วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา วิธีการแทนที่ตัวแปร ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างวิธีการทดแทนอินทิกรัล

2. การแทนที่ตัวแปร (วิธีการทดแทน)

สาระสำคัญของวิธีการทดแทนก็คือว่าอันเป็นผลมาจากการแนะนำตัวแปรใหม่ที่ได้รับ ยากอินทิกรัลจะลดลงเหลือแบบตารางหรือแบบที่ทราบวิธีการคำนวณ

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล มีกฎการทดแทนสองข้อ:

กฎทั่วไปสำหรับการเลือกฟังก์ชั่น
ไม่มี แต่มีฟังก์ชันปริพันธ์หลายประเภทซึ่งมีคำแนะนำในการเลือกฟังก์ชัน
.

การทดแทนตัวแปรสามารถทำได้หลายครั้งจนกว่าจะได้ผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอินทิกรัล:

ก)
- ข)
- วี)
;

ช)
- ง)
- จ)
.

สารละลาย.

ก) ในบรรดาอินทิกรัลของตารางไม่มีอนุมูลที่มีองศาต่างกัน ดังนั้น "ฉันต้องการกำจัด" ก่อนอื่นเลย
และ
- ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเปลี่ยนใหม่ เอ็กซ์การแสดงออกดังกล่าวซึ่งสามารถแยกรากทั้งสองออกได้อย่างง่ายดาย:

b) ตัวอย่างทั่วไปเมื่อมีความปรารถนาที่จะ "กำจัด" ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
- แต่ในกรณีนี้ จะสะดวกกว่าถ้านำนิพจน์ทั้งหมดในตัวส่วนของเศษส่วนมาเป็นตัวแปรใหม่:

;

c) สังเกตว่าตัวเศษประกอบด้วยผลิตภัณฑ์
ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนต่างของนิพจน์ที่รุนแรง ให้แทนที่นิพจน์ทั้งหมดนี้ด้วยตัวแปรใหม่:

;

d) ที่นี่ เช่นเดียวกับในกรณี a) ฉันต้องการกำจัดราก แต่เนื่องจากไม่เหมือนกับจุด a) มีเพียงรากเดียว เราจะแทนที่มันด้วยตัวแปรใหม่:

e) ที่นี่ การเลือกการทดแทนได้รับการอำนวยความสะดวกด้วยสองสถานการณ์: ในด้านหนึ่ง ความปรารถนาโดยสัญชาตญาณที่จะกำจัดลอการิทึม ในทางกลับกัน การปรากฏตัวของการแสดงออก ซึ่งเป็นส่วนต่างของฟังก์ชัน
- แต่เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ควรรวมค่าคงที่ที่มาพร้อมกับลอการิทึมไว้แทนด้วย:

f) ที่นี่ เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ความปรารถนาตามสัญชาตญาณที่จะกำจัดเลขชี้กำลังยุ่งยากในปริพันธ์นั้นสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดี:
(สูตร 8 ของตารางที่ 3) ดังนั้นเราจึงมี:

.

การแทนที่ตัวแปรสำหรับคลาสฟังก์ชันบางคลาส

มาดูคลาสของฟังก์ชันที่อาจแนะนำให้ใช้การแทนที่บางอย่างกัน

ตารางที่ 4.ฟังก์ชันตรรกยะ

ฟังก์ชั่นเหนือธรรมชาติ:

1.5.
– การทดแทน ที = จ x ;

1.6.
– การทดแทน ที= บันทึก ก x.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ:

ก)
- ข)
;

วี)
- ง)
.

สารละลาย.

ก) ไม่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลนี้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ที่นี่จะใช้การทดแทนได้ง่ายกว่าภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล:

b) ในทำนองเดียวกัน เราใช้การย่อยภายใต้เครื่องหมายส่วนต่าง:

;

c) ก่อนที่เราจะเป็นอินทิกรัลประเภท 1.3 ของตารางที่ 4 เราจะใช้คำแนะนำที่เกี่ยวข้อง:

จ) คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอินทิกรัล

ก)
- ข)
.

สารละลาย.

b) จำนวนเต็มมีลอการิทึม ดังนั้นเราจะใช้คำแนะนำ 1.6 เฉพาะในกรณีนี้จะสะดวกกว่าที่จะเปลี่ยนไม่ใช่แค่ฟังก์ชันเท่านั้น
และนิพจน์รากทั้งหมด:

.

ตารางที่ 6. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ร

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอินทิกรัล:

ก)
- ข)
- วี)
- ง)
.

สารละลาย.

ก) ที่นี่เรารวมฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าด้วยกัน ลองใช้การทดแทนสากล (ตารางที่ 6, 3.1):

.

b) ที่นี่เราใช้การทดแทนสากลด้วย:

.

โปรดทราบว่าในอินทิกรัลที่พิจารณาแล้ว การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรจะต้องถูกนำมาใช้สองครั้ง

c) เราคำนวณในทำนองเดียวกัน:

e) ลองพิจารณาสองวิธีในการคำนวณอินทิกรัลนี้

1)

.

อย่างที่คุณเห็น เราได้รับฟังก์ชันดั้งเดิมที่แตกต่างกัน นี่ไม่ได้หมายความว่าหนึ่งในเทคนิคที่ใช้ให้ผลลัพธ์ที่ผิด ความจริงก็คือการใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีซึ่งเชื่อมต่อแทนเจนต์ของครึ่งมุมกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเต็มเรามี

ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟที่พบจึงเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอินทิกรัล:

ก)
- ข)
- วี)
- ช)
.

สารละลาย.

ก) ในอินทิกรัลนี้ เราสามารถใช้การทดแทนสากลได้
แต่เนื่องจากโคไซน์ที่รวมอยู่ในอินทิแกรนด์มีค่ากำลังเท่ากัน จึงมีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้คำแนะนำในย่อหน้าที่ 3.1.3 ของตารางที่ 6:

b) ก่อนอื่น มาลดฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดที่รวมอยู่ในปริพันธ์ให้เหลืออาร์กิวเมนต์เดียว:

ในอินทิกรัลผลลัพธ์ เราสามารถใช้การทดแทนสากลได้ แต่เราสังเกตว่าปริพันธ์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อสัญญาณของไซน์และโคไซน์เปลี่ยนไป:

ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีคุณสมบัติตามที่ระบุไว้ในย่อหน้าที่ 3.1.3 ของตารางที่ 6 ดังนั้นการทดแทนที่สะดวกที่สุดคือ
- เรามี:

c) ถ้าในปริพันธ์ที่กำหนด เครื่องหมายของโคไซน์เปลี่ยนไป ฟังก์ชันทั้งหมดจะเปลี่ยนเครื่องหมาย:

.

ซึ่งหมายความว่า integrand มีคุณสมบัติตามที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 3.1.2 ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะใช้การทดแทน
- แต่ก่อนอื่น อย่างในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราแปลงฟังก์ชันปริพันธ์:

d) ถ้าในปริพันธ์ที่กำหนด เครื่องหมายของไซน์เปลี่ยนไป ฟังก์ชันทั้งหมดจะเปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่าเรามีกรณีที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 3.1.1 ของตารางที่ 6 ดังนั้นตัวแปรใหม่จะต้องถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชัน
- แต่เนื่องจากในปริพันธ์ไม่มีฟังก์ชันอยู่
หรือส่วนต่างของมัน อันดับแรกเราแปลง:

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอินทิกรัล:

ก)
- ข)
;

วี)
ช)
.

สารละลาย.

ก) อินทิกรัลนี้อ้างอิงถึงอินทิกรัลประเภท 3.2 ของตารางที่ 6 เนื่องจากไซน์เป็นกำลังคี่ ตามคำแนะนำ จึงสะดวกในการเปลี่ยนฟังก์ชัน
- แต่ก่อนอื่นเราแปลงฟังก์ชันปริพันธ์:

.

b) อินทิกรัลนี้เป็นประเภทเดียวกับอินทิกรัลก่อนหน้า แต่นี่คือฟังก์ชัน
และ
มีองศาเท่ากัน ดังนั้นคุณต้องใช้สูตรลดองศา:
,
- เราได้รับ:

=

c) แปลงฟังก์ชัน:

d) ตามคำแนะนำ 3.1.3 ของตารางที่ 6 สะดวกในการเปลี่ยนในอินทิกรัลนี้
- เราได้รับ:

ตารางที่ 5.ฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว (ร– ฟังก์ชันเหตุผลของการโต้แย้ง)

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาอินทิกรัล:

ก)
- ข)
- วี)
.

สารละลาย.

ก) อินทิกรัลนี้สามารถจำแนกได้เป็นอินทิกรัลประเภท 2.1 ดังนั้นเรามาทำการทดแทนที่เหมาะสมกันดีกว่า ให้เราระลึกว่าจุดทดแทนในกรณีนี้คือการกำจัดความไร้เหตุผล และนี่หมายความว่านิพจน์รากควรถูกแทนที่ด้วยกำลังของตัวแปรใหม่ ซึ่งรากทั้งหมดที่อยู่ใต้อินทิกรัลจะถูกแยกออกมา ในกรณีของเรามันชัดเจน :

ภายใต้อินทิกรัล เราจะได้เศษส่วนตรรกยะเกิน ประการแรกการรวมเศษส่วนดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการแยกส่วนทั้งหมดออกจากกัน ลองหารตัวเศษด้วยตัวส่วน:

แล้วเราก็ได้
จากที่นี่

วิธีการนี้ใช้สูตรต่อไปนี้: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt โดยที่ x = j(t) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาที่พิจารณา

การพิสูจน์. มาหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร t จากด้านซ้ายและด้านขวาของสูตรกันดีกว่า

โปรดทราบว่าทางด้านซ้ายจะมีฟังก์ชันเชิงซ้อนซึ่งมีอาร์กิวเมนต์ตัวกลางคือ x = j(t) ดังนั้น เพื่อแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ t ก่อนอื่นเราต้องหาอนุพันธ์ของอินทิกรัลเทียบกับ x แล้วหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ t

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

อนุพันธ์จากด้านขวา:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

เนื่องจากอนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของลากรองจ์ ด้านซ้ายและด้านขวาของสูตรที่ได้รับการพิสูจน์จึงแตกต่างกันตามค่าคงที่ที่แน่นอน เนื่องจากอินทิกรัลไม่จำกัดนั้นนิยามไว้เป็นค่าคงที่ไม่แน่นอน ค่าคงที่นี้จึงสามารถละเว้นได้จากสัญกรณ์สุดท้าย พิสูจน์แล้ว

การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่ประสบความสำเร็จทำให้คุณสามารถลดความซับซ้อนของอินทิกรัลดั้งเดิม และในกรณีที่ง่ายที่สุด ลดขนาดให้เป็นอินทิกรัลแบบตาราง ในการประยุกต์ใช้วิธีนี้ จะมีความแตกต่างระหว่างวิธีการทดแทนเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

ก) ให้เราพิจารณาวิธีการทดแทนเชิงเส้นโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1- ให้ t = 1 – 2x แล้ว

dx = d(½ - ½ ตัน) = - ½ dt

ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องเขียนตัวแปรใหม่อย่างชัดเจน ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาพูดถึงการแปลงฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล หรือเกี่ยวกับการแนะนำค่าคงที่และตัวแปรภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล เช่น โอ การแทนที่ตัวแปรโดยนัย.

ตัวอย่างที่ 2ตัวอย่างเช่น ลองหา òcos(3x + 2)dx ตามคุณสมบัติของส่วนต่าง
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2) จากนั้น òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C

ในทั้งสองตัวอย่างที่พิจารณา มีการใช้การทดแทนเชิงเส้น t = kx + b (k ¹ 0) เพื่อค้นหาอินทิกรัล

ในกรณีทั่วไป ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้

ทฤษฎีบทการทดแทนเชิงเส้น- ให้ F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) จากนั้น òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C โดยที่ k และ b เป็นค่าคงที่บางค่า k ¹ 0

การพิสูจน์.

ตามนิยามของอินทิกรัล òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx ให้เรานำตัวประกอบคงที่ k ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C ตอนนี้เราสามารถหารด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันด้วย k และได้ข้อความที่เป็น พิสูจน์ได้ถึงการกำหนดระยะเวลาคงที่

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าหากในคำจำกัดความของอินทิกรัล ò f(x)dx = F(x) + C แทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ x เราแทนที่นิพจน์ (kx + b) สิ่งนี้จะนำไปสู่การปรากฏตัวของเพิ่มเติม ตัวประกอบ 1/k หน้าแอนติเดริเวทีฟ

โดยใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราจะแก้ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3

มาหากันเถอะ ที่นี่ kx + b = 3 – x เช่น k = -1, b = 3 จากนั้น

ตัวอย่างที่ 4

มาหากันเถอะ ที่นี่ kx + b = 4x + 3 เช่น k = 4, b = 3 จากนั้น

ตัวอย่างที่ 5

มาหากันเถอะ ที่นี่ kx + b = -2x + 7 เช่น k = -2, b = 7 จากนั้น

.

ตัวอย่างที่ 6มาหากันเถอะ ที่นี่ kx + b = 2x + 0 เช่น เค = 2, ข = 0

.

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับตัวอย่างที่ 8 ซึ่งแก้ไขโดยวิธีการสลายตัว การแก้ปัญหาเดียวกันโดยใช้วิธีอื่น เราก็ได้คำตอบ - ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์: . ดังนั้นสำนวนเหล่านี้จึงแตกต่างกันด้วยระยะเวลาคงที่เช่น คำตอบที่ได้รับไม่ขัดแย้งกัน

ตัวอย่างที่ 7เราจะพบ - ลองเลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน.

ในบางกรณี การเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้ลดอินทิกรัลให้เป็นค่าแบบตารางโดยตรง แต่สามารถทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ทำให้สามารถใช้วิธีขยายในขั้นตอนต่อไปได้

ตัวอย่างที่ 8ตัวอย่างเช่น ลองหา . เราแทนที่ t = x + 2 จากนั้น dt = d(x + 2) = dx แล้ว

โดยที่ C = C 1 – 6 (เมื่อแทนที่นิพจน์ (x + 2) แทนที่จะเป็น t แทนที่จะเป็นสองเทอมแรก เราจะได้ ½x 2 -2x – 6)

ตัวอย่างที่ 9มาหากันเถอะ ให้ t = 2x + 1 แล้ว dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (เสื้อ – 1)/2.

ลองแทนที่นิพจน์ (2x + 1) ด้วย t เปิดวงเล็บแล้วให้อันที่คล้ายกัน

โปรดทราบว่าในกระบวนการของการแปลง เราย้ายไปยังเทอมคงที่อีกเทอมหนึ่ง เพราะว่า กลุ่มของเงื่อนไขคงที่สามารถละเว้นได้ในระหว่างกระบวนการเปลี่ยนแปลง

b) ให้เราพิจารณาวิธีการทดแทนแบบไม่เชิงเส้นโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1- ให้ เสื้อ = - x 2 . ต่อไป เราสามารถแสดง x ในรูปของ t จากนั้นหานิพจน์สำหรับ dx และนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรไปใช้ในอินทิกรัลที่ต้องการ แต่ในกรณีนี้ การทำสิ่งที่แตกต่างออกไปง่ายกว่า ลองหา dt = d(-x 2) = -2xdx โปรดทราบว่านิพจน์ xdx เป็นตัวประกอบของปริพันธ์ของอินทิกรัลที่ต้องการ ให้เราแสดงมันจากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน xdx = - ½ dt แล้ว

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2มาหากันเถอะ ให้ เสื้อ = 1 - x 2 . แล้ว

ตัวอย่างที่ 3มาหากันเถอะ ให้ ที = . แล้ว

ตัวอย่างที่ 4ในกรณีของการทดแทนแบบไม่เชิงเส้น การใช้การทดแทนตัวแปรโดยนัยก็สะดวกเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น ลองหา . ลองเขียน xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (แทนที่โดยนัยด้วยตัวแปร t = 3 - 2x 2) แล้ว

ตัวอย่างที่ 5เราจะพบ - ที่นี่เรายังแนะนำตัวแปรภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลด้วย: (การแทนที่โดยนัย t = 3 + 5x 3) แล้ว

ตัวอย่างที่ 6มาหากันเถอะ เนื่องจาก,

ตัวอย่างที่ 7มาหากันเถอะ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ลองดูตัวอย่างบางส่วนที่จำเป็นต้องรวมการทดแทนต่างๆ

ตัวอย่างที่ 8เราจะพบ - อนุญาต
t = 2x + 1 จากนั้น x = (t – 1)/2; dx = ½ dt

ตัวอย่างที่ 9เราจะพบ - อนุญาต
t = x - 2 จากนั้น x = t + 2; dx = dt

การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีการทดแทน) เป็นหนึ่งในวิธีการทั่วไปในการค้นหาอินทิกรัล

วัตถุประสงค์ของการแนะนำตัวแปรใหม่คือเพื่อทำให้การรวมง่ายขึ้น ตัวเลือกที่ดีที่สุด— โดยการแทนที่ตัวแปร จะได้อินทิกรัลแบบตารางที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใหม่ จะทราบได้อย่างไรว่าต้องทำการเปลี่ยนทดแทนอะไรบ้าง? ทักษะมาพร้อมกับประสบการณ์ ยิ่งแก้ไขตัวอย่างได้มากเท่าใด ตัวอย่างถัดไปก็จะยิ่งแก้ไขได้เร็วยิ่งขึ้น บน ระยะเริ่มแรกเราใช้เหตุผลดังต่อไปนี้:

นั่นก็คือ หากภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลเราเห็นผลคูณของฟังก์ชัน f(x) และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f '(x) ดังนั้นฟังก์ชันนี้ f(x) จะต้องถือเป็นตัวแปรใหม่ t เนื่องจากส่วนต่าง dt=f '(x )dx มีอยู่แล้ว

มาดูกันว่าวิธีการเปลี่ยนตัวแปรทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

คำนวณอินทิกรัลโดยใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร:

โดยที่ 1/(1+x²) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน arctan x ดังนั้นเราจึงถือว่า arctan x เป็นตัวแปรใหม่ t ต่อไปเราจะใช้:

หลังจากที่เราพบอินทิกรัลของ t แล้ว เราก็ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ:

ถ้าเราหาไซน์เป็น t ก็ต้องมีอนุพันธ์ของมันด้วย โคไซน์ (ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย) แต่ไม่มีโคไซน์ในปริพันธ์ แต่ถ้าเราเอาเลขชี้กำลังเป็น t ทุกอย่างจะออกมาดี:

เพื่อให้ได้ค่า dt ที่ต้องการ ให้เปลี่ยนเครื่องหมายในตัวเศษและหน้าอินทิกรัล:

(ที่นี่ (ln(cosx))’ - . )

การแทนที่พหุนามหรือ. นี่คือพหุนามของดีกรี ตัวอย่างเช่น นิพจน์คือพหุนามของดีกรี

สมมติว่าเรามีตัวอย่าง:

ลองใช้วิธีเปลี่ยนตัวแปรดู คุณคิดว่าควรทำเพื่ออะไร? ขวา, .

สมการจะกลายเป็น:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบย้อนกลับ:

มาแก้สมการแรกกัน:

มาตัดสินใจกัน ที่สองสมการ:

...นี่หมายความว่าอย่างไร? ขวา! ว่าไม่มีทางแก้ไข

ดังนั้นเราจึงได้รับสองคำตอบ - ; -

คุณเข้าใจวิธีการใช้วิธีเปลี่ยนตัวแปรสำหรับพหุนามหรือไม่? ฝึกทำสิ่งนี้ด้วยตัวเอง:

ตัดสินใจแล้ว? ตอนนี้เรามาดูประเด็นหลักกับคุณกันดีกว่า

คุณต้องเอามัน

เราได้รับการแสดงออก:

ในการแก้สมการกำลังสอง เราพบว่ามันมีสองราก: และ

ผลเฉลยของสมการกำลังสองแรกคือตัวเลขและ

การแก้สมการกำลังสองที่สอง - ตัวเลขและ

คำตอบ: ; ; ;

มาสรุปกัน

วิธีการแทนที่ตัวแปรมีประเภทหลักของการแทนที่ตัวแปรในสมการและอสมการ:

1. การทดแทนกำลังเมื่อเราเอาสิ่งที่ไม่รู้มายกให้เป็นกำลัง

2. การแทนที่พหุนาม เมื่อเรารับนิพจน์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ

3. การแทนที่เศษส่วน-ตรรกยะ เมื่อเราหาความสัมพันธ์ใดๆ ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก

สำคัญ คำแนะนำเมื่อแนะนำตัวแปรใหม่:

1. การเปลี่ยนตัวแปรต้องทำทันทีในโอกาสแรก

2. สมการสำหรับตัวแปรใหม่จะต้องได้รับการแก้ไขจนจบและจากนั้นจึงกลับสู่ค่าที่ไม่รู้จักตัวเก่าเท่านั้น

3. เมื่อกลับสู่ตำแหน่งเดิมที่ไม่รู้จัก (และตลอดทั้งวิธีแก้ปัญหา) อย่าลืมตรวจสอบรากของ ODZ

มีการแนะนำตัวแปรใหม่ในลักษณะเดียวกัน ทั้งในสมการและอสมการ

ลองดูปัญหา 3 ข้อ

ตอบปัญหา 3 ข้อ

1. ให้ จากนั้นนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ

เนื่องจากสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ

คำตอบ:

2. อนุญาต จากนั้นนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพราะ...

คำตอบ:

3. เมื่อจัดกลุ่มเราจะได้:

ปล่อยให้นิพจน์อยู่ในรูปแบบ
.

คำตอบ:

การเปลี่ยนตัวแปร ระดับกลาง

การแทนที่ตัวแปร- นี่คือการแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ ซึ่งสมการหรืออสมการมีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า

ฉันจะแสดงรายการประเภททดแทนหลัก

การทดแทนพลังงาน

การทดแทนพลังงาน

ตัวอย่างเช่น การใช้การทดแทน สมการกำลังสองจะลดลงเหลือกำลังสอง:

ในความไม่เท่าเทียมกันทุกอย่างก็คล้ายกัน

ตัวอย่างเช่น เราทำการแทนที่ในอสมการและได้รับอสมการกำลังสอง:

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

สารละลาย:

นี่คือสมการเศษส่วน-ตรรกศาสตร์ (ซ้ำ) แต่การแก้โดยใช้วิธีปกติ (การลดตัวส่วนร่วม) นั้นไม่สะดวก เนื่องจากเราจะได้สมการดีกรี ดังนั้นจึงใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปร

ทุกอย่างจะง่ายขึ้นมากหลังจากเปลี่ยน: . แล้ว:

ตอนนี้เรามาทำกัน การทดแทนแบบย้อนกลับ:

คำตอบ: ; -

การแทนที่พหุนาม

การแทนที่พหุนามหรือ

นี่คือพหุนามของดีกรี เช่น การแสดงออกของแบบฟอร์ม

(ตัวอย่างเช่น นิพจน์เป็นพหุนามของดีกรี กล่าวคือ)

การแทนที่ตรีโกณมิติกำลังสองที่ใช้กันมากที่สุดคือ: หรือ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

และอีกครั้ง มีการใช้การทดแทนตัวแปร

จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:

รากของสมการกำลังสองนี้คือ: และ

เรามีสองกรณี มาทำการทดแทนแบบย้อนกลับสำหรับแต่ละรายการ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนี้ไม่มีราก

รากของสมการนี้คือ: i.

คำตอบ. -

การทดแทนเศษส่วน-ตรรกยะ

การแทนที่เศษส่วน-เหตุผล

และเป็นพหุนามขององศา และ ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการส่วนกลับ นั่นคือ สมการของรูปแบบ

มักจะใช้การทดแทน

ตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่ามันทำงานอย่างไร

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าอะไรไม่ใช่รากของสมการ เพราะท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเราแทนมันเข้าไปในสมการ เราก็จะได้สิ่งที่ขัดแย้งกับเงื่อนไข

ลองแบ่งสมการออกเป็น:

มาจัดกลุ่มใหม่:

ตอนนี้เราทำการทดแทน: .

ข้อดีก็คือเมื่อกำลังสองผลคูณสองเท่าของเทอม x จะลดลง:

มันเป็นไปตามนั้น

กลับไปที่สมการของเรา:

ตอนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้สมการกำลังสองและทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

เมื่อความเท่าเทียมกันไม่คงอยู่ดังนั้น ลองแบ่งสมการออกเป็น:

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

รากของมัน:

มาทำการทดแทนแบบย้อนกลับ:

มาแก้สมการผลลัพธ์กัน:

คำตอบ: ; -

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

สารละลาย:

ด้วยการทดแทนโดยตรง เรามั่นใจว่าไม่รวมอยู่ในคำตอบของอสมการนี้ หารทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วย:

ตอนนี้การแทนที่ตัวแปรนั้นชัดเจน: .

จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะเกิดขึ้น:

เราใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อค้นหา y:

ต่อหน้าทุกคนเพราะว่า

ต่อหน้าทุกคนเพราะว่า

ดังนั้นอสมการจึงเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ต่อหน้าทุกคน เพราะ...

ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันจะเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจึงเทียบเท่ากับผลรวม:

คำตอบ: .

การแทนที่ตัวแปร- หนึ่งในวิธีที่สำคัญที่สุดในการแก้สมการและอสมการ

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่สำคัญสองสามข้อแก่คุณ:

การเปลี่ยนตัวแปร สรุปและสูตรพื้นฐาน

การแทนที่ตัวแปร- วิธีการแก้สมการและอสมการที่ซับซ้อนซึ่งช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของนิพจน์ดั้งเดิมและนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ประเภทของการแทนที่ตัวแปร:

1. การทดแทนพลังงาน:ถูกยกให้เป็นบางอย่างที่ไม่รู้จัก ยกขึ้นเป็นอำนาจ - .
2. การแทนที่เศษส่วน-ตรรกยะ:ถือเป็นความสัมพันธ์ใดๆ ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก - โดยที่ และ เป็นพหุนามขององศา n และ m ตามลำดับ
3. การแทนที่พหุนาม:สำนวนทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้นั้นถือเป็น - หรือพหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน

หลังจากแก้สมการ/อสมการแบบง่ายแล้ว จำเป็นต้องทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

ประเภทของบทเรียน:การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

งานด้านการศึกษา:

• สอนให้นักเรียนใช้วิธีการบูรณาการโดยการทดแทน
• พัฒนาทักษะการใช้ฟังก์ชันบูรณาการอย่างต่อเนื่อง
• พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ต่อไปผ่านการแก้ปัญหา
• ปลูกฝังทัศนคติที่มีสติต่อกระบวนการเรียนรู้ ปลูกฝังความรับผิดชอบต่อคุณภาพของความรู้ ควบคุมตนเองเหนือกระบวนการแก้ไขและออกแบบแบบฝึกหัด
• เตือนว่าเฉพาะการใช้อัลกอริธึมอย่างมีสติในการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่านั้นที่จะช่วยให้นักเรียนเชี่ยวชาญหัวข้อที่กำลังศึกษาในเชิงคุณภาพ

จัดให้มีชั้นเรียน:

• ตารางสูตรอินทิเกรตพื้นฐาน
• การ์ดงานสำหรับงานทดสอบ

นักเรียนจะต้องรู้:อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด โดยใช้วิธีทดแทน

นักเรียนจะต้องสามารถ:นำความรู้ที่ได้รับไปประยุกต์ใช้กับการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด

แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

ครูรายงานว่านอกเหนือจากวิธีการอินทิเกรตโดยตรงแล้ว ยังมีวิธีอื่นในการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งหนึ่งในนั้นคือวิธีการทดแทน นี่เป็นวิธีการรวมที่ใช้กันทั่วไปที่สุด ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยการแปลงอินทิกรัลโดยการย้ายไปยังตัวแปรอินทิกรัลอื่น

ความคืบหน้าของบทเรียน

ฉัน- ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง- ตรวจการบ้าน.

การสำรวจหน้าผาก:

ที่สาม. การทำซ้ำความรู้พื้นฐานของนักเรียน

1) ทำซ้ำตารางสูตรการรวมพื้นฐาน

2) ทำซ้ำว่าวิธีการรวมโดยตรงคืออะไร

อินทิกรัลโดยตรงเป็นวิธีการอินทิเกรตโดยที่อินทิกรัลที่กำหนดลดลงเหลืออินทิกรัลตารางตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปโดยการแปลงอินทิแกรนด์ที่เหมือนกันและการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด

IV- การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ไม่สามารถคำนวณอินทิกรัลที่กำหนดโดยการอินทิเกรตโดยตรงได้เสมอไป และบางครั้งสิ่งนี้อาจเกี่ยวข้องกับความยากลำบากอย่างมาก ในกรณีเหล่านี้ จะใช้เทคนิคอื่นๆ หนึ่งในเทคนิคที่มีประสิทธิผลมากที่สุดคือวิธีการทดแทนหรือการแทนที่ตัวแปรอินทิเกรต สาระสำคัญของวิธีนี้ก็คือ ด้วยการแนะนำตัวแปรอินทิกรัลใหม่ คุณสามารถลดอินทิกรัลที่กำหนดให้เป็นอินทิกรัลใหม่ได้ ซึ่งค่อนข้างง่ายที่จะนำไปใช้โดยตรง หากหลังจากเปลี่ยนตัวแปร อินทิกรัลกลายเป็นเรื่องง่ายขึ้น แสดงว่าการทดแทนบรรลุวัตถุประสงค์แล้ว การอินทิเกรตโดยวิธีทดแทนจะขึ้นอยู่กับสูตร

ลองพิจารณาวิธีนี้

อัลกอริธึมการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดโดยวิธีการทดแทน:

1. พิจารณาว่าอินทิกรัลของตารางใดที่จะลดขนาดลงเหลือ (หลังจากเปลี่ยนรูปปริพันธ์ในครั้งแรก หากจำเป็น)
2. พิจารณาว่าส่วนใดของปริพันธ์ที่จะแทนที่ด้วยตัวแปรใหม่ และจดบันทึกการแทนที่นี้
3. ค้นหาส่วนต่างของทั้งสองส่วนของบันทึกและแสดงส่วนต่างของตัวแปรเก่า (หรือนิพจน์ที่มีส่วนต่างนี้) ในรูปของส่วนต่างของตัวแปรใหม่
4. ทำการทดแทนภายใต้อินทิกรัล
5. ค้นหาอินทิกรัลผลลัพธ์
6. เป็นผลให้มีการทดแทนแบบย้อนกลับเช่น ไปที่ตัวแปรเก่า การตรวจสอบผลลัพธ์โดยการแยกความแตกต่างจะเป็นประโยชน์

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.ค้นหาอินทิกรัล:

1) )4

เรามาแนะนำการทดแทนกัน:

เพื่อสร้างความแตกต่างให้กับความเท่าเทียมกันนี้ เรามี:

วี- การประยุกต์ใช้ความรู้เมื่อแก้ตัวอย่างทั่วไป

วี- การประยุกต์ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถอย่างอิสระ

ตัวเลือกที่ 1

ค้นหาอินทิกรัล:

ตัวเลือกที่ 2

ค้นหาอินทิกรัล:

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว- สรุปบทเรียน.

8- การบ้าน:

จี.เอ็น. Yakovlev ตอนที่ 1, §13.2, ย่อหน้าที่ 2, หมายเลข 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)