เลขคณิตในระบบจำนวน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวน ตรวจการบ้าน

ระบบตัวเลข

ระบบตัวเลข –ชุดเทคนิคและกฎเกณฑ์ในการเขียนตัวเลขลงในสัญลักษณ์หรือสัญลักษณ์ดิจิทัล

ระบบจำนวนทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท: ตำแหน่งและ ไม่ใช่ตำแหน่ง- ในชั้นเรียนระบบตำแหน่งสำหรับการเขียนตัวเลข ระบบต่างๆตัวเลขใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันจำนวนหนึ่ง จำนวนอักขระดังกล่าวใน ระบบตำแหน่งแคลคูลัสเรียกว่า พื้นฐานของระบบตัวเลขด้านล่างนี้เป็นตารางที่มีชื่อของระบบหมายเลขตำแหน่งบางระบบและรายการเครื่องหมาย (หลัก) ที่ใช้สร้างตัวเลข

ระบบตัวเลขบางระบบ

ในระบบตัวเลขตำแหน่ง ตำแหน่งสัมพัทธ์ของตัวเลขในตัวเลขถูกกำหนดให้เป็นตัวประกอบน้ำหนัก และตัวเลขสามารถแสดงเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์ด้วยกำลังที่สอดคล้องกันของฐานของระบบตัวเลข (ตัวประกอบน้ำหนัก ):

มี А n–1 มี n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(เครื่องหมาย “” จะแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน ดังนั้น ความหมายของแต่ละเครื่องหมายในจำนวนจึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เครื่องหมายนั้นครอบครองในบันทึกจำนวน ด้วยเหตุนี้ ระบบจำนวนดังกล่าวจึงเรียกว่าตำแหน่ง ).

ระบบตัวเลขตำแหน่งคือระบบที่กำหนดขนาดของตัวเลขโดยค่าของตัวเลขที่รวมอยู่ในนั้นและตำแหน่งสัมพัทธ์ในตัวเลข

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

ดัชนีทศนิยมที่ด้านล่างแสดงถึงฐานของระบบตัวเลข

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10.

เมื่อทำงานกับคอมพิวเตอร์ คุณจะต้องใช้ระบบตัวเลขตำแหน่งหลายระบบพร้อมกัน (ส่วนใหญ่มักจะเป็นเลขฐานสอง ทศนิยม ฐานแปด และเลขฐานสิบหก) ดังนั้นขั้นตอนในการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งจึงมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง โปรดทราบว่าในตัวอย่างข้างต้นทั้งหมด ผลลัพธ์จะเป็นเลขทศนิยม ดังนั้นจึงได้สาธิตวิธีการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขตำแหน่งใดๆ ไปเป็นทศนิยมแล้ว

โดยทั่วไป หากต้องการแปลงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบฐาน B คุณต้องหารส่วนนั้นด้วย B ส่วนที่เหลือจะให้ตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของตัวเลข ผลหารผลลัพธ์จะต้องหารด้วย B อีกครั้ง - ส่วนที่เหลือจะให้ตัวเลขหลักถัดไป ฯลฯ การหารจะดำเนินต่อไปจนกว่าผลหารจะน้อยกว่าฐาน ค่าของเศษผลลัพธ์ที่ถ่ายในลำดับย้อนกลับสร้างเลขฐานสองที่ต้องการ

ตัวอย่างการแปลบางส่วน:แปลง 25 10 เป็นเลขฐานสอง

25/2 = 12 พร้อมเศษ 1

12/2 = 6 พร้อมเศษ 0

6/2 = 3 พร้อมเศษ 0

แปลส่วนทั้งหมดและเศษส่วนแยกกัน ในการแปลงส่วนที่เป็นเศษส่วนนั้นจะต้องคูณด้วย B ส่วนจำนวนเต็มของผลิตภัณฑ์ที่ได้จะเป็นตัวเลขตัวแรก (หลังจุดทศนิยมที่แยกส่วนจำนวนเต็มออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน) เศษส่วนของผลิตภัณฑ์จะต้องคูณอีกครั้งด้วย B ส่วนจำนวนเต็มของผลลัพธ์จะเป็นเครื่องหมายถัดไป เป็นต้น

ในการแปลงเศษส่วน (หรือตัวเลขที่มีจำนวนเต็ม "0") คุณต้องคูณด้วย 2 ส่วนจำนวนเต็มของผลิตภัณฑ์จะเป็นตัวเลขตัวแรกของตัวเลขใน ระบบไบนารี่- จากนั้นทิ้งส่วนจำนวนเต็มของผลลัพธ์แล้วคูณอีกครั้งด้วย 2 เป็นต้น โปรดทราบว่าเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดอาจกลายเป็นเศษส่วนไบนารี่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด (เป็นงวด)

ตัวอย่างการแปลงเศษส่วน:แปลง 0.73 10 เป็นเลขฐานสอง

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (ทั้งส่วน 1),

0.46 ⋅ 2 = 0.92 (จำนวนเต็มส่วนที่ 0)

0.92 ⋅ 2 = 1.84 (จำนวนเต็มส่วนที่ 1)

0.84 ⋅ 2 = 1.68 (จำนวนเต็มส่วนที่ 1) เป็นต้น

ดังนั้น: 0.73 10 = 0.1011 2.

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ สามารถดำเนินการกับตัวเลขที่เขียนในระบบตัวเลขใดก็ได้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบตัวเลขตำแหน่งทั้งหมดจะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับที่คุณทราบดี

ลองบวกเลขสองตัวเข้ากับฐานสิบ:

เมื่อบวกตัวเลข 6 และ 7 ผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นนิพจน์ 10 + 3 โดยที่ 10 เป็นฐานเต็มสำหรับระบบเลขฐานสิบ แทนที่ 10 (ฐาน) ด้วย 1 และแทนที่ทางด้านซ้ายของหมายเลข 3 เราได้รับ:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

ลองบวกเลขฐานแปดสองตัว:

เมื่อบวกตัวเลข 6 และ 7 ผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นนิพจน์ 8 + 5 โดยที่ 8 เป็นฐานเต็มสำหรับ ระบบฐานแปดการคำนวณ แทนที่ 8 (ฐาน) ด้วย 1 และแทนที่ทางด้านซ้ายของหมายเลข 5 เราได้รับ:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

ลองบวกตัวเลขขนาดใหญ่สองตัวเข้ากับฐานแปด:

การบวกเริ่มจากเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด ดังนั้นเราจึงแสดง 4 8 + 6 8 เป็น 8 (ฐาน) + 2 แทนที่ 8 (ฐาน) ด้วย 1 และเพิ่มหน่วยนี้ลงในหลักที่มีลำดับสูง ต่อไปเราจะเพิ่มตัวเลขต่อไปนี้: 5 8 + 3 8 + 1 8 แสดงเป็น 8 + 1 แทนที่ 8 (ฐาน) ด้วย 1 แล้วบวกเข้ากับหลักที่สำคัญที่สุด ต่อไปเราแทน 2 8 + 7 8 + 1 8 เป็น 8 (ฐาน) + 2 แทนที่ 8 (ฐาน) ด้วย 1 และแทนที่ทางด้านซ้ายของตัวเลขผลลัพธ์ (ในตำแหน่งของหลักที่สำคัญที่สุด) ปรากฎว่า:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ (การลบ การคูณ และการหาร) จะดำเนินการในลักษณะเดียวกันในระบบตัวเลขที่ต่างกัน

ลองพิจารณาการคูณใน "คอลัมน์" โดยใช้ตัวอย่างระบบเลขฐานสองสองตัว:

11101 2 101 2

เราเขียนตัวเลขไว้ด้านล่างตามลำดับ จากนั้นเราจะคูณตัวประกอบที่สองในระดับบิตด้วยตัวแรกแล้วเขียนโดยเลื่อนไปทางซ้าย เช่นเดียวกับเมื่อคูณเลขทศนิยม ยังคงเพิ่มตัวเลข "เลื่อน" โดยคำนึงถึงฐานของตัวเลข ในกรณีนี้คือไบนารี่

ลองแปลงผลลัพธ์เป็นฐาน 16 กัน

ในหลักที่สองเราแทน 29 เป็น 16 (ฐาน) และ 13 (D) ลองแทนที่ 16 (ฐาน) ด้วย 1 แล้วบวกเข้ากับหลักที่สำคัญที่สุด

ในหลักที่สาม 96 + 1 = 97 จากนั้นลองนึกภาพ 97 เป็น 6 16 (ฐาน) และ 1 เพิ่ม 6 เข้ากับหลักสูงสุด

ในหลักที่สี่ 20 + 6 = 26 ลองจินตนาการว่า 26 เป็น 16 (ฐาน) และ 10 (A) เราย้ายหน่วยไปที่หลักสูงสุด

ด้วยทักษะบางอย่างในการทำงานกับระบบตัวเลขต่างๆ รายการสามารถจินตนาการได้ทันทีว่า

ดังนั้น A31 16 29 16 = 1A1D9 16

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2

จากมุมมองของการศึกษาหลักการของการเป็นตัวแทนและการประมวลผลข้อมูลในคอมพิวเตอร์ ระบบที่กล่าวถึง (ไบนารี ฐานแปด และเลขฐานสิบหก) ถือเป็นที่สนใจอย่างมาก แม้ว่าคอมพิวเตอร์จะประมวลผลข้อมูลที่แปลงเป็นรหัสไบนารี่เท่านั้น (ระบบเลขฐานสอง) อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งเพื่อลดจำนวนอักขระที่เขียนบนกระดาษหรือป้อนจากแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ จะสะดวกกว่าถ้าใช้เลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากดังที่แสดงด้านล่าง ขั้นตอนการแปลงตัวเลขร่วมกันจากแต่ละ ระบบเหล่านี้เป็นไบนารี่นั้นง่ายมาก - ง่ายกว่าการแปลระหว่างระบบใดระบบหนึ่งในสามระบบนี้กับทศนิยม

ให้เราแสดงจำนวนของระบบตัวเลขต่างๆ ตามกัน:

ตารางแสดงว่าตัวเลขของระบบที่มีฐาน 2, 8 และ 16 มีรูปแบบเป็นคาบ ดังนั้นค่าแปดค่าของระบบฐานแปดนั่นคือ (ตั้งแต่ 0 ถึง 7 หรือฐานเต็ม) สอดคล้องกับตัวเลขสามหลัก ( คณะสาม) ระบบไบนารี่ ดังนั้น เพื่ออธิบายตัวเลขหนึ่งหลักของระบบฐานแปด จึงจำเป็นต้องมีระบบเลขฐานสองสามหลักพอดี เช่นเดียวกับเลขฐานสิบหก เฉพาะคำอธิบายเท่านั้นที่ต้องใช้ตัวเลขสี่หลัก ( เตตราด) ระบบไบนารี่

ตามนั้นเพื่อแปลจำนวนเต็มใดๆ เลขฐานสองถึงฐานแปด คุณต้องแยกย่อยจากขวาไปซ้ายเป็นกลุ่มละ 3 หลัก (กลุ่มซ้ายสุดสามารถมีเลขฐานสองน้อยกว่าสามหลักได้) จากนั้นกำหนดแต่ละกลุ่มให้เทียบเท่ากับฐานแปด

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแปลง 11011001 2 เป็นฐานแปด

เราแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มสามหลัก 011 2, 011 2 และ 001 2 เราแทนที่ตัวเลขที่สอดคล้องกันของระบบฐานแปด เราได้ 3 8, 3 8 และ 1 8 หรือ 331 8

11011001 2 = 331 8 .

การโอนเงินแบบย้อนกลับจะดำเนินการในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่น

แปลง AB5D 16 เป็นระบบเลขฐานสอง

ทีละสัญลักษณ์เราจะแทนที่แต่ละสัญลักษณ์ของหมายเลข AB5D 16 ด้วยหมายเลขที่สอดคล้องกันจากระบบไบนารี่ เราได้รับ 1,010 16, 1011 16, 0101 16 และ 1101 16 หรือ 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

นอกเหนือจากระบบตัวเลขตำแหน่งที่กล่าวถึงข้างต้น ยังมีระบบที่ความหมายของเครื่องหมายไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานที่ที่อยู่ในตัวเลขอีกด้วย ระบบจำนวนดังกล่าวเรียกว่า ไม่ใช่ตำแหน่ง- ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งคือ โรมัน- ระบบนี้ใช้อักขระ 7 ตัว (I, V, X, L, C, D, M) ซึ่งสอดคล้องกับค่าต่อไปนี้:

กฎการเขียนตัวเลขเป็นเลขโรมัน: - ถ้า จำนวนมากยืนอยู่หน้าอันที่เล็กกว่าจากนั้นก็รวมกัน (หลักการบวก) ถ้าจำนวนที่น้อยกว่ามาก่อนอันที่ใหญ่กว่าอันที่เล็กกว่าจะถูกลบออกจากอันที่ใหญ่กว่า (หลักการลบ)

กฎข้อที่สองใช้เพื่อหลีกเลี่ยงการซ้ำหมายเลขเดียวกันสี่ครั้ง ดังนั้น เลขโรมัน I, X, C จึงถูกวางตามลำดับก่อน X, C, M เพื่อระบุ 9, 90, 900 หรือก่อน V, L, D เพื่อระบุ 4, 40, 400

ตัวอย่างการเขียนตัวเลขเป็นเลขโรมัน:

IV = 5 - 1 = 4 (แทนที่จะเป็น IIII)

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (แทนที่จะเป็น XVIIII)

XL = 50 - 10 =40 (แทน XXXX)

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 เป็นต้น

ควรสังเกตว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับตัวเลขหลายหลักโดยใช้เลขโรมันนั้นไม่สะดวกมาก อาจเป็นไปได้ว่าความซับซ้อนของการคำนวณในระบบโรมันตามการใช้ตัวอักษรละตินเป็นหนึ่งในเหตุผลที่น่าสนใจในการแทนที่ด้วยระบบทศนิยมที่สะดวกกว่า

3.1 ฐานของระบบจำนวน เรียกว่า...

ชุดเทคนิคและกฎเกณฑ์ในการเขียนตัวเลขลงในสัญลักษณ์หรือสัญลักษณ์ดิจิทัล

จำนวนอักขระที่ใช้ในระบบหมายเลขตำแหน่งเฉพาะ

ตัวหารที่ใช้เมื่อแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง

ปัจจัยทั่วไปเมื่อแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง

3.2 ระบบตัวเลขใดที่ไม่ค่อยนิยมใช้กัน เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

เลขฐานแปด

ไบนารี่

ห้าเท่า

เลขฐานสิบหก

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่งทั้งหมดจะดำเนินการตามกฎเดียวกัน ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่แสดงในระบบตัวเลขต่างๆ จำเป็นต้องแปลงเป็นระบบตัวเลขเดียวก่อน และคำนึงถึงความจริงที่ว่าการโอนไปยังหลักถัดไปในระหว่างการดำเนินการบวกและการกู้ยืมจากหลักสูงสุดในช่วง การดำเนินการลบถูกกำหนดโดยค่าฐานของระบบตัวเลข

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสองจะขึ้นอยู่กับตารางการบวก การลบ และการคูณของเลขฐานสองหลักเดียว

เมื่อบวกสองหน่วย ตัวเลขล้นและหน่วยจะถูกโอนไปยังหลักสูงสุด เมื่อลบ 0–1 เงินกู้จะทำจากตัวเลขสูงสุด ในตาราง "การลบ" เงินกู้นี้ถูกกำหนดเป็น 1 โดยมีเส้นเหนือ หมายเลข (ตารางที่ 3)

ตารางที่ 3

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่แสดงในระบบตัวเลขต่างๆ:

การคำนวณเลขคณิตกับจำนวนเต็มที่แสดงในระบบตัวเลขต่างๆ นั้นทำได้ง่ายมากโดยใช้โปรแกรมเครื่องคิดเลขและ MS Excel

1.3. แทนตัวเลขในคอมพิวเตอร์

ข้อมูลตัวเลขได้รับการประมวลผลในคอมพิวเตอร์โดยใช้ระบบเลขฐานสอง ตัวเลขจะถูกจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ในรูปแบบรหัสไบนารี่ กล่าวคือ เป็นลำดับของเลขศูนย์และเลขหนึ่ง และสามารถแสดงในรูปแบบจุดคงที่หรือจุดลอยตัวได้

จำนวนเต็มจะถูกเก็บไว้ในหน่วยความจำในรูปแบบจุดคงที่ ด้วยรูปแบบนี้สำหรับการแสดงตัวเลข การลงทะเบียนหน่วยความจำที่ประกอบด้วยเซลล์หน่วยความจำแปดเซลล์ (8 บิต) ได้รับการจัดสรรสำหรับการจัดเก็บตัวเลขจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แต่ละหลักของเซลล์หน่วยความจำจะตรงกับหลักเดียวกันของตัวเลขเสมอ และเครื่องหมายจุลภาคจะอยู่ทางด้านขวาหลังหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดและอยู่นอกตารางหลัก ตัวอย่างเช่น หมายเลข 110011012 จะถูกจัดเก็บไว้ในการลงทะเบียนหน่วยความจำดังนี้:

ตารางที่ 4

ค่าสูงสุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่สามารถจัดเก็บไว้ในรีจิสเตอร์ในรูปแบบจุดคงที่สามารถกำหนดได้จากสูตร: 2n – 1 โดยที่ n คือจำนวนหลักของตัวเลข จำนวนสูงสุดจะเท่ากับ 28 - 1 = 25510 = 111111112 และค่าต่ำสุด 010 = 000000002 ดังนั้น ช่วงของการเปลี่ยนแปลงในจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 25510

ต่างจากระบบทศนิยมตรงที่ระบบเลขฐานสองในคอมพิวเตอร์แทนเลขฐานสองไม่มีสัญลักษณ์ที่ระบุเครื่องหมายของตัวเลข: บวก (+) หรือลบ (-) ดังนั้นเพื่อเป็นตัวแทนจำนวนเต็มที่ลงนามในระบบไบนารี่ ใช้รูปแบบการแสดงตัวเลข: รูปแบบค่าตัวเลขที่ลงนามและรูปแบบส่วนเสริมของสอง ในกรณีแรก การลงทะเบียนหน่วยความจำสองตัว (16 บิต) จะถูกจัดสรรเพื่อจัดเก็บจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมาย และใช้หลักที่มีนัยสำคัญที่สุด (ซ้ายสุด) เป็นสัญลักษณ์ของตัวเลข: ถ้าตัวเลขเป็นค่าบวก 0 จะถูกเขียนลงในบิตเครื่องหมาย ถ้าตัวเลขเป็นลบ ดังนั้น 1 ตัวอย่างเช่น หมายเลข 53610 = 00000010000110002 จะถูกแสดงในรีจิสเตอร์หน่วยความจำในรูปแบบต่อไปนี้:

ตารางที่ 5

และจำนวนลบ -53610 = 10000010000110002 ในรูปแบบ:

ตารางที่ 6

จำนวนบวกสูงสุดหรือจำนวนลบขั้นต่ำในรูปแบบค่าตัวเลขลงนาม (โดยคำนึงถึงการแสดงหนึ่งหลักต่อเครื่องหมาย) คือ 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 และช่วงของตัวเลข จะอยู่ที่ - 3276710 ถึง 32767

ส่วนใหญ่มักจะใช้รูปแบบรหัสเสริมของทั้งสองซึ่งเป็นตัวแทนของจำนวนเต็มที่ลงนามในระบบไบนารีซึ่งช่วยให้คุณสามารถแทนที่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการลบในคอมพิวเตอร์ด้วยการดำเนินการเพิ่มเติมซึ่งทำให้โครงสร้างของไมโครโปรเซสเซอร์ง่ายขึ้นอย่างมากและเพิ่มประสิทธิภาพ .

ในการแทนจำนวนเต็มลบในรูปแบบนี้ จะใช้โค้ดเสริมของ two ซึ่งเป็นโมดูลัสของจำนวนลบถึงศูนย์ การแปลงจำนวนเต็มลบเป็น รหัสเพิ่มเติมดำเนินการโดยใช้การดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) เขียนโมดูลของตัวเลขในโค้ดโดยตรงใน n (n = 16) เลขฐานสอง

2) รับรหัสย้อนกลับของตัวเลข (แปลงตัวเลขทั้งหมดของตัวเลขเช่น แทนที่ทั้งหมดด้วยศูนย์และศูนย์ด้วยหลัก)

3) เพิ่มหนึ่งไปยังหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดในโค้ดย้อนกลับผลลัพธ์

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข -53610 ในรูปแบบนี้ โมดูลัสจะเป็น 00000010000110002 รหัสซึ่งกันและกันจะเป็น 1111110111100111 และรหัสเพิ่มเติมจะเป็น 1111110111101000

ต้องจำไว้ว่าส่วนเสริมของจำนวนบวกคือจำนวนนั้นเอง

เพื่อจัดเก็บจำนวนเต็มที่ลงนามนอกเหนือจากการแสดงคอมพิวเตอร์ 16 บิตเมื่อใช้ การลงทะเบียนหน่วยความจำสองรายการ(รูปแบบตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่ารูปแบบจำนวนเต็มลายเซ็นแบบสั้น) จะใช้รูปแบบจำนวนเต็มลายเซ็นแบบกลางและแบบยาว ในการแสดงตัวเลขในรูปแบบตัวเลขกลาง จะใช้รีจิสเตอร์สี่ตัว (4 x 8 = 32 บิต) และเพื่อแสดงตัวเลขในรูปแบบตัวเลขยาว จะใช้รีจิสเตอร์แปดตัว (8 x 8 = 64 บิต) ช่วงของค่าสำหรับรูปแบบตัวเลขกลางและยาวจะเป็นตามลำดับ: -(231 – 1) ... + 231 – 1 และ -(263-1) ... + 263 – 1

การแสดงตัวเลขในรูปแบบจุดคงที่ด้วยคอมพิวเตอร์มีทั้งข้อดีและข้อเสีย ถึง ประโยชน์รวมถึงความเรียบง่ายของการแทนตัวเลขและอัลกอริธึมสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ข้อเสียคือช่วงที่ จำกัด ของการแทนตัวเลขซึ่งอาจไม่เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาหลายอย่างที่มีลักษณะในทางปฏิบัติ (ทางคณิตศาสตร์ เศรษฐกิจ กายภาพ ฯลฯ )

จำนวนจริง (ทศนิยมจำกัดและอนันต์) ได้รับการประมวลผลและจัดเก็บไว้ในคอมพิวเตอร์ในรูปแบบทศนิยม ด้วยรูปแบบการแสดงตัวเลขนี้ ตำแหน่งของจุดทศนิยมในรายการอาจเปลี่ยนแปลงได้ จำนวนจริง K ใดๆ ในรูปแบบจุดลอยตัวสามารถแสดงได้ดังนี้:

โดยที่ A คือแมนทิสซาของตัวเลข h – ฐานของระบบตัวเลข p – ลำดับหมายเลข

นิพจน์ (2.7) สำหรับระบบเลขฐานสิบจะอยู่ในรูปแบบ:

สำหรับไบนารี -

สำหรับฐานแปด -

สำหรับเลขฐานสิบหก -

การแสดงตัวเลขรูปแบบนี้เรียกอีกอย่างว่า ปกติ - เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงลำดับ ลูกน้ำในตัวเลขจะเลื่อน นั่นคือดูเหมือนว่าจะลอยไปทางซ้ายหรือทางขวา ดังนั้นจึงเรียกว่าการแสดงตัวเลขในรูปแบบปกติ แบบฟอร์มจุดลอยตัว- ตัวอย่างเช่น เลขฐานสิบ 15.5 ในรูปแบบจุดลอยตัวสามารถแสดงเป็น: 0.155 102; 1.55 101; 15.5 100; 155.0 10-1; 1550.0 10-2 เป็นต้น แบบฟอร์มบันทึกนี้ เลขทศนิยม 15.5 จุดลอยตัวไม่ได้ใช้ในการเขียน โปรแกรมคอมพิวเตอร์และป้อนลงในคอมพิวเตอร์ (อุปกรณ์อินพุตของคอมพิวเตอร์รับรู้เฉพาะการบันทึกข้อมูลเชิงเส้นเท่านั้น) จากนี้ นิพจน์ (2.7) สำหรับแสดงเลขทศนิยมและป้อนลงในคอมพิวเตอร์จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ

โดยที่ P คือลำดับของตัวเลข

นั่นคือแทนที่จะเป็นฐานของระบบตัวเลข 10 พวกเขาเขียนตัวอักษร E แทนลูกน้ำจุดและไม่ใส่เครื่องหมายคูณ ดังนั้น ตัวเลข 15.5 ในรูปแบบจุดลอยตัวและเชิงเส้น (การแสดงด้วยคอมพิวเตอร์) จะถูกเขียนเป็น: 0.155E2; 1.55E1; 15.5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2 ฯลฯ

ไม่ว่าระบบตัวเลขจะเป็นเช่นไร ตัวเลขใดๆ ในรูปแบบจุดลอยตัวสามารถแสดงด้วยจำนวนอนันต์ได้ การบันทึกรูปแบบนี้เรียกว่า ไม่เป็นมาตรฐาน - สำหรับการแสดงจำนวนจุดลอยตัวที่ชัดเจน จะใช้รูปแบบการเขียนตัวเลขที่เป็นมาตรฐาน ซึ่งแมนทิสซาของตัวเลขจะต้องตรงตามเงื่อนไข

ที่ไหน |ก| - ค่าสัมบูรณ์ของแมนทิสซาของตัวเลข

เงื่อนไข (2.9) หมายความว่า แมนทิสซาต้องเป็นเศษส่วนแท้และมีเลขหลักที่ไม่ใช่ศูนย์หลังจุดทศนิยม หรืออีกนัยหนึ่ง ถ้าแมนทิสซาไม่มีศูนย์หลังจุดทศนิยม ตัวเลขนั้นจะถูกเรียกว่าทำให้เป็นมาตรฐาน . ดังนั้น ตัวเลข 15.5 ในรูปแบบที่ทำให้เป็นมาตรฐาน (แมนทิสซาที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) ในรูปแบบจุดลอยตัวจะมีลักษณะดังนี้: 0.155 102 กล่าวคือ แมนทิสซาที่ทำให้เป็นมาตรฐานจะเป็น A = 0.155 และลำดับ P = 2 หรือในคอมพิวเตอร์แทนจำนวน 0.155E2

หมายเลขทศนิยมมีรูปแบบคงที่และใช้หน่วยความจำคอมพิวเตอร์สี่ (32 บิต) หรือแปดไบต์ (64 บิต) หากตัวเลขกินพื้นที่ 32 บิตในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ แสดงว่าเป็นตัวเลขที่มีความแม่นยำปกติ หากเป็น 64 บิต จะเป็นตัวเลขที่มีความแม่นยำสองเท่า เมื่อเขียนตัวเลขทศนิยม บิตจะถูกจัดสรรเพื่อเก็บเครื่องหมายของแมนทิสซา เครื่องหมายของเลขชี้กำลัง แมนทิสซา และเลขชี้กำลัง จำนวนหลักที่จัดสรรให้กับลำดับของตัวเลขจะกำหนดช่วงของการแปรผันของตัวเลข และจำนวนหลักที่จัดสรรเพื่อจัดเก็บแมนทิสซาจะกำหนดความแม่นยำของตัวเลขที่ระบุ

เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การบวกและการลบ) กับตัวเลขที่แสดงในรูปแบบทศนิยม จะใช้ขั้นตอน (อัลกอริทึม) ต่อไปนี้:

1) ลำดับของตัวเลขที่ใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์นั้นถูกจัดตำแหน่ง (ลำดับของจำนวนสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าจะเพิ่มขึ้นตามลำดับของจำนวนสัมบูรณ์ที่มากขึ้น ในขณะที่แมนทิสซาลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน)

2) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการกับแมนทิสซาของตัวเลข

3) ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกทำให้เป็นมาตรฐาน

การบวกและการลบ

ในระบบที่มีฐาน ตัวเลข 0, 1, 2, ..., c - 1 ใช้เพื่อแทนศูนย์และตัวเลขธรรมชาติ c-1 ตัวแรก ในการดำเนินการบวกและลบ ตารางจะถูกคอมไพล์ การบวกเลขหลักเดียว

ตารางที่ 1 - การเพิ่มในระบบไบนารี

ตัวอย่างเช่น ตารางบวกในระบบเลขฐานสิบหก:

ตารางที่ 2 - การเพิ่มเติมในระบบเลขฐานสิบหก

การบวกตัวเลขสองตัวใด ๆ ที่เขียนในระบบตัวเลขที่มีฐาน c จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบทศนิยม โดยเริ่มจากหลักแรกโดยใช้ตารางบวกของระบบนี้ ตัวเลขที่ถูกเพิ่มจะถูกเซ็นชื่อทีละตัวเพื่อให้ตัวเลขของตัวเลขเดียวกันนั้นอยู่ในแนวตั้ง ผลลัพธ์ของการบวกจะเขียนไว้ใต้เส้นแนวนอนที่ลากไว้ใต้ตัวเลขที่กำลังบวก เช่นเดียวกับการบวกตัวเลขในระบบทศนิยม ในกรณีที่บวกหลักในหลักใด ๆ ก็ได้เลขสองหลัก ให้เขียนหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้เป็นผลลัพธ์ และนำหลักแรกไปบวกกับผลลัพธ์ของการบวก หลักถัดไป

ตัวอย่างเช่น,

คุณสามารถจัดแนวกฎที่ระบุสำหรับการบวกตัวเลขโดยใช้การแสดงตัวเลขในรูปแบบ:

ลองดูตัวอย่างหนึ่ง:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

เราเลือกคำศัพท์ตามลำดับตามกำลังของฐาน 7 โดยเริ่มจากกำลังต่ำสุด ศูนย์

การลบจะดำเนินการด้วยตัวเลขโดยเริ่มจากจุดต่ำสุดและหากเป็นตัวเลขของเครื่องหมายลบ จำนวนน้อยลง subtrahend จากนั้นหน่วยจะถูก "ครอบครอง" จากหลักถัดไปของ minuend และหลักที่สอดคล้องกันของ subtrahend จะถูกลบออกจากตัวเลขสองหลักที่เป็นผลลัพธ์ เมื่อลบตัวเลขของตัวเลขถัดไปในกรณีนี้คุณต้องลดตัวเลขทางจิตใจที่ลดลงหนึ่งหลัก แต่ถ้าตัวเลขนี้กลายเป็นศูนย์ (และเป็นไปไม่ได้ที่จะลด) คุณควร "ยืม" หนึ่งอันจาก หลักถัดไปแล้วลดทีละหนึ่ง ไม่จำเป็นต้องสร้างตารางพิเศษสำหรับการลบ เนื่องจากตารางบวกจะให้ผลลัพธ์ของการลบ

ตัวอย่างเช่น,

การคูณและการหาร

ในการดำเนินการคูณและการหารในระบบฐาน c จะมีการรวบรวมตารางสูตรคูณสำหรับตัวเลขหลักเดียว

ตารางที่ 3 - การคูณตัวเลขหลักเดียว

ตารางที่ 4 - การคูณในระบบเลขฐานสิบหก

การคูณตัวเลขโดยพลการสองตัวในระบบที่มีฐาน c จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบทศนิยม - "คอลัมน์" นั่นคือตัวคูณจะถูกคูณด้วยตัวเลขของแต่ละหลักของตัวคูณ (ตามลำดับ) ด้วยค่าที่ตามมา การเพิ่มผลลัพธ์ระดับกลางเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น,

เมื่อคูณตัวเลขหลายหลักในผลลัพธ์ระดับกลาง ดัชนีฐานจะไม่ถูกวาง:

การหารในระบบที่มีฐาน c จะดำเนินการโดยใช้มุม เช่นเดียวกับในระบบเลขฐานสิบ ในกรณีนี้ จะใช้ตารางสูตรคูณและตารางบวกของระบบที่เกี่ยวข้อง สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้นหากผลลัพธ์ของการหารไม่ใช่เศษส่วนจำกัด (หรือจำนวนเต็ม) จากนั้น เมื่อดำเนินการหาร มักจะจำเป็นต้องแยกส่วนที่ไม่เป็นคาบของเศษส่วนและคาบของมันออก ความสามารถในการดำเนินการหารในระบบเลข c-ary มีประโยชน์เมื่อแปลงเลขเศษส่วนจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น:

การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่ง

มีมากมาย ในรูปแบบต่างๆการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่ง

วิธีการหาร

ให้เลข N=อัน-1 แทน - - a1 a0 อาร์

หากต้องการรับบันทึกของหมายเลข N ในระบบที่มีฐาน h ควรแสดงในรูปแบบ:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

ที่ไหน 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

จาก (1) เราได้รับ:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0 โดยที่ 0 คือ b0 ?h (3)

นั่นคือเลข b0 คือเศษที่เหลือจากการหารเลข N ด้วยเลข h ผลหารบางส่วน Nl = bmhm-1+ . - - +b1 สามารถแสดงเป็น:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1 โดยที่ 0 คือ? b2 ?ชั่วโมง (4)

ดังนั้น เลขฐานสองในบันทึก (2) ของจำนวน N คือเศษที่เหลือของการหารผลหารแรกของ N1 ที่ไม่สมบูรณ์ด้วยฐาน h ของระบบตัวเลขใหม่ เราเป็นตัวแทนผลหารสองที่ไม่สมบูรณ์ N2 ในรูปแบบ:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2 โดยที่ 0 คือ? b2 ?ชั่วโมง (5)

นั่นคือ ตัวเลข b2 คือส่วนที่เหลือของการหารผลหารที่ไม่สมบูรณ์ตัวที่สอง N2 ด้วยฐาน h ของระบบใหม่ เนื่องจากผลหารที่ไม่สมบูรณ์ลดลง กระบวนการนี้จึงมีจำกัด แล้วเราจะได้ Nm = bm โดยที่ bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

ดังนั้นลำดับของตัวเลขคือ bm, bm-1 - ,b1,b0 ในสัญลักษณ์ของตัวเลข N ในระบบตัวเลขที่มีฐาน h คือลำดับของเศษที่เหลือของการหารตามลำดับของจำนวน N ด้วยฐาน h โดยทำในลำดับย้อนกลับ

ลองดูตัวอย่าง: แปลงตัวเลข 123 เป็นระบบเลขฐานสิบหก:

ดังนั้น ตัวเลข 12310=7(11)16 หรือเขียนเป็น 7B16 ก็ได้

ลองเขียนตัวเลข 340227 ในระบบเลขควินารี:

ดังนั้นเราจึงได้ 340227=2333315

ใช้ในการทำงานกับข้อมูล การเข้ารหัส, เช่น. การแสดงข้อมูลประเภทหนึ่งในแง่ของข้อมูลประเภทอื่น

เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ก็มีระบบของตัวเองเรียกว่า การเข้ารหัสไบนารีและขึ้นอยู่กับการแสดงข้อมูลเป็นลำดับของอักขระเพียงสองตัว: 0 และ 1 อักขระเหล่านี้เรียกว่า เลขฐานสอง,เป็นภาษาอังกฤษ - เลขฐานสองหรือเรียกสั้น ๆ ว่า นิดหน่อย

หนึ่งบิตสามารถแสดงแนวคิดได้สองแบบ: 0 หรือ 1 (ใช่หรือ ไม่ สีดำหรือ ขาวจริงหรือ โกหกและอื่นๆ) หากจำนวนบิตเพิ่มขึ้นเป็นสอง แนวคิดที่แตกต่างกันสี่ประการสามารถแสดงได้:

สามบิตสามารถเข้ารหัสค่าที่แตกต่างกันได้แปดค่า: 000 001 010 011 100 101 110 111

โดยการเพิ่มจำนวนบิตในระบบการเข้ารหัสไบนารี่หนึ่งเราจะเพิ่มจำนวนค่าที่สามารถแสดงในระบบที่กำหนดเป็นสองเท่านั่นคือสูตรทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

ยังไม่มีข้อความ=2 เมตร ,ที่ไหน:

น-จำนวนค่ารหัสอิสระ

ต- ความลึกบิตของการเข้ารหัสไบนารี่ที่ใช้ในระบบนี้

เนื่องจากบิตเป็นหน่วยวัดขนาดเล็ก ในทางปฏิบัติหน่วยที่ใหญ่กว่าจึงมักถูกใช้มากกว่า - หนึ่งไบต์ เท่ากับ 8 บิต

นอกจากนี้ยังใช้หน่วยข้อมูลที่ได้รับขนาดใหญ่กว่าด้วย:

กิโลไบต์ (KB) = 1,024 ไบต์ = 2 10 ไบต์;

เมกะไบต์ (MB) = 1,024 KB = 2 20 ไบต์;

กิกะไบต์ (GB) = 1,024 MB = 2,30 ไบต์

เมื่อเร็ว ๆ นี้ เนื่องจากปริมาณข้อมูลที่ประมวลผลเพิ่มขึ้น หน่วยที่ได้รับเช่น:

เทราไบต์ (TB) = 1,024 GB = 2,40 ไบต์;

เพตาไบต์ (PB) = 1,024 TB = 2,50 ไบต์;

เอ็กซาไบต์ (Ebyte) = 1024 PB = 2 60 ไบต์

การเข้ารหัสข้อมูลข้อความผลิตโดยใช้รหัส American Standard สำหรับการแลกเปลี่ยนข้อมูล ASCII ซึ่งตั้งค่ารหัสอักขระตั้งแต่ 0 ถึง 127 มาตรฐานแห่งชาติจัดสรรข้อมูล 1 ไบต์ต่ออักขระและรวมถึงตารางรหัส ASCII รวมถึงรหัสตัวอักษรประจำชาติที่มีตัวเลขตั้งแต่ 128 ถึง 255 ปัจจุบันมีการเข้ารหัส Cyrillic ที่แตกต่างกันห้าแบบ: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh และ ISO ในตอนท้ายของยุค 90 มาตรฐานสากลใหม่ Unicode ปรากฏขึ้นซึ่งจัดสรรไม่ใช่หนึ่งไบต์ แต่มีสองไบต์สำหรับแต่ละอักขระดังนั้นจึงสามารถใช้ในการเข้ารหัสได้ไม่ใช่ แต่เป็นอักขระต่างๆ

ตารางการเข้ารหัสพื้นฐาน แอสกีจะได้รับในตาราง

การเข้ารหัสกราฟิกสีเสร็จสิ้นโดยใช้แรสเตอร์ โดยแต่ละจุดเชื่อมโยงกับหมายเลขสี ในระบบการเข้ารหัส RGB สีของแต่ละจุดจะแสดงด้วยผลรวมของสีแดง (สีแดง) สีเขียว (สีเขียว) และสีน้ำเงิน (สีน้ำเงิน) ในระบบการเข้ารหัส CMYK สีของแต่ละจุดจะแสดงด้วยผลรวมของสีฟ้า (Cyan) สีม่วงแดง (Magenta) สีเหลือง (สีเหลือง) และการเติมสีดำ (Black, K)

การเข้ารหัสสัญญาณอนาล็อก

ในอดีต รูปแบบเทคโนโลยีแรกของการรับ ส่ง และจัดเก็บข้อมูลคือการแสดงสัญญาณเสียง แสง ไฟฟ้า หรือสัญญาณอื่นๆ แบบอะนาล็อก (ต่อเนื่อง) หากต้องการรับสัญญาณดังกล่าว คอมพิวเตอร์จะทำการแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัลก่อน

การแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัลเกี่ยวข้องกับการวัดสัญญาณแอนะล็อกในช่วงเวลาปกติ τ และการเข้ารหัสผลการวัดเป็นคำไบนารี n บิต ในกรณีนี้จะได้ลำดับของคำไบนารี่ n บิตซึ่งเป็นตัวแทนของสัญญาณอะนาล็อกที่มีความแม่นยำที่กำหนด

มาตรฐานซีดีปัจจุบันใช้สิ่งที่เรียกว่า "เสียง 16 บิตที่มีอัตราการสแกน 44 kHz" สำหรับรูปข้างต้น เมื่อแปลเป็นภาษาปกติ หมายความว่า “ความยาวขั้น” (t) เท่ากับ 1/44000 วินาที และ “ความสูงของขั้น” (δ) เท่ากับ 1/65,536 ของปริมาตรสัญญาณสูงสุด (ตั้งแต่ 2 16 = 65,536) . ในกรณีนี้ ช่วงความถี่ในการเล่นคือ 0-22 kHz และช่วงไดนามิกคือ 96 เดซิเบล (ซึ่งเป็นคุณลักษณะด้านคุณภาพที่ไม่สามารถบรรลุได้โดยสิ้นเชิงสำหรับการบันทึกเสียงแบบแม่เหล็กหรือแบบกลไก)

การบีบอัดข้อมูล

ปริมาณข้อมูลที่ประมวลผลและส่งกำลังเติบโตอย่างรวดเร็ว เนื่องจากการดำเนินการตามกระบวนการแอปพลิเคชันที่ซับซ้อนมากขึ้น การเกิดขึ้นของบริการข้อมูลใหม่ๆ และการใช้ภาพและเสียง

การบีบอัดข้อมูล- กระบวนการที่ลดปริมาณข้อมูล การบีบอัดช่วยให้คุณสามารถลดจำนวนหน่วยความจำที่ต้องใช้ในการจัดเก็บข้อมูลได้อย่างมาก และลด (เป็นขนาดที่ยอมรับได้) เวลาในการถ่ายโอนข้อมูล การบีบอัดภาพมีประสิทธิภาพอย่างยิ่ง การบีบอัดข้อมูลสามารถทำได้โดยใช้ซอฟต์แวร์ ฮาร์ดแวร์ หรือการผสมผสานกัน

การบีบอัดข้อความสัมพันธ์กับรูปแบบที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น ไบต์การเข้ารหัสอักขระ นอกจากนี้ยังใช้ตัวนับการทำซ้ำของช่องว่าง สำหรับเสียงและภาพ ปริมาณข้อมูลที่เป็นตัวแทนจะขึ้นอยู่กับขั้นตอนการวัดปริมาณที่เลือกและจำนวนบิตของการแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัล โดยหลักการแล้ว วิธีการบีบอัดแบบเดียวกันนี้ถูกนำมาใช้เช่นเดียวกับในการประมวลผลข้อความ หากการบีบอัดข้อความเกิดขึ้นโดยไม่สูญเสียข้อมูล การบีบอัดเสียงและภาพมักจะทำให้ข้อมูลสูญหายไปเกือบทุกครั้ง การบีบอัดข้อมูลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการเก็บข้อมูล

สัญกรณ์– การแสดงตัวเลขด้วยชุดสัญลักษณ์เฉพาะ ระบบตัวเลขได้แก่:

1. เดี่ยว (ระบบแท็กหรือแท่ง);

2. ไม่ใช่ตำแหน่ง (โรมัน);

3. ตำแหน่ง (ทศนิยม, ไบนารี, ฐานแปด, เลขฐานสิบหก ฯลฯ )

ตำแหน่งเป็นระบบตัวเลขซึ่งค่าเชิงปริมาณของแต่ละหลักขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ของตัวเลข พื้นฐานระบบตัวเลขตำแหน่งคือจำนวนเต็มที่สามารถยกกำลังได้และเท่ากับจำนวนหลักในระบบ

ระบบเลขฐานสองประกอบด้วยตัวอักษรสองหลัก: 0 และ 1

ระบบเลขฐานแปดประกอบด้วยตัวอักษร 8 หลัก ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7

ระบบเลขทศนิยมประกอบด้วยตัวอักษร 10 หลัก ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

ระบบเลขฐานสิบหกประกอบด้วยตัวอักษร 16 หลัก ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ การเข้ารหัสจะใช้ในระบบเลขฐานสอง เช่น ลำดับ 0 และ 1

ในการแปลงจำนวนเต็มจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง คุณต้องดำเนินการตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

1. แสดงฐานของระบบตัวเลขใหม่โดยใช้ตัวเลขของระบบตัวเลขเดิม

2. หารจำนวนที่กำหนดด้วยฐานของระบบตัวเลขใหม่อย่างสม่ำเสมอ จนกระทั่งได้ผลหารที่น้อยกว่าตัวหาร

3. แปลงยอดคงเหลือผลลัพธ์ให้เป็นระบบตัวเลขใหม่

4. เขียนตัวเลขจากเศษในระบบตัวเลขใหม่โดยเริ่มจากเศษสุดท้าย

โดยทั่วไป ใน SS ตำแหน่งที่มีฐาน P จำนวน X ใดๆ สามารถแสดงเป็นพหุนามจากฐาน P:

XX = а n Р n + n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

โดยที่สัมประสิทธิ์ a i สามารถเป็นตัวเลข P ใดๆ ที่ใช้ใน SS โดยมีฐาน P

การแปลงตัวเลขจาก 10 SS ไปเป็นค่าอื่นสำหรับจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขนั้นดำเนินการโดยใช้วิธีการต่างๆ:

ก) ส่วนทั้งหมดของจำนวนและผลหารกลางหารด้วยฐานของ SS ใหม่โดยแสดงเป็น 10 SS จนกว่าผลหารของการหารจะน้อยกว่าฐานของ SS ใหม่ การดำเนินการจะดำเนินการใน 10 SS ผลลัพธ์ที่ได้คือผลหารที่เขียนในลำดับย้อนกลับ

b) ส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขและส่วนที่เป็นผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ระดับกลางจะถูกคูณด้วยฐานของ SS ใหม่จนกว่าจะได้ความแม่นยำที่ระบุหรือได้รับ "0" ในส่วนที่เป็นเศษส่วนของผลิตภัณฑ์ระดับกลาง ผลลัพธ์คืองานระดับกลางทั้งส่วนซึ่งบันทึกตามลำดับที่ได้รับ

การใช้สูตร (1) คุณสามารถแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ เป็นระบบเลขทศนิยมได้

ตัวอย่างที่ 1แปลงตัวเลข 1011101.001 จากระบบเลขฐานสอง (SS) เป็น SS ทศนิยม สารละลาย:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

ตัวอย่างที่ 2แปลงตัวเลข 1011101.001 จากระบบเลขฐานแปด (SS) เป็น SS ทศนิยม สารละลาย:

ตัวอย่างที่ 3- แปลงตัวเลข AB572.CDF จากระบบเลขฐานสิบหกเป็น SS ทศนิยม สารละลาย:

ที่นี่ ก-แทนที่ด้วย 10, บี- เวลา 11.00 น. ค- เวลา 12.00 น. เอฟ- ภายใน 15.

การแปลงตัวเลข 8 (16) เป็น 2 รูปแบบ - ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่แต่ละหลักของตัวเลขนี้ด้วยเลขฐานสอง 3 บิต (4 บิต) ที่สอดคล้องกัน ทิ้งศูนย์ที่ไม่จำเป็นในหลักสูงและต่ำ

ตัวอย่างที่ 1: แปลงตัวเลข 305.4 8 เป็น SS ไบนารี

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

ตัวอย่างที่ 2: แปลงตัวเลข 9AF,7 16 เป็นไบนารี СС

(_9 __ _ก __ _เอฟ __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

ในการแปลงตัวเลขตัวที่ 2 เป็น 8 (16) SS ให้ดำเนินการดังนี้: ย้ายจากจุดทศนิยมไปทางซ้ายและขวา ให้แบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 (4) หลัก โดยเสริมกลุ่มซ้ายสุดและขวาสุดด้วยศูนย์หากจำเป็น จากนั้นแต่ละกลุ่มจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานแปด (16) ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1: แปลงตัวเลข 110100011110100111,1001101 2 เป็น SS ฐานแปด

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

ตัวอย่างที่ 2: แปลงตัวเลข 110100011110100111.1001101 2 เป็น SS เลขฐานสิบหก

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบตัวเลขตำแหน่งทั้งหมด ตัวเลขจะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับที่คุณทราบดี

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.ลองพิจารณาบวกตัวเลขในระบบเลขฐานสองกัน ขึ้นอยู่กับตารางสำหรับการบวกเลขฐานสองหลักเดียว:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าเมื่อเพิ่มสองหน่วย ตัวเลขจะล้นและถูกโอนไปยังหลักที่สำคัญที่สุด ตัวเลขล้นเกิดขึ้นเมื่อค่าของตัวเลขในนั้นเท่ากับหรือมากกว่าฐาน

การเพิ่มเลขฐานสองแบบหลายบิตเกิดขึ้นตามตารางเพิ่มเติมข้างต้น โดยคำนึงถึงการถ่ายโอนที่เป็นไปได้จากหลักที่มีลำดับต่ำไปยังหลักที่มีลำดับสูง ตามตัวอย่าง เราจะเพิ่มเลขฐานสอง 110 2 และ 11 2 ลงในคอลัมน์:

การลบมาดูการลบเลขฐานสองกัน ขึ้นอยู่กับตารางสำหรับการลบเลขฐานสองหลักเดียว เมื่อลบตัวเลขที่มากกว่า (1) จากตัวเลขที่น้อยกว่า (0) จะมีการกู้ยืมจากตัวเลขสูงสุด ในตาราง เงินกู้ถูกกำหนดเป็น 1 โดยมีบรรทัด:

การคูณการคูณจะขึ้นอยู่กับตารางสูตรคูณสำหรับเลขฐานสองหลักเดียว:

แผนก.การดำเนินการหารจะดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่คล้ายคลึงกับอัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการหารในระบบเลขฐานสิบ ตามตัวอย่าง ลองหารเลขฐานสอง 110 2 ด้วย 11 2:

ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่แสดงอยู่ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน จำเป็นต้องแปลงให้เป็นระบบเดียวกันก่อน

| วิทยาการคอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร | การวางแผนบทเรียนและสื่อการสอน | ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 | การวางแผนบทเรียนสำหรับปีการศึกษา (FSES) | การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่ง

บทที่ 15
§12 การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่ง

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่ง

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่งที่มีฐาน ถามดำเนินการตามกฎที่คล้ายคลึงกับกฎที่ใช้บังคับในระบบเลขฐานสิบ

ในโรงเรียนประถมศึกษา มีการใช้ตารางการบวกและสูตรคูณเพื่อสอนให้เด็กนับ ตารางที่คล้ายกันสามารถรวบรวมสำหรับระบบหมายเลขตำแหน่งใดๆ ได้

12.1. การบวกตัวเลขในระบบตัวเลขที่มีฐาน q

พิจารณาตัวอย่างตารางบวกในระบบเลขฐานสิบหก (ตาราง 3.2) ฐานแปด (ตาราง 3.4) และเลขฐานสิบหก (ตาราง 3.3)

ตารางที่ 3.2

การบวกในระบบเลขไตรภาค

ตารางที่ 3.3

การบวกในระบบเลขฐานสิบหก

ตารางที่ 3.4

การบวกในระบบเลขฐานแปด

ถามรับจำนวนเงิน สตัวเลขสองตัว กและ บีคุณต้องรวมตัวเลขที่ประกอบกันเป็นตัวเลข ฉันจากขวาไปซ้าย:

ถ้า ฉัน + ข ฉัน< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
ถ้า a i + b i ≥ q ดังนั้น s i = a i + b i - q หลักที่สำคัญที่สุด (i + 1) จะเพิ่มขึ้น 1

ตัวอย่าง:

12.2. การลบตัวเลขในระบบเลขฐาน q

ดังนั้นในระบบจำนวนที่มีฐาน ถามได้รับความแตกต่าง รตัวเลขสองตัว กและ ในมีความจำเป็นต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่สร้างเป็นตัวเลข ฉันจากขวาไปซ้าย:

ถ้า a i ≥ b i ดังนั้น r i = a i - b i หลักที่สำคัญที่สุด (i + 1) จะไม่เปลี่ยนแปลง
ถ้าฉัน< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).