Caractéristiques fréquentielles et temporelles des circuits linéaires. Calcul des caractéristiques temporelles des circuits électriques linéaires Calcul de la réponse à une influence d'entrée donnée

1. TÂCHE

Schéma du circuit étudié [Fig. 1] N° 22, conformément à l'option de tâche 22 - 13 - 5 - 4. Paramètres des éléments du circuit : L = 2 mH, R = 2 kOhm, C = 0,5 nF.

L'influence externe est spécifiée par la fonction : , où a est calculé à l'aide de la formule (1) et est égal à .

Figure 1. Schéma électrique d'un circuit donné

Il faut déterminer :

a) expression des paramètres primaires d'un réseau à deux ports donné en fonction de la fréquence ;

b) coefficient de transfert de tension complexe d'un réseau à quatre bornes en mode sans charge aux bornes ;

c) caractéristiques amplitude-fréquence et phase-fréquence du coefficient de transmission de tension ;

d) coefficient de transfert de tension d'opérateur d'un réseau à quatre bornes en mode à vide aux bornes ;

e) réponse transitoire du circuit ;

e) réponse impulsionnelle chaînes;

g) réponse du circuit à une influence d'entrée donnée lorsque la charge est éteinte.

2. PARTIE CALCUL

.1 Détermination des paramètres primaires d'un réseau à quatre ports

Pour déterminer les paramètres Z - d'un réseau à quatre bornes, nous établirons des équations pour l'équilibre électrique du circuit en utilisant la méthode du courant de boucle utilisant un circuit de circuit équivalent complexe [Fig. 2] :

Figure 2. Circuit équivalent complexe d'un circuit électrique donné

En choisissant le sens de parcours des contours, comme indiqué dans la [Fig. 2], et considérant que

Écrivons les équations de contour du circuit :

Remplaçons les valeurs et dans les équations résultantes :

(2)

Les équations résultantes (2) contiennent uniquement des courants et des tensions aux bornes d'entrée et de sortie du quadripôle et peuvent être converties en la forme standard d'écriture des équations de base du quadripôle sous la forme Z :

(3)

En transformant les équations (2) pour former (3), on obtient :

En comparant les équations résultantes avec les équations (3), nous obtenons :

amplitude en boucle ouverte de tension quadripolaire

2.2 Détermination du gain de tensionen mode veille en sortie

On retrouvera le coefficient complexe de transfert de tension de bornes à bornes en mode à vide () en sortie en utilisant ceux obtenus au paragraphe 2.1 expressions pour les paramètres primaires :

2.3 Détermination de l'amplitude-fréquenceet fréquence de phasecaractéristiques de gain de tension

Considérons l'expression résultante pour comme le rapport de deux nombres complexes et trouvons l'expression de la réponse en fréquence et de la réponse en phase.

La réponse en fréquence ressemblera à :

De la formule (4), il s'ensuit que la réponse de phase aura la forme :

Où, rad/s est obtenu à partir de l'équation

Les graphiques de réponse en fréquence et de réponse en phase sont présentés à la page suivante. [Fig.3, Fig.4]

Figure 3. Réponse amplitude-fréquence

Figure 4. Réponse de phase

Valeurs limites et à Pour contrôler les calculs, il est utile de déterminer sans recourir à des formules de calcul :

· considérant que la résistance d'inductance à courant constant est nulle et que la résistance de capacité est infiniment grande dans le circuit [voir. Fig1] vous pouvez casser la branche contenant la capacité et remplacer l'inductance par un cavalier. Dans le circuit résultant et, puisque la tension d'entrée est en phase avec la tension aux bornes ;

· à une fréquence infiniment élevée, la branche contenant l'inductance peut être cassée, car la résistance d'inductance tend vers l'infini. Malgré le fait que la résistance du condensateur tend vers zéro, elle ne peut pas être remplacée par un cavalier, car la tension aux bornes du condensateur est une réponse. Dans le diagramme résultant [voir Fig.5], lorsque , , le courant d'entrée est en avance sur la tension d'entrée en phase de , et la tension de sortie est en phase avec la tension d'entrée, donc .

Figure 5. Schéma électrique d'un circuit donné à.

2.4 Détermination du gain de tension de l'opérateurquadripôle en mode veille aux bornes

Le circuit équivalent opérateur du circuit ne diffère pas en apparence du circuit équivalent complexe [Fig. 2], puisque l'analyse du circuit électrique est effectuée dans des conditions initiales nulles. Dans ce cas, pour obtenir le coefficient de transmission de tension de l'opérateur, il suffit de remplacer l'opérateur dans l'expression du coefficient de transmission complexe :

Transformons la dernière expression pour que les coefficients des puissances les plus élevées au numérateur et au dénominateur soient égaux à un :

La fonction a deux pôles conjugués complexes : ; et un vrai zéro : .

Figure 6. Diagramme pôle-zéro de la fonction

Le diagramme pôle-zéro de la fonction est illustré à la Fig. 6. Les processus transitoires dans le circuit ont une nature oscillatoire amortie.

2.5 Définition de la transitionet le poulscaractéristiques des circuits

L'expression de l'opérateur permet d'obtenir des images des caractéristiques transitoires et impulsionnelles. Il est pratique de déterminer la réponse transitoire en utilisant la relation de Laplace entre l'image réponse transitoire et coefficient de transmission opérateur :

(5)

La réponse impulsionnelle du circuit peut être obtenue à partir des relations :

(6)

(7)

À l'aide des formules (5) et (6), nous écrivons les expressions pour les images des caractéristiques impulsionnelles et transitoires :

Transformons les images des caractéristiques transitoires et impulsionnelles en une forme pratique pour déterminer les caractéristiques temporelles d'origine à l'aide des tables de transformation de Laplace :

(8)

(9)

Ainsi, toutes les images se réduisent aux fonctions opérateurs suivantes, dont les originaux sont donnés dans les tableaux des transformées de Laplace :

(12)

Considérant que pour le cas à l'étude , , , trouvons les valeurs des constantes pour l'expression (11) et les valeurs des constantes pour l'expression (12).

Pour l'expression (11) :

Et pour l'expression (12) :

En substituant les valeurs obtenues dans les expressions (11) et (12), on obtient :

Après les transformations, on obtient les expressions finales pour les caractéristiques temporelles :

Le processus transitoire dans ce circuit se termine après la commutation dans un délai , Où - est défini comme l'inverse de la valeur minimale absolue de la partie réelle du pôle. Parce que , alors le temps de décroissance est de (6 - 10) μs. En conséquence, nous sélectionnons l'intervalle de calcul des valeurs numériques des caractéristiques temporelles . Des graphiques des caractéristiques transitoires et impulsionnelles sont présentés sur les figures 7 et 8.

Pour une explication qualitative du type de caractéristiques transitoires et impulsionnelles du circuit, une source de tension indépendante est connectée aux bornes d'entrée. La réponse transitoire du circuit coïncide numériquement avec la tension aux bornes de sortie lorsque le circuit est exposé à une seule surtension dans des conditions initiales nulles. Au moment initial après la commutation, la tension sur le condensateur est nulle, car selon les lois de commutation, à une valeur finie de l'amplitude du saut, la tension sur le condensateur ne peut pas changer brusquement. Par conséquent, c'est le cas. Lorsque la tension d'entrée peut être considérée comme constante et égale à 1V, c'est-à-dire. Ainsi, seuls des courants continus peuvent circuler dans le circuit, donc la capacité peut être remplacée par une coupure, et l'inductance par un cavalier, donc dans un circuit ainsi transformé. La transition de l'état initial à l'état stationnaire se produit selon un mode oscillatoire, qui s'explique par le processus d'échange d'énergie périodique entre l'inductance et la capacité. L'amortissement des oscillations se produit en raison des pertes d'énergie dans la résistance R.

Figure 7. Réponse par étapes.

Figure 8. Réponse impulsionnelle.

La réponse impulsionnelle du circuit coïncide numériquement avec la tension de sortie lorsqu'une seule impulsion de tension est appliquée à l'entrée. . Lors de l'action d'une seule impulsion, la capacité est chargée à sa valeur maximale et la tension aux bornes de la capacité devient égale

.

Lorsque la source de tension peut être remplacée par un cavalier court-circuité, un processus oscillatoire amorti d'échange d'énergie entre l'inductance et la capacité se produit dans le circuit. Au stade initial, la capacité est déchargée, le courant de capacité diminue progressivement jusqu'à 0 et le courant d'inductance augmente jusqu'à son valeur maximaleà . Puis le courant inductif, diminuant progressivement, recharge la capacité en sens inverse, etc. Lorsque, en raison de la dissipation d'énergie dans la résistance, tous les courants et tensions dans le circuit tendent vers zéro. Ainsi, la nature oscillatoire de la tension aux bornes du condensateur, qui décroît avec le temps, explique le type de réponse impulsionnelle, et Et .

L'exactitude du calcul de la réponse impulsionnelle est confirmée qualitativement par le fait que le graphique de la figure 8 passe par 0 aux moments où le graphique de la figure 7 a des extrema locaux et que les maxima coïncident dans le temps avec l'inflexion. points du graphique. Et aussi l'exactitude des calculs est confirmée par le fait que les graphiques et , conformément à la formule (7), coïncident. Pour vérifier l'exactitude de la recherche de la caractéristique transitoire du circuit, nous retrouverons cette caractéristique lorsque le circuit est exposé à une seule surtension en utilisant la méthode classique :

Trouvons des conditions initiales indépendantes ():

Trouvons les conditions initiales dépendantes () :

Pour ce faire, tournons-nous vers la figure 9, qui montre le schéma de circuit à l'instant , nous obtenons alors :

Figure 9. Schéma de circuit à un instant donné.

Trouvons la composante forcée de la réponse :

Pour ce faire, tournons-nous vers la figure 10, qui montre le schéma de circuit après commutation. Ensuite, nous obtenons cela

Figure 10. Schéma de circuit pour.

Composons équation différentielle:

Pour ce faire, nous écrivons d’abord l’équation du bilan actuel dans le nœud selon la première loi de Kirchhoff et écrivons quelques équations basées sur la deuxième loi de Kirchhoff :

En utilisant les équations des composants, nous transformons la première équation :

Exprimons toutes les tensions inconnues par :

Maintenant, en différenciant et en transformant, nous obtenons une équation différentielle du second ordre :

Remplaçons les constantes connues et obtenons :

5. Écrivons l’équation caractéristique et trouvons ses racines :
à zéro. La constante de temps et la quasi-période des fluctuations temporelles sont les mêmes que les résultats obtenus à partir de l'analyse du gain de l'opérateur ; La réponse en fréquence du circuit considéré est proche de la réponse en fréquence d'un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure .

Liste de la littérature utilisée

1. Popov V.P. Fondements de la théorie des circuits : Manuel pour les universités - 4e éd., révisé. - M. : Plus haut. école, 2003. - 575 pp. : ill.

Korn G., Korn T., Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants universitaires. M. : Nauka, 1973, 832 p.

Fonctions unitaires et leurs propriétés Une place importante dans la théorie des circuits linéaires est occupée par l'étude de la réaction de ces circuits aux influences extérieures idéalisées, décrites par les fonctions dites unitaires. Une fonction pas unitaire (fonction Heaviside) est la fonction : Le graphique de la fonction 1(t-t 0) a la forme d'un pas ou d'un saut dont la hauteur est 1. Un saut de ce type sera appelé unité.

Fonctions unitaires et leurs propriétés Du fait que le produit de toute fonction temporelle bornée f(t) par 1(t-t 0) est égal à zéro à t

Fonctions de l'unité et leurs propriétés Si à t=t 0 une source de courant ou de tension harmonique est incluse dans le circuit, alors l'influence externe sur le circuit peut être représentée comme suit : Si l'influence externe sur le circuit au temps t=t 0 change brusquement d'une valeur fixe X 1 à une autre X 2, puis

Fonctions unitaires et leurs propriétés Une influence externe sur un circuit, ayant la forme d'une impulsion rectangulaire de hauteur X et de durée ti (Fig.), peut être représentée comme la différence entre deux sauts identiques décalés dans le temps de ti

Fonctions unitaires et leurs propriétés Considérons une impulsion rectangulaire de durée et de hauteur 1/ t (Fig.). Evidemment, l'aire de cette impulsion est égale à 1 et ne dépend pas de t. À mesure que la durée de l'impulsion diminue, sa hauteur augmente, et comme t→ 0 elle tend vers l'infini, mais l'aire reste égale à 1. Une impulsion de durée infiniment courte, de hauteur infiniment grande, dont l'aire est 1, sera appelée une impulsion unitaire. La fonction définissant l'impulsion unitaire est notée (t-t 0) et est appelée fonction δ ou fonction Dirac.

Fonctions unitaires et leurs propriétés À l'aide de la fonction δ, vous pouvez sélectionner les valeurs de la fonction f(t) à des instants arbitraires t 0. Cette caractéristique de la fonction δ est généralement appelée propriété de filtrage. À t 0 =0 images de caméra les fonctions unitaires ont une forme particulièrement simple :

Caractéristiques transitoires et impulsionnelles des circuits linéaires La réponse transitoire g(t-t 0) d'un circuit linéaire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes est le rapport de la réaction de ce circuit à l'influence d'un saut de courant ou de tension non unitaire à la hauteur de ce saut dans des conditions initiales nulles : La réponse transitoire du circuit est numériquement égale à la réaction du circuit à l'impact d'une seule surtension de courant ou de tension. La dimension de la caractéristique transitoire est égale au rapport de la dimension de réponse à la dimension de l'influence externe, donc la caractéristique transitoire peut avoir la dimension de résistance, de conductivité ou être une quantité sans dimension.

Caractéristiques transitoires et impulsionnelles des circuits linéaires La réponse impulsionnelle h(t-t 0) d'un circuit linéaire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes est le rapport de la réaction de ce circuit à l'action d'une impulsion infiniment courte de hauteur infiniment grande et de surface finie à l'aire de cette impulsion dans des conditions initiales nulles : La réponse impulsionnelle du circuit est numériquement égale à la réaction du circuit à l'action d'une seule impulsion. La dimension de la réponse impulsionnelle est égale au rapport de la dimension de la réponse du circuit au produit de la dimension de l'influence externe et du temps.

Caractéristiques transitoires et impulsionnelles des circuits linéaires Comme les caractéristiques complexes de fréquence et d'opérateur d'un circuit, les caractéristiques transitoires et impulsionnelles établissent un lien entre l'influence externe sur le circuit et sa réaction. Cependant, contrairement aux caractéristiques complexes de fréquence et d'opérateur, l'argument de les caractéristiques transitoires et impulsionnelles sont le temps t, et non la fréquence angulaire ω ou la fréquence p complexe. Puisque les caractéristiques d'un circuit dont l'argument est le temps sont appelées caractéristiques temporelles, et dont l'argument est la fréquence (y compris complexe) sont appelées caractéristiques fréquentielles, alors les caractéristiques transitoires et impulsionnelles font référence aux caractéristiques temporelles du circuit.

Caractéristiques transitoires et impulsionnelles des circuits linéaires Ainsi, la réponse impulsionnelle d'un circuit hkv(t) est une fonction dont l'image, selon Laplace, est l'opérateur caractéristique du circuit Hkv(p), et la réponse transitoire du circuit gkv( t) est une fonction dont l'image d'opérateur est égale à Hkv(p)/p.

Détermination de la réaction d'une chaîne à une influence extérieure arbitraire L'influence extérieure sur le circuit se présente sous la forme d'une combinaison linéaire du même type de composants élémentaires : et la réaction de la chaîne à une telle influence se retrouve sous la forme de une combinaison linéaire de réactions partielles à l'influence de chacune des composantes élémentaires de l'influence extérieure séparément : Vous pouvez choisir comme composantes élémentaires les influences extérieures, les plus répandues sont les influences élémentaires (test) sous la forme d'une fonction harmonique du temps, une un seul saut et une seule impulsion.

Détermination de la réponse d'un circuit à une influence externe arbitraire par sa réponse transitoire Considérons un circuit électrique linéaire arbitraire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes, dont la réponse transitoire g(t) est connue. Soit l'influence externe sur le circuit sous la forme d'une fonction arbitraire x=x(t), égale à zéro à t

Détermination de la réponse d'un circuit à une influence externe arbitraire par sa caractéristique transitoire La fonction x(t) peut être représentée approximativement comme une somme de sauts non unitaires ou, ce qui revient au même, comme une combinaison linéaire de sauts simples, décalés par rapport les uns aux autres par : Conformément à la définition de la caractéristique transitoire, la réponse du circuit à l'influence d'un saut non unitaire appliqué au temps t= k est égale au produit de la hauteur du saut et de la réponse transitoire du circuit g(t-k). Par conséquent, la réponse du circuit à l'impact représentée par la somme des sauts non unitaires (6.114) est égale à la somme des produits des hauteurs de saut et des caractéristiques transitoires correspondantes :

Détermination de la réponse d'un circuit à une influence externe arbitraire par sa réponse transitoire. De toute évidence, la précision de la représentation de l'action d'entrée sous la forme d'une somme de sauts non unitaires, ainsi que la précision de la représentation de la réponse du circuit, augmentent avec un pas de temps décroissant. Lorsque → 0, la sommation est remplacée par l'intégration : L'expression est connue sous le nom d'intégrale de Duhamel (intégrale de superposition). En utilisant cette expression, vous pouvez trouver la valeur exacte de la réponse du circuit à un impact donné x=x(t) à tout moment t après la commutation. L'intégration dans s'effectue sur l'intervalle t 0

Détermination de la réaction d'une chaîne à une influence externe arbitraire par sa caractéristique transitoire En utilisant l'intégrale de Duhamel, vous pouvez déterminer la réaction d'une chaîne à une influence donnée même dans le cas où l'influence externe sur la chaîne est décrite par une fonction continue par morceaux , c'est-à-dire une fonction qui a un nombre fini de pauses finies. Dans ce cas, l'intervalle d'intégration doit être divisé en plusieurs intervalles en fonction des intervalles de continuité de la fonction x=x(t) et prendre en compte la réaction du circuit aux sauts finis de la fonction x=x(t) aux points de rupture.

Circuits linéaires

Essai n°3

Questions d'auto-test

1. Énumérez les principales propriétés de la densité de probabilité variable aléatoire.

2. Comment la densité de probabilité et la fonction caractéristique d'une variable aléatoire sont-elles liées l'une à l'autre ?

3. Énumérez les lois fondamentales de la distribution d'une variable aléatoire.

4. Quelle est la signification physique de la dispersion d'un processus aléatoire ergodique ?

5. Donnez plusieurs exemples de systèmes linéaires et non linéaires, stationnaires et non stationnaires.

1. Un processus aléatoire s’appelle :

un. Toute modification accidentelle de certains grandeur physique dans le temps;

b. Un ensemble de fonctions temporelles qui obéissent à un modèle statistique commun ;

c. Un ensemble de nombres aléatoires qui obéissent à un modèle statistique qui leur est commun ;

d. Un ensemble de fonctions aléatoires du temps.

2. La stationnarité d'un processus aléatoire signifie que sur toute la période de temps :

un. L'espérance mathématique et la variance sont inchangées et la fonction d'autocorrélation dépend uniquement de la différence des valeurs temporelles t 1 et t 2 ;

b. L'espérance mathématique et la dispersion sont inchangées et la fonction d'autocorrélation dépend uniquement des heures de début et de fin du processus ;

c. L'espérance mathématique est inchangée et la variance dépend uniquement de la différence des valeurs temporelles t 1 et t 2 ;

d. La variance est inchangée et l'espérance mathématique dépend uniquement des heures de début et de fin du processus.

3. Un processus ergodique signifie que les paramètres d'un processus aléatoire peuvent être déterminés par :

un. Implémentations finales multiples ;

b. Une dernière mise en œuvre ;

c Une réalisation sans fin ;

d. Plusieurs implémentations infinies.

4. La densité spectrale de puissance du processus ergodique est :

un. Limite de la densité spectrale d'une implémentation tronquée divisée par le temps T;

b. Densité spectrale de la réalisation finale avec durée T, divisé par le temps T;

c. Limite de densité spectrale de mise en œuvre tronquée ;

d. Densité spectrale de la réalisation finale avec durée T.

5. Le théorème de Wiener-Khinchin est la relation entre :

un. Spectre énergétique et espérance mathématique d'un processus aléatoire ;

b. Spectre énergétique et dispersion d'un processus aléatoire ;

c. Fonction de corrélation et dispersion d'un processus aléatoire ;

d. Spectre énergétique et fonction de corrélation d'un processus aléatoire.

Le circuit électrique convertit les signaux arrivant à son entrée. Ainsi, dans le cas le plus général modèle mathématique les circuits peuvent être spécifiés sous la forme d'une relation entre l'influence d'entrée S dans (t) et réaction de sortie S dehors (t) :

S out (t)=TS in (t),

Où T– opérateur de chaîne.

Sur la base des propriétés fondamentales de l’opérateur, nous pouvons tirer une conclusion sur les propriétés les plus essentielles des circuits.

1. Si l'opérateur de la chaîne T ne dépend pas de l'amplitude de l'influence, alors le circuit est dit linéaire. Pour un tel circuit, le principe de superposition est valable, reflétant l'indépendance de l'action de plusieurs influences d'entrée :

T=TS in1 (t)+TS in2 (t)+…+TS inn (t).

Il est évident que lorsque transformation linéaire les signaux dans le spectre de réponse n'oscillent pas avec des fréquences différentes des fréquences du spectre d'impact.

La classe des circuits linéaires est constituée à la fois de circuits passifs, constitués de résistances, de condensateurs, d'inductances et de circuits actifs, qui comprennent également des transistors, des lampes, etc. Mais dans toute combinaison de ces éléments, leurs paramètres ne doivent pas dépendre de l'amplitude de l'influence.

2. Si un décalage temporel du signal d'entrée entraîne le même décalage du signal de sortie, c'est-à-dire

S out (t t 0) = TS in (t t 0),

alors le circuit est dit stationnaire. La propriété de stationnarité ne s'applique pas aux circuits contenant des éléments dont les paramètres varient dans le temps (inductances, condensateurs, etc.).

Les caractéristiques temporelles des circuits comprennent les caractéristiques transitoires et impulsionnelles.

Considérons un circuit électrique linéaire qui ne contient pas de sources indépendantes de courant et de tension.

Soit l'influence externe sur le circuit la fonction de commutation (saut unique) x(t) = 1(t - t 0).

Réponse par étapes h(t - t 0) d'un circuit linéaire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes est appelé le rapport de la réaction de ce circuit à l'influence d'un seul saut de courant ou de tension

La dimension de la caractéristique transitoire est égale au rapport de la dimension de réponse à la dimension de l'influence externe, donc la caractéristique transitoire peut avoir la dimension de résistance, de conductivité ou être une quantité sans dimension.

Soit l'influence externe sur le circuit sous la forme d'une fonction 

x(t) = ré(t - t 0).

Réponse impulsionnelle g (t - t 0) une chaîne linéaire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes est appelée la réaction de la chaîne à un impact sous la forme d'une fonction  dans des conditions initiales nulles/

La dimension de la réponse impulsionnelle est égale au rapport de la dimension de la réponse du circuit au produit de la dimension de l'influence externe et du temps.

Comme les caractéristiques complexes de fréquence et d'opérateur d'un circuit, les caractéristiques transitoires et impulsionnelles établissent un lien entre l'influence externe sur le circuit et sa réaction, cependant, contrairement aux premières caractéristiques, l'argument de cette dernière est le temps. t, pas angulaire w ou complexe p fréquence. Puisque les caractéristiques d'un circuit dont l'argument est le temps sont appelées temporaires et que les caractéristiques dont l'argument est la fréquence (y compris complexe) sont appelées caractéristiques de fréquence, alors les caractéristiques transitoires et impulsionnelles font référence aux caractéristiques temporelles du circuit.

Chaque caractéristique d'opérateur du circuit H k n (p) peut être associée à des caractéristiques transitoires et impulsionnelles.

(9.75)

À t0 = 0 les images d'opérateur des caractéristiques transitoires et impulsionnelles ont une forme simple

Les expressions (9.75), (9.76) établissent un lien entre les caractéristiques fréquentielles et temporelles du circuit. Connaissant, par exemple, la réponse impulsionnelle, vous pouvez utiliser la transformée de Laplace directe pour trouver la caractéristique d'opérateur correspondante du circuit

et à partir de la caractéristique d'opérateur connue H k n (p) en utilisant la transformée de Laplace inverse, déterminer la réponse impulsionnelle du circuit

À l'aide des expressions (9.75) et du théorème de différenciation (9.36), il est facile d'établir un lien entre les caractéristiques de transition et d'impulsion

Si à t = t 0 la fonction h(t - t 0) change brusquement, alors la réponse impulsionnelle du circuit lui est liée par la relation suivante

(9.78)

L’expression (9.78) est connue sous le nom de formule dérivée généralisée. Le premier terme de cette expression représente la dérivée de la caractéristique de transition à t > t 0, et le deuxième terme contient le produit de la fonction d et la valeur de la caractéristique de transition au point t=t0.

Si la fonction h 1 (t - t 0) ne subit pas de discontinuité à t = t 0, c'est-à-dire que la valeur de la réponse transitoire au point t = t 0 est égale à zéro, alors l'expression de la dérivée généralisée coïncide avec l'expression de la dérivée ordinaire., le circuit de réponse impulsionnelle est égal à la dérivée première de la réponse transitoire par rapport au temps

(9.77)

Pour déterminer les caractéristiques transitoires (impulsions) d'un circuit linéaire, deux méthodes principales sont utilisées.

1) Il est nécessaire de prendre en compte les processus transitoires qui se produisent dans un circuit donné lorsqu'il est exposé à un courant ou à une tension sous la forme d'une fonction de commutation ou d'une fonction . Cela peut être fait en utilisant des méthodes classiques ou opérateurs d’analyse transitoire.

2) En pratique, pour trouver les caractéristiques temporelles des circuits linéaires, il convient d'utiliser un chemin basé sur l'utilisation de relations qui établissent un lien entre les caractéristiques fréquentielles et temporelles. La détermination des caractéristiques de synchronisation dans ce cas commence par l'élaboration d'un circuit équivalent du circuit opérateur pour des conditions initiales nulles. Ensuite, à l'aide de ce schéma, trouver la caractéristique de l'opérateur H k n (p) correspondant à un couple donné : influence externe sur le circuit x n (t) - réaction du circuit y k (t). Connaissant la caractéristique d'opérateur du circuit et en appliquant les relations (6.109) ou (6.110), les caractéristiques temporelles requises sont déterminées.

Il convient de noter que lorsque l'on considère qualitativement la réponse d'un circuit linéaire à l'action d'une seule impulsion de courant ou de tension, le processus transitoire dans le circuit est divisé en deux étapes. Dans un premier temps (avec tО] t 0- , t 0+ [) le circuit est sous l'influence d'une seule impulsion, qui confère une certaine énergie au circuit. Dans ce cas, les courants d'inductance et les tensions des condensateurs changent brusquement jusqu'à une valeur correspondant à l'énergie entrant dans le circuit, et les lois de commutation sont violées. Lors de la deuxième étape (avec t ³ t 0+) l'action de l'influence externe appliquée au circuit a pris fin (en même temps, les sources d'énergie correspondantes sont éteintes, c'est-à-dire représentées par des résistances internes), et des processus libres apparaissent dans le circuit, se produisant en raison de l'énergie stockée dans les éléments réactifs dès la première étape du processus de transition. Par conséquent, la réponse impulsionnelle caractérise les processus libres dans le circuit considéré.

Les expressions (5.17), (5.18) données dans le paragraphe précédent pour les facteurs de gain peuvent être interprétées comme des fonctions de transfert d'un réseau actif linéaire à deux ports. La nature de ces fonctions est déterminée par les propriétés fréquentielles des paramètres Y.

Après l'avoir écrit sous forme de fonctions, nous arrivons au concept de fonction de transfert d'un réseau actif linéaire à deux ports. Sans dimension en général fonction complexe est une caractéristique exhaustive d'un réseau à quatre ports dans domaine fréquentiel. Elle est déterminée en mode stationnaire avec excitation harmonique d'un réseau à quatre bornes.

Il est souvent pratique de représenter la fonction de transfert sous la forme

Le module est parfois appelé réponse amplitude-fréquence (AFC) d'un réseau quadripôle. L'argument s'appelle la réponse phase-fréquence (PFC) d'un réseau quadripôle.

Une autre caractéristique complète d'un quadripôle est sa réponse impulsionnelle, qui est utilisée pour décrire le circuit dans le domaine temporel.

Pour les circuits linéaires actifs, ainsi que pour les circuits passifs, la réponse impulsionnelle d'un circuit signifie la réponse, la réaction du circuit à un impact sous la forme d'une seule impulsion (fonction delta). La connexion entre eux est facile à établir à l’aide de l’intégrale de Fourier.

Si une seule impulsion (fonction delta) de FEM avec densité spectrale agit à l'entrée d'un quadripôle, égal à un pour toutes les fréquences, alors densité spectrale la tension de sortie est simplement. La réponse à une seule impulsion, c'est-à-dire la réponse impulsionnelle du circuit, est facilement déterminée à l'aide de la transformée de Fourier inverse appliquée à la fonction de transfert :

Il faut tenir compte du fait que devant le côté droit de cette égalité se trouve un facteur 1 avec la dimension de l'aire de la fonction delta. Dans le cas particulier, lorsqu'on parle d'une impulsion de tension b, cette dimension sera [volt x seconde].

En conséquence, la fonction est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle :

Dans ce cas, avant l'intégrale, nous entendons un facteur un avec la dimension [volt x seconde]^-1.

Dans ce qui suit, nous désignerons la réponse impulsionnelle comme une fonction, par laquelle nous pouvons entendre non seulement la tension, mais également toute autre grandeur électrique qui est une réponse à un impact sous la forme d'une fonction delta.

Comme pour la représentation des signaux sur le plan fréquentiel complexe (voir § 2.14), en théorie des circuits la notion de fonction de transfert considérée comme la transformée de Laplace de la fonction 8