des exemples de modèle mathématique informatique :

• tâches hydrauliques à l'aide d'organigrammes, de diagrammes, de tableaux, etc.
• tâches sur la mécanique des corps rigides, etc.

Un modèle informatique est une image d'un objet ou d'un système, présentée sous la forme :

• les tables;
• schémas fonctionnels;
• graphiques;
• graphiques, et ainsi de suite.

De plus, ce modèle reflète la structure et les relations du système.

Construire un modèle économique et mathématique

Nous avons déjà dit ce qu'est un modèle économique et mathématique. Un exemple de résolution du problème sera considéré maintenant. Il faut analyser le programme de production pour identifier la réserve d'augmentation des profits en cas de changement de gamme.

Nous ne considérerons pas complètement le problème, mais construisons seulement un modèle économique et mathématique. Le critère de notre tâche est la maximisation du profit. Alors la fonction a la forme : L = p1 * x1 + p2 * x2 ..., tendant vers le maximum. Dans ce modèle, p est le profit par unité, x est le nombre d'unités produites. De plus, sur la base du modèle construit, il est nécessaire de faire des calculs et de résumer.

Un exemple de construction d'un modèle mathématique simple

Tâche. Le pêcheur est revenu avec la prise suivante :

• 8 poissons - habitants des mers du nord;
• 20% des captures proviennent des mers du sud ;
• pas un seul poisson n'a été trouvé dans la rivière locale.

Combien de poissons a-t-il acheté au magasin ?

Ainsi, un exemple de construction d'un modèle mathématique de ce problème est le suivant. On note le nombre total de poissons par x. Suivant la condition, 0,2x est le nombre de poissons vivant dans les latitudes sud. Maintenant, nous combinons toutes les informations disponibles et obtenons un modèle mathématique du problème : x = 0,2x + 8. Nous résolvons l'équation et nous obtenons la réponse à la question principale : il a acheté 10 poissons dans le magasin.

1. Modèles graphiques

2. Modèles de simulation

3. Modèles mathématiques

4. Modélisation des processus de planification optimale

5. Modélisation des processus globaux

7. Modélisation des systèmes et processus écologiques

8. Modèles d'informations sur les objets

9. Analyse du système

10. Modèles statistiques

11. Modèles tabulaires

12. Formalisation et modélisation

Dans le cours d'informatique de l'école, il existe traditionnellement un axe de contenus de formalisation et de modélisation. Le concept de modèle fait référence à des concepts scientifiques généraux fondamentaux, et la modélisation est une méthode de connaissance de la réalité utilisée par diverses sciences.

Dans presque toutes les sciences naturelles et sociales, la construction et l'utilisation de modèles sont un outil de recherche puissant. Les objets et processus réels sont si multiformes et complexes que la meilleure façon de les étudier est de construire un modèle qui ne reflète qu'une partie de la réalité et est donc beaucoup plus simple que cette réalité. Le sujet de la recherche et du développement de l'informatique est la méthodologie de modélisation de l'information associée à l'utilisation de la technologie et de la technologie informatiques. En ce sens, ils parlent de simulation par ordinateur... L'importance interdisciplinaire de l'informatique se manifeste précisément à travers l'introduction de la modélisation informatique dans divers domaines scientifiques et appliqués : physique et technologie, biologie et médecine, économie, gestion et bien d'autres.

Modélisation informatique comprend le processus de mise en œuvre d'un modèle d'information sur un ordinateur et la recherche à l'aide de ce modèle de l'objet de la modélisation - la réalisation d'une expérience informatique... De nombreux problèmes scientifiques et industriels sont résolus à l'aide de la modélisation informatique.

La modélisation de l'information est associée à la formalisation des données sur l'objet de la modélisation (voir « Formalisation et Modélisation"). La construction d'un modèle d'information commence par définir les objectifs de la modélisation et analyser l'objet de modélisation comme un système complexe dans lequel il est nécessaire de mettre en évidence les propriétés reflétées dans le modèle et les relations entre elles (voir «  L'analyse du système "). Les modèles d'information diffèrent par la forme de présentation des informations sur l'objet de la modélisation. Modèles mathématiquesutiliser le langage des mathématiques pour représenter l'objet de la modélisation... Un type distinct de modèles mathématiques est modèles statistiques- orienté traitement données en vrac(par exemple, les enquêtes de population), dans lesquelles il y a un élément d'aléatoire. Les données sur l'objet de la modélisation, organisées sous forme de tableau, sont modèle tabulaire... Les graphiques sont utilisés pour tracer modèles graphiques... L'approche orientée objet de la programmation qui a émergé à la fin du siècle dernier a donné naissance à un nouveau paradigme dans la modélisation de l'information : modélisation des informations sur les objets... Les modèles informatiques qui reproduisent le comportement de systèmes complexes, pour lesquels il n'y a pas d'appareil mathématique sans ambiguïté, sont appelés modèles de simulation.

La modélisation informatique de l'information est utilisée pour décrire et analyser des processus de nature diverse. Les sciences physiques ont la plus grande expérience à cet égard (voir « Modélisation des systèmes et processus physiques "). La modélisation informatique aide à résoudre d'importants problèmes environnementaux (voir «  Modélisation des systèmes et processus écologiques "). La modélisation de l'information joue un rôle important en économie et en gestion. Les tâches les plus importantes dans ce domaine sont les tâches de planification (voir «  Modéliser des processus de planification optimaux "). Au moyen de la modélisation informatique, les scientifiques tentent de résoudre même un problème aussi global que le destin de la civilisation humaine (voir " Modélisation des processus globaux ").

1. Modèles graphiques

La variété des modèles graphiques est assez grande. Jetons un coup d'œil à certains d'entre eux.

Un moyen visuel d'afficher la composition et la structure des systèmes (voir " Systémologie”) Sont des graphiques.

Regardons un exemple. Il y a une description verbale d'une certaine zone : « Notre district se compose de cinq villages : Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino et Myshkino. Des autoroutes sont posées entre : Dedkino et Babkino, Dedkino et Koshkino, Babkino et Myshkino, Babkino et Koshkino, Koshkino et Repkino ». A partir d'une telle description, il est assez difficile d'imaginer cette région. Beaucoup plus facile la même information est perçue à l'aide d'un schéma (voir figure). Ce n'est pas une carte de la région. Ici, les directions vers les points cardinaux ne sont pas soutenues, l'échelle n'est pas respectée. Ce schéma ne reflète que le fait de l'existence de cinq villages et la liaison routière entre eux. Tel schéma montrant la composition élémentaire du système et la structure des connexions est appelé compter.

Les éléments constitutifs du graphique sont hauts et travers de porc... Dans la figure, les sommets sont représentés par des cercles - ce sont éléments du système, et les bords sont représentés par des lignes - c'est Connexions(relation amoureuse) entre les éléments... En regardant ce graphique, il est facile de comprendre la structure du réseau routier dans une zone donnée.

Le graphique construit permet, par exemple, de répondre à la question : à travers quels villages devez-vous conduire pour aller de Repkino à Myshkino ? On voit qu'il y a deux chemins possibles : 1) RK B M i) RK D B M. Peut-on en conclure que le 1er chemin est plus court que le 2e ? Non. Cette colonne ne contient pas de caractéristiques quantitatives. Ce n'est pas une carte où l'échelle est respectée et la distance peut être mesurée.

Le graphique présenté dans la figure suivante contient des caractéristiques quantitatives. Les chiffres près des côtes indiquent la longueur des routes en kilomètres. Ceci est un exemple graphique pondéré... Le graphique pondéré peut contenir caractéristiques quantitatives non seulement les connexions, mais aussi les pics. Par exemple, les sommets peuvent indiquer la population de chaque village. D'après les données du graphique pondéré, il s'avère que le premier chemin est plus long que le second.

De tels graphiques sont également appelés réseau... Le réseau se caractérise par la possibilité de nombreux chemins différents pour se déplacer le long des arêtes entre certaines paires de sommets... Les réseaux se caractérisent également par la présence de chemins fermés, appelés cycles... Dans ce cas, il y a un cycle : K D B K.

Dans les schémas considérés, chaque arête indique la présence d'une liaison routière entre deux points. Mais une liaison routière fonctionne de la même manière dans les deux sens : s'il est possible de suivre la route de B à M, alors il est également possible de la parcourir de M à B (on suppose qu'il y a une circulation à double sens ). De tels graphiques sont non dirigé, et leurs connexions sont appelées symétrique.

Un exemple de graphique qualitativement différent est illustré dans la figure suivante.

Graphique de compatibilité des groupes sanguins

Cet exemple concerne la médecine. On sait que le sang de différentes personnes diffère selon le groupe. Il existe quatre groupes sanguins. Il s'avère que lors de la transfusion de sang d'une personne à une autre, tous les groupes ne sont pas compatibles. Le graphique montre les options pour la transfusion sanguine. Les groupes sanguins sont les sommets du graphique avec les nombres correspondants, et les flèches indiquent la possibilité de transfuser un groupe sanguin à une personne ayant un autre groupe sanguin. Par exemple, à partir de ce graphique, on peut voir que le sang du groupe I peut être transfusé à n'importe quelle personne et qu'une personne du groupe sanguin I ne perçoit que le sang de son propre groupe. On peut également voir qu'une personne de groupe sanguin IV peut être transfusée avec n'importe quel, mais son propre sang ne peut être transfusé que dans le même groupe.

Connexions entre les sommets d'un graphe donné asymétrique et donc représenté par des lignes directionnelles avec des flèches. Ces lignes sont généralement appelées arcs(par opposition aux arêtes des graphes non orientés). Un graphe avec de telles propriétés s'appelle orienté. Une ligne sortant et entrant dans le même sommet est appelée nœud coulant... Dans cet exemple, il y a quatre boucles.

Il n'est pas difficile de comprendre les avantages de représenter un modèle de système de transfusion sanguine sous forme de graphique par rapport à une description verbale des mêmes règles. Le graphique est facile à comprendre et à retenir.

Un type de système très courant est un système avec une structure hiérarchique. Une structure hiérarchique apparaît naturellement lorsque des objets ou certaines de leurs propriétés sont dans une relation de subordination (imbrication, héritage). En règle générale, les systèmes de contrôle administratif ont une structure hiérarchique, entre les éléments desquels s'établissent des relations de subordination. Par exemple : le directeur d'usine - les chefs d'ateliers - les chefs de sections - les contremaîtres - les ouvriers. Les systèmes ont également une structure hiérarchique, entre les éléments desquels il existe une relation de l'un entrant dans l'autre.

Un graphe d'une structure hiérarchique est appelé arbre. La propriété principale d'un arbre est qu'il n'y a qu'un seul chemin entre deux de ses sommets. Les arbres ne contiennent pas de boucles ou de boucles.

Regardez le graphique qui reflète la structure administrative hiérarchique de notre état : la Fédération de Russie est divisée en sept districts administratifs ; les districts sont divisés en régions (oblasts et républiques nationales), qui comprennent des villes et d'autres agglomérations. Un tel graphe est appelé arbre.

Arbre de la structure administrative de la Fédération de Russie

L'arbre a un sommet principal, appelé racine d'arbre. Ce sommet est affiché en haut ; va d'elle branches bois. Les niveaux de l'arbre sont comptés à partir de la racine. Les sommets directement liés à la racine forment le premier niveau. À partir d'eux, il y a des connexions vers les sommets du deuxième niveau, etc. Chaque nœud de l'arbre (à l'exception de la racine) a un l'original le haut au niveau précédent et peut avoir un ensemble généré par des pics au niveau suivant. Ce principe de communication est appelé « un à plusieurs”. Les sommets qui ne sont pas générés sont appelés feuilles(sur notre graphe, ce sont les sommets désignant les villes).

Le but général du graphisme scientifique peut être formulé comme suit : rendre « visible » l'invisible et l'abstrait. Le dernier mot est mis entre guillemets, car cette « apparence » est souvent assez arbitraire. Est-il possible de voir la répartition de la température à l'intérieur d'un corps chauffé de manière inhomogène de forme complexe sans y introduire des centaines de microcapteurs, c'est-à-dire essentiellement sa destruction ? - Oui, c'est possible, s'il existe un modèle mathématique approprié et, ce qui est très important, un accord sur la perception de certaines conventions dans la figure. Est-il possible de voir la distribution des minerais métalliques sous terre sans excavation ? La structure de la surface d'une planète extraterrestre selon les résultats du radar ? La réponse à ces questions et à bien d'autres est - oui, c'est possible, avec l'aide de l'infographie et du traitement mathématique qui la précèdent.

De plus, vous pouvez « voir » et ce qui, à proprement parler, ne correspond généralement pas bien au mot « voir ». Ainsi, la science qui a émergé à la jonction de la chimie et de la physique - la chimie quantique - nous donne l'opportunité de « voir » la structure d'une molécule. Ces images sont le sommet de l'abstraction et un système de conventions, puisque dans le monde atomique nos concepts habituels de particules (noyaux, électrons, etc.) sont fondamentalement inapplicables. Cependant, une "image" multicolore d'une molécule sur un écran d'ordinateur est plus utile pour ceux qui comprennent toute l'étendue de sa convention que les milliers de nombres qui sont le résultat de calculs.

Isolines

Une technique standard pour traiter les résultats d'une expérience informatique est la construction de lignes (surfaces), appelées isolignes(isosurfaces), le long duquel une fonction a une valeur constante... C'est une technique très courante pour visualiser les caractéristiques d'un certain champ scalaire dans l'approximation d'un milieu continu : les isothermes sont des lignes d'égale température, les isobares sont des lignes d'égale pression, les isolignes de l'écoulement fonction d'un liquide ou d'un gaz, par lesquelles on imagine aisément leurs débits, isolignes de la population écologique de la zone, isolignes de concentration d'impuretés nocives dans l'environnement, etc.

Les isolignes du courant

La figure montre les contours de la fonction d'écoulement d'un liquide chauffé de manière inégale dans une région d'écoulement rectangulaire. A partir de cette image, on peut clairement juger de la direction des flux de courant et de leur intensité.

Couleurs conditionnelles, contraste conditionnel

Une autre technique intéressante des graphiques scientifiques modernes est la coloration conditionnelle. Il est largement utilisé dans diverses applications de la science et constitue un ensemble de techniques permettant la visualisation la plus pratique des résultats de la modélisation informatique.

Dans diverses études de champs de température, se pose le problème de visualiser les résultats, par exemple les températures sur des cartes météorologiques. Pour ce faire, vous pouvez dessiner des isothermes sur le fond de la carte du terrain. Mais vous pouvez obtenir une clarté encore plus grande, étant donné que la plupart des gens ont tendance à percevoir le rouge comme « chaud », le bleu comme « froid ». La transition du rouge au bleu dans le spectre reflète des températures intermédiaires.

La même chose peut être faite en illustrant le champ de température à la fois sur la surface d'une pièce en cours d'usinage et sur la surface d'une planète lointaine.

Lors de la modélisation de molécules organiques complexes, un ordinateur peut produire des résultats sous la forme d'une image multicolore dans laquelle les atomes d'hydrogène sont représentés dans une couleur, les atomes de carbone dans une autre, etc., et l'atome est représenté par une boule (cercle), dans laquelle la densité de couleur change en fonction de la distribution de la densité électronique. Lors de la recherche de minéraux par photographie aérienne à partir d'avions ou de satellites spatiaux, les ordinateurs construisent des images couleur conditionnelles des distributions de densité sous la surface de la Terre.

Les images aux couleurs et contrastes conventionnels sont une technique puissante de graphisme scientifique. Il vous permet de comprendre la structure non seulement des objets plats, mais également tridimensionnels (tridimensionnels), donne au chercheur l'une des merveilleuses méthodes de cognition.

L'étude de la modélisation de l'information graphique ne doit pas être confondue avec l'étude des technologies de traitement de l'information graphique. Lorsque les étudiants commencent à étudier la modélisation, ils sont généralement déjà familiarisés avec les technologies de base de l'infographie : ils savent utiliser des éditeurs graphiques simples, sont capables de construire des diagrammes dans un tableur ou un autre programme approprié.

La construction de modèles graphiques simples sous forme de graphes et de structures hiérarchiques convient déjà au cours d'informatique de base dans le cadre de l'étude du thème « Formalisation et Modélisation ». Construire un arbre généalogique généalogique, un système hiérarchique de gestion scolaire, etc. est une activité relativement simple accessible à la plupart des élèves. Dans ce cas, il convient d'utiliser les capacités illustratives des systèmes d'infographie.

Quant à la mise en œuvre autonome de modèles graphiques scientifiques par programmation, il s'agit d'un matériau de difficulté accrue, dont le développement pratique est approprié dans un cours spécialisé d'informatique ou dans le cadre d'un cours au choix visant à une étude approfondie de la modélisation physique et d'autres processus.

Modèle de simulation reproduit le comportement d'un système complexe d'éléments en interaction... La simulation se caractérise par la présence des circonstances suivantes (toutes ou certaines d'entre elles à la fois) :

· L'objet de la modélisation est un système hétérogène complexe ;

· Le système modélisé contient des facteurs de comportement aléatoire ;

· Il est nécessaire d'obtenir une description du processus évoluant dans le temps ;

· Il est fondamentalement impossible d'obtenir des résultats de simulation sans utiliser un ordinateur.

L'état de chaque élément du système simulé est décrit par un ensemble de paramètres qui sont stockés dans la mémoire de l'ordinateur sous forme de tableaux. Les interactions des éléments du système sont décrites de manière algorithmique. La simulation se fait pas à pas. A chaque étape de la simulation, les valeurs des paramètres du système sont modifiées. Le programme qui implémente le modèle de simulation reflète le changement d'état du système, donnant les valeurs de ses paramètres souhaités sous forme de tableaux en pas de temps ou dans une séquence d'événements se produisant dans le système. Pour visualiser les résultats de la simulation, une représentation graphique est souvent utilisée, incl. Animé.

Le modèle de simulation est basé sur l'imitation d'un processus réel (imitation). Par exemple, en modélisant l'évolution (dynamique) du nombre de micro-organismes dans une colonie, on peut considérer de nombreux objets séparés et suivre le devenir de chacun d'eux, en fixant certaines conditions pour sa survie, sa reproduction
etc. Ces conditions sont généralement données verbalement. Par exemple : après une certaine période de temps, le micro-organisme est divisé en deux parties, et après un autre intervalle de temps (plus long), il meurt. Le respect des conditions décrites est implémenté algorithmiquement dans le modèle.

Autre exemple : modéliser le mouvement des molécules dans un gaz, lorsque chaque molécule est représentée comme une boule avec une certaine direction et vitesse de mouvement. L'interaction de deux molécules ou d'une molécule avec la paroi du vaisseau se produit selon les lois de la collision absolument élastique et est facilement décrite algorithmiquement. Les caractéristiques intégrales (générales, moyennées) du système sont obtenues au niveau du traitement statistique des résultats de simulation.

Une telle expérience informatique prétend en fait reproduire une expérience naturelle. À la question : « Pourquoi devez-vous faire cela ? » la réponse suivante peut être donnée : la modélisation par simulation permet de distinguer « à l'état pur » les conséquences d'hypothèses enchâssées dans le concept de micro-événements (c'est-à-dire au niveau des éléments du système), en les sauvant de l'inévitable influence d'autres facteurs dans une expérience naturelle, dont nous ne pouvons même pas parler de suspect. Si une telle modélisation comprend également des éléments de description mathématique des processus au niveau micro, et si le chercheur ne se donne pas la tâche de trouver une stratégie de régulation des résultats (par exemple, gérer le nombre d'une colonie de micro-organismes), alors la différence entre le modèle de simulation et le modèle mathématique (descriptif) s'avère plutôt arbitraire.

Les exemples de modèles de simulation ci-dessus (évolution d'une colonie de micro-organismes, mouvement de molécules dans un gaz) conduisent à déterministe description des systèmes . Ils manquent d'éléments de probabilité, d'aléatoire des événements dans les systèmes simulés. Prenons un exemple de modélisation d'un système avec ces qualités.

Qui n'a pas fait la queue et se demande s'il aura le temps de faire un achat (ou de payer un loyer, de faire un manège, etc.) dans un certain temps à sa disposition ? Ou, en essayant d'appeler le bureau d'information au téléphone et en se heurtant à de courts bips à plusieurs reprises, devenez nerveux et évaluez - est-ce que je passerai ou non ? De ces problèmes "simples", au début du 20ème siècle, une nouvelle branche des mathématiques est née - théorie des files d'attente utiliser l'appareil de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques, des équations différentielles et des méthodes numériques. Par la suite, il s'est avéré que cette théorie a de nombreux débouchés dans les domaines de l'économie, des affaires militaires, de l'organisation de la production, de la biologie et de l'écologie, etc.

Simulation informatique dans la résolution de problèmes de file d'attente, mise en œuvre sous la forme méthode de test statistique(méthode de Monte Carlo) joue un rôle important. Les capacités des méthodes analytiques pour résoudre des problèmes de file d'attente réels sont très limitées, tandis que la méthode de test statistique est universelle et relativement simple.

Considérons la tâche la plus simple de cette classe. Il y a un magasin avec un vendeur, qui inclut des clients au hasard. Si le vendeur est libre, alors il commence à servir l'acheteur à la fois, si plusieurs acheteurs entrent en même temps, une file d'attente se forme. Il existe de nombreuses autres situations similaires :

· Zone de réparation dans la flotte de véhicules et les bus qui ont quitté la ligne en raison d'une panne ;

· Centre de traumatologie et patients venus à un rendez-vous à l'occasion d'une blessure (c'est-à-dire sans système de rendez-vous) ;

· Un central téléphonique avec une entrée (ou un opérateur téléphonique) et des abonnés qui font la queue à une entrée occupée (un tel système est parfois pratiqué) ;

· Un serveur de réseau local et des machines personnelles sur le lieu de travail, qui envoient un message à un serveur qui ne peut percevoir et traiter qu'un seul message à la fois.

Le processus d'arrivée des clients dans un magasin est un processus aléatoire. Les intervalles de temps entre les arrivées de toute paire séquentielle d'acheteurs sont des événements aléatoires indépendants distribués selon une certaine loi qui ne peut être établie que par de nombreuses observations (ou une version plausible de celle-ci est prise pour la modélisation). Le deuxième processus aléatoire dans ce problème, qui n'a rien à voir avec le premier, est la durée de service pour chacun des clients.

Le but de la modélisation de systèmes de ce type est d'obtenir une réponse à un certain nombre de questions. Une question relativement simple : quel est le temps moyen de mise en file d'attente pour des lois de distribution données des variables aléatoires ci-dessus ? Une question plus difficile : quelle est la répartition des temps d'attente pour le service dans la file d'attente ? Une question tout aussi difficile : sous quels rapports des paramètres des distributions d'entrée une crise surviendra, dans laquelle le tour du client nouvellement entré n'atteindra jamais ? Si vous pensez à cette tâche relativement simple, les questions possibles se multiplieront.

La méthode de modélisation ressemble à ceci en termes généraux. Formules mathématiques utilisées - lois de distribution des variables aléatoires initiales; constantes numériques utilisées - paramètres empiriques inclus dans ces formules. Aucune équation n'est en cours de résolution qui serait utilisée dans l'étude analytique de ce problème. Au lieu de cela, une simulation d'une file d'attente se produit, jouée à l'aide de programmes informatiques qui génèrent des nombres aléatoires avec des lois de distribution données. Ensuite, un traitement statistique de l'ensemble des valeurs obtenues des quantités déterminées par les objectifs de modélisation donnés est effectué. Par exemple, vous pouvez trouver le nombre optimal de vendeurs pour différentes périodes d'ouverture du magasin, ce qui garantira qu'il n'y a pas de files d'attente. L'appareil mathématique utilisé ici est appelé méthodes de statistiques mathématiques.

L'article « Modélisation des systèmes et processus écologiques » 2 décrit un autre exemple de modélisation par simulation : l'un des nombreux modèles du système « prédateur-proie ». Les individus des espèces qui sont dans ces relations, selon certaines règles contenant des éléments d'aléatoire, se déplacent, les prédateurs mangent des proies, les deux se reproduisent, etc. Un tel modèle ne contient aucune formule mathématique, mais nécessite un traitement statistique des résultats.

Exemple d'algorithme de modèle de simulation déterministe

Considérons un modèle de simulation de l'évolution d'une population d'organismes vivants, connu sous le nom de « Vie », qui est facile à mettre en œuvre dans n'importe quel langage de programmation.

Pour construire un algorithme de jeu, considérons un champ carré de m+ 1 colonnes et lignes numérotées normalement de 0 à m... Pour plus de commodité, nous définirons les colonnes et les lignes limites extrêmes comme une "zone morte", elles ne jouent qu'un rôle auxiliaire.

Pour toute cellule interne du champ avec des coordonnées ( je, j), 8 voisins peuvent être déterminés. Si la cellule est "vivante", peignez dessus, si la cellule est "morte", elle vide.

Fixons les règles du jeu. Si la cellule ( je, j) « Vivant » et il est entouré de plus de trois cellules « vivantes », il meurt (de surpopulation). Une cellule « vivante » meurt aussi s'il y a moins de deux cellules « vivantes » dans son environnement (de solitude). Une cellule « morte » prend vie si trois cellules « vivantes » apparaissent autour d'elle.

Pour plus de commodité, nous introduisons un tableau à deux dimensions UNE, dont les éléments prennent la valeur 0 si la cellule correspondante est vide, et 1 si la cellule est « vivante ». Ensuite, l'algorithme pour déterminer l'état de la cellule avec la coordonnée ( je, j) peut être défini comme suit :

S : = A + A +

A + A

A + A +

A + A ;

Si (A = 1) Et((S> 3) Ou

(S<)) Puis B : = 0 ;

Si (A = 0) Et(S = 3)

Alors B : = 1 ;

Ici le tableau B détermine les coordonnées du champ à l'étape suivante. Pour toutes les cellules internes de je= 1 à m- 1 et j= 1 à m- 1 ce qui a été dit ci-dessus est vrai. A noter que les générations suivantes sont définies de la même manière, il suffit d'effectuer la procédure de réaffectation :

Pour moi : = 1 À N - 1 Faire

Pour J : = 1 À N - 1 Faire

A : = B ;

Il est plus pratique d'afficher l'état du champ sur l'écran d'affichage non pas sous forme de matrice, mais sous forme graphique.

Il ne reste plus qu'à déterminer la procédure de réglage de la configuration initiale du terrain de jeu. Pour une détermination aléatoire de l'état initial des cellules, l'algorithme suivant convient

Pour moi : = 1 À K Faire

Début K1 : = Aléatoire (N - 1) ;

K2 : = Aléatoire (N - 1) + 1 ;

Il est plus intéressant pour l'utilisateur de définir lui-même la configuration initiale, ce qui est facile à mettre en œuvre. À la suite d'expériences avec ce modèle, on peut trouver, par exemple, des établissements stables d'organismes vivants qui ne meurent jamais, restant inchangés ou changeant de configuration avec une certaine période. Le peuplement « croisé » est absolument instable (mort à la deuxième génération).

Dans un cours d'informatique de base, les étudiants peuvent mettre en œuvre le modèle de simulation « Vie » au sein de la section « Introduction à la programmation ». Une maîtrise plus poussée de la modélisation par simulation peut se produire au lycée dans un cours spécialisé ou électif d'informatique. Plus loin, nous parlerons de cette option.

Le début de l'étude est un cours sur la simulation de processus aléatoires. A l'école russe, les concepts de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques commencent tout juste à être introduits dans le cours de mathématiques, et l'enseignant doit être prêt à faire une introduction à ce matériel, qui est le plus important pour la formation d'une vision du monde et culture mathématique. Nous soulignons qu'il s'agit d'une introduction élémentaire à l'éventail des concepts discutés ; cela peut être fait en 1 à 2 heures.

Ensuite, nous discutons des problèmes techniques liés à la génération de séquences de nombres aléatoires sur un ordinateur avec une loi de distribution donnée. Dans ce cas, on peut s'appuyer sur le fait que dans chaque langage de programmation universel, il existe un générateur de nombres aléatoires uniformément répartis sur l'intervalle de 0 à 1. A ce stade, il est inapproprié d'aborder la question complexe des principes de sa mise en œuvre. Sur la base des capteurs de nombres aléatoires disponibles, nous montrons comment vous pouvez organiser

a) générateur de nombres aléatoires uniformément répartis sur tout segment [ une, b];

b) un générateur de nombres aléatoires pour presque toutes les lois de distribution (par exemple, en utilisant une méthode intuitivement claire de « sélection-rejet »).

Il est conseillé de commencer l'examen du problème de file d'attente décrit ci-dessus par une discussion sur l'historique de la résolution des problèmes de file d'attente (le problème d'Erlang sur les demandes de service dans un central téléphonique). Ceci est suivi d'un examen du problème le plus simple, qui peut être formulé en utilisant l'exemple de la formation et de l'entretien d'une file d'attente dans un magasin avec un seul vendeur. A noter qu'au premier stade de la modélisation, la distribution des variables aléatoires en entrée peut être supposée équiprobable, ce qui, bien que non réaliste, lève un certain nombre de difficultés (pour générer des nombres aléatoires, vous pouvez simplement utiliser le capteur intégré dans le langage de programmation).

Nous attirons l'attention des étudiants sur les questions qui se posent en premier lieu lors de la modélisation de systèmes de ce type. Premièrement, il s'agit du calcul des valeurs moyennes (espérances mathématiques) de certaines variables aléatoires. Par exemple, quel est le temps moyen dont vous disposez pour faire la queue au guichet ? Ou : trouvez le temps moyen qu'un vendeur a passé à attendre un acheteur.

La tâche de l'enseignant, en particulier, est de préciser que les moyennes de l'échantillon sont elles-mêmes des variables aléatoires ; dans un autre échantillon de même taille, ils auront des valeurs différentes (pour des échantillons de grande taille, ils ne différeront pas trop les uns des autres). D'autres options sont possibles : à un public mieux préparé, vous pouvez montrer une méthode d'évaluation des intervalles de confiance dans lesquels se situent les attentes mathématiques des variables aléatoires correspondantes pour des probabilités de confiance données (en utilisant des méthodes connues des statistiques mathématiques sans tenter de justifier). Dans un public moins préparé, vous pouvez vous limiter à une affirmation purement empirique: si dans plusieurs échantillons de taille égale, les valeurs moyennes coïncident avec une décimale, alors ce signe est très probablement correct. Si la simulation ne parvient pas à atteindre la précision souhaitée, augmentez la taille de l'échantillon.

Dans un public encore plus préparé mathématiquement, la question peut se poser : quelle est la distribution des variables aléatoires qui sont les résultats de la modélisation statistique, pour des distributions données de variables aléatoires qui sont ses paramètres d'entrée ? Puisque la présentation de la théorie mathématique correspondante dans ce cas est impossible, il faut se limiter à des méthodes empiriques : construire des histogrammes des distributions finales et les comparer avec plusieurs fonctions de distribution typiques.

Après avoir maîtrisé les compétences primaires de la modélisation spécifiée, nous passons à un modèle plus réaliste, dans lequel les flux d'entrée d'événements aléatoires sont distribués, par exemple, selon Poisson. Cela demandera aux étudiants de maîtriser en plus la méthode de génération de séquences de nombres aléatoires avec la loi de distribution spécifiée.

Dans le problème considéré, comme dans tout problème plus complexe de files d'attente, une situation critique peut survenir lorsque la file d'attente augmente indéfiniment avec le temps. Modéliser l'approche d'une situation critique au fur et à mesure que l'un des paramètres augmente est un problème de recherche intéressant pour les étudiants les plus préparés.

En utilisant le problème de file d'attente comme exemple, plusieurs nouveaux concepts et compétences sont élaborés à la fois :

· Concepts de processus aléatoires ;

· Concepts et compétences de base de la simulation ;

· Construction de modèles de simulation d'optimisation;

· Construction de modèles multicritères (en résolvant les problèmes du service client le plus rationnel en combinaison avec les intérêts du propriétaire du magasin).

Modèle mathématique - une description approximative de l'objet de modélisation, exprimée à l'aide de symboles mathématiques.

Les modèles mathématiques sont apparus avec les mathématiques il y a plusieurs siècles. L'émergence des ordinateurs a donné une impulsion considérable au développement de la modélisation mathématique. L'utilisation des ordinateurs a permis d'analyser et d'appliquer en pratique de nombreux modèles mathématiques qui auparavant ne se prêtaient pas à la recherche analytique. Modèle mathématique mis en œuvre par ordinateur appelé modèle mathématique informatique, une effectuer des calculs ciblés à l'aide d'un modèle informatique appelé expérience de calcul.

Les étapes de la modélisation mathématique informatique sont illustrées dans la figure. Première étape- définition des objectifs de modélisation... Ces objectifs peuvent être différents :

1) le modèle est nécessaire pour comprendre comment un objet spécifique est organisé, quelle est sa structure, ses propriétés de base, les lois de développement et d'interaction avec le monde extérieur (compréhension);

2) le modèle est nécessaire pour apprendre à gérer un objet (ou un processus) et déterminer les meilleures façons de gérer pour des objectifs et des critères donnés (gestion) ;

3) le modèle est nécessaire pour prédire les conséquences directes et indirectes de la mise en œuvre des méthodes et formes d'impact spécifiées sur l'objet (prévision).

Expliquons avec des exemples. Soit l'objet d'étude l'interaction d'un écoulement liquide ou gazeux avec un corps faisant obstacle à cet écoulement. L'expérience montre que la force de résistance à l'écoulement du côté du corps augmente avec une augmentation de la vitesse d'écoulement, mais à une certaine vitesse suffisamment élevée, cette force diminue brusquement de sorte qu'elle augmentera à nouveau avec une nouvelle augmentation de la vitesse. Qu'est-ce qui a causé la diminution de la force de résistance? La modélisation mathématique permet d'obtenir une réponse claire : au moment d'une diminution brutale de la résistance, les tourbillons formés dans l'écoulement de liquide ou de gaz derrière le corps caréné commencent à s'en détacher et à être emportés par l'écoulement.

Un exemple dans un domaine complètement différent : les populations de deux espèces d'individus ayant une base alimentaire commune, coexistant pacifiquement avec des nombres stables, commencent « soudain » à changer radicalement leur nombre. Et ici la modélisation mathématique permet (avec un certain degré de fiabilité) d'en établir la cause (ou du moins de réfuter une certaine hypothèse).

Le développement d'un concept de gestion d'objets est un autre objectif possible de la modélisation. Quel mode de vol de l'avion devriez-vous choisir afin de rendre le vol sûr et économiquement le plus rentable ? Comment établir un calendrier pour des centaines de types de travaux sur la construction d'une grande installation, afin qu'il se termine le plus tôt possible ? Beaucoup de ces problèmes se posent systématiquement devant les économistes, les concepteurs, les scientifiques.

Enfin, prédire les conséquences de certains impacts sur un objet peut être à la fois une question relativement simple dans des systèmes physiques simples, et extrêmement difficile - à la limite de la faisabilité - dans des systèmes biologiques, économiques et sociaux. S'il est relativement facile de répondre à la question d'un changement de régime de propagation de la chaleur dans une tige mince avec des changements dans son alliage constitutif, alors il est incomparablement plus difficile de tracer (prédire) les conséquences environnementales et climatiques de la construction d'un grand centrale hydroélectrique ou les conséquences sociales des évolutions de la législation fiscale. Peut-être, ici aussi, les méthodes de modélisation mathématique seront-elles plus utiles à l'avenir.

Deuxième étape : détermination des paramètres d'entrée et de sortie du modèle ; répartition des paramètres d'entrée selon le degré d'importance de l'influence de leurs changements sur le week-end. Ce processus est appelé classement, ou classement par rang (voir . “Formalisation et modélisation”).

La troisième étape : construire un modèle mathématique. A ce stade, il y a une transition d'une formulation abstraite du modèle à une formulation qui a une représentation mathématique concrète. Un modèle mathématique est constitué d'équations, de systèmes d'équations, de systèmes d'inéquations, d'équations différentielles ou de systèmes de telles équations, etc.

Quatrième étape : le choix de la méthode d'étude du modèle mathématique. Le plus souvent, on utilise ici des méthodes numériques qui se prêtent bien à la programmation. En règle générale, plusieurs méthodes conviennent pour résoudre le même problème, différant par leur précision, leur stabilité, etc. Le succès de l'ensemble du processus de modélisation dépend souvent du choix correct de la méthode.

La cinquième étape : développement d'un algorithme, compilation et débogage d'un programme informatique est un processus difficile à formaliser. Parmi les langages de programmation, de nombreux professionnels préfèrent FORTRAN pour la modélisation mathématique : à la fois en raison de la tradition et en raison de l'efficacité inégalée des compilateurs (pour le travail de calcul) et de la présence d'énormes bibliothèques soigneusement déboguées et optimisées de programmes standard de méthodes mathématiques écrites dedans. . Des langages tels que PASCAL, BASIC, C sont également utilisés, selon la nature de la tâche et les inclinations du programmeur.

Sixième étape : tester le programme. Le fonctionnement du programme est vérifié sur un problème de test avec une réponse prédéterminée. Ce n'est que le début de la procédure de test, qu'il est difficile de décrire de manière formelle et exhaustive. Habituellement, le test se termine lorsque l'utilisateur, selon ses caractéristiques professionnelles, considère que le programme est correct.

La septième étape : l'expérience de calcul proprement dite, au cours de laquelle on détermine si le modèle correspond à un objet réel (processus). Le modèle est suffisamment adéquat au processus réel si certaines caractéristiques du processus, obtenues sur ordinateur, coïncident avec les caractéristiques obtenues expérimentalement avec un degré de précision donné. Si le modèle ne correspond pas au processus réel, on revient à l'une des étapes précédentes.

Classification des modèles mathématiques

La classification des modèles mathématiques peut être basée sur divers principes. Il est possible de classer les modèles par branches de la science (modèles mathématiques en physique, biologie, sociologie, etc.). Elle peut être classée selon les appareils mathématiques utilisés (modèles basés sur l'utilisation d'équations différentielles ordinaires, équations aux dérivées partielles, méthodes stochastiques, transformations algébriques discrètes, etc.). Enfin, si l'on part des problèmes généraux de modélisation dans les différentes sciences, quel que soit l'appareil mathématique, la classification suivante est des plus naturelles :

· Modèles descriptifs (descriptifs) ;

· Modèles d'optimisation ;

· Modèles multicritères ;

· Modèles de jeux.

Expliquons cela avec des exemples.

Modèles descriptifs (descriptifs). Par exemple, des simulations du mouvement d'une comète ayant envahi le système solaire sont réalisées pour prédire la trajectoire de son vol, la distance à laquelle elle parcourra la Terre, etc. Dans ce cas, les objectifs de la modélisation sont descriptifs, car il n'y a aucune possibilité d'influencer le mouvement de la comète, d'y changer quelque chose.

Les modèles d'optimisation sont utilisés pour décrire les processus qui peuvent être influencés pour tenter d'atteindre un objectif donné. Dans ce cas, le modèle comprend un ou plusieurs paramètres disponibles pour l'influence. Par exemple, en changeant le régime thermique dans un grenier, on peut se fixer comme objectif de choisir un tel régime afin d'atteindre une sécurité maximale des grains, c'est-à-dire. optimiser le processus de stockage.

Modèles multicritères. Bien souvent, il est nécessaire d'optimiser le processus selon plusieurs paramètres à la fois, et les objectifs peuvent être très contradictoires. Par exemple, connaissant les prix des aliments et les besoins alimentaires d'une personne, il est nécessaire d'organiser la nutrition de grands groupes de personnes (dans l'armée, un camp d'été pour enfants, etc.) de manière physiologiquement correcte et, en même temps, comme le moins cher possible. Il est clair que ces objectifs ne coïncident pas du tout, c'est-à-dire dans la simulation, plusieurs critères seront utilisés, entre lesquels un équilibre doit être recherché.

Les modèles de jeux peuvent être liés non seulement aux jeux informatiques, mais aussi à des choses très sérieuses. Par exemple, un commandant avant une bataille, avec des informations incomplètes sur l'armée adverse, doit élaborer un plan : dans quel ordre amener certaines unités au combat, etc., en tenant compte de la réaction possible de l'ennemi. Il existe une section spéciale des mathématiques modernes - la théorie des jeux - qui étudie les méthodes de prise de décision dans des conditions d'information incomplète.

Dans le cours d'informatique de l'école, les étudiants reçoivent une première compréhension de la modélisation mathématique informatique dans le cadre du cours de base. Au secondaire, la modélisation mathématique peut être approfondie dans un cours de formation générale pour les classes d'un profil physique et mathématique, ainsi que dans un cours au choix spécialisé.

Les principales formes d'enseignement de la modélisation mathématique informatique au lycée sont les cours magistraux, les cours en laboratoire et les cours crédités. Habituellement, le travail de création et de préparation à l'étude de chaque nouveau modèle prend 3 à 4 leçons. Au cours de la présentation du matériel, des tâches sont posées, qui doivent à l'avenir être résolues par les étudiants eux-mêmes, en termes généraux, les voies de leur solution sont décrites. Des questions sont formulées, dont les réponses doivent être obtenues lors de l'exécution des tâches. La littérature supplémentaire est indiquée pour fournir des informations supplémentaires pour une meilleure exécution des tâches.

La forme d'organisation des cours lors de l'apprentissage de nouveaux matériaux est généralement une conférence. Après avoir terminé la discussion du prochain modèle, les étudiants ont à leur disposition les informations théoriques nécessaires et un ensemble de tâches pour la poursuite des travaux. En préparation de la réalisation du devoir, les étudiants choisissent une méthode de solution appropriée, en utilisant une solution privée bien connue, ils testent le programme développé. En cas de difficultés tout à fait possibles dans l'accomplissement des tâches, des conseils sont donnés, une proposition est faite pour élaborer plus en détail les sections indiquées dans les sources littéraires.

La méthode de projet est la plus pertinente pour la partie pratique de l'enseignement de la modélisation informatique. La tâche est formulée pour l'étudiant sous la forme d'un projet pédagogique et se déroule sur plusieurs cours, la principale forme d'organisation étant le travail en laboratoire informatique. La formation par simulation utilisant la méthode du projet pédagogique peut être mise en œuvre à différents niveaux. Le premier est un énoncé du problème dirigé par l'enseignant du processus de mise en œuvre du projet. La seconde est la mise en œuvre du projet par les élèves sous la direction de l'enseignant. Le troisième est la mise en œuvre indépendante du projet de recherche pédagogique par les étudiants.

Les résultats des travaux doivent être présentés sous forme numérique, sous forme de graphiques, de diagrammes. Si possible, le processus est présenté sur l'écran de l'ordinateur en dynamique. À la fin des calculs et de l'obtention des résultats, ils sont analysés, comparés à des faits connus de la théorie, la fiabilité est confirmée et une interprétation significative est effectuée, ce qui est reflété dans le rapport écrit.

Si les résultats satisfont l'étudiant et l'enseignant, alors le travail est considéré comme terminé et sa dernière étape est la préparation d'un rapport. Le rapport comprend de brèves informations théoriques sur le sujet à l'étude, la formulation mathématique du problème, l'algorithme de solution et sa justification, le programme informatique, les résultats du programme, l'analyse des résultats et des conclusions, la liste de la littérature utilisée.

Lorsque tous les rapports sont rédigés, lors du cours test, les élèves font de courts rapports sur le travail effectué, défendent leur projet. Il s'agit d'une forme efficace de rapport du groupe réalisant le projet à la classe, y compris la définition du problème, la construction d'un modèle formel, le choix des méthodes de travail avec le modèle, la mise en œuvre du modèle sur un ordinateur, le travail avec le modèle fini, l'interprétation des résultats , prévision. De ce fait, les étudiants peuvent recevoir deux notes : la première - pour l'élaboration du projet et la réussite de sa soutenance, la seconde - pour le programme, l'optimalité de son algorithme, son interface, etc. Les étudiants reçoivent également des notes dans les sondages théoriques.

Une question essentielle est de savoir quels outils utiliser dans le cours d'informatique scolaire pour la modélisation mathématique ? La mise en œuvre informatique des modèles peut être réalisée :

· Utiliser un tableur (habituellement MS Excel);

· En créant des programmes dans les langages de programmation traditionnels (Pascal, BASIC, etc.), ainsi que sur leurs versions modernes (Delphi, Visual Basic pour Application, etc.) ;

· Utilisation de progiciels spéciaux pour résoudre des problèmes mathématiques (MathCAD, etc.).

Au niveau primaire, la première semble être l'option privilégiée. Cependant, au lycée, lorsque la programmation est, avec la modélisation, un sujet clé en informatique, il est souhaitable de l'impliquer comme outil de modélisation. Dans le processus de programmation, les détails des procédures mathématiques deviennent disponibles pour les étudiants ; de plus, ils sont simplement obligés de les maîtriser, ce qui contribue également à l'enseignement mathématique. Quant à l'utilisation de progiciels spéciaux, elle convient dans un cours spécialisé d'informatique en complément d'autres outils.

Les modèles utilisés dans diverses sciences (physique, biologie, économie, etc.) sont des images mathématiques de processus et de phénomènes relativement isolés. Chacun d'eux vous permet de résoudre des problèmes importants pour une science ou un type d'activité spécifique. Mais tout cela, en termes d'importance universelle pour l'humanité, est inférieur à la question la plus importante pour les gens : quel est l'avenir proche de l'humanité en tant qu'espèce dans son ensemble ? Comment le monde va-t-il évoluer dans un avenir prévisible ? Soulignons que nous ne parlons pas de prévisions politiques ou économiques pour un pays ou une société en particulier, mais de l'humanité dans son ensemble - quel est son avenir (pour nous tous qui vivons sur Terre) ?

Les gens dans leur vie actuelle ont de nombreux problèmes spécifiques et ne sont pas très enclins à de telles réflexions générales. La vie d'un individu est trop courte, et même il y a un siècle ou deux, les changements globaux dans le monde au cours de la vie d'une personne étaient peu perceptibles, même s'il vivait à une époque plutôt mouvementée. Mais au 20e siècle, le rythme des événements s'est accéléré comme jamais auparavant dans l'histoire de l'humanité. Les prédictions de catastrophes mondiales imminentes ont commencé à se faire entendre de plus en plus souvent : la mort de la nature due à la pollution industrielle, l'apparition de "trous d'ozone" dans la stratosphère qui nous protège du rayonnement cosmique, l'épuisement des installations de reproduction d'oxygène en raison de la déforestation massive , etc. Même un événement moins catastrophique - par exemple, l'épuisement des ressources naturelles - peut entraîner des changements radicaux dans le mode de vie de l'humanité, notamment dans les pays qui sont aujourd'hui les plus industrialisés.

L'avenir de l'humanité est déterminé par un grand nombre de processus, partiellement contrôlés par lui, partiellement non, et ces processus sont si interconnectés et ont des conséquences si contradictoires que seule leur modélisation mathématique dans leur totalité raisonnable, mise en œuvre sur des ordinateurs modernes, peut donner une prévision qualitativement correcte. Peu importe à quel point l'inévitable grossissement de la réalité est dans une telle modélisation, il y a tellement de facteurs d'une importance primordiale que même l'esprit le plus puissant ne peut pas retracer leur interaction.

Modèles correspondants nommés global(global), est apparu pour la première fois dans les années 70 du siècle dernier. Les modèles les plus connus sont WORLD-1 (MIR-1), WORLD-2, WORLD-3, formulés et étudiés par un groupe d'employés du Massachusetts Institute of Technology (USA) sous la direction de D.Kh. Meadows et D. Forrester. Les résultats de leur travail à un moment donné ont fait sensation dans le monde, car la plupart des scénarios pour le développement possible des événements ont conduit à la finale, que l'on peut appeler la fin du monde (bien sûr, du point de vue de humanité). Dans le même temps, les auteurs ont souligné à plusieurs reprises qu'il ne s'agissait pas d'un avenir délibérément prédéterminé, mais du choix de voies pour le développement de l'humanité, parmi lesquelles celles menant à la stabilité, à l'existence prospère de l'humanité.

Quelle pourrait être la cause d'une éventuelle instabilité? La croissance rapide - souvent exponentiellement rapide - de nombreux indicateurs est devenue une caractéristique de la vie humaine à l'époque qui a suivi le début de la révolution industrielle. La période pour doubler la population mondiale est d'environ 40 ans (la présence d'une telle période constante est un trait caractéristique de la croissance exponentielle). Les biologistes et les écologistes sont bien conscients qu'une augmentation exponentielle de la taille d'une population se termine le plus souvent par une catastrophe - les sources qui soutiennent son existence sont épuisées. Du point de vue de l'existence d'une espèce, ce n'est pas une tragédie (sauf cas uniques où une espèce donnée est toute réduite à une seule population). Cependant, à notre époque, l'humanité a dépensé presque toutes les ressources pour une croissance extensive et s'est étendue «en largeur». La production industrielle au 20e siècle a également connu une croissance presque exponentielle avec un taux de croissance annuel de 3,3 % en moyenne. Cela conduit à l'épuisement des ressources naturelles - minéraux, eau propre, air pur. La teneur dans l'atmosphère d'un des composés stables du carbone (le dioxyde de carbone) résultant de la combustion de combustibles fossiles et de l'épuisement des forêts a augmenté d'un tiers depuis le début du siècle ; potentiellement cela conduit au réchauffement climatique sur Terre avec les conséquences les plus catastrophiques. Plus il y a de gens, plus il faut de nourriture, et l'application mondiale d'engrais augmente de façon exponentielle avec une période de doublement d'environ 15 ans. Il est clair et sans aucune modélisation qu'une telle vie avec la croissance effrénée de tout et de tout le monde ne peut pas durer longtemps - et maintenant "long" est comparable à la durée de vie de deux ou trois générations.

La difficulté de suivre les conséquences d'un tel cours d'événements réside également dans le fait que chaque processus global individuel ne peut pas être qualifié sans ambiguïté de « bon » ou de « mauvais » en fonction de son impact sur le sort de l'humanité. Par exemple, une augmentation de la production d'engrais entraîne une augmentation de la production alimentaire - c'est "bien". Mais il est « mauvais » que le même processus entraîne une diminution de l'approvisionnement en eau douce et propre, qui est gâchée par les engrais qui tombent à travers le sol avec les pluies dans les rivières et les sources souterraines. De plus, l'augmentation de la production d'engrais conduit à la nécessité d'augmenter la production d'énergie et la pollution chimique et thermique associée des sols, de l'atmosphère, etc. Peser l'impact de telles situations sur le développement de l'humanité n'est possible qu'en prenant globalement en compte tous les facteurs à la fois.

Existe-t-il des possibilités d'éviter des conséquences catastrophiques pour le développement humain ? À la suite de la modélisation, les trois règles suivantes ont été formulées, dont le respect, selon les auteurs des modèles, est nécessaire à la durabilité globale :

1. Pour les ressources renouvelables (forêt, eau, poisson, etc.), le taux de consommation ne doit pas dépasser le taux de récupération naturelle.

2. Pour les ressources non renouvelables (charbon, pétrole, minerais, etc.), le taux de consommation ne doit pas dépasser le taux de leur remplacement par des ressources renouvelables (développement de l'énergie solaire et éolienne, plantation de forêts, etc.) et le taux de développement de nouvelles technologies pour assurer le changement de ressources ; de sorte qu'après la disparition, par exemple, du pétrole, un apport d'énergie provenant d'une nouvelle ressource serait fourni.

3. Pour les polluants, l'intensité maximale des émissions ne devrait pas dépasser la vitesse à laquelle ces substances sont traitées ou perdent des propriétés nocives pour l'environnement.

À l'heure actuelle, l'humanité, malheureusement, n'est pas guidée par ces règles. Si au cours des siècles passés cela ne représentait pas un danger pour l'espèce dans son ensemble, aujourd'hui la situation a changé.

Décrivons brièvement l'un des modèles mondiaux - WORLD-3 (MIR-3). Le modèle se compose de cinq secteurs :

· Pollution persistante ;

· Ressources non renouvelables;

· population;

· Agriculture (production alimentaire, fertilité des terres, mise en valeur des terres);

· Économie (production industrielle, production de services, emplois).

Les relations initiales sont des relations primaires, telles que :

· Taille de la population et stocks de capital industriel ;

· Taille de la population et superficie des terres cultivées ;

· La superficie des terres cultivées et le volume du capital industriel ;

· Population et capital du secteur des services ;

· Capital du secteur tertiaire et capital industriel, etc.

Dans chaque secteur, toutes les relations primaires sont tracées et exprimées par des relations mathématiques. Si nécessaire, les processus de décalage matériel et informationnel sont pris en compte, car la réaction, par exemple, de la taille de la population à une amélioration de la nutrition n'est pas instantanée, mais tardive. Ceci est typique pour la plupart des processus considérés.

Le modèle WORLD-3 possède des fonctionnalités descriptives et d'optimisation. Son objectif principal est de présenter les voies possibles pour que l'économie (au sens large du terme) atteigne une telle taille de la population de la planète qui puisse être supportée par l'environnement pour une durée indéfiniment longue. Il ne prédit pas le développement d'un pays en particulier, ne résout aucun problème local. Le modèle suppose qu'il existe une communauté mondiale sur Terre.

La dynamique de la population est une caractéristique intégrale qui inclut tous les facteurs. De manière purement spéculative, deux types de dynamiques stables sont possibles (croissance continue ou approche douce de l'équilibre) et trois types de dynamiques instables associées au dépassement des limites admissibles (oscillations suivies d'un état stationnaire, oscillations chaotiques et effondrement, c'est-à-dire la disparition d'une espèce). La croissance continue semble complètement irréaliste, la dernière des dynamiques instables est une tragédie pour l'humanité, et derrière les fortes fluctuations, comme vous pouvez le deviner, il y a des guerres, des épidémies, la faim - ce qui arrive souvent dans la réalité.

Les relations typiques du modèle WORLD, qui sont exprimées par des moyens mathématiques (équations différentielles et « ordinaires »), sont illustrées dans la figure. Il démontre les liens entre la population, le capital industriel, les terres cultivées et la pollution de l'environnement. Chaque flèche de la figure indique la présence d'une relation causale, qui peut être immédiate ou différée, positive ou négative.

Boucles de rétroaction de la population, du capital, de la production agricole et de la pollution environnementale

Les notions de rétroaction positive et négative sont tirées de la théorie de la régulation automatique (section de la cybernétique). La relation causale entre les deux éléments est appelée négatif, si le changement d'un élément est transféré au second, en revient au premier et le modifie dans le sens opposé à l'original (supprime), et positif si ce changement, revenant au premier, le renforce. S'il y a plus de deux éléments, alors ils parlent de boucle de rétroactionà travers lequel le signal parcourt un cercle, retourne à la source et l'influence.

Certains ensembles de ces figures épuisent graphiquement le modèle du MONDE. Cependant, derrière chaque flèche se trouvent des relations primaires, et derrière chacune d'elles se trouvent des équations qui incluent un certain nombre de paramètres. En fait, ce sont les valeurs de ces paramètres qui déterminent les résultats; par conséquent, à la fois de nombreux spécialistes étroits et de nombreuses données empiriques (statistiques) collectées dans des dizaines d'ouvrages de référence, des rapports de l'ONU et des États individuels sont impliqués dans leur analyse. Le nombre de variables interdépendantes dans le modèle WORLD-3 est de 225, le nombre de paramètres est encore plus grand.

Résultats globaux de la simulation

Les "scénarios" publiés du développement humain, inspirés des modèles du MONDE, couvrent la période de 1900 à 2100. Les 100 premières années déjà écoulées permettent de « régler » le modèle, de déterminer son degré de fiabilité.

Le premier des scénarios repose sur l'hypothèse que tout se déroulera sans changements majeurs, sans cataclysmes politiques mondiaux, sans efforts particuliers pour conserver les ressources et réduire la pollution de l'environnement. Le modèle prédit des résultats catastrophiques de ce développement.

Dans le même temps, le modèle WORLD permet de trouver des voies de développement régulé, ce qui conduit à un comportement lisse (« sigmoïde ») des principales variables. Cette voie est associée à la maîtrise de soi et à la transition vers des technologies industrielles et agricoles améliorées.

5. Modélisation des processus de planification optimale

Énoncé du problème de planification optimale

La planification est l'étape la plus importante de l'activité économique et de gestion. L'objet de la planification peut être les activités d'une subdivision ou d'une entreprise entière, une branche de l'industrie ou de l'agriculture, une région et enfin un État.

L'énoncé du problème de planification dans le cas général est le suivant :

Il y a quelques indicateurs prévus : X, Oui, …;

Quelques ressources sont disponibles : R 1, R 2, ..., grâce auquel ces objectifs peuvent être atteints ;

· Il existe un certain objectif stratégique, en fonction des valeurs des indicateurs prévus, sur lequel la planification doit être orientée.

Problème de planification optimale consiste à déterminer les valeurs des indicateurs prévus, en tenant compte des ressources limitées, sous réserve de l'atteinte de l'objectif stratégique.

Voici quelques exemples. Que l'objet de planification soit un jardin d'enfants. Nous nous limiterons à seulement deux indicateurs prévus : le nombre d'enfants et le nombre d'éducateurs. Les principales ressources des activités de la maternelle sont le montant du financement et la taille des locaux. Quels sont les objectifs stratégiques ? Naturellement, l'un d'eux est la préservation et le renforcement de la santé des enfants. La mesure quantitative de cet objectif est de minimiser l'incidence des élèves de la maternelle.

Autre exemple : la planification des activités économiques de l'Etat. C'est sans doute une tâche trop difficile pour une analyse détaillée. Il existe de nombreux indicateurs prévus: production de divers types de produits industriels et agricoles, formation de spécialistes, production d'électricité, salaires des employés du secteur public et bien plus encore. Les ressources comprennent : le nombre de la population active, le budget de l'État, les ressources naturelles, l'énergie, les possibilités des systèmes de transport, etc. Bien entendu, chacun de ces types de ressources est limité. Par ailleurs, la ressource la plus importante est le temps alloué à l'exécution du plan.

La question des objectifs stratégiques dans ce cas est très difficile. L'État en a beaucoup, mais les priorités peuvent changer à différentes périodes de l'histoire. Par exemple, en temps de guerre, l'objectif principal est la capacité de défense maximale, la puissance militaire du pays. En temps de paix dans un État civilisé moderne, l'objectif prioritaire devrait être d'atteindre le niveau de vie maximum de la population.

La solution des problèmes de planification optimale est le plus souvent difficile et inaccessible en utilisant uniquement l'expérience humaine (méthodes empiriques). Pour résoudre de tels problèmes, un modèle mathématique, qui établit la relation entre les paramètres de la tâche. D'où, une planification optimale est réalisée grâce à l'utilisation de la modélisation mathématique. En règle générale, de tels modèles pour des situations réelles ne se prêtent pas à une solution analytique. Par conséquent, des méthodes de résolution numérique sont utilisées, mises en œuvre sur un ordinateur.

Un exemple de modèle mathématique de planification optimale

Prenons un exemple simple qui peut vous aider à vous faire une idée de l'une des classes de problèmes de planification optimale.

La pâtisserie de l'école prépare des tartes et des gâteaux. En raison de la capacité limitée de l'entrepôt, pas plus de 700 produits peuvent être préparés au total par jour. La journée de travail dans la confiserie dure 8 heures. Puisque la production de gâteaux est plus laborieuse, alors si seulement eux sont produits, pas plus de 250 peuvent être produits par jour, tandis que 1000 gâteaux peuvent être produits (si les gâteaux ne sont pas produits en même temps). Le coût d'un gâteau est le double de celui d'une tarte. Il est nécessaire d'établir un plan de production quotidien qui assure à la confiserie les revenus les plus élevés.

Formulons ce problème mathématiquement. Les indicateurs cibles sont :

x - plan quotidien pour la sortie des tartes ;

y est le plan quotidien de sortie de gâteau.

Les moyens de production sont :

· Durée de la journée de travail - 8 heures ;

· La capacité de l'entrepôt - 700 places.

On obtient les ratios suivant les conditions du temps limité de l'atelier et de la capacité de stockage, c'est-à-dire le nombre total de produits. De la formulation du problème, il s'ensuit que faire un gâteau prend 4 fois plus de temps que faire un seul gâteau. Si vous désignez le moment de faire la tarte t min., alors le temps de faire le gâteau est de 4 t min. Par conséquent, le temps total de production X tartes et oui gâteaux égaux tx + 4ty =(X+ 4oui)t. Mais ce temps ne peut pas être plus long que la durée de la journée de travail. Ceci implique l'inégalité ( X + 4oui)t huit ? 60, ou ( X + 4oui)t 480.

Puisque 1000 tartes peuvent être faites en une journée de travail, 480/1000 = 0,48 minutes sont consacrées à une. En substituant cette valeur à l'inégalité, on obtient : ( X + 4oui) ? 0,48 480. D'ici X + 4oui 1000. La limitation du nombre total de produits donne une inégalité évidente X+ oui 700.

Aux deux inégalités obtenues, il faut ajouter les conditions de positivité des valeurs des quantités X et oui(il ne peut y avoir de nombre négatif de tartes et de gâteaux). On obtient ainsi un système d'inégalités :

X + 4oui 1000,X + oui 700, X 0, oui 0 ()

Formalisons l'objectif stratégique : obtenir un maximum de revenus. Le chiffre d'affaires est la valeur de tous les produits vendus. Laissez le prix d'une tarte r roubles. Selon l'état du problème, le prix du gâteau est le double, c'est-à-dire 2 r roubles. Par conséquent, le coût de tous les produits fabriqués par jour est égal à rx + 2ry = r(X + 2oui). Le but de la production est de maximiser les revenus. Nous considérerons l'expression écrite en fonction de X,oui:F(x, y)= r(X + 2oui). Dans la mesure où r est une constante, alors la valeur maximale F(x, y) sera atteint à la valeur maximale de l'expression X + 2y. Ainsi, comme fonction dont le maximum correspond à l'objectif stratégique, on peut prendre

F(X, oui) = X + 2oui ()

Par conséquent, obtenir le plan optimal se résume au problème mathématique suivant : trouver les valeurs des indicateurs prévus x et y, satisfaisant le système d'inégalités()et donnant la valeur maximale de la fonction objectif().

L'exemple ci-dessus concerne la classe de tâches programmation linéaire... Dans la théorie de la planification optimale, il existe plusieurs classes de problèmes, dont la programmation linéaire est l'option la plus simple. L'étude des méthodes mathématiques pour résoudre de tels problèmes va au-delà des objectifs de l'enseignement scolaire.

En même temps, il ne serait pas logique de se limiter à la seule formulation théorique des problèmes de planification optimale. Les technologies de l'information modernes permettent de résoudre certains problèmes de planification optimale (et, en particulier, de programmation linéaire) sans pénétrer dans l'essence des méthodes mathématiques appliquées. En particulier, ces outils sont disponibles dans un tableur Excel, et sur leur base, vous pouvez montrer aux étudiants comment résoudre des problèmes spécifiques. L'outil en question s'appelle Rechercher une solution et vous pouvez le trouver dans le menu Outils. Décrivons brièvement comment utiliser l'outil indiqué pour résoudre le problème ci-dessus.

Tout d'abord, préparons le tableau pour résoudre le problème de planification optimale.

Les cellules B5 et C5 sont respectivement réservées aux valeurs X(un plan pour faire des tartes) et oui(plan pour faire des gâteaux). Les membres de gauche des inégalités sont dans la colonne B, les membres de droite sont dans la colonne D ; panneaux "<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Appelons le programme d'optimisation et indiquons-lui où se trouvent les données. Pour ce faire, nous allons exécuter la commande Yu Service Yu Search pour une solution. Le formulaire correspondant s'ouvrira à l'écran. Nous agirons selon l'algorithme suivant :

1. Entrons les coordonnées de la cellule avec la fonction objectif. Dans notre cas, il s'agit de B15. (Notez que si vous placez le curseur sur la cellule B15 avant cela, la saisie se fera automatiquement.)

2. Cochez la case « Égal à la valeur maximale », c'est-à-dire Informons le programme que nous sommes intéressés à trouver le maximum de la fonction objectif.

3. Dans le champ « Changement de cellules », saisissez B5 : C5, c'est-à-dire. laissez-nous vous informer quelle place est réservée aux valeurs des variables - indicateurs prévus.

4. Dans le champ "Contraintes", vous devez saisir des informations sur les inégalités-contraintes, qui ont la forme : B10<=D10; B11<=D11; B12>= D12 ; B13> = D13. Les restrictions sont introduites comme suit :

· Cliquez sur le bouton « Ajouter » ;

· Dans la boîte de dialogue "Ajouter une contrainte" qui apparaît, nous entrons une référence à la cellule B10, sélectionnez le signe d'inégalité dans le menu "<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Fermez la boîte de dialogue Ajouter une contrainte. Devant nous se trouve un formulaire préparé « Recherche d'une solution ».

6. Nous cliquons sur le bouton "Exécuter" - la solution optimale apparaît dans les cellules B5 et C5 (numéros 600 et 100), ainsi que le numéro 800 dans la cellule B15 - la valeur maximale de la fonction objectif.

6. Modélisation des systèmes et processus physiques

La science physique est inextricablement liée à la modélisation mathématique depuis l'époque d'Isaac Newton (XVII – XVIII siècles). I. Newton a découvert les lois fondamentales de la mécanique, la loi de la gravitation universelle, en les décrivant dans le langage des mathématiques. I. Newton (avec G. Leibniz) a développé le calcul différentiel et intégral, qui est devenu la base de l'appareil mathématique de la physique. Toutes les découvertes physiques ultérieures (en thermodynamique, électrodynamique, physique atomique, etc.) ont été présentées sous forme de lois et de principes décrits en langage mathématique, c'est-à-dire sous forme de modèles mathématiques.

On peut dire que la solution de tout problème physique est théoriquement modélisation mathématique... Cependant, la possibilité d'une solution théorique au problème est limitée par le degré de complexité de son modèle mathématique. Plus le processus physique décrit avec son aide est complexe, plus le modèle mathématique est complexe et plus l'utilisation d'un tel modèle pour les calculs devient problématique.

Dans la situation la plus simple, la solution du problème peut être obtenue « manuellement » analytiquement. Dans la plupart des situations pratiquement importantes, il n'est pas possible de trouver une solution analytique en raison de la complexité mathématique du modèle. Dans ce cas, utilisez méthodes numériques résoudre des problèmes dont la mise en œuvre effective n'est possible que sur un ordinateur. En d'autres termes, la recherche physique basée sur des modèles mathématiques complexes est effectuée par modélisation mathématique informatique... À cet égard, au XXe siècle, parallèlement à la division traditionnelle de la physique en physique théorique et expérimentale, une nouvelle direction est apparue - la «physique computationnelle».

L'étude des processus physiques sur un ordinateur s'appelle une expérience informatique. Ainsi, la physique computationnelle crée un pont entre la physique théorique, dont elle tire des modèles mathématiques, et la physique expérimentale, en réalisant une expérience physique virtuelle sur ordinateur. L'utilisation de l'infographie dans le traitement des résultats des calculs offre la visibilité de ces résultats, qui est la condition la plus importante pour leur perception et leur interprétation par le chercheur.

La principale loi de la mécanique est la deuxième loi de Newton, qui concerne la force agissant sur un corps, sa masse et l'accélération résultant de l'action de la force. En physique scolaire, cette loi est représentée sous la forme suivante :

Cela suppose que la force et la masse sont des valeurs constantes. Dans ce cas, l'accélération sera également constante. Par conséquent, l'équation (1) modélise le mouvement uniformément accéléré d'un corps de masse constante sous l'action d'une force constante.

L'applicabilité d'un tel modèle est limitée. Il ne peut pas être utilisé pour calculer le mouvement de corps à masse variable et à force variable. Par exemple, lors du vol d'une fusée, sa masse diminue en raison de l'épuisement du carburant, c'est-à-dire la masse est fonction du temps : m(t). En conséquence, l'accélération devient également variable et le modèle mathématique va changer :

Tenons compte du fait que l'accélération est une dérivée de la vitesse ( v) dans le temps, et décrire la fonction du changement de masse avec le temps (qu'elle soit linéaire); on obtient le modèle mathématique de mouvement suivant :

(2)

Ici m 0 - masse initiale de la fusée, q(kg / s) - un paramètre qui détermine le taux de combustion du carburant. L'équation (2) est une équation différentielle par opposition à l'équation algébrique linéaire (1). Le modèle mathématique est devenu plus complexe ! L'équation (2) est beaucoup plus difficile à résoudre que (1). Si l'on prend également en compte la possibilité de changements de force dans le temps F(t) (la poussée du moteur-fusée lors du lancement est variable), alors le modèle deviendra encore plus complexe :

(3)

Lorsque des corps se déplacent dans l'atmosphère (ou dans un milieu liquide), il est nécessaire de prendre en compte la résistance du milieu - la force de frottement. La force de friction a deux composantes : proportionnelle à la première puissance de la vitesse du corps et proportionnelle à son carré. Maintenant, l'équation du mouvement prendra la forme :

, (4), (5)

Ici k 1 et k 2 - coefficients empiriques. L'équation (5) relie la vitesse au déplacement. Le modèle (4) - (5) est devenu plus proche d'une situation physique réelle, mais plus compliqué d'un point de vue mathématique. En l'utilisant, vous pouvez obtenir des réponses à des questions pratiquement importantes. Par exemple : donné F(t) pour déterminer combien de temps et à quelle altitude la fusée atteindra la première vitesse spatiale. Ou résoudre le problème inverse : quelle doit être la force de poussée du moteur pour que la fusée atteigne la première vitesse spatiale à une altitude donnée ? Si l'on tient compte également du fait que les coefficients k 1 et k 2 - quantités variables, puisqu'elles dépendent de la densité de l'air atmosphérique, qui diminue avec l'altitude, le modèle mathématique (4) - (5) devient assez compliqué. La solution basée sur un tel modèle des problèmes formulés ci-dessus nécessite l'utilisation de méthodes numériques et d'un ordinateur.

Les méthodes numériques sont méthodes qui réduisent la solution de tout problème mathématique à des calculs arithmétiques... Montrons l'application de la méthode de résolution numérique par l'exemple d'un problème de mécanique plus simple que le problème d'un vol de fusée. Considérons le problème de la chute libre d'un corps de masse constante m sous l'influence de la gravité constante. Les équations du mouvement, tenant compte de la résistance de l'air (mentionnée ci-dessus), sont les suivantes :

, (6)

Ici v est la composante verticale du vecteur vitesse. Soit la hauteur initiale du corps au-dessus du sol s 0, et la vitesse initiale est v 0 .

Montrons l'application d'une méthode appelée méthode d'Euler au calcul du mouvement d'un corps en chute. Le calcul est fait à partir du moment initial t= 0 avec un petit pas de temps fini

(m = 0, 1, 2, …). (8)

En appliquant une approche similaire à l'équation (7), nous obtenons la formule de la méthode d'Euler pour calculer le déplacement d'un corps en chute avec le temps :

Ayant les valeurs initiales de vitesse et de déplacement et en utilisant les formules (8), (9), on peut pas à pas calculer les valeurs v et sà des moments successifs. Ce processus est facile à programmer, et les résultats obtenus sont affichés sous forme de tableau numérique et présentés sous forme graphique.

La figure montre le résultat du traitement graphique de la dépendance obtenue numériquement de la vitesse de chute du corps en fonction du temps pour un certain ensemble de paramètres m, k 1 et k 2 .

Dépendance de la vitesse de chute en fonction du temps, compte tenu de la résistance de l'air

La dépendance n'a rien à voir avec le changement de vitesse linéaire, qui est obtenu sans tenir compte de la résistance de l'air. La vitesse atteint une valeur constante en approchant la force de résistance de l'air de la force de gravité. S'ils sont égaux, le mouvement devient uniforme.

Notez que la valeur limite en régime permanent de la vitesse peut être calculée analytiquement sans recourir à des méthodes numériques. Équation dans la formule (6) dv/dt(accélération) à zéro, on obtient que la vitesse en régime permanent sera égale à

A partir de ce modèle, on peut par exemple résoudre un problème d'optimisation en formulant la condition comme suit : le parachutiste saute d'une certaine hauteur et vole sans ouvrir le parachute ; A quelle altitude (ou après quelle heure) doit-il ouvrir le parachute afin d'avoir une vitesse de sécurité au moment de l'atterrissage ? Autre problème : comment la hauteur du saut est-elle liée à la section transversale du parachute (inclus dans k 2) pour garder votre vitesse d'atterrissage en toute sécurité ?

Un problème important lors de l'utilisation de la méthode numérique décrite est le choix de la taille du pas de temps t... La précision des résultats obtenus et la stabilité de la procédure de calcul dépendent de cette valeur. Tous ces problèmes sont étudiés dans une discipline mathématique appelée Méthodes numériques ou Mathématiques computationnelles.

La familiarisation des étudiants avec des modèles informatiques de processus physiques dans un cours d'informatique de base peut se produire au niveau d'exemples de démonstration. La figure montre un exemple de didacticiel de démonstration qui simule le vol d'un projectile tiré d'un canon. La tâche qui est assignée aux élèves est de sélectionner les paramètres (vitesse initiale et angle de tir) qui assurent que le projectile atteint la cible (ce programme est inclus dans la collection fédérale de ressources pédagogiques numériques). Des développements similaires sont disponibles dans d'autres sources éducatives.

Le vol d'un projectile tiré d'un canon

Dans les classes supérieures du profil physique et mathématique, les questions de modélisation des processus physiques devraient être incluses dans le programme de formation spécialisée. On peut proposer la liste suivante d'objets de modélisation associés au mouvement des corps :

· Mouvement des corps tenant compte de la résistance du milieu (chute libre, mouvement d'un corps projeté en biais par rapport à l'horizon, décollage d'une fusée, etc.) ;

· Mouvement oscillatoire du pendule tenant compte de la résistance du milieu, des oscillations forcées, de la résonance, etc.;

· Mouvement des corps célestes (le problème des deux corps);

· Mouvement de particules chargées dans des champs électriques.

D'autres types de problèmes, à partir desquels il est possible de mettre en œuvre la modélisation de processus physiques, sont associés à la description de processus physiques dans l'approximation d'un milieu continu et dans les champs électromagnétiques :

· Modélisation du processus de conductivité thermique, etc.;

· Modélisation des distributions des champs statiques - électriques et magnétiques.

Ci-dessus, un exemple de modélisation de la chute libre d'un corps dans l'atmosphère a été analysé en détail, dans lequel des équations différentielles et des méthodes numériques pour leur résolution sont utilisées. Si la formation mathématique des étudiants n'est pas suffisante pour comprendre cette approche, alors il est possible de construire immédiatement un modèle mathématique sous forme de différences finies, sans utiliser d'équations différentielles. Montrons la méthodologie pour appliquer cette approche.

Rappelons aux élèves que l'accélération est l'incrément de vitesse par unité de temps, et la vitesse est l'incrément de déplacement par unité de temps : .

Les signes d'égalité approximative indiquent que ces relations sont d'autant plus précises que l'intervalle est petit t; à la limite t 0 ils deviennent précis.

Si à un moment donné t 0 valeur s a le sens s (t 0), et la quantité v- sens v (t 0), puis à la prochaine fois t 1 = t 0 + t aura:

Dans ce cas, on suppose que l'accélération pendant un intervalle de temps donné n'a pas changé et est restée égale une(t 0). Ici, nous utilisons également la notation F 0 = F(t 0), m = m(t 0), c'est à dire. cela signifie que la force et la masse dans le cas général peuvent être des quantités variables.

Lors du calcul des valeurs v et sà des moments ultérieurs, vous pouvez faire la même chose. Si les valeurs sont connues v je et si je sur le moment je, ensuite

Ainsi, les mêmes formules de la méthode d'Euler sont obtenues, mais méthodiquement différemment. Dans ce cas, les équations différentielles ne sont pas du tout mentionnées.

Lors de la construction de ce modèle et de modèles similaires, les élèves doivent prêter attention au fait que dans la division du temps continu en segments de longueur t l'une des idées fondamentales de l'informatique sur l'universalité de la forme discrète de représentation de l'information se manifeste, reflétée à la fois dans la conception d'un ordinateur et dans une variété d'applications de l'informatique.

Notez qu'il existe de nombreux programmes informatiques qui simulent des processus physiques simples. Ils ont une interface de dialogue qui vous permet de saisir des paramètres, d'obtenir des tableaux, des graphiques, des images animées à l'écran. Cependant, lors de leur utilisation, les lois physiques qui déterminent le processus, les limites du modèle et les possibilités de son amélioration restent cachées. De tels programmes sont utiles plutôt qu'illustratifs, informatifs. Il est conseillé d'orienter les étudiants qui étudient l'informatique à un niveau spécialisé à une analyse détaillée des modèles mathématiques et au développement indépendant de programmes.

Les informations initiales dans la construction du MM des processus de fonctionnement des systèmes sont des données sur le but et les conditions de fonctionnement du système étudié (projeté) S. Ces informations déterminent l'objectif principal de la modélisation, les exigences du MM, le niveau d'abstraction , et le choix d'un schéma de modélisation mathématique.

Concept schéma mathématique permet de considérer les mathématiques non pas comme une méthode de calcul, mais comme une méthode de pensée, un moyen de formuler des concepts, ce qui est le plus important dans le passage d'une description verbale à une représentation formalisée du processus de son fonctionnement sous forme de quelques MM.

Lors de l'utilisation du tapis. schéma, tout d'abord, le chercheur du système doit s'intéresser à la question de l'adéquation de l'affichage sous forme de schémas spécifiques de processus réels dans le système à l'étude, et non à la possibilité d'obtenir une réponse (résultat de la solution) à une question de recherche précise.

Par exemple, la représentation du processus de fonctionnement d'un SCI à usage collectif sous la forme d'un réseau de schémas de files d'attente permet de bien décrire les processus se déroulant dans le système, mais avec des lois complexes de flux entrants et de flux de service, il ne permet pas d'obtenir des résultats sous une forme explicite.

Schéma mathématique peut être défini comme un maillon dans le passage d'une description signifiante à une description formalisée du processus de fonctionnement du système, prenant en compte l'impact de l'environnement extérieur. Celles. il y a une chaîne : un modèle descriptif - un schéma mathématique - un modèle de simulation.

Chaque système spécifique S est caractérisé par un ensemble de propriétés, qui s'entendent comme des valeurs qui reflètent le comportement de l'objet modélisé (système réel) et les conditions de son fonctionnement en interaction avec l'environnement extérieur (système) E.

Lors de la construction du MM du système S, il est nécessaire de résoudre la question de sa complétude. La complétude de la modélisation est régulée principalement par le choix des frontières « Système S - environnement E ». En outre, le problème de la simplification du MM doit être résolu, ce qui permet de mettre en évidence les principales propriétés du système, en écartant les objectifs secondaires de la modélisation.

MM de l'objet de simulation, c'est-à-dire du système S peut être représenté comme un ensemble de grandeurs décrivant le processus de fonctionnement d'un système réel et formant dans le cas général les sous-ensembles suivants :

Un ensemble de X - influences d'entrée sur Sх i Х, i = 1… n x ;

La totalité du milieu extérieur influence v l V, l = 1… n v;

L'ensemble des paramètres internes (intrinsèques) du système h k H, k = 1… n h ;

L'ensemble des caractéristiques de sortie du système y j Y, j = 1… n y.

Dans les ensembles répertoriés, les quantités contrôlées et non contrôlées peuvent être distinguées. En général, X, V, H, Y sont des ensembles disjoints contenant à la fois des composantes déterministes et stochastiques. Les actions d'entrée E et les paramètres internes S sont variables indépendantes (exogènes).Caractéristiques de sortie - variables dépendantes (endogènes)... Le processus opératoire S est décrit par l'opérateur F S :

(1)

Trajectoire de sortie F S - la loi de fonctionnement S.F S peut être une fonction, des conditions fonctionnelles, logiques, un algorithme, un tableau ou une description verbale de règles.

Algorithme de fonctionnement A S - une méthode pour obtenir les caractéristiques de sortie en tenant compte des influences d'entrée Évidemment, le même FS peut être implémenté de différentes manières, c'est-à-dire en utilisant de nombreux A S différents.

La relation (1) est une description mathématique du comportement de l'objet S modélisé au temps t, c'est-à-dire le reflète propriétés dynamiques... (1) est un modèle dynamique du système S. Pour les conditions statiques MM, il existe des mappages X, V, H dans Y, c'est-à-dire (2)

Les relations (1), (2) peuvent être spécifiées par des formules, des tableaux, etc.

De plus, dans certains cas, des relations peuvent être obtenues grâce aux propriétés du système à des moments spécifiques, appelés états.

Les états du système S sont caractérisés par des vecteurs :

et , où à l'instant t l  (t 0, T)

au temps t ll (t 0, T), etc. k = 1 ... nZ.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) sont les coordonnées d'un point dans l'espace des phases à k dimensions. Chaque mise en œuvre du processus correspondra à une certaine trajectoire de phase.

L'ensemble de toutes les valeurs possibles des états () est appelé l'espace d'état de l'objet de modélisation Z, et z k Z.

État du système S dans l'intervalle de temps t 0 , où l'entrée, les paramètres internes et les effets de l'environnement externe, qui ont eu lieu pendant l'intervalle de temps t * - t 0 en utilisant 2 équations vectorielles :

; (3)

autrement: . (5)

Temps en mod. S peut être considéré sur l'intervalle de simulation (t 0, T) à la fois continu et discret, c'est-à-dire quantifié sur un segment de longueur t.

Ainsi, sous le MM d'un objet, nous entendons un ensemble fini de variables () ainsi que des connexions mathématiques entre elles et des caractéristiques.

La modélisation est dite déterministe si les opérateurs F, sont déterministes, c'est-à-dire pour une entrée spécifique, la sortie est déterministe. La modélisation déterministe est un cas particulier de la modélisation stochastique. En pratique, modéliser des objets dans le domaine de l'analyse des systèmes aux premiers stades de la recherche est plus rationnel pour utiliser des schémas mathématiques standards : diff. équations, automates finis et probabilistes, QS, etc.

Pas possédé. un tel degré de généralité que les modèles (3), (4), typiques schémas mathématiques ont l'avantage de la simplicité et de la clarté, mais avec un rétrécissement significatif du champ d'application.

Comme déterministe modèles, lorsqu'un fait aléatoire n'est pas pris en compte dans l'étude, des équations différentielles, intégrales et autres sont utilisées pour représenter des systèmes fonctionnant en temps continu, et des automates finis et des schémas de différences finies sont utilisés pour représenter des systèmes fonctionnant en temps discret.

Au début des modèles stochastiques (prenant en compte un facteur aléatoire), des automates probabilistes sont utilisés pour représenter des systèmes à temps discret, et des systèmes de files d'attente (QS) sont utilisés pour représenter des systèmes à temps continu. La dite agrégat des modèles.

Les modèles agrégés (systèmes) permettent de décrire un large éventail d'objets de recherche avec un reflet de la nature systémique de ces objets. C'est avec une description agrégée qu'un objet complexe est divisé en un nombre fini de parties (sous-systèmes), tout en maintenant des connexions, assurant l'interaction des parties.

Pour utiliser un ordinateur dans la résolution de problèmes appliqués, tout d'abord, le problème appliqué doit être "traduit" dans un langage mathématique formel, c'est-à-dire pour un objet, un processus ou un système réel, il doit être construit modèle mathématique.

Les modèles mathématiques sous forme quantitative, utilisant des constructions logiques et mathématiques, décrivent les propriétés de base d'un objet, d'un processus ou d'un système, ses paramètres, ses connexions internes et externes.

Pour construire un modèle mathématique nécessaire:

1. analyser soigneusement un objet ou un processus réel ;
2. mettre en évidence ses caractéristiques et propriétés les plus essentielles ;
3. définir des variables, c'est-à-dire paramètres dont les valeurs affectent les principales caractéristiques et propriétés de l'objet;
4. décrire la dépendance des propriétés de base d'un objet, d'un processus ou d'un système à la valeur de variables à l'aide de relations logiques et mathématiques (équations, égalité, inégalité, constructions logiques et mathématiques);
5. surligner communications internes un objet, un processus ou un système utilisant des contraintes, des équations, des égalités, des inégalités, des constructions logiques et mathématiques ;
6. définir des relations extérieures et les décrire à l'aide de contraintes, d'équations, d'égalités, d'inégalités, de constructions logiques et mathématiques.

Modélisation mathématique, en plus d'étudier un objet, un processus ou un système et d'en compiler la description mathématique, comprend également :

1. construction d'un algorithme qui simule le comportement d'un objet, d'un processus ou d'un système ;
2. examen adéquation du modèle et un objet, un processus ou un système basé sur une expérience informatique et naturelle ;
3. correction du modèle;
4. utilisation du modèle.

La description mathématique des processus et systèmes étudiés dépend :

1. la nature d'un processus ou d'un système réel et est compilé sur la base des lois de la physique, de la chimie, de la mécanique, de la thermodynamique, de l'hydrodynamique, de l'électrotechnique, de la théorie de la plasticité, de la théorie de l'élasticité, etc.
2. la fiabilité et la précision requises de l'étude et de l'étude de processus et de systèmes réels.

Au stade du choix d'un modèle mathématique, sont établis : la linéarité et la non-linéarité d'un objet, processus ou système, le dynamisme ou la staticité, la stationnarité ou la non-stationnarité, ainsi que le degré de déterminisme de l'objet ou du processus étudié. Dans la modélisation mathématique, ils détournent délibérément de la nature physique spécifique des objets, des processus ou des systèmes et, principalement, se concentrent sur l'étude des relations quantitatives entre les quantités décrivant ces processus.

Modèle mathématique n'est jamais totalement identique à l'objet, au processus ou au système considéré. Basé sur la simplification, l'idéalisation, c'est une description approximative d'un objet. Par conséquent, les résultats obtenus dans l'analyse du modèle sont approximatifs. Leur précision est déterminée par le degré d'adéquation (conformité) du modèle et de l'objet.

Commence généralement par la construction et l'analyse du modèle mathématique le plus simple et le plus brut de l'objet, du processus ou du système en question. À l'avenir, si nécessaire, le modèle est affiné, sa correspondance avec l'objet est rendue plus complète.

Prenons un exemple simple. Il est nécessaire de déterminer la surface du bureau. Habituellement, pour cela, sa longueur et sa largeur sont mesurées, puis les nombres résultants sont multipliés. Cette procédure élémentaire signifie en fait ce qui suit : un objet réel (surface de la table) est remplacé par un modèle mathématique abstrait - un rectangle. Les dimensions obtenues à la suite de la mesure de la longueur et de la largeur de la surface de la table sont attribuées au rectangle, et la surface d'un tel rectangle est approximativement considérée comme la surface de table requise.

Cependant, le modèle rectangulaire pour le bureau est le modèle le plus simple et le plus brut. Dans une approche plus sérieuse du problème, avant d'utiliser le modèle rectangle pour déterminer la surface de la table, ce modèle doit être vérifié. Les vérifications peuvent être effectuées comme suit : mesurez les longueurs des côtés opposés de la table, ainsi que la longueur de ses diagonales, et comparez-les entre elles. Si, avec le degré de précision requis, les longueurs des côtés opposés et les longueurs des diagonales sont égales deux à deux, alors la surface de la table peut vraiment être considérée comme un rectangle. Dans le cas contraire, le modèle rectangle devra être rejeté et remplacé par un modèle quadrilatéral général. Avec une exigence de précision plus élevée, il peut être nécessaire d'aller encore plus loin pour affiner le modèle, par exemple, pour prendre en compte l'arrondi des coins de la table.

Avec cet exemple simple, il a été montré que modèle mathématique n'est pas uniquement déterminé par l'objet, le processus ou le système à l'étude. Pour un même tableau, on peut accepter soit un modèle rectangle, soit un modèle quadrilatère général plus complexe, soit un quadrilatère à coins arrondis. Le choix d'un modèle particulier est déterminé par l'exigence de précision. Avec une précision croissante, le modèle doit être compliqué, en tenant compte des caractéristiques nouvelles et nouvelles de l'objet, du processus ou du système étudié.

Prenons un autre exemple : l'étude du mouvement du mécanisme à manivelle (Fig. 2.1).

Riz. 2.1.

Pour l'analyse cinématique de ce mécanisme, il faut tout d'abord construire son modèle cinématique. Pour ça:

1. On remplace le mécanisme par son schéma cinématique, où tous les maillons sont remplacés liens serrés;
2. En utilisant ce schéma, nous dérivons l'équation du mouvement du mécanisme;
3. En différenciant ces dernières, on obtient les équations des vitesses et de l'accélération, qui sont des équations différentielles du 1er et du 2ème ordre.

Écrivons ces équations :

où C 0 est la position extrême droite du curseur C :

r est le rayon de la manivelle AB ;

l est la longueur de la bielle BC ;

- angle de rotation de la manivelle ;

A reçu équations transcendantales représentent un modèle mathématique du mouvement d'un mécanisme à manivelle axiale plate basé sur les hypothèses simplificatrices suivantes :

1. nous ne nous sommes pas intéressés aux formes constructives et à la disposition des masses comprises dans le mécanisme des corps, et nous avons remplacé tous les corps du mécanisme par des segments de droite. En fait, tous les maillons du mécanisme sont massifs et de forme assez complexe. Par exemple, une bielle est une liaison préfabriquée complexe, dont la forme et les dimensions, bien entendu, affecteront le mouvement du mécanisme ;
2. lors du mouvement du mécanisme considéré, nous n'avons pas non plus tenu compte de l'élasticité des corps inclus dans le mécanisme, c'est-à-dire tous les liens étaient considérés comme des corps abstraits absolument rigides. En réalité, tous les corps entrant dans le mécanisme sont des corps élastiques. Lorsque le mécanisme bouge, ils se déforment en quelque sorte, des vibrations élastiques peuvent même s'y produire. Tout cela, bien sûr, affectera également le mouvement du mécanisme;
3. nous n'avons pas tenu compte de l'erreur de fabrication des maillons, des jeux dans les couples cinématiques A, B, C, etc.

Ainsi, il est important de souligner une fois de plus que plus les exigences d'exactitude des résultats de la résolution du problème sont élevées, plus il est nécessaire de prendre en compte lors de construire un modèle mathématique caractéristiques de l'objet, du processus ou du système étudié. Cependant, il est important de s'arrêter ici à l'époque, car la difficile modèle mathématique peut devenir un problème difficile.

Le plus simple est de construire un modèle lorsque les lois régissant le comportement et les propriétés d'un objet, d'un processus ou d'un système sont bien connues et qu'il existe une vaste expérience pratique de leur application.

Une situation plus complexe survient lorsque notre connaissance de l'objet, du processus ou du système étudié est insuffisante. Dans ce cas, pour construire un modèle mathématique il est nécessaire de faire des hypothèses supplémentaires qui sont de la nature des hypothèses, un tel modèle est dit hypothétique. Les conclusions tirées de l'étude d'un tel modèle hypothétique sont conditionnelles. Pour vérifier les conclusions, il est nécessaire de comparer les résultats de l'étude du modèle sur ordinateur avec les résultats d'une expérience à grande échelle. Ainsi, la question de l'applicabilité d'un certain modèle mathématique à l'étude de l'objet, du processus ou du système considéré n'est pas une question mathématique et ne peut pas être résolue par des méthodes mathématiques.

Le critère principal de la vérité est l'expérience, la pratique au sens le plus large du terme.

Construire un modèle mathématique dans les problèmes appliqués - l'une des étapes les plus difficiles et les plus cruciales du travail. L'expérience montre que dans de nombreux cas, choisir le bon modèle signifie résoudre le problème à plus de la moitié. La difficulté de cette étape est qu'elle nécessite une combinaison de connaissances mathématiques et particulières. Par conséquent, il est très important que, lors de la résolution de problèmes appliqués, les mathématiciens aient des connaissances particulières sur l'objet et que leurs partenaires, les spécialistes, aient une certaine culture mathématique, une expérience de la recherche dans leur domaine, des connaissances en informatique et en programmation.