Enveloppe du signal. Enveloppe physique, phase totale et fréquence instantanée d'un signal à bande étroite. Densité spectrale du signal analytique
Nous décrirons ci-dessous une autre méthode de représentation complexe de signaux, souvent utilisée dans les études théoriques. Excellente fonctionnalité cette méthode est qu'il permet d'introduire les notions d'enveloppe et de fréquence instantanée d'un signal sans le degré d'incertitude caractéristique de la méthode de l'enveloppe complexe.
Signal analytique. La formule d'Euler
représentant une oscillation harmonique comme la somme de deux fonctions conjuguées complexes, suggère qu'un signal arbitraire s(t) avec une densité spectrale connue peut être écrit comme la somme de deux composantes, dont chacune contient soit uniquement des fréquences positives, soit uniquement des fréquences négatives.
Appelons la fonction
un signal analytique correspondant à une oscillation réelle s(t). La première des intégrales du côté droit de la formule (5.37) en changeant une variable est transformée sous la forme
Par conséquent, la formule (5.37) établit une connexion entre les signaux ou
Partie imaginaire du signal analytique
est appelé le signal conjugué par rapport à l'oscillation originale s(t). Donc le signal analytique
sur le plan complexe, il est affiché sous forme de vecteur dont l'amplitude et l'angle de phase varient avec le temps. La projection du signal analytique sur l'axe réel à tout moment est égale au signal original s(t).
L'introduction de signaux analytiques et conjugués ne nous permet bien entendu pas d'apprendre de nouvelles informations qui ne seraient pas contenues dans modèle mathématique signal s(t). Cependant, ces nouveaux concepts ouvrent une voie directe à la création de méthodes systématiques d’étude des oscillations à bande étroite.
À l'aide d'un exemple spécifique, nous montrerons une méthode de calcul d'un signal analytique à partir d'un spectre connu du signal d'origine.
Exemple 5.6. Soit un signal basse fréquence idéal avec des paramètres connus (voir § 5.1).
Dans ce cas, le signal analytique
En isolant les parties réelles et imaginaires, on obtient
Les graphiques de ces deux signaux sont présentés sur la Fig. 6.3.
Riz. 5.3. Signaux source et conjugués : 1 - signal basse fréquence idéal ; 2 - signal qui lui est associé
Densité spectrale du signal analytique.
Examinons la densité spectrale du signal analytique, c'est-à-dire la fonction associée à la transformée de Fourier :
Sur la base de la formule (5.38), on peut affirmer que cette fonction est non nulle uniquement dans la région des fréquences positives :
Si est la densité spectrale du signal conjugué, alors en raison de la linéarité de la transformée de Fourier
Par conséquent, l'égalité (5.42) ne sera satisfaite que dans le cas où les densités spectrales des signaux originaux et conjugués sont liées les unes aux autres comme suit :
De manière abstraite, on peut imaginer cette manière d'obtenir un signal conjugué : l'oscillation originale est introduite à l'entrée d'un système, qui fait tourner les phases de toutes les composantes spectrales d'un angle de -90° dans la région des fréquences positives et d'un angle de 90° dans la région des fréquences négatives, sans modifier leur amplitude. Un système ayant des propriétés similaires est appelé filtre en quadrature.
Transformation de Hilbert.
La formule (5.44) montre que la densité spectrale du signal conjugué est le produit du spectre du signal original et de la fonction -. Par conséquent, le signal conjugué est une convolution de deux fonctions : , qui est la transformée de Fourier inverse de la fonction .
Pour faciliter le calcul, représentons cette fonction comme une limite :
Ainsi, le signal conjugué est lié au signal original par la relation
Vous pouvez le faire différemment, en exprimant le signal par lequel il est censé être connu. Pour ce faire, il suffit de noter que la relation suivante entre densités spectrales découle de (5.44) :
Par conséquent, la formule correspondante ne différera de (5.45) que par le signe :
Les formules (5.45) et (5.46) sont connues en mathématiques sous le nom de transformations de Hilbert directes et inverses.
Leur notation symbolique est la suivante :
Puisque la fonction, appelée noyau de ces transformations, présente une discontinuité aux intégrales (5.45) et (5.46) il faut l'entendre au sens de valeur principale. Par exemple:
Quelques propriétés des transformées de Hilbert.
La propriété la plus simple de ces transformations intégrales est leur linéarité :
pour toutes les constantes, qui peuvent être vérifiées directement.
Le noyau de la transformée de Hilbert est une fonction impaire de l'argument relatif au point a, ce qui signifie que le signal conjugué à la constante est identiquement égal à zéro :
Une propriété importante de la transformée de Hilbert est la suivante : si à tout moment le signal original s(t) atteint un extremum (maximum ou minimum), alors au voisinage de ce point, le signal conjugué passe par zéro. Pour vérifier cela, vous devez combiner les graphiques de s(t) et des noyaux dans un seul dessin. Soit la valeur de t proche de celle pour laquelle la fonction est extrémale. Puisque le signal est ici une fonction paire et que le noyau est impair, une compensation sera observée pour les zones des figures limitées par l'axe horizontal et la courbe qui décrit l'intégrande de la transformée de Hilbert. Au sens figuré, si le signal d'origine change au fil du temps « comme un cosinus », alors le signal qui lui est associé changera « comme un sinus ».
Notez que les transformées de Hilbert sont de nature non locale : amener le signal conjugué à proximité de n'importe quel point dépend des propriétés du signal d'origine sur tout l'axe du temps, bien que la plus grande contribution vienne bien sûr d'un voisinage assez proche. du point en question.
Hilbert transforme les signaux harmoniques.
Calculons les signaux associés aux oscillations harmoniques et Les résultats peuvent être obtenus directement à partir de la formule (5.45). Cependant, il est plus facile de procéder de cette façon. Supposons qu'un signal arbitraire soit donné par sa représentation de Fourier :
Sur la base de la relation (5.44), nous trouvons une représentation similaire du signal conjugué :
En considérant ensemble les formules (5.48) et (5.49), on trouve les lois de transformation de Hilbert suivantes :
Transformée de Hilbert pour le signal à bande étroite
Soit connue la fonction - la densité spectrale de l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite s(t) avec une fréquence de référence . D'après la formule (5.36), le spectre de ce signal
Le premier terme de droite correspond à la gamme de fréquences du second - Puis, d'après la formule (5.44), le spectre du signal conjugué
d'où l'on peut voir que la densité spectrale de l'enveloppe complexe du signal conjugué
Ainsi, le signal conjugué dans ce cas est également à bande étroite. Si l'enveloppe complexe du signal original
alors, conformément à l'égalité (5.53), l'enveloppe complexe du signal conjugué
ne diffère de la flexion complexe de la vibration initiale que par la présence d'un déphasage constant de 90° vers le retard.
Il s'ensuit que le signal à bande étroite
correspond au signal conjugué de Hilbert
Calculez l'enveloppe, la phase totale et la fréquence instantanée.
Dans le cadre de la méthode de transformée de Hilbert, l'enveloppe d'un signal arbitraire est définie comme le module du signal analytique correspondant :
La faisabilité d'une telle définition peut être vérifiée à l'aide de l'exemple d'un signal à bande étroite. A l'aide des formules (5.54) et (5.55), on trouve que l'enveloppe d'un tel signal
Au § 5.3, cette formule a été obtenue à partir d'autres considérations.
Par définition, la phase totale de tout signal est égale à l'argument du signal analytique
(5-57)
Enfin, la fréquence instantanée du signal est la dérivée de la phase totale par rapport au temps :
Considérons des exemples illustrant le calcul des caractéristiques indiquées des signaux à bande étroite.
Exemple 5.7. Étant donné une simple oscillation harmonique
Dans ce cas, le signal conjugué est l'enveloppe du signal original
naturellement, ne dépend pas du temps et est égale à son amplitude.
Phase totale et enfin fréquence instantanée Cet exemple montre que la détermination de l'enveloppe, de la phase totale et de la fréquence instantanée par la transformée de Hilbert conduit à des résultats cohérents avec les idées conventionnelles sur les propriétés des oscillations harmoniques.
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On représente l'enveloppe complexe (2.124) sous forme exponentielle
Où Euh(t) est une fonction réelle positive du temps appelée enveloppe physique(souvent - enveloppe);
Il est très important que le concept d’enveloppe physique d’un signal à bande étroite coïncide avec le concept d’enveloppe de forme d’onde modulée.
Enveloppe physique Euh(t) et la phase u (f) sont liées aux amplitudes en phase et en quadrature du signal à bande étroite par les relations suivantes :
Des relations (2.127) découle une autre forme généralisée du modèle mathématique d'un signal à bande étroite, qui est utilisée dans la théorie de la modulation :
D'après la relation (2.128), un signal à bande étroite est une oscillation complexe résultant d'une modulation simultanée du signal harmonique porteur à la fois en amplitude et en angle de phase.
Exemple 2.10
Un signal à bande étroite est émis, qui a la forme d'une oscillation LM à tonalité unique : et(C)= U t ( 1 + McosQ/)cos(co 0 / + i/4). Définissons l'enveloppe complexe Euh(t), en phase Un et (?) et quadrature Mais) amplitude de ce signal.
Solution
Choisissons la valeur c 0 comme fréquence de référence du signal bande étroite. Ensuite, d'après la formule (2.126), on obtient l'expression suivante pour l'enveloppe complexe d'un signal bande étroite :
Puisque cos(rc/4) = sin(K/4) = У2/2, alors d'après les formules (2.127) on trouve
Par analogie avec les signaux à modulation d'angle, nous introduisons la notion de phase instantanée (pleine) d'un signal à bande étroite
Définissons fréquence instantanée en dérivée de la phase totale du signal :
Propriétés de base de l'enveloppe physique d'un signal à bande étroite.
A l'aide des relations (2.127), on exprime l'enveloppe physique Euh(t)à travers les amplitudes en phase et en quadrature d'un signal arbitraire à bande étroite :
En comparant les formules (2.124) et (2.130), il est facile de voir que l'enveloppe physique est le module de l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite.
Évaluons l'influence de la fréquence de référence à partir de 0 sur les deux enveloppes du signal bande étroite. Dans le cas général, l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite est déterminée de manière ambiguë. Si au lieu de la fréquence de référence с 0 incluse dans la formule (2.125), on prend une certaine fréquence C0j = со () + Дсо, alors le signal d'origine Utah) prend la forme
Puis la nouvelle valeur de l'enveloppe complexe U" u (t) = U u (t)e~ jAxot .
Cependant, l'enveloppe physique du signal à bande étroite restera inchangée lorsque la fréquence change, puisque |e_yLo) "| = 1.
La deuxième propriété de l'enveloppe physique est à tout moment pour un signal à bande étroite Utah) Euh(t). La validité de cette affirmation découle de la relation (2.128). Le signe égal correspond ici aux instants où le facteur cos|co 0 ? + f u (?)] = 1. On peut supposer que l'enveloppe physique « enveloppe » réellement les amplitudes du signal à bande étroite et est son amplitude instantanée. La valeur du concept d'enveloppe est due au fait que dans les systèmes de communication, les détecteurs d'amplitude (démodulateurs) sont largement utilisés, capables de reproduire l'enveloppe d'un signal à bande étroite avec une grande précision.
Propriétés de base de la fréquence instantanée d'un signal à bande étroite. Si l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite est représentée par un vecteur qui tourne sur le plan complexe avec une certaine constante vitesse angulaire Q, c'est-à-dire analytiquement, le signal est décrit par la fonction U u (t) = = U u (t)e ±jnt , alors, d'après la formule (2.129), la fréquence instantanée de cette oscillation est constante dans le temps et donc cd m = с 0 ± Q.
On peut montrer que, dans le cas général, la fréquence instantanée d'un signal à bande étroite varie dans le temps selon la loi
Relation entre le spectre d'un signal à bande étroite et son enveloppe complexe. Soit 5(co) la densité spectrale du signal à bande étroite tu (t)y enveloppe complexe Euh(t) qui, à son tour, a une densité spectrale Vous (à). En utilisant la relation (2.125), nous déterminons la relation entre les densités spectrales signal physique et son enveloppe complexe, écrivant la transformée de Fourier directe :
Où U*(t) - enveloppe conjuguée complexe ; U m *(co) - densité spectrale conjuguée complexe de l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite Euh(t).
De la formule (2.131), il s'ensuit que la densité spectrale d'un signal à bande étroite 5(co) peut être trouvée en transférant le spectre de l'enveloppe complexe V m (co) du voisinage de co = 0 au voisinage de la référence fréquences co = ±co (). Dans ce cas, les amplitudes de toutes les composantes spectrales du signal sont réduites de moitié. A noter que pour déterminer le spectre du signal dans la région des fréquences négatives, l'opération de conjugaison complexe est utilisée.
La formule (2.131) nous permet d'utiliser la densité spectrale connue d'un signal à bande étroite pour trouver le spectre de son enveloppe complexe, qui, à son tour, détermine entièrement son enveloppe physique et sa fréquence instantanée.
Exemple 2.11
Le signal à bande étroite est une impulsion radio de forme exponentielle, écrite analytiquement sous la forme u(t) = U m e""depuis/. Définissons l'enveloppe complexe Euh(t), la densité spectrale d'un signal donné S(co) et la densité spectrale V/co) de son enveloppe complexe.
Solution
Soit la fréquence de référence égale à 0. Puisque sin co/ = cos(co/ - l/2), alors la phase initiale u(t) =-l/2. En utilisant la relation (2.126) et la formule d’Euler, nous obtenons l’expression suivante pour l’enveloppe complexe du signal :
A l'aide de la transformée de Fourier directe, on trouve la densité spectrale de l'enveloppe complexe :
Nous calculons de la même manière la densité spectrale d’un signal à bande étroite.