3 차원 공간 : 벡터, 좌표. 공간이 3 차원 인 이유

하나님 대신 인류의 원리?

과학자들은 20 세기 중반 경부터 우리 세계의 특징과 삶과 정신의 존재 가능성을 비교하는 인류 학적 원리를 20 세기 중반부터 부르기 시작했습니다. 자유롭고 이해할 수있는 형식으로,이 원리는 놀라운 현상을 주장합니다. 즉, 우리의 세계는 창조되었고 전적으로 존재하기 때문에 존재하고 존재할 수있었습니다. 다른 말로하면, 우주의 모든 속성들은 지성인 생활의 출현에 맞춰져 있습니다. 왜냐하면 우리가 관측자 들로서 지성 생활을하고 있기 때문입니다!

왜 우리는 3 차원 공간에서 살고 있습니까?

자연은 우리 존재의 3 차원 공간 (길이, 폭 및 높이)을 선택했습니다. 그러나 일부 물리학 자들은 실제로 공간이 11 차원 (!)이라고 믿습니다. 그러나 그들 중 8 명이 "붕괴 된"것이므로 우리는 그들을 알아 채지 못합니다. 그러나 "최소화 된"측정의 기하학적 매개 변수가 증가하면 우리 세계의 역 동성에 심각하게 영향을 미칩니다. 이것은 안정된 운동처럼 진화하는 현실의 중요한 현상이 3 차원 공간에서만 가능하다는 점에 추가되어야합니다!

우리 공간의 길이가 2 차원 (길이와 너비) 또는 길이가 1 개인 경우 (길이 만), 모든 사람들이 알듯이 그러한 공간에서의 움직임은 생명의 기원에 대해 의문의 여지가 없도록 제한됩니다. 우리 공간의 차원 수가 3보다 크다면, 예를 들어, 행성들은 별 근처에서 붙들 수 없었습니다. 그들은 행성에 떨어지거나 날아갈 것입니다! 비슷한 운명은 핵과 전자로 원자를 또한 이해했을 것이다.

오늘날 우리는 4 가지 기본 자연력, 즉 중력, 전자기 및 핵 - 약하고 강한 것을 알고 있습니다.

그래서 그것들이 조금이라도 바뀌어도 우리 우주의 중요한 변화로 이어질 것이라는 것이 증명되었습니다! 전자와 양성자의 질량비에도 비슷한 제한이있다. 그들의 변화는 예측할 수없는 결과를 초래할 것입니다.

  안정성 계수 - 시간!

우리의 공간은 엄밀히 말하면 3 차원이 아니라 4 가지를 가지고 있음을 아는 사람들은 거의 없습니다. 네 번째 좌표는 ... 시간입니다!

다른 세 좌표와 가장 중요한 차이점은 비가역성입니다. 즉, 우리에게 알려지지 않은 이유 때문에 시간은 과거에서 미래로 한 방향으로 만 흐릅니다! 그럼에도 불구하고, 세계에서이 협조가 없다면 발전과 발전이 없을 것입니다.

현대 과학적 개념에 따르면 공간, 시간 및 물질은 소위 빅뱅 (Big Bang)의 결과로 동시에 태어났습니다. 이 아이디어는 과학자들에 의해 잘 발달되었지만, 미시적 수준에서 어떻게 일어 났는지는 거의 분명하지 않습니다.

특히 빅뱅의 결과로 형성되는 물질의 양이 반물질보다 약간 더 큰 것으로 밝혀진 이유는 분명합니다. "누군가"는이 반 대칭성을 처리했습니다. 왜냐하면 같은 수의 입자와 반 입자로 모두 사라지고 (복잡한) 시스템을 만들 수 없기 때문입니다.

단백질 체의 존재 조건

지능형 생명체는 단백질 기준과 매우 좁은 온도 범위에서만 존재할 수 있습니다. 결과적으로, 생명을주는 행성의 궤도는 평균 온도가이 한계를 벗어나지 않도록 선택되어야합니다! 이 궤도가 원형이라면 좋을 것입니다. 그렇지 않으면,이 행성의 겨울은 모든 생물에 길고 비참 할 것입니다. 여름이 너무 덥면 생존자가 죽을 것입니다! 더욱이 우리 지구도 궤도에 단단히 묶여 있습니다. 지구상의 궤도가 10 분의 1 만 변경 되더라도 대다수의 생물이 살아남을 수 없습니다!

지구의 지능적인 삶의 발전을 위해서는 지구의 달마루와 흘러가는 달이 필수적이라고합니다. 그러나 한때 달이 우리 행성에 없었던 것이 제안되었습니다. 그들은 "누군가"그녀를 여기 데려왔다 고 말합니다! 이 사실은 지구의 궤도에서 달의 매우 조심스러운 "설치"에 의해 확인됩니다. 직경은 태양의 직경보다 200 배 작으며 200 배 가까이에 위치합니다. 결과적으로, 총 일식 중, 달의 디스크가 태양의 디스크를 정확하게 감추고, 우리는 낮에 밤하늘을 볼 수 있습니다! "누군가"는 우리에게이 놀라운 그림을 보여줄 필요가있었습니다!

코스모스의 "수상한"침묵

우리 행성의 길을 지난 문명의 비참한 미래의 필연성을 상징합니까? 그들이 말한대로 좋은 건강 상태에있는 사람들 중 한 명을 발견 할 가능성을 평가하려고합시다. 이렇게하려면 약 1,000 억 개의 별을 포함한다고 생각되는 우리의 별인 은하계를 고려하십시오.

우리 태양은 50 억년 전에 조명을 발했고 지구 주위에이 시간 동안 지능적인 삶이 시작되어 오늘날까지 생존했습니다. 그러나 다른 별 주위의 삶이 훨씬 일찍 일어났다 고 가정 해 봅시다. 그런 다음, 적절한 개발 수준에 도달하고 서식지가 악화되면 문명은 시민들이 점령 할 수있는 주변 공간을 식민지로 결정할 것입니다. 이를 위해, 그것은 천개의 정착 자와 각각에 필요한 용품과 장비를 갖춘 3 개의 거대한 우주선을 다른 방향으로 보낼 것입니다.

가장 가까운 별에 1 초당 10,000 킬로미터의 속도로 날고있는 우주선의 경로 (!)는 100 년이 걸릴 것입니다! 우리는 정착민들에게 또 300 년 동안 새로운 곳에서 정착하고 다음 배들에게 배를 보낼 때까지 기다릴 것입니다. 그런 "계단 비행"으로 문명은 2000 만 년 동안 전체 은하계를 채 웁니다! 또한이 수치는 과소 평가 된 것입니다. 실제로 적절한 행성을 찾기 위해 많은 시간을 할애 할 수 없기 때문입니다. 절대적으로 환상적인 용어가 관련되어 있기 때문에 설명 된 시나리오는 절대적으로 멋진 것으로 간주 될 수 있습니다. 그리고 시간이 길어질수록 예측할 수없는 사건을 만날 기회가 커집니다.

우주는 다를 수 있습니다!

빅뱅 이후 등장한 온 세상은 우리가 망원경으로 볼 수있는 것보다 몇 배 더 큽니다. 그러므로 오늘날 과학자들은 고유 한 기본 매개 변수와 법칙 세트를 가진 우주의 존재를 허용하고 거대한 공간 거리 때문에 전적으로 그들을 보지 못합니다.

인류학의 원리에 관해서는 미국 과학자 W. 카터 (W. Carter)의 책 "우주론에서의 수많은 인류학의 우연성과 일치"의 출판 이후 지난 세기 중반에 광범위하게 논의되기 시작했다. 저자는이 원리를 다음과 같이 설명했다 : "우주는 진화의 어떤 단계에서 관측자가 존재할 수 있어야한다". 또는 "우리의 관찰은 관찰자로서의 우리의 존재에 필요한 조건들에 국한되어야한다."

우리가 살지 않는 3 차원 세계

고대 그리스인조차도 경험주의에서 수학을 연역으로 전환 시켰고, 기본 개념에서 증거를 철회하고 경험에 대한 언급을 논증으로 삼지 않으면 안되었다.

순수 수학은 재료 내용을 추상화하여 형태와 관계를 탐구합니다. 즉각적인 대상은 예를 들어 하나 또는 다른 구체 형태의 몸체는 아니지만 "이상적인 공", 개체의 집합체 또는 개별 숫자가 아니라 일반적인 숫자 등입니다.

그러나이 과학의 모든 추상성 때문에 수학자 중 누구도 자신의 모든 개념, 정리 및 공식이 실제 양적 및 공간적 관계를 표현한다는 것을 의심하지 않았습니다. 수학적 기하학은 실제 공간의 이론이었습니다. 역학은 나중에 운동 이론이었습니다.

수학은 공부하는 과학이다.
   양적 및 공간적
   현실의 형태와 관계
   Academician A.D. Aleksandrov

우리 주위의 세계는 3 차원입니다. 우리는 태어날 때부터이 생각에 익숙합니다. 누구나 높이, 길이, 너비가 무엇인지 알고 있습니다. 우리 주위 공간의 세 가지 주요 치수입니다. 다른 나라에서 채택 된 전통에 따라 물체의 크기는 미터, 피트, 리, 리그 및 기타 표준 단위로 측정됩니다. 우리의 추론을 위해 약간 다른 길이의 단위를 선택하십시오. 그녀는 하나를 섬길 것입니다. 빛의 해(1 St.), 즉 1 년 동안 빛의 광선에 의해 이동 된 거리. 전통적인 길이의 측정에서 이것은 상상할 수없는 양입니다 - 약 9.46 10 12 킬로미터.

우리 주위의 공간에서 sv의 1과 같은 가장자리로 큐브를 정신적으로 자르면. 우리는 살고있는 집, 지구, 태양계 등을 안전하게 내부에 보관할 것입니다 ... 일반적으로 인간의 일상 생활에 필요한 모든 것. 편의상, 우리가 생각한 큐브를 호출하자. 단위 큐브.  그리고 이제 우리는 다음과 같은 명백한 사실을 주목합니다. 엄청난 크기에도 불구하고, 우리의 단일 큐브는 주변 세계의 가장 작은 입자 일뿐입니다.

이러한 가상 단위 큐브는 공간의 다른 지점에서 절단 될 수 있습니다. 동시에 공간의 다른 지점에서 자른 두 개의 큐브가 동일 할 것이라고 주장 할 수 있습니다. 이것은 소위 말하는 주요 아이디어이다. 유클리드 매니 폴드,  어떤 포인트가 적절한 크기의 큐브로 둘러싸여 있는지에 따라. 보다 정확하게, 우리는 다음의 정의를 공식화 할 수있다. 3 차원 유클리드 매니 폴드 (Euclidean Manifold)는 집합 M 3이며, 그 중 임의의 점은 큐브의 중심이 주어진 집합의 점 전체로 구성됩니다.

그런데이 정의에서 큐브 자체의 크기는 지정되지 않습니다. 큰 크기의 큐브를 사용하지 않아도됩니다. 같은 성공을 거두면, 각 포인트는 큐브에 포함되어 있고 그 가장자리는 길이가 1 미크론 (10 -6 cm)을 넘지 않는다고 주장 할 수 있습니다.

위의 모든 내용은 다음 단어로 간단히 표현할 수 있습니다. 우리 주위의 세계는 3 차원 유클리드 유형입니다. 그리고 이제 우리는 다음 질문에 답하려고 노력할 것입니다 : 우리 집이있는 단일 입방체 - 우리의 태양계 -의 한계를 넘어 세계는 어떻게 작동합니까?

3 차원 토러스 및 기타

잠시 동안 우리 주변의 공간이 모든 방향에서 무한하다고 상상한다면, 다음은 우리 주변의 세계 구조에 관한 질문에 답할 것입니다 하다 마드 정리 :

"3 차원 유클리드 매니 폴드가 모든 방향으로 무한대로 확장되었습니다. M 3  유클리드 공간과 일치하다. E 3».

유클리드 공간 E 3  모두가 직각 좌표계를 알고 있으므로 우리는 그 속성에 대한 연구를 계속하지 않을 것입니다.

우리의 추론을보다 의미 있고 재미있게 만들기 위해 또 다른 옵션을 가정 해 보겠습니다. 우리 주변의 세상은 닫혀 있습니다. 즉, 유한 차원이고 가장자리가 없습니다. 다시 말해, 닫힌 3 차원 유클리드 다기관이 어떻게 배열되어 있는지, 다시 말하면,   유클리드 양식.  이 문제에 대한 완전한 답은 J. Wolf (1982)가 증명 한 정리에 의해 주어진다.

정확히 10 개의 3 차원 유클리드 형식이 있습니다. 또한, 그 중 6 개는 지향성이고, 나머지 4 개는 비 지향성 품종이다.

모든 유클리드 형식은 유사한 방식으로 구성됩니다. 유일한 것은 - 큐브를 사용해야하는 큐브를 만들고, 다른 큐브를 사용하려면 정규 육각 프리즘을 사용해야합니다.

처음이자 가장 유명한 유클리드 양식은 모두에게 익숙한 유사품입니다.   2 차원 원환 체 - 3 차원 원환 체. 이 집합을 (쌍으로 식별 된 얼굴을 가진 큐브)를 통해 나타냅니다. T 3. 유클리드 형태의 또 다른 형태는 이른바 꼬인 3 차원 토러스 (twisted three-dimensional torus)이다. 질문 3. 그리고 이제 우리는 단순한 물리적 실험을 수행하여 매니 폴드 T 3  및 질문 3  유클리드 공간과 다르다. E 3.

이렇게하기 위해, 3 차원 원환 체의면 A의 중심에서, 우리는 우주선을 빛의 속도로 날고, 그것을 수직 방향으로 시작하도록 강제합니다. 정확하게 1 년 후, 우주선은 직선으로 계속 움직여 출발점으로 돌아갑니다. 이제이 점은 조건에 의해면 A로 식별되는면 A '의 중심에있게됩니다. 실험의 결과로, 우리는 3 차원 원환 체에서 T 3  닫힌 직선이있다. 내가  1 년 동안 광년.

하나 더 비슷한 실험을 해봅시다. 우주선을 지점 y에서 발사하여 직전에 놓기 A  그 중심에서 1km 떨어진 곳에. 1 년 안에, 배는 안전하게 지점으로 돌아갑니다. ~에서. 두 번째 실험에서 결론 - 지점을 통해 ~에서  직선과 평행 한 1 광년 길이의 닫힌 직선을 전달합니다.   내가.

이제 우리는 비틀어 진 원환 체에서 설명한 두 가지 실험을 모두 수행 할 것입니다. 질문 3. 첫 번째 실험은 이전과 완전히 동일한 결과를 제공합니다. 그러나 두 번째 실험에서는 완전히 다른 것입니다. 지점에서 출발하는 선박 ~에서1 년 안에 요점에 도달 할 것입니다. zA'-A면에 있고 그 지점과 정반대의 위치에있다. ~에서  이 얼굴의 중심을 기준으로 직선의 비행은 계속되고 다른 해 동안 지속되며, 그 후 우주선은 지점으로 돌아갑니다 ~에서.

그래서 질문 3  통과 점 ~에서  직선과 평행 한 길이 2의 닫힌 직선이있다.   내가. 따라서 품종 T 3  및 질문 3  다르고 둘 다 공간과 다르다. E 3닫힌 직선이없는

다음 유클리드 형식은 다음과 같습니다. 클라인 채워진 병  다양성 케이 3) - 이전과 달리 방향이 맞지 않습니다. 증명해 보죠. 이렇게하려면 우주선을 중심으로 한 실험을 반복하십시오. A, 추가적으로 우리는 선박의 프로펠러의 뱃머리에 시계 방향으로 일정한 속도로 회전 할 것입니다 (조종석에서 볼 때). 선박의 연료 공급량이 충분하고 프로펠러가 1 년 동안 회전 할 때까지, 선박이 폐쇄 된 직선을 따라 여행을 완료 할 때까지 내가, 시작 지점으로 돌아갑니다. 배가 출발 지점에 다시있을 때 조종사는 프로펠러가 반 시계 방향으로 회전하는 것을 발견하면 놀랄 것입니다! (물론, 우리는 조종사가 처음에 잊어 버린 시간을 의미합니다.) 후자는 다양성 케이 3  - 지향성이 없으므로 이전에 구축 된 유클리드 형식과 다름 T 3및 질문 3.

결론적으로, 우리는 태양계의 크기 (직경이 약 124 10 9 km 임)가 선형 큐브를 기반으로 위에 만들어진 다기관의 크기에 비해 작다는 것을 알 수있다. 내부에 위치 할 수 있습니다. T 3, 질문 3, 케이 3, 그래서 다른 유클리드 형태로. 동시에 1 일을 초과하지 않는 거리를 계산합니다. 우리는 일상적인 유클리드 기하학을 사용할 수 있으며 우리 주위의 세계가 닫혀 있지 않다고 추측 할 수도 없습니다. 현재 인류는 우주선이 빛의 속도로 날지 않습니다. 이것은 위에서 설명한 것과 같은 지구 적 실험을 수행하고 마지막으로 우리가 유클리드 세계에 살고 있음을 입증하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.

다양한 품종

이미 언급했듯이, 위의 모든 종류에는 유클리드 기하학이 있습니다. 이것이 의미하는 바는 무엇이며 다른 기하학은 무엇입니까?

인간 행동에서 가장 유명하고 사용되는 것은 구형 유클리드  및 쌍곡선 기하학. 구형 기하학은 때때로 리만 기하학, 쌍곡선 - 로바 체 브 스키 기하학. 3 차원 공간에는 3 가지 이외에 5 가지가 더 있습니다. 합성 기하학.

기하학의 법칙이 3 차원의 다양체에 작용하는 방식에 따라 유클리드, 구형, 쌍곡선 또는 합성이라고 각각 부릅니다.

우리는 이미 위의 유클리드 (Euclidean) 품종을 고려했습니다. 나머지는 20 년 전에 W. Thurston (1978)이 주목할만한 정리를 증명했다.   거의 모든 3 차원 적 다양체는 쌍곡선, 즉 Lobachevsky의 기하학 법칙을 따른다.. 1983 년이 결과에 대해 그는 수학자들에게 가장 권위있는 상인 필즈 상을 수상했습니다.

구형 매니 폴드는 3 차원 적이며 다차원 적이다 (Wolff, 1982). 어떤 차원의 공간에도 그러한 다양체의 유형이 한정되어있다. 쌍곡선 매니 폴드의 나머지 분류와 달리 합성 종류는 거의 없다 (Thurston, 1978; Dunbar, 1981; Thurston, 2001). 후자는 무분별하게 광범위하며 분류가 아직 완료되지 않았습니다.

구형 품종

모든 3 차원 구형 매니 폴드는 방향이 있습니다. 이것은 연속적으로 회전하는 프로펠러가 달린 우주선이 닫힌 궤도에 상관없이 출발점으로 돌아 가면 프로펠러가 발사 순간과 같은 방향으로 회전 함을 의미합니다.

가장 간단한 구형 매니 폴드는 3 차원 구입니다. S 3. 그것은 4 차원 공의 경계 또는 공간의 점 집합과 같은 것으로 정의 될 수 있습니다 E 4같은 거리에있는 센터에서 멀리 떨어져 있습니다. 입체 투영을 사용하면 3 차원 구면의 점 사이에 일대일로 상호 연속적인 대응 관계를 설정할 수 있습니다. S 3  및 도트 설정 E 3  + (∞)는 우리가 유클리드 공간에 추가하여 얻은 것입니다. E 3  무한대 점 ∞. 따라서 우리는 S 3 = E 3 + {∞}.

구형 매니 폴드의 두 번째 예는 3 차원 투영 공간입니다. P 3. 그것은 쉽게 식별 할 수있는 정반대의 구인 구형으로 상상할 수 있습니다.

세 번째, 아마도 가장 중요한 것은 구형 다양체의 예입니다. Poincaré 12 면체의 구형 공간 또는 간단히 말해서, 푸앵카레 구.

푸앵카레의 영역은 기하학, 토폴로지, 그룹 이론, 재앙 이론, 매듭 이론 및 기타 (Kirby, Charlemagne, 1982)와 같이 수학의 가장 다양한 분야와 훌륭하게 연결되어 있습니다.

하나의 계획으로 얻은 다른 모든 구형 품종은 소위 렌즈  및 프리즘 형 공간.

쌍곡선 매니 폴드

첫 번째 입체 폐쇄 쌍곡선 매니 폴드는 독일의 수학자 F. Lebell에 의해 1931 년에 지어졌습니다. 그러나 그 건설은 2 년 후에 다소 복잡해졌습니다. H. Seifert와 K. Weber는 12 면체의 쌍곡선 공간의 우아한 구조를 제안했습니다.

수학의 관점에서, 건설 문제 중 가장 어려운 부분은 Lobachevsky 공간에서이 쌍곡선 정 12 면체의 존재를 증명하는 것입니다. 이 질문에 대한 긍정적 인 대답은 볼록 쌍곡선 polytopes의 존재에 대한 충분하고 충분한 조건이 공식화 된 E. M. Andreev (1970)의 근본 정리에 의해 주어진다. 이 정리는 W. Thurston이 창조 한 쌍곡선 매니 폴드의 근대 이론의 초석 중 하나입니다.

우리는 다면체로부터 다양체를 구성합니다.

직각 다면체 P를 생각해보십시오. 모든 다면체 각도는 90 °입니다. 유클리드 공간에서, 입방체는 그러한 다면체로서 취해질 수 있고, 정사면체는 구형 공간으로 취해질 수 있고, 장교 육각 프리즘그 외 측면은 12 각형으로 이루어져있다.

Andreev 정리로부터, 삼각형 및 사각형면을 가지지 않는 모든 다면체와 정확히 3 개의 모서리가 각 꼭지점에서 수렴한다는 것은 Lobachevsky 공간에서 직사각형 다면체로 구현 될 수 있음을 알 수 있습니다. 육각형 평행선 프리즘은 분명히 이러한 조건을 만족시킵니다.

쌍곡선 매니 폴드 (hyperbolic manifolds)를 구성하기 위해, 다면체의 인접한면을 다른 색상으로 착색하고, 다면체의 동일한 동일한 사본에 대해 하나의 색상으로 칠해진 대응면의 식별을 수행하는 방법이 사용된다. 이 매니 폴드를 구성하는 방법은 임의의 직사각형 다면체에 대한 정사각 12 각 면체와 A. Yu. Vesnin (1987)에 대한 일본 수학자 M. Takahashi (Takahashi, 1985)에 의해 육각형 프리즘에 대한 F. Lebelle (Loebell, 1931) R.

또한, 우리는 4 가지 색상의 다면체 색상으로 구성된 모든 품종이 방향성을 지님을 주목합니다. 그러나, 다면체의면을 염색하는 것은 R  유사한 계획을 사용하여 5, 6 또는 7 색으로 비 방향성 품종을 구성 할 수있다 (Mednykh, 1992).

  직사각형 다면체의 또 하나의 속성에 대해 살펴 보겠습니다. 하자 D  - Lobachevsky 공간의 정사각 12 면체. 스페인 수학자 H.-M. 몬테시 노스 (힐덴 et al., 1987)는 다음과 같은 주목할만한 정리를 증명했다.

"닫힌 3 차원 매니 폴드는 다면체의 한정된 수의 복사본에서 얻을 수 있습니다 D  쌍발의 얼굴 식별. "

Montesinos 정리에서, 접착 된 다면체의 모든면은 일치하고, 모든 모서리는 동일한 길이를 갖는다. 또한 각 가장자리는 4 개, 2 개 또는 1 개의 12 면체로 둘러싸여 있습니다. 첫 번째 상황은 쉽게 상상할 수 있습니다. 네 개의 직사각형의 12 면체는 공통 가장자리 주위에 차례로 붙어 있고 4 90 ° = 360 °의 총 각을 형성합니다. 두 번째 경우에는 한 12 면체의 한 쌍의 인접한면이 다른 한면의 12 면체의 한 쌍의면으로 식별됩니다. 두 개의 12 면체에 속한 모서리 주변의 총 2 면체 각도는이 경우 2 90 ° = 180 °입니다. 세 번째 옵션은 단일 12 면체의 인접면을 90 ° 각도로 돌려 식별하기 쉽고 만듭니다.

두 번째 및 세 번째 유형의 가장자리가 있으면 다양한 기능또는 구원을 돋구다. 이 경우 지정된 모서리가 형성됩니다. 단수 집합  구경꾼. 단변 모서리를 제외하고 어디에서나 매니 폴드에는 Lobachevsky 지오메트리가 있습니다.

3D Orbifolds

유클리드 오리 비 폴드

임의의 3 차원 유클리드 오리피스의 경우 근본적인 세트, 즉 곡선의 ​​다면체가 있습니다.이 곡선에서 특정 오르 와이드는 특정면을 특정 (결합)하여 식별 할 수 있습니다.

Euclidean orbifolds의 예로는 소위 Borromean rings  또는 단일 세트 노드를 갖는 3 차원 구   "여덟".

지난 세기 말에 러시아 과학자 E.S. Fedorov에 의해 발견 된 결정 학적 그룹의 수에 따라 전체적으로 230 개의 폐쇄 된 3 차원 유클리드 오리피스가있다. 유클리드 오리비폴드의 구조는 1981 년 프린스턴 대학교 (Princeton University - 세계에서 가장 규모가 큰 수학 센터)에서 옹호 된 던바 (Dunbar)의 박사 학위 논문에서 완벽하게 설명되었습니다.

구형 orbifolds

구형 orbifold의 단일 집합은 소위 일 수 있습니다   이성적인 노드또는 기어링. 또한 3 개의 모서리가있는 각 정점에서 매듭 그래프가 될 수 있습니다. 특히 구형 orbifold의 단일 집합은 3 차원 구에 위치한 4 면체 (모서리 + 정점)의 골격이됩니다.

사면체의 강한 매듭이 구형 기하학을 망칠 수 있고 orbifold가 유클리드, 쌍곡선, 또는 하나의 합성 기하 구조를 가질 수 있다는 것을 명심해야합니다.

최근 호주인, K. Hodgson 교수와 그의 학생 D. Heard는 3 차원 영역에 중첩 된 매듭 그래프의 양을 계산하기위한 컴퓨터 프로그램을 만들었습니다 (Hodgson and Heard, 2005). 쌍곡선을 제외한 모든 기하 구조에서의 3 차원 구형의 완전한 분류는 W. Dunbar의 연구에서 이루어진다. 매니 폴드의 경우와 마찬가지로, 쌍곡선 기하학이 가장 풍부하고 그 안에있는 구슬 궤도의 완전한 설명이 아직 얻어지지 않았습니다.

쌍곡선 orbifolds

  몬테시스의 정리에 따르면, 모든 3 차원 적 다양체는 그 내부에 적절한 단수 집합을 배치함으로써 쌍곡선의 orbifold로 변형 될 수있다. 무한히 많은 다른 품종이 있기 때문에, 그것은 또한 무한히 많은 쌍곡선의 orbifold가있다.

가장 단순한 쌍곡선 orbifold 중 하나는 singularity 지수가 4 인 단일 한 세트의 Borromean 고리를 가진 3 차원 구입니다. 또 다른 예로는 매우 좁은 4 면체가 있습니다. 모든 모서리의 특이도 지수는 2입니다. 그러한 사실을 증명하는 것은 대개 매우 복잡하며 그의 학생과 추종자 인 W. Thurston이 얻은 기하학 정리의 도움으로 수행 할 수 있습니다. 증명의 일반적인 원리는 다음과 같다 : 만약 구를 구형 또는 구형이 아닌 단순한 기하학적 조건을 만족 시킨다면 그것은 쌍곡선이다.

지난 1 세기 반 동안 수학에서 일어난 변화는 그 내용을 크게 확장 시켰을뿐 아니라 근본적으로 그것을 변화 시켰습니다. 수학의 주제는 이제 충분한 엄격함과 풍부한 결론으로 ​​논리적 추론에 의해 조사 될 수있는 모든 구조를 포함합니다. 현실에서 응용 프로그램과 형식을 찾을 지 여부는 더 이상 수학 문제가 아닙니다.

처음에는 tetracube에 대한 이전 게시물에 대한 의견을 보내 주셔서 감사드립니다. 길이는 299792458m과 같아야합니다 (너무 많은 빛이 초 단위로지나갑니다). 이것은 어떤 크기의 입방체에 대해서나 맞을 것입니다.

그리고 지금 요점. 특히 그림을 비판하지 마시고, 페인트 칠에서 대다수를 그렸습니다.)

첫 번째 게시물에 대한 간단한 반복을 시작하고 싶습니다. 이는 이후 추론을 이해하는 데 필요하기 때문입니다.

우선, "차원"과 "차원의 세계"의 개념을 분리합시다. 측정을 통해 직선 (좌표 축)을 호출하여 모든 점을이 직선의 점과 연관시킬 수 있습니다. 예를 들어 측정은 좌표 평면에서 축이라고 부를 수 있습니다. N 차원의 세계 란 모든 점에 n 개의 좌표 만 할당 할 수있는 즉 n 차원을 갖는 세계를 의미합니다.

좌표가없는 0 차원 세계를 생각해보십시오. 무한 수의 0 차원을 연속적으로 넣으면 길이가있는 1 차원의 선을 얻습니다. 그것 안에서, 각 0 차원 세계는 첫 번째 차원의 좌표와 일치합니다. 반복하기 위해, 1 차원 세계는 무한 수의 0 차원 세계로 구성됩니다.

이제 평면 - 2 차원 세계를 생각해보십시오. 무한 수의 선 (1 차원 월드)의 형태로 표현 될 수 있으며, 서로 다른 각도로 평행하거나 교차 할 수 있습니다.

이미 명백한 바와 같이, 공간은 평행하거나, 수직이거나, 다른 각도로 교차 할 수있는 평면으로 구성됩니다. 이 모든 세계는 우리에게 단순하고 분명합니다.

그러나 우리는 4 차원 세계에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 우리가 이미 알아 냈 듯이, 공간의 다수의 3 차원 세계의 다수로 구성되어야합니다. 그리고 이제 우리는 공간이 매 순간 변화한다고 생각할 것입니다. 매 순간마다 공간은 새로운 공간이지만 이전 공간과 비슷합니다. 따라서 우리는 4 차원 세계에 살고 있다고 말할 수 있습니다. 왜냐하면 우리의 삶에서 시간이 지남에 따라 서로를 대체하는 무한 수의 공간을 통과하기 때문입니다. 시간은 우리가 각 공간에 시간 좌표를 할당 할 수 있기 때문에이 세상의 네 번째 차원이 될 것입니다. 그것은 또한 어렵지 않은 것으로 보인다. 어서.

이러한 논리에 기반하여 5 차원 세계는 많은 4 차원 세계로 구성되어야합니다. 우리는 더 이상 그것을 즉시 제시 할 수 없으며, 더 복잡한 분석이 필요합니다.

현재 대중적인 표준 모델 및 초정수 이론은 측정을 공간적 및 시간적으로 분리합니다. 현대의 M 이론은 10 개의 공간적 차원을 제시합니다. SUT 측정 및 다차원 세계의 문자열 이론에 대한 이데올로그 학자의 오해의 문제가 아니라 어떤 이유로 10 가지가 있기 때문에가 아니라 "뒤 틀린"측정에 0과 다른 공간 밀도가 있다고 말하기 때문에. 이 차원의 좌표는 3 차원의 좌표에 따라 달라집니다. 일반적으로 측정치가 상호 연결되어서는 안되며, 한쪽에서 움직일 수 있고 다른 쪽에서 움직이지 않아야한다는 사실과 반대되는 경우가 많습니다. 이것은 세계의 구조를 설명하기위한 좋은 시도이지만 너무 복잡합니다. 문자열 이론의 방정식은 때로는 슈퍼 컴퓨터로도 풀 수 없습니다. 연구의 본질은 이미 존재하는 법칙에 기초한 최소화 된 측정의 형식을 찾아 동일한 법칙을 설명하기 위해이 형식을 사용하는 것입니다 .

4 차원 세계 란 무엇입니까? 이것은 우리가 살고있는 인류의 존재 이전의 오래 전이었으며, 소위 "빅뱅"에서 지속되어 무한대로 들어가는 지 얼마되지 않았을 것입니다 (우리가이 문제를 다룰 때까지 공간 우주가 제한적이라는 의견이 있습니다 )와 영원. 5 차원 세계가 4 차원 세계의 집합으로 이루어져 있다면, 그것은 5 차원 세계가 우리 세계와 평행하거나 교차하는 것으로 구성된다는 것을 의미합니다.

자연은 우리가 알다시피 불변의 법칙을 가지고 있습니다. 즉, 우리가 4 차원 세계에서 시간의 초기 (순간적으로 보자)에 공간을 차지하고 이러한 차원의 법칙을 사용하여 임시 차원으로 나아가면 우리는 지금 우리가 속해있는 공간을 항상 확보하게 될 것입니다. 우리의 모든 생각과 행동조차도 우주의 모든 상호 작용이 작용하는 동일한 법칙에 따라 작동하는 우리 두뇌의 화학적 및 정전기적인 반응에 의해 유발됩니다.

그러나 시간 T에 우리가 다른 법칙을 적용한다면, 예를 들어, 중력 상호 작용이 질량을 일으키지 않고 밀어 넣음으로 바꾸고, 나머지 법칙들은 변함없이 그대로 남겨 두는 것만으로는 어떨까요? 앞으로 우리는 인류가 전혀 존재하지 않을 수도있는 완전히 다른 세계를 갖게 될 것이며, 지능적인 삶의 형태가 생기면 왜 우리는 그들이 왜 끌어 당기는지를 설명하려고 할 때 모든 신체가 서로 격퇴하는 이유를 설명하려고 노력할 것입니다. 그러한 정신적 실험으로 인해, 우리는 또 다른 4 차원 세계를 제시했으며, 그것은 4 차원에서 T 좌표가있는 지점에서 우리와 교차합니다.

교차 평면을 고려하십시오. 그들을 교차시키기 위해서는 공간에 있어야하며 (3 차원 세계에서) 2 차원이며 1 차원 세계에서 LINE을 따라 교차합니다.

유사하게, 5 차원에있는 4 차원 세계는 (순전히 이론적으로) 3 차원 세계를 따라 교차 할 수 있습니다. 즉, 서로 다른 3 차원 적 위치에서 다른 법칙을 사용하여 우리는 시간의 경과와 함께 3 차원 적 세계에 도달 할 수 있습니다. 예를 들어, 타워에서 코어를 떨어 뜨리고이 타워의 허점에서 코어를 쏠 경우 (두 가지 경우는 반드시 동일하지는 않음), 처음에는 두 코어가 같은 위치에있게됩니다 그들은 다른 위치에 있었고 다른 힘이 그들에게 적용되었습니다.

예제 1에는 2 개의 병렬 4 차원 세계가 있습니다. 두 번째 예에서는 한 지점에서 2 개의 세계가 교차합니다 (이 경우, 4 차원 세계는 특정 시점에서 동일한 공간 구조를 가짐). 세 번째 예에서, 법칙 덕분에 무한히 변형되는 세계가 있으며, 또한 두 지점에서 다른 세계와 교차합니다.

그리고 지금 우리의 것과 절대적으로 항상 동일하지만 물리학의 완전히 다른 법칙이 작용할 4 차원 세계의 예를 생각해보십시오. 언뜻보기에는 불가능합니다. 동일한 입체 세계를 적용하고 다른 법칙을 적용하면 완전히 다른 4 차원 측정 값을 얻을 수 있기 때문입니다. 그러나 그러한 예가 존재합니다. 시간 만에 앞으로 나아 가지 않고 우리의 4 차원 세계에서 뒤로 움직이는 것으로 충분합니다. 분명히, 그런 세계에서 공간의 각 위치는 친숙한 세상의 공간과 일치 할 것입니다.

이제이 새로운 세계에서 볼 수있는 몇 가지 가정을 생각해보십시오.이 가정은 우리와 똑같습니다. 예를 들어, 대부분의 물리학 자들이 인정하는 현대 세계에서 네 가지 입장을 취하십시오.

1) 우주가 점점 커지고있다.

2) 중력이 몸을 끌어 당긴다.

3) 힘의 영향을받지 않는 몸체는 관성 운동을 유지한다.

4) 채권을 끊기 위해서는 에너지를 소비해야하며, 채권이 생성되면 에너지가 방출됩니다.

그리고 지금 우리는 우리 세계와 똑같은 위치를 우리 세계의 각 위치와 비교합니다. 시간은 그 반대입니다

1) 시간이 갈수록 우주는 좁아 질 것입니다.

2) 중력 때문에, 일이 그렇게 분명하지 않습니다. 예를 들어, 비행기에서 풍선을 던지면 빠르고 더 빨리 땅으로 날아 다닙니다. 그런 다음 땅에 눕습니다. 이 과정을 거꾸로 생각해보십시오. 중력의 영향을받는 공은 처음에는 휴지 위치에서 갑자기 떨어지며 올라가면 점점 더 천천히 날아갑니다. 이것으로부터 우리는 우리의 것과 반대되는 세계에서 중력이 신체를 서로 격퇴 시킨다는 결론을 내릴 수 있습니다. 그런 다음 가게에가는 사람을보십시오. 이 과정을 반대 방향으로 바라 보게되면, 가게에서 나와 땅에 엎드려서 중력의 영향으로 멀리 날아 가지 않습니다. 즉,이 경우 중력이 인체를 ATTRACT로 만듭니다. 두 가지 상황 중, 우리는 완전히 다른 결론을 얻었습니다.이 이론에서이 세상의 법칙은 우리와 반대되지 않을 것이며, 그들은 단순히 극단적으로 반대가 아닌 기타가 될 것입니다.

3) 우주에서 조약돌의 비행을 고려하십시오. 이와 반대로이 과정을 나타내는 경우 조약돌은 또한 우주에서 날 것이다. 이 법은 반대편 세계에서 유지됩니다.

4) 가라데 플레이어가 벽돌을 깨는 것을 상상해보십시오. 그는 벽돌의 내면 본드를 깰 에너지를 보냅니다. 반대 방향으로이 과정을 고려하십시오 : 벽돌은 단 하나 전체로 조립되고 공수 남자는 에너지를받습니다. 우리는 유대가 형성 될 때 에너지가 방출되는 동일한 법칙을 가지고 있습니다. 이 법도 마찬가지입니다.

그러므로 새로운 세계에서 우리 세계의 일부 법칙은 보존되고 (3.4), 일부는 반전되고 (1), 일부는 우리가 즉시 표현할 수없는 것으로 변형됩니다 (2). 그러한 세계에 문명이 존재한다면, 그것을 발견하려고 노력할 것이고,이 모든 과정에 대한 설명을 찾을 가능성이 높지만, 우리에게는 이것은 중요하지 않습니다. 우리가 다른 법으로 다른 위치에서 동일한 구조의 구조를받을 것 인 그러한 4 차원 세계는 우리는 CONFESSING이라고 부를 것입니다.

따라서 다섯 번째 차원은 물리학의 법칙입니다. 사실, 표준 좌표계에서 모든 축은 직각이어야합니다. 그런 다음 5 차원 세계의 각 지점에 실제로 3 개의 공간 좌표 (임시 좌표와 다섯 번째 좌표)를 연결할 수 있습니다.이 좌표는이 점에 연결된 법선을 나타냅니다. 그러한 좌표계에서 특히주의 깊게 발견 할 수있는 역설은 우리의 4 차원 세계의 방향 (시간은 우리를 향해 나아 간다. 우리 대부분은 엄청난 공간 속도로 천천히 움직일 기회를 갖지 못하기 때문에)에서 발생한다.

더 세심한 것은 법률 자체가 무한히 많은 수의 차원으로 나눌 수 있다고 말할 수 있습니다. 예를 들어, 무한히 많은 수의 힘들과의 상호 작용의 힘은 무한히 큰 작용 방향과 관련 될 수 있습니다. 그러면 힘과 방향의 각 세트에는 무한 수의 가능한 기본 입자가 지정 될 수 있습니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 각 요소 집합은 무한의 방향과 힘의 무한대 각 방향에 해당합니다. 따라서 5 차원 대신에 무한대의 차원을 서로 독립적으로 선택할 수 있습니다.

이 이론을 설명 할 수있는 것은 무엇입니까? 그녀는 물리학 법칙이 어디에서 왔는지 설명 할 수 있습니다. 그것들은 단지 그들이 존재하는 것일뿐입니다. 다른 세계에서 다른 법칙들의 조합이 무한히 많으며 아마도 기술의 도움을받으며 진화의 도움을 받으면 인류는 언제든지 접근 할 수 있습니다.

질문하십시오! 어떤 비판도 환영한다. "너는 틀렸고 나는 옳다. 일반적으로 모든 것이 그렇게 다르지 않다." 다음 기사는 물질의 무한 중첩 이론에 관한 것입니다, 그것은 매우 흥미로울 것입니다)

그의 생애 첫날부터의 모든 어린이는 우리 주변의 세계가 입체적임을 알게됩니다. 항목의 길이, 너비 및 높이가 있습니다. 8 개의 작은 입방체에서 두 배의 모서리를 가진 입방체를 만들 수 있습니다. 이 모든 것은 어린 시절부터 인식됩니다.

물리학 자의 관점에서 볼 때, 우리 공간의 3 차원 성은 쿨롱 법칙의 실험적 검증에 의해 증명 될 수있다. 즉, 2 점 충전 사이의 힘이 법칙 1 / r  2는 우리 공간의 3 차원 성을 나타내는 것일뿐입니다. 실제로, 전계 강도 (및 결과적으로 전하의 상호 작용의 강도)를 결정하기 위해, 전계 강도를 제공하는 밀도의 전계 강도의 개념으로부터 진행할 수있다. 단일 포인트 충전의 경우, 전계선은 전하에서 시작하여 등방성으로 무한대로 이동합니다. 그런 다음, 반지름이 임의의 구면과 교차하는 선의 수 r, 연속적으로, 선의 밀도, 따라서 전계 강도는 구의 표면적에 반비례하며, 즉 전하로부터의 거리의 제곱에 반비례한다.

아주 작은 거리, 핵 규모에서 공간의 3 차원 성을 테스트하기 위해 서로 다른 핵의 질량과 반경을 비교하여 3 차원을 확인하는 것이 쉽습니다. 질량은 비례해야합니다 r 3 .

더 작은 스케일에서도 전자 충돌에서 전기적 상호 작용의 강도를 측정 할 수 있습니다. 간단히 폼 팩터를 측정하는 것입니다. 즉, 여기 쿨롱의 법칙 - 거의 3 차원을 검사하는 유일한 수단입니다.

합리적인 질문이 제기 될 수 있습니다. 사실, 왜 우리는 공간의 3 차원 성을 검사해야합니까? 그것은 명백하지 않습니까?

매우 작은 곳에서의 COMPACT IDENTIFICATION.

여기에있는 것은 매우 짧은 거리에서 시공간의 구조가 아주 다를 수 있다는 것입니다. 현재, 고 에너지에서 (아주 작은 거리에서) 우리의 시공간이 3 차원이 아니라고 가정 할 때, 10, 11 또는 훨씬 더 많은 "저에너지"세계의 많은 특성을 추론 할 수있는 많은 이론적 인 구조가 있습니다 다차원. 우리는 여기서이 이론의 본질에 대해 깊이 파고 들지 않을 것입니다. 우리는 이러한 다차원 공간의 기하학이 우리가 익숙한 것보다 훨씬 풍부하고 때로는 자연스러운 방식으로 모든 기본 상호 작용의 속성을 도출 할 수 있기 때문에 그렇게 말할 수 있습니다. (우리가 이미 이해하고있는 것처럼 그 성질도 순전히 기하학적입니다.)

우리에게 더 중요한 것은이 이론이 평범한 삶에서 여분의 차원을 드러내지 않았 음을 설명하는 방법입니다. 이 이론들에서, 어떤 이유로 "여분의"측정 값들이 매우 좁은 거리에서 말려 들어서 고정되고, 고정되어 있다고 주장된다. 이를 이해하려면 얇은 고무 호스의 바깥 쪽 표면을 상상하십시오. 작은 호랑이가 2 차원 표면을 따라 움직입니다. 그러나 멀리서 스파크를 볼 경우 커브를 따라서 (호스를 따라) 단지 1 차원 운동 만 수행하는 것처럼 보일 것입니다. 두 번째 차원은 존재하지만 자체적으로 포함됩니다. 미세한 운동은 가능하지만 관찰 할 수있는 현상에는 영향을 미치지 않습니다.

비슷한 이론이이 이론에서 일어난다. 그러나 필연적으로 부가적인 차원을 롤업해야하는 전형적인 규모는 플랭크 길이가 10 -33cm 정도 인 것으로 밝혀 졌기 때문에 이러한 이론들이 세계를 정확하게 묘사하고 이러한 추가적인 차원이 존재한다고하더라도 실험적 관찰은 적어도 가까운 시일 내에는 가능하지 않습니다. (누군가는 이러한 효과를 관찰하기 위해 은하의 크기만큼 가속기를 만들어야한다고 계산했다).

밀리미터 단위의 컴팩트 한 식별.

사실, 추가 차원을 소개하고 이후의 압축을 도입한다는 아이디어는 새로운 것이 아닙니다. 5 차원 시공간을 기반으로 한 전자기 및 중력 상호 작용의 통일 이론을 구축하려는 첫 번째 시도가 세기 초에 만들어졌습니다. 그 이후로 많은 것들이 이해되고 축적되었지만, 한 가지만 남았습니다. 추가 측정의 압축은 실험적으로 접근 할 수없는 플랑크 길이의 차수에서 일어났습니다.

작년에 이것이 유일한 가능성이 아니라는 것이 갑자기 깨달았습니다. 스탠포드 대학 (Stanford University)의 과학자들에 의한 두 논문에서 이론적 인 구조가 제안되었으며, 여기에는 완전히 관측 가능한 규모로 압축 된 새로운 측정이 포함되었습니다. 이 작품에서 제안 된 계획은 너무 단순하고 투명했고 동시에 많은 결과와 응용이 있었기 때문에 1 년 넘게이 아이디어를 사용하는 작품의 수는 이미 수백 개에 달합니다.

어떤 이유에서든 보통 물질 (물질, 전자기파 및 기타 상호 작용 적 담체)이 모두 (n + 3) 차원으로 움직이지 않을 수 있다고 가정하면, R의 규모에 따라 n 개의 추가적인 공간 차원이 압축되었다고 가정하자. 우리의 세계 인 특정 3 차원 "초 표면 (hypersurface)"에서만 나타난다. 따라서 일반 입자는 3 개의 공간 차원 만 느낍니다. 유일한 예외는 중력 상호 작용이다 - 중력은 시공간의 곡률에 의해 야기되고, 중력 상호 작용은 정적 인 형태의 형태와 중력파 및 중력의 형태 모두로 쉽게 추가 치수를 통과 할 수 있기 때문이다.

분명히 그러한 추가 측정은 쿨롱의 법칙의 형태에 영향을 미치지 않을 것입니다. 그들은 전자기 상호 작용을 느끼지 않습니다. 그러나 중력 대응법 - 세계의 법칙 -이 바뀔 것입니다. 장거리의 경우 r  \u003e R 힘은 여전히 ​​F ~ 1 / r  2, 그 다음에 짧은 거리에서 r < R зависимость будет сильнее: F ~ 1/r  2 + n이다.

수식을 더 자세히 작성해 보겠습니다.

쿨롱의 법칙으로 시작해서 두 개의 전자의 정전 기적 반발력을 적어 봅시다 (단위 가우시안 시스템에서) : F = 전자 2 /r 2 = (전자 2 /고관) (고관/r 2) = 고관/r  2 여기서 우리는 표현을 두 가지 요소의 결과로 나누었습니다 : 기본, 기본 의존성 hc / r  2와 전체 전자기 상호 작용의 강도를 특성화하는 무 차원 계수. 이 계수를 미세 구조 상수라고하며 대략 1/137과 같습니다 (여기서는 h  = 1.05. 10 -34 J. Plank의 상수는 2로 나눈 값이고, ~와 함께  - 빛의 속도.)

중력 적 상호 작용의 힘에 대한 비슷한 표현은 다음과 같은 형태를 갖는다 : F  gr = Gm 2 /r 2 = (Gm 2 /고관) (고관/r  2) = gr 고관/r  2 여기서 우리는 다시 두 가지 요소의 곱으로 표현을 깨뜨렸다. 2 개의 전자에 대한 gr (중력 상호 작용의 힘을 특성화 함)의 수치는 10-45 정도의 매우 작습니다. 그래서 기본 입자의 상호 작용을 조사 할 때 상호 중력은 항상 무시됩니다. r  전기 및 중력 상호 작용은 같은 법칙에 따라 성장하지만 상대 강도는 40 배 이상 차이가납니다.

그러나 이제 사실을 고려해 보겠습니다. r < R  새로운 치수가 포함됩니다. 연속성의 자연 조건에서 우리는 다음을 얻습니다. F  gr = gr (gr R/r) n 고관/r 2 .

우리는 중력 상호 작용의 상대적 강도가 전자기와 비교하여 증가한다는 것을 봅니다! 즉 가속기에서 에너지에 쉽게 접근 할 수 있다면 두 기본 입자 사이의 중력은 다른 상호 작용만큼 강합니다! 절대적으로 좋은 기회!

이것을 깨달으면서,이 이론이 실제로 제안 된 것을 살펴 보자. (지금까지 우리는 그것의 결과만을 분석했다.)

과학자들은 고 에너지 물리학에서 적어도 두 가지 근본적인 에너지 스케일이 존재하는 이유에 대해 오랫동안 의아해 해 왔습니다. 그것들 중 하나 (1 TeV 정도의 에너지)는 전자기와 약한 상호 작용의 특징적인 척도이며, 다른 하나는 10 15 TeV 정도이다. 플랑크 척도 : 양자 중력의 영향이 강해지는 에너지. 같은 차원의 두 기본 양 사이의 그러한 강한 구별은 물리학 자들에게 평화를 제공하지 못했다.

그러나 electroweak (tev) 척도가 실험적 사실이라면, 플랑크 척도는 보편적 지각의 법칙을 거리 척도 아래로 33 배 정도 외삽 한 것입니다! 실제로, 보편적 지각의 법칙에 대한 직접 실험 검증이 수행 된 최소 거리는 센티미터, 수십 센티미터이다. 그래서 플랑크 스케일이 허구가 될 수도 있습니다!

그러므로 사실 자연적으로 오직 하나의 기본 에너지 규모 - TeVn만이 있다는 가정을하지 못하게하는 것은 아무것도 없습니다. 1 TeV 정도의 에너지에서. 모든 상호 작용은 강도면에서 동일 해지며 아마도 단일 상호 작용으로 결합 될 수도 있습니다. 에너지가 감소하면 (거리가 멀어짐) 모든 상호 작용은 약화되기 시작하지만 중력은 다른 것보다 훨씬 빠르게 감소합니다.

이것은 압축 반지름의 차수 거리까지 내려갑니다. 그 이후에, 더 먼 거리에서도 중력은 이미 우리가 익숙했던 법에 복종한다. 그러나이 시간 동안 중력 상호 작용의 상수는 많은 차수로 감소하는 시간을 가지며, 이것은 다른 상호 작용에 비해 중력의 약점이 관찰된다.

이러한 고려 사항을 통해 새로운 측정의 압축 반지름에 대한 수식을 쉽게 얻을 수 있습니다. R = 10 30/n  - 17cm. n  - 추가 측정 횟수입니다.

하나의 새로운 차원만으로는 관리하지 않을 것이고, 압축의 반경은 10 11 m이 될 것입니다. 즉, 우리는 4 차원 공간에 살고 당연히 그것을 느낄 것입니다.

하지만 네가 받아들이면 n  = 2, 그 다음 R  밀리미터 단위로된다. 이것은 매우 흥미로운 상황입니다. 실험은 서브 밀리미터 규모의 Newton 법칙을 시험 할 준비가되어 있습니다.

케이스 n\u003e 2는 뉴턴의 법칙에 대한 직접적인 테스트의 형태로 실험에 사용할 수 없을 것입니다. 그러나이 구성에서 가장 중요한 것은 TeV 스케일에서 양자 중력 효과가 강하게 나타나는 것을 이해해야합니다. 그것은 새로운 차원의 숫자에 대한 "건설"에 의해 일어납니다. 이러한 효과는 수많은 초고 입자 충돌의 고 에너지 충돌에서 나타납니다. 중력의 강한 영향을 고려하면 이러한 반응의 계산은 원본 기사 바로 뒤에서 빠르게 진행되는 수백 가지 간행물의 주제였습니다.

따라서, 현재 TeV 에너지 범위에 도달 한 현재 건설중인 가속기 복합체가 전기 동점 현상뿐만 아니라 양자 중력의 영향을 관찰 할 수있을 가능성이 있습니다! 그렇다면 자연의 예기치 않은 귀중한 선물이 될 것입니다!

그리고 압축없이 가능합니까?

마지막으로, 우리는 또 다른 가설을 만듭니 다. 이번에는 완전히 새로운 기사입니다 - 해당 기사는 지난 한 달 동안 문자로 출판되었습니다. 이 논문에서, 이전의 모든 이론은 추가 차원을 포함하여 인수 분해 된 척도의 가설 즉, 우리의 3 차원 "초 표면"의 속성이 새로운 추가 좌표에 의존하지 않는다는 것을 기반으로 한 것이 었습니다. 일반적으로 이러한 관계는 물론 가능합니다.

이 경우 근본적으로 새로운 결과는 이제 추가 차원이 반드시 축소되지 않고 무한대가 될 수 있다는 것입니다. 이 경우 컴팩트 화 반경의 역할은이 새로운 차원의 로컬 곡률 반경으로 수행됩니다. 우리의 세계는 새로운 차원의 기하학적, 위상 학적 왜곡에 의해 "붙잡힌"것으로 밝혀졌습니다. 흥미롭게도,이 이론에서 무중력 중력자는 그 자체로 나타나고, 또한 같은 위상 학적 결점에 의해 "붙잡힌"것으로 판명됩니다. 이 이론에서 Newton의 법칙은 거대한 graviton 파트너 (소위 대규모 거친 Kaluza-Klein 유형의 여기) 때문에 여전히 수정되었지만이 수정은 매우 미약합니다. 무엇보다도이 이론은 두 가지 매우 다른 근본적인 에너지 저울의 기원에 대한 설명을 제공합니다.

이 이론은 아직 초기 단계입니다. 아직 답을 얻지 못한 많은 질문이 있습니다. 그러나 이것이 압축에 대한 매우 흥미로운 대안이라는 것을 인정해야합니다.

위의 모든 것에서 중요한 교훈은 다음과 같습니다. 우리의 시공간 구조는 우리가 2 년 전에 의심했던 것보다 훨씬 교활하고 재미있을 수 있습니다. 이것이 가까운 장래의 일인지 확인하십시오.

문학 :

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2. G. 예. Gorelik "공간의 차원", 모스크바 주립 대학 출판사, 1983,
3. Tev 범위에서의 밀리미터 규모와 양자 중력의 영향에 대한 새로운 측정 - N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali, Phys.Lett.B429 : 263-272,1998 전자 인쇄 아카이브 : hep-ph / 9803315
4. L. Randall, R.Sundrum, Phys.Rev.Lett.83 : 3370-3373, 1999; 전자 인쇄 자료실 : hep-ph / 9905221; L. Randall, R.Sundrum, Phys.Rev.Lett.83 : 4690-4693, 1999; 전자 인쇄 아카이브 : hep-th / 9906064 - 근본적인 상호 작용 - 대 통일론
   

대수와 기하학의 학교 과정에서부터 우리는 3 차원 공간의 개념을 알고 있습니다. 이해한다면, "3 차원 공간"이라는 용어는 3 차원을 가진 좌표 시스템으로 정의됩니다 (모두가 그것을 알고 있습니다). 사실, 고전적인 의미에서 길이, 너비 및 높이의 도움으로 모든 볼륨 개체를 설명 할 수 있습니다. 그러나, 그들이 말한대로, 조금 더 파헤 치자.

3 차원 공간이란 무엇인가?

이미 명확 해 졌기 때문에 3 차원 공간과 그 내부에 존재할 수있는 대상에 대한 이해는 세 가지 주요 개념에 의해 결정됩니다. 사실, 점의 경우에는 이것이 정확히 3 개의 값이고 직선, 곡선, 부러진 선 또는 볼륨 오브젝트의 경우 해당 좌표가 더 클 수 있습니다.

이 경우 모든 것은 객체의 유형과 적용된 좌표계에 따라 다릅니다. 오늘날 직각 좌표라고 불리는 데카르트 시스템은 가장 일반적인 것으로 간주됩니다 (고전적). 그녀와 다른 종들은 나중에 논의 될 것입니다.

무엇보다도 유한 한 차원 또는 부피가있는 점, 직선 또는 평면과 숫자와 같은 추상적 인 개념 (그렇게 말하면 형이 없음)을 구별하는 것이 필요합니다. 이 정의들 각각에 대해서, 3 차원 공간에서 가능한 위치를 기술하는 자신의 방정식이있다. 그러나 지금은 그것에 관한 것이 아닙니다.

3 차원 공간에서의 한 점의 개념

우선, 3 차원 공간에 점이 무엇인지 정의합니다. 일반적으로 평면 또는 입체도, 선, 세그먼트, 벡터, 평면 등을 정의하는 특정 기본 단위라고 할 수 있습니다.

포인트 자체는 3 개의 주요 좌표로 특징 지워집니다. 그 (것)들을 위해, 직사각형 체계에서는, X, Y 및 Z 축이라고 지명되는 특별한 가이드, 목표의 수평 한 위치를 표현하기 위하여 이용 된 첫번째 2 개의 축 및 세 번째는 좌표의 수직 명세를 언급한다. 당연히, 시스템에서 제로 좌표를 기준으로 물체의 위치를 ​​표현하기위한 편의를 위해 양수 값과 음수 값이 가정됩니다. 그러나 오늘날에는 다른 시스템을 찾을 수 있습니다.

다양한 좌표계

이미 언급했듯이, 현재 Descartes가 만든 직각 좌표계가 주요한 좌표계입니다. 그럼에도 불구하고, 3 차원 공간에서 물체의 위치를 ​​정의하기위한 몇몇 기술에서, 몇몇 다른 종류가 사용된다.

가장 유명한 것은 원통형 및 구형 시스템입니다. 고전적인 것과 다른 점은 3 차원 공간에서 점의 위치를 ​​결정하는 동일한 3 개의 값을 지정할 때 값 중 하나가 각도라는 점입니다. 즉, 이러한 시스템에서는 360도 각도에 해당하는 원이 사용됩니다. 여기에서 반지름, 각 및 generatrix와 같은 요소를 포함하여 좌표의 특정 작업. 이 유형의 3 차원 공간 (시스템)의 좌표는 다소 다른 법칙을 따릅니다. 이 경우의 작업은 오른손의 규칙에 의해 제어됩니다 : 엄지와 검지를 각각 X 축과 Y 축과 결합하면 구부러진 위치의 나머지 핑거가 Z 축의 방향을 나타냅니다.

3 차원 공간에서의 선 개념

이제 3 차원 공간에서 직선을 구성하는 것에 대해 몇 마디 말입니다. 직선의 기본 개념을 기반으로 한 점 또는 두 점을 통해 그려진 무한 선의 일종으로, 점을 통과하는 선의 직접 통과를 변경하지 않는 점 집합에 포함되지는 않습니다.

3 차원 공간에서 두 점을 통해 그린 선을 보면 두 점의 세 좌표를 고려해야합니다. 세그먼트 및 벡터에도 동일하게 적용됩니다. 후자는 3 차원 공간과 그 차원의 기초를 결정한다.

벡터의 정의와 3 차원 공간의 기초

여기에는 세 개의 벡터 만있을 수 있지만 여기에서는 벡터의 세배만큼을 정의 할 수 있습니다. 공간의 차원은 선형 적으로 독립된 벡터의 수에 의해 결정됩니다 (우리의 경우 3 개). 그리고 그러한 벡터의 유한 수가있는 공간을 유한 차원이라고합니다.

의존적이고 독립적 인 벡터

의존 벡터 및 독립 벡터의 정의에 대해서는 투영 벡터 (예 : Y 축에 투영 된 X 축 벡터)는 선형 적으로 독립된 것으로 간주됩니다.

이미 명확한 것처럼, 네 번째 벡터는 종속적입니다 (선형 공간 이론). 그러나 3 차원 공간에서 3 개의 독립 벡터가 반드시 같은 평면에 놓여서는 안됩니다. 또한, 우리가 3 차원 공간에서 독립적 인 벡터를 정의한다면, 말하자면, 다른 하나의 연속이 될 수 없습니다. 이미 명백한 바와 같이, 일반 이론에 따르면 3 차원으로 고려하는 경우 특정 좌표계에서 선형 독립 벡터의 세 쌍을 구성 할 수 있습니다 (유형에 관계없이).

3 차원 공간에서의 평면

우리가 평면의 개념을 수학적 정의로 가지 않고이 용어를보다 쉽게 ​​이해할 수 있도록 고려한다면 그러한 객체는 전적으로 2 차원으로 간주 될 수 있습니다. 즉, 좌표 중 하나가 상수 (상수) 인 점의 무한한 모음입니다.

예를 들어, 평면은 X 축과 Y 축을 따라 좌표가 다른 모든 점을 호출 할 수 있지만 Z 축을 따라 동일한 좌표를 갖습니다. 어떤 경우에도 3 차원 좌표 중 하나는 변경되지 않습니다. 그러나 이것은 일반적인 경우입니다. 일부 상황에서는 3 차원 공간이 모든 축을 따라 평면과 교차 할 수 있습니다.

3 차원 이상 있습니까?

얼마나 많은 측정이 가능한지에 대한 의문은 아주 흥미 롭습니다. 우리는 우주의 고전적 관점에서 입체적으로 살지 않고 4 차원으로 살고 있다고 믿어집니다. 잘 알려진 길이, 너비 및 높이 외에도이 공간에는 물체의 수명이 포함되며 시간과 공간은 매우 강하게 상호 연결됩니다. 이것은 대수학 및 기하학보다는 물리학에 더 관련이 있지만, 상대성 이론에서 아인슈타인이 증명했습니다.

또 다른 흥미로운 사실은 오늘날 과학자들이 이미 최소 12 차원의 존재를 증명했다는 것입니다. 물론 모든 사람들과 멀리 떨어져있는 사람들은 세상에 대한 인간의 인식 밖에있는 어떤 추상적 인 영역을 의미하기 때문에 그들이 무엇인지 이해할 수있을 것입니다. 그럼에도 불구하고 사실은 남아 있습니다. 그리고 많은 인류 학자와 역사가들이 우리의 조상들이 3 차원 공간뿐만 아니라 다차원 현실을인지하는 데 도움이되는 제 3의 눈과 같은 특정한 발달 된 감각 기관을 가질 수 있다고 주장하는 것은 아무 것도 아닙니다.

덧붙여 말하자면, 초자연적 인 지각 또한 다차원 세계에 대한 인식의 발현 중 하나이며, 많은 증거를 발견 할 수 있다는 사실에 관해 오늘날 상당히 많은 의견들이 있습니다.

현대 기본 방정식과 정리는 우리의 4 차원 세계와 다른 다차원 공간을 묘사하지만, 항상 가능하지는 않습니다. 그리고이 분야의 과학은 명확하게 느껴지거나 말하거나, 직접 만져 보거나 직접 볼 수있는 것보다 더 많은 이론과 가정에 관련됩니다. 그럼에도 불구하고 오늘날 차원이 4 개 이상일 수있는 다차원 세계의 존재에 대한 간접적 인 증거는 의심의 여지가 없습니다.

결론

일반적으로 3 차원 공간 및 기본 정의와 관련된 기본 개념을 간단히 살펴 보았습니다. 당연히 다른 좌표계와 관련된 많은 특별한 경우가 있습니다. 또한 우리는 기본적인 용어를 설명하기 위해 수학의 난폭함에 빠지지 않으려 고 노력했기 때문에, 그들과 관련된 질문을 모든 학생이 이해할 수 있습니다 (말하자면 설명은 "손가락에"있습니다).

그럼에도 불구하고, 그러한 간단한 해석으로도 대수와 기하학의 기본 학교 과정에 포함 된 모든 구성 요소의 수학적 측면을 결론 지을 수 있습니다.