Opći dijagram matematičkog modela funkcioniranja sustava. Primjer matematičkog modela. Definicija, klasifikacija i značajke. Računalni matematički model

Polazna informacija pri konstruiranju MM procesa funkcioniranja sustava su podaci o namjeni i uvjetima rada sustava koji se proučava (projektuje). Ove informacije određuju glavnu svrhu modeliranja, zahtjeve za MM, razinu apstrakcije i izbor sheme matematičkog modeliranja.

Koncept matematičke sheme omogućuje nam da matematiku ne promatramo kao metodu izračuna, već kao metodu mišljenja, sredstvo oblikovanja pojmova, što je najvažnije u prijelazu s verbalnog opisa na formalizirani prikaz procesa njegovo funkcioniranje u obliku nekog MM.

Pri korištenju matematičke sheme, prije svega, istraživača sustava treba zanimati pitanje primjerenosti prikaza u obliku specifičnih dijagrama stvarnih procesa u sustavu koji se proučava, a ne mogućnost dobivanja odgovora ( rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje.

Na primjer, predstavljanje procesa funkcioniranja kolektivnog IVS-a u obliku mreže shema čekanja omogućuje dobro opisivanje procesa koji se odvijaju u sustavu, ali sa složenim zakonima dolaznih tokova i tokova usluga, to ne čini moguće dobiti rezultate u eksplicitnom obliku.

Matematička shema može se definirati kao poveznica u prijelazu sa smislenog na formalizirani opis procesa funkcioniranja sustava, uzimajući u obzir utjecaj vanjske okoline. Oni. postoji lanac: opisni model – matematička shema – simulacijski model.

Svaki specifični sustav karakterizira skup svojstava, koja se shvaćaju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (stvarnog sustava) i uzimaju u obzir uvjete njegovog funkcioniranja u interakciji s vanjskim okruženjem (sustavom) E.

Pri izgradnji MM sustava potrebno je riješiti pitanje njegove cjelovitosti. Cjelovitost modeliranja regulirana je uglavnom izborom granica "Sustav - okolina E". Također se mora riješiti problem pojednostavljenja MM-a, što pomaže u isticanju glavnih svojstava sustava, odbacujući ona koja su sekundarna, u smislu svrhe modeliranja.

MM objekta modeliranja, tj. sustavi se mogu prikazati kao skup veličina koje opisuju proces funkcioniranja realnog sustava i općenito čine sljedeće podskupove:

Skup ulaznih utječe na

Ukupnost utjecaja okoline

Skup internih (vlastitih) parametara sustava

Skup izlaznih karakteristika sustava

U navedenim skupovima mogu se razlikovati upravljive i nekontrolabilne veličine. U općem slučaju, X, V, H, Y su neintersektabilni skupovi i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Dakle, pod MM objekta podrazumijevamo konačan skup varijabli zajedno s matematičkim vezama između njih i karakteristika.

Modeliranje se naziva determinističkim ako su operatori F, F deterministički, tj. za određeni input, input je deterministički. Determinističko modeliranje poseban je slučaj stohastičkog modeliranja. U praksi je za modeliranje objekata u području analize sustava u početnim fazama istraživanja racionalnije koristiti standard matematičke sheme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, QS, itd.

Kao deterministički modeli, kada se tijekom proučavanja ne uzima u obzir slučajna činjenica, diferencijalne, integralne i druge jednadžbe koriste se za prikaz sustava koji rade u kontinuiranom vremenu, a konačni automati i diferencijske sheme koriste se za prikaz sustava koji rade u diskretnom vremenu.

Opće smjernice

Cilj discipline “Metode optimalnih odluka” je ovladavanje metodologijom modeliranja trgovačko-ekonomskih procesa za njihovu analizu i optimalno upravljanje.

Svrha ovih metodološka uputstva- pomoći studentima u usvajanju osnova ekonomsko-matematičkog modeliranja, pokazati potrebne praktične vještine u korištenju matematičkih metoda u konstruiranju modela za povezivanje pokazatelja problema trgovačke prakse i na njihovoj osnovi znanstveno obrazloženje izbora upravljačkih odluka .

Predmet proučavanja kolegija su ekonomski mehanizmi upravljanja trgovinskim organizacijama i poduzećima.

Predmet kolegija je informacijska i funkcionalna povezanost trgovačkih i gospodarskih sustava.

Ishod pristupa kolokviju iz discipline „Metode optimalnih rješenja“ je riješen kolokvij sa svim zadacima s ocjenom „položio“ od strane nastavnika. Položeni test ostaje kod nastavnika, a recenziju predaje nastavno-metodičkoj službi. Ukoliko su uvjeti zadataka nejasni ili se jave poteškoće u rješavanju zadataka, student se mora posavjetovati s voditeljem. Ukoliko riješeni rad nije prihvaćen, student mora ispraviti primjedbe i pristupiti testu na ponovni pregled.

PRAVILA ZA PRIJAVU RADA

Na naslovnoj stranici bilježnice potrebno je upisati naziv discipline, naziv fakulteta, kolegija, prezime, ime i patronim.

Na početku rada ili na naslovnoj stranici moraju se navesti brojevi obavljenih zadataka u kontrolnom zadatku.

Prije rješavanja svakog problema morate u potpunosti zapisati njegove uvjete. Rješavanje problema treba sadržavati detaljne izračune i kratka objašnjenja te ekonomsku analizu dobivenih rezultata. Na kraju ispitni rad Navedite popis korištene literature i potpišite se.

Zadatak br. 1

Izgradite ekonomsko-matematički model za određivanje strukture jela u ugostiteljskom poduzeću, koji osigurava maksimalnu dobit na temelju zadanih standarda troškova proizvoda za prvo i drugo jelo, prikazanih u sljedećoj tablici 1.

Podatke za zadatke birati iz tablice 2 prema početnim slovima prezimena, imena i oca učenika. Na primjer, student Nikolay Sergeevich Kornienko mora riješiti zadatak s podacima a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 =9 , a 42 =6, a 44 =4, a 54 =19, b 1 =450, b 2 =310, b 3 =410, b 4 =315, b 5 =400, c 1 =89, c 2 =41, c3 =50.

U ovom članku nudimo primjere matematičkih modela. Osim toga, posvetit ćemo pozornost fazama izrade modela i analizirati neke probleme povezane s matematičkim modeliranjem.

Još jedno pitanje koje imamo su matematički modeli u ekonomiji, čije ćemo primjere definicije pogledati malo kasnije. Predlažemo započeti naš razgovor sa samim konceptom "modela", ukratko razmotriti njihovu klasifikaciju i prijeći na naša glavna pitanja.

Koncept "modela"

Često čujemo riječ "model". Što je? Ovaj pojam ima mnogo definicija, a evo samo tri od njih:

• određeni objekt koji je stvoren za primanje i pohranjivanje informacija, odražavajući neka svojstva ili karakteristike, itd. izvornika ovog objekta(ovaj specifični objekt može se izraziti u različitim oblicima: mentalni, opis pomoću znakova i tako dalje);
• Model također znači prikaz određene situacije, života ili upravljanja;
• model može biti umanjena kopija objekta (stvoreni su za detaljnije proučavanje i analizu, budući da model odražava strukturu i odnose).

Na temelju svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućuje detaljno proučavanje složenog sustava ili objekta.

Svi modeli mogu se klasificirati prema nizu karakteristika:

• prema području uporabe (obrazovni, eksperimentalni, znanstveni i tehnički, igranje, simulacija);
• po dinamici (statički i dinamički);
• prema granama znanja (fizikalna, kemijska, geografska, povijesna, sociološka, ​​ekonomska, matematička);
• po načinu prikazivanja (materijalni i informativni).

Informacijski modeli, pak, dijele se na simboličke i verbalne. A simbolične - na računalne i neračunalne. Sada prijeđimo na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.

Matematički model

Kao što možda pretpostavljate, matematički model odražava bilo koje značajke objekta ili pojave pomoću posebnih matematički simboli. Matematika je potrebna za modeliranje obrazaca okolnog svijeta na svom specifičnom jeziku.

Metoda matematičkog modeliranja nastala je dosta davno, prije više tisuća godina, zajedno s pojavom ove znanosti. Međutim, poticaj za razvoj ovu metodu modeliranjem je nastala pojava računala (elektronička računala).

Sada prijeđimo na klasifikaciju. Također se može provesti prema nekim znakovima. Oni su prikazani u tablici ispod.

Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo najnoviju klasifikaciju, budući da ona odražava opće obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se stvaraju.

Deskriptivni modeli

U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Da bi sve bilo jasno, navest ćemo primjer.

Počnimo s činjenicom da se ovaj tip može nazvati opisnim. To je zbog činjenice da jednostavno radimo izračune i prognoze, ali ne možemo ni na koji način utjecati na ishod događaja.

Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je izračun putanje leta, brzine, udaljenosti od Zemlje kometa koji je napao naša prostranstva Sunčev sustav. Ovaj model je deskriptivan, jer svi dobiveni rezultati mogu nas samo upozoriti na bilo kakvu opasnost. Nažalost, ne možemo utjecati na ishod događaja. Međutim, na temelju dobivenih izračuna moguće je poduzeti bilo kakve mjere za očuvanje života na Zemlji.

Optimizacijski modeli

Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu biti razne trenutne situacije. U ovom slučaju govorimo o modelima koji pomažu pronaći pravi odgovor pod određenim uvjetima. Definitivno imaju neke parametre. Da bi bilo potpuno jasno, pogledajmo primjer iz poljoprivrednog sektora.

Imamo žitnicu, ali se žito vrlo brzo kvari. U ovom slučaju moramo odabrati prave temperaturne uvjete i optimizirati proces skladištenja.

Dakle, možemo definirati koncept "modela optimizacije". U matematičkom smislu, to je sustav jednadžbi (i linearnih i ne), čije rješenje pomaže u pronalaženju optimalno rješenje u konkretnoj ekonomskoj situaciji. Pogledali smo primjer matematičkog modela (optimizacija), ali bih želio dodati: ovaj tip pripada klasi ekstremnih problema, oni pomažu opisati funkcioniranje ekonomskog sustava.

Primijetimo još jednu nijansu: modeli mogu biti različite prirode (vidi tablicu u nastavku).

Višekriterijski modeli

Sada vas pozivamo da malo popričamo o matematičkom modelu višekriterijske optimizacije. Prije ovoga smo dali primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa prema bilo kojem kriteriju, ali što ako ih ima više?

Upečatljiv primjer višekriterijalnog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i ujedno ekonomične prehrane za velike skupine ljudi. Takvi se zadaci često susreću u vojsci, školskim kantinama, ljetnim kampovima, bolnicama itd.

Koji su nam kriteriji zadani u ovom zadatku?

1. Prehrana treba biti zdrava.
2. Troškovi hrane trebaju biti minimalni.

Kao što vidite, ti se ciljevi uopće ne poklapaju. To znači da je pri rješavanju problema potrebno tražiti optimalno rješenje, ravnotežu između dva kriterija.

Modeli igara

Kada govorimo o modelima igara, potrebno je razumjeti pojam “teorije igara”. Jednostavno rečeno, ti modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Samo morate shvatiti da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja specifična pravila.

Sada ćemo pružiti minimum informacija iz teorije igara koje će vam pomoći da shvatite što je model igre. I tako, model nužno sadrži stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igrači.

Svi modeli imaju određene karakteristike.

Model igre može biti uparen ili višestruk. Ako imamo dva subjekta, onda je sukob uparen; ako ih je više, on je višestruk. Također možete razlikovati antagonističku igru, naziva se i igra s nultim zbrojem. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od sudionika jednak gubitku drugog.

Simulacijski modeli

U ovom odjeljku pozornost ćemo posvetiti simulacijskim matematičkim modelima. Primjeri zadataka uključuju:

• model dinamike populacije mikroorganizama;
• model molekularnog kretanja i tako dalje.

U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što bliži stvarnim procesima. Općenito, oni oponašaju neke manifestacije u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo simulirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. U isto vrijeme možete promatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju matematički opis se rijetko koristi; češće su prisutni pisani uvjeti:

• nakon pet dana ženka polaže jaja;
• nakon dvadeset dana mrav umre, i tako dalje.

Stoga se koriste za opisivanje velikog sustava. Matematičko zaključivanje je obrada dobivenih statističkih podataka.

Zahtjevi

Vrlo je važno znati da ova vrsta modela ima neke zahtjeve, uključujući one navedene u donjoj tablici.

Faze modeliranja

Ukupno se matematičko modeliranje obično dijeli u četiri faze.

1. Formuliranje zakona povezivanja dijelova modela.
2. Proučavanje matematičkih problema.
3. Utvrđivanje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
4. Analiza i modernizacija modela.

Ekonomski i matematički model

U ovom odjeljku ukratko ćemo istaknuti problem koji uključuje:

• formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih proizvoda koji osigurava maksimalnu dobit od proizvodnje;
• maksimiziranje profita organizacije izračunavanjem optimalne količine stolova i stolica proizvedenih u tvornici namještaja i tako dalje.

Ekonomsko-matematički model prikazuje ekonomsku apstrakciju, koja se izražava matematičkim terminima i simbolima.

Računalni matematički model

Primjeri računalnog matematičkog modela su:

• hidraulički problemi korištenjem dijagrama toka, dijagrama, tablica itd.;
• problemi na mehanici čvrstog tijela, i tako dalje.

Računalni model je slika objekta ili sustava, predstavljena u obliku:

• stolovi;
• blok dijagrami;
• dijagrami;
• grafika, i tako dalje.

pri čemu ovaj model odražava strukturu i odnose sustava.

Izrada ekonomsko-matematičkog modela

Već smo govorili o tome što je ekonomsko-matematički model. Upravo ćemo razmotriti primjer rješavanja problema. Potrebno je analizirati proizvodni program kako bismo identificirali rezervu za povećanje dobiti s pomakom u asortimanu.

Nećemo u potpunosti razmatrati problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterij našeg zadatka je maksimizacija profita. Tada funkcija ima oblik: A=r1*h1+r2*h2..., težeći maksimumu. U ovom modelu, p je dobit po jedinici, a x je broj proizvedenih jedinica. Dalje, na temelju konstruiranog modela, potrebno je napraviti izračune i sažeti.

Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela

Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:

• 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
• 20% ulova su stanovnici južnih mora;
• Iz lokalne rijeke nije pronađena nijedna riba.

Koliko je riba kupio u trgovini?

Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema izgleda ovako. Ukupan broj riba označavamo s x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombiniramo sve dostupne informacije i dobivamo matematički model problema: x=0,2x+8. Rješavamo jednadžbu i dobivamo odgovor glavno pitanje: Kupio je 10 riba u trgovini.

MATEMATIČKA SHEMA ZA MODELIRANJE SUSTAVA

OSNOVNI PRISTUPI KONSTRUKCIJI MATEMATIČKIH MODELA SUSTAVA

Početna informacija pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava jesu podaci o namjeni i uvjetima rada sustava koji se proučava (projektuje). S. Ove informacije definiraju glavnu svrhu modeliranja sustava S i omogućuje formuliranje zahtjeva za razvijeni matematički model M.Štoviše, razina apstrakcije ovisi o rasponu pitanja na koja istraživač sustava želi odgovoriti korištenjem modela, te u određenoj mjeri određuje izbor matematičke sheme.

Matematičke sheme. Uvođenje koncepta matematičke sheme omogućuje nam da matematiku ne smatramo metodom izračuna, već metodom mišljenja, kao sredstvom za formuliranje pojmova, što je najvažnije u prijelazu s verbalnog opisa sustava na formalni prikaz procesa njegova funkcioniranja u obliku nekog matematičkog modela (analitičkog ili simulacijskog). Pri korištenju matematičke sheme, prije svega, istraživač sustava S trebao bi biti zainteresiran za pitanje primjerenosti prikaza u obliku specifičnih dijagrama stvarnih procesa u sustavu koji se proučava, a ne za mogućnost dobivanja odgovor (rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje. Na primjer, predstavljanje procesa funkcioniranja zajedničkog informacijskog računalnog sustava u obliku mreže shema čekanja omogućuje dobro opisivanje procesa koji se odvijaju u sustavu, ali s obzirom na složene zakone dolaznih tokova i tokova usluga, to čini ne omogućuju dobivanje rezultata u eksplicitnom obliku.

Matematička shema može se definirati kao karika u prijelazu sa smislenog na formalni opis procesa funkcioniranja sustava, uzimajući u obzir utjecaj vanjske okoline, tj. postoji lanac “deskriptivni model - matematička shema - matematički (analitički i/ ili simulacijski) model.”

Svaki specifični sustav S karakterizira skup svojstava, koja se shvaćaju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (stvarnog sustava) i uzimaju u obzir uvjete njegovog funkcioniranja u interakciji s vanjskom okolinom (sustavom) E. Prilikom konstruiranja matematičkog modela sustava potrebno je riješiti pitanje njegove cjelovitosti. Cjelovitost modela regulirana je uglavnom izborom granice “sustav S - okolina”. E» . Također se mora riješiti problem pojednostavljenja modela, što pomaže u isticanju glavnih svojstava sustava, odbacujući sporedna. Štoviše, klasificiranje svojstava sustava kao primarnih ili sekundarnih značajno ovisi o svrsi modeliranja sustava (primjerice, analiza vjerojatnosno-vremenskih karakteristika procesa funkcioniranja sustava, sinteza strukture sustava itd.) .

Formalni model objekta. Model objekta modeliranja, odnosno sustava S, može se prikazati kao skup veličina koje opisuju proces funkcioniranja realnog sustava i općenito čine sljedeće podskupove: skup ulazni utjecaji po sustavu

;

totalitet utjecaji okoline

;

totalitet interni (vlastiti) parametri sustava

;

totalitet izlazne karakteristike sustava

.

Štoviše, u navedenim podskupovima mogu se razlikovati kontrolirane i nekontrolirane varijable. Općenito , , , su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Pri modeliranju sustava S, ulazni utjecaji, utjecaji okoline E a unutarnji parametri sustava su nezavisne (egzogene) varijable, koji u vektorskom obliku imaju oblik , , respektivno a izlazne karakteristike sustava su zavisne (endogene) varijable a u vektorskom obliku imaju oblik ).

Proces funkcioniranja sustava S vremenski opisuje operater F s , koji općenito transformira egzogene varijable u endogene u skladu s odnosima oblika

. (1)

Skup ovisnosti izlaznih karakteristika sustava o vremenu g j (t) za sve vrste
nazvao izlazni put
. Ovisnost (1) naziva se zakon funkcioniranja sustavaS i naznačen je F s . Općenito, zakon funkcioniranja sustava F s može se specificirati u obliku funkcije, funkcije, logičkih uvjeta, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila sparivanja.

Vrlo važan za opis i proučavanje sustava S je koncept algoritam funkcioniranjaA s , koji se razumijeva kao metoda za dobivanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne utjecaje
, utjecaji okoline
i vlastite parametre sustava
. Očito je da isti operativni zakon F s sustav S može se implementirati na različite načine, tj. korištenjem mnogo različitih algoritama rada A s .

Relacije (1) su matematički opis ponašanja objekta (sustava) modeliranja u vremenu t, tj. odražavaju njegova dinamička svojstva. Stoga se matematički modeli ove vrste obično nazivaju dinamički modeli(sustavi).

Za statički modeli matematički model (1) je preslikavanje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta Y I { x, V, N),što se u vektorskom obliku može napisati kao

. (2)

Relacije (1) i (2) mogu se specificirati na različite načine: analitički (formulama), grafički, tabelarno itd. Takve relacije u nizu slučajeva mogu se dobiti kroz svojstva sustava S u određenim vremenima, tzv. Države. Stanje sustava S karakterizirano je vektorima

I
,

Gdje
,
, …,
u određenom trenutku
;
,
, …,
u određenom trenutku
itd.,
.

Ako proces funkcioniranja sustava S promatramo kao sekvencijalnu promjenu stanja
, onda se mogu interpretirati kao koordinate točke u Do-dimenzionalni fazni prostor. Štoviše, svaka implementacija procesa odgovarat će određenoj faznoj trajektoriji. Skup svih mogućih vrijednosti stanja nazvao prostor stanja objekt modeliranja Z, i
.

Stanja sustava S u trenutku vremena t 0 < t*T potpuno su određene početnim uvjetima
[Gdje
,
, …,
], ulazni utjecaji
, vlastite parametre sustava
i utjecaji okoline
, koje se odvijalo u određenom vremenskom razdoblju t*- t 0 , sa koristeći dvije vektorske jednadžbe

; (3)

. (4)

Prva jednadžba za početno stanje i egzogene varijable
definira vektorsku funkciju
, a drugi prema dobivenoj vrijednosti stanja
- endogene varijable na izlazu sustava
. Dakle, lanac jednadžbi objekta "ulaz-stanja-izlaz" omogućuje određivanje karakteristika sustava

. (5)

Općenito, vrijeme u modelu sustava S može se promatrati kroz interval modeliranja (0, T) i kontinuirani i diskretni, tj. kvantizirani u segmente duljine
vremenske jedinice svaki kada
, Gdje
- broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekta(stvarnog sustava) razumjeti konačni podskup varijabli (
} zajedno s matematičkim vezama između njih i karakteristika
.

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži slučajne elemente ili oni nisu uzeti u obzir, tj. ako se može pretpostaviti da su u tom slučaju stohastički utjecaji vanjske okoline
i stohastičkih unutarnjih parametara
nedostaju, tada se model zove deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulaznim utjecajima

. (6)

Očito je da je deterministički model poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične sheme. Dani matematički odnosi predstavljaju matematičke sheme opći pogled i omogućuju nam da opišemo široku klasu sustava. Međutim, u praksi modeliranja objekata u području sistemskog inženjerstva i analize sustava, u početnim fazama istraživanja sustava, racionalnije je koristiti tipične matematičke sheme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sustavi čekanja, Petrijeve mreže itd.

Nemajući isti stupanj općenitosti kao razmatrani modeli, tipične matematičke sheme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primjene. Kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u istraživanju, diferencijalne, integralne, integrodiferencijalne i druge jednadžbe koriste se za prikaz sustava koji rade u kontinuiranom vremenu, a sheme konačnih razlika koriste se za prikaz sustava koji rade u diskretnom vremenu. Kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sustava s diskretnim vremenom, a sustavi čekanja itd. koriste se za predstavljanje sustava s kontinuiranim vremenom.

Navedene standardne matematičke sheme, naravno, ne mogu tvrditi da na temelju njih mogu opisati sve procese koji se odvijaju u velikim informacijskim i upravljačkim sustavima. Za takve sustave, u nekim slučajevima, više obećava korištenje agregatnih modela.

Skupni modeli (sustavi) omogućuju opisivanje širokog spektra objekata istraživanja, odražavajući sustavnu prirodu tih objekata. Upravo se agregatnim opisom složeni objekt (sustav) dijeli na konačan broj dijelova (podsustava), pri čemu se održavaju veze koje osiguravaju međudjelovanje dijelova.

Stoga se pri izradi matematičkih modela procesa funkcioniranja sustava mogu razlikovati sljedeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primjer, diferencijalne jednadžbe); diskretno-deterministički (konačni automati); diskretno-stohastički (probabilistički automati); kontinuirano-stohastički (sustavi čekanja); generalizirani ili univerzalni (agregatni sustavi).

KONTINUIRANI DETERMINISTIČKI MODELI (D-SHEME)

Razmotrimo značajke kontinuirano determinističkog pristupa na primjeru njihove uporabe kao matematičkih modela diferencijalne jednadžbe. Diferencijalne jednadžbe To su jednadžbe u kojima su funkcije jedne ili više varijabli nepoznate, a jednadžba uključuje ne samo funkcije, već i njihove izvodnice različitih redova. Ako su nepoznanice funkcije više varijabli, onda se jednadžbe nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, inače, kada se razmatraju funkcije samo jedne nezavisne varijable, jednadžbe se nazivaju obične diferencijalne jednadžbe.

Osnovni odnosi. Tipično, u takvim matematičkim modelima vrijeme služi kao nezavisna varijabla o kojoj ovise nepoznate nepoznate funkcije. t. Tada će matematička relacija za determinističke sustave (6) u općem obliku biti

, (7)

Gdje
,
I
- P-dimenzionalni vektori;
- vektorska funkcija koja je definirana na nekom ( P+1)-dimenzionalni
postavljena i kontinuirana je.

Budući da matematičke sheme ovog tipa odražavaju dinamiku proučavanog sustava, odnosno njegovo ponašanje u vremenu, nazivaju se D-sheme(Engleski) dinamičan).

U najjednostavnijem slučaju obična diferencijalna jednadžba ima oblik

. (8)

Najvažnija primjena za inženjering sustava D-sheme kao matematički aparat u teoriji automatskog upravljanja. Za ilustraciju značajki konstrukcije i primjene D-shema, razmotrite najjednostavniji primjer formalizacija procesa funkcioniranja dvaju elementarnih sustava različite fizikalne prirode: mehaničkog S M (oscilacije njihala, slika 1, a) i električni S K (oscilatorni krug, slika 1, b).

Riža. 1. Elementarni sustavi

Proces malih oscilacija njihala opisuje se običnom diferencijalnom jednadžbom

Gdje
- masa i duljina ovjesa njihala; g - ubrzanje slobodnog pada;
- kut otklona njihala u trenutku vremena t.

Iz ove jednadžbe za slobodne oscilacije njihala mogu se pronaći procjene karakteristika od interesa. Na primjer, period titranja njihala

.

Slično se procesi u električnom oscilatornom krugu opisuju običnom diferencijalnom jednadžbom

Gdje L Do , SA Do - induktivitet i kapacitet kondenzatora; q(t) - napunjenost kondenzatora u vremenu t.

Iz ove jednadžbe mogu se dobiti različite procjene karakteristika procesa u oscilatornom krugu. Na primjer, period električnih oscilacija

.

Očito je da se uvođenjem notacije
,
, ,
, dobivamo običnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda koja opisuje ponašanje ovog zatvorenog sustava:

Gdje
- parametri sustava; z(t) - stanje sustava u određenom trenutku t.

Stoga se ponašanje ova dva objekta može proučavati na temelju općeg matematičkog modela (9). Osim toga, treba napomenuti da se ponašanje jednog od sustava može analizirati pomoću drugog. Na primjer, ponašanje njihala (sustava S M) može se proučavati pomoću električnog oscilatornog kruga (sustava S K).

Ako sustav koji se proučava S, tj. njihalo ili krug, u interakciji je s vanjskom okolinom E, tada se pojavljuje ulazni utjecaj X(t) (vanjska sila za njihalo i izvor energije za krug) i kontinuirano deterministički model takvog sustava imat će oblik

Sa stajališta opće sheme matematičkog modela X(t) je ulazna (upravljačka) akcija, a stanje sustava S u ovom slučaju može se smatrati izlaznom karakteristikom, tj. pretpostaviti da se izlazna varijabla podudara sa stanjem sustava u danom trenutku u vremenu y =z.

Moguće primjene. Pri rješavanju problema sistemskog inženjerstva od velikog su značaja problemi upravljanja velikim sustavima. Obratite pozornost na sustave automatska kontrola- opisan poseban slučaj dinamičkih sustava D-sheme i izdvojeni u zasebnu klasu modela zbog njihove praktične specifičnosti.

Pri opisivanju procesa automatskog upravljanja obično se pridržavaju prikaza realnog objekta u obliku dvaju sustava: upravljačkog i upravljanog (upravljački objekt). Struktura općeg višedimenzionalnog sustava automatskog upravljanja prikazana je na sl. 2, gdje su naznačeni endogene varijable:
- vektor ulaznih (zadajućih) utjecaja;
- vektor ometajućih utjecaja;
- vektor signala greške;
- vektor upravljačkih djelovanja; egzogene varijable:
- vektor stanja sustava S;
- vektor izlaznih varijabli, obično
=
.

Riža. 2. Struktura sustava automatskog upravljanja

Suvremeni sustav upravljanja je skup softverskih i hardverskih alata koji osiguravaju da kontrolirani objekt postigne određeni cilj. Koliko točno objekt upravljanja postiže zadani cilj može se procijeniti za jednodimenzionalni sustav prema koordinati stanja y(t). Razlika između datog na dupe (t) i valjano y(t) zakon promjene kontrolirane veličine je pogreška upravljanja . Ako propisani zakon promjene kontrolirane veličine odgovara zakonu promjene ulaznog (zadanog) utjecaja, tj.
, Da
.

Sustavi za koje se kontroliraju greške
u svakom trenutku se nazivaju idealnim. U praksi je implementacija idealnih sustava nemoguća. Dakle greška h"(t) - nužan element automatske kontrole na principu negativa Povratne informacije, budući da odgovara izlaznoj varijabli g(t) njegova postavljena vrijednost koristi informacije o odstupanju između njih. Zadatak sustava automatskog upravljanja je promjena varijable g(t) prema zadanom zakonu s određenom točnošću (s prihvatljivom greškom). Pri projektiranju i radu sustava automatskog upravljanja potrebno je odabrati sljedeće parametre sustava S, čime bi se osigurala potrebna točnost upravljanja, kao i stabilnost sustava u prijelaznom procesu.

Ako je sustav stabilan, tada je ponašanje sustava tijekom vremena, maksimalno odstupanje kontrolirane varijable, od praktičnog interesa y(t) u prijelaznom procesu, vremenu prijelaznog procesa itd. Zaključci o svojstvima sustava automatskog upravljanja raznih klasa mogu se izvući iz vrste diferencijalnih jednadžbi koje približno opisuju procese u sustavima. Redoslijed diferencijalne jednadžbe i vrijednosti njezinih koeficijenata u potpunosti su određeni statičkim i dinamičkim parametrima sustava S.

Dakle korištenjem D-sheme omogućuje formalizaciju procesa funkcioniranja kontinuirano determinističkih sustava S te evaluirati njihove glavne karakteristike korištenjem analitičkog ili simulacijskog pristupa, implementiranog u obliku odgovarajućeg jezika za modeliranje kontinuiranih sustava ili korištenjem analognih i hibridnih računalnih alata.

1. Grafički modeli

2. Simulacijski modeli

3. Matematički modeli

4. Modeliranje optimalnih procesa planiranja

5. Modeliranje globalnih procesa

7. Simulacija ekološki sustavi i procese

8. Objektni informacijski modeli

9. Analiza sustava

10. Statistički modeli

11. Tablični modeli

12. Formalizacija i modeliranje

Školski tečaj informatike tradicionalno sadrži sadržajnu liniju formalizacije i modeliranja. Pojam modela odnosi se na temeljne općeznanstvene pojmove, a modeliranje je metoda razumijevanja stvarnosti kojom se služe različite znanosti.

U gotovo svim prirodnim i društvenim znanostima, konstrukcija i uporaba modela moćan je istraživački alat. Stvarni objekti i procesi toliko su višestruki i složeni da najbolji način njihovo se proučavanje ispostavlja kao konstrukcija modela koji odražava samo dio stvarnosti i stoga je mnogo puta jednostavniji od te stvarnosti. Predmet istraživanja i razvoja računalnih znanosti je metodologija informacijskog modeliranja povezana s uporabom računalne opreme i tehnologije. U tom smislu govore o računalno modeliranje. Interdisciplinarni značaj računalnih znanosti uvelike se očituje kroz uvođenje računalnog modeliranja u različita znanstvena i primijenjena područja: fiziku i tehnologiju, biologiju i medicinu, ekonomiju, menadžment i mnoga druga.

Računalno modeliranje uključuje proces implementacije informacijskog modela na računalu i istraživanje objekta modeliranja pomoću tog modela - provođenje računalnog eksperimenta. Uz pomoć računalnog modeliranja rješavaju se mnogi znanstveni i industrijski problemi.

Informacijsko modeliranje povezano je s formalizacijom podataka o objektu modeliranja (vidi “ Formalizacija i modeliranje”). Izgradnja informacijskog modela započinje definiranjem ciljeva modeliranja i analizom objekta modeliranja kao složenog sustava u kojem je potrebno istaknuti svojstva koja se odražavaju u modelu i odnose među njima (vidi “ Analiza sustava”). Informacijski modeli razlikuju se po obliku prezentiranja informacija o objektu modeliranja. Matematički modelikoristiti jezik matematike za predstavljanje objekta modeliranja. Zasebna vrsta matematičkih modela su statistički modeli- usmjeren na obradu masovni podaci(na primjer, istraživanja stanovništva) u kojima postoji element slučajnosti. Podaci o objektu modeliranja, organizirani u tabelarnom obliku, su tablični model. Za konstrukciju se koriste grafički alati grafički modeli. Objektno orijentirani pristup programiranju koji se pojavio krajem prošlog stoljeća iznjedrio je novu paradigmu u informacijskom modeliranju: informacijsko modeliranje objekta. Računalni modeli koji reproduciraju ponašanje složenih sustava za koje ne postoji jednoznačan matematički aparat nazivaju se simulacijski modeli.

Računalno informacijsko modeliranje koristi se za opisivanje i analizu procesa različite prirode. Fizičke znanosti imaju najveće iskustvo u tom pogledu (vidi “ Modeliranje fizički sustavi i procesi"). Računalno modeliranje pomaže u rješavanju važnih ekoloških problema (vidi “ Modeliranje ekoloških sustava i procesa”). Informacijsko modeliranje igra važnu ulogu u ekonomiji i menadžmentu. Najvažniji zadaci u ovom području su problemi planiranja (vidi “ Modeliranje optimalnih procesa planiranja”). Pomoću računalnog modeliranja znanstvenici pokušavaju riješiti čak i takav globalni problem kao što je sudbina ljudske civilizacije (vidi “ Modeliranje globalnih procesa”).

1. Grafički modeli

Raznolikost grafičkih modela je prilično velika. Pogledajmo neke od njih.

Vizualno sredstvo za prikaz sastava i strukture sustava (vidi “ Sistemologija") su grafikoni.

Pogledajmo primjer. Postoji usmeni opis nekog područja: “Naš okrug se sastoji od pet sela: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino i Myshkino. Autoceste su postavljene između: Dedkino i Babkino, Dedkino i Koshkino, Babkino i Myshkino, Babkino i Koshkino, Koshkino i Repkino.” Iz takvog opisa prilično je teško zamisliti ovo područje. Iste informacije puno je lakše uočiti uz pomoć dijagrama (vidi sliku). Ovo nije karta područja. Ovdje se ne održavaju kardinalni pravci i mjerilo. Ovaj dijagram odražava samo činjenicu postojanja pet sela i cestovne veze između njih. Takav dijagram koji prikazuje elementarni sastav sustava i strukturu veza, nazvao računati.

Komponente grafikoni su vrhovi I rebra. Na slici su vrhovi prikazani kao krugovi - to je elementi sustava, a rubovi su prikazani linijama - to je komunikacije(odnos) između elemenata. Gledajući ovaj grafikon, lako je razumjeti strukturu cestovnog sustava u određenom području.

Konstruirani grafikon omogućuje, na primjer, odgovor na pitanje: kroz koja sela morate proći da biste došli od Repkina do Myshkina? Vidi se da su dva moguće načine: 1) R K B M i) R K D B M. Možemo li iz ovoga zaključiti da je 1. put kraći od 2.? Ne, ne možete. Ovaj grafikon ne sadrži kvantitativne karakteristike. Ovo nije karta na kojoj se poštuje mjerilo i gdje je moguće mjeriti udaljenost.

Grafikon prikazan na sljedećoj slici sadrži kvantitativne karakteristike. Brojevi uz rubove označavaju duljinu cesta u kilometrima. To je primjer ponderirani graf. Ponderirani graf može sadržavati kvantitativne karakteristike ne samo veze, nego i vrhovi. Na primjer, vrhovi mogu označavati broj stanovnika svakog sela. Prema podacima ponderiranog grafa, ispada da je prvi put duži od drugog.

Takvi se grafovi također nazivaju mreža. Mreža je karakterizirana mogućnost mnogo različitih puteva kretanja duž bridova između nekih parova vrhova. Mreže također karakterizira prisutnost zatvorenih staza, koje se nazivaju ciklusi. U ovom slučaju postoji ciklus: K D B K.

U razmatranim dijagramima, svaki rub označava prisutnost cestovne veze između dvije točke. Ali cestovna veza radi jednako u oba smjera: ako se može voziti cestom od B do M, onda se njome može voziti i od M do B (pretpostavljamo da je promet dvosmjeran). Takvi grafikoni su neorijentiran, a njihove veze nazivaju se simetričan.

Kvalitativno drugačiji primjer grafa prikazan je na sljedećoj slici.

Grafikon kompatibilnosti krvnih grupa

Ovaj primjer se odnosi na medicinu. Poznato je da različiti ljudi imaju različite krvne grupe. Postoje četiri krvne grupe. Ispada da kada se krv transfuzira s jedne osobe na drugu, nisu sve skupine kompatibilne. Grafikon prikazuje moguće mogućnosti transfuzije krvi. Krvne grupe su vrhovi grafa s pripadajućim brojevima, a strelice označavaju mogućnost transfuzije jedne krvne grupe osobi s drugom krvnom grupom. Na primjer, iz ovog grafikona jasno je da se krv I. grupe može transfuzirati bilo kojoj osobi, a osoba s I. krvnom grupom prihvaća samo krv svoje grupe. Također se može vidjeti da se osobi s IV krvnom grupom može transfuzirati bilo koja krv, ali vlastita krv može biti transfuzirana samo u istu grupu.

Veze između vrhova zadanog grafa asimetrična i stoga su prikazani kao usmjerene linije sa strelicama. Takve se linije obično nazivaju lukovi(za razliku od bridova neusmjerenih grafova). Graf s takvim svojstvima naziva se orijentiran. Poziva se pravac koji izlazi i ulazi u isti vrh petlja. U u ovom primjeru Postoje četiri petlje.

Lako je razumjeti prednosti prikazivanja modela sustava transfuzije krvi kao grafikona u usporedbi s verbalnim opisom istih pravila. Grafikon je lako razumjeti i zapamtiti.

Vrlo česta vrsta sustava su sustavi s hijerarhijskom strukturom. Hijerarhijska struktura prirodno nastaje kada su objekti ili neka njihova svojstva u odnosu podređenosti (ugniježđenje, nasljeđivanje). Sustavi administrativnog upravljanja u pravilu imaju hijerarhijsku strukturu, među čijim elementima se uspostavljaju odnosi subordinacije. Na primjer: direktor tvornice - voditelji trgovina - voditelji odjela - poslovođe - radnici. Sustavi također imaju hijerarhijsku strukturu, među čijim elementima postoje odnosi jednog ulaska u drugi.

Graf hijerarhijske strukture naziva se drvo. Glavno svojstvo stabla je da postoji samo jedan put između bilo koja dva njegova vrha. Stabla ne sadrže cikluse ili petlje.

Pogledajte grafikon koji odražava hijerarhijsku administrativnu strukturu naše države: Ruska Federacija podijeljen u sedam upravnih okruga; Okruzi se dijele na regije (regije i nacionalne republike), koje uključuju gradove i druga naselja. Takav se graf naziva drvo.

Stablo administrativne strukture Ruske Federacije

Stablo ima jedan glavni vrh, koji se zove korijen stabla. Ovaj vrh je prikazan na vrhu; dolaze od nje grane drvo. Razine stabla počinju se brojati od korijena. Vrhovi koji su izravno povezani s korijenom čine prvu razinu. Od njih postoje veze s vrhovima druge razine, itd. Svaki vrh stabla (osim korijena) ima jedan izvornik vrh na prethodnoj razini i može ih imati mnogo generiran vrhova na sljedećoj razini. Ovaj princip povezivanja naziva se " jedan prema mnogima" Zovu se vrhovi koji nemaju djecu ostavlja(u našem grafu to su vrhovi koji predstavljaju gradove).

Opći cilj znanstvene grafike može se formulirati na sljedeći način: učiniti nevidljivo i apstraktno "vidljivim". Posljednja riječ je zatvorena u navodnike, jer je ovaj "izgled" često vrlo uvjetan. Je li moguće vidjeti raspodjelu temperature unutar nejednoliko zagrijanog tijela složenog oblika, a da se u njega ne uvedu stotine mikrosenzora, tj. da se ono suštinski uništi? - Da, moguće je ako postoji odgovarajući matematički model i, što je vrlo važno, dogovor o percepciji određenih konvencija u crtežu. Je li moguće vidjeti distribuciju metalnih ruda pod zemljom bez iskopavanja? Struktura površine stranog planeta na temelju radarskih rezultata? Odgovor na ova i mnoga druga pitanja je da, možete, uz pomoć računalna grafika i matematičke obrade koja mu prethodi.

Štoviše, može se “vidjeti” nešto što, strogo govoreći, općenito ne odgovara dobro riječi “vidjeti”. Dakle, znanost koja je nastala na sjecištu kemije i fizike - kvantna kemija - daje nam priliku "vidjeti" strukturu molekule. Ove slike su vrhunac apstrakcije i sustav konvencija, budući da su u atomskom svijetu naši uobičajeni koncepti čestica (jezgre, elektroni, itd.) fundamentalno neprimjenjivi. Međutim, višebojna “slika” molekule na ekranu računala, za one koji razumiju puni opseg njezinih konvencija, donosi više koristi od tisuća brojeva koji su rezultati izračuna.

Izolinije

Standardna tehnika za obradu rezultata računskog eksperimenta je konstruiranje linija (ploha) tzv izolinije(izoplohe), uz koju neka funkcija ima konstantnu vrijednost. Ovo je vrlo uobičajena tehnika za vizualizaciju karakteristika nekog skalarnog polja u aproksimaciji kontinuiranog medija: izoterme - linije jednake temperature, izobare - linije jednakog tlaka, izolinije funkcije protoka tekućine ili plina, duž kojih se mogu lako zamisliti njihove tokove, izolinije broja ekoloških populacija na tlu, izolinije koncentracije štetnih nečistoća u okolišu itd.

Konture struje

Na slici su prikazane izolinije funkcije strujanja neravnomjerno zagrijanog fluida u pravokutnom području strujanja. Iz ove slike može se jasno procijeniti smjer toka struje i njihov intenzitet.

Uvjetne boje, uvjetni kontrast

Još jedna zanimljiva tehnika moderne znanstvene grafike je uvjetno bojanje. Pronalazi široku primjenu u raznim znanstvenim primjenama i skup je tehnika za najprikladniju vizualizaciju rezultata računalnog modeliranja.

U raznim istraživanjima temperaturnih polja javlja se problem vizualnog prikazivanja rezultata, primjerice, temperatura na meteorološkim kartama. Da biste to učinili, možete nacrtati izoterme na pozadini karte područja. Ali možete postići još veću jasnoću, s obzirom na to da većina ljudi crvenu boju doživljava kao "vruću", a plavu kao "hladnu". Prijelaz duž spektra od crvene do plave odražava međuvrijednosti temperature.

Isto se može učiniti pri ilustriranju temperaturnog polja i na površini dijela koji se obrađuje na stroju i na površini udaljenog planeta.

Pri modeliranju složenih organskih molekula računalo može dati rezultate u obliku višebojne slike, u kojoj su atomi vodika prikazani jednom bojom, ugljik drugom itd., a atom je prikazan lopticom (kružićem) unutar koje gustoća boje mijenja se u skladu s raspodjelom gustoće elektrona. Prilikom traženja minerala korištenjem fotografija iz zraka iz zrakoplova ili svemirskih satelita, računala izrađuju uvjetne slike u boji raspodjele gustoće ispod Zemljine površine.

Slike u uvjetnim bojama i kontrastima moćna su tehnika u znanstvenoj grafici. Omogućuje razumijevanje strukture ne samo ravnih, već i trodimenzionalnih (trodimenzionalnih) objekata i daje istraživaču u ruke jednu od izvanrednih metoda spoznaje.

Studij modeliranja grafičkih informacija ne treba brkati sa proučavanjem tehnologija grafičke obrade informacija. Kada učenici počnu učiti modeliranje, obično su već upoznati s osnovnim tehnologijama računalne grafike: znaju koristiti jednostavne grafičke editore, znaju graditi dijagrame u tabličnom procesoru ili drugom prikladnom programu.

Izrada jednostavnih grafičkih modela u obliku grafikona i hijerarhijskih struktura prikladna je već u osnovni tečaj informatike u okviru izučavanja teme “Formalizacija i modeliranje”. Izgradnja obiteljskog stabla, hijerarhijskog sustava upravljanja školom itd. je relativno jednostavna aktivnost koja je dostupna većini učenika. U ovom slučaju prikladno je koristiti ilustrativne mogućnosti računalnih grafičkih sustava.

Što se tiče samostalne implementacije znanstvenih grafičkih modela programiranjem, radi se o gradivu povećane težine čija je praktična izrada prikladna u specijaliziranom kolegiju informatike ili u sklopu izbornog kolegija usmjerenog na produbljeno proučavanje modeliranja fizičkih i drugih procesima.

Simulacijski model reproducira ponašanje složenog sustava elemenata koji međusobno djeluju. Simulacijsko modeliranje karakterizira prisutnost sljedećih okolnosti (sve ili neke od njih istovremeno):

· objekt modeliranja je složeni heterogeni sustav;

· simulirani sustav sadrži faktore slučajnog ponašanja;

· potrebno je dobiti opis procesa koji se razvija tijekom vremena;

· fundamentalno je nemoguće dobiti rezultate simulacije bez korištenja računala.

Stanje svakog elementa simuliranog sustava opisuje se skupom parametara koji su pohranjeni u memoriji računala u obliku tablica. Interakcije elemenata sustava opisane su algoritamski. Modeliranje se provodi korak po korak. U svakom koraku modeliranja mijenjaju se vrijednosti parametara sustava. Program koji implementira simulacijski model odražava promjene u stanju sustava, proizvodeći vrijednosti njegovih potrebnih parametara u obliku tablica po vremenskim koracima ili u slijedu događaja koji se događaju u sustavu. Za vizualizaciju rezultata modeliranja često se koristi grafički prikaz, uklj. animirani.

Simulacijski model temelji se na oponašanju stvarnog procesa (imitacija). Na primjer, pri modeliranju promjene (dinamike) broja mikroorganizama u koloniji, možete uzeti u obzir mnoge pojedinačne objekte i pratiti sudbinu svakog od njih, postavljajući određene uvjete za njegov opstanak i reprodukciju
itd. Ti se uvjeti obično navode usmeno. Na primjer: mikroorganizam se nakon određenog vremena podijeli na dva dijela, a nakon drugog (dužeg) vremena ugine. Ispunjavanje opisanih uvjeta algoritamski je implementirano u model.

Drugi primjer: modeliranje kretanja molekula u plinu, kada je svaka molekula predstavljena kao lopta s određenim smjerom i brzinom kretanja. Interakcija dviju molekula ili molekule sa stijenkom posude odvija se prema zakonima apsolutno elastičnog sudara i lako se algoritamski opisuje. Integralne (opće, usrednjene) karakteristike sustava dobivaju se na razini statističke obrade rezultata modeliranja.

Takav računalni eksperiment zapravo tvrdi da reproducira eksperiment u punoj veličini. Na pitanje: "Zašto to trebate učiniti?" možemo dati sljedeći odgovor: simulacija nam omogućuje da istaknemo „u čisti oblik” posljedice hipoteza ugrađenih u ideje o mikrodogađajima (tj. na razini elemenata sustava), oslobađajući ih od neizbježnog utjecaja drugih čimbenika u prirodnom eksperimentu koje možda niti ne slutimo. Ako takvo modeliranje uključuje i elemente matematički opis procese na mikrorazini, a ako istraživač ne postavi zadatak pronalaženja strategije za reguliranje rezultata (primjerice, kontrolu veličine kolonije mikroorganizama), tada razlika između simulacijskog modela i matematičkog (deskriptivnog) jedna ispada sasvim uvjetna.

Gore navedeni primjeri simulacijskih modela (evolucija kolonije mikroorganizama, kretanje molekula u plinu) dovode do deterministički opis sustava . Nedostaju im elementi vjerojatnosti i slučajnosti događaja u simuliranim sustavima. Razmotrimo primjer modeliranja sustava koji ima te kvalitete.

Tko nije stajao u redu i nestrpljivo se pitao hoće li uspjeti obaviti kupnju (ili platiti najam, provozati se na vrtuljku i sl.) u vremenu koje mu je na raspolaganju? Ili, pokušavajući nazvati liniju za pomoć i nailazeći nekoliko puta na kratke zvučne signale, postajete nervozni i procjenjujete mogu li dobiti ili ne? Iz takvih “jednostavnih” problema rodila se početkom 20. stoljeća nova grana matematike - teorija čekanja, uz korištenje aparata teorije vjerojatnosti i matematičke statistike, diferencijalnih jednadžbi i numeričkih metoda. Naknadno se pokazalo da ova teorija ima brojne implikacije u ekonomiji, vojnim poslovima, organizaciji proizvodnje, biologiji i ekologiji itd.

Računalna simulacija za rješavanje problema čekanja implementirana u obliku statistička metoda ispitivanja(Monte Carlo metoda) igra važnu ulogu. Mogućnosti analitičkih metoda za rješavanje stvarnih problema čekanja su vrlo ograničene, dok je statistička metoda testiranja univerzalna i relativno jednostavna.

Razmotrimo najjednostavniji problem ove klase. Postoji trgovina s jednim prodavačem u koju kupci nasumično ulaze. Ako je prodavač slobodan, tada počinje odmah služiti kupcu, ako uđe nekoliko kupaca u isto vrijeme, formira se red. Postoje mnoge druge slične situacije:

· prostor za popravak u voznom parku i autobuse koji su sišli s pruge zbog kvara;

· hitna pomoć i pacijenti koji su došli na termin zbog ozljede (tj. bez sustava zakazivanja);

· telefonska centrala s jednim ulazom (ili jednim telefonistom) i pretplatnicima koji se stavljaju u red kada je ulaz zauzet (takav sustav se ponekad prakticira);

· poslužitelj lokalna mreža i osobna računala na radnom mjestu koja šalju poruku poslužitelju koji može primiti i obraditi najviše jednu poruku odjednom.

Proces dolaska kupaca u trgovinu je slučajan proces. Vremenski intervali između dolazaka bilo kojeg uzastopnog para kupaca neovisni su slučajni događaji raspoređeni prema nekom zakonu, koji se može ustanoviti samo brojnim opažanjima (ili se neka njegova plauzibilna verzija uzima za modeliranje). Drugi slučajni proces u ovom problemu, koji ni na koji način nije povezan s prvim, je trajanje usluge za svakog korisnika.

Svrha modeliranja sustava ove vrste je dobiti odgovore na niz pitanja. Relativno jednostavno pitanje: koje je prosječno vrijeme koje ćete morati čekati u redu s obzirom na zakone distribucije gornjih slučajnih varijabli? Još teže pitanje: kakva je raspodjela vremena čekanja na uslugu u redu? Jednako teško pitanje: pri kojim će omjerima parametara ulaznih raspodjela nastupiti kriza u kojoj nikada neće doći na red novoušli kupac? Kada razmišljate o ovom relativno jednostavnom zadatku, moguća pitanja se umnožavaju.

Metoda modeliranja općenito izgleda ovako. Matematičke formule koje se koriste su zakoni raspodjele početnih slučajnih varijabli; korištene numeričke konstante su empirijski parametri uključeni u ove formule. Nisu riješene jednadžbe koje bi se koristile u analitičkom proučavanju ovog problema. Umjesto toga, postoji simulirani red čekanja, koji se igra pomoću računalni programi, generiranje slučajnih brojeva sa zadanim zakonima distribucije. Zatim se provodi statistička obrada skupa dobivenih vrijednosti veličina određenih zadanim ciljevima modeliranja. Na primjer, optimalan broj prodavača pronađen je za različita razdoblja rada trgovine, što će osigurati odsutnost redova. Matematički aparat koji se ovdje koristi naziva se metode matematičke statistike.

Članak “Modeliranje ekoloških sustava i procesa” 2 opisuje još jedan primjer simulacijskog modeliranja: jedan od mnogih modela sustava “predator-plijen”. Jedinke vrsta koje se nalaze u navedenim odnosima, prema određenim pravilima koja sadrže elemente slučajnosti, kreću se, predatori jedu žrtve, oboje se razmnožavaju itd. Takav model ne sadrži nikakve matematičke formule, već zahtijeva statističku obradu rezultata.

Primjer algoritma determinističkog simulacijskog modela

Razmotrimo simulacijski model evolucije populacije živih organizama, poznat kao "Život", koji je lako implementirati u bilo kojem programskom jeziku.

Za konstruiranje algoritma igre, razmotrite kvadratno polje od n+ 1 stupaca i redaka s redovitim numeriranjem od 0 do n. Radi praktičnosti, definiramo krajnje granične stupce i retke kao "mrtvu zonu"; igraju samo pomoćnu ulogu.

Za bilo koju unutarnju ćeliju polja s koordinatama ( ja, j) možete definirati 8 susjeda. Ako je stanica "živa", prebojamo je; ako je stanica "mrtva", jest prazan.

Postavimo pravila igre. Ako ćelija ( ja, j) je “živ” i okružen je s više od tri “žive” stanice, umire (od prenapučenosti). “Živa” stanica također umire ako su u njenom okruženju manje od dvije “žive” stanice (od usamljenosti). “Mrtva” stanica oživi ako se oko nje pojave tri “žive” stanice.

Radi praktičnosti, predstavljamo dvodimenzionalni niz A, čiji elementi imaju vrijednost 0 ako je odgovarajuća ćelija prazna, odnosno 1 ako je ćelija “živa”. Zatim algoritam za određivanje stanja ćelije s koordinatom ( ja, j) može se definirati na sljedeći način:

S:= A + A +

A + A

A+A+

A + A;

Ako je (A = 1) I((S > 3) Ili

(S<)) Zatim B := 0;

Ako je (A = 0) I(S=3)

Tada je B := 1;

Evo niza B određuje koordinate polja u sljedećoj fazi. Za sve unutarnje ćelije iz ja= 1 prema n– 1 i j= 1 prema n– 1 gore navedeno je točno. Imajte na umu da su sljedeće generacije definirane na sličan način, samo trebate provesti postupak preraspodjele:

Za mene: = 1 Do N - 1 Čini

Za J:= 1 Do N - 1 Čini

A := B;

Pogodnije je prikazati status polja na zaslonu ne u obliku matrice, već u grafičkom obliku.

Ostaje samo utvrditi postupak postavljanja početne konfiguracije igrališta. Pri nasumičnom određivanju početnog stanja ćelija prikladan je algoritam

Za mene: = 1 Do K Čini

Početak K1:= Nasumično(N - 1);

K2:= Nasumično (N - 1) + 1;

Korisniku je zanimljivije da sam postavi početnu konfiguraciju, što je lako implementirati. Kao rezultat pokusa s ovim modelom mogu se pronaći, na primjer, stabilna naselja živih organizama koji nikada ne umiru, ostaju nepromijenjeni ili mijenjaju svoju konfiguraciju tijekom određenog razdoblja. Apsolutno nestabilno (propada u drugoj generaciji) je "križno" naseljavanje.

U osnovnom tečaju informatike studenti mogu implementirati simulacijski model “Život” kao dio odjeljka “Uvod u programiranje”. Temeljitije ovladavanje simulacijskim modeliranjem može se dogoditi u srednjoj školi u okviru stručnog ili izbornog kolegija informatike. O ovoj će se opciji raspravljati u nastavku.

Početak studija je predavanje o simulacijskom modeliranju slučajnih procesa. U ruskim školama pojmovi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike tek se počinju uvoditi u tečajeve matematike, a učitelj treba biti spreman za uvod u ovo gradivo, što je bitno za formiranje svjetonazora i matematičke kulture. Naglašavamo da je riječ o elementarnom uvodu u niz pojmova o kojima se raspravlja; to se može učiniti za 1-2 sata.

Zatim raspravljamo o tehničkim pitanjima koja se odnose na računalno generiranje nizova slučajnih brojeva sa zadanim zakonom raspodjele. U ovom slučaju možemo se osloniti na činjenicu da svaki univerzalni programski jezik ima senzor slučajnih brojeva ravnomjerno raspoređenih na intervalu od 0 do 1. U ovoj je fazi neprikladno ulaziti u složeno pitanje načela njegove provedbe. Na temelju postojećih senzora nasumičnog broja, pokazujemo kako urediti

a) generator ravnomjerno raspoređenih slučajnih brojeva na bilo kojem intervalu [ a, b];

b) generator slučajnih brojeva pod gotovo bilo kojim zakonom distribucije (na primjer, korištenjem intuitivno jasne metode "odabir-odbijanje").

Preporučljivo je započeti razmatranje gore opisanog problema čekanja s raspravom o povijesti rješavanja problema čekanja (Erlangov problem servisiranja zahtjeva na telefonskoj centrali). Slijedi razmatranje najjednostavnijeg problema koji se može formulirati na primjeru formiranja i opsluživanja reda čekanja u trgovini s jednim prodavačem. Imajte na umu da u prvoj fazi modeliranja distribucije slučajne varijable na ulazu može se pretpostaviti jednako vjerojatnim, što, iako nije realno, uklanja brojne poteškoće (za generiranje slučajnih brojeva možete jednostavno koristiti senzor ugrađen u programski jezik).

Skrećemo pozornost studentima na to koja se pitanja prva postavljaju pri modeliranju sustava ove vrste. Prvo, to je izračun prosječnih vrijednosti (matematičkih očekivanja) nekih slučajnih varijabli. Na primjer, koje je prosječno vrijeme čekanja u redu na šalteru? Ili: pronađite prosječno vrijeme koje je prodavač proveo čekajući kupca.

Zadatak nastavnika je posebno objasniti da su uzorkovana sredstva sama po sebi slučajne varijable; u drugom uzorku iste veličine imat će različite vrijednosti (s velikim veličinama uzorka - ne previše se međusobno razlikuju). Moguće su daljnje opcije: u spremnijoj publici možete pokazati metodu za procjenu intervala pouzdanosti u kojoj se matematička očekivanja odgovarajućih slučajnih varijabli nalaze na danim vjerojatnostima pouzdanosti (koristeći metode poznate iz matematičke statistike bez pokušaja da ih opravdate). Za manje pripremljenu publiku možemo se ograničiti na čisto empirijsku izjavu: ako se u nekoliko uzoraka jednake veličine prosječne vrijednosti podudaraju na određenom decimalnom mjestu, tada je ovaj znak najvjerojatnije točan. Ako simulacija ne uspije postići željenu točnost, potrebno je povećati veličinu uzorka.

Za još matematički pripremljeniju publiku može se postaviti pitanje kakva je distribucija slučajnih varijabli koje su rezultati statističkog modeliranja s obzirom na zadane distribucije slučajnih varijabli koje su njegovi ulazni parametri? Budući da je prikaz odgovarajuće matematičke teorije u ovom slučaju nemoguć, trebali bismo se ograničiti na empirijske tehnike: konstruiranje histograma konačnih distribucija i njihovu usporedbu s nekoliko tipičnih distribucijskih funkcija.

Nakon svladavanja početnih vještina ovog modeliranja, prelazimo na realističniji model, u kojem su ulazni tokovi slučajnih događaja raspoređeni, na primjer, prema Poissonu. To će od učenika zahtijevati dodatno ovladavanje metodom generiranja nizova slučajnih brojeva sa zadanim zakonom raspodjele.

U razmatranom problemu, kao iu svakom složenijem problemu o redovima čekanja, može doći do kritične situacije kada red čekanja s vremenom neograničeno raste. Modeliranje pristupa kritičnoj situaciji s povećanjem jednog od parametara zanimljiv je istraživački zadatak za najspremnije studente.

Koristeći problem čekanja kao primjer, nekoliko novih koncepata i vještina se vježba odjednom:

· koncepti slučajnih procesa;

· koncepti i jednostavne vještine simulacijskog modeliranja;

· konstrukcija optimizacijskih simulacijskih modela;

· konstrukcija višekriterijskih modela (rješavanjem problema o najracionalnijoj usluzi kupcima u kombinaciji s interesima vlasnika trgovine).

Matematički model - približan opis objekta modeliranja, izražen matematičkim simbolima.

Matematički modeli pojavili su se zajedno s matematikom prije mnogo stoljeća. Pojava računala dala je veliki poticaj razvoju matematičkog modeliranja. Korištenje računala omogućilo je analizu i primjenu u praksi mnogih matematičkih modela koji prije nisu bili podložni analitičkom istraživanju. Računalno implementiran matematički model nazvao računalni matematički model, A provođenje ciljanih izračuna korištenjem računalnog modela nazvao računski eksperiment.

Faze računalnog matematičkog modeliranja prikazane su na slici. Prva razina- određivanje ciljeva modeliranja. Ovi ciljevi mogu biti različiti:

1) model je potreban da bi se razumjelo kako je strukturiran određeni objekt, kakva je njegova struktura, njegova osnovna svojstva, zakonitosti razvoja i interakcije s vanjskim svijetom (razumijevanje);

2) model je potreban kako bi se naučilo upravljati objektom (ili procesom) i odrediti najbolje metode upravljanja za zadane ciljeve i kriterije (upravljanje);

3) model je potreban da bi se predvidjele izravne i neizravne posljedice primjene zadanih metoda i oblika utjecaja na objekt (predviđanje).

Objasnimo na primjerima. Neka predmet proučavanja bude interakcija protoka tekućine ili plina s tijelom koje je prepreka tom protoku. Iskustvo pokazuje da sila otpora strujanju na dijelu tijela raste s povećanjem brzine strujanja, ali pri nekoj dovoljno velikoj brzini ta sila naglo opada da bi daljnjim povećanjem brzine ponovno rasla. Što je uzrokovalo smanjenje sile otpora? Matematičko modeliranje omogućuje nam da dobijemo jasan odgovor: u trenutku naglog smanjenja otpora, vrtlozi formirani u toku tekućine ili plina iza aerodinamičnog tijela počinju se odvajati od njega i odnosi ih tok.

Primjer iz sasvim drugog područja: populacije dviju vrsta jedinki koje su mirno koegzistirale sa stabilnim brojem i zajedničkim opskrbama hranom, "iznenada" počinju naglo mijenjati svoj broj. I ovdje matematičko modeliranje omogućuje (s određenim stupnjem pouzdanosti) utvrđivanje uzroka (ili barem opovrgavanje određene hipoteze).

Razvijanje koncepta za upravljanje objektom još je jedan mogući cilj modeliranja. Koji način leta zrakoplova trebam odabrati kako bih osigurao da je let siguran i ekonomski najisplativiji? Kako rasporediti stotine vrsta radova na izgradnji velikog objekta tako da se završi u najkraćem roku? Mnogi takvi problemi sustavno se pojavljuju pred ekonomistima, dizajnerima i znanstvenicima.

Konačno, predviđanje posljedica određenih utjecaja na objekt može biti relativno jednostavna stvar u jednostavnim fizičkim sustavima, ali i izuzetno složena - na rubu izvedivog - u biološkim, ekonomskim i društvenim sustavima. Dok je relativno lako odgovoriti na pitanje o promjenama u načinu distribucije topline u tankoj šipki zbog promjena u leguri koja je sastavna, neusporedivo je teže pratiti (predvidjeti) ekološke i klimatske posljedice izgradnje velikog štapa. hidroelektrane ili socijalne posljedice promjena poreznog zakonodavstva. Možda će i ovdje metode matematičkog modeliranja u budućnosti pružiti značajniju pomoć.

Druga faza: određivanje ulaznih i izlaznih parametara modela; podjela ulaznih parametara prema stupnju važnosti utjecaja njihovih promjena na izlaz. Taj se proces naziva rangiranje ili odvajanje po rangu (vidi . “Formalizacija i modeliranje”).

Treća faza: izgradnja matematičkog modela. U ovoj fazi dolazi do prijelaza s apstraktne formulacije modela na formulaciju koja ima specifičan matematički prikaz. Matematički model su jednadžbe, sustavi jednadžbi, sustavi nejednadžbi, diferencijalne jednadžbe ili sustavi takvih jednadžbi itd.

Četvrta faza: odabir metode za proučavanje matematičkog modela. Ovdje se najčešće koriste numeričke metode koje se dobro mogu programirati. U pravilu je za rješavanje istog problema prikladno nekoliko metoda koje se razlikuju po točnosti, stabilnosti itd. Uspjeh cjelokupnog procesa modeliranja često ovisi o pravilnom odabiru metode.

Peta faza: razvoj algoritma, kompilacija i otklanjanje pogrešaka računalnog programa - proces koji je teško formalizirati. Među programskim jezicima, mnogi profesionalci preferiraju FORTRAN za matematičko modeliranje: i zbog tradicije i zbog nenadmašne učinkovitosti kompajlera (za računski rad) i dostupnosti golemih, pažljivo ispravljenih pogrešaka i optimiziranih biblioteka standardnih programa za matematičke metode napisanih u njemu . U upotrebi su i jezici kao što su PASCAL, BASIC, C, ovisno o prirodi zadatka i sklonostima programera.

Šesta faza: testiranje programa. Rad programa testira se na testnom zadatku s unaprijed poznatim odgovorom. Ovo je tek početak postupka testiranja koji je teško opisati na formalno sveobuhvatan način. U pravilu, testiranje završava kada korisnik, na temelju svojih profesionalnih karakteristika, smatra da je program ispravan.

Sedma faza: stvarni računalni eksperiment, tijekom kojeg se utvrđuje odgovara li model stvarnom objektu (procesu). Model je dovoljno adekvatan stvarnom procesu ako se neke značajke procesa dobivene računalom poklapaju s eksperimentalno dobivenim karakteristikama sa zadanim stupnjem točnosti. Ako model ne odgovara stvarnom procesu, vraćamo se na jednu od prethodnih faza.

Klasifikacija matematičkih modela

Klasifikacija matematičkih modela može se temeljiti na različitim principima. Modele možete klasificirati po granama znanosti (matematički modeli u fizici, biologiji, sociologiji itd.). Mogu se klasificirati prema korištenom matematičkom aparatu (modeli temeljeni na korištenju običnih diferencijalnih jednadžbi, parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, stohastičkih metoda, diskretnih algebarskih transformacija itd.). Konačno, ako pođemo od općih problema modeliranja u različitim znanostima, bez obzira na matematički aparat, najprirodnija je sljedeća klasifikacija:

· deskriptivni (deskriptivni) modeli;

· modeli optimizacije;

· višekriterijski modeli;

· modeli igre.

Objasnimo to primjerima.

Deskriptivni (deskriptivni) modeli. Na primjer, modeliranje kretanja kometa koji je upao u Sunčev sustav provodi se kako bi se predvidjela njegova putanja leta, udaljenost na kojoj će proći od Zemlje itd. U ovom slučaju, ciljevi modeliranja su deskriptivne prirode, budući da ne postoji način da se utječe na kretanje kometa ili da se nešto u njemu promijeni.

Optimizacijski modeli koriste se za opisivanje procesa na koje se može utjecati u pokušaju postizanja zadanog cilja. U tom slučaju model uključuje jedan ili više parametara na koje se može utjecati. Na primjer, kada mijenjate toplinski režim u žitnici, možete postaviti cilj odabira režima koji će postići maksimalnu sigurnost zrna, tj. optimizirati proces skladištenja.

Višekriterijski modeli. Često je potrebno optimizirati proces po nekoliko parametara istovremeno, a ciljevi mogu biti prilično kontradiktorni. Na primjer, poznavajući cijene hrane i čovjekove potrebe za hranom, potrebno je fiziološki pravilno, a ujedno što jeftinije organizirati prehranu velikih grupa ljudi (u vojsci, dječjem kampu i sl.). moguće. Jasno je da se ti ciljevi uopće ne poklapaju, tj. Pri modeliranju će se koristiti nekoliko kriterija između kojih se mora tražiti ravnoteža.

Modeli igara mogu se odnositi ne samo na računalne igre, već i na vrlo ozbiljne stvari. Na primjer, prije bitke, zapovjednik, ako postoje nepotpuni podaci o protivničkoj vojsci, mora razviti plan: kojim redoslijedom uvesti pojedine jedinice u bitku itd., uzimajući u obzir moguću reakciju neprijatelja. Postoji posebna grana moderne matematike - teorija igara - koja proučava metode donošenja odluka u uvjetima nepotpunih informacija.

U školskom tečaju informatike učenici stječu početno razumijevanje računalnog matematičkog modeliranja kao dio osnovnog tečaja. U srednjoj školi matematičko modeliranje može se dublje proučavati u općeobrazovnom kolegiju za fiziku i matematiku, kao iu sklopu stručnog izbornog predmeta.

Glavni oblici nastave računalnog matematičkog modeliranja u srednjoj školi su predavanja, laboratorijske vježbe i kolokvijumi. Obično rad na stvaranju i pripremi za proučavanje svakog novog modela traje 3-4 lekcije. Tijekom izlaganja gradiva postavljaju se problemi koje studenti ubuduće moraju samostalno rješavati te se općenito ocrtavaju načini njihova rješavanja. Formulirana su pitanja čije odgovore treba dobiti prilikom ispunjavanja zadataka. Navedena je dodatna literatura koja vam omogućuje dobivanje pomoćnih informacija za uspješnije izvršavanje zadataka.

Oblik organizacije nastave pri proučavanju novog gradiva najčešće je predavanje. Nakon obrade sljedećeg modela studentima su na raspolaganju potrebne teorijske informacije i niz zadataka za daljnji rad. U pripremi za rješavanje zadatka, studenti biraju odgovarajuću metodu rješavanja i testiraju izrađeni program koristeći neko poznato privatno rješenje. U slučaju vrlo mogućih poteškoća pri izvršavanju zadataka, daju se konzultacije i predlaže detaljnije proučavanje ovih odjeljaka u literarnim izvorima.

Za praktični dio nastave računalnog modeliranja najprikladnija je projektna metoda. Zadatak se formulira za studenta u obliku edukativnog projekta i provodi se kroz nekoliko sati, a glavni organizacijski oblik je rad na računalu. Nastava modeliranja metodom obrazovnog projekta može se provoditi na različitim razinama. Prvi je problemski prikaz procesa izrade projekta koji vodi nastavnik. Drugi je provedba projekta od strane učenika pod vodstvom učitelja. Treći je da studenti samostalno završe obrazovno istraživački projekt.

Rezultate rada potrebno je prikazati u numeričkom obliku, u obliku grafikona i dijagrama. Ako je moguće, proces se prikazuje na zaslonu računala u dinamici. Po završetku izračuna i primitka rezultata, oni se analiziraju, uspoređuju s poznatim činjenicama iz teorije, potvrđuje se pouzdanost i provodi smislena interpretacija, koja se naknadno odražava u pisanom izvješću.

Ako rezultati zadovolje učenika i nastavnika, tada se rad smatra završenim, a završna faza je izrada izvješća. Izvješće sadrži kratke teorijske informacije o temi koja se proučava, matematičku formulaciju problema, algoritam rješenja i njegovo obrazloženje, računalni program, rezultate programa, analizu rezultata i zaključke te popis literature.

Nakon što su sva izvješća sastavljena, na ispitnom satu studenti daju kratka izvješća o obavljenom radu i brane svoj projekt. Ovo je učinkovit oblik izvješća grupe koja provodi projekt razredu, uključujući postavljanje problema, izgradnju formalnog modela, odabir metoda za rad s modelom, implementaciju modela na računalu, rad s gotovim modelom, tumačenje rezultate i predviđanja. Kao rezultat toga, studenti mogu dobiti dvije ocjene: prvu - za razradu projekta i uspješnost njegove obrane, drugu - za program, optimalnost njegovog algoritma, sučelja itd. Učenici također dobivaju ocjene tijekom teorijskih kvizova.

Ključno pitanje je koje alate koristiti u školskom tečaju informatike za matematičko modeliranje? Računalna implementacija modela može se provesti:

· korištenje procesora za proračunske tablice (obično MS Excel);

· izradom programa u tradicionalnim programskim jezicima (Pascal, BASIC i dr.), kao i u njihovim modernim verzijama (Delphi, Visual Basic for Application i dr.);

· korištenje posebnih aplikacijskih paketa za rješavanje matematičkih problema (MathCAD i sl.).

Na razini osnovne škole prvi se način čini poželjnijim. No, u srednjoj školi, kada je programiranje, uz modeliranje, ključna tema informatike, preporučljivo ga je koristiti kao alat za modeliranje. Tijekom procesa programiranja učenicima postaju dostupni detalji matematičkih postupaka; Štoviše, jednostavno su ih prisiljeni svladati, a to također pridonosi matematičkom obrazovanju. Što se tiče korištenja posebnih programskih paketa, to je primjereno u specijaliziranom tečaju informatike kao dopuna drugim alatima.

Modeli koji se koriste u raznim znanostima (fizici, biologiji, ekonomiji itd.) matematičke su slike relativno izoliranih procesa i pojava. Svaki od njih omogućuje vam rješavanje problema koji su važni za određenu znanost ili vrstu aktivnosti. Ali sve je to, u svojoj univerzalnoj važnosti, inferiorno u odnosu na najvažnije pitanje za ljude: kakva je neposredna budućnost čovječanstva kao vrste kao cjeline? Kako će se svijet razvijati u dogledno vrijeme? Naglasimo da ne govorimo o političkim ili ekonomskim prognozama za bilo koju državu ili društvo, već o čovječanstvu u cjelini – kakvu budućnost ono (svi mi koji živimo na Zemlji) ima?

Ljudi u sadašnjem životu imaju mnogo specifičnih problema i malo su skloni takvim općim razmišljanjima. Život pojedinog čovjeka prekratak je, a prije samo stoljeće ili dva globalne promjene u svijetu tijekom života jednog čovjeka bile su malo primjetne, čak i ako je živio u prilično turbulentnom dobu. Ali u 20. stoljeću tempo događaja ubrzao se kao nikada prije u ljudskoj povijesti. Predviđanja budućih globalnih katastrofa postala su sve češća: smrt prirode zbog industrijskog onečišćenja, pojava “ozonskih rupa” u stratosferi koja nas štiti od kozmičkog zračenja, iscrpljivanje sredstava za reprodukciju kisika zbog masovne sječe šuma itd. Čak i manje katastrofalan događaj - primjerice iscrpljivanje prirodnih resursa - može dovesti do radikalnih promjena u načinu života čovječanstva, a posebice u zemljama koje su danas najindustrijaliziranije.

Budućnost čovječanstva određena je golemim brojem procesa, koje ono dijelom kontrolira, dijelom ne, a ti su procesi toliko međusobno povezani i imaju tako proturječne posljedice da samo njihovo matematičko modeliranje u cijeloj njihovoj razumnoj ukupnosti, implementirano na suvremenim računalima, može dati kvalitativno ispravnu prognozu. Bez obzira na to koliko veliko neizbježno ogrubljivanje stvarnosti može biti s takvim modeliranjem, postoji toliko mnogo čimbenika od iznimne važnosti da čak ni najmoćniji um ne može pratiti njihovu interakciju.

Odgovarajući modeli, tzv globalno(sveobuhvatan), prvi put se pojavio 70-ih godina prošlog stoljeća. Najpoznatiji modeli su SVIJET-1 (SVIJET-1), SVIJET-2, SVIJET-3, koje je formulirala i proučavala grupa zaposlenika na Massachusetts Institute of Technology (SAD) pod vodstvom D.Kh. Meadows i D. Forrester. Rezultati njihova rada svojedobno su izazvali senzaciju u svijetu, jer je većina scenarija mogućeg razvoja događaja dovela do završetaka koji bi se mogli nazvati smakom svijeta (naravno, sa stanovišta čovječanstva). Pritom su autori u više navrata naglašavali da nije riječ o unaprijed određenoj budućnosti, već o izboru putova razvoja čovječanstva, među kojima ima i onih koji vode do stabilnosti, do prosperitetne egzistencije čovječanstva.

Što bi mogao biti uzrok moguće nestabilnosti? Karakteristična značajka ljudskog života u razdoblju nakon početka industrijske revolucije bio je brz - često eksponencijalno brz - rast mnogih pokazatelja. Razdoblje udvostručavanja Zemljine populacije iznosi približno 40 godina (prisutnost takvog konstantnog razdoblja karakteristična je značajka eksponencijalnog rasta). Biolozi i ekolozi dobro znaju da eksponencijalni porast veličine populacije najčešće završava katastrofalno - iscrpljuju se izvori koji podržavaju njezino postojanje. Sa stajališta postojanja vrste, to nije tragedija (osim jedinstvenih slučajeva kada se određena vrsta svede na jednu populaciju). Međutim, u naše vrijeme čovječanstvo je potrošilo gotovo sve svoje resurse za ekstenzivan rast i širenje. Obujam industrijske proizvodnje u 20. stoljeću također je rastao gotovo eksponencijalno, s godišnjom stopom rasta od prosječno 3,3%. To dovodi do iscrpljivanja prirodnih resursa – minerala, čiste vode, čistog zraka. Atmosferski sadržaj jednog od stabilnih ugljikovih spojeva (dioksida) kao rezultat izgaranja fosilnih goriva i iscrpljivanja šuma povećao se za trećinu od početka stoljeća; potencijalno to dovodi do globalnog zatopljenja na Zemlji s najkatastrofalnijim posljedicama. Što je više ljudi, potrebno je više hrane, a globalna količina primijenjenih mineralnih gnojiva eksponencijalno raste s periodom udvostručavanja od oko 15 godina. Jasno je, čak i bez ikakvog modeliranja, da takav život s neobuzdanim rastom svega i svakoga ne može trajati dugo – a sada je “dugo” usporedivo sa životnim vijekom dvije ili tri generacije.

Teškoća praćenja posljedica takvog tijeka događaja također je u tome što se svaki pojedinačni globalni proces ne može jednoznačno nazvati "dobrim" ili "lošim" sa stajališta njegovog utjecaja na sudbinu čovječanstva. Na primjer, povećanje proizvodnje gnojiva dovodi do povećanja proizvodnje hrane - to je "dobro". Ali "loša stvar" je što isti proces dovodi do smanjenja opskrbe čistom slatkom vodom, koja je pokvarena gnojivima koja padaju kroz tlo s kišom u rijeke i podzemne izvore. Osim toga, porast proizvodnje gnojiva dovodi do potrebe za povećanjem proizvodnje energije i time povezanog kemijskog i toplinskog onečišćenja tla, atmosfere i sl. Odvagati utjecaj takvih situacija na razvoj čovječanstva moguće je samo uzimajući u obzir sve čimbenike istovremeno.

Ima li mogućnosti da se izbjegnu katastrofalne posljedice za ljudski razvoj? Kao rezultat modeliranja formulirana su sljedeća tri pravila čije je poštivanje, prema mišljenju autora modela, nužno za globalnu održivost:

1. Za obnovljive izvore (šuma, voda, riba, itd.), stopa potrošnje ne smije premašiti stopu prirodnog oporavka.

2. Za neobnovljive resurse (ugljen, nafta, rude i dr.) stopa potrošnje ne bi trebala prelaziti stopu njihove zamjene obnovljivim (razvoj energije sunca i vjetra, sadnja šuma i dr.) i stopu razvoja novih tehnologija za osiguranje zamjenskih resursa; tako da će nakon nestanka npr. nafte biti osiguran dotok energije iz novog izvora.

3. Za onečišćujuće tvari, maksimalna stopa emisije ne bi trebala premašiti stopu kojom se te tvari prerađuju ili gube svoja svojstva štetna za okoliš.

Trenutno se čovječanstvo, nažalost, ne vodi ovim pravilima. Ako u prošlim stoljećima to nije predstavljalo opasnost za vrstu u cjelini, danas se situacija promijenila.

Opišimo ukratko jedan od globalnih modela - SVIJET-3 (SVIJET-3). Model se sastoji od pet sektora:

· postojano onečišćenje;

· neobnovljivi izvori;

· populacija;

· poljoprivreda (proizvodnja hrane, plodnost zemljišta, razvoj zemljišta);

· gospodarstvo (industrijska proizvodnja, uslužna proizvodnja, radna mjesta).

Početni su primarni odnosi, kao što su:

· rezerve stanovništva i industrijskog kapitala;

· broj stanovnika i površina obradivog zemljišta;

· površina obradivog zemljišta i obujam industrijskog kapitala;

· stanovništvo i kapital uslužnog sektora;

· kapital uslužnog sektora i industrijski kapital itd.

U svakom sektoru svi primarni odnosi se prate i izražavaju matematičkim odnosima. Po potrebi se uzimaju u obzir procesi materijalnog i informacijskog kašnjenja, budući da reakcija, recimo, veličine populacije na poboljšanu prehranu nije trenutna, već odgođena. To je tipično za većinu razmatranih procesa.

Model WORLD-3 ima deskriptivne i optimizacijske značajke. Njegova je glavna svrha predstaviti moguće načine na koje gospodarstvo (u širem smislu riječi) može postići globalnu populaciju koju može neograničeno uzdržavati okoliš. Ne predviđa razvoj određene zemlje i ne rješava nikakva lokalna pitanja. Model pretpostavlja da na Zemlji postoji globalna zajednica.

Populaciona dinamika cjelovita je karakteristika koja objedinjuje sve čimbenike. Čisto spekulativno, moguće su dvije vrste stabilne dinamike (kontinuirani rast ili glatko približavanje ravnoteži) i tri vrste nestabilne povezane s prekoračenjem dopuštenih granica (oscilacije praćene dosezanjem stacionarnog stanja, kaotične oscilacije i kolaps, tj. gašenje vrsta). Kontinuirani rast čini se potpuno nerealnim, posljednja nestabilna dinamika je tragedija za čovječanstvo, a iza oštrih fluktuacija, kao što možete pretpostaviti, stoje ratovi, epidemije, glad - nešto što se često događa u stvarnosti.

Tipični odnosi za model SVIJETA, koji su izraženi matematičkim sredstvima (diferencijalne i “obične” jednadžbe), prikazani su na slici. Prikazuje veze između stanovništva, industrijskog kapitala, obradive površine i onečišćenja okoliša. Svaka strelica na slici označava prisutnost uzročne veze, koja može biti trenutna ili odgođena, pozitivna ili negativna.

Povratne veze stanovništva, kapitala, poljoprivredne proizvodnje i onečišćenja okoliša

Koncepti pozitivne i negativne povratne sprege preuzeti su iz teorije automatskog upravljanja (grana kibernetike). Uzročno-posljedična veza između dvaju elemenata naziva se negativan, ako se promjena jednog elementa prenosi na drugi, vraća se s njega na prvi i mijenja ga u smjeru suprotnom od izvornog (potiskuje), a pozitivan, ako je ova promjena, vraćajući se na prvu, ojača. Ako nema dva, nego više elemenata, onda govore o Povratna veza, kroz koji signal prolazi kružno, vraćajući se izvoru i utječući na njega.

Određen skup takvih figura grafički iscrpljuje model SVIJETA. Međutim, iza svake strelice su primarni odnosi, a iza svake od njih su jednadžbe koje uključuju brojne parametre. Zapravo, vrijednosti ovih parametara određuju rezultate, stoga su u njihovu analizu uključeni i brojni uski stručnjaci i mnogi empirijski (statistički) podaci prikupljeni u desecima referentnih knjiga, izvješća UN-a i pojedinih država. Broj međusobno povezanih varijabli u WORLD-3 modelu je 225, a parametara je još više.

Rezultati globalne simulacije

Objavljeni “scenariji” razvoja čovječanstva, prema SVJETSKIM modelima, pokrivaju vremensko razdoblje od 1900. do 2100. godine. Prvih 100 godina koje su već prošle omogućuju nam da "štimamo" model i odredimo stupanj njegove pouzdanosti.

Prvi od scenarija temelji se na hipotezi da će se sve odvijati bez velikih promjena, globalnih političkih kataklizmi, bez posebnih napora da se očuvaju resursi i smanji zagađenje okoliša. Model predviđa katastrofalne rezultate takvog razvoja događaja.

Istodobno, WORLD model omogućuje vam pronalaženje načina reguliranog razvoja, što dovodi do glatkog ("sigmoidnog") ponašanja glavnih varijabli. Taj je put povezan sa samoograničenjem i prijelazom na poboljšane industrijske i poljoprivredne tehnologije.

5. Modeliranje optimalnih procesa planiranja

Formulacija problema optimalnog planiranja

Planiranje je najvažnija faza gospodarskog i upravljačkog djelovanja. Predmet planiranja može biti djelatnost divizije ili cijelog poduzeća, industrije ili poljoprivrede, regije i konačno države.

Formulacija problema planiranja u općem slučaju je sljedeća:

Postoje neki planirani pokazatelji: x, Y, …;

· Postoje neki resursi: R 1, R 2, ..., čime se ovi planirani pokazatelji mogu ostvariti;

· postoji određeni strateški cilj, ovisno o vrijednostima planiranih pokazatelja, prema kojem treba biti usmjereno planiranje.

Problem optimalnog planiranja sastoji se u određivanju vrijednosti planiranih pokazatelja, uzimajući u obzir ograničene resurse, ovisno o postizanju strateškog cilja.

Navedimo primjere. Neka objekt planiranja bude dječji vrtić. Ograničit ćemo se samo na dva planirana pokazatelja: broj djece i broj učitelja. Glavni resursi za rad vrtića su iznos sredstava i veličina prostora. Koji su strateški ciljevi? Naravno, jedan od njih je očuvanje i jačanje zdravlja djece. Kvantitativna mjera ovog cilja je smanjenje učestalosti bolesti među učenicima vrtića.

Drugi primjer: planiranje gospodarskih aktivnosti države. Naravno, ovo je previše složen zadatak za detaljnu analizu. Puno je planiranih pokazatelja: proizvodnja raznih vrsta industrijskih i poljoprivrednih proizvoda, školovanje stručnjaka, proizvodnja električne energije, plaće radnika u javnom sektoru i još mnogo toga. Resursi uključuju: broj radno sposobnog stanovništva, državni proračun, prirodne resurse, energiju, mogućnosti prometnih sustava itd. Naravno, svaka od ovih vrsta resursa je ograničena. Osim toga, najvažniji resurs je vrijeme dodijeljeno za provedbu plana.

Pitanje strateških ciljeva u ovom je slučaju vrlo složeno. Država ih ima mnogo, ali prioriteti se mogu mijenjati u različitim razdobljima povijesti. Na primjer, u ratu je glavni cilj maksimalna obrambena sposobnost, vojna moć zemlje. U mirnodopskim uvjetima u modernoj civiliziranoj državi prioritetni cilj trebao bi biti postizanje maksimalnog životnog standarda stanovništva.

Rješavanje problema optimalnog planiranja najčešće je složeno i nedostupno samo ljudskim iskustvom (empirijskim metodama). Za rješavanje takvih problema, izgrađen je matematički model, koji uspostavlja vezu između parametara problema. Stoga, optimalno planiranje provodi se korištenjem matematičkog modeliranja. U pravilu se takvi modeli za realne situacije ne mogu analitički riješiti pa se koriste numeričke metode rješavanja implementirane na računalu.

Primjer matematičkog modela optimalnog planiranja

Razmotrimo jednostavan primjer koji vam može pomoći da dobijete ideju o jednoj od klasa problema optimalnog planiranja.

U školskoj slastičarnici pripremaju se pite i kolači. Zbog ograničenih skladišnih kapaciteta dnevno se može pripremiti najviše 700 proizvoda. Radni dan u slastičarnici traje 8 sati. Budući da je proizvodnja kolača radno intenzivnija, ako proizvodite samo njih, ne možete proizvesti više od 250 kolača dnevno, ali možete proizvesti 1000 kolača (ako ne proizvodite kolače). Cijena torte dvostruko je veća od pite. Potrebno je izraditi dnevni plan proizvodnje koji će slastičarnici osigurati najveći prihod.

Formulirajmo ovaj problem matematički. Planirani pokazatelji su:

x - dnevni plan puštanja pita;

y je dnevni plan puštanja kolača.

Proizvodni resursi su:

· trajanje radnog dana - 8 sati;

· skladišni kapacitet - 700 mjesta.

Dobivamo omjere koji proizlaze iz uvjeta ograničenog vremena rada radionice i kapaciteta skladišta, tj. ukupan broj proizvoda. Iz postavke zadatka proizlazi da je za izradu jedne pite potrebno 4 puta više vremena nego za izradu 1 pite. Ako navedete vrijeme pravljenja pite t min., tada je vrijeme izrade kolača 4 t min. Dakle, ukupno vrijeme proizvodnje x pite i g kolači jednaki tx + 4ty =(x+ 4g)t. Ali to vrijeme ne može biti duže od trajanja radnog dana. To implicira nejednakost ( x + 4g)t 8 ? 60, ili ( x + 4g)t 480.

Kako se u radnom danu može napraviti 1000 pita, na jednu se potroši 480/1000 = 0,48 minuta. Zamjenom ove vrijednosti u nejednakost dobivamo: ( x + 4g) ? 0,48 480. Odavde x + 4g 1000. Ograničenje ukupnog broja proizvoda daje očitu nejednakost x+ g 700.

Dvjema dobivenim nejednakostima treba dodati uvjete za pozitivne vrijednosti veličina x I g(ne može biti negativan broj pita i kolača). Kao rezultat toga, dobili smo sustav nejednakosti:

x + 4g 1000,x + g 700, x 0, g 0 ()

Formalizirajmo strateški cilj: postizanje maksimalnog prihoda. Prihod je trošak svih prodanih proizvoda. Neka cijena jedne pite r rubalja Prema problemu cijena kolača je dvostruko veća, t.j. 2 r rubalja Stoga je trošak svih proizvoda proizvedenih po danu jednak rx + 2ry = r(x + 2g). Cilj proizvodnje je ostvariti maksimalan prihod. Pisani izraz ćemo razmatrati kao funkciju x,g:F(x, y)= r(x + 2g). Jer r- konstantna, zatim maksimalna vrijednost F(x, y) postići će se pri maksimalnoj vrijednosti izraza x + 2g. Dakle, kao funkciju čiji maksimum odgovara strateškom cilju možemo uzeti

f(x, g) = x + 2g ()

Posljedično, dobivanje optimalnog plana svedeno je na sljedeći matematički problem: pronaći vrijednosti planiranih pokazatelja x i y koje zadovoljavaju sustav nejednakosti()i davanje maksimalne vrijednosti funkciji cilja().

Gornji primjer pripada klasi zadataka linearno programiranje. U teoriji optimalnog planiranja postoji nekoliko klasa problema, od kojih je linearno programiranje najjednostavnija opcija. Proučavanje matematičkih metoda za rješavanje takvih problema nadilazi ciljeve školskog obrazovanja.

Pritom ne bi bilo logično ograničiti se samo na teorijsku formulaciju problema optimalnog planiranja. Suvremene informacijske tehnologije omogućuju rješavanje nekih problema optimalnog planiranja (a posebno linearnog programiranja) bez razumijevanja suštine korištenih matematičkih metoda. Konkretno, takvi su alati dostupni u tabličnom procesoru Excel te je na njihovoj osnovi moguće demonstrirati studentima rješavanje konkretnih problema. Alat o kojem je riječ zove se odgovarajuća naredba nalazi se u izborniku Alati. Ukratko ćemo opisati kako koristiti ovaj alat za rješavanje gore navedenog problema.

Najprije pripremimo tablicu za rješavanje problema optimalnog planiranja.

Ćelije B5 i C5 rezervirane su redom za vrijednosti x(plan za pravljenje pita) i g(plan za izradu kolača). Lijevi dijelovi nejednadžbi su u stupcu B, desni dijelovi su u stupcu D; znakovi “<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Nazovimo program za optimizaciju i recimo mu gdje se podaci nalaze. Da biste to učinili, izvršite naredbu U Servis U Traži rješenje. Na ekranu će se otvoriti odgovarajući obrazac. Postupit ćemo prema sljedećem algoritmu:

1. Unesite koordinatu ćelije s funkcijom cilja. U našem slučaju to je B15. (Imajte na umu da ako prvo postavite kursor na ćeliju B15, unos će se dogoditi automatski.)

2. Postavite potvrdni okvir "Jednako maksimalnoj vrijednosti", tj. Recimo programu da nas zanima pronalaženje maksimuma funkcije cilja.

3. U polje “Promjena ćelija” upišite B5:C5, tj. Obavijestit ćemo vas koji je prostor predviđen za vrijednosti varijabli – planiranih pokazatelja.

4. U polje “Ograničenja” potrebno je unijeti podatke o nejednakostima-ograničenjima koje imaju oblik: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Ograničenja se uvode kako slijedi:

· kliknite na gumb “Dodaj”;

· u dijaloškom okviru “Dodavanje ograničenja” koji se pojavi unesite vezu na ćeliju B10, odaberite znak nejednakosti “ iz izbornika<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Zatvorite dijaloški okvir “Add Constraint”. Pred nama je pripremljena forma “Traženje rješenja”.

6. Kliknite na gumb “Pokreni” - optimalno rješenje se pojavljuje u ćelijama B5 i C5 (brojevi 600 i 100), kao i broj 800 u ćeliji B15 - maksimalna vrijednost funkcije cilja.

6. Modeliranje fizikalnih sustava i procesa

Fizička je znanost neraskidivo povezana s matematičkim modeliranjem još od vremena Isaaca Newtona (XVII–XVIII. st.). I. Newton je otkrio temeljne zakone mehanike, zakon univerzalne gravitacije, opisujući ih jezikom matematike. I. Newton (zajedno s G. Leibnizom) razvio je diferencijalni i integralni račun, koji je postao osnova matematičkog aparata fizike. Sva kasnija fizikalna otkrića (u termodinamici, elektrodinamici, atomskoj fizici itd.) prikazana su u obliku zakona i principa opisanih matematičkim jezikom, tj. u obliku matematičkih modela.

Možemo reći da je rješenje svakog fizičkog problema teoretski matematičko modeliranje. Međutim, mogućnost teorijskog rješenja problema ograničena je stupnjem složenosti njegovog matematičkog modela. Što je fizički proces opisan uz njegovu pomoć složeniji, to je matematički model složeniji, a uporaba takvog modela za proračune postaje problematičnija.

U najjednostavnijoj situaciji, rješenje problema može se dobiti “ručno” analitički. U većini praktičnih važnih situacija nije moguće pronaći analitičko rješenje zbog matematičke složenosti modela. U ovom slučaju, koristite numeričke metode rješenja problema koja se mogu učinkovito implementirati samo na računalu. Drugim riječima, fizička istraživanja temeljena na složenim matematičkim modelima provode računalno matematičko modeliranje. S tim u vezi, u dvadesetom stoljeću, uz tradicionalnu podjelu fizike na teoretsku i eksperimentalnu, pojavio se novi smjer - "komputaciona fizika".

Proučavanje fizičkih procesa na računalu naziva se računalni eksperiment. Stoga računalna fizika gradi most između teorijske fizike, iz koje crpi matematičke modele, i eksperimentalne fizike, implementirajući virtualni fizički eksperiment na računalu. Korištenje računalne grafike pri obradi rezultata proračuna osigurava jasnoću tih rezultata, što je najvažniji uvjet za njihovu percepciju i interpretaciju od strane istraživača.

Temeljni zakon mehanike je drugi Newtonov zakon, koji povezuje silu koja djeluje na tijelo, njegovu masu i ubrzanje koje je posljedica te sile. U školskoj fizici ovaj zakon je predstavljen na sljedeći način:

Ovo pretpostavlja da su sila i masa stalne veličine. U ovom slučaju, ubrzanje će također biti konstantna vrijednost. Prema tome, jednadžba (1) modelira jednoliko ubrzano gibanje tijela konstantne mase pod djelovanjem konstantne sile.

Primjenjivost ovog modela je ograničena. Ne može se koristiti za izračunavanje gibanja tijela s promjenjivom masom i promjenjivom silom. Na primjer, kada raketa leti, njena masa se smanjuje zbog izgaranja goriva, tj. masa je funkcija vremena: m(t). Kao rezultat toga, ubrzanje također postaje varijabilna vrijednost i matematički model će se promijeniti:

Uzmimo u obzir da je ubrzanje derivacija brzine ( v) u vremenu, te opišite funkciju promjene mase tijekom vremena (neka bude linearna); dobivamo sljedeći matematički model kretanja:

(2)

Ovdje m 0 - početna masa rakete, q(kg/s) - parametar koji određuje brzinu izgaranja goriva. Jednadžba (2) je diferencijalna jednadžba, za razliku od linearne algebarske jednadžbe (1). Matematički model se zakomplicirao! Rješavanje jednadžbe (2) puno je teže od (1). Uzmemo li u obzir i mogućnost promjena snage tijekom vremena F(t) (potisak raketnog motora tijekom procesa lansiranja je varijabilna vrijednost), tada će model postati još složeniji:

(3)

Pri gibanju tijela u atmosferi (ili u tekućem mediju) potrebno je voditi računa o otporu medija – sili trenja. Sila trenja ima dvije komponente: proporcionalnu prvom potenciji brzine tijela i proporcionalnu njezinom kvadratu. Sada će jednadžba gibanja imati oblik:

, (4), (5)

Ovdje k 1 I k 2 - empirijski koeficijenti. Jednadžba (5) povezuje brzinu i pomak. Model (4)–(5) postao je bliži fizički realnoj situaciji, ali kompliciraniji s matematičkog gledišta. Pomoću njega možete dobiti odgovore na praktički važna pitanja. Na primjer: za dano F(t) odrediti koliko dugo i na kojoj visini će raketa postići svoju prvu izlaznu brzinu. Ili riješiti obrnuti problem: kolika mora biti potisna sila motora da bi raketa dosegla svoju prvu izlaznu brzinu na zadanoj visini? Uzmemo li u obzir i činjenicu da koeficijenti k 1 I k 2 - varijabilnih vrijednosti, budući da ovise o gustoći atmosferskog zraka koja opada s visinom, matematički model (4)–(5) postaje dosta složen. Rješavanje gore formuliranih problema na temelju takvog modela zahtijeva korištenje numeričkih metoda i računala.

Numeričke metode su metode koje svode rješenje bilo kojeg matematičkog problema na aritmetičke izračune. Demonstrirajmo primjenu metode numeričkog rješenja na primjeru jednostavnijeg mehaničkog problema od problema leta rakete. Razmotrimo problem slobodnog pada tijela stalne mase m pod utjecajem stalne gravitacije. Jednadžbe gibanja uzimajući u obzir otpor zraka (raspravljene gore) imaju oblik:

, (6)

Ovdje v- vertikalna komponenta vektora brzine. Neka početna visina tijela iznad tla bude s 0, a početna brzina je v 0 .

Pokazat ćemo primjenu metode koja se naziva Eulerova metoda za izračunavanje gibanja tijela koje pada. Izračun se vrši od početne vremenske točke t= 0 s malim konačnim vremenskim korakom

(n = 0, 1, 2, …). (8)

Primjenom sličnog pristupa na jednadžbu (7) dobivamo formulu Eulerove metode za izračunavanje pomaka padajućeg tijela tijekom vremena:

Imajući početne vrijednosti brzine i pomaka i koristeći formule (8), (9), možete izračunati vrijednosti korak po korak v I s u uzastopnim vremenima. Ovaj proces je lako programirati, a dobiveni rezultati se prikazuju u obliku numeričke tablice i prikazuju grafički.

Na slici je prikazan rezultat grafičke obrade numerički dobivene ovisnosti brzine pada tijela o vremenu za određeni skup parametara. m, k 1 i k 2 .

Ovisnost brzine padanja o vremenu, uzimajući u obzir otpor zraka

Ovisnost nema nikakve veze s linearnom promjenom brzine, koja se dobiva bez uzimanja u obzir otpora zraka. Brzina postiže stalnu vrijednost kako se sila otpora zraka približava sili gravitacije. Kada su jednaki, kretanje postaje ravnomjerno.

Imajte na umu da se ograničenje brzine u stabilnom stanju može izračunati analitički bez pribjegavanja numeričkim metodama. Izjednačavanje u formuli (6) dv/dt(ubrzanje) na nulu, nalazimo da će stalna brzina biti jednaka

Na temelju ovog modela moguće je, na primjer, riješiti optimizacijski problem formuliranjem uvjeta na sljedeći način: padobranac skače s određene visine i leti bez otvaranja padobrana; Na kojoj visini (ili nakon kojeg vremena) bi trebao otvoriti padobran kako bi imao sigurnu brzinu do trenutka kada sleti? Drugi problem: kako je visina skoka povezana s površinom poprečnog presjeka padobrana (uključeno u k 2) tako da je brzina slijetanja sigurna?

Značajan problem pri korištenju opisane numeričke metode je izbor veličine vremenskog koraka t. O toj vrijednosti ovisi točnost dobivenih rezultata i stabilnost računskog postupka. Svi ovi problemi proučavaju se u matematičkoj disciplini koja se zove “Numeričke metode” ili “Računalna matematika”.

Upoznavanje studenata s računalnim modelima fizikalnih procesa u osnovnom kolegiju informatike može se odvijati na razini demonstracijskih primjera. Na slici je prikazan primjer pokaznog programa obuke koji simulira let projektila ispaljenog iz topa. Zadatak koji se postavlja studentima je odabrati parametre (početnu brzinu i kut ispaljivanja) koji osiguravaju da projektil pogodi cilj (ovaj program je uključen u federalnu zbirku digitalnih obrazovnih resursa). Slični razvoji dostupni su u drugim obrazovnim izvorima.

Let projektila ispaljenog iz topa

U višim razredima fizike i matematike, pitanja modeliranja fizičkih procesa trebaju biti uključena u program specijalizirane obuke. Možemo ponuditi sljedeći popis objekata za modeliranje koji se odnose na kretanje tijela:

· kretanje tijela uzimajući u obzir otpor okoline (slobodni pad, kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu, polijetanje rakete i dr.);

· oscilatorno gibanje njihala uzimajući u obzir otpor medija, prisilne oscilacije, rezonanciju itd.;

· kretanje nebeskih tijela (problem dvaju tijela);

· kretanje nabijenih čestica u električnim poljima.

Ostale vrste problema na temelju kojih je moguće provesti modeliranje fizikalnih procesa vezane su uz opis fizikalnih procesa u aproksimaciji kontinuuma iu elektromagnetskim poljima:

· modeliranje procesa toplinske vodljivosti i dr.;

· modeliranje distribucije statičkih - električnih i magnetskih - polja.

Gore smo detaljno razmotrili primjer modeliranja slobodnog pada tijela u atmosferi, u kojem se koriste diferencijalne jednadžbe i numeričke metode za njihovo rješavanje. Ako matematička obuka učenika nije dovoljna za razumijevanje ovog pristupa, tada je moguće konstruirati matematički model odmah u obliku konačnih razlika, bez korištenja diferencijalnih jednadžbi. Pokažimo metodologiju korištenja ovog pristupa.

Podsjetimo učenike da je ubrzanje povećanje brzine u jedinici vremena, a brzina povećanje pomaka u jedinici vremena: .

Znakovi približne jednakosti pokazuju da su ti odnosi točniji što je interval manji t; u granici t 0 postaju točni.

Ako u nekom trenutku u vremenu t 0 vrijednost s ima značenje s(t 0), i vrijednost v- značenje v(t 0), zatim u sljedećem trenutku t 1 = t 0 + t imat će:

Pretpostavlja se da se ubrzanje nije promijenilo tijekom određenog vremenskog razdoblja i da je ostalo jednako a(t 0). Ovdje se također koristi oznaka F 0 = F(t 0), m = m(t 0), tj. To znači da sila i masa u općem slučaju mogu biti promjenjive veličine.

Pri izračunavanju vrijednosti v I s u sljedećim vremenskim točkama možete učiniti isto. Ako su vrijednosti poznate v i I s i u trenutku t i, To

Tako se dobivaju iste formule Eulerove metode, ali metodički drugačije. U ovom slučaju diferencijalne jednadžbe se uopće ne spominju.

Prilikom konstruiranja ovog i sličnih modela, studenti trebaju obratiti pozornost na činjenicu da pri dijeljenju kontinuiranog vremena na segmente duljine t očituje se jedna od temeljnih ideja računalne znanosti o univerzalnosti diskretnog oblika reprezentacije informacija, koja se ogleda kako u dizajnu računala tako iu mnogim primjenama računalne znanosti.

Imajte na umu da postoji mnogo računalnih programa koji simuliraju jednostavne fizičke procese. Oni implementiraju dijaloško sučelje koje vam omogućuje unos parametara i primanje tablica, grafikona i pokretnih slika na ekranu. Međutim, pri njihovoj uporabi ostaju skriveni fizikalni zakoni koji određuju proces, ograničenja modela i mogućnosti njegova poboljšanja. Takvi su programi korisni prije kao ilustrativni, uvodni. Preporučljivo je studente koji studiraju računarstvo na specijalističkoj razini usmjeriti na detaljnu analizu matematičkih modela i samostalnu izradu programa.

Početna informacija pri konstruiranju MM procesa funkcioniranja sustava su podaci o namjeni i radnim uvjetima sustava koji se proučava (dizajn) S. Ovi podaci određuju glavni cilj modeliranja, zahtjeve za MM, razinu apstrakcije i izbor matematičkog modeliranja. shema.

Koncept matematička shema omogućuje nam da matematiku ne promatramo kao metodu izračuna, već kao metodu mišljenja, sredstvo formuliranja pojmova, što je najvažnije u prijelazu s verbalnog opisa na formalizirani prikaz procesa njegova funkcioniranja u obliku neki MM.

Kada koristite prostirku. sheme, prije svega, istraživača sustava treba zanimati pitanje primjerenosti prikaza u obliku konkretnih dijagrama stvarnih procesa u sustavu koji se proučava, a ne mogućnost dobivanja odgovora (rezultata rješenja) specifično istraživačko pitanje.

Na primjer, predstavljanje procesa funkcioniranja kolektivnog IVS-a u obliku mreže shema čekanja omogućuje dobro opisivanje procesa koji se odvijaju u sustavu, ali sa složenim zakonima dolaznih tokova i tokova usluga, to ne čini moguće dobiti rezultate u eksplicitnom obliku.

Matematička shema može se definirati kao poveznica u prijelazu sa smislenog na formalizirani opis procesa funkcioniranja sustava, uzimajući u obzir utjecaj vanjske okoline. Oni. postoji lanac: opisni model – matematička shema – simulacijski model.

Svaki specifični sustav S karakterizira skup svojstava, koja se shvaćaju kao veličine koje odražavaju ponašanje simuliranog objekta (realnog sustava) i uzimaju u obzir uvjete njegovog funkcioniranja u interakciji s vanjskim okruženjem (sustavom) E.

Pri konstruiranju MM sustava S potrebno je riješiti pitanje njegove cjelovitosti. Cjelovitost modeliranja regulirana je uglavnom izborom granica “Sustav S - okruženje E”. Također se mora riješiti problem pojednostavljenja MM-a, što pomaže u isticanju glavnih svojstava sustava, odbacujući ona koja su sekundarna u smislu svrhe modeliranja.

MM objekta modeliranja, tj. sustavi S mogu se prikazati kao skup veličina koje opisuju proces funkcioniranja realnog sustava i, u općem slučaju, čine sljedeće podskupove:

Skup X - ulaznih utjecaja na Sh i H, i=1…n x ;

Skup utjecaja okoline v l V, l=1…n v ;

Skup internih (vlastitih) parametara sustava h k H, k=1…n h ;

Skup izlaznih karakteristika sustava y j Y, j=1…n y .

U navedenim skupovima mogu se razlikovati upravljive i nekontrolabilne veličine. Općenito, X, V, H, Y su disjunktni skupovi koji sadrže i determinističke i stohastičke komponente. Ulazni utjecaji E i interni parametri S su nezavisne (egzogene) varijable, Izlazne karakteristike - ovisne varijable (endogene). Proces funkcioniranja S opisuje se operatorom F S:

(1)

Izlazna putanja.F S - operativni zakonS.F S može biti funkcija, funkcija, logički uvjeti, algoritam, tablica ili verbalni opis pravila.

Algoritam funkcioniranja A S - metoda za dobivanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne utjecaje Očito, isti F S se može implementirati na različite načine, tj. koristeći mnogo različitih AS.

Relacija (1) je matematički opis ponašanja objekta modeliranja u vremenu t, tj. odražava ga dinamička svojstva. (1) je dinamički model sustava. Za statičke MM uvjete postoje preslikavanja X, V, H u Y, tj. (2)

Relacije (1), (2) mogu se specificirati formulama, tablicama itd.

Također, odnosi se u nekim slučajevima mogu dobiti kroz svojstva sustava u određenim točkama u vremenu, koja se nazivaju stanja.

Stanja sustava S karakteriziraju vektori:

I , Gdje u trenutku l (t 0 , T)

u trenutku ll (t 0 , T), itd. k=1…n Z .

Z 1 (t), Z 2 (t)... Z k (t) su koordinate točke u k-dimenzionalnom faznom prostoru. Svaka implementacija procesa će odgovarati određenoj faznoj trajektoriji.

Skup svih mogućih vrijednosti stanja () naziva se prostorom stanja objekta modeliranja Z, a z k Z.

Stanje sustava S u vremenskom intervalu t 0 , gdje su ulazni podaci, unutarnji parametri i utjecaji okoline koji su se dogodili tijekom vremenskog razdoblja t * - t 0 pomoću 2 vektorske jednadžbe:

; (3)

inače: . (5)

Vrijeme u mod. S se može razmatrati na intervalu modeliranja (t 0 , T) i kontinuirano i diskretno, tj. kvantiziran na segment duljine.t.

Dakle, pod MM objekta razumijevamo konačan skup varijabli () zajedno s matematičkim vezama između njih i karakteristika.

Modeliranje se naziva determinističkim ako su operatori F, F deterministički, tj. za određeni ulaz, izlaz je deterministički. Determinističko modeliranje poseban je slučaj stohastičkog modeliranja. U praksi je modeliranje objekata u području analize sustava u početnim fazama istraživanja racionalnije koristiti standardne matematičke sheme: diferencijal. jednadžbe, konačni i probabilistički automati, QS itd.

Nije opsjednut. takav stupanj općenitosti kao modeli (3), (4), tipični matematičke sheme imaju prednost u jednostavnosti i preglednosti, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primjene.

Kao deterministički modeli, kada se slučajna činjenica ne uzima u obzir u studiji, diferencijalne, integralne i druge jednadžbe koriste se za prikaz sustava koji rade u kontinuiranom vremenu, a krugovi konačnih razlika koriste se za prikaz sustava koji rade u diskretnom vremenu.

Na početku stohastičkih modela (uzimajući u obzir slučajni faktor), probabilistički automati se koriste za prikaz sustava s diskretnim vremenom, a sustavi čekanja (QS) koriste se za prikaz sustava s kontinuiranim vremenom. Od velike praktične važnosti pri proučavanju složenih pojedinačnih sustava upravljanja, u koje spadaju automatizirani sustavi upravljanja, imaju tzv agregativan modeli.

Skupni modeli (sustavi) omogućuju opisivanje širokog spektra objekata istraživanja, odražavajući sustavnu prirodu tih objekata. Agregatnim opisom je složeni objekt podijeljen na konačan broj dijelova (podsustava), uz održavanje veza, osiguravajući interakciju dijelova.