5 построить схему на логических элементах. Логические схемы и логические выражения. Алгоритм построения логических схем

Логической функции в компьютере соответствует некоторая схема из вентилей. Этот принцип даёт такой подход к созданию компьютера :

Формируем логическую функцию, описывающую преобразование исходных двоичных кодов в нужный результат.

Полученную функцию упрощают, используя законы алгебры логики.

Окончательно полученную функцию записываем в виде схемы из вентилей.

Схема из вентилей реализуется на физическом уровне из электронных элементов.

Приведём пример реализации 3-го этапа . Дана функция

Получить логическую схему функции.

Формирование логической схемы следует начинать с учётом приоритета операций (смотри п. «Определение логической (булевой) функции»), а также круглых скобок, изменяющих порядок выполнения операций. Как известно, самый высокий приоритет имеют операции внутри скобок (если они есть), затем операция инверсии (отрицания). Следовательно, для заданной функции сначала нужно сформировать элементы
и, а затем элемент
. Далее можно выполнить сложение полученных элементов (
и
) и, в последнюю очередь, к полученной сумме добавить переменнуюa . В итоге мы получим следующую схему (рис. 5):

Рис. 5. Схема реализации функции (формула (28))

Возможно решение и обратной задачи, когда дана логическая схема, нужно получить логическую функцию. Например, на рис. 6 дана логическая схема. Требуется написать для неё логическую функцию.

Рис. 6. Схема реализации функции f ( x , y , z )

Двигаясь от входных переменных записываем последовательно для каждого вентиля его логическую операцию над его входными переменными по направлению стрелок. Тогда на выходе схемы получаем результат – функцию. При записи операций необходимо помнить, что операции выполняемые ранее имеют более высокий приоритет, который определяется или самой операцией или указывается скобками.

Так для схемы на рисунке 6 в первую очередь выполняться три операции: x∙y, и. Затем операция инвертирования суммы:
, далее ещё одна операция логического сложения результатов предыдущих операций:
. Последней будет выполняться операция инвертирования результата логического умножения:
. Таким образом, искомая функция имеет вид.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнить арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

Алгоритм построения логических схем :

1) Определить число логических переменных.

2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.

3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

4) Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения: Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .

Правила ввода логической функции

1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
3. Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

• словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
• описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
• описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
  а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
  1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
  2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
  3) полученное произведение логически суммируется.
  Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
  ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
  б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
  КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
  1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
  2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
  3) логически перемножаются полученные суммы.
  Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Операция И - логическое умножение (конъюнкция)

Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Приоритет логических операций

• Действия в скобках
• Инверсия
• Конъюнкция (&)
• Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
• Импликация (→)
• Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Все логические слагаемые формулы различны.
3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Все элементарные дизъюнкции различны.
3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

Лабораторная работа № 2. Алгебра логики

Цель работы

Изучить основы алгебры логики.

Задачи лабораторной работы

В результате прохождения занятия студент должен:

• определения основных понятий (простое и сложное высказывания, логические операции, логические выражения, логическая функция);
• порядок выполнения логических операций;
• алгоритм построения таблиц истинности;
• схемы базовых логических элементов;
• законы логики и правила преобразования логических выражений;

• применять загоны логики для упрощения логических выражений;
• строить таблицы истинности;
• строить логические схемы сложных выражений.

Общие теоретические сведения

Основные понятия алгебры логики

Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Пример. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Пример. «x+2>5» - высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками .

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Пример. высказывание «Число 6 делится на 2» - простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки «и».

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).

Таблица 1. Основные логические операции

НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком). Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда А=«Сегодня не пасмурно».

И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « » (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - истинно, а высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 больше 10» - ложно.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком

(или плюсом). Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Пример: Высказывание «Число 6 делится на 2 или число 6 больше 10» - истинно, а высказывание «Число 6 делится на 5 или число 6 больше 10» - ложно.

ЕСЛИ … ТО Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «... влечет …», называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример. Высказывание «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Пример: Высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Число является нечетным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» - ложно.

ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или . Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.

Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.

Замечание. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Исключающее ИЛИ можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Вывод. Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Пример . – логическая функция двух переменных A и B.

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности .

Приведем таблицу истинности основных логических операций (табл. 2)

Таблица 2

Опираясь на данные таблицы истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для более сложных формул.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

• количество строк = 2 n + строка для заголовка,
• n - количество простых высказываний.

• количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;
• определить количество переменных (простых выражений);
• определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

Пример 1. Составить таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так: .

1. Определить количество строк:

На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =2 2 +1=5.

2. Определить количество столбцов:

Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 3).

Таблица 3. Таблица истинности для логической операции

Примечание: И–НЕ называют также «штрих Шеффера» (обозначают |) или «антиконъюнкция» ; ИЛИ–НЕ называют также «стрелка Пирса» (обозначают ↓) или «антидизъюнкция» .

Пример 2. Составить таблицу истинности логического выражения .

Решение:

1. Определить количество строк:

На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк=2 2 +1= 5.

2. Определить количество столбцов:

Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и пяти логических операций (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 7.

Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 5).

Таблица 5. Таблица истинности для логической операции
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из “кирпичиков”.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.

Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояний, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции, только представлена в форме логических схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.

Алгоритм построения логических схем.

1. Определить число логических переменных.
2. Определить количество логических операций и их порядок.
3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.
4. Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.

Пример. По заданной логической функции построить логическую схему.

Решение.

1. Число логических переменных = 2 (A и B).
2. Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.
3. Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.
4. Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Похожая информация.

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции:

Рис 6.1 - Схематическое изображение логических операций

Пример. Для вычисления логического выражения: 1 или 0 и 1 нарисовать схему, от­ра­жающую последовательность выполнения логических операций. По схеме вычислить зна­чение логического выражения.

Здесь наглядно отражено то, что первой выполняется операцияи , затемили . Теперь в порядке слева – направо припишем к выходящим стрелкам результаты операций:

В результате получилась1 , т.е. «ИСТИНА».

Пример. Дано выражение:не (1 и (0 или 1) и 1).

Вычислить значение выражения с помощью логической схемы.

Решение. Логическая схема с результатами вычислений выглядит так:

Импликация и эквивалентность

Импликация (условное высказывание). В русском языке этой логической операции соответствуют союзы если..., то; когда..., тогда; коль скоро..., то и т. п.

Выражение, начинающееся после союзовесли, когда, коль скоро, называется основанием условного высказывания.

Выражение, стоящее после словто, тогда, называется следствием. В логических формулах операция импликации обозначается знаком «→». Импликация - двухместная операция; записывается так: А→В .

Эквивалентность. Языковой аналог - союзы если и только если; тогда и только тогда, когда... Эквивалентность обозначаетсязнаком «≡» или «↔».

Порядоквсех пяти логических операций по убыванию старшинства следующий: отрица­ние, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Преобразование логических выражений

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Основные формулы преобразования логических выражений:

2. (А & В) ≡ А В.

3. (А В) ≡ А & В.

4. (А → В) ≡А & В.

5. А→B ≡ A B.

6. А ↔ В ≡ (А & В) (А & В) ≡ (А В) & (А B).

7. А & (А B) ≡ А.

8. А А & В ≡ А.

9. А & (А В) ≡ А & В.

10. A А & В ≡ А В.

11. Законы коммутативности:

А & В ≡ В & А;

А В ≡ В А.

12. Законы ассоциативности:

(A B) С ≡ А (В С);

(А & В) & С ≡ А & (В & С).

13. Законы идемпотентности:

А А ≡ А;

14. Законы дистрибутивности:

А & (В С) ≡ (А & В) (А & С);

А (В & С) ≡ (А В) & (А С).

15. А 1 ≡ 1;

16. А & 1 ≡ А;

17. А А ≡ 1;

18. А & 0 ≡ 0;

19. А & А ≡ 0.

6.3. Задание на лабораторную работу

Задания распределяются в зависимости от выданного преподавателем mn -кода. Если m - число нечетное, то ваш вариант 1, если четное - вариант 2.

Задание 1. Используя логические операции, запишите высказывания, которые являются истинными при выполнении следующих условий:

Вариант 1.

1) хотя бы одно из чисел X, Y, Z положительно;

2) только одно из чисел X, Y, Z не является положительным.

3) только одно из чисел X, Y, Z больше 10

4) ни одно из чисел X, Y, Z не равно 104

Вариант 2.

1) хотя бы одно из чисел X, Y, Z отрицательно;

2) только одно из чисел X, Y, Z является отрицательным.

3) только одно из чисел X, Y, Z не больше 10

4) каждое из чисел X, Y, Z равно 0

Задание 2. Определите значение логического выражения не (X>Z) ине (X=Y), если:

Вариант 1.

1) X=3, Y=5, Z=2;

2) X=5, Y=0, Z=–8.

Вариант 2.

1) X=9, Y=–9, Z=9;

2) X=0, Y=1, Z=19.

Задание 3. Пусть a, b, c - логические величины, которые имеют следующие значения: а = истина , b= ложь , c = истина . Нарисуйте логические схемы для следующих логических выражений и вычислите их значения:

Вариант 1.

1) а и b;

2) не а или b;

3) а или b и с;

4) (а или b) и (c или b).

Вариант 2.

1) а или b;

2) а и b или с;

3) не а или b и с;

4) не (а и b и с).

Задание 4. Построить логические схемы по логическому выражению:

Вариант 1. x 1 и (не x 2 или x 3).

Вариант 2. x 1 и x 2 или не x 1 и x 3 .

Задание 5. Выполните вычисления по логическим схемам. Запишите соответствующие логические выражения:

Вариант 1. Вариант 2.

Задание 6. Дана логическая схема. Построить логическое выражение, соответствующее этой схеме.

Вычислить значение выражения для:

Вариант 1.

1) x 1 =0, x 2 =1;

2) x 1 =1, x 2 =1.

Вариант 2.

1) x 1 =1, x 2 =0;

2) x 1 =0, x 2 =0.

Задание 7. Дана логическая схема. Построить таблицу истинности для данной схемы.

Задание 8. Определить истинность формулы:

Вариант 1. ((a ) .

Вариант 2. .

Задание 9. Упростите выражение:

Вариант 1. .

Вариант 2. .

6.4. Требования к содержанию отчета

1. Цель лабораторной работы.

2. Задание на лабораторную работу. Mn – код.

3. Результаты решения заданий своего варианта.

4. Выводы по полученным результатам.

6.5. Контрольные вопросы

1. Что такое логическое высказывание, константа, переменная, формула?

2. Какие виды логических операций рассматриваются в лабораторной работе?

3. Таблицы истинности для импликации и эквивалентности?

4. Перечислите законы алгебры логики?

Лабораторная работа №7
"СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ"

7.1. Цель работы

Изучение систем счисления. Приобретение навыков перевода из одной системы счи­с­ления в другую

7.2. Методические указания

Развернутой формой записи числа называется запись в виде:

A q =±(a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q -1 + a -2 q -2 + …+ а -m q -m).

Здесь А q - само число, q - основание системы счисления, а i - цифры данной системы счи­сления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части чис­ла.

Пример. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

32478 10 = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10 4 + 2*10 3 + 4*10 2 + 7*10 1 + 8*10 0 .

26,387 10 = 2*10 1 + 6*10 0 + 3*10 -1 + 8*10 -2 + 7*10 -3 .

Пример. Получить развернутую форму чисел 112 3 , 101101 2 , 15FC 16 , 101,11 2

112 3 =1*10 2 + 1*10 1 + 2*10 0 .

1011012 = 1*10 101 + 0*10 100 + 1*10 11 + 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 .

15FC 16 = 1*10 3 + 5 *10 2 + F*10 1 + С.

101,11 2 = 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 + 1*10 -1 + 1*10 -10 .

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то по­лу­чится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится пе­ревод из недесятичной системы в десятичную.

Пример. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

112 3 =1*3 2 + 1*3 1 + 2*3 0 = 9+3+2 = 14 10 .

101101 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =32+8+4+1 = 45 10 ,

15FC 16 = 1*16 3 + 5*16 2 + 15*16 1 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10 .

101,11 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 –1 + 12 -2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .