Najjednostavnije logičke operacije u informatici. Najjednostavnije logičke operacije u informatici Uvod u pojmove "neistinit, istinit iskaz"

Logika se široko koristi ne samo u životu, već iu implementaciji digitalne tehnologije, uključujući računala. Digitalna tehnologija sadrži tzv. logičke elemente koji provode određene logičke operacije.

Logika koristi jednostavne i složene logičke izjave (deklarativne izjave) koje mogu biti istinite ( 1 ) ili lažno ( 0 ).

Primjer jednostavnih izjava:

• "Moskva je glavni grad Rusije" (1)
• "Dva puta dva - tri" (0)
• "Sjajno!" (nije izjava)

Logičke operacije se koriste za kombiniranje nekoliko jednostavnih iskaza u jedan složeni iskaz. Postoje tri osnovne logičke operacije: I, ILI, NE.

Redoslijed operacija:

1. akcije u zagradama, operacije usporedbe (<, ≤, >, ≥, =, ≠)

Razmotrimo svaku od tri operacije zasebno.

1. Operacija NOT mijenja značenje logičkog iskaza u suprotno. Ova operacija se također naziva "inverzija", "logička negacija". Znak operacije: ¬

Tablica istinitosti:

2. Operacija AND za složeni iskaz, to je istinito samo ako su svi ulazni jednostavni iskazi istiniti. Ova se operacija također može nazvati "logičko množenje" ili "konjunkcija". Znak operacije: , & , /\

Tablica istinitosti:

3. Operacija ILI za složeni iskaz daje istinito kada je barem jedan od bilo kojeg dolaznog jednostavnog iskaza istinit. "Logički dodatak", "disjunkcija". Znak operacije: + , v

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1

Za koji je od navedenih brojeva tvrdnja netočna:

NE(broj > 50) ILI(Parni broj)?
1) 9 2) 56 3) 123 4) 8

Riješenje. Prvo izvodimo usporedbe u zagradama, zatim operaciju NOT i na kraju operaciju OR.

1) Zamijenite broj 9 u izrazu:
NE (9 > 50) ILI(9 čak)
NE(laž) ILI(lažno) = istinito ILI lažno = istinito

9 nam ne odgovara, jer po uvjetu moramo dobiti laž.

2) Zamijenite broj 56 u izrazu:
NE (56 > 50) ILI(56 čak)
NE(pravi) ILI(istinito) = netočno ILI istina = istina

56 također ne radi.

3) Zamjena 123:
NE (123 > 50) ILI(123 čak)
NE(pravi) ILI(lažno) = lažno ILI lažno = lažno

Pojavio se broj 123.

Ovaj problem se može riješiti na drugi način:
NE(broj > 50) ILI(Parni broj)

Moramo dobiti lažnu vrijednost. Vidimo da će operacija ILI biti izvedena zadnja. Operacija ILI dat će netočno kada su i NOT(broj) i (broj je paran) netočni.

Budući da uvjet (parni broj) mora biti jednak lažnoj vrijednosti, odmah odbacujemo opcije s brojevima 56, 8.

Dakle, možete riješiti izravnom zamjenom, koja je duga i može dati pogrešku pri izračunavanju izraza; ili možete brzo riješiti problem analizom svih jednostavnih uvjeta.

Odgovor: 3)

Primjer 2

Koji je od sljedećih brojeva točan za sljedeću tvrdnju:

NE(Prva znamenka je parna) I NE(zadnja znamenka je neparna)?

1) 6843 2) 4562 3) 3561 4) 1234

Prvo se izvode usporedbe u zagradama, zatim NOT operacije u zagradama i na kraju operacija AND. Cijeli ovaj izraz mora se ocijeniti kao istinit.

Budući da operacija NE preokreće značenje iskaza, ovaj složeni izraz možemo prepisati na sljedeći način:

(Prva znamenka je neparna) I(Zadnja znamenka je parna) = istina

Kao što znate, logičko množenje I daje istinu samo kada su sve jednostavne tvrdnje istinite. Dakle, oba uvjeta moraju biti istinita:

(Prva znamenka je neparna) = istina (posljednja znamenka je parna) = istina

Kao što vidite, prikladan je samo broj 1234

Odgovor: 4)

Primjer 3

Koji od sljedećih naziva vrijedi za sljedeću tvrdnju:
NE(Prvo slovo je samoglasnik) I(Broj slova > 5)?

1) Ivan 2) Nikolaj 3) Semjon 4) Ilarion

Prepišimo izraz:
(Prvo slovo nije samoglasnik)I(broj slova > 5) = točno
(Prvo slovo suglasnik)I(broj slova > 5) = točno

Trajanje lekcije: 45 min

Vrsta lekcije: kombinirano:

• provjera znanja - usmeni rad;
• novo gradivo - predavanje;
• konsolidacija - praktične vježbe;
• provjera znanja – zadaci za samostalan rad.

Ciljevi lekcije:

• dati pojam tablice istinitosti;
• učvršćivanje gradiva prethodne lekcije “Iskazna algebra”;
• korištenje informacijske tehnologije;
• usađivanje vještine samostalnog traženja novog materijala;
• razvoj znatiželje, inicijative;
• obrazovanje informacijske kulture.

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak (2 min).
2. Ponavljanje gradiva prethodnog sata (usmena anketa) (4 min).
3. Objašnjenje novog gradiva (12 min).
4. Sidrenje

• studija slučaja (5 min);
• praktične vježbe (10 min);
• zadaci za samostalan rad (10 min).

Hardverski i softverski materijal:

• bijela ploča;
• multimedijski projektor;
• računala;
• MS PowerPoint 2003 uređivač prezentacija;
• referentni materijal za brošuru “Tablice istine”;
• demonstracija prezentacije „Tablica istine“.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak

Nastavljamo s proučavanjem teme "Osnove logike". U prethodnim lekcijama vidjeli smo da je logika prilično usko povezana s našim svakodnevnim životom, a također smo vidjeli da se gotovo svaka izjava može napisati u obliku formule.

II. Pregled prethodne lekcije

Podsjetimo se na glavne definicije i pojmove:

III. Objašnjenje novog gradiva

Posljednja dva primjera su složene izjave. Kako utvrditi istinitost složenih izjava?

Rekli smo da je proračunat. Da biste to učinili, postoje tablice u logici za izračunavanje istinitosti složenih (složenih) izjava. Zovu se tablice istine.

Dakle, tema lekcije su TABLICE ISTINITOSTI.

3.1) Definicija. Tablica istinitosti je tablica koja prikazuje istinitost složene izjave za sve moguće vrijednosti ulaznih varijabli (slika 1).

3.2) Analizirajmo detaljnije svaku logičku operaciju u skladu s njezinom definicijom:

1. Inverzija (negacija) je logička operacija koja svakom jednostavnom iskazu pridružuje složeni iskaz, a sastoji se u tome da se izvorni iskaz negira.

Ova operacija se odnosi na samo jednu varijablu, dakle samo dva linije, jer jedna varijabla može imati jedan od dva vrijednosti: 0 ili 1.

2. Konjunkcija (množenje) je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je istinit ako i samo ako su oba izvorna iskaza istinita.

Lako je vidjeti da je ova tablica doista slična tablici množenja.

3. Disjunkcija (adicija) je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je netočan ako i samo ako su oba izvorna iskaza netočna.

Vidi se da je tablica slična tablici zbrajanja osim posljednja radnja. U binarnom sustavu 1 + 1 = 10, u decimalnom - 1 + 1 = 2. U logici je vrijednost varijable 2 nemoguća, razmotrite 10 s gledišta logike: 1 je istina, 0 je netočna, tj. 10 je istina i laž u isto vrijeme, što ne može biti, tako da je posljednja radnja strogo zasnovana na definiciji.

4. Implikacija (slijeđenje) je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je lažan ako i samo ako je uvjet istinit, a posljedica lažna.

5. Ekvivalencija (ekvivalencija) je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je istinit ako i samo ako su oba izvorna iskaza istovremeno istinita ili lažna.

Posljednje dvije operacije analizirali smo u prethodnoj lekciji.

3.3) Rastavimo algoritam tablice istinitosti za složenu rečenicu:

3.4) Razmotrimo primjer sastavljanja tablice istine za složenu izjavu:

Primjer. Konstruirajte tablicu istinitosti za formulu: A U B -> ¬A U C.

Rješenje (slika 2)

Primjer pokazuje da tablica istinitosti nije cijela odluka, već samo posljednja radnja (stupac označen crvenom bojom).

IV. Konsolidacija.

Za učvršćivanje gradiva pozivamo vas da samostalno riješite primjere pod slovima a, b, c, dodatno d–g (slika 3).

V. Domaća zadaća, sažimanje gradiva.

Domaća zadaća također vam se daje na ekranu monitora (slika 4)

Generalizacija materijala: danas smo u lekciji naučili kako odrediti istinitost složenih izjava, ali više s matematičke točke gledišta, budući da niste dobili same izjave, već formule koje ih prikazuju. U sljedećim lekcijama učvrstit ćemo te vještine i pokušati ih primijeniti na rješavanje logičkih problema.

Algebra logike

Algebra logike

Algebra logike(Engleski) algebra logike) je jedna od glavnih grana matematičke logike, u kojoj se metode algebre koriste u logičkim transformacijama.

Utemeljitelj algebre logike je engleski matematičar i logičar J. Boole (1815-1864), koji je svoj logički nauk temeljio na analogiji algebre i logike. Zapisivao je svaku tvrdnju koristeći se simbolima jezika koji je razvio i dobivao "jednadžbe", čija se istinitost ili netočnost mogla dokazati na temelju određenih logičkih zakona, kao što su zakoni komutativnosti, distributivnosti, asocijativnosti itd.

Moderno algebra logike je grana matematičke logike i proučava logičke operacije nad izjavama sa stajališta njihove istinitosne vrijednosti (točno, netočno). Izjave mogu biti istinite, lažne ili sadržavati istinu i laž u različitim omjerima.

logična izjava je svaka izjavna rečenica za koju se nedvosmisleno može ustvrditi da je njezin sadržaj istinit ili netočan.

Na primjer, "3 puta 3 jednako je 9", "Arkhangelsk sjeverno od Vologde" su točne izjave, a "Pet je manje od tri", "Mars je zvijezda" su lažne.

Očito, ne može svaka rečenica biti logična tvrdnja, jer nema uvijek smisla govoriti o njezinoj lažnosti ili istinitosti. Na primjer, izjava "Informatika je zanimljiv predmet" nejasna je i zahtijeva dodatne informacije, a izjava "Za učenika 10-A razreda Ivanova A. A. informatika je zanimljiv predmet", ovisno o interesima Ivanova A. A., može uzeti vrijednost "istina" ili "laž".

Osim dvovrijedna iskazna algebra, u kojem su prihvaćene samo dvije vrijednosti - "true" i "false", postoji višeznačna iskazna algebra. U takvoj algebri, osim značenja "istinito" i "lažno", koriste se takve vrijednosti istine kao što su "vjerojatno", "moguće", "nemoguće" itd.

U algebri se logika razlikuje jednostavan(osnovno) izjave, označen latiničnim slovima (A, B, C, D, ...), i kompleks(složeni), sastavljen od nekoliko jednostavnih pomoću logičkih veznika, na primjer, kao što je "ne", "i", "ili", "ako i samo onda", "ako ... onda". Istinitost ili lažnost tako dobivenih složenih iskaza određena je značenjem jednostavnih iskaza.

Označiti kao A tvrdnju "Algebra logike je uspješno primijenjena u teoriji električnih krugova", i kroz U- "Algebra logike koristi se u sintezi relejno-kontaktnih sklopova."

Tada se složena izjava "Algebra logike uspješno primjenjuje u teoriji električnih krugova iu sintezi relejno-kontaktnih krugova" može ukratko napisati kao A i B; ovdje je "i" logičan veznik. Očito, budući da elementarne propozicije A i B su istinite, onda je složena izjava također istinita A i B.

Svaki logički veznik smatra se operacijom nad logičkim iskazima i ima svoje ime i oznaku.

Postoje samo dvije logične vrijednosti: pravi I lažno (FALSE). Ovo odgovara digitalnom prikazu − 1 I 0 . Rezultati svake logičke operacije mogu se zabilježiti u obliku tablice. Takve se tablice nazivaju tablicama istine.

Osnovne operacije logičke algebre

1. Logička negacija, inverzija(lat. inverzija- preokret) - logička operacija, kao rezultat koje se dobiva novi iskaz iz danog iskaza (na primjer, A) ( ne A), koji se zove negacija izvornog iskaza, simbolički označeno gornjom crtom ($A↖(-)$) ili konvencijama kao što je ¬, "ne", a glasi: "nije A", "A je lažno", "nije istina da A", "negacija A". Na primjer, "Mars je planet Sunčev sustav"(izjava A); "Mars nije planet Sunčevog sustava" ($A↖(-)$); tvrdnja "10 je prost broj" (tvrdnja B) je lažna; tvrdnja "10 nije prost broj" (tvrdnja B) je istinita.

Operacija koja se koristi s obzirom na jednu količinu naziva se unarni. Tablica vrijednosti za ovu operaciju ima oblik

$A↖(-)$ je lažno kada je A istinito i istinito kada je A lažno.

Geometrijski, negacija se može prikazati na sljedeći način: ako je A određeni skup točaka, onda je $A↖(-)$ komplement skupa A, odnosno sve točke koje ne pripadaju skupu A.

2.Konjunkcija(lat. conjunctio- veza) - logičko množenje, operacija koja zahtijeva najmanje dvije logičke vrijednosti (operandi) i povezuje dvije ili više izjava pomoću hrpe "I"(Na primjer, "A i B"), što se simbolično označava znakom ∧ (A ∧ B) i glasi: “A i B”. Sljedeći znakovi također se koriste za označavanje konjunkcije: A ∙ B; A & B, A i B, a ponekad se ne stavlja znak između izjava: AB. Primjer logičkog množenja: "Ovaj je trokut jednakokračan i pravokutan." Ova tvrdnja može biti istinita samo ako su ispunjena oba uvjeta, inače je tvrdnja lažna.

izjava A ∧ U istinita samo ako su obje tvrdnje A I U pravi.

Geometrijski se konjunkcija može prikazati na sljedeći način: ako A, B A ∧ U postoji presjek skupova A I U.

3. Disjunkcija(lat. disjunkcija- division) - logično zbrajanje, operacija koja povezuje dvije ili više izjava pomoću hrpe "ili"(Na primjer, "A ili B"), što je simbolično označeno znakom ∨ (A∨ U) i glasi: "A ili B". Sljedeći znakovi također se koriste za označavanje disjunkcije: A + B; A ili B; A | B. Primjer logičnog zbrajanja: "Broj x djeljiv je s 3 ili 5." Ova izjava će biti točna ako su ispunjena oba uvjeta ili barem jedan od uvjeta.

Tablica istinitosti operacije ima oblik

izjava A∨ U je lažna samo kada su obje izjave lažne A I U lažno.

Geometrijski se logično zbrajanje može prikazati na sljedeći način: ako A, B su neki skupovi točaka, dakle A ∨ U je unija skupova A I U, tj. lik koji kombinira i kvadrat i krug.

4. Stroga disjunkcija disjunkcija, modulo dva zbrajanja- logička operacija koja povezuje dva iskaza veznikom "ili", korišten u isključivom značenju, što se simbolički označava znakovima ∨ ∨ ili ⊕ ( A ∨ ∨ B, A ⊕ U) i glasi: "Ili A ili B". Primjer zbrajanja po modulu dva je izjava "Ovaj je trokut tupokutan ili šiljast." Izjava je istinita ako je zadovoljen bilo koji od uvjeta.

Tablica istinitosti operacije ima oblik

Tvrdnja A ⊕ B je istinita samo ako tvrdnje A i B imaju različita značenja.

5. implikacija(lat. implisito- Čvrsto povezujem) - logična operacija koja povezuje dvije izjave pomoću hrpe "ako tada" u složeni iskaz, što je simbolički označeno znakom → ( A → U) i glasi: "ako A, onda B", "A implicira B", "iz A slijedi B", "A implicira B". Znak ⊃ (A ⊃ B) također se koristi za označavanje implikacije. Primjer implikacije: "Ako je dobiveni četverokut kvadrat, tada se oko njega može opisati krug." Ova operacija povezuje dva jednostavna logička izraza od kojih je prvi uvjet, a drugi posljedica. Rezultat operacije je lažan samo ako je premisa istinita, a posljedica lažna. Na primjer, "Ako je 3 * 3 = 9 (A), tada je Sunce planet (B)", rezultat implikacije A → B je lažan.

Tablica istinitosti operacije ima oblik

Za operaciju implikacije istinita je tvrdnja da sve može proizaći iz laži, ali samo istina iz istine.

6. Ekvivalencija, dvostruka implikacija, ekvivalencija(lat. aequalis- jednaka i valentis- valid) - logička operacija koja dopušta dva iskaza A I U dobiti novu izjavu A ≡ B koji glasi: "A je ekvivalentno B". Sljedeći znakovi također se koriste za označavanje jednakosti: ⇔, ∼. Ova se operacija može izraziti veznicima “ako i samo tada”, “potrebno i dovoljno”, “ekvivalentno”. Primjer ekvivalencije je izjava: "Trokut će biti pravokutan ako i samo ako je jedan od kutova jednak 90 stupnjeva."

Tablica istinitosti operacije ekvivalencije ima oblik

Operacija ekvivalencije je suprotna od zbrajanja po modulu 2 i procjenjuje se na istinito ako i samo ako su vrijednosti varijabli iste.

Poznavajući značenja jednostavnih iskaza, moguće je na temelju tablica istinitosti odrediti značenja složenih iskaza. Pritom je važno znati da su tri operacije dovoljne za predstavljanje bilo koje funkcije algebre logike: konjunkcija, disjunkcija i negacija.

Prioritet logičkih operacija je sljedeći: negacija ( "Ne") ima najveći prioritet, zatim veznik ( "I"), iza konjunkcije — disjunkcija ( "ili").

Uz pomoć logičkih varijabli i logičkih operacija svaki se logički iskaz može formalizirati, odnosno zamijeniti logičkom formulom. U isto vrijeme, elementarne izjave koje tvore složenu izjavu mogu biti apsolutno nepovezane u značenju, ali to ne sprječava da se utvrdi istinitost ili lažnost složene izjave. Na primjer, izjava "Ako je pet veće od dva ( A), onda utorak uvijek dolazi nakon ponedjeljka ( U)" - implikacija A→ U, a rezultat operacije u ovom slučaju je "true". U logičkim operacijama ne uzima se u obzir značenje iskaza, već se razmatra samo njihova istinitost ili netočnost.

Razmotrimo, na primjer, konstrukciju složenog iskaza od iskaza A I U, što bi bilo lažno ako i samo ako su obje tvrdnje istinite. U tablici istinitosti za operaciju zbrajanja po modulu dva nalazimo: 1 ⊕ 1 = 0. A izjava može biti, na primjer, ova: "Ova je lopta potpuno crvena ili potpuno plava." Stoga, ako izjava A"Ova lopta je potpuno crvena" je istina i izjava U"Ova lopta je potpuno plava" je istina, onda je složena izjava netočna, jer lopta ne može biti i crvena i plava u isto vrijeme.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Odredite za navedene vrijednosti X vrijednost logičkog iskaza ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Riješenje. Redoslijed operacija je sljedeći: prvo se izvode operacije usporedbe u zagradama, potom disjunkcija i zadnja operacija implikacije. Operator disjunkcije ∨ ​​je lažan ako i samo ako su oba operanda lažna. Tablica istine za implikaciju je

Odavde dobivamo:

1) za X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) za X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) za X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Primjer 2 Odredite skup cjelobrojnih vrijednosti X za koje je izraz ¬((X > 2) → (X > 5)) istinit.

Riješenje. Operacija negacije primjenjuje se na cijeli izraz ((X > 2) → (X > 5)), tako da kada je izraz ¬((X > 2) → (X > 5)) istinit, izraz ((X > 2) →(X > 5)) je lažno. Stoga je potrebno utvrditi za koje je vrijednosti X izraz ((X > 2) → (X > 5)) lažan. Operator implikacije ima vrijednost "false" samo u jednom slučaju: kada laž slijedi iz istine. I to vrijedi samo za X = 3; X=4; X=5.

Primjer 3 Za koju je od sljedećih riječi iskaz ¬(prvo slovo samoglasnik ∧ treće slovo samoglasnik) ⇔ niz od 4 znaka netočan? 1) as; 2) kolačić; 3) kukuruz; 4) pogreška; 5) snagator.

Riješenje. Pogledajmo svaku od sljedećih riječi jednu po jednu:

1) za riječ assa dobivamo: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — tvrdnja je točna;

2) za riječ kuku dobivamo: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — tvrdnja je točna;

3) za riječ kukuruz dobivamo: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - tvrdnja je netočna;

4) za pogrešku riječi dobivamo: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — tvrdnja je točna;

5) za riječ strongman dobivamo: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - tvrdnja je netočna.

Booleovi izrazi i njihova pretvorba

Pod, ispod booleov izraz treba shvatiti kao takav zapis koji može poprimiti logičku vrijednost "true" ili "false". Uz ovu definiciju, među logičkim izrazima potrebno je razlikovati:

• izrazi koji koriste operacije usporedbe ("veće od", "manje od", "jednako", "nije jednako", itd.) i uzimaju logičke vrijednosti (na primjer, izraz a > b, gdje je a = 5 i b = 7, jednako "false");
• izravni logički izrazi povezani s logičkim vrijednostima i logičkim operacijama (na primjer, A ∨ B ∧ C, gdje je A = točno, B = netočno i C = točno).

Booleovi izrazi mogu uključivati ​​funkcije, algebarske operacije, operacije usporedbe i logičke operacije. U ovom slučaju, prioritet za izvođenje radnji je sljedeći:

1. proračun postojećih funkcionalnih ovisnosti;
2. izvođenje algebarskih operacija (prvo množenje i dijeljenje, zatim oduzimanje i zbrajanje);
3. izvođenje operacija usporedbe (nasumičnim redoslijedom);
4. izvođenje logičkih operacija (najprije operacija negacije, zatim operacije logičkog množenja, logičkog zbrajanja, zadnje operacije su implikacija i ekvivalencija).

Booleov izraz može koristiti zagrade koje mijenjaju redoslijed izvođenja operacija.

Primjer. Pronađite vrijednost izraza:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ za a = 2, b = 3, A = točno, B = netočno.

Riješenje. Redoslijed brojanja vrijednosti:

1) b a + a b > a + b, nakon zamjene dobivamo: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, tj. 17 > 2 + 3 = točno;

2) A ∧ B = točno ∧ netočno = netočno.

Stoga je izraz u zagradama (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = istinito ∨ lažno = istinito;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = točno;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Nakon ovih izračuna konačno dobivamo: true ∨ A ∧ true ∧ ¬B ∧ ¬true.

Sada se moraju izvršiti operacije negacije, zatim logičko množenje i zbrajanje:

5) ¬B = ¬false = true; ¬istinito = lažno;

6) A ∧ true ∧ true ∧ false = true ∧ true ∧ true ∧ false = false;

7) istinito ∨ lažno = istinito.

Dakle rezultat booleov izraz za dane vrijednosti - "true".

Bilješka. S obzirom da je izvorni izraz, u konačnici, zbroj dva člana, a vrijednost jednog od njih 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = istinito, bez daljnjih izračuna možemo reći da je rezultat za cijeli izraz također “točan ”.

Transformacije identiteta logičkih izraza

U algebri logike ispunjeni su osnovni zakoni koji dopuštaju identične transformacije logičkih izraza.

Dokazi ovih izjava izrađuju se na temelju konstrukcije tablica istinitosti za odgovarajuće zapise.

Ekvivalentne transformacije logičkih formula imaju istu svrhu kao i transformacije formula u običnoj algebri. Služe za pojednostavljenje formula ili njihovo dovođenje u određeni oblik korištenjem osnovnih zakona logičke algebre. Pod, ispod pojednostavljenje formule, koji ne sadrži operacije implikacije i ekvivalencije, shvaća se kao ekvivalentna transformacija koja vodi do formule koja sadrži ili manji broj operacija u odnosu na izvornu, ili manji broj varijabli.

Neke transformacije logičkih formula slične su transformacijama formula u običnoj algebri (stavljanje zajedničkog faktora u zagrade, korištenje komutativnog i asocijativnog zakona itd.), dok se druge transformacije temelje na svojstvima koja obične algebarske operacije nemaju (korištenje zakona distribucije za konjunkciju, zakone apsorpcije, lijepljenja, de Morgana itd.).

Pogledajmo primjere nekih tehnika i metoda koje se koriste za pojednostavljivanje logičkih formula:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Za transformaciju ovdje možete primijeniti zakon idempotencije, zakon distribucije; promjenjiva operacija s inverzijom i konstantna operacija.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Ovdje se radi jednostavnosti primjenjuje zakon apsorpcije.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Pri pretvorbi se primjenjuje de Morganovo pravilo, operacija varijable s njezinim inverzom, operacija s konstantom

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Pronađite logički izraz ekvivalentan izrazu A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Riješenje. Primijenimo de Morganovo pravilo za B i C: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .

Dobivamo izraz ekvivalentan izvornom: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Odgovor: A ∧ B ∧ ¬C.

Primjer 2 Navedite vrijednost logičkih varijabli A, B, C za koje je vrijednost logičkog izraza (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) lažna.

Riješenje. Operacija implikacije je lažna samo ako je a lažna iz istinite premise. Dakle, za dati izraz, premisa A ∨ B mora imati vrijednost "točno", a posljedica, tj. izraz B ∨ ¬C ∨ B, mora imati vrijednost "netočno".

1) A ∨ B - rezultat disjunkcije je "točan" ako je barem jedan od operanda "istinit";

2) B ∨ ¬C ∨ B - izraz je lažan ako svi članovi imaju vrijednost "false", tj. B - "false"; ¬C je "false" i stoga varijabla C ima vrijednost "true";

3) ako uzmemo u obzir premisu i uzmemo u obzir da je B "lažna", tada dobivamo da je vrijednost A "istinita".

Odgovor: A je istina, B je laž, C je istina.

Primjer 3 Koji je najveći cijeli broj X za koji iskaz (35

Riješenje. Zapišimo tablicu istine za operaciju implikacije:

Izraz X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Odgovor: X=5.

Korištenje Booleovih izraza za opisivanje geometrijskih područja

Booleovi izrazi se mogu koristiti za opisivanje geometrijskih regija. U ovom slučaju, problem je formuliran na sljedeći način: napišite za danu geometrijsku regiju takav logički izraz koji uzima vrijednost "true" za vrijednosti x, y ako i samo ako bilo koja točka s koordinatama (x; y) pripada na geometrijsku regiju.

Razmotrimo opis geometrijskog područja pomoću logičkog izraza koristeći primjere.

Primjer 1 Slika geometrijskog područja je postavljena. Napiši logički izraz koji opisuje skup točaka koje mu pripadaju.

1) .

Riješenje. Dato geometrijsko područje može se predstaviti kao skup sljedećih područja: prvo područje — D1 — poluravnina $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, drugo — D2 — kružnica sa središtem u ishodištu $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Njihovo sjecište D1 $∩$ D2 je željeno područje.

Proizlaziti: Booleov izraz $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Ovo područje se može napisati na sljedeći način: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Bilješka. Prilikom konstruiranja logičkog izraza koriste se nestriktne nejednakosti, što znači da granice figura također pripadaju osjenčanom području. Ako koristite stroge nejednakosti, tada se granice neće uzeti u obzir. Granice koje ne pripadaju regiji obično su prikazane kao isprekidane linije.

Možete riješiti obrnuti problem, naime: nacrtati područje za dati logički izraz.

Primjer 2 Nacrtajte i osjenčajte područje čije točke zadovoljavaju logički uvjet y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Riješenje.Željeno područje je presjek triju poluravnina. Gradimo na ravnini (x, y) prave y = x; y=-x; y = 2. To su granice regije, a posljednja granica y = 2 ne pripada regiji pa je nacrtamo točkasta linija. Da bi se ispunila nejednakost y ≥ x, potrebno je da su točke lijevo od pravca y = x, a nejednakost y = -x je zadovoljena za točke koje su desno od pravca y = -x. Stanje y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Korištenje logičkih funkcija za opisivanje električnih krugova

Logičke funkcije vrlo su prikladne za opisivanje rada električnih krugova. Dakle, za krug prikazan na slici, gdje je vrijednost varijable X stanje prekidača (ako je uključen, vrijednost X je "true", a ako je isključen - "false"), ovo vrijednost Y je stanje žarulje (ako je upaljena). - vrijednost je "true", a ako nije - "false"), logička funkcija će biti zapisana na sljedeći način: Y = X . Poziva se funkcija Y funkcija provođenja.

Za sklop prikazan na slici logička funkcija Y ima oblik: Y = X1 ∪ X2, budući da je za paljenje žarulje dovoljan jedan prekidač. U krugu na sl., kako bi žarulja gorjela, oba prekidača moraju biti uključena, stoga funkcija vodljivosti ima oblik: Y \u003d X1 ∧ X2.

Za složeniji krug, funkcija vodljivosti izgledat će ovako: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Krug također može sadržavati kontakte. U ovom slučaju, otvoreni kontakt kao prekidač osigurava da žarulja svijetli kada se gumb otpusti, a ne pritisne. Za takve sklopove rastavljač se opisuje negacijom.

Dvije sheme su tzv ekvivalent, ako struja prolazi kroz jednu od njih kada prolazi kroz drugu. Od dva ekvivalentna kruga jednostavnijim se smatra onaj krug čija funkcija vodljivosti sadrži manji broj elemenata. Zadatak pronalaženja najviše jednostavni sklopovi među ekvivalentima je vrlo važno.

Korištenje aparata logičke algebre u projektiranju logičkih sklopova

Matematički aparat logičke algebre vrlo je prikladan za opisivanje funkcioniranja hardvera računala. Svaka informacija kada se obrađuje na računalu predstavlja se u binarnom obliku, odnosno kodira se određenim nizom od 0 i 1. Obrada binarnih signala koji odgovaraju 0 i 1 izvodi se u računalu pomoću logičkih elemenata. Logička vrata koja izvode osnovne logičke operacije I, ILI, NE, prikazani su na sl.

Simboli za logičke elemente su standardni i koriste se pri izradi računalnih logičkih sklopova. Pomoću ovih sklopova možete implementirati bilo koju logičku funkciju koja opisuje rad računala.

Tehnički, računalni logički element implementiran je u obrazac strujni krug, što je veza raznih dijelova: dioda, tranzistori, otpornici, kondenzatori. Ulaz logičkog elementa, koji se također naziva i vrata, prima električni signali visoke i niske razine napona, izlaz se daje jedan izlazni signal je također ili visok ili niska razina. Ove razine odgovaraju jednom od stanja binarni sustav: 10; TOČNO NETOČNO. Svaki logički element ima svoj simbol, koji izražava njegovu logičku funkciju, ali ne označava koju elektronički sklop implementiran u njemu. To olakšava pisanje i razumijevanje složenih logičkih sklopova. Rad logičkih sklopova opisan je pomoću tablica istinitosti. Simbol u shemi ILI, znak "1" je iz zastarjele oznake disjunkcije kao ">=1" (vrijednost disjunkcije je 1 ako je zbroj dvaju operanda veći ili jednak 1). Znak “&” u AND dijagramu je skraćeni zapis engleske riječi and.

Logički elementi se koriste za sastavljanje elektroničkih logičkih sklopova koji izvode složenije logičke operacije. Skup logičkih elemenata, koji se sastoji od elemenata NE, ILI, I, s kojima možete izgraditi logičku strukturu bilo koje složenosti, naziva se funkcionalno kompletan.

Konstrukcija tablica istinitosti logičkih izraza

Za logičku formulu uvijek možete napisati tablica istine, tj. tablično prikazati zadanu logičku funkciju. U tom slučaju tablica treba sadržavati sve moguće kombinacije argumenata funkcije (formule) i odgovarajućih vrijednosti funkcije (rezultati formule na zadanom skupu vrijednosti).

Prikladan oblik notacije pri pronalaženju vrijednosti funkcije je tablica koja sadrži, osim vrijednosti varijabli i vrijednosti funkcije, i vrijednosti međuizračunavanja. Razmotrimo primjer konstruiranja tablice istinitosti za formulu $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

Ako funkcija daje vrijednost 1 za sve skupove vrijednosti varijable, to jest identično istinito; ako za sve skupove ulaznih vrijednosti funkcija uzima vrijednost 0, jest identično lažna; ako skup izlaznih vrijednosti sadrži i 0 i 1, funkcija se poziva izvodljiv. Gornji primjer je primjer identično istinite funkcije.

Poznavajući analitički oblik logičke funkcije, uvijek možete prijeći na tablični oblik logičkih funkcija. Koristeći zadanu tablicu istinitosti, možete riješiti inverzni problem, naime: za zadanu tablicu izgraditi analitičku formulu za logičku funkciju. Postoje dva oblika konstruiranja analitičke ovisnosti logičke funkcije prema tablično zadanoj funkciji.

1. Disjunktivni normalni oblik (DNF) je zbroj proizvoda formiranih od varijabli i njihovih negacija za lažne vrijednosti.

Algoritam za konstrukciju DNF je sljedeći:

1. u tablici istinitosti, funkcije odabiru skupove argumenata za koje su logički oblici jednaki 1 ("točno");
2. svi odabrani logički skupovi kao logički umnošci argumenata bilježe se sekvencijalnim međusobnim povezivanjem operacijom logičkog zbroja (disjunkcija);
3. za argumente koji su lažni, operacija negacije se stavlja u konstruiranu notaciju.

Primjer. Izgradite funkciju koja određuje da je prvi broj jednak drugom, koristeći DNF metodu. Tablica istinitosti funkcije ima oblik

Riješenje. Odabiremo skupove vrijednosti argumenata u kojima je funkcija jednaka 1. To su prvi i četvrti redak tablice (redak zaglavlja se ne uzima u obzir prilikom numeriranja).

Zapisujemo logičke produkte argumenata tih skupova, kombinirajući ih s logičkim zbrojem: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Zapisujemo negaciju argumenata odabranih skupova koji imaju lažnu vrijednost (četvrti redak tablice; drugi skup u formuli; prvi i drugi element): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Odgovor: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Konjunktivno normalni oblik (CNF) je proizvod zbrojeva formiranih od varijabli i njihovih negacija za prave vrijednosti.

Algoritam za izradu CNF je sljedeći:

1. u tablici istinitosti biraju se skupovi argumenata za koje su logički oblici 0 (“false”);
2. svi odabrani logički skupovi kao logičke sume argumenata ispisuju se sekvencijalno, povezujući ih međusobno operacijom logičkog produkta (konjunkcije);
3. za argumente koji su istiniti, operacija negacije se upisuje u konstruiranu notaciju.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Razmotrimo prethodni primjer, tj. izgradit ćemo funkciju koja određuje da je prvi broj jednak drugom, koristeći CNF metodu. Za zadanu funkciju, njezina tablica istinitosti ima oblik

Riješenje. Odabiremo skupove vrijednosti argumenata u kojima je funkcija jednaka 0. Ovo su drugi i treći red (redak zaglavlja se ne uzima u obzir prilikom numeriranja).

Zapisujemo logičke zbrojeve argumenata tih skupova, kombinirajući ih s logičkim umnoškom: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

Zapisujemo negaciju argumenata odabranih skupova koji imaju pravu vrijednost (drugi red tablice, prvi skup formule, drugi element; za treći red, a to je drugi skup formule , prvi element): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Tako je dobiven zapis logičke funkcije u CNF.

Odgovor: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Vrijednosti funkcije dobivene dvjema metodama su ekvivalentne. Da bismo dokazali ovu tvrdnju, koristimo se logičkim pravilima: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Primjer 2. Izgradite logičku funkciju za zadanu tablicu istine:

Potrebna formula: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Može se pojednostaviti: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Primjer 3 Za zadanu tablicu istine konstruirajte logičku funkciju koristeći DNF metodu.

Potrebna formula: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3)↖(-)$.

Formula je prilično glomazna i treba je pojednostaviti:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Tablice istinitosti za rješavanje logičkih problema

Sastavljanje tablica istinitosti jedan je od načina rješavanja logičkih problema. Pri korištenju ove metode rješavanja, uvjeti koje sadrži problem popravljaju se pomoću posebno sastavljenih tablica.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Napravite tablicu istinitosti za sigurnosni uređaj koji koristi tri senzora i aktivira se kada se zatvore samo dva.

Riješenje. Očito je da će rezultat rješenja biti tablica u kojoj će željena funkcija Y(X1, X2, X3) biti istinita ako su bilo koje dvije varijable istinite.

Primjer 2 Napravite raspored sati za taj dan, s obzirom na to da sat informatike može biti samo prvi ili drugi, sat matematike - prvi ili treći, a sat fizike - drugi ili treći. Je li moguće napraviti raspored koji zadovoljava sve zahtjeve? Koliko opcija rasporeda postoji?

Riješenje. Problem se lako rješava ako napravite odgovarajuću tablicu:

Tablica pokazuje da postoje dvije opcije za željeni raspored:

1. matematika, informatika, fizika;
2. informatika, fizika, matematika.

Primjer 3 U sportski kamp došla su tri prijatelja - Petar, Boris i Aleksej. Svaki od njih voli dva sporta. Poznato je da postoji šest takvih sportova: nogomet, hokej, skijanje, plivanje, tenis, badminton. Također je poznato da:

1. Boris je najstariji;
2. igranje nogometa je mlađe od igranja hokeja;
3. igraju nogomet i hokej i Peter žive u istoj kući;
4. kad dođe do svađe između skijaša i tenisača, Boris ih pomiri;
5. Peter ne zna igrati tenis ni badminton.

U kojim sportovima svaki od dječaka uživa?

Riješenje. Napravimo tablicu i odrazimo uvjete problema u njoj, ispunjavajući odgovarajuće ćelije brojevima 0 i 1, ovisno o tome je li odgovarajuća izjava netočna ili točna.

Budući da postoji šest sportova, pokazalo se da svi dječaci vole različite sportove.

Iz uvjeta 4 proizlazi da Boris ne voli skijanje ni tenis, a iz uvjeta 3 i 5 da Petar ne može igrati nogomet, hokej, tenis i badminton. Shodno tome, Peterovi omiljeni sportovi su skijanje i plivanje. Stavimo to u tablicu, a preostale ćelije stupaca "Skijanje" i "Plivanje" popunimo nulama.

Tablica pokazuje da samo Aleksej može igrati tenis.

Uvjeti 1 i 2 impliciraju da Boris nije nogometaš. Dakle, Alexei igra nogomet. Nastavljamo s popunjavanjem tablice. Dodat ćemo prazne ćelije nizovi "Aleksej" su nule.

Na kraju saznajemo da Boris voli hokej i badminton. Konačni stol će izgledati ovako:

Odgovor: Petr voli skijati i plivati, Boris igra hokej i badminton, a Alexey nogomet i tenis.

Sat informatike 9. razred

Tema: Pojam, sud, zaključak. Pojmovi "istine" i "laži".

Tema: Pojmovi "istina" i "laž"

Ciljevi:

upoznati učenike s pojmovima „točne i netočne tvrdnje“;

naučiti utvrditi je li tvrdnja istinita sa stajališta objektivne stvarnosti;

Pedagoški zadaci lekcije:

razvijati logično mišljenje, zapažanje, govor;

razvijati sposobnost timskog rada, uvažavati mišljenje kolega iz razreda.

Zahtjevi za razinu svladanosti nastavnog gradiva nakon završetka lekcije:

znati kako ljudi dobivaju "istinu";

znati procijeniti istinu i ispraviti je ako je lažna;

biti u stanju dati primjere kako istinita izjava može "postati" lažna tijekom vremena.

Ključni koncepti: pojmova "istinito" i "lažno".

Značajke lekcije:

oblik organizacije: heuristički razgovor temeljen na znanju i iskustvu učenika, frontalni rad;

vrsta lekcije: kombinirani (formiranje novih znanja na temelju aktualizacije postojećih svakodnevnih iskustava i znanja);

strategija: analiza postojećeg znanja s pristupom novoj razini razumijevanja istinitih i lažnih izjava.

Materijalna podrška nastavi: udžbenik, demo PC.

Primjer plana lekcije:

Organizacijski trenutak (1-2 minute).

studiranje nova tema (10-12)

Primarno učvršćivanje (9-12 min).

Tjelesni odgoj (2-3 minute).

Računalna radionica (10-12 min).

Generalizacija i sumiranje (3 min).

Komentar nastavnika na domaća zadaća(2-3 min).

Tijekom nastave

Organizacija učenika za rad.

Moto lekcije: "Smatrajte nesretnim onaj dan i onaj sat u kojem niste naučili ništa novo, niste ništa dodali svom obrazovanju."

Ljudi, imamo zanimljiva tema, ali moram biti siguran da ste spremni to proučavati.

II. Istraživanje nove teme.

Pripremni rad.

Igra "Istina je laž"

Izaberite sinonim za riječ "istina", a sada za riječ "neistina".

Bit će teško stjecati i svladavati nova znanja bez sposobnosti brzog i ispravnog odgovaranja na postavljena pitanja, pa započnimo sat igrom "Istina - laž"

Iznijet ću neke misli, ako mi vjerujete, podignite karticu "I", ako ne, onda karticu "L".

Svi krokodili lete.

Računalo je pomoćnik osobi u brojanju.

10 je djeljivo s 3 bez ostatka.

Telefon služi kao sredstvo komunikacije.

Naša škola se nalazi u 29. okrugu.

Trenutačno nemamo sat informatike.

Grad Temryue glavni je grad Krasnodarskog kraja.

Sve škole u gradu imaju četiri kata.

Vi ste učenici 4. škole i četvrtaši.

Uvođenje pojmova "lažna, istinita izjava"

Navedite izjave u koje vjerujete. Zašto? (Zato što je istina, istina je)

Takve se izjave nazivaju pravi, odnosno istinit, koji odgovara stvarnosti.

Kako tvrdnje koje smatrate netočnima možete nazvati?

Takve izjave su lažno.

Zapamtiti! Istina je ono što odgovara stvarnosti.

Laž je nešto što nije istina.

Učvršćivanje materijala.

Igra "Tko je više?"

Da provjerite koliko ste razumjeli novi materijal, nudim vam igru-natjecanje "Tko je više?"

Pravila igre su sljedeća: razred je podijeljen u dvije ekipe "Točno" i "Netočno". U skladu s tim, momci iz tima “Istina” daju primjere točnih izjava, a dečki iz tima “Laž” daju primjere lažnih izjava.

Dobro napravljeno! Obavili ste izvrstan posao. Zašto mislite da u našem natjecanju nema pobjednika i gubitnika?

Okruženi smo tako velikim brojem predmeta, a vi ste vrlo promatrački, pažljivi i znatiželjni, što vam je pomoglo da se uspješno nosite sa zadatkom.

2) Rad na udžbeniku.

Udžbenik lektire str.82-85

prednja anketa.

Je li uvijek lako odrediti kada je neka izjava istinita? (ne, ponekad nema dovoljno znanja i iskustva)

Koje radnje osoba mora poduzeti da bi dobila istinu? (promatrati, usporediti, razmisliti, izračunati, izmjeriti, istraživati)

Što je rezultat razmišljanja? (usmena izjava ili izjava u obliku teksta, slike, broja, dijagrama, formule)

Navedite primjere iz života kada lažna tvrdnja postane istinita kada ljudi nauče nešto novo ili obrnuto.

Fizmunutka.

Učinite suprotnu igru

Lekciju smo započeli odabirom sinonima, a sada predlažem da odaberete antonime, i to verbalno.

Ja ću izgovarati izjave-radnje, a ti ćeš činiti suprotno.

Sjediti.

Nemoj skakati.

Nemoj stajati.

Ne diži ruke.

Plakati.

Ne gazite.

Budi tiho.

Nemoj sjediti.

Nemoj sjediti.

Ne slušaj.

Rad u bilježnicama.

№ 1. Popuni riječi koje nedostaju:

Koncepti "istine" i " laž 'su nespojivi pojmovi.

Pravi ne "leži" uvijek na površini.

Ljudi rudare istina pri promatranju, ispitivanju predmeta i pojava, razmišljati , izračunati, izmjeriti i tako dalje.

Tvrdnja može biti istinita ili lažno .

Istina je što odgovara stvarnost.

Laž je što stvarnost ne podudara se.

№ 5. Procesna grafika i tekstualne informacije i označavanjem odgovarajućeg slova označi jesu li ti sudovi istiniti ili netočni.

№ 6. a) Pogledajte dijagram.

"drvo"

"javor"

"dotjerati"

"bor"

"hrast"

Smislite riječi i ispunite dijagram

Danas ćemo govoriti o predmetu koji se zove informatika. Tablica istine, vrste funkcija, redoslijed kojim se izvode naša su glavna pitanja na koja ćemo pokušati pronaći odgovore u članku.

Obično se ovaj predmet uči u srednjoj školi, ali veliki broj učenika je uzrok nerazumijevanja nekih karakteristika. A ako ćete tome posvetiti svoj život, onda jednostavno ne možete bez polaganja jedinstvenog državnog ispita iz informatike. Tablica istine, transformacija složenih izraza, rješenje logičkih problema - sve se to može naći u ulaznici. Sada ćemo detaljnije razmotriti ovu temu i pomoći vam da postignete više bodova na ispitu.

Predmet logike

Kakav je predmet informatika? Tablica istine - kako je izgraditi? Zašto nam je potrebna znanost logike? Sada ćemo odgovoriti na sva ova pitanja.

Informatika je prilično fascinantan predmet. To ne može biti problem za moderno društvo, jer sve što nas okružuje, na ovaj ili onaj način, odnosi se na računalo.

Osnove znanosti o logici daju srednjoškolski profesori na nastavi informatike. Tablice istinitosti, funkcije, pojednostavljenje izraza – sve bi to trebali objasniti profesori informatike. Ova znanost je jednostavno neophodna u našem životu. Pogledajte malo bolje, sve se pokorava nekakvim zakonima. Bacili ste lopticu, ona je poletjela, ali je nakon toga pala natrag na tlo, to se dogodilo zbog zakona fizike i sile gravitacije. Mama skuha juhu i posoli. Zašto, kada ga jedemo, ne nailazimo na žitarice? Jednostavno je, sol otopljena u vodi, poštujući zakone kemije.

Sada obratite pozornost na to kako govorite.

• “Ako svoju mačku odvedem u veterinarsku kliniku, bit će cijepljena.”
• "Danas je bio jako težak dan jer je stigao ček."
• “Ne želim ići na sveučilište jer će danas biti kolokvij” i tako dalje.

Sve što kažete mora biti u skladu sa zakonima logike. To se odnosi i na poslovni i na prijateljski razgovor. Upravo iz tog razloga potrebno je razumjeti zakone logike kako ne bi djelovali nasumično, već bili sigurni u ishod događaja.

Funkcije

Kako biste sastavili tablicu istine za problem koji vam je predložen, morate poznavati logičke funkcije. Što je? Booleova funkcija ima neke varijable koje su iskazi (točno ili netočno), a vrijednost same funkcije trebala bi nam dati odgovor na pitanje: "Je li izraz istinit ili netočan?".

Svi izrazi imaju sljedeće vrijednosti:

• Istina ili laž.
• ja ili L.
• 1 ili 0.
• Plus ili minus.

Ovdje dajte prednost metodi koja vam više odgovara. Da bismo napravili tablicu istine, moramo navesti sve kombinacije varijabli. Njihov broj izračunava se formulom: 2 na potenciju n. Rezultat izračuna je broj mogućih kombinacija, varijabla n u ovoj formuli je broj varijabli u uvjetu. Ako izraz ima mnogo varijabli, možete upotrijebiti kalkulator ili sami napraviti malu tablicu s dizanjem dva na potenciju.

Ukupno postoji sedam funkcija ili odnosa u logici koji povezuju izraze:

• Množenje (konjunkcija).
• Adicija (disjunkcija).
• Posljedica (implikacija).
• Ekvivalencija.
• Inverzija.
• Schaefferov moždani udar.
• Pierce Arrow.

Prva operacija prikazana na popisu zove se "logičko množenje". Može se grafički označiti kao obrnuta kvačica, & ili * znakovi. Druga operacija na našem popisu je logično zbrajanje, grafički označeno kvačicom, +. Implikacija se naziva logička posljedica, označena strelicom koja pokazuje od uvjeta prema posljedici. Ekvivalencija je označena dvostranom strelicom, funkcija je istinita samo u onim slučajevima kada obje vrijednosti imaju ili vrijednost "1" ili "0". Inverzija se naziva logička negacija. Schaefferov prosti broj naziva se funkcija koja niječe konjunkciju, a Pierceova strelica se naziva funkcija koja niječe disjunkciju.

Osnovne binarne funkcije

Logička tablica istine pomaže pronaći odgovor u problemu, ali za to morate zapamtiti tablice binarnih funkcija. U ovom odjeljku oni će biti navedeni.

Konjunkcija (množenje). Ako dva, tada kao rezultat dobivamo istinito, u svim ostalim slučajevima dobivamo lažno.

Rezultat je lažan s logičkim zbrajanjem, imamo samo u slučaju dva lažna unosa.

Logička posljedica je lažna samo kada je uvjet istinit, a posljedica lažna. Ovdje možete dati primjer iz života: "Htio sam kupiti šećer, ali trgovina je bila zatvorena", dakle, šećer nikada nije kupljen.

Ekvivalent je istinit samo u slučajevima kada su vrijednosti ulaznih podataka iste. Odnosno, s parovima: "0; 0" ili "1; 1".

U slučaju inverzije, sve je elementarno, ako je na ulazu istinit izraz, onda se pretvara u lažan i obrnuto. Na slici je prikazano kako je to grafički prikazano.

Schifferov potez će imati pogrešan rezultat u izlazu samo ako postoje dva istinita izraza.

U slučaju Pierceove strelice, funkcija će biti istinita samo ako na ulazu imamo samo lažne izraze.

Kojim redoslijedom izvoditi logičke operacije

Napominjemo da je konstrukcija tablica istine i pojednostavljenje izraza moguća samo uz točan redoslijed operacija. Zapamtite kojim redoslijedom ih je potrebno provesti, ovo je vrlo važno za postizanje pravog rezultata.

• logična negacija;
• množenje;
• dodatak;
• posljedica;
• istovjetnost;
• negacija množenja (Schefferov potez);
• negacija sabiranja (Pierceova strelica).

Primjer #1

Sada predlažemo da razmotrimo primjer konstruiranja tablice istine za 4 varijable. Potrebno je otkriti u kojim slučajevima F = 0 za jednadžbu: ne A + B + C * D

Odgovor na ovaj zadatak bit će nabrajanje sljedećih kombinacija: "1;0;0;0", "1;0;0;1" i "1;0;1;0". Kao što vidite, izrada tablice istinitosti je vrlo jednostavna. Još jednom bih vam skrenuo pozornost na redoslijed radnji. U ovom konkretnom slučaju radilo se o sljedećem:

1. Inverzija prvog jednostavnog izraza.
2. Konjunkcija trećeg i četvrtog izraza.
3. Disjunkcija drugog izraza s rezultatima prethodnih izračuna.

Primjer #2

Sada ćemo razmotriti još jedan zadatak koji zahtijeva izradu tablice istinitosti. Informatika (primjeri su uzeti iz školskog kolegija) također se može dati kao zadatak. Razmotrimo ukratko jedan od njih. Je li Vanja kriv za krađu lopte ako je poznato sljedeće:

• Ako Vanja nije ukrao ili Petja jest, onda je Serjoža sudjelovao u krađi.
• Ako Vanja nije kriv, onda ni Serjoža nije ukrao loptu.

Uvedimo oznaku: ja - Vanja je ukrao loptu; P - Petya je ukrao; S - Serjoža je ukrao.

Prema ovom uvjetu možemo sastaviti jednadžbu: F=((nonI+P) implikacija C)*(nonI implikacija nonC). Trebaju nam one opcije u kojima funkcija ima pravu vrijednost. Zatim morate izraditi tablicu, jer dana funkcija ima čak 7 radnji, onda ćemo ih izostaviti. Upisat ćemo samo ulazne podatke i rezultat.

Napominjemo da smo u ovom zadatku koristili znak plus i minus umjesto znakova "0" i "1". Ovo je također prihvatljivo. Zanimaju nas kombinacije gdje je F=+. Nakon njihove analize možemo izvući sljedeći zaključak: Vanja je sudjelovao u krađi lopte, jer u svim slučajevima gdje F ima vrijednost +, I ima pozitivnu vrijednost.

Primjer #3

Sada vam predlažemo da pronađete broj kombinacija kada je F=1. Jednadžba je sljedeća: F=notA+B*A+notB. Pravimo tablicu istine:

Odgovor: 4 kombinacije.