พิกัดโค้ง แนวคิดทั่วไปของพิกัด ความยาวและมุม

บนเครื่องบิน

คุณสมบัติเฉพาะของพิกัดเส้นโค้ง

เมื่อพิจารณาพิกัดเส้นโค้งในส่วนนี้ เราจะถือว่าเรากำลังพิจารณาปริภูมิสามมิติ (n = 3) ซึ่งมีพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, z กรณีของมิติอื่นจะแตกต่างกันเพียงจำนวนพิกัดเท่านั้น

ในกรณีของปริภูมิแบบยุคลิด เมตริกเทนเซอร์หรือที่เรียกว่ากำลังสองของส่วนโค้งจะอยู่ในพิกัดเหล่านี้จะมีรูปแบบที่สอดคล้องกับเมทริกซ์เอกลักษณ์:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2$

กรณีทั่วไป

อนุญาต $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- พิกัดเส้นโค้งบางตัวซึ่งเราจะพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นของ x, y, z ให้มีฟังก์ชัน 3 ประการ $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ทำหน้าที่เป็นพิกัดในพื้นที่บางพื้นที่ จำเป็นต้องมีการแมปผกผัน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(เมทริกซ์)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(เมทริกซ์)\backslash right$

ที่ไหน $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash วาร์ฟี\_3$- ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในบางโดเมนของชุด $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$พิกัด

พื้นฐานท้องถิ่นและการวิเคราะห์เทนเซอร์

ในแคลคูลัสเทนเซอร์ เราสามารถแนะนำเวกเตอร์พื้นฐานเฉพาะที่: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, ที่ไหน $\backslash คณิตศาสตร์\; e\_i$- เวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $คิว^i\_j$- จาโคบีเมทริกซ์ $เอ็กซ์^ฉัน$พิกัดในระบบคาร์ทีเซียน $ใช่\; ^\; ฉัน$- ป้อนพิกัดโค้ง
ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเห็นว่าพิกัดเส้นโค้งโดยทั่วไปเปลี่ยนแปลงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง
ให้เราระบุสูตรสำหรับการเชื่อมต่อระหว่างพิกัดเส้นโค้งและพิกัดคาร์ทีเซียน:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ที่ไหน $ป^เจ\_ไอ\; คิว^ไอ\_เจ=อี$โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
ผลคูณของเวกเตอร์พื้นฐานท้องถิ่นสองตัวสร้างเมทริกซ์เมตริก:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, ที่ไหน $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$สัญลักษณ์ที่ขัดแย้งกัน ตัวแปรร่วมและโครเนกเกอร์แบบผสม
ดังนั้นสนามเทนเซอร์ใดๆ $\backslash คณิตศาสตร์\; ต$อันดับ n สามารถขยายเป็นพื้นฐาน polyadic ท้องถิ่นได้:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
ตัวอย่างเช่น ในกรณีของฟิลด์เทนเซอร์อันดับหนึ่ง (เวกเตอร์):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

พิกัดโค้งตั้งฉาก

ในปริภูมิแบบยุคลิด การใช้พิกัดโค้งตั้งฉากมีความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากสูตรที่เกี่ยวข้องกับความยาวและมุมจะดูง่ายกว่าในพิกัดตั้งฉากมากกว่าในกรณีทั่วไป นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมทริกซ์เมตริกในระบบที่มีพื้นฐานออร์โธนอร์มอลจะเป็นแนวทแยงซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก
ตัวอย่างของระบบดังกล่าวคือระบบทรงกลมค่ะ $\backslash mathbb(R)^2$

สัมประสิทธิ์ลาเม่

ให้เราเขียนส่วนต่างของส่วนโค้งในพิกัดเส้นโค้งในรูปแบบ (เราใช้กฎการรวมของไอน์สไตน์):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash บางส่วน\; \backslash varphi\_1)(\backslash บางส่วน\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\บางส่วน \varphi_2)(\บางส่วน q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\บางส่วน \varphi_3)(\บางส่วน q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~ i=1,2,3

โดยคำนึงถึงความตั้งฉากของระบบพิกัด ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ที่ $ฉัน\; \backslash ne\; เจ$) นิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่เป็น

$ดีเอส^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; ซ้าย(\backslash frac(\backslash บางส่วน\; \backslash varphi\_3)(\backslash บางส่วน\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

ปริมาณที่เป็นบวก $สวัสดี\backslash$ขึ้นอยู่กับจุดในอวกาศ เรียกว่าสัมประสิทธิ์ลาเมหรือตัวประกอบมาตราส่วน ค่าสัมประสิทธิ์ลาเมแสดงจำนวนหน่วยความยาวที่มีอยู่ในหน่วยพิกัดของจุดที่กำหนด และใช้ในการแปลงเวกเตอร์เมื่อย้ายจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

เทนเซอร์เมตริกรีมันน์ที่เขียนด้วยพิกัด $(ฉ\_ฉัน)$เป็นเมทริกซ์แนวทแยง บนเส้นทแยงมุมซึ่งเป็นกำลังสองของสัมประสิทธิ์ลาเม:

ตัวอย่าง

พิกัดเชิงขั้ว ( n=2)

พิกัดเชิงขั้วบนระนาบประกอบด้วยระยะทาง r ถึงขั้ว (จุดกำเนิด) และทิศทาง (มุม) φ

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วกับพิกัดคาร์ทีเซียน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matrix)\backslash right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ลาเม่:

$\backslash begin(เมทริกซ์)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash วาร์ฟี\; =\; ร.\; \backslash end(เมทริกซ์)$

ส่วนต่างส่วนโค้ง:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2$

ที่จุดเริ่มต้น ฟังก์ชัน φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ หากพิกัด φ ถือว่าไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นมุม (จุดบนวงกลมหน่วย) พิกัดเชิงขั้วจะสร้างระบบพิกัดในพื้นที่ที่ได้รับจากระนาบทั้งหมดโดยการลบจุดเริ่มต้นออก หากเรายังถือว่า φ เป็นตัวเลข ในพื้นที่ที่กำหนด มันจะมีหลายค่า และการสร้างระบบพิกัดทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดนั้นเป็นไปได้เฉพาะในพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายซึ่งไม่รวมที่มาของพิกัดเป็นต้น บนเครื่องบินที่ไม่มีรังสี

พิกัดทรงกระบอก ( n=3)

พิกัดทรงกระบอกเป็นลักษณะทั่วไปเล็กน้อยของพิกัดเชิงขั้วในกรณีนี้ พื้นที่สามมิติโดยการเพิ่มพิกัด z ตัวที่สาม ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดทรงกระบอกกับพิกัดคาร์ทีเซียน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(เมทริกซ์)\backslash right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ลาเม่:

$\backslash begin(เมทริกซ์)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash วาร์ฟี\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1\; \backslash end(เมทริกซ์)$

ส่วนต่างส่วนโค้ง:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2$

พิกัดทรงกลม ( n=3)

พิกัดทรงกลมสัมพันธ์กับพิกัดละติจูดและลองจิจูดบนหน่วยทรงกลม ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดทรงกลมกับพิกัดคาร์ทีเซียน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(เมทริกซ์)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(เมทริกซ์)\backslash right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ลาเม่:

$\backslash begin(เมทริกซ์)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash ทีต้า\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash ทีต้า)\; \backslash end(เมทริกซ์)$

ส่วนต่างส่วนโค้ง:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2$

พิกัดทรงกลม เช่น ทรงกระบอก จะไม่ทำงานบนแกน z ( x =0, y =0) เนื่องจากไม่ได้กำหนดพิกัด φ ไว้ตรงนั้น

พิกัดแปลกๆ ต่างๆ บนเครื่องบิน ( n=2) และลักษณะทั่วไป

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "ระบบพิกัด Curvilinear"

วรรณกรรม

• กร จี., กร ต.คู่มือคณิตศาสตร์ (สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร) - อ.: Nauka, 2517. - 832 น.

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะระบบพิกัดโค้ง

สภาทหารซึ่งเจ้าชาย Andrei ไม่สามารถแสดงความคิดเห็นได้อย่างที่เขาหวังไว้ได้ทิ้งความประทับใจที่คลุมเครือและน่าตกใจไว้ให้กับเขา เขาไม่รู้ว่าใครพูดถูก: Dolgorukov และ Weyrother หรือ Kutuzov และ Langeron และคนอื่น ๆ ที่ไม่เห็นด้วยกับแผนการโจมตี “ แต่มันเป็นไปไม่ได้จริงๆ หรือที่ Kutuzov จะแสดงความคิดของเขาต่ออธิปไตยโดยตรง? สิ่งนี้ไม่สามารถทำแตกต่างออกไปได้จริงหรือ? จำเป็นจริงๆหรือที่จะต้องเสี่ยงชีวิตนับหมื่นและของฉันเพื่อประโยชน์ของศาลและการพิจารณาส่วนตัว” เขาคิด
“ใช่ มันเป็นไปได้มากที่พวกเขาจะฆ่าคุณพรุ่งนี้” เขาคิด และทันใดนั้น เมื่อนึกถึงความตาย ความทรงจำทั้งชุดที่ห่างไกลและใกล้ชิดที่สุดก็เกิดขึ้นในจินตนาการของเขา เขาจำคำอำลาครั้งสุดท้ายกับพ่อและภรรยาได้ เขาจำครั้งแรกที่รักเธอได้! เขาจำการตั้งครรภ์ของเธอได้ และรู้สึกเสียใจกับทั้งเธอและตัวเขาเอง และด้วยอาการประหม่าและตื่นเต้น เขาจึงออกจากกระท่อมที่เขายืนอยู่กับเนสวิตสกี และเริ่มเดินไปหน้าบ้าน
กลางคืนมีหมอกหนา และแสงจันทร์ก็ทะลุผ่านหมอกอย่างลึกลับ “ใช่ พรุ่งนี้ พรุ่งนี้! - เขาคิด “พรุ่งนี้ บางที ทุกอย่างจะจบลงสำหรับฉัน ความทรงจำทั้งหมดเหล่านี้จะไม่มีอีกต่อไป ความทรงจำทั้งหมดเหล่านี้จะไม่มีความหมายสำหรับฉันอีกต่อไป” พรุ่งนี้ บางที แม้กระทั่งพรุ่งนี้ ฉันคาดการณ์ไว้ เป็นครั้งแรกที่ฉันจะต้องแสดงทุกสิ่งที่ฉันสามารถทำได้ในที่สุด” และเขาจินตนาการถึงการต่อสู้ การพ่ายแพ้ ความเข้มข้นของการรบในจุดเดียว และความสับสนของผู้บังคับบัญชาทั้งหมด และบัดนี้ช่วงเวลาแห่งความสุขนั้น ตูลงที่เขารอคอยมานานก็ปรากฏแก่เขาในที่สุด เขาพูดความคิดเห็นของเขากับ Kutuzov, Weyrother และจักรพรรดิอย่างมั่นคงและชัดเจน ทุกคนประหลาดใจกับความถูกต้องของความคิดของเขา แต่ไม่มีใครกล้าดำเนินการ ดังนั้นเขาจึงจัดกองทหาร กองทหาร ประกาศเงื่อนไขเพื่อไม่ให้ใครเข้ามายุ่งเกี่ยวกับคำสั่งของเขา และนำกองของเขาไปสู่จุดแตกหัก และคนเดียวก็ชนะ ความตายและความทุกข์ทรมานล่ะ? พูดอีกเสียงหนึ่ง แต่เจ้าชายอังเดรไม่ตอบเสียงนี้และสานต่อความสำเร็จของเขาต่อไป การจัดท่ารบครั้งต่อไปจะกระทำโดยเขาเพียงผู้เดียว เขาดำรงตำแหน่งเจ้าหน้าที่กองทัพภายใต้ Kutuzov แต่เขาทำทุกอย่างเพียงลำพัง การต่อสู้ครั้งต่อไปชนะโดยเขาคนเดียว คูทูซอฟถูกแทนที่ เขาได้รับการแต่งตั้ง... แล้วไงล่ะ? อีกเสียงหนึ่งพูดอีกครั้ง แล้วถ้าคุณไม่ได้รับบาดเจ็บ ถูกฆ่า หรือถูกหลอกสิบครั้งก่อน แล้วไงล่ะ? “ เอาล่ะ” เจ้าชายอังเดรตอบตัวเอง“ ฉันไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นต่อไปฉันไม่ต้องการและไม่รู้ แต่ถ้าฉันต้องการสิ่งนี้ฉันต้องการชื่อเสียงฉันอยากเป็น คนที่มีชื่อเสียงฉันต้องการได้รับความรักจากพวกเขา ไม่ใช่ความผิดของฉันที่ฉันต้องการสิ่งนี้ ฉันต้องการสิ่งนี้เพียงลำพัง เพื่อสิ่งนี้ ฉันมีชีวิตอยู่เพียงลำพัง ใช่แล้ว เพื่อสิ่งนี้เท่านั้น! ฉันจะไม่บอกเรื่องนี้กับใคร แต่โอ้พระเจ้า! ฉันควรทำอย่างไรหากฉันรักแต่ความรุ่งโรจน์ ความรักของมนุษย์? ความตาย บาดแผล การสูญเสียครอบครัว ไม่มีอะไรทำให้ฉันกลัว และไม่ว่าฉันจะมีคนที่รักหรือรักมากมายแค่ไหน - พ่อ, น้องสาว, ภรรยาของฉัน - คนที่รักที่สุดสำหรับฉัน - แต่ไม่ว่ามันจะดูน่ากลัวและผิดธรรมชาติแค่ไหน ฉันจะมอบพวกเขาทั้งหมดตอนนี้เพื่อช่วงเวลาแห่งความรุ่งโรจน์ ชัยชนะเหนือผู้คนเพื่อความรักต่อตนเองคนที่ฉันไม่รู้จักและจะไม่รู้จักเพื่อความรักของคนเหล่านี้” เขาคิดขณะฟังการสนทนาในบ้านของ Kutuzov ในบ้านของ Kutuzov ได้ยินเสียงของระเบียบ; เสียงหนึ่งอาจเป็นคนขับรถม้าล้อเลียนแม่ครัว Kutuzovsky เก่าซึ่งเจ้าชาย Andrei รู้จักและชื่อ Titus กล่าวว่า: "Titus แล้ว Titus ล่ะ?"
“อืม” ชายชราตอบ
“ไททัส ไปนวดข้าวเลย” โจ๊กเกอร์พูด
“ฮึ ให้ตายเถอะ” เสียงหนึ่งดังขึ้น ปกคลุมไปด้วยเสียงหัวเราะของผู้เป็นระเบียบและคนรับใช้
“แต่ถึงกระนั้นฉันก็รักและเห็นคุณค่าของชัยชนะเหนือสิ่งเหล่านั้นทั้งหมด ฉันชื่นชมพลังลึกลับและรัศมีภาพที่ลอยอยู่เหนือฉันที่นี่ในสายหมอก!”

คืนนั้น Rostov อยู่กับหมวดในห่วงโซ่แฟลนเกอร์ ก่อนที่ Bagration จะปลดประจำการ เสือของเขากระจัดกระจายเป็นคู่ ๆ ตัวเขาเองขี่ม้าไปตามโซ่นี้ พยายามเอาชนะการนอนหลับที่ครอบงำเขาอย่างไม่อาจต้านทานได้ ข้างหลังเขาเขาสามารถมองเห็นไฟของกองทัพเราที่ลุกเป็นไฟสลัวๆ ท่ามกลางหมอก เบื้องหน้าเขาคือความมืดมิดที่เต็มไปด้วยหมอก ไม่ว่า Rostov จะมองไปไกลแค่ไหนในหมอกหนานี้ เขาก็ไม่เห็นอะไรเลย บางครั้งมันก็กลายเป็นสีเทา บางครั้งบางอย่างก็ดูเป็นสีดำ ทันใดนั้นแสงก็ดูเหมือนจะแวบวาบในที่ที่ศัตรูควรอยู่ แล้วเขาก็คิดว่ามันส่องแสงอยู่ในดวงตาของเขาเท่านั้น เขาหลับตาและในจินตนาการของเขาเขาจินตนาการถึงอธิปไตยก่อนจากนั้นเดนิซอฟจากนั้นก็ความทรงจำของมอสโกและอีกครั้งที่เขาลืมตาขึ้นอย่างเร่งรีบและปิดต่อหน้าเขาเขาเห็นหัวและหูของม้าที่เขานั่งอยู่ในบางครั้ง ร่างสีดำของเสือเห็นกลางเมื่อเขาอยู่ห่างออกไปหกก้าวฉันก็วิ่งเข้าไปหาพวกเขาและในระยะไกลก็ยังมีหมอกหนาทึบเหมือนเดิม "ทำไม? เป็นไปได้มากที่ Rostov คิดว่าอธิปไตยเมื่อพบฉันจะออกคำสั่งเหมือนเจ้าหน้าที่คนอื่น ๆ เขาจะพูดว่า: "ไปค้นหาว่ามีอะไรอยู่ที่นั่น" หลายคนบอกว่าเขาจำเจ้าหน้าที่บางคนได้โดยบังเอิญและพาเขาเข้ามาใกล้เขามากขึ้น ถ้าเขาพาฉันเข้าใกล้เขาล่ะ! โอ้ฉันจะปกป้องเขาได้อย่างไรฉันจะบอกความจริงทั้งหมดแก่เขาได้อย่างไรฉันจะเปิดเผยผู้หลอกลวงของเขาได้อย่างไร” และ Rostov เพื่อจินตนาการถึงความรักและความทุ่มเทของเขาที่มีต่ออธิปไตยอย่างชัดเจนจินตนาการถึงศัตรูหรือผู้หลอกลวงของชาวเยอรมันซึ่ง เขามีความสุขที่ไม่เพียงแต่ถูกฆ่าเท่านั้น แต่ยังตีเขาที่แก้มในสายตาของอธิปไตยด้วย ทันใดนั้น Rostov ก็ได้ยินเสียงร้องอันห่างไกลปลุกให้ตื่น เขาตัวสั่นและลืมตาขึ้น
“ฉันอยู่ที่ไหน? ใช่ ในห่วงโซ่: สโลแกนและรหัสผ่าน – แถบเลื่อน, Olmütz น่าเสียดายจริงๆ ที่ฝูงบินของเราจะอยู่ในกองหนุนพรุ่งนี้... - เขาคิด - ฉันจะขอให้คุณมีส่วนร่วม นี่อาจเป็นโอกาสเดียวที่จะได้เห็นอธิปไตย ใช่ อีกไม่นานก็จะถึงกะ ฉันจะกลับไปอีกครั้งและเมื่อฉันกลับมาฉันจะไปหานายพลและถามเขา” เขาปรับตัวเข้ากับอานและขยับม้าเพื่อขี่เสือกลางอีกครั้ง สำหรับเขาดูเหมือนว่ามันจะสว่างกว่า ด้านซ้ายมองเห็นทางลาดที่มีแสงสว่างนวลๆ และฝั่งตรงข้ามเป็นเนินเขาสีดำที่ดูชันคล้ายกำแพง บนเนินเขานี้มีจุดสีขาวที่ Rostov ไม่เข้าใจ: มันเป็นพื้นที่โล่งในป่าที่ส่องสว่างด้วยดวงจันทร์หรือหิมะที่เหลืออยู่หรือบ้านสีขาว? สำหรับเขาดูเหมือนว่ามีบางอย่างเคลื่อนไหวไปตามจุดสีขาวนี้ “หิมะจะต้องเป็นจุด จุด - ไม่เจ็บเลย” Rostov คิด “เอาล่ะ…”

จนถึงขณะนี้ต้องการทราบตำแหน่งของจุดบนเครื่องบินหรือในอวกาศเราใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ตัวอย่างเช่น เรากำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศโดยใช้พิกัดสามพิกัด พิกัดเหล่านี้คือแอบซิสซา กำหนดและประยุกต์จุดตัวแปรในอวกาศ อย่างไรก็ตาม เป็นที่แน่ชัดว่าการระบุจุดแอบซิสซา การกำหนดและการประยุกต์จุดไม่ใช่วิธีเดียวที่จะกำหนดตำแหน่งของจุดในปริภูมิ ซึ่งสามารถทำได้ด้วยวิธีอื่น เช่น การใช้พิกัดเส้นโค้ง

อนุญาตตามกฎที่กำหนดไว้อย่างดีแต่ละจุด มช่องว่างสอดคล้องกับตัวเลขสามตัวโดยเฉพาะ ( ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3) และจำนวนแฝดที่ต่างกันจะสอดคล้องกับจุดที่ต่างกัน จากนั้นพวกเขาบอกว่ามีการกำหนดระบบพิกัดในอวกาศ ตัวเลข ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3 ที่ตรงกับประเด็น มเรียกว่าพิกัด (หรือ พิกัดเส้นโค้ง) จุดนี้

ขึ้นอยู่กับกฎเกณฑ์ว่าเลขสามตัว ( ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3) มีการติดต่อกับจุดในอวกาศโดยพูดถึงระบบพิกัดอย่างใดอย่างหนึ่ง

หากพวกเขาต้องการทราบว่าในระบบพิกัดที่กำหนด ตำแหน่งของจุด M จะถูกกำหนดโดยตัวเลข ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3 จึงเขียนได้ดังนี้ ม(ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3).

ตัวอย่าง 1. ให้ทำเครื่องหมายจุดคงที่ไว้ในช่องว่าง เกี่ยวกับ(ที่มาของพิกัด) และแกนตั้งฉากกันสามแกนที่มีขนาดที่เลือกไว้จะถูกดึงผ่านแกนนั้น (ขวาน โอ้, โอ้, ออนซ์- เลขสามตัว x, ย, zมาจับคู่ประเด็นกัน มเช่นนั้นการฉายภาพเวกเตอร์รัศมีของมัน โอมบนแกน โอ้, โอ้, ออนซ์จะเท่ากันตามลำดับ x, ย, z- วิธีการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างแฝดสามของตัวเลขนี้ ( x, ย, z) และจุด มนำเราไปสู่ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่รู้จักกันดี

เห็นได้ง่ายว่าในกรณีของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ไม่เพียงแต่ตัวเลขสามเท่าแต่ละตัวจะสอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศเท่านั้น แต่ในทางกลับกัน แต่ละจุดในอวกาศจะสอดคล้องกับพิกัดสามจุดที่แน่นอนด้วย

ตัวอย่าง 2. ให้วาดแกนพิกัดอีกครั้งในอวกาศ โอ้, โอ้, ออนซ์ผ่านจุดคงที่ เกี่ยวกับ(ต้นทาง).

พิจารณาตัวเลขสามตัว ร, เจ, z, ที่ไหน ร³0; 0 ปอนด์ เจ 2 ปอนด์ พี, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку เอ็มเพื่อให้แอปพลิเคชันมีค่าเท่ากับ zและการฉายภาพลงบนเครื่องบิน อ็อกซี่มีพิกัดเชิงขั้ว รและ เจ(ดูรูปที่ 4.1) เห็นได้ชัดว่าที่นี่มีตัวเลขสามตัวแต่ละตัว ร, เจ, zสอดคล้องกับจุดหนึ่ง มและกลับมายังแต่ละจุด มตรงกับตัวเลขสามเท่าตัวหนึ่ง ร, เจ, z- ข้อยกเว้นคือจุดที่วางอยู่บนแกน ออนซ์: ในกรณีนี้ รและ zถูกกำหนดไว้ไม่ซ้ำกันและมุม เจสามารถกำหนดความหมายใด ๆ ได้ ตัวเลข ร, เจ, zเรียกว่าพิกัดทรงกระบอกของจุด ม.

ง่ายต่อการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดทรงกระบอกและพิกัดคาร์ทีเซียน:

x = ร×คอส เจ; ย = ร×บาป เจ; z = z.

และกลับมา; - z = z.

ตัวอย่าง 3. เรามาแนะนำระบบพิกัดทรงกลมกันดีกว่า มาตั้งตัวเลขสามตัวกัน ร, ถาม, เจการกำหนดลักษณะของจุด มในอวกาศ ดังนี้ ร– ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด ม(ความยาวของเวกเตอร์รัศมี) ถาม ออนซ์และเวกเตอร์รัศมี โอม(ละติจูดของจุด ม) เจ– มุมระหว่างทิศทางบวกของแกน โอ้และการฉายภาพเวกเตอร์รัศมีลงบนระนาบ อ็อกซี่(ลองจิจูดของจุด ม- (ดูรูปที่ 4.2)

ชัดเจนว่าในกรณีนี้ไม่ใช่แค่แต่ละประเด็นเท่านั้น มตรงกับตัวเลขสามเท่าตัวหนึ่ง ร, ถาม, เจ, ที่ไหน ร³0.0฿ ถาม £ พี, 0£ เจ 2 ปอนด์ พีแต่ในทางกลับกัน ตัวเลขสามเท่าแต่ละตัวนั้นสอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ (ยกเว้นจุดของแกนอีกครั้ง ออนซ์ซึ่งเอกลักษณ์นี้ถูกละเมิด)

ง่ายต่อการค้นหาการเชื่อมโยงระหว่างพิกัดทรงกลมและพิกัดคาร์ทีเซียน:

x = รบาป ถามเพราะ เจ; ย = รบาป ถามบาป เจ; z = รเพราะ ถาม.

กลับไปที่ระบบพิกัดตามอำเภอใจ ( อค 1 , อค 2 , อค 3). เราจะถือว่าไม่เพียงแต่แต่ละจุดในอวกาศเท่านั้นที่สอดคล้องกับตัวเลขสามตัวที่แน่นอน ( ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3) แต่ในทางกลับกัน ตัวเลขสามตัวแต่ละตัวจะสอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งในปริภูมิ ให้เราแนะนำแนวคิดของพื้นผิวพิกัดและเส้นพิกัด

คำนิยาม- เซตของจุดเหล่านั้นซึ่งเป็นพิกัด ถาม 1 เป็นค่าคงที่ เรียกว่า พื้นผิวพิกัด ถาม 1. พื้นผิวพิกัดถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ถาม 2 และ ถาม 3 (ดูรูปที่ 4.3)

แน่นอนว่าถ้าจุด M มีพิกัด กับ 1 , กับ 2 , กับ 3 จากนั้น ณ จุดนี้ พื้นผิวพิกัดจะตัดกัน ถาม 1 =ค 1 ; ถาม 2 =ค 2 ; ถาม 3 =ค 3 .

คำนิยาม- เซตของจุดเหล่านั้นซึ่งมีเพียงพิกัดเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ถาม 1 (และอีก 2 พิกัดที่เหลือ ถาม 2 และ ถาม 3 คงเดิม) เรียกว่าเส้นพิกัด ถาม 1 .

แน่นอนทุกเส้นพิกัด ถาม 1 คือเส้นตัดของระนาบพิกัด ถาม 2 และ ถาม 3 .

เส้นพิกัดถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ถาม 2 และ ถาม 3 .

ตัวอย่าง 1. พิกัดพื้นผิว (ตามพิกัด x) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนล้วนเป็นระนาบทั้งหมด x= ค่าคงที่ (ขนานกับระนาบ ออยซ์- พื้นผิวพิกัดถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันโดยพิกัด ยและ z.

ประสานงาน xเส้นตรงเป็นเส้นตรงขนานกับแกน โอ้- ประสานงาน ย-เส้น ( z-เส้น) – เส้นตรงขนานกับแกน โอ้(ขวาน ออนซ์).

ตัวอย่าง 2. พื้นผิวพิกัดในระบบทรงกระบอกได้แก่ ระนาบใดๆ ที่ขนานกับระนาบ อ็อกซี่(พิกัดพื้นผิว z= const) พื้นผิวของทรงกระบอกกลมซึ่งมีแกนกำกับตามแนวแกน ออนซ์(พิกัดพื้นผิว ร= const) และระนาบครึ่งที่ถูกจำกัดด้วยแกน ออนซ์(พิกัดพื้นผิว เจ= const) (ดูรูปที่ 4.4)

ชื่อระบบพิกัดทรงกระบอกนั้นอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในบรรดาพื้นผิวพิกัดนั้นมีพื้นผิวทรงกระบอก

เส้นพิกัดในระบบนี้คือ zเส้นตรง - เส้นตรงขนานกับแกน ออนซ์; เจเส้น - วงกลมที่วางอยู่ในระนาบแนวนอนโดยมีศูนย์กลางอยู่บนแกน ออนซ์- และ รเส้น - รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดใดก็ได้บนแกน ออนซ์ขนานกับระนาบ อ็อกซี่.

ข้าว. 4.5

เนื่องจากมีทรงกลมอยู่บนพื้นผิวพิกัด ระบบพิกัดนี้จึงเรียกว่าทรงกลม

เส้นพิกัดที่นี่คือ: ร-line – รังสีที่โผล่ออกมาจากจุดกำเนิด ถามเส้น - ครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้น เชื่อมต่อจุดสองจุดบนแกน ออนซ์; เจเส้น - วงกลมที่วางอยู่ในระนาบแนวนอนโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่แกน ออนซ์.

ในตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้น เส้นพิกัดที่ผ่านจุดใดๆ ม, ตั้งฉากกัน สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นในทุกระบบพิกัด อย่างไรก็ตาม เราจะจำกัดตัวเองให้ศึกษาเฉพาะระบบพิกัดที่เกิดขึ้นเท่านั้น ระบบพิกัดดังกล่าวเรียกว่าตั้งฉาก

คำนิยาม- ระบบพิกัด ( อค 1 , อค 2 , อค 3) เรียกว่า มุมตั้งฉาก ถ้าอยู่ที่แต่ละจุด มเส้นพิกัดที่ผ่านจุดนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก

ตอนนี้ให้เราพิจารณาบางประเด็น มและวาดเวกเตอร์หน่วยโดยแตะเส้นพิกัดที่สอดคล้องกัน ณ จุดนี้และมุ่งไปสู่การเพิ่มพิกัดที่สอดคล้องกัน หากเวกเตอร์เหล่านี้ประกอบกันเป็นสามเท่าของมือขวาในแต่ละจุด เราจะได้ระบบพิกัดสำหรับมือขวา ตัวอย่างเช่น ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน x, ย, z(ด้วยการจัดเรียงแกนตามปกติ) ถูกต้อง ยังมีระบบพิกัดทรงกระบอกทางขวาอีกด้วย ร, เจ, z(แต่แม่นยำด้วยลำดับพิกัดนี้ หากคุณเปลี่ยนลำดับพิกัด เช่น ร, z, เจเราจะไม่ได้รับระบบที่ถูกต้องอีกต่อไป)

ระบบพิกัดทรงกลมก็ถนัดขวาเช่นกัน (หากคุณตั้งค่าลำดับนี้ ร, ถาม, เจ).

โปรดทราบว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ทิศทางของเวกเตอร์หน่วยไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดที่ มเราทำเวกเตอร์นี้ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ เราสังเกตเห็นบางสิ่งที่แตกต่างออกไปในระบบพิกัดโค้ง: ตัวอย่างเช่น ในระบบพิกัดทรงกระบอก เวกเตอร์ที่จุด มและอีกจุดหนึ่ง ม 1 ไม่จำเป็นต้องขนานกันอีกต่อไป เช่นเดียวกับเวกเตอร์ (ที่จุดต่างกัน โดยทั่วไปแล้ว มีทิศทางที่ต่างกัน)

ดังนั้น เวกเตอร์มุมฉากหน่วยสามหน่วยในระบบพิกัดโค้งจึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มซึ่งพิจารณาเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ตั้งฉากสามหน่วยเรียกว่าเฟรมเคลื่อนที่ และเวกเตอร์เองก็เรียกว่าเวกเตอร์หน่วย (หรือเรียกง่ายๆ ว่าเวกเตอร์)

สอดคล้องกับปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าว ในบทความนี้ คำจำกัดความแรกจะถือเป็นจุดเริ่มต้น

ยังไม่มีข้อความ (\displaystyle n)-มิติปริภูมิแบบยุคลิดเขียนแทนด้วย E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)สัญกรณ์ก็มักจะใช้ (หากชัดเจนจากบริบทว่าปริภูมิมีโครงสร้างแบบยุคลิด)

YouTube สารานุกรม

1 / 5

út 04 - พีชคณิตเชิงเส้น อวกาศแบบยุคลิด

ú เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ส่วนที่หนึ่ง

ú เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ส่วนที่สอง

út 01 - พีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิเชิงเส้น (เวกเตอร์)

√ 8. ช่องว่างแบบยุคลิด

คำบรรยาย

คำนิยามที่เป็นทางการ

ในการกำหนดปริภูมิแบบยุคลิด วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้ผลคูณสเกลาร์เป็นแนวคิดหลัก สเปซเวกเตอร์แบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดเหนือสนามของจำนวนจริง โดยที่เวกเตอร์ระบุฟังก์ชันค่าจริงไว้ (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot))มีคุณสมบัติ 3 ประการดังต่อไปนี้

ตัวอย่างของปริภูมิแบบยุคลิด - ปริภูมิพิกัด R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)ประกอบด้วยสิ่งอันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนจริง (x 1 , x 2 , … , xn) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)))ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + xn y n

(\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

ความยาวและมุม ผลคูณสเกลาร์ที่กำหนดบนปริภูมิแบบยุคลิดเพียงพอที่จะแนะนำแนวคิดทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความยาวและมุม ความยาวเวกเตอร์คุณ (\displaystyle คุณ) กำหนดให้เป็น(u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) และถูกกำหนดไว้ความแน่นอนเชิงบวกของผลิตภัณฑ์สเกลาร์รับประกันได้ว่าความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ และจากความเป็นสองเส้นตรงจะเป็นไปตามนั้น - คุณ |- ก |

- คุณ | ผลคูณสเกลาร์ที่กำหนดบนปริภูมิแบบยุคลิดเพียงพอที่จะแนะนำแนวคิดทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความยาวและมุม ความยาวเวกเตอร์และ , (\displaystyle |au|=|a||u|,)นั่นคือ ความยาวของเวกเตอร์ตามสัดส่วนนั้นเป็นสัดส่วน มุมระหว่างเวกเตอร์โวลต์ (\displaystyle โวลต์) กำหนดโดยสูตรφ = ส่วนโค้ง ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))

จากทฤษฎีบทโคไซน์ จะได้ว่าสำหรับปริภูมิยูคลิดสองมิติ (

เครื่องบินยูคลิด ) คำจำกัดความของมุมนี้เกิดขึ้นพร้อมกับค่าปกติ เวกเตอร์มุมฉาก เช่นเดียวกับในปริภูมิสามมิติ สามารถกำหนดเป็นเวกเตอร์ที่มีมุมระหว่างซึ่งเท่ากับพาย 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)อสมการคอชี-บุนยาคอฟสกี้-ชวาร์ตษ์ และอสมการสามเหลี่ยม มีช่องว่างหนึ่งช่องในคำจำกัดความของมุมที่ระบุข้างต้น: เพื่อที่จะ arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) ได้มีการกำหนดไว้แล้วจึงจำเป็นต้องมีความไม่เท่าเทียมกัน- (x, y) | x |และ - ใช่ |- ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) ความไม่เท่าเทียมกันนี้แท้จริงแล้วอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิดโดยพลการ มันถูกเรียกว่าอสมการคอชี-บุนยาคอฟสกี้-ชวาร์ตษ์ จากความไม่เท่าเทียมกันนี้ ในทางกลับกัน จะเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม:- คุณ + วี | | คุณ |

- โวลต์ |

- (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)

อสมการสามเหลี่ยม ร่วมกับคุณสมบัติความยาวที่ระบุไว้ข้างต้น หมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เป็นบรรทัดฐานบนปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิด และฟังก์ชัน

ง(x, y) = | x | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)กำหนดโครงสร้างของปริภูมิเมตริกบนปริภูมิแบบยุคลิด (ฟังก์ชันนี้เรียกว่าเมตริกแบบยุคลิด) โดยเฉพาะระยะห่างระหว่างองค์ประกอบ (จุด) x (\รูปแบบการแสดงผล x)การทำแผนที่นี้เป็นมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิแบบยุคลิดกับ

(ก 11 − แลม 1 )(ก 22 − แลม 1 ) − ก 12 ก 21 = 0 ;

แล 12 - (ก 11 + ก 22)แล 1 + (ก 11a 22 - ก 12 ก 21) = 0

ความแตกต่างของสมการกำลังสองเหล่านี้คือ ³ 0 เช่น

D = (ก 11 + ก 22) 2 - 4 (ก 11a 22 - ก 12 ก 21) = (ก 11 - ก 22) 2 + 4a 122 ³ 0

เรียกว่าสมการ (2.56), (2.57) สมการลักษณะเฉพาะ

เมทริกซ์และรากของสมการเหล่านี้คือ ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A เราแทนที่ค่าลักษณะเฉพาะที่พบจาก (2.57) เป็น (2.39) เราได้รับ

สมการบัญญัติ

ค้นหารูปแบบบัญญัติของสมการนี้

เนื่องจากที่นี่ 11 = 5; ก 21 = 2; a 22 = 2 ดังนั้นสมการคุณลักษณะ (2.56) สำหรับรูปกำลังสองนี้จะมีรูปแบบ

5 - แล 2

2 2 - แล 1

การทำให้ดีเทอร์มีแนนต์ของสมการเมทริกซ์เท่ากับศูนย์

(5 – แลมบ์ดา)(2 – แลมบ์ดา) – 4 = แลมบ์ – 7เล + 6 = 0

และการแก้สมการกำลังสองนี้ เราได้ แลมบ์ดา 1 = 6; แลมบ์ดา2 = 1

แล้วรูปแบบมาตรฐานของรูปกำลังสองนี้จะมีรูปแบบ

ฉ (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. พิกัดโค้ง

2.3.1. ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับระบบพิกัดเส้นโค้ง

คลาสของพิกัดเส้นโค้งเมื่อเปรียบเทียบกับคลาสของพิกัดเส้นตรงนั้นมีความกว้างขวางและมีความหลากหลายมากกว่าและจากมุมมองเชิงวิเคราะห์นั้นเป็นสากลมากที่สุดเนื่องจากจะขยายขีดความสามารถของวิธีพิกัดเส้นตรง การใช้พิกัดเส้นโค้งบางครั้งอาจช่วยลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้อย่างมาก โดยเฉพาะปัญหาที่แก้ไขได้โดยตรงบนพื้นผิวของการปฏิวัติ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ไขปัญหาบนพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาฟังก์ชันบางอย่าง ในพื้นที่ที่ระบุฟังก์ชันนี้บนพื้นผิวที่กำหนด สามารถเลือกระบบพิกัดเส้นโค้งที่จะอนุญาตให้ฟังก์ชันนี้เป็น กอปรด้วยคุณสมบัติใหม่ - ให้คงที่ในระบบพิกัดที่กำหนดซึ่งไม่สามารถทำได้โดยใช้ระบบพิกัดเส้นตรงเสมอไป

ระบบพิกัดเส้นโค้งที่กำหนดในพื้นที่หนึ่งของปริภูมิยูคลิดสามมิติเชื่อมโยงแต่ละจุดของปริภูมินี้กับจำนวนจริงสามเท่าตามลำดับ - φ, แลมบ์ดา, r (พิกัดเส้นโค้งของจุด)

หากระบบพิกัดโค้งตั้งอยู่โดยตรงบนพื้นผิวบางส่วน (พื้นผิวการปฏิวัติ) ในกรณีนี้แต่ละจุดบนพื้นผิวจะกำหนดจำนวนจริงสองตัว - φ, แลมซึ่งกำหนดตำแหน่งของจุดบนพื้นผิวนี้โดยไม่ซ้ำกัน .

จะต้องมีการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่างระบบพิกัดเส้นโค้ง φ, แลมบ์ดา r และระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นเส้นตรง (X, Y, Z) แท้จริงแล้ว ให้ระบุระบบพิกัดเส้นโค้งในพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่ง แต่ละจุดของปริภูมินี้สอดคล้องกับพิกัดโค้งสามจุดเดียว ได้แก่ φ, แลมบ์ดา, r ในทางกลับกัน พิกัดคาร์ทีเซียนเส้นตรงเพียงสามเส้นเท่านั้นที่สอดคล้องกับจุดเดียวกัน - X, Y, Z จากนั้นจึงสามารถโต้แย้งได้ว่าในรูปแบบทั่วไป

ϕ = ϕ (X,Y,Z);

แล = เล (,); (2.58)

เอ็กซ์ วาย ซี

r = r (X, Y, Z)

มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งทางตรง (2.58) และทางผกผันระหว่าง SC เหล่านี้

จากการวิเคราะห์สูตร (2.58) จะตามมาว่าด้วยค่าคงที่ของหนึ่งในพิกัดโค้งเชิงพื้นที่ φ, แลมบ์ดา, r เช่น

ϕ =ϕ(XX,У,Z)= const,

และ ค่าตัวแปรของอีกสองตัว (แล, r ) โดยทั่วไปเราจะได้พื้นผิวซึ่งเรียกว่าพื้นผิวพิกัด พื้นผิวพิกัดที่สอดคล้องกับพิกัดเดียวกันจะไม่ตัดกัน อย่างไรก็ตาม พื้นผิวพิกัดสองพื้นผิวที่สอดคล้องกับพิกัดที่แตกต่างกันจะตัดกันและสร้างเส้นพิกัดที่สอดคล้องกับพิกัดที่สาม

2.3.2. พิกัดโค้งบนพื้นผิว

สำหรับการสำรวจทางธรณีวิทยา พิกัดความโค้งของพื้นผิวเป็นที่สนใจมากที่สุด

ให้สมการพื้นผิวเป็นฟังก์ชันของพิกัดคาร์ทีเซียนค่ะ

โดยการกำหนดเวกเตอร์หน่วย i, j, l ไปตามแกนพิกัด (รูปที่ 2.11) สมการพื้นผิวสามารถเขียนได้ในรูปแบบเวกเตอร์

r = X i + Y j + Z l . (2.60)

ให้เราแนะนำตัวแปรอิสระใหม่สองตัว φ และ λ เพื่อให้ฟังก์ชันต่างๆ

เป็นไปตามสมการ (2.59) ความเท่าเทียมกัน (2.61) คือสมการพาราเมตริกของพื้นผิว

แลมบ์ดา = const

ข้าว. 2.11. ระบบพิกัดพื้นผิวโค้ง

ตัวเลขแต่ละคู่ φ และ แล สอดคล้องกับจุด (จุดเดียว) บนพื้นผิว และตัวแปรเหล่านี้สามารถใช้เป็นพิกัดของจุดบนพื้นผิวได้

หากเราให้ค่าคงที่ที่แตกต่างกัน φ = φ1, φ = φ2, … เราจะได้กลุ่มของเส้นโค้งบนพื้นผิวที่สอดคล้องกับค่าคงที่เหล่านี้ ในทำนองเดียวกันเราจะได้ค่าคงที่สำหรับ แล

เส้นโค้งตระกูลที่สอง ดังนั้นบนพื้นผิวจะเกิดโครงข่ายของเส้นพิกัด φ = const และ แล = const เส้นพิกัดโดยทั่วไป

เป็นเส้นโค้ง ดังนั้นจึงเรียกตัวเลข φ, lam

พิกัดเส้นโค้ง จุดบนพื้นผิว

พิกัดเส้นโค้งอาจเป็นปริมาณเชิงเส้นหรือเชิงมุมก็ได้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบพิกัดเส้นโค้ง ซึ่งพิกัดหนึ่งเป็นปริมาณเชิงเส้นและอีกพิกัดหนึ่งเป็นปริมาณเชิงมุม สามารถเป็นพิกัดเชิงขั้วบนระนาบได้

การเลือกพิกัดเส้นโค้งไม่จำเป็นต้องอยู่ข้างหน้าการก่อตัวของเส้นพิกัด ในบางกรณี จะเป็นการสมควรมากกว่าที่จะสร้างเครือข่ายของเส้นพิกัดที่สะดวกที่สุดในการแก้ปัญหาบางอย่างบนพื้นผิว จากนั้นเลือกพารามิเตอร์ (พิกัด) ดังกล่าวสำหรับเส้นเหล่านี้ซึ่งจะมีค่าคงที่สำหรับแต่ละเส้นพิกัด

ระบบพารามิเตอร์บางระบบสอดคล้องกับเครือข่ายเส้นพิกัดที่แน่นอนอย่างสมบูรณ์ แต่สำหรับกลุ่มเส้นพิกัดที่กำหนดแต่ละตระกูล คุณสามารถเลือกพารามิเตอร์อื่นๆ จำนวนมากที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่คลุมเครือของพารามิเตอร์ที่กำหนดได้ ในกรณีทั่วไป มุมระหว่างเส้นพิกัดของตระกูล φ = const และเส้นของตระกูล แล = const สามารถมีค่าต่างกันได้

เราจะพิจารณาเฉพาะระบบมุมตั้งฉากของพิกัดเส้นโค้ง โดยแต่ละเส้นพิกัด φ = const ตัดกับเส้นพิกัดอื่นใด แล = const ที่มุมฉาก

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ บนพื้นผิว โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพิกัดเส้นโค้งของจุดพื้นผิว จำเป็นต้องมีสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการเปลี่ยนพิกัดเส้นโค้ง φ และ แล ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงความยาว S ของเส้นโค้งพื้นผิว

การเชื่อมต่อระหว่างดิฟเฟอเรนเชียล dS, dφ, dแล สามารถสร้างขึ้นได้โดยการแนะนำตัวแปร α ใหม่ เช่น มุม

แอลฟา ดีเอส

แลม = ค่าคงที่

แลม+ด แล = ค่าคงที่

ทิศทางบวกของเส้น แล = const เป็นบวก

ทิศทางของเส้นโค้งนี้ (รูปที่ 2.12) มุมนี้จะกำหนดทิศทาง (การวางแนว) ของเส้นเข้า

จุดที่กำหนดบนพื้นผิว จากนั้น (ไม่มีเอาต์พุต):

ข้าว. 2.12. เรขาคณิตของการเชื่อมต่อระหว่างส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งบนพื้นผิวกับการเปลี่ยนแปลง (ส่วนต่าง) ของส่วนโค้ง

พิกัด

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂แล

ใน มุม geodesy α สอดคล้องกับ geodetic azimuth: α =ก.

2.3.3. ระบบพิกัดเชิงขั้วและลักษณะทั่วไป

2.3.4. ระบบพิกัดเชิงขั้วเชิงพื้นที่

ในการระบุระบบพิกัดเชิงขั้วเชิงพื้นที่ คุณต้องเลือกระนาบก่อน (ต่อไปนี้เราจะเรียกว่าระนาบหลัก) มีการเลือกจุด O บนระนาบนี้

การวัด

เซ็กเมนต์

พื้นที่แล้ว

ตำแหน่ง

จุดใดก็ได้ในอวกาศจะเป็น

อย่างแน่นอน

ถูกกำหนด

ปริมาณ: r, φ, แลมบ์ดา โดยที่ r –

ขั้วโลก

ระยะตรงจากเสา

O ถึงจุด Q (รูปที่ 2.13) แล –

มุมเชิงขั้ว - มุมระหว่าง

ขั้วโลก

ข้าว. 2.13. ระบบเชิงพื้นที่

ตั้งฉาก

การฉายภาพ

รัศมีขั้วโลกถึงหลัก

พิกัดเชิงขั้วและการดัดแปลง

เครื่องบิน

การเปลี่ยนแปลง

(รัศมีขั้วโลก) และมัน

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

เวกเตอร์

การฉายภาพ

OQ0 เปิดอยู่

หลัก

ระนาบ ซึ่งถือว่าเป็นบวก (0 ≤ φ ≤ π/2) สำหรับจุดของครึ่งปริภูมิบวก และค่าลบ (-π/2 ≤ φ ≤ 0) สำหรับจุดของครึ่งปริภูมิลบ

CS เชิงพื้นที่เชิงพื้นที่ใดๆ สามารถเชื่อมโยง (เปลี่ยนรูป) กับ CS เชิงพื้นที่คาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมได้อย่างง่ายดาย

ถ้าเราเอามาตราส่วนและจุดกำเนิดของระบบขั้วเป็นมาตราส่วนและจุดกำเนิดของพิกัดในระบบสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ แกนเชิงขั้ว หรือเป็นแกนกึ่งแอบสซิสซา OX เส้น OZ ที่ลากจากขั้ว O ตั้งฉากกับระนาบหลักใน ทิศทางบวกของระบบขั้วเป็น OZ กึ่งแกนของระบบคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม และสำหรับกึ่งแกน - OU ใช้แกนที่แกนแอบซิสซาไปเมื่อมันถูกหมุนด้วยมุม π/2 ในทิศทางบวก ในระนาบหลักของระบบขั้วโลก จากนั้นจากรูปที่. 2.13

สูตร (2.64) ช่วยให้เราสามารถแสดง X, Y, Z ในรูปของ r, φ, λ และในทางกลับกัน

บนพื้นผิวใดๆ คุณสามารถสร้างระบบพิกัดโดยกำหนดตำแหน่งของจุดบนนั้นด้วยตัวเลขสองตัวอีกครั้ง ในการทำเช่นนี้ เราจะคลุมพื้นผิวทั้งหมดด้วยเส้นสองตระกูลเพื่อให้ผ่านแต่ละจุด (อาจมีข้อยกเว้นเล็กน้อย) หนึ่งเส้นจากแต่ละตระกูลผ่านไป ตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องจัดเตรียมเครื่องหมายตัวเลขให้กับบรรทัดของแต่ละตระกูลตามกฎเกณฑ์บางประการที่ช่วยให้คุณค้นหาบรรทัดที่ต้องการของตระกูลด้วยเครื่องหมายตัวเลข (รูปที่ 22)

พิกัดจุด มพื้นผิวเป็นตัวเลข คุณ, วีที่ไหน คุณ- เครื่องหมายตัวเลขของเส้นตระกูลแรกที่ผ่าน เอ็มและ โวลต์-- เครื่องหมายของตระกูลที่สอง เราจะเขียนต่อไป: ม(คุณ; วี),ตัวเลข และ, โวลต์เรียกว่าพิกัดโค้งของจุด ม.สิ่งที่กล่าวมาจะชัดเจนหากเราดูที่ทรงกลมเป็นตัวอย่าง ทั้งหมดสามารถถูกปกคลุมไปด้วยเส้นเมอริเดียน (ตระกูลแรก); แต่ละรายการสอดคล้องกับเครื่องหมายตัวเลข ได้แก่ ค่าลองจิจูด คุณ(หรือค) ความคล้ายคลึงกันทั้งหมดก่อให้เกิดครอบครัวที่สอง แต่ละรายการมีความเกี่ยวข้องกับเครื่องหมายตัวเลข - ละติจูด โวลต์(หรือและ) แต่ละจุดบนทรงกลม (ไม่รวมขั้ว) จะมีเส้นลมปราณเพียงจุดเดียวและเส้นขนานหนึ่งเส้น

อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้พิจารณาพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกกลมตรงที่มีความสูง ยังไม่มีข้อความรัศมี ก(รูปที่ 23) สำหรับตระกูลแรก เราใช้ระบบเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของมัน โดยหนึ่งในนั้นจะถูกถือเป็นเครื่องแรก เรากำหนดเครื่องหมายให้กับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าแต่ละเครื่อง คุณเท่ากับความยาวของส่วนโค้งบนวงกลมฐานระหว่างเจเนราทริกซ์เริ่มต้นและอันที่กำหนด (เราจะนับส่วนโค้งเช่นทวนเข็มนาฬิกา) สำหรับตระกูลที่สองเราใช้ระบบส่วนแนวนอนของพื้นผิว เครื่องหมายตัวเลข โวลต์เราจะพิจารณาความสูงที่ส่วนนั้นถูกวาดไว้เหนือฐาน ด้วยการเลือกใช้แกนให้เหมาะสม เอ็กซ์, ย, zในอวกาศเราจะมีจุดใดก็ได้ ม(x;y; z) พื้นผิวของเรา:

(ในที่นี้อาร์กิวเมนต์ของโคไซน์และไซน์ไม่ได้อยู่ในหน่วยองศา แต่เป็นเรเดียน) สมการเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นสมการพาราเมตริกสำหรับพื้นผิวของทรงกระบอก

ปัญหาที่ 9 ควรตัดแผ่นโลหะเพื่อทำข้อศอกท่อระบายน้ำตามแนวโค้งใดเพื่อให้ได้รัศมีรัศมีที่เหมาะสมหลังจากการดัดงออย่างเหมาะสม? เอ,ตัดทอนด้วยระนาบที่มุม 45° กับระนาบของฐาน?

สารละลาย. ลองใช้สมการพาราเมตริกของพื้นผิวทรงกระบอก:

เราวาดระนาบการตัดผ่านแกน โอ้,สมการของเธอ z=y.เมื่อรวมสิ่งนี้เข้ากับสมการที่เราเพิ่งเขียน เราจะได้สมการ

เส้นตัดกันในพิกัดเส้นโค้ง หลังจากแกะพื้นผิวออกสู่ระนาบแล้ว พิกัดเส้นโค้ง และและ โวลต์จะกลายเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน

ดังนั้น ควรวางกระป๋องไว้ด้านบนตามแนวไซนัสด์

ที่นี่ คุณและ โวลต์พิกัดคาร์ทีเซียนบนเครื่องบินแล้ว (รูปที่ 24)

ทั้งในกรณีของทรงกลมและพื้นผิวทรงกระบอก และในกรณีทั่วไป การกำหนดพื้นผิวด้วยสมการพาราเมตริกจะทำให้เกิดการสร้างระบบพิกัดโค้งบนพื้นผิว อันที่จริงนิพจน์สำหรับพิกัดคาร์ทีเซียน เอ็กซ์, ย, zจุดใดก็ได้ M(x;y;z)พื้นผิวผ่านพารามิเตอร์สองตัว คุณ โวลต์(โดยทั่วไปจะเขียนดังนี้: เอ็กซ์=ที ( คุณ; โวลต์) y=ทีเอส (คุณ;v) z=š (คุณ;v) ts, w, sh - ฟังก์ชันของสองอาร์กิวเมนต์) ทำให้เป็นไปได้โดยรู้ตัวเลขคู่หนึ่ง คุณ วีค้นหาพิกัดที่สอดคล้องกัน x, y, z,ซึ่งหมายถึงตำแหน่งของจุด มบนพื้นผิว; ตัวเลข คุณ โวลต์ทำหน้าที่เป็นพิกัดของมัน โดยให้ค่าคงที่ค่าใดค่าหนึ่ง เป็นต้น คุณ=คุณ 0 เราได้นิพจน์มา เอ็กซ์, ย, zผ่านพารามิเตอร์เดียว วีนั่นคือสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง นี่คือเส้นพิกัดของครอบครัวหนึ่ง สมการของมัน คุณ=คุณ 0 . เส้นเดียวกันเป๊ะเลย วี=วี 0 -- เส้นประสานงานของครอบครัวอื่น

พิกัดเวกเตอร์รัศมีคาร์ทีเซียน