โลกสามมิติ สี่มิติ และหลายมิตินี้…

พื้นที่สามมิติเป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตของโลกที่เราอาศัยอยู่ มันถูกเรียกว่าสามมิติเพราะคำอธิบายของมันสอดคล้องกับเวกเตอร์สามหน่วยที่มีทิศทางความยาวความกว้างและความสูง การรับรู้เกี่ยวกับอวกาศสามมิติพัฒนาขึ้นตั้งแต่อายุยังน้อยและเกี่ยวข้องโดยตรงกับมนุษย์ ระดับความลึกของการรับรู้ของเขาขึ้นอยู่กับความสามารถในการมองเห็นเพื่อทำความเข้าใจโลกโดยรอบและความสามารถในการระบุสามมิติโดยใช้ประสาทสัมผัส

ตามเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่สามมิติในแต่ละจุดจะอธิบายด้วยปริมาณสามลักษณะที่เรียกว่าพิกัด แกนพิกัดที่ตั้งฉากกันที่จุดตัดกันจะสร้างจุดกำเนิดของพิกัดซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ ตำแหน่งของจุดใดๆ ในอวกาศถูกกำหนดโดยสัมพันธ์กับแกนพิกัดสามแกน ซึ่งมีค่าตัวเลขที่แตกต่างกันในแต่ละช่วงเวลาที่กำหนด พื้นที่สามมิติในแต่ละจุดถูกกำหนดโดยตัวเลขสามตัวที่สัมพันธ์กับระยะห่างจากจุดอ้างอิงบนแกนพิกัดแต่ละแกนไปยังจุดตัดกันด้วยระนาบที่กำหนด นอกจากนี้ยังมีรูปแบบพิกัดเช่นระบบทรงกลมและทรงกระบอก

ในพีชคณิตเชิงเส้น แนวคิดของการวัดสามมิติอธิบายไว้โดยใช้แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระเชิงเส้น พื้นที่ทางกายภาพเป็นสามมิติ เนื่องจากความสูงของวัตถุใดๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความกว้างและความยาวของวัตถุแต่อย่างใด ในภาษาพีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิเป็นสามมิติ เพราะแต่ละจุดในปริภูมิสามารถกำหนดได้โดยการรวมกันของเวกเตอร์ 3 ตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้นจากกัน ในสูตรนี้ แนวคิดเรื่องกาลอวกาศมีความหมายสี่มิติ เนื่องจากตำแหน่งของจุดในช่วงเวลาที่ต่างกันไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดในอวกาศ

คุณสมบัติบางอย่างที่ปริภูมิสามมิติมีในเชิงคุณภาพแตกต่างไปจากคุณสมบัติของปริภูมิที่อยู่ในอีกมิติหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ปมที่ผูกด้วยเชือกอยู่ในช่องว่างที่มีขนาดน้อยกว่า กฎฟิสิกส์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับมิติสามมิติของปริภูมิ เช่น กฎกำลังสองผกผัน พื้นที่สามมิติสามารถประกอบด้วยช่องว่างสองมิติ หนึ่งมิติ และศูนย์มิติ ในขณะที่ตัวมันเองถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของแบบจำลอง

ไอโซโทรปีของอวกาศเป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญของมัน กลศาสตร์คลาสสิก- อวกาศเรียกว่าไอโซโทรปิก เนื่องจากเมื่อระบบอ้างอิงถูกหมุนไปที่มุมใดๆ ก็ตาม ผลลัพธ์การวัดจะไม่เปลี่ยนแปลง กฎหมายการอนุรักษ์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติไอโซโทรปิกของอวกาศ ซึ่งหมายความว่าในอวกาศทุกทิศทางเท่ากันและไม่มีทิศทางแยกกันตามคำจำกัดความของความเป็นอิสระ Isotropy มีคุณสมบัติทางกายภาพเหมือนกันในทุกทิศทางที่เป็นไปได้ ดังนั้นปริภูมิไอโซโทรปิกจึงเป็นตัวกลางที่ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทาง

โลก 3 มิติที่เราไม่ได้อาศัยอยู่

แม้แต่ชาวกรีกโบราณยังเปลี่ยนคณิตศาสตร์จากวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์ไปสู่วิทยาศาสตร์แบบนิรนัย โดยกำหนดให้ต้องมีการพิสูจน์ข้อความจากแนวคิดพื้นฐานและขจัดการอ้างอิงถึงประสบการณ์ในฐานะข้อโต้แย้ง

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์จะสำรวจรูปแบบและความสัมพันธ์ในรูปแบบนามธรรมจากเนื้อหาที่เป็นวัตถุ วัตถุที่อยู่ตรงหน้าของมันกลายเป็นตัวอย่างเช่นไม่ใช่วัตถุทรงกลมนี้หรือตัวนั้น แต่เป็น "ลูกบอลในอุดมคติ" ไม่ใช่ชุดของวัตถุนี้หรือนั้นและไม่ใช่แม้แต่ตัวเลขเดี่ยว ๆ แต่เป็นจำนวนเต็มโดยทั่วไป ฯลฯ

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าวิทยาศาสตร์นี้จะมีความเป็นนามธรรม แต่ก็ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเลยที่สงสัยว่าแนวคิด ทฤษฎีบท และสูตรทั้งหมดของพวกเขาแสดงความสัมพันธ์เชิงปริมาณและเชิงพื้นที่ที่แท้จริง เรขาคณิตทางคณิตศาสตร์เป็นทฤษฎีของอวกาศจริง เช่นเดียวกับกลศาสตร์ที่เป็นทฤษฎีการเคลื่อนที่ในเวลาต่อมา

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ศึกษา
เชิงปริมาณและเชิงพื้นที่
รูปแบบและความสัมพันธ์ของความเป็นจริง
นักวิชาการ A.D. Alexandrov

โลกรอบตัวเราเป็นสามมิติ เราคุ้นเคยกับแนวคิดนี้ตั้งแต่แรกเกิด - ทุกคนรู้ว่าความสูง ความยาว และความกว้างคืออะไร ซึ่งเป็นมิติหลักสามมิติของพื้นที่รอบตัวเรา ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเพณีที่ยอมรับกันใน ประเทศต่างๆขนาดของวัตถุมีหน่วยวัดเป็นเมตร ฟุต ลี้ ลีก และหน่วยวัดความยาวมาตรฐานอื่นๆ สำหรับการสนทนาเพิ่มเติม เราจะเลือกหน่วยความยาวที่ผิดปกติเล็กน้อย เธอจะถูกเสิร์ฟโดยหนึ่งคน ปีแสง(1 ปีนักบุญ) คือระยะทางที่รังสีแสงเดินทางได้ในหนึ่งปีปฏิทิน ในการวัดความยาวแบบดั้งเดิม มีจำนวนที่ไม่สามารถจินตนาการได้ - ประมาณ 9.46 10 12 กิโลเมตร

หากเราตัดลูกบาศก์ที่มีขอบเท่ากับ 1 st ในใจ ปีนั้นบ้านที่เราอยู่คือลูกโลกจะถูกวางไว้ข้างในอย่างปลอดภัย ระบบสุริยะ... โดยทั่วไปแล้วทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับชีวิตมนุษย์ปกติ เพื่อความสะดวก เรามาเรียกคิวบ์ที่เราพิจารณากันดีกว่า ลูกบาศก์หน่วยตอนนี้เรามาดูข้อเท็จจริงที่ชัดเจนต่อไปนี้ แม้จะมีขนาดที่ใหญ่โต แต่ลูกบาศก์เดี่ยวของเราก็เป็นเพียงอนุภาคที่เล็กที่สุดในโลกโดยรอบ

ลูกบาศก์หน่วยจินตภาพดังกล่าวสามารถตัดออกที่จุดอื่นในอวกาศได้ ในกรณีนี้ อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าลูกบาศก์สองลูกที่ตัดออกจากจุดต่างๆ ในอวกาศจะกลายเป็นสิ่งเดียวกัน นี่คือแนวคิดหลักของสิ่งที่เรียกว่า นานายุคลิด,ตามจุดใดจุดหนึ่งล้อมรอบด้วยลูกบาศก์ที่มีขนาดเหมาะสม คำจำกัดความต่อไปนี้สามารถกำหนดได้แม่นยำยิ่งขึ้น ท่อร่วมแบบยุคลิดสามมิติคือเซต M 3 ซึ่งจุดใดๆ ก็ตามเป็นจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเซตนี้

อย่างไรก็ตามในคำจำกัดความนี้ไม่ได้ระบุขนาดของคิวบ์เอง - ไม่จำเป็นต้องใช้คิวบ์ขนาดใหญ่เลย ด้วยความสำเร็จเดียวกัน เราสามารถพูดได้ว่าแต่ละจุดบรรจุอยู่ในลูกบาศก์ ซึ่งมีขอบไม่เกินความยาวหนึ่งไมครอน (10 -6 ซม.)

จากทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นสามารถแสดงออกมาเป็นคำสั้น ๆ ดังต่อไปนี้: โลกรอบตัวเรานั้นมีความหลากหลายแบบยุคลิดสามมิติ ทีนี้ลองตอบคำถามต่อไปนี้: โลกทำงานอย่างไรนอกลูกบาศก์เดียวซึ่งบ้านของเราตั้งอยู่ - ระบบสุริยะของเรา

พรูสามมิติและอื่น ๆ

หากเราจินตนาการสักครู่ว่าพื้นที่รอบตัวเรานั้นไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทาง คำตอบของคำถามเกี่ยวกับโครงสร้างของโลกรอบตัวเราจะมีดังนี้ ทฤษฎีบทของฮาดามาร์ด:

“ท่อร่วมแบบยุคลิดสามมิติขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุดในทุกทิศทาง ม.3ตรงกับปริภูมิยุคลิด อี 3».

อวกาศแบบยุคลิด อี 3ด้วยระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับทุกคนดังนั้นเราจะไม่ศึกษาคุณสมบัติของมันอย่างละเอียด

เพื่อให้การให้เหตุผลของเรามีความหมายและน่าสนใจยิ่งขึ้น สมมติว่ามีอีกทางเลือกหนึ่ง: โลกรอบตัวเราถูกปิด นั่นคือ โลกมีมิติที่จำกัดและไม่มีขอบเขต กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอให้เราถามตัวเองว่าท่อร่วมแบบยุคลิดสามมิติแบบปิดมีโครงสร้างอย่างไร หรืออีกนัยหนึ่งคือ แบบฟอร์มแบบยุคลิดคำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทที่พิสูจน์โดย J. Wolf (1982):

มีรูปทรงแบบยุคลิดสามมิติจำนวนสิบแบบพอดี ยิ่งไปกว่านั้น หกอันสามารถหมุนได้ และอีกสี่อันที่เหลือนั้นเป็นท่อร่วมที่ไม่สามารถหมุนได้

รูปร่างแบบยุคลิดทั้งหมดถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน สิ่งเดียวคือในการสร้างบางรูปทรงคุณต้องใช้ลูกบาศก์ และสำหรับรูปทรงอื่น ๆ คุณต้องใช้ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

รูปแบบยูคลิดรูปแบบแรกและมีชื่อเสียงที่สุดคือรูปแบบอะนาล็อกที่คุ้นเคย พรูสองมิติ - พรูสามมิติ- ให้เราแสดงเซตนี้ (ลูกบาศก์ที่มีใบหน้าที่ระบุเป็นคู่) โดย ที 3- รูปแบบยุคลิดอีกรูปแบบหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่าพรูสามมิติบิด ซึ่งแสดงตามนั้นว่า คำถามที่ 3- ตอนนี้เรามาทำการทดลองทางกายภาพง่ายๆ ที่จะแสดงให้เห็นว่ามีความหลากหลาย ที 3และ คำถามที่ 3ต่างกัน และทั้งคู่ต่างจากปริภูมิแบบยุคลิด อี 3.

ในการทำเช่นนี้ เราวางไว้ตรงกลางใบหน้า A ของพรูสามมิติ ยานอวกาศบินด้วยความเร็วแสงและเริ่มต้นในแนวตั้ง หนึ่งปีต่อมา ยานอวกาศซึ่งยังคงเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงอย่างต่อเนื่อง จะกลับสู่จุดเริ่มต้น ตอนนี้จุดนี้จะอยู่ตรงกลางของใบหน้า A' ซึ่งตามแบบแผนแล้ว จะถูกระบุด้วยใบหน้า A จากผลการทดลอง เราจะพบว่าในพรูสามมิติ ที 3มีเส้นตรงปิด ลหนึ่งปีแสง

เรามาทำการทดลองที่คล้ายกันอีกครั้ง ให้ปล่อยยานอวกาศจากจุด y นอนคว่ำหน้ากัน กห่างจากศูนย์กลาง 1 กม. อีกหนึ่งปีเรือก็จะกลับถึงจุดนั้นโดยสวัสดิภาพ ที่- บทสรุปจากการทดลองครั้งที่สอง - ทะลุประเด็น ที่เส้นปิดยาว 1 ปีแสงผ่านไปขนานกับเส้น ล.

ตอนนี้เราจะทำการทดลองทั้งสองแบบที่อธิบายไว้ในพรูบิด คำถามที่ 3- การทดลองครั้งแรกจะให้ผลลัพธ์เหมือนเดิมทุกประการ อย่างไรก็ตาม ในการทดลองครั้งที่สอง มันจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง เรือที่เริ่มต้นจากจุดหนึ่ง ที่ในหนึ่งปีจะถึงจุดนั้น zซึ่งอยู่บนหน้า A'-A และมีเส้นทแยงมุมตรงข้ามกับจุด ที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของใบหน้านี้ การบินเป็นเส้นตรงต่อไปอีกปีหนึ่งหลังจากนั้นเรือก็จะกลับมายังจุดเดิม ที่.

ดังนั้นใน คำถามที่ 3ผ่านจุด ที่มีเส้นปิดยาว 2 เส้นขนานกับเส้นตรง ล- ดังนั้นพันธุ์ ที 3และ คำถามที่ 3ต่างกันและทั้งสองต่างจากอวกาศ อี 3ซึ่งไม่มีเส้นตรงปิด

แบบฟอร์มแบบยุคลิดต่อไปนี้คือ เติมขวดไคลน์(หลากหลาย เค 3) - ไม่เหมือนกับอันก่อนหน้านี้คือไม่สามารถปรับทิศทางได้ มาพิสูจน์กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทำการทดลองซ้ำโดยให้ยานอวกาศพุ่งออกจากศูนย์กลางของใบหน้า กแต่เราจะติดตั้งใบพัดที่หมุนตามเข็มนาฬิกาด้วยความเร็วคงที่ที่จมูกเรือเพิ่มเติม (หากคุณสังเกตจากห้องโดยสารของนักบิน) สมมุติว่าเรือมีเชื้อเพลิงเพียงพอและใบพัดจะหมุนเป็นเวลาหนึ่งปีจนถึงเวลาที่เรือเดินทางเป็นเส้นตรงปิดแล้ว ล, จะกลับไปสู่จุดเริ่มต้น ทันทีที่เรือมาถึงจุดเริ่มต้นอีกครั้ง นักบินจะต้องประหลาดใจเมื่อพบว่าใบพัดหมุนทวนเข็มนาฬิกา! (แน่นอนว่านี่หมายถึงนาฬิกาที่นักบินลืมตั้งแต่เริ่มต้น) ส่วนหลังหมายถึงความหลากหลาย เค 3- ไม่สามารถปรับทิศทางได้ ดังนั้น จึงแตกต่างจากรูปแบบยุคลิดที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้ ที 3และ คำถามที่ 3.

โดยสรุป เราสังเกตว่าขนาดของระบบสุริยะ (เส้นผ่านศูนย์กลางประมาณ 124 10 9 กม.) นั้นมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับขนาดของท่อร่วมที่สร้างขึ้นด้านบนโดยใช้ลูกบาศก์เชิงเส้น สามารถตั้งอยู่ได้ทั้งภายใน ที 3, คำถามที่ 3, เค 3และในรูปแบบยุคลิดอื่นๆ นอกจากนี้ให้คำนวณระยะทางไม่เกิน 1 สต. ปี เราสามารถใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดธรรมดาๆ ได้โดยไม่รู้ด้วยซ้ำว่าโลกรอบตัวเราปิดอยู่ ปัจจุบันมนุษยชาติไม่มียานอวกาศที่บินด้วยความเร็วแสง ซึ่งหมายความว่าปัจจุบันนี้เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการทดลองระดับโลกแบบเดียวกับที่อธิบายไว้ข้างต้น และในท้ายที่สุด ก็คือการกำหนดว่าโลกยุคลิดใดที่เราอาศัยอยู่

ท่อร่วมไอดี

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ท่อร่วมทั้งหมดที่พิจารณาข้างต้นมีเรขาคณิตแบบยุคลิด สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรและมีรูปทรงเรขาคณิตอื่นใดอีกบ้าง?

ที่มีชื่อเสียงและนำไปใช้ในการปฏิบัติสากลมากที่สุดคือ ยูคลิดทรงกลมและ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก- จำได้ว่าบางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตทรงกลม เรขาคณิตรีมันน์และไฮเปอร์โบลิก - เรขาคณิตของโลบาเชฟสกี- ในพื้นที่สามมิติ นอกเหนือจากสามที่ระบุแล้ว ยังมีอีกห้าสิ่งที่เรียกว่า เรขาคณิตสังเคราะห์

ตามกฎหมายเรขาคณิตที่ทำงานกับท่อร่วมสามมิติ เราจะเรียกมันว่ายุคลิด ทรงกลม ไฮเปอร์โบลิก หรือสังเคราะห์ ตามลำดับ

เราได้พิจารณาแมนิโฟลด์แบบยุคลิดข้างต้นแล้ว สำหรับส่วนที่เหลือ เมื่อกว่ายี่สิบปีที่แล้ว W. Thurston (1978) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่น่าทึ่ง: ท่อร่วมสามมิติเกือบทั้งหมดเป็นแบบไฮเปอร์โบลิกนั่นคือเป็นไปตามกฎของเรขาคณิต Lobachevsky- ด้วยเหตุนี้ ในปี 1983 เขาจึงได้รับรางวัล Fields Medal ซึ่งเป็นรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดสำหรับนักคณิตศาสตร์

ท่อร่วมทรงกลมสามารถเป็นได้ทั้งสามมิติหรือหลายมิติ (Wolf, 1982) ในช่องว่างของมิติใดก็ตาม ท่อร่วมดังกล่าวมีจำนวนจำกัด ท่อร่วมสังเคราะห์มีน้อยมาก (Thurston, 1978; Dunbar, 1981; Thurston, 2001) ตรงกันข้ามกับประเภทที่เหลือของท่อร่วมไฮเปอร์โบลิก ส่วนหลังมีความกว้างไม่สิ้นสุดและการจำแนกประเภทยังไม่เสร็จสิ้น

ท่อร่วมทรงกลม

ท่อร่วมทรงกลมสามมิติทั้งหมดสามารถปรับทิศทางได้ ซึ่งหมายความว่าไม่ว่ายานอวกาศที่มีใบพัดหมุนอย่างต่อเนื่องจะบินในวิถีโคจรปิดใดก็ตาม เมื่อกลับไปยังจุดเริ่มต้น ใบพัดของมันจะหมุนไปในทิศทางเดียวกับในขณะที่ปล่อยตัว

ท่อร่วมทรงกลมที่ง่ายที่สุดคือทรงกลมสามมิติ ส 3- สามารถกำหนดเป็นขอบเขตของลูกบอลสี่มิติหรือสิ่งที่เหมือนกันเป็นเซตของจุดในอวกาศ จ 4, ห่างไกลจากศูนย์กลางในระยะเดียวกัน เมื่อใช้การฉายภาพสามมิติ คุณสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งและต่อเนื่องกันระหว่างจุดต่างๆ ของทรงกลมสามมิติ ส 3และแต้มของเซ็ต อี 3+ (∞) ได้มาจากการเพิ่มปริภูมิแบบยุคลิดที่คุ้นเคย อี 3ชี้ไปที่อนันต์ ∞ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ส 3 = อี 3 + {∞}.

ตัวอย่างที่สองของท่อร่วมทรงกลมคือพื้นที่ฉายภาพสามมิติ ร 3- มันสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดายว่าเป็นลูกบอลซึ่งมีการระบุจุดที่ตรงข้ามกันในเส้นทแยงมุม

ตัวอย่างที่สามและบางทีอาจเป็นตัวอย่างที่ไม่สำคัญที่สุดของท่อร่วมทรงกลมคือปริภูมิทรงกลมของปอยน์กาเร สิบสองหน้า หรือเรียกสั้น ๆ ว่า Poincare ทรงกลม

ทรงกลมปัวน์กาเรมีความเชื่อมโยงอย่างน่าประหลาดใจกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ เช่น เรขาคณิต โทโพโลยี ทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีภัยพิบัติ ทฤษฎีปม และอื่นๆ (Kirby, Charlemagne, 1982)

ท่อร่วมทรงกลมอื่น ๆ ทั้งหมดที่ได้รับตามรูปแบบเดียวเรียกว่า เลนส์และ ช่องว่างปริซึม.

พันธุ์ไฮเปอร์โบลิก

ท่อร่วมไฮเปอร์โบลิกแบบปิดสามมิติชิ้นแรกสร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ. เลอเบลล์ในปี 1931 อย่างไรก็ตาม การก่อสร้างค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นสองปีต่อมา เอช. ไซเฟิร์ต และซี. เวเบอร์จึงเสนอให้มีการก่อสร้างพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกของรูปทรงสิบสองหน้าอย่างหรูหรา .

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ยากที่สุดของปัญหาการก่อสร้างคือการพิสูจน์การมีอยู่ของรูปทรงสิบสองหน้าไฮเปอร์โบลิกในอวกาศโลบาเชฟสกี คำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทพื้นฐานของ E. M. Andreev (1970) ซึ่งกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของไฮเปอร์โบลิกโพลีเฮดรานูน ทฤษฎีบทนี้ทำหน้าที่เป็นเสาหลักประการหนึ่งของทฤษฎีสมัยใหม่เกี่ยวกับท่อร่วมไฮเปอร์โบลิก ที่สร้างขึ้นโดย W. Thurston

การสร้างท่อร่วมจากโพลีเฮดรา

พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมมุมฉาก P ซึ่งมุมไดฮีดรัลทั้งหมด (และระนาบ) มีค่าเท่ากับ 90° ในอวกาศแบบยุคลิด รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถใช้เป็นลูกบาศก์ ในอวกาศทรงกลม - จัตุรมุข และในอวกาศไฮเปอร์โบลิก - ปริซึมเลอเบลล์หกเหลี่ยมพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยม 12 เหลี่ยม

จากทฤษฎีบทของ Andreev พบว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ตามที่ไม่มีหน้ารูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมและมีขอบทั้งสามมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในอวกาศ Lobachevsky ปริซึมเลอเบลล์หกเหลี่ยมเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้อย่างเห็นได้ชัด

ในการสร้างท่อร่วมไฮเปอร์โบลิก จะใช้วิธีการที่ประกอบด้วยการระบายสีใบหน้าที่อยู่ติดกันของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยสีที่ต่างกัน จากนั้นระบุใบหน้าที่สอดคล้องกันซึ่งทาสีด้วยสีเดียวกันในหลายๆ กรณีของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เหมือนกัน วิธีการสร้างท่อร่วมนี้ถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดย F. Lebell (Loebell, 1931) สำหรับปริซึมหกเหลี่ยม โดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น M. Takahashi (Takahashi, 1985) - สำหรับรูปทรงสิบสองหน้าปกติ และ A. Yu. - สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสี่เหลี่ยมตามใจชอบ ร.

โปรดทราบว่าท่อร่วมทั้งหมดที่สร้างโดยการระบายสีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีสี่สีนั้นสามารถปรับทิศทางได้ อย่างไรก็ตาม ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าโดยการระบายสีใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม รมีห้า หก หรือเจ็ดสี ท่อร่วมที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้รูปแบบที่คล้ายกัน (Mednykh, 1992)

ให้เราอาศัยคุณสมบัติอีกประการหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่เหลี่ยม อนุญาต ดีเป็นรูปทรงสิบสองหน้าปกติในอวกาศโลบาเชฟสกี นักคณิตศาสตร์ชาวสเปน H.-M. มอนเตซิโนส (ฮิลเดน และคณะ, 1987) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่น่าทึ่งดังต่อไปนี้:

"ท่อร่วมสามมิติแบบปิดใดๆ สามารถหาได้จากอินสแตนซ์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด ดีการระบุใบหน้าของพวกเขาเป็นคู่”

โปรดทราบว่าในทฤษฎีบทของมอนเตซิโนส ใบหน้าของโพลีเฮดราที่ติดกาวทุกด้านจะเท่ากันทุกประการ และขอบทั้งหมดจะมีความยาวเท่ากัน ยิ่งไปกว่านั้น ขอบแต่ละด้านยังล้อมรอบด้วยสิบสองสองหรือหนึ่งสิบสองเหลี่ยม สถานการณ์แรกนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการ: ทรงสิบสองหน้าสี่เหลี่ยมสี่อันติดกาวติดกันรอบขอบร่วมและสร้างมุมรวมเท่ากับ 4 90° = 360° ในกรณีที่สอง ใบหน้าที่อยู่ติดกันของรูปทรงสิบสองหน้าคู่หนึ่งจะถูกระบุด้วยใบหน้าที่อยู่ติดกันของรูปทรงสิบสองหน้าอีกคู่หนึ่ง มุมไดฮีดรัลรวมรอบขอบของสองโดเดคาฮีดราในกรณีนี้คือ 2 90° = 180° ตัวเลือกที่สามนั้นสร้างได้ง่ายโดยการระบุใบหน้าที่อยู่ติดกันของสิบสองหน้าหนึ่งโดยการหมุนเป็นมุม 90°

การมีขอบของประเภทที่สองและสามจะทำให้ท่อร่วมไอดีกลายเป็น ความหลากหลายด้วยคุณสมบัติ, หรือ orbifold- ในกรณีนี้ขอบที่ระบุจะเกิดขึ้น ชุดเอกพจน์ orbifold โปรดทราบว่าทุกที่ ยกเว้นขอบเอกพจน์ ท่อร่วมมีเรขาคณิต Lobachevsky

ออร์บิโฟลด์ 3 มิติ

ยุคลิดออร์บิโฟลด์

สำหรับออร์บิโฟลด์แบบยุคลิดสามมิติใดๆ จะมีเซตพื้นฐานอยู่ นั่นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมส่วนโค้ง ซึ่งสามารถรับออร์บิโฟลด์ที่กำหนดได้โดยการระบุแบบคู่ (ติดกาว) ใบหน้าบางหน้าของมัน

ตัวอย่างของยุคลิดออร์บิโฟลด์เป็นสิ่งที่เรียกว่า แหวนบอร์โรเมียนหรือทรงกลมสามมิติที่มีโหนดเซตเอกพจน์ "แปด".

โดยรวมแล้วมีออร์บิโฟลด์แบบยุคลิดสามมิติแบบปิด 230 ชิ้น - ตามจำนวนกลุ่มผลึกศาสตร์ที่ค้นพบเมื่อปลายศตวรรษที่ผ่านมาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย E. S. Fedorov โครงสร้างของยุคลิด ออร์บิโฟลด์ได้รับการอธิบายไว้อย่างสมบูรณ์ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของดับเบิลยู ดันบาร์ ซึ่งได้รับการปกป้องในปี 1981 ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ซึ่งเป็นศูนย์กลางทางคณิตศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุดในโลก

ออร์บิโฟลด์ทรงกลม

ชุดออร์บิโฟลด์ทรงกลมเอกพจน์สามารถเรียกสิ่งที่เรียกว่าได้ โหนดเหตุผลหรือ การว่าจ้าง- นอกจากนี้ยังอาจเป็นกราฟแบบผูกปม โดยมีขอบ 3 เส้นออกมาจากแต่ละจุดยอด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชุดเอกพจน์ของออร์บิโฟลด์ทรงกลมจะเป็นโครงกระดูกของจัตุรมุข (ขอบ + จุดยอด) ซึ่งอยู่ในทรงกลมสามมิติ

โปรดทราบว่าการผูกปมที่แข็งแกร่งของจัตุรมุขสามารถทำให้รูปทรงทรงกลมเสียหาย และบังคับให้ออร์บิโฟลด์มีแบบยุคลิด ไฮเปอร์โบลิก หรือหนึ่งในรูปทรงสังเคราะห์

เมื่อเร็วๆ นี้ ศาสตราจารย์เค. ฮอดจ์สันชาวออสเตรเลียและนักศึกษาของเขาดี. เฮิร์ดได้สร้างขึ้น โปรแกรมคอมพิวเตอร์ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณปริมาตรของกราฟที่ผูกปมที่ฝังอยู่ในทรงกลมสามมิติ (Hodgson and Heard, 2005) การจำแนกประเภทของออร์บิโฟลด์สามมิติโดยสมบูรณ์ในรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมด ยกเว้นไฮเปอร์โบลิกนั้นเกิดขึ้นในงานของ W. Dunbar เช่นเดียวกับในกรณีของแมนิโฟลด์ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกนั้นมีความอุดมสมบูรณ์ที่สุด และยังไม่ได้รับคำอธิบายที่สมบูรณ์ของออร์บิโฟลด์ในนั้น

ไฮเปอร์โบลิกออร์บิโฟลด์

ทฤษฎีบทของมอนเตซิโนสบอกเป็นนัยว่าท่อร่วมสามมิติทุกจุดสามารถเปลี่ยนเป็นออร์บิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกได้หากใส่เซตเอกพจน์ที่เหมาะสมไว้ข้างใน เนื่องจากมีพันธุ์ที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วน จึงตามมาด้วยออร์บิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกจำนวนไม่สิ้นสุดเช่นกัน

ออร์บิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือทรงกลมสามมิติที่มีวงแหวนบอร์โรเมียนชุดเอกพจน์ซึ่งมีดัชนีเอกภาวะเท่ากับ 4 อีกตัวอย่างหนึ่งคือจัตุรมุขที่ผูกปมแน่น ซึ่งขอบทั้งหมดมีดัชนีเอกภาวะเท่ากับ 2 การพิสูจน์ข้อเท็จจริงดังกล่าวมักจะค่อนข้างซับซ้อนและสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทเรื่องเรขาคณิตซึ่งได้รับโดย W. Thurston นักเรียนและผู้ติดตามของเขา หลักการทั่วไปข้อพิสูจน์มีดังนี้: ถ้าออร์บิโฟลด์ไม่ใช่แบบยุคลิด ทรงกลมหรือสังเคราะห์ และเป็นไปตามเงื่อนไขทางเรขาคณิตง่ายๆ บางอย่าง มันก็จะเป็นไฮเปอร์โบลิก

การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ในช่วงกว่าหนึ่งศตวรรษครึ่งที่ผ่านมาไม่เพียงแต่ขยายเนื้อหาออกไปอย่างล้นหลามเท่านั้น แต่ยังเปลี่ยนแปลงโดยพื้นฐานอีกด้วย วิชาคณิตศาสตร์ในปัจจุบันมีโครงสร้างใดๆ ก็ตามที่สามารถตรวจสอบได้โดยใช้เหตุผลเชิงตรรกะ โดยมีการสรุปที่เข้มงวดและสมบูรณ์เพียงพอ ไม่ว่าจะค้นหาแอปพลิเคชันและต้นแบบในความเป็นจริงหรือไม่ ไม่ใช่คำถามสำหรับคณิตศาสตร์อีกต่อไป

ผู้อ่านนิตยสารของเราเป็นประจำ Alexander Ivanovich RYZHENKO ผู้อาศัยอยู่ในคาร์คอฟเป็นผู้เชี่ยวชาญในสาขาการบิน ความน่าเชื่อถือ และความอยู่รอดของเครื่องบิน ผู้ได้รับรางวัล State Prize ofยูเครน ผู้เขียนสิ่งประดิษฐ์ประมาณสี่สิบชิ้นและสิ่งพิมพ์มากกว่าเจ็ดสิบฉบับในสิ่งพิมพ์ในประเทศและต่างประเทศ . ความสนใจอย่างลึกซึ้งในมรดกของ Roerich เป็นแรงบันดาลใจให้นักวิทยาศาสตร์พูดคุยเกี่ยวกับประเภทของอวกาศและเวลา ดังที่เห็นในความรู้ลึกลับ ปัจจัยมีบทบาทพื้นฐานในนั้น มากมายอิเรียเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่ไม่ตรงกันทั้งหมดกับหมวดหมู่ มากมายเอเรียถือว่าในทางวิทยาศาสตร์ โลกทางโลกมีความสวยงามอย่างน่าทึ่ง มีความซับซ้อนและหลากหลายแง่มุมที่น่าเชิญชวน เบื้องหลังนั้น เรามองเห็นโลกอื่น - ห่างไกล ละเอียดอ่อน บนพื้นดิน - ซับซ้อนและมีเสน่ห์ยิ่งกว่าเดิม... แต่ฉันอยากจะเสริมแรงกระตุ้นของแรงดึงดูดจากใจสู่ความลับของพวกเขา ความรู้เกี่ยวกับโลกเหล่านี้! และหนังสือของ Agni Yoga (หรือ Living Ethics), "Letters of Helena Roerich" เสริมด้วยข้อมูลจาก Facets หลายเล่มของ Agni Yoga ผลงานของ Daniil Andreev "The Rose of the World" และข้อมูลของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ซึ่งใกล้จะค้นพบและศึกษาเรื่อง Subtle Worlds แล้ว เข้ามาช่วยในเรื่องนี้

เมื่อพบว่าตัวเองอยู่เหนือสามมิติ แม้แต่คนเลือดเย็นที่สุดก็ยังต้องตกตะลึงหากหัวใจของเขาไม่พร้อมสำหรับความรู้ครั้งต่อไป

โลกที่ร้อนแรง

เราต้องใช้เจตจำนงที่ร้อนแรงเพื่อเจาะทะลุขอบเขตหลักฐานอันหนาแน่น เราต้องเข้าใจเวลาและอยู่เหนือมัน เราต้องคิดถึงความลับของอวกาศ

แง่มุมของอัคนีโยคะ

สิ่งที่น่าตื่นเต้นที่สุดอย่างหนึ่ง แต่ในขณะเดียวกัน สิ่งที่ซับซ้อนและใกล้ชิดที่สุดก็คือความลับ หลายมิติของอวกาศและเวลา- ลักษณะสามมิติของโลกทางกายภาพที่ "หนาแน่น" ที่เราคุ้นเคยคือโซ่ตรวนของปีศาจ - มีคนพูดอย่างนั้น แท้จริงแล้วผู้ที่ผูกมัดจิตสำนึกของมนุษย์ให้เป็นสามมิติคือผู้คุมที่แท้จริง จะซ่อนอีกมิติที่สวยงามและสูงกว่าได้อย่างไร!<...>ภูมิปัญญาโบราณไม่มีที่ไหนยืนยันในสามมิติ”, 109 หัวข้อนี้ดำเนินต่อไปและได้รับการพัฒนาในแง่มุมของอัคนีโยคะ: “ปัญหาของอวกาศและเวลาอยู่ในประเภทของปัญหาที่มนุษย์จะต้องแก้ไขไม่ช้าก็เร็ว โดยเรา (ครูผู้ยิ่งใหญ่แห่งมนุษยชาติ - A.R.) พวกเขาได้ถูกตัดสินใจแล้ว และอดีตก็เปิดกว้างสำหรับเรา และเราเห็นอนาคต ดังนั้นปัญหาของอวกาศหรือระยะทางซึ่งก็คือความใกล้ชิดและระยะทางก็ได้รับการแก้ไขเช่นกัน ปรากฏการณ์หรือแนวคิดของอวกาศนั้นลึกซึ้งและครอบคลุมมากจนระยะทางเป็นเพียงส่วนเล็กๆ เท่านั้น คนถูกรายล้อมไปด้วยความลับพวกเขาอยู่รอบตัวเขาและเขาไม่สังเกตเห็นพวกเขาโดยเชื่อว่าทุกอย่างชัดเจนและไม่มีอะไรต้องคิด แต่นี่เป็นเพียงสำหรับคนธรรมดาเท่านั้น สำหรับนักสำรวจตัวจริง โลกนี้เต็มไปด้วยความลับและสิ่งมหัศจรรย์ จริงอยู่ที่พวกมันทั้งหมดอยู่บนพื้นฐานของกฎจักรวาลบางอย่าง แต่ความถูกต้องตามกฎหมาย ความสม่ำเสมอ และความกลมกลืนของจักรวาลทำให้บุคคลสามารถเข้าใจส่วนลึกของโลกรอบตัวเขาได้ เขาสามารถเข้าใจได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด และอินฟินิตี้เองก็รับรองความสำเร็จของจิตวิญญาณที่มุ่งมั่นแสวงหาความรู้”, 295.

โลกสามมิติที่เราคุ้นเคย

ขั้นแรกให้เรานึกถึงข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับโลกที่เราคุ้นเคยซึ่งในหนังสือของ Agni Yoga เรียกว่าโลกหนาแน่น นี่คือสิ่งที่เรียกว่าโลกทางกายภาพ มีพิกัดเชิงพื้นที่เพียงสามพิกัดและแกนเวลาเดียว ซึ่งตามทฤษฎีสัมพัทธภาพเสนอให้ถือเป็นพิกัดที่สี่ของ "ความต่อเนื่องของกาล-อวกาศ" ของเรา ความเป็นสามมิติหมายความว่าวัตถุใดๆ ในโลกทางกายภาพมีสามมิติ ได้แก่ ความยาว ความกว้าง และความสูง และตำแหน่งของจุดใดๆ ในนั้น พื้นที่สามมิติสามารถกำหนดได้ไม่ซ้ำกันโดยสามพิกัด x, y, z (รูปที่ 1) ในการกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศอย่างชัดเจนเป็นสิ่งจำเป็นและในเวลาเดียวกันก็เพียงพอที่จะระบุตัวเลขเพียงสามตัวเท่านั้น - พารามิเตอร์สามตัวนั่นคือพิกัดสามตัวของมัน (ระยะทางเชิงเส้นหรือเชิงมุมจากวัตถุบางอย่างเลือกตามเงื่อนไขเป็น ต้นกำเนิด)

พิกัดเชิงพื้นที่ทั้งสามพิกัดมีความเป็นอิสระร่วมกัน และเมื่อทราบเพียงสองพิกัดเท่านั้น จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุพิกัดที่สาม

ค่าของมิติของอวกาศซึ่งเท่ากับสามนั้นกลับกลายเป็นว่าได้รับการพิสูจน์โดยต่างกัน ปรากฏการณ์ทางกายภาพ- สเปกตรัมของอะตอม, การแพร่กระจายของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า, การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

E. Kant มีความปรารถนาที่จะ "อนุมานความเป็นสามมิติ"; เขาพยายามเชื่อมโยงกับข้อเท็จจริงที่ว่า 3 เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่อยู่หน้าจำนวนประกอบ

มีชุดข้อความทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่เน้นไม่ใช่แค่ตัวเลข 3 แต่ยังเน้นมิติของปริภูมิเท่ากับสามด้วย แต่ก็เป็นไปได้ที่จะระบุข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เน้นค่ามิติอื่น ๆ

ข้อเท็จจริงของความเป็นสามมิติของอวกาศสัมพันธ์กับคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุ (ทางกายภาพ—เอ็ด) โลก” - จี.อี.โกเรลิค- ทำไมอวกาศถึงมีสามมิติ? ม. เนากา 2525)

การดำรงอยู่ของมนุษย์ในจักรวาลนั้นถูกกำหนดอย่างแม่นยำโดยความเป็นสามมิติของอวกาศทางกายภาพและค่าที่มีอยู่ของค่าคงที่ทางกายภาพพื้นฐานของมัน นี้ถือเป็นเนื้อหาของสิ่งที่เรียกว่า หลักการมานุษยวิทยา.

ในช่วงเริ่มต้นของการขยายตัวของจักรวาล มิติภายในของมันแยกออกจากมิติภายนอก ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่มิติอวกาศของเราเป็นสามมิติ หากสัตว์ในอวกาศสองมิติกระจัดกระจายไปตามช่องทางเข้าและออกของอาหาร เมื่อมีขนาดมากกว่าสาม แรงโน้มถ่วงและแรงไฟฟ้าจะลดลงเร็วขึ้นตามระยะทาง ทำให้วงโคจรของดาวเคราะห์และวงโคจรของอิเล็กตรอนในอะตอมไม่เสถียร นำไปสู่การล้มลงสู่ศูนย์กลางหรือถอนออกจากมันอย่างไม่อาจเพิกถอนได้ ( อาร์.เอฟ.โปลิชชุก"หนังสือรุ่นเดลฟิส, 2545).

โลกที่มีมิติพื้นที่เล็กลง

ในหนังสือของอัคนีโยคะ มีการกล่าวถึงโลกหรือทรงกลมที่มีมิติเล็กกว่าของเราเท่านั้น: “กฎของพลังงานอันละเอียดอ่อนแตกต่างจากกฎของพลังงานธรรมดาพอ ๆ กับขอบเขตของสองมิติที่มาจากโลกสามมิติ การขยายตัวดำเนินไปในทิศทางที่ไม่มีอยู่ในสนามพลังงานธรรมดา” 299 ในหนังสือของ Daniil Andreev เรื่อง “The Rose of the World” คำอธิบายสารานุกรมเกี่ยวกับปริภูมิและปริภูมิย่อยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับโลกพื้นเมืองของเรา สองมิติและแม้กระทั่ง โลกมิติเดียวถูกพูดถึงค่อนข้างแน่นอน ไม่ว่าในกรณีใด การพิจารณาคุณสมบัติของโลกดังกล่าวก็มีประโยชน์ เนื่องจากจะช่วยให้เราเข้าใจคุณสมบัติต่างๆ ของโลกในมิติที่สูงกว่าได้ โดยการเปรียบเทียบ ซึ่งเป็นเรื่องยากมากสำหรับจินตนาการของมนุษย์ "สามมิติ" ที่จะจินตนาการได้ . ด้วยช่องว่างที่มีพิกัดน้อยกว่าของเรา จินตนาการนี้จึงเข้าใจได้ง่ายมาก

มิติเดียวโลกและสิ่งมีชีวิตในมิติเดียวที่อาศัยอยู่ในโลกนั้นสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นลูกปัดและท่อขนาดเล็กมากที่ร้อยอยู่บนเส้นด้ายบาง ๆ มากมายและสามารถเคลื่อนที่ไปตามมันได้ ในกรณีนี้ด้ายไม่จำเป็นต้องตรง - สามารถโค้งงอได้มีรูปทรงพาราโบลาเกลียวหรือวงกลมที่น่าเศร้าเป็นพิเศษ จะแม่นยำยิ่งขึ้นหากจินตนาการถึงพื้นที่หนึ่งมิติในรูปแบบของท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็ก ๆ ของช่องภายในซึ่งมีลูกบอลและแท่งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กไม่สิ้นสุดเท่ากัน หากสารที่ประกอบขึ้นมีความหนาแน่นไม่มากนักและใกล้เคียงกับก๊าซหรือของเหลวก็สามารถรวมเข้าด้วยกันและทะลุผ่านกันได้ นอกจากนี้ หากมีความโปร่งใส พวกเขายังสามารถมองเห็น "มุมมอง" - "แสงสว่างที่ปลายอุโมงค์" ซึ่งเป็นแสงที่อยู่ไกลออกไปที่ปลายสุดไกลของท่ออย่างแน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่า มีบางอย่างที่จะส่องแสงที่นั่น

สองมิติพื้นที่เป็นเหมือนกระดาษแผ่นบางที่มีความยาวและความกว้างไม่สิ้นสุดซึ่งสิ่งมีชีวิตสองมิติสมมุติ - "blobs" - สามารถคลานได้ พื้นผิวของลูกบอล ทอรัส หรือ "โดนัท" ก็เป็นแบบสองมิติเช่นกัน เนื่องจากจุดใดๆ บนพื้นผิวนั้นถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันด้วยสองพิกัด โปรดทราบว่าพื้นผิวของลูกบอลเป็นแบบสองมิติ ทรงกลมคือรูปสามมิติที่มี (เหมือนลูกบาศก์) ความสูง ความกว้าง และความยาวเป็นของตัวเอง เมื่อพูดถึงพื้นผิวสองมิติ ควรจินตนาการว่าไม่ใช่ตัวทรงกลมขนาดใหญ่ แต่เป็นเปลือกบาง ๆ คล้ายกับฟองสบู่หรือบอลลูน

ตัวอย่างที่ให้มาเป็นเพียงการเปรียบเทียบเท่านั้น ไม่มีวัตถุสองมิติอย่างเคร่งครัดในโลกของเรา แม้แต่กระดาษแผ่นบางมาก แผ่นฟอยล์โลหะที่มีความหนาหลายอะตอมก็มีมิติที่สามเป็นของตัวเอง ร่างกายของโลกสองมิตินั้นไร้ความหนาใดๆ และไม่สามารถสร้างขึ้นจากหน่วยวัสดุของโลกสามมิติได้ อนุภาคมูลฐานของพวกมันไม่ใช่อะตอมและอิเล็กตรอนของเรา แต่เป็นวัตถุที่แตกต่างกันในเชิงคุณภาพ อนุภาคมูลฐานของโลกของเราสามารถแสดงได้ง่ายๆ ว่าเป็นไมโครบอลที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและขวา ไปข้างหน้าและข้างหลัง ขึ้นและลง หรือพร้อมกันทั้งสามทิศทาง อนุภาคมูลฐานของโลกสองมิติคือ “ไมโครแพนเค้ก” ที่เคลื่อนที่อยู่ในระนาบเดียวกัน พวกเขาสามารถเชื่อมต่อกันเป็น "โมเสก" แบน แต่ไม่สามารถ "ยืนอยู่บนขอบ" ในทางใดทางหนึ่ง ทางออกของ "แพนเค้ก" หรือการรวมกันจากระนาบเดิมนั้นเทียบเท่ากับ การหายตัวไปจากโลกสองมิติ “พื้นเมือง” และการเปลี่ยนผ่านไปสู่โลกใกล้เคียง ดังนั้น ชุดของโลกสองมิติจึงมีลักษณะคล้ายกองกระดาษ หรือลูกโป่งพองลมอยู่ข้างใน หรือหนังสือที่เปิดออกทั้งลำ -หน้าที่ตัดกันตามบรรทัดการผูกแบบมีเงื่อนไขเดียว (สะดวกเป็นพิเศษในการ "รวบรวมข้อมูล" บน "จากโลกหนึ่งไปอีกโลกหนึ่ง)

มันเป็นแบบจำลองที่คล้ายกันที่ Daniil Andreev อธิบายไว้ในหนังสือของเขาโดยเรียกจำนวนทั้งสิ้นของโลกสองมิติว่า Anticosmos “การต่อต้านจักรวาลของพรหมฟาทูราทั้งหมด รวมถึงชาดานากรนั้นเป็นสองมิติ พวกมันเป็นเหมือนระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุด พวกมันทั้งหมดตัดกันเป็นเส้นเดียวกัน อาจเรียกได้ว่าเป็นแกนปีศาจแห่งกาแล็กซี<...>โดยธรรมชาติแล้ว สิ่งมีชีวิตใดก็ตามที่อาศัยอยู่ในโลกระนาบสองมิติเหล่านี้จะสามารถมองเห็นมันได้ รวมถึงสิ่งมีชีวิตจากชั้น Shadanakar ที่เกี่ยวข้องด้วย เลเยอร์ชาดานาคา 2 มิติ<...>- ไม่ใช่สถานที่แห่งความทุกข์ทรมานของจิตวิญญาณมนุษย์ในชีวิตหลังความตาย แต่เป็นที่พำนักของสิ่งมีชีวิตปีศาจส่วนใหญ่ในโลกของเรา<...>ไม่ปราศจากความเคร่งขรึม แต่มืดมนโลกนี้อดไม่ได้ที่จะดูน่าขนลุกสำหรับพวกเราคนใดคนหนึ่ง พิกัดเวลาจำนวนมากโดยมีช่องว่างเพียงสองอันเท่านั้นที่สร้างความอึดอัดทางวิญญาณเป็นพิเศษ สำหรับพระสงฆ์ใดๆ กระบวนการในการเข้าสู่โลกนี้ช่างเจ็บปวด มันคล้ายกับความรู้สึกที่เกิดขึ้นเมื่อร่างกายถูกดึงเข้าไปในเครื่องรัดตัวที่รัดแน่นด้วยเหล็ก…” หนังสือ IV, ช. 1. ภาระของการดำรงอยู่ในโลกสองมิติมีลักษณะคล้ายกับความรู้สึกไม่สบายที่บุคคลถูกบังคับให้อยู่ในที่ปิดโดยไม่เห็นท้องฟ้าและดวงอาทิตย์ นี่คือความรู้สึกของกะลาสีเรือดำน้ำและคนงานเหมือง แน่นอนว่าพวกมันมีมิติที่สามและสามารถมองขึ้นหรือลงได้ แต่ก็มีทิวทัศน์รออยู่ซึ่งไม่แตกต่างจากกำแพงที่กั้นพวกมันไว้ทางด้านขวาและซ้ายมากนัก นี่อาจเป็นสาเหตุของการเบี่ยงเบนทางจิต - โรคกลัวที่แคบซึ่งเป็นความกลัวในจิตใต้สำนึกของพื้นที่ปิดล้อม อย่างไรก็ตาม กลับมาที่หนังสือของ D. Andreev กัน: “...โลกแห่งอวกาศหนึ่งมิติและเวลาหนึ่งมิติ นี่คือก้นบึ้งของ Shadanakar ความทรมานในค่ายปีศาจและผู้คนไม่กี่คน - ผู้ให้บริการภารกิจแห่งความมืด<...>เป็นการยากที่จะจินตนาการว่าการเคลื่อนไหวยังคงเกิดขึ้นได้อย่างไรภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว อย่างไรก็ตาม มันมีอยู่ในวันศาทนากร และสำหรับคนที่มีสติแล้ว มันก็เจ็บปวดถึงระดับสูงสุด มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการรักษาความมีชีวิตชีวาเนื่องจากมิฉะนั้นสิ่งมีชีวิตจะถูกดึงเข้าไปในหลุมบางประเภทซึ่งนำไปสู่สถานที่ที่น่าเศร้ายิ่งกว่านั้น: ไปยังก้นบึ้งของกาแล็กซี บรามฟาตูราทุกตัวในกาแล็กซีของเรามีก้นที่เหมือนกัน ยกเว้นที่ปราศจากพลังปีศาจ ด้วยเหตุนี้จึงมี "ก้น" เช่นนี้นับล้านในกาแล็กซี และเช่นเดียวกับระนาบจักรวาลสองมิติของการต่อต้านจักรวาลมากมาย<...>ข้ามเข้าไป สายสามัญเส้นจักรวาลทั้งหมดของก้นกาแลคซีก็ตัดกันที่จุดที่หายไปจุดเดียวเช่นกัน จุดนี้อยู่ในระบบดาวแอนตาเรส ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ดาวดวงนี้หรือที่เรียกว่าหัวใจของราศีพิจิกทำหน้าที่ในตำนานหลายเรื่องในสมัยโบราณและในยุคกลางในฐานะตัวตนของความชั่วร้ายแม้กระทั่งพลังที่โหดร้าย ระบบดาวเคราะห์ขนาดใหญ่ของดาวดวงนี้เป็นจุดสนใจของฝูงกาแล็กซีที่ต่อสู้กับพระเจ้าซึ่งอาศัยอยู่ในโลกสามมิติ<...>จากด้านล่างของ Shadanakar ไม่ใช่ดวงอาทิตย์หรือสิ่งอื่นใด เทห์ฟากฟ้า- ไม่มีอะไรนอกจาก Antares ที่ไม่เคลื่อนไหว ซึ่งมีก้นวางอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง<...>เป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการว่าร่างกายซึ่งมีความหนาแน่นมากที่สุดนั้นเป็นสิ่งที่เหมือนกับสิ่งที่ง่ายที่สุดที่เราสามารถจินตนาการได้: บางอย่างเช่นเส้นสีดำ<...>ความทุกข์นั้นอธิบายไม่ได้” หนังสือ IV, ช. 1.

ฉันคิดว่าไม่น่าแปลกใจที่ผู้สร้าง Agni Yoga ไม่คิดว่าจำเป็นต้องมอบให้แก่ผู้อ่าน คำอธิบายโดยละเอียดโลกที่คล้ายกัน ใช่และเราสัมผัสพวกเขาเพียงสั้น ๆ เนื่องจากการเปรียบเทียบคุณสมบัติของโลกในมิติต่าง ๆ ที่จินตนาการของเราเข้าถึงได้จะช่วยให้เราเข้าใจคุณลักษณะของโลกในมิติที่สูงกว่าอย่างน้อยก็โดยการเปรียบเทียบจะช่วยให้เข้าใจคุณลักษณะของโลกในมิติที่สูงกว่าสามมิติที่ เป็นที่คุ้นเคยสำหรับเรา เพราะ “ขอบเขตของการมองไม่เห็นมีความสัมพันธ์แบบเดียวกันกับความหนาแน่น เช่นเดียวกับโลกในมิติที่สูงกว่ากับโลกสามมิติ”, 436

โลกที่มีมิติเชิงพื้นที่สูง

การจินตนาการถึงอวกาศที่มีมากกว่าสามมิตินั้นเป็นเรื่องยากมากและแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยสำหรับจินตนาการของมนุษย์ แต่ความสามารถในการวิเคราะห์และระบุวัตถุในปริภูมิสี่มิติ ห้ามิติ และหลายมิติอื่นๆ ยังคงมีอยู่ แน่นอนว่าสิ่งนี้ทำโดย "ราชินีและสาวใช้แห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" ซึ่งก็คือคณิตศาสตร์

ให้เราถามตัวเองด้วยคำถาม: เมื่อพัฒนาภาพวาดของส่วนหนึ่งของรูปร่างเชิงพื้นที่ที่ซับซ้อน วิศวกรจะกำหนดรูปทรงของมันได้อย่างไร บนกระดาษสองมิติแบนเขาวาด "ส่วน" ทั้งชุดซึ่งแต่ละส่วนเป็นส่วนทางจิตของส่วนสามมิติที่มีระนาบสองมิติ: หากชิ้นส่วนถูกเลื่อยในสถานที่นี้ให้ทาป้าย ด้วยการทาสีและทาลงบนแผ่นกระดาษก็จะได้รอยพิมพ์รูปทรงนี้ (นี่คือสิ่งที่นักเรียนที่มีไหวพริบทำเมื่อต้องเผชิญกับงานที่ยากเป็นพิเศษในการวาดภาพหรือเรขาคณิตเชิงพรรณนา: พวกเขาหยิบมันฝรั่งขนาดใหญ่แล้วตัด "ร่างกาย" ของรูปร่างที่ต้องการออก จากนั้นใช้มีดทำครัวขยับเพียงครั้งเดียว มาตราที่กำหนด)

เมื่อทราบลักษณะเฉพาะส่วนต่างๆ ของร่างกาย เราก็สามารถจินตนาการถึงรูปร่างสามมิติที่แท้จริงของมันได้ ถ้าหน้าตัดทั้งหมดเป็นวงกลม และส่วนตามยาวเป็นรูปพาราโบลา แสดงว่าเป็นพาราโบลาแห่งการปฏิวัติ กระจกของโปรแกรมขยายภาพ สปอตไลท์ ไฟหน้า และไฟฉายธรรมดามีรูปร่างเช่นนี้ หากส่วนตามยาว ตามขวาง และแนวนอนทั้งหมดของร่างกายเป็นวงกลม มันก็จะเป็นทรงกลมหรือพื้นผิวของลูกบอล

วิธีเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ทำให้สามารถดำเนินการโดยใช้สูตรและการคำนวณ การดำเนินการที่คล้ายกันโดยสิ้นเชิงกับวัตถุสี่มิติ ห้ามิติ และโดยทั่วไปจะมีมิติใดก็ได้ วัตถุสี่มิตินี้คืออะไร ส่วนสามมิติทั้งหมดเป็นทรงกลม? มันมีเหตุผลที่จะเรียกมันว่า ไฮเปอร์สเฟียร์สี่มิติ- และถ้าวัตถุห้ามิติในส่วนต่างๆ ทั้งหมดแสดงถึงไฮเปอร์สเฟียร์สี่มิติ นั่นก็เป็นเช่นนั้นแล้ว ไฮเปอร์สเฟียร์ห้ามิติ.

ไฮเปอร์สเฟียร์เช่นเดียวกับทรงกลมสามมิตินั้นอธิบายได้ด้วยสมการบางอย่างและที่น่าแปลกก็คือเส้นผ่านศูนย์กลางของพวกมันสามารถวัดเป็นเมตรธรรมดาซึ่งเราคุ้นเคย ลองนึกภาพว่าเรากำลังถือมันฝรั่งทรงกลมพอดีมืออยู่ในมือ มาเริ่มตัด "ลูกบอล" นี้กันโดยสร้างส่วนที่มีระนาบขนานกัน เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ได้จะเพิ่มขึ้นก่อนแล้วจึงลดลง จากตรงกลางคุณจะได้วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่ที่สุด ในทำนองเดียวกัน โดยการดำเนินการส่วนทางจิตของไฮเปอร์สเฟียร์สี่มิติ เราจะสร้างลูกบอลที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ จนกระทั่งเราได้ลูกบอลสามมิติธรรมดาที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่ที่สุด (โดยธรรมชาติแล้ว มันสามารถวัดได้ด้วยหน่วยเชิงเส้นใดๆ เช่น เมตร มิลลิเมตร นิ้ว เป็นต้น)

ไม่เพียงแต่นักคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิศวกรที่กำลังมองหาอัตราส่วนที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ของเครื่องจักรที่ออกแบบ เช่นเดียวกับผู้เชี่ยวชาญในการวางแผนที่เหมาะสมที่สุด การเงิน การขนส่ง ฯลฯ ดำเนินงานอย่างอิสระด้วยตัวเลขหลายมิติและไฮเปอร์สเปซจำนวนมาก ขนาด ท้ายที่สุดแล้ว การแก้ปัญหาการออกแบบหรือการวางแผนที่เหมาะสมที่สุดในทางปฏิบัตินั้นเกี่ยวข้องกับการศึกษารูปร่างของพื้นผิวหลายมิติที่เรียกว่า เป้าฟังก์ชั่นค้นหารางน้ำที่ลึกที่สุด - ขั้นต่ำหรือยอดเขาสูงสุด - สูงสุด (ราวกับว่าเป็นการเดินทางผ่านภูมิประเทศที่ขรุขระมาก - สีแดง- ถ้าปัญหาเป็นเรื่องทางวิศวกรรม ฟังก์ชันเป้าหมายอาจเป็นน้ำหนักของโครงสร้าง และแกนของปริภูมิหลายมิติอาจเป็นพารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับมัน เมื่อพิจารณาตัวเลือกต่างๆ มากมาย วิศวกรจะ "เดินทาง" ไปตามพื้นผิวหลายมิตินี้และค้นหาตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด นั่นคือจุดยอดสูงสุดบนไฮเปอร์พื้นผิวของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ลองนึกดูว่าไฮเปอร์สเปซมีกี่มิติซึ่งสำนักออกแบบการบินกำลังมองหาอัตราส่วนที่เหมาะสมของพารามิเตอร์สำหรับปีกของเครื่องบินความเร็วเหนือเสียง!

สำหรับฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและเชิงทดลองนั้น ยังคงไม่สามารถให้คำตอบที่แน่ชัดสำหรับคำถามที่ว่าอวกาศในจักรวาลของเรามีแกนพิกัดเพิ่มเติมนอกเหนือจากแกนทั้งสามที่เรารู้จักหรือไม่ และถ้ามี มีมิติและสเปซย่อยเหล่านี้จำนวนเท่าใดที่ต่างกัน มิติที่เหมาะสมจำนวนมากมายก็มีโลกอยู่รอบตัวเรา วิทยาศาสตร์แม้จะประสบความสำเร็จบ้างในการศึกษาความต่อเนื่องของกาล-อวกาศหลายมิติ แต่กลับพิจารณาปัญหาของปริภูมิและเวลาโดยแยกจากการดำรงอยู่ของโลกอันละเอียดอ่อนคู่ขนาน ซึ่งโดยหลักการแล้วจำกัดความเป็นไปได้ในการสร้างทฤษฎีที่เพียงพอต่อ โลกโดยรอบ

โปรดทราบว่าวงกลมไม่เพียงแต่เป็นส่วนของทรงกลมเท่านั้น แต่ยังเป็นส่วนตัดขวางของทรงกระบอก กรวย พาราโบลาลอยด์ ลูกแพร์ ไข่ และแม้แต่หัวหอมในโบสถ์ด้วย ในทำนองเดียวกัน ลูกบอลสามารถเป็นส่วนสามมิติของไฮเปอร์บอดีที่มีมิติสูงที่หลากหลายได้ ภาพตัดขวางของทรงกระบอกเป็นรูปวงกลม และส่วนตามยาวเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หากคุณตัดทรงกระบอกที่มีพื้นผิวเอียง คุณจะได้วงรี (วงรี) การ "ตัด" กรวยนั้นน่าสนใจยิ่งกว่า หน้าตัดเป็นวงกลม ถ้าคุณตัดมันตามยาวตามแนวแกนคุณจะได้รูปสามเหลี่ยม หากคุณตัดมันด้วยระนาบเดียวกัน โดยถอยห่างจากแกน คุณจะได้ไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 2) แต่คุณยังสามารถตัดเฉียงหรือขนานกับเจเนราทริกซ์ได้ ให้เราเน้นว่า ร่างกายเดียวกันในส่วนต่าง ๆ มีรูปร่างที่แตกต่างกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน - รูปสองมิติเดียวกันสามารถเป็นส่วนหนึ่งของร่างกายสามมิติที่แตกต่างกันได้- วัตถุหลายมิติก็มีคุณสมบัตินี้เช่นกัน ลูกบอลหรือตัววงรีใด ๆ ถือได้ว่าเป็นส่วนสามมิติของวัตถุสี่มิติและโดยทั่วไปในส่วนสามมิติหนึ่งมันสามารถมีรูปร่างของพาราโบลาไฮเปอร์โบลิกในอีกอันหนึ่ง - ลูกบอลในหนึ่งในสาม - ก็เป็นลูกบอลเหมือนกัน แต่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่า แน่นอนว่าจินตนาการเชิงพื้นที่ของเราไม่อนุญาตให้เราจินตนาการถึงร่างกายสี่มิติเช่นนี้ได้ทั้งหมด แต่มันวิเศษมากที่พวกมันมีอยู่จริง

แต่ละมิติใหม่ทำให้พื้นที่ใช้สอยไม่มีใครเทียบได้ มีรูปแบบที่หลากหลายและสมบูรณ์ยิ่งขึ้นร่างกายที่มีอยู่ในนั้น หากในโลกสองมิติสิ่งเหล่านี้คือวงกลมและพาราโบลา สามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม เกลียว คาร์ดิออยด์ รูปร่างของวัตถุสามมิติจะมีความหลากหลายมากกว่าอย่างหาที่เปรียบมิได้ Stereometry รู้จักทรงกลมและทรงรี ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นและพาราโบลอยด์ไฮเปอร์โบลิก ลูกบาศก์และจัตุรมุข ปิรามิดที่ถูกตัดทอน และรูปแบบรูปดาวของไอโคโซโดเดคาฮีดรอน

ประติมากรและสถาปนิกเมื่อสร้างผลงานเชิงพื้นที่มีความเป็นไปได้มากกว่าผู้เชี่ยวชาญด้านเครื่องประดับโมเสกอย่างไม่มีที่เปรียบ แต่โอกาสที่สร้างสรรค์จะกว้างใหญ่และหลากหลายเพียงใดที่เปิดให้กับจิตวิญญาณในอวกาศสี่มิติหรือห้ามิติการสร้างสรรค์ของปรมาจารย์แห่งโลกเหล่านั้นช่างงดงามเพียงใด - จิตใจของผู้อาศัยในโลกสามมิติไม่สามารถจินตนาการได้ เราได้เรียนรู้ที่จะวิเคราะห์รูปร่างและสร้างส่วนต่าง ๆ ของร่างกายหลายมิติ แต่เรายังไม่สามารถสัมผัสถึงความน่าเกรงขามและความสุขใจเมื่ออยู่ต่อหน้าผลงานศิลปะอันยอดเยี่ยมซึ่งมีการประสานงานเชิงพื้นที่อีกหนึ่งอย่าง ความนูนอีกอย่างหนึ่ง ความโล่งใจ เช่นเดียวกับที่ฉลาดมาก อาศัยอยู่บนหน้ากระดาษจากสมุดบันทึกของโรงเรียนไม่ได้ ชื่นชมการเจียระไนเพชร ไม่น่าเป็นไปได้ที่เธอจะสามารถชื่นชมผลงานศิลปะในรูปแบบ "แบน" ของโลกของเราได้เพราะในภาพวาดของ Rembrandt หรือ N.K. Roerich เราไม่ได้กังวลกับการรวมกันของจุดสีบางจุด (เช่นในเครื่องประดับ) ด้วยความลึกของพื้นที่และการเล่นแสงและเงาบนตัวปริมาตรที่แสดงผืนผ้าใบเรียบเหล่านี้

ในหนังสือของ Agni Yoga เราสามารถอ่านเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งของผู้อยู่อาศัยในโลกหลายมิติ: “ บนโลกมนุษย์ไม่ได้มองเห็นวัตถุโดยรวม แต่มีเพียงเครื่องบิน (พื้นผิว - เอ.อาร์.) พวกเขาหันหน้าไปทางเขาโดยตะแคงข้าง ที่เหลือก็สำเร็จด้วยจิตสำนึกของเขา” (๒๑๑) ผู้อาศัยในโลกมิติที่สูงกว่าสามารถ "มองเห็นวัตถุโดยรวม" ได้พร้อมกันจากทุกทิศทุกทางเมื่อมองเข้าไปในโลกของเราซึ่งเราไม่รู้จักโดยสิ้นเชิง โดยมองจากโลกสี่หรือห้ามิติของเราไปสู่โลกสามมิติ ท้ายที่สุดแล้ว “อวกาศถือได้ว่าเป็นสายใยไปยังโลกที่มองไม่เห็น แต่เฝ้าดูเราอยู่”, 060

เพื่อเป็นการปลอบใจให้กับรอยเปื้อนสองมิติ เราสังเกตว่า การมีการมองเห็นสามมิติ ผู้ที่อาศัยอยู่ในโลกสองมิติมีความสามารถในการรับรู้มุมมอง ประเมินระยะห่างจากวัตถุและความนูนของมัน(โดยการเปรียบเทียบความแตกต่างบางประการของภาพที่ตาขวาและตาซ้ายรับรู้ได้เหมือนกับที่สมองของเราทำ) เขายังสามารถเห็นได้ว่าวัตถุชิ้นหนึ่งอยู่ใกล้กว่าอีกชิ้นหนึ่ง และบดบังวัตถุชิ้นแรกบางส่วน แม้ว่าจะมีขนาดใหญ่กว่ามากก็ตาม วิสัยทัศน์ของโลกไม่เพียงขึ้นอยู่กับ "ภาพ" ที่ดวงตาจับเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับวิธีการประมวลผลในใจ (ในระดับที่สูงกว่า) ซึ่งสามารถแนะนำการแก้ไขที่เป็นประโยชน์หลายประการหรือในทางกลับกันทำให้เกิดการมองเห็น ภาพลวงตา สิ่งนี้ใช้ได้กับทั้งผู้ที่อาศัยอยู่ในโลกสองมิติและสิ่งมีชีวิตจากสามมิติของเราอย่างเท่าเทียมกัน “ขณะเคลื่อนที่ในรถไฟหรือรถยนต์ เขาสังเกตเห็นว่าวัตถุทั้งหมดที่รถไฟแล่นผ่านไปนั้นเคลื่อนไหว และยิ่งกว่านั้นด้วย ด้วยความเร็วที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับระยะห่างจากผู้ดู แต่เขาเอาชนะการเคลื่อนไหวที่ชัดเจนในจิตสำนึกของเขาได้ รางรถไฟในระยะไกลหรือท้องฟ้าและโลกบนขอบฟ้ามาบรรจบกันในลักษณะเดียวกัน”, 211.

ขอให้เราลองทำความเข้าใจคุณลักษณะที่ไม่ธรรมดาอีกประการหนึ่งของโลกเหนือธรรมชาติซึ่งมีการกล่าวถึงซ้ำแล้วซ้ำเล่าในหนังสือคำสอนแห่งชีวิต “ระยะทางดำรงอยู่สำหรับจิตสำนึกสามมิติและวัตถุของโลกสามมิติ”, 005. “ในโลกที่ละเอียดอ่อน แนวคิดเรื่องระยะทางแตกต่างจากแนวคิดทางโลก: มีระยะทาง แต่ได้รับการแก้ไขและไม่ได้วัดเป็นกิโลเมตร ความใกล้ชิดและระยะทางถูกกำหนดด้วยความคิดและความทะเยอทะยาน”, 565 “กฎของอวกาศในมิติที่สูงกว่าทำให้ระยะทางใกล้เข้ามาและเป็นไปไม่ได้ ความสามัคคีในจิตวิญญาณกับสิ่งมีชีวิตและสิ่งมีชีวิตที่แยกจากกันเป็นไปได้ในโลกสามมิติ เมื่อระยะทางหายไปและไม่มีอะไรสามารถหยุดความคิดที่ทะเยอทะยานได้” 437 สาระสำคัญทางกายภาพของการลดระยะทางภายใต้อิทธิพลของความคิดที่ทะเยอทะยานไม่ได้เปิดเผยในรายละเอียดเพิ่มเติมใน หนังสือของอัคนีโยคะ ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเข้าใจคุณลักษณะนี้ - เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แบบเดียวกันซึ่งความถูกต้อง (สัมพันธ์กับวัตถุเฉพาะที่พิจารณาในสามมิติ) จนถึงขณะนี้ไม่มีใครสงสัยประกาศด้วยความไม่หยุดยั้งทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ: เส้นตรงเป็นระยะทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดต่างๆ (ในช่องว่างของมิติใดๆ) อันที่จริง: หากมีสองจุดบนกระดาษหนึ่งแผ่น ระยะทางที่สั้นที่สุดจะถูกกำหนดโดยเส้นตรงระหว่างจุดเหล่านั้นที่อยู่ในระนาบเดียวกัน และไม่ว่าเราจะฉลาดแค่ไหนในการพยายามใช้ประโยชน์จากการดำรงอยู่สามมิติของเรา วิถีการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งที่เป็นไปได้ (ด้วยการเพิ่มขึ้น ลดลง ตามพาราโบลาหรือคลื่นไซน์) จะยังคงอยู่ ยาวกว่าเส้นตรงเล็กๆ น้อยๆ เอบีนอนอยู่ในระนาบนี้ (รูปที่ 3a) แต่สิ่งนี้เป็นจริงตราบใดที่เราประพฤติตนตามหลักคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด โดยไม่เกินกว่าสมมติฐานที่ยอมรับ หากเรากระทำการไม่เล็กน้อยและ "อยู่ในใจของเรา" ขยำกระดาษแผ่นนี้หรือพับมันเหมือนหีบเพลง (และสิ่งนี้จะไม่หยุดจากการเป็นแบบสองมิติ) จากนั้นปรากฎทันทีว่าในสามมิติเรา สามารถค้นหาเส้นทางที่สั้นกว่าและตรงกว่าเส้นทางที่รู้จัก เอบี(รูปที่ 3b)

คำอธิบายที่เป็นไปได้นี้แสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นโดยการเปรียบเทียบกับโลกมิติเดียว ซึ่งดูเหมือนเส้นด้ายบางมากที่มีลูกปัดและท่อมิติเดียวคลานไปตามนั้น คุณสามารถใส่จุดสองจุดบนเธรดนี้ได้ ถ้าเส้นถูกยืดออกเหมือนเชือก คณิตศาสตร์ที่ไม่มีวันสิ้นสุดจะประกาศว่าระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างจุดคือเส้นตรงที่วางอยู่ในโลกมิติเดียวนี้ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าด้ายพันเป็นลูกบอล? จากนั้นจุดสัมผัสของเธรดข้างเคียงซึ่งอยู่ห่างจากกันมากตามแนวคิดของโลกมิติเดียวนั้นกลับกลายเป็นว่าอยู่ใกล้กันมาก (จากมุมมองของสามมิติ) ทีนี้ ลองจินตนาการดูว่าด้ายเส้นด้ายถูกซักแล้ว และเข็ดของมันถูกแขวนไว้ให้แห้งเป็นเกลียวและพลิ้วไหวไปตามสายลม จุดลูกปัดน่ารักสองจุดจึงเริ่มคิดอย่างตั้งใจเกี่ยวกับกันและกัน ประสบกับความเห็นอกเห็นใจซึ่งกันและกันอันทรงพลัง “แรงดึงดูดทางจิตวิญญาณ” แต่คิดว่าเป็นไปได้ ที่สามารถมีอิทธิพลต่อพื้นที่ได้ ด้ายที่แขวนอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงดึงดูดของแม่เหล็กขนาดเล็กแต่ทรงพลังเหล่านี้ โค้งงอ เข้ามาใกล้มากขึ้น และ... ลูกปัดสัมผัสกัน โดยอยู่ (ตามมาตรฐานของมิติเดียว) ที่ระยะห่างอย่างมากจากแต่ละมิติ อื่น. “เป็นลักษณะของโลกอันละเอียดอ่อนที่ไม่มี... ไกลและใกล้: อันมีรัศมีแห่งความคิดส่องเข้ามาก็อยู่ใกล้ๆเพราะมีความคิดสร้างสิ่งแวดล้อมให้บุคคล การคิดถึงวัตถุหรือบุคคลที่อยู่ห่างไกลก็เพียงพอแล้วเนื่องจากวัตถุหรือบุคคลนั้นอยู่ต่อหน้าต่อตาคุณในระยะใกล้ แรงดึงดูดแห่งความคิดนั้นยิ่งใหญ่” (168) อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องที่ยุติธรรมที่จะอธิบายปรากฏการณ์นี้ทั้งโดยการเคลื่อนไหวอย่างรวดเร็วและแทบจะทันทีทันใดของร่างกายอันบอบบางไปยังวัตถุที่มีสมาธิ และโดยการเสียรูปของสสารพลาสติกแห่งโลกอันละเอียดอ่อน อยู่ภายใต้อิทธิพลของความคิด แต่ในคำพูดข้างต้นกลับบอกว่าสนิทกันมาก!

ลักษณะเฉพาะของความสัมพันธ์ระหว่างช่องว่างในมิติต่างๆ ช่วยให้เข้าใจข้อความที่กล่าวซ้ำในอัคนีโยคะและคำสอนอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งที่ว่าจิตวิญญาณของมนุษย์ไม่เปลี่ยนแปลงและเป็นนิรันดร์ ไม่มีอิทธิพลใดจากโลกอันหนาแน่นของเราที่สามารถทำลายวิญญาณได้หรือทำให้เสียหายอย่างมีนัยสำคัญ “แก่นแท้ของไฟสูงสุดของเรานั้นเป็นนิรันดร์และไม่เปลี่ยนแปลง แต่จิตสำนึก [หรือวิญญาณ] ที่รวบรวมจากพลังงานที่สะสมอยู่รอบเมล็ดไฟหลักนั้นเติบโตและเปลี่ยนแปลง ดังนั้น เม็ดวิญญาณที่ลุกเป็นไฟของเราจึงเป็นผู้ถือครองรูปร่างและการแสดงออกที่เปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา ก่อให้เกิดสาเหตุและผลที่ตามมาอย่างต่อเนื่องในการผ่านของมันผ่านทรงกลมและโลกต่างๆ พัฒนาไปสู่รูปแบบหนึ่งของพรหมลิขิตหรือโชคชะตา…” 46. จิตวิญญาณของมนุษย์ซึ่งเป็นองค์ประกอบสูงสุดในแก่นแท้ของเขา "ไม่ใช่ของโลกนี้" เป็นของโลกที่สูงกว่า (ซึ่งมีมิติที่ใหญ่กว่าของเราอย่างมาก) “แม้แต่ร่างกายของดวงดาวก็ยังทำงานในอีกมิติหนึ่ง มีประโยชน์มากเมื่อเปรียบเทียบกับมิติของโลกสามมิติ<...>ความคิดกล่าวถึงกรณีของความเป็นสามมิติเมื่อเกี่ยวข้องกับการรับรู้ผ่านประสาทสัมผัสที่หนาแน่น ภายนอกมันไม่ใช่สามมิติอีกต่อไป” 458 เมื่อย้อนกลับไปสู่การเปรียบเทียบความสัมพันธ์ระหว่างโลกสามมิติและโลกสองมิติอีกครั้ง เราสามารถจินตนาการถึงจิตวิญญาณของรอยเปื้อนที่อาศัยอยู่บนเครื่องบินในรูปแบบของ ตัวใดตัวหนึ่ง (เพื่อความชัดเจน เป็นรูปกรวยหรือเพชร) ซึ่งมาสัมผัสกับเนื้อสองมิติของรอยเปื้อนเท่านั้นที่ส่วนบนของมัน (ตรงจุด ไม่ใช่เพื่ออะไรที่พวกเขาพูดว่า: "ประกายแห่งพระเจ้าคือ ในตัวเรา” เพราะประกายไฟเปรียบเสมือนจุดสว่างจ้า) โดยธรรมชาติแล้ว ไม่ว่าความหายนะจะเกิดขึ้นในระนาบสองมิติ พวกมันสามารถส่งผลกระทบต่อร่างกายในมิติที่สูงกว่าที่สัมผัสกับมันเสมือนเป็นทิ่มแทงที่หายวับไปเท่านั้น

จะเกิดอะไรขึ้นกับ "blot" ในจินตนาการ? การไม่มีองค์ประกอบสูงสุดในแก่นแท้ทางจิตวิญญาณในระยะสั้นก็คล้ายกับการนอนหลับหรือการลืมเลือนในระยะสั้น หากร่างกายทางดาวและจิตใจยังคงอยู่ และเมื่อรวมกับร่างกายที่หนาแน่นแล้ว ยังคงรักษาความเป็นไปได้ของพฤติกรรมที่กระฉับกระเฉง และส่วนประกอบที่สูงกว่าออกไป เหตุผลจะกลายเป็น "เปลือกที่ว่างเปล่า" "ศพที่มีชีวิต" "คนตายที่เดินได้ ", 557.

ลองคิดถึงสิ่งที่จะระบุตัวตนของเรา ความหมายของคำว่า "ฉัน" - ไม่ว่าจะเป็นร่างกายที่เป็นมนุษย์ของเรา หนาแน่นและเชื่องช้า หรือเปลือกดาวที่โบกสะบัดอยู่ตลอดเวลา หรือร่างกายแห่งความคิดทางจิต หรือวิญญาณที่อาศัยอยู่ในโลกที่ส่องแสงแห่ง มิติสูงสุดและลงสู่โลกของเราเพื่อปรับปรุงและตกแต่งและในขณะเดียวกันก็ดีขึ้นมีประสบการณ์มากขึ้นฉลาดขึ้น “คุณควรเรียนรู้ที่จะแยกแยะหลักธรรมทั้งสามนี้ด้วยความคิดของคุณ จริงๆ แล้วมีเจ็ดอย่าง แต่สำหรับผู้เริ่มต้นและการทำให้เข้าใจง่าย - อย่างน้อยสาม: หนาแน่น ละเอียดอ่อน และลุกเป็นไฟ สติสามารถอยู่ในส่วนใดส่วนหนึ่งได้เป็นส่วนใหญ่ บนโลกมักจะอาศัยอยู่ในที่หนาแน่น แต่ทุกอารมณ์เชื่อมโยงกับดวงดาวและความคิดด้วยหลักการทางจิต และไม่ใช่ในโลกที่หนาแน่น แต่เหนือมนุษย์อาศัยอยู่ในความฝัน ดังนั้นแม้แต่บนโลก จิตสำนึกก็สามารถเข้าไปในทรงกลมที่มองไม่เห็นซึ่งมันจะอาศัยอยู่โดยเหวี่ยงออกจากร่างกาย บ่อยครั้งแม้ในขณะที่อยู่ในร่างกาย เราก็อาศัยอยู่ในโลกที่แตกต่างเกินกว่าที่คิด กระโจนเข้าสู่โลกแห่งความคิดบางครั้งบุคคลไม่สามารถมองเห็นหรือได้ยินสิ่งที่อยู่รอบตัวเขา ที่ใดมีความคิด ที่นั่นมีสติ ฉันแนะนำให้คุณควบคุมความคิดของคุณบ่อยขึ้น ทรงกลมที่สูงขึ้น- นิสัยนี้จะสร้างการเชื่อมโยงแม่เหล็กกับโลกที่สูงกว่า”, 262.

โปรดทราบด้วยว่า การเปลี่ยนแปลงของแก่นแท้ทางจิตวิญญาณจากโลกหนึ่งไปอีกโลกหนึ่งโลกคู่ขนาน (เลเยอร์) ไม่ได้ซับซ้อนเท่ากับโลกหนาแน่นที่เราคุ้นเคยเสมอไป (ซึ่งเรียกว่าเอนรอฟในหนังสือของ D. Andreev) “การคิดที่จะถ่ายโอนคุณลักษณะเฉพาะของ Enrof ไปยังเลเยอร์อื่นๆ ถือเป็นเรื่องผิดที่สิ่งกีดขวางทั้งหมดที่แยกชั้นออกจากชั้นนั้นจำเป็นต้องผ่านเข้าไปไม่ได้ เช่นเดียวกับสิ่งกีดขวางที่แยก Enrof ออกจากชั้นของมิติอื่นๆ อย่างไรก็ตาม มีสิ่งกีดขวางที่จำกัดชั้นหนึ่ง และแม้กระทั่งชั้นที่ซึมผ่านได้น้อยกว่า ทำให้แยกชั้นออกจากส่วนที่เหลือได้แน่นยิ่งขึ้น แต่มีเพียงไม่กี่คน มีกลุ่มของเลเยอร์ดังกล่าวอีกมากมาย ซึ่งภายในการเปลี่ยนจากชั้นหนึ่งไปอีกชั้นหนึ่งนั้นต้องการจากการไม่ตายหรือการเปลี่ยนแปลงทางวัตถุที่ยากที่สุดเช่นเดียวกับเรา แต่มีเพียงสถานะภายในพิเศษเท่านั้น นอกจากนี้ยังมีอีกหลายกรณีที่การเปลี่ยนไปสู่สถานะใกล้เคียงนั้นเกิดจากการไม่ต้องใช้ความพยายามมากไปกว่าการเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งของ Enrof ทางโลกไปยังอีกสถานะหนึ่ง เลเยอร์ดังกล่าวหลายชั้นก่อตัวเป็นระบบ ฉันคุ้นเคยกับการเรียกระบบชั้นหรือลำดับของโลกแต่ละระบบตามคำภาษาอินเดียว่า s a k u a la อย่างไรก็ตาม นอกจาก sakuals แล้ว ยังมีหนังสือชั้นเดียวเช่น Enrof” อีกด้วย ครั้งที่สอง ช. 3 วรรค 1

คุณลักษณะเดียวกันนี้ถูกกล่าวถึงใน "Evermundane" แต่ในขณะเดียวกันก็มีการระบุรายละเอียดที่สำคัญอีกประการหนึ่ง - ความสามารถในการเปลี่ยนแปลงของโลกวิวัฒนาการของพวกเขา ความเป็นไปได้ของการสร้างสายสัมพันธ์อย่างค่อยเป็นค่อยไปและลดความซับซ้อนของการเปลี่ยนแปลงจากโลกหนึ่งไปสู่โลกคู่ขนาน: “ขอบเขต (ของโลก - A.R.) มักจะแยกไม่ออก โลกถูกแบ่งออกเป็นหลายรัฐและยังแยกกันอยู่ด้วย มีเพียงความรู้ตรงเท่านั้นที่สามารถเข้าใจขอบเขตของกลุ่มดังกล่าวได้ แต่มันยากยิ่งกว่าที่จะเข้าใจวิวัฒนาการของโลก หากทุกสิ่งดำรงอยู่โดยการเคลื่อนไหว สภาวะของโลกก็ไม่สามารถดำรงอยู่ได้หากไม่มีการเคลื่อนไหว เราได้พูดคุยเกี่ยวกับระนาบดาวที่หนาแน่นแล้ว ในทางกลับกัน โลกทางกายเข้าใจถึงพลังแห่งความคิด และด้วยเหตุนี้จึงปรับเปลี่ยนแก่นแท้ของเนื้อหนังอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งหมายความว่ารัฐใหม่กำลังก่อตัวขึ้นระหว่างโลกที่ละเอียดอ่อนและโลกทางกายภาพ เกือบจะต่อหน้าต่อตามนุษยชาติ ดังนั้นรูปแบบใหม่จึงเริ่มปรากฏขึ้นระหว่างโลกที่บอบบางและที่ลุกเป็นไฟ” 102 “ความคิดเกี่ยวกับโลกที่ห่างไกล ผู้คนมาจากโลก จุดเริ่มต้นนั้นถูกต้อง แต่ข้อผิดพลาดคือสถานะปัจจุบันของมันถือว่าคงที่และไม่เคลื่อนไหวในรูปแบบของมันในขณะที่การผอมบางของสสารเองและการหายากของความหนาแน่นในกระบวนการวิวัฒนาการนั้นสมบูรณ์ มองข้ามและไม่นำมาพิจารณา การผอมบางและการทำให้บริสุทธิ์ของสสาร ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการที่สสารต้องผ่านเส้นทางของการเปลี่ยนแปลงผ่านรูปแบบพืช สัตว์ และมนุษย์ ค่อยๆ เพิ่มความเป็นพลาสติกและความคล่องตัวอย่างช้าๆ แต่ต่อเนื่องและสม่ำเสมอ สักวันหนึ่ง ไม่เพียงแต่ร่างกายมนุษย์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเรื่องของดาวเคราะห์ด้วยด้วย จะกลายเป็นดวงดาวที่หนาแน่น จากนั้นโลกทั้งโลกที่อยู่รอบ ๆ บุคคล ต้องขอบคุณความเป็นพลาสติกที่เพิ่มขึ้นและความหายากของสสาร จะยอมจำนนต่อการออกแบบความคิดได้อย่างง่ายดายและอิสระมากขึ้น ”, 367. “ โลกที่หนาแน่นมีอยู่และมีการมองเห็นทางกายภาพที่มองเห็นได้ชัดเจน โลกที่ละเอียดอ่อนมีอยู่ แต่เราไม่เห็นมันด้วยการมองเห็นที่หนาแน่น... ยุคใหม่จะถูกทำเครื่องหมายด้วยการสร้างสายสัมพันธ์ของโลก ขอบเขตระหว่างพวกเขาจะค่อยๆ บางลงจนหายไปหมด” 294

“ชั้นและสาคูทั้งตัว พวกเขายังแตกต่างกันในลักษณะของขอบเขตของพื้นที่ของพวกเขา- ไม่ใช่ทั้งหมดที่มีขอบเขตจักรวาลเหมือนที่เอนรอฟมี ไม่ว่าจะจินตนาการได้ยากแค่ไหน พื้นที่ของพวกมันหลายคนก็ดับลงที่ขอบของระบบสุริยะ บางแห่งมีความเป็นท้องถิ่นมากกว่า: ดูเหมือนว่าพวกมันจะอยู่ภายในขอบเขตของโลกของเรา มีอีกหลายสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับโลกโดยรวม แต่มีเพียงชั้นหรือส่วนทางกายภาพบางส่วนเท่านั้น” หนังสือ ครั้งที่สอง ช. 3 วรรค 1 (ตัวเอียง - ร.อ.).

ขอให้เรากลับมาที่คำถามเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างอนุภาคมูลฐานที่ก่อตัวเป็นวัตถุสองมิติและสามมิติอีกครั้ง เราได้กล่าวไปแล้วว่า "ลูกบอล" สามมิติของอะตอมและอิเล็กตรอนในโลกของเราไม่สามารถทำหน้าที่เป็นวัสดุสำหรับการก่อตัวของวัตถุสองมิติได้ และ "แพนเค้ก" สองมิติไม่เหมาะสำหรับพื้นที่สามมิติ แต่ในโลกของเรามีวัตถุทางวัตถุที่สามารถปรากฏตัวในสองมิติได้สำเร็จพอ ๆ กับในสามมิติและเห็นได้ชัดว่าในหลากหลายมิติ เหล่านี้เป็นสาขาที่มีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกันตัวอย่างเช่น สนามแม่เหล็ก มันให้ภาพวาดเส้นแรงบนกระดาษแผ่นเรียบที่มีตะไบเหล็กกระจัดกระจายอยู่ นอกจากนี้มันยังสร้าง "เครา" ที่แปลกประหลาดของตะปูและถั่วในพื้นที่สามมิติซึ่งดึงดูดด้วยแม่เหล็ก เห็นได้ชัดว่าใน โลกหลายมิติมันสามารถสร้างสิ่งก่อสร้างที่แปลกประหลาดจากวัตถุที่เหมาะสมซึ่งไวต่ออิทธิพลของมัน คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าของสัญญาณวิทยุจะกระจุกตัวอยู่ในลำแสงที่มีทิศทางสูงโดยเสาอากาศเรดาร์แบบพาราโบลา (สามมิติ) แต่แม้จะอยู่ในเสาอากาศลวดแบบมิติเดียวที่ง่ายที่สุดก็ยังเหนี่ยวนำให้เกิดแรงเคลื่อนไฟฟ้า สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าโดยธรรมชาติแล้ววัตถุที่ปรากฏตัวในโลกที่แตกต่างกันนั้นอยู่ใกล้การก่อตัวที่มั่นคงโดยอิงตามพื้นที่ที่มีลักษณะทางกายภาพต่างกัน (เช่น บอลสายฟ้า) มากกว่าวัตถุที่เป็นของแข็งและของเหลว "อวกาศมีทุ่งทรงกลมขนาดใหญ่ที่ยังไม่ได้สำรวจ" 418

นี่คืออะไร “วัตถุ” ที่เป็นของหลายโลกพร้อมกัน,สามารถดำรงอยู่ในพวกมันได้หรือ? เราจะพบคำตอบสำหรับคำถามนี้ในหนังสือ Agni Yoga ก่อนอื่นนี่คือ - คิด- “ความคิดไม่ได้ถูกจำกัดด้วยสิ่งใดๆ ไม่มีอุปสรรคหรืออุปสรรคสำหรับเธอ เหมือนกับลำแสงที่เจาะทะลุพื้นที่ทั้งหมดของทุกมิติ" 262. "การก่อตัวของจิตไม่อยู่ภายใต้กฎของสามมิติ แม้ว่าจะมีปริมาตร รูปร่าง สี และแม้แต่น้ำหนักก็ตาม"<...>จิตสำนึก พวกมันไม่ใช่สามมิติ เหมือนเมื่อวานไม่มีอยู่บนโลก เพราะมันรีบเร่งไปในอวกาศ สะท้อนอยู่ในรัศมีของดาวเคราะห์ ดังนั้นจึงไม่มีอดีตที่ตราตรึงอยู่ในความทรงจำ ในร่างกายมนุษย์ มันอยู่ภายนอก ในที่เดียวกับเมื่อวาน<...>ทางการเงิน<...>อดีตที่มีอยู่และประทับอยู่ในโลกที่มองไม่เห็นในอวกาศของมิติอื่น อดีตถูกตราตรึงอยู่ในรัศมีที่พุ่งผ่านห้วงอวกาศในระยะทางที่ไม่อาจคำนวณได้หากวัดด้วยวิธีทางโลก แต่ไม่มีอยู่จริงสำหรับจิตสำนึกที่ลุกเป็นไฟของวิญญาณ” 005 ให้เราทราบอีกครั้งว่า “โลกสามมิติ เป็นผลจากการรับรู้ทางสมอง แม้แต่ร่างกายของดวงดาวก็ยังทำงานในอีกมิติหนึ่ง การเปรียบเทียบกับมิติของโลกสามมิติมีประโยชน์มาก”, 458

ส่วนมิติที่ 4 เป็นคุณสมบัติของพลังจิต 542] กล่าวอีกนัยหนึ่ง " ไฟอวกาศมีหลักการเชื่อมโยงระหว่างโลกทั้งมวลตลอดทั้งห้วงอวกาศที่ประจักษ์”, 247, หน้า 331. การใช้คำว่าไฟเชิงพื้นที่ในกรณีนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากเป็น “ไฟแห่งอวกาศ การมีสติ ที่กลายเป็นพลังจิต<...>การแบ่งแยกออกเป็นวิญญาณ วิญญาณ มนาสูงหรือต่ำ เป็นเพียงคุณสมบัติที่แตกต่างกันของพลังงานพื้นฐานแห่งไฟ ชีวิต หรือจิตสำนึกเท่านั้น คุณภาพสูงซึ่งจะเป็นพลังจิต”, 005, น. 14-15.

จนถึงขณะนี้เราได้ใช้แนวคิดที่เป็นภาพแต่เรียบง่ายเกี่ยวกับอนุภาคมูลฐานของโลกหลายมิติในฐานะ "ลูกบอล" และ "แพนเค้ก" ที่มั่นคง แต่ในทฤษฎีควอนตัมแนวคิดนี้ คลื่นอนุภาค- สันนิษฐานว่าอนุภาคมูลฐานทั้งหมด (และด้วยเหตุนี้อะตอม โมเลกุล สิ่งมีชีวิต และดาวเคราะห์ที่ก่อตัวขึ้นจากพวกมัน) จึงมีลักษณะของคลื่นและเป็นก้อนพลังงานชนิดหนึ่งในสนามแม่เหล็กบางสนาม แต่คลื่นไม่สามารถดำรงอยู่ในท้องถิ่นได้ในพื้นที่จำกัด คลื่นพลังงานที่มีอยู่ในที่เดียวเคลื่อนตัวออกไปจากสถานที่นี้ในทุกทิศทาง พลังงานลดลงอย่างไม่สิ้นสุด แต่ไม่เคยถึงศูนย์ ดังนั้น ทุกอนุภาคพลังงานของวัตถุวัตถุเฉพาะ ตั้งแต่ดาวฤกษ์ไปจนถึงนิวเคลียสของอะตอม จึงดำรงอยู่ ณ เวลาใดก็ได้ ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ ซึ่งหมายความว่ามีความเชื่อมโยงกับเกือบทุกวัตถุในจักรวาลอยู่เสมอและทุกที่ หากคุณมีโอกาสที่จะรับรู้ "สื่อสาร" กับพลังงานขนาดเล็กเหล่านี้ รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคลื่นอนุภาคและภาพโฮโลแกรมของโลกสามารถพบได้ในวรรณกรรมวิทยาศาสตร์เฉพาะทางหรือยอดนิยมเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัม เราจะพยายามตอบคำถาม: โลกคู่ขนานลึกลับอยู่ที่ไหนและจะไปที่นั่นได้อย่างไร?

เอเลนา อิวานอฟนา โรริช อธิบายคำศัพท์เฉพาะทางของคำสอนนี้ว่า “โลกอันห่างไกลควรเข้าใจว่าเป็นดาวเคราะห์ดวงอื่นในระบบสุริยะของเรา [เช่น] ดาวศุกร์ ดาวพฤหัส ฯลฯ แต่เมื่อกล่าวถึงทรงกลม หรือความละเอียดอ่อนและร้อนแรง และโลกที่สูงกว่า ทรงกลมก็หมายถึง - โลกที่ล้อมรอบโลกของเราโดยตรงและรวมอยู่ในห่วงโซ่ดาวเคราะห์ของเรา สิ่งเหล่านี้คือโลกทรงกลมที่ดวงวิญญาณจากโลกอันหนาแน่นของเรากลับมาและกลับมาอีกครั้ง ห่วงโซ่ดาวเคราะห์ที่ประกอบด้วยทรงกลมเจ็ดทรงกลมเป็นหนึ่งเดียวและทั้งหมด โลกทรงกลมถูกรวมเข้าด้วยกันอย่างมีศูนย์กลางภายในอีกโลกหนึ่งและเป็นตัวแทนของระนาบแห่งความรู้หรือการดำรงอยู่- ทรงกลมเหล่านี้สอดคล้องกับหลักการในมนุษย์”, หน้า 144, ตัวเอียง - เอ.อาร์.

แม้แต่คนธรรมดาก็พบว่าตัวเองอยู่ในโลกคู่ขนานโดยไม่ตั้งใจและไม่รู้ตัวไม่บ่อยนัก - ระหว่างการนอนหลับการลืมเลือนภายใต้อิทธิพลของสารออกฤทธิ์ทางจิตใจบางอย่างตลอดจนความเครียดและความปีติยินดี นอกจากนี้ยังไม่ได้รับอนุญาตสำหรับบุคคลที่อาศัยอยู่บนโลกเพื่อไปที่นั่นรักษาสติและบันทึกการกระทำของเขาในความทรงจำ: สิ่งสำคัญคือการคิดเกี่ยวกับมันมุ่งมั่นเพื่อมันด้วยความปรารถนาอย่างแรงกล้าที่จะนำผลประโยชน์ที่มีสติในโลกเหล่านี้ เพื่อทำงานเพื่อส่วนรวมที่นั่น “ถ้าคุณสามารถแยกแยะชั้นของความคิดได้ คุณก็สามารถสัมผัสถึงกิจกรรมประเภทต่างๆ ได้เช่นกัน ในตอนแรก ดูเหมือนว่ากิจกรรมทั้งหมดจะเกิดขึ้นบนระนาบของโลก หลังจากนั้นในบรรดาสิ่งที่เรียกว่าความฝัน ความรู้ตรงจะถูกแยกออกเป็นกิจกรรมที่แยกจากกัน ซึ่งเกิดขึ้นไม่เพียงแต่บนระนาบโลกเท่านั้น นี่คือวิธีการรับรู้ครั้งแรกของการเข้ามาของโลกอื่นในการดำรงอยู่ของเรา จากนั้นเมื่ออยู่ในภาวะตื่นตัวเต็มที่แล้ว ก็เริ่มสังเกตเห็นการหายไปชั่วขณะที่ไม่เกี่ยวข้องกับโรคใดๆ ด้วยวิธีนี้ การเชื่อมโยงระหว่างโลกต่างๆ กับการมีส่วนร่วมของเราในโลกต่างๆ จึงมีโครงร่างที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จิตสำนึกจะเข้าใจความคิดของโลกที่มองไม่เห็น เนื่องจากเปลือกหนาของเราจึงเป็นเรื่องยากมากสำหรับเราที่จะรับรู้ถึงความเป็นไปได้ทั้งหมดที่อยู่นอกวิสัยทัศน์ของเรา คุณต้องทำความคุ้นเคยกับการคิดถึงโลกทั้งโลกที่มีอยู่จริง โลกที่ละเอียดอ่อนไม่เพียงแต่เป็นสถานะของเราเท่านั้น แต่ยังเป็นอย่างแม่นยำอีกด้วย โลกทั้งใบพร้อมความเป็นไปได้และอุปสรรคทั้งหมด ปรากฏการณ์แห่งชีวิตในโลกอันละเอียดอ่อนนั้นอยู่ไม่ไกลจากโลก แต่อยู่บนอีกระนาบหนึ่ง” 105 “คุณไม่สามารถกระโดดจากรัฐหนึ่งไปยังอีกรัฐหนึ่งได้โดยไม่ทำให้ไฟแข็งกระด้าง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะยอมรับความงดงามและความเคร่งขรึมของโลกอันละเอียดอ่อนหากปราศจากการขัดเกลาจิตใจอย่างทันท่วงที คุณสามารถยืนอย่างไร้สติในความมืดต่อหน้างานศิลปะที่สวยงามที่สุดได้ แต่ความมืดอยู่ในตัวเรา! และไฟอวกาศสามารถจุดติดได้ด้วยไฟแห่งหัวใจเท่านั้น มีคนกล่าวหลายครั้งว่าไฟอันยิ่งใหญ่ถูกเปิดเผยด้วยใจของเรา ดังนั้นหากมีใครยังคงอยู่ในความมืด พวกเขาก็จะมีแต่โทษตัวเองเท่านั้น แต่การยังคงอยู่ในความมืดมิดของมิติที่สี่นั้นช่างน่ากลัว และมิติต่อมาทั้งหมดก็กลายเป็นหน้าตาบูดบึ้งอันน่าสยดสยองโดยปราศจากแสงสว่างจากไฟแห่งหัวใจ” 030 “ความมั่งคั่งและความเป็นไปได้ของชีวิตในอวกาศเปิดออกต่อหน้าวิญญาณ ซึ่งสามารถ ออกไปสู่มหาสมุทรอวกาศอย่างมีสติแล้ว แต่ด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องสร้างร่างอื่นๆ ของเขาด้วย สำหรับร่างกายที่ลุกเป็นไฟ พื้นที่นั้นเปิดกว้างและเข้าถึงได้”, 437 กล่าวคือ “เราต้องใช้เจตจำนงที่ร้อนแรงเพื่อเจาะทะลุขอบเขตหลักฐานอันหนาแน่น เราจะต้องเข้าใจเวลาและอยู่เหนือมัน เราจะต้องคิดถึงความลับของอวกาศ” , 269.

คาร์คอฟ

(จบการติดตาม)

บันทึก

ตาม วิทยาศาสตร์สมัยใหม่, การก่อตัวที่มั่นคงของธรรมชาติของคลื่นคือ SOLITONS เป็นการแสดงให้เห็นการกระทำของคลื่น "นิ่ง" ที่เกิดขึ้นเนื่องจากการรวมกันของสถานการณ์ทางกายภาพพิเศษ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอันเป็นผลมาจากการรบกวน อาจมีคนคิดว่าโดยทั่วไปแล้ววัตถุทั้งหมดในโลกทางกายภาพของเรานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการก่อตัวของกระบวนการคลื่นที่ละเอียดอ่อนคล้ายโซลิตัน แม้จะมาจากธรรมชาติที่ยังไม่เป็นที่รู้จักก็ตาม - บันทึก แก้ไข

วันเสาร์ที่ 7 ธันวาคม 2556 - 14:40 น

เด็กนักเรียนคนไหนจะบอกคุณว่าคุณสามารถเลื่อนขึ้นลงและซ้ายขวาไปข้างหน้าและข้างหลังได้ รวม - มากถึงหกเส้นทาง ยิ่งสูงก็ยิ่งไกลจากด้านล่าง และด้านอื่นๆ ของการเคลื่อนไหวก็เช่นเดียวกัน ดังนั้นจึงมีเพียงสามทิศทางที่เป็นอิสระในโลกที่เราสามารถเคลื่อนที่ได้ - เท่าที่แรงโน้มถ่วงและอุปสรรคในรูปแบบของวัตถุทางกายภาพจะเอื้ออำนวย ข้อเท็จจริงข้อนี้ชัดเจนมากจนเราแทบไม่ถามตัวเองว่า: เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น?

นักวิทยาศาสตร์พยายามค้นหาความลึกลับของอวกาศสามมิติมาเป็นเวลานาน แต่จนถึงขณะนี้ก็ไม่ประสบความสำเร็จ ทฤษฎีทางกายภาพที่ดีที่สุดของเราไม่ได้พูดอะไรเลยว่าทำไมถึงมีสามมิติ ไม่ใช่ 2, 4 หรือ 5.2 ยิ่งกว่านั้น ยิ่งเราเจาะลึกการศึกษาประเด็นนี้มากเท่าไร เราก็ยิ่งเชื่อมั่นมากขึ้นว่า 3 ประการจะเหมาะสมที่สุดสำหรับบทบาทของ "เลขมหัศจรรย์" แต่บางทีในการค้นหาความจริง เราอาจได้เข้าไปลึกเข้าไปในป่าแห่งวิทยาศาสตร์มากเกินไป ผลลัพธ์ การวิจัยล่าสุดพวกเขาบอกว่าคำตอบอาจอยู่บนพื้นผิว - ในกฎทางกายภาพที่เรารู้จักมานานแล้ว

ทุกอย่างเพื่อเรา!

นักวิทยาศาสตร์บางคนยึดมั่นในหลักการมานุษยวิทยา: มีวิธีวัดเพียงพอที่จะช่วยให้เราถามคำถามดังกล่าวได้ คนอื่นคิดว่าคำตอบอยู่ที่ฟิสิกส์ แต่เราแค่ยังไม่พบคำตอบ ปัจจุบัน นักวิจัยกำลังพยายามสร้างทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมที่สามารถรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเข้าด้วยกันได้ กลศาสตร์ควอนตัมซึ่งอธิบายทุกสิ่งยกเว้นแรงโน้มถ่วง สิ่งนี้จะช่วยให้เราเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นในช่วงแรกของชีวิตของจักรวาล เมื่อมันเป็นกลุ่มก้อนเล็กๆ ของความสับสนวุ่นวายควอนตัม บางทีมิติสามมิติของโลกโดยรอบ เช่น มิติเดียวของเวลา อาจเกิดขึ้นเร็วกว่านี้ด้วยซ้ำ “ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่ากาลอวกาศมีจุดเริ่มต้น” Gary Gibbons จากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (สหราชอาณาจักร) กล่าว

เป็นการยากมากที่จะทดสอบสมมติฐานนี้ ในเครื่องเร่งความเร็วขนาดใหญ่ เช่น เครื่องชนแฮดรอนขนาดใหญ่ที่ CERN ใกล้เมืองเจนีวา ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ นักวิทยาศาสตร์ชนอนุภาคพลังงานสูงเพื่อพยายามทำความเข้าใจว่าจักรวาลของเราเริ่มต้นอย่างไร แต่ไม่มีการทดลองใดที่พาเราเข้าใกล้แรงโน้มถ่วงควอนตัมมากนัก

สถานการณ์มีความซับซ้อนเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีสมัยใหม่ที่มีแนวโน้มมากที่สุดส่วนใหญ่ทำงานในอวกาศอื่นที่ไม่ใช่สามมิติ ดังนั้น ทฤษฎีสตริงจึงต้องมีมิติเพิ่มเติมอย่างน้อยหกมิติ อีกแนวคิดหนึ่งที่เรียกว่า สามเหลี่ยมไดนามิกเชิงสาเหตุ อธิบายระบบควอนตัมขององค์ประกอบสองมิติที่พัฒนาไปสู่ระดับพื้นที่ 3 มิติขนาดมหภาค ในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมแบบวนซ้ำ ความต่อเนื่องของกาล-อวกาศไม่สม่ำเสมอ แต่จะมีลักษณะเป็นเม็ดเล็กหรือเป็นฟองเมื่อมองภายใต้กำลังขยายที่สูงมาก “และนี่ถือเป็นเรื่องธรรมดา” คาร์โล โรเวลลี หนึ่งในผู้ก่อตั้งแนวทางนี้กล่าว จากมหาวิทยาลัยเอ็ก-มาร์เซย์ (ฝรั่งเศส) – วิทยาศาสตร์ ม ช่วงเวลาปัจจุบันไม่มีเครื่องมือที่ช่วยให้เราค้นหาว่าทำไมถึงมีสามมิติได้พอดี”

Markus Muller จาก Perimeter Institute ในวอเตอร์ลู (ออนแทรีโอ แคนาดา) แบ่งปันมุมมองที่แตกต่างออกไป ในความเห็นของเขา เราสามารถไขปริศนานี้ได้ค่อนข้างมาก และควรค้นหาคำตอบในทฤษฎีที่มีอยู่แล้ว

กลศาสตร์ควอนตัมอธิบายโลกทางกายภาพได้อย่างแม่นยำอย่างน่าทึ่ง แต่มักจะขัดแย้งกับความเข้าใจตามปกติของเราเกี่ยวกับความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น อนุญาตให้วัตถุอยู่ในสองแห่งหรือสองสถานะในเวลาเดียวกัน และปฏิเสธการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล โดยปกติแล้วนักฟิสิกส์จะเพิกเฉยต่อสิ่งเหล่านี้หรือค้นหาคำอธิบายที่แปลกประหลาดสำหรับสิ่งเหล่านั้น - ตั้งแต่อิทธิพลแปลก ๆ ของผู้ทดลองต่อผลลัพธ์ของการทดลองไปจนถึงการดำรงอยู่ของจักรวาลที่แยกออกไปหลายแห่ง

มุลเลอร์ค้นพบวิธีที่จะหลีกเลี่ยงสิ่งเหล่านี้ ในขณะที่เขากล่าวไว้ว่า "กับดักทางปรัชญา": เขาเสนอให้ได้รับพื้นฐาน กลศาสตร์ควอนตัมจากสิ่งที่ประสบการณ์จริงบอกเรา กว่าหนึ่งศตวรรษที่ผ่านมา เราเข้าใจสาระสำคัญของกฎของอุณหพลศาสตร์ในลักษณะเดียวกัน โดยสังเกตสิ่งที่สามารถเกิดขึ้นได้และไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในธรรมชาติ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างเครื่องจักรเคลื่อนที่ตลอดเวลาที่จะผลิตพลังงานจากความว่างเปล่า “คุณต้องคิดให้รอบคอบเกี่ยวกับความหมายของสูตรต่างๆ และสิ่งที่เป็นไปได้ในความเป็นจริง” นักวิทยาศาสตร์กล่าว

Müller ร่วมกับเพื่อนร่วมงานของเขา Luis Masanes จากมหาวิทยาลัยบริสตอล (สหราชอาณาจักร) ได้พิจารณาสถานการณ์ที่ผู้ส่งและผู้รับแลกเปลี่ยนข้อมูลที่เข้ารหัสในสถานะควอนตัม หลักการนี้รองรับเทคนิคการเข้ารหัสลับสุดยอดในชีวิตจริงที่เรียกว่า "การเข้ารหัสควอนตัม" ในระหว่างการทดลองหลายครั้ง พบว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่ผู้ส่งและผู้รับมีอยู่ ซึ่งนอกเหนือไปจากสิ่งที่เราคุ้นเคยในการพิจารณาว่าเป็นไปได้ เปลี่ยนสถานะควอนตัมของโฟตอนที่ด้านหนึ่ง และการเปลี่ยนแปลงเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นที่อีกด้านหนึ่งทันที

นักวิจัยเริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ "สมเหตุสมผล" บางประการเกี่ยวกับการทำงานของโลกวัตถุที่อยู่รอบๆ ผู้รับและผู้ส่ง สมมติว่ามีมิติจำนวนหนึ่ง รวมถึงเวลา ตลอดจนช่องทางการส่งข้อมูลบางอย่างด้วย นอกจากนี้กระบวนการทางกายภาพบางอย่างในจักรวาลอย่างน้อยก็เป็นแบบสุ่มแม้ว่านักวิทยาศาสตร์จะไม่ได้อธิบายว่ามีขอบเขตเพียงใด จากที่นี่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่กลมกลืนพร้อมผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้น ทฤษฎีควอนตัมไม่เพียงแต่เป็นเพียงทฤษฎีเดียวที่สามารถทำนายความสัมพันธ์ระหว่างความสุ่มและลำดับที่สังเกตได้ในธรรมชาติได้อย่างถูกต้อง นอกจากนี้ยังใช้ได้เฉพาะในกรณีที่อวกาศมีสามมิติ (New Journal of Physics, vol. 15, p. 053040)

เราอยู่ที่นี่เพราะเราอยู่ที่นี่

ชีวิตในพื้นที่ที่มีน้อยกว่าสามมิติจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง สมองของเราประกอบด้วยเซลล์ประสาทที่สื่อสารกันในแบบ 3 มิติ ระบบทางเดินอาหารของเราเป็นแบบท่อทรงกระบอก แม้แต่โมเลกุล DNA ก็ดูเหมือนเป็นเกลียวสามมิติ ชีวิตสองมิติจะถูกจำกัดเกินกว่าจะทำให้เราสามารถอภิปรายถึงปัญหาของพื้นที่หลายมิติได้
นอกจากนี้ยังมีข้อโต้แย้งกับมิติที่มากขึ้น ในโลกที่คุณและฉันอาศัยอยู่ แรงโน้มถ่วงจะเปลี่ยนแปลงในสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุ ในจักรวาล 2 มิติ มันจะเปลี่ยนตามสัดส่วนของระยะทาง และในโลก 4 มิติ มันจะเปลี่ยนตามสัดส่วนของลูกบาศก์ของมัน ในทั้งสองกรณี วงโคจรของเทห์ฟากฟ้าจะไม่เสถียร การชนซ้ำซากจากดาวเคราะห์น้อยอาจทำให้ดาวเคราะห์ดวงนี้เข้าสู่ห้วงอวกาศหรือมุ่งหน้าสู่ดาวฤกษ์แม่ สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นที่ระดับอิเล็กตรอนและอะตอม ดังนั้นจำนวนการวัดจึงเป็น ปริมาณทางกายภาพซึ่งเช่นเดียวกับค่าคงที่แม่เหล็กไฟฟ้าและแรงโน้มถ่วง เป็นตัวกำหนดความเป็นไปได้ของการดำรงอยู่ของชีวิตที่พัฒนาแล้วในระดับสูง “ฉันคิดว่านี่เป็นคำอธิบายที่สมเหตุสมผลเพียงอย่างเดียว” Leonard Susskind จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดในแคลิฟอร์เนีย (สหรัฐอเมริกา) กล่าว อะตอมและโมเลกุลจะไม่มีอยู่จริงอย่างที่เราทราบกันดีว่าอวกาศมีมิติไม่มากก็น้อย

ผู้เชี่ยวชาญหลายคนไม่พอใจกับคำอธิบายดังกล่าว “นี่เป็นเรื่องไร้สาระอย่างยิ่ง” คาร์โล โรเวลลี จากมหาวิทยาลัยเอ็ก-มาร์เซย์ (ฝรั่งเศส) กล่าว “หากเราอาศัยอยู่ในโลกหกมิติ คงมีข้อโต้แย้งมากมายที่สนับสนุนความจริงที่ว่า หกเป็นตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้” นักวิจารณ์ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่า ระดับของปริภูมิหลายมิตินั้นเป็นจำนวนเต็มที่สมบูรณ์แบบ ไม่เหมือนกับค่าคงที่ตามธรรมชาติ เป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการว่าคุณค่าดังกล่าวอาจเป็นผลมาจากกระบวนการจักรวาลที่วุ่นวาย

ต้นกำเนิดของความเป็นจริง

บางทีมันอาจเป็นเพียงเรื่องบังเอิญทางคณิตศาสตร์ สถานะควอนตัมไม่ได้อธิบายโดยจำนวนจริงหนึ่งมิติที่อยู่ในเส้นเดียวกัน แต่อธิบายโดยจำนวนเชิงซ้อนสองมิติซึ่งเป็นจุดบนระนาบ เซตของตัวเลขเหล่านี้ ซึ่งจัดในลักษณะที่ได้ทรงกลมสามมิติ ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของวัตถุที่สามารถอยู่ในสองสถานะพร้อมกันได้ (เช่น โฟตอน)

มุลเลอร์เชื่อว่าเรื่องบังเอิญนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ในความเห็นของเขา มีความเชื่อมโยงที่แยกไม่ออกระหว่างเรขาคณิตของอวกาศกับระดับความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในทฤษฎีควอนตัม หากเป็นเช่นนั้น รากเหง้าของทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัมก็อยู่ที่วิธีการแลกเปลี่ยนข้อมูลในจักรวาล ซึ่งช่วยให้เราทราบว่าจะหากุญแจสู่ทฤษฎีที่เป็นเอกภาพได้ที่ไหน “สิ่งนี้บอกเราว่าส่วนสำคัญของแรงโน้มถ่วงควอนตัมคือแนวคิดที่เรียกว่า 'ข้อมูล'” นักวิทยาศาสตร์กล่าว

ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันนี้ให้ไว้โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวออสเตรีย Borivoj Dakich และ Kaslav Bruckner พวกเขาพิสูจน์ว่ากฎกลควอนตัมสามารถใช้ได้เฉพาะในเท่านั้น โลกสามมิติ- อย่างน้อยก็ในสิ่งหนึ่งเช่นเดียวกับเรา โดยที่วัตถุขนาดเล็กจิ๋วมีปฏิสัมพันธ์กันเป็นคู่ หากระบบควอนตัมตั้งแต่สามระบบขึ้นไปสามารถมีอิทธิพลต่อแต่ละระบบพร้อมกัน การดำรงอยู่ของจักรวาลที่มีมิติจำนวนมากก็จะเป็นไปได้ทีเดียว (arxiv.org/abs/1307.3984)

อย่างไรก็ตาม Dorje Brody จากมหาวิทยาลัยบรูเนลในลอนดอน (สหราชอาณาจักร) เชื่อว่าข้อโต้แย้งดังกล่าวควรได้รับการปฏิบัติด้วยความระมัดระวัง “ทุกอย่างเริ่มต้นด้วยข้อความที่ดูเหมือนจะไม่ต้องสงสัย แต่แล้วพวกเขาก็เริ่มได้รับเงื่อนไขเพิ่มเติมที่มาจากที่ไหนเลย” เขากล่าว “ยังต้องมีช่วงเวลาที่กระต่ายตีหมวก” นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าข้อสรุปทั้งหมดของเราในกรณีนี้ขึ้นอยู่กับภาษาทางคณิตศาสตร์ที่เราใช้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น การแสดงกลศาสตร์ควอนตัมบางอย่างไม่ได้ใช้จำนวนเชิงซ้อนสองมิติ แต่ใช้สี่มิติ (ควอเทอร์เนียน) และแปดมิติ (ออคตอนเนียน) เมื่อปีที่แล้ว โบรดี้และเพื่อนร่วมงานของเขา Eva-Maria Graefe จาก Imperial College London แสดงให้เห็นว่าสูตรควอเทอร์เนียนจะเพิ่มจำนวนมิติเป็นห้าโดยธรรมชาติ และสูตรออกโทเนียนเป็นเก้ามิติ (Physical Review D, vol. 84, p. 125016)

แล้วเราจะไม่เหลืออะไรอีกแล้วเหรอ? ไม่เชิง. ความจริงก็คือการเป็นตัวแทนดังกล่าวทำนายผลการทดลองที่แตกต่างกันเล็กน้อยเมื่อเทียบกับทฤษฎีดั้งเดิม รวมถึงระดับความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันระหว่างอนุภาคด้วย หากปฏิสัมพันธ์ควอนตัมเป็นที่มาของพื้นที่หลายมิติ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงวิธีการใหม่ ๆ ที่เราสามารถหาคำตอบได้โดยไม่ต้องเสียเงินกับสิ่งอำนวยความสะดวกเช่น LHC Brody กล่าว

เทอร์รี่ รูดอล์ฟ ผู้เชี่ยวชาญจากวิทยาลัยอิมพีเรียลอีกคนหนึ่งกล่าวว่า สิ่งนี้ทำให้เรามีพื้นที่มากมายสำหรับการวิจัย แต่ก็เตือนไม่ให้ติดตามเทรนด์แฟชั่นอย่างสุ่มสี่สุ่มห้า “จำไว้ว่าครั้งหนึ่งพวกเขาพยายามอธิบายทุกสิ่งในโลกจากมุมมองของทฤษฎีความโกลาหล” เขากล่าว นักวิทยาศาสตร์มีแนวโน้มที่จะคิดว่าระดับของพื้นที่หลายมิตินั้นเป็นแนวคิดที่มนุษย์เกินกว่าจะอธิบายได้ มุมมองเดียวกันนี้จัดขึ้นโดยนักปรัชญาชื่อดังแห่งศตวรรษที่ 18 อิมมานูเอล คานท์ ซึ่งถือว่าอวกาศไม่มีอะไรมากไปกว่าความรู้สึกแบบอัตนัย ความหมายเดียวก็คือช่วยให้เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุได้ “บางทีความเป็นสามมิติอาจเป็นเพียงตัวแปรที่บรรพบุรุษลิงของเราพบว่ามีประโยชน์ในการค้นหากล้วย” รูดอล์ฟแนะนำ

นิวตันและไอน์สไตน์ซึ่งต่างยืนกรานต่อความเป็นจริงของอวกาศ น่าจะอนุมัติความพยายามสมัยใหม่ในการอธิบายคุณลักษณะพื้นฐานเช่นจำนวนมิติ อย่างไรก็ตาม มีแนวโน้มว่าในที่สุดเราจะถูกบังคับให้ยอมรับสิ่งนี้ตามที่ถูกกำหนดไว้ นักปรัชญา Craig Callender จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานดิเอโก (สหรัฐอเมริกา) กล่าว: “พูดง่ายๆ ก็คือ สามมิติอาจยังคงอยู่ต่อไป นั่นคือผู้อธิบายที่ไม่สามารถอธิบายได้”

• จากนั้นพวกมันก็จะเติบโตเป็นวงกลมสองวง เมื่อเรา "ลงมา" ผ่านจักรวาลของมัน
• วงกลมจะขยายจนรวมกันเป็นรูปวงรี
• จากนั้นวงกลมอื่นๆ (นิ้ว) ก็จะปรากฏขึ้นข้างๆ
• จะขยายออกเป็นวงกลมใหญ่สองวง (มือ, แขน) พร้อมด้วยวงรี
• แล้วทุกอย่างก็จะรวมกันเป็นส่วนใหญ่บนไหล่ของเรา
• มันก็จะแคบลงและขยายใหญ่ขึ้นและสลายไปจนคอและหัวของเรา

โชคดีที่ไม่มีสิ่งมีชีวิตสี่มิติอาศัยอยู่ในจักรวาลของเรา เนื่องจากพวกมันดูเหมือนเป็นสิ่งมีชีวิตศักดิ์สิทธิ์ที่เพิกเฉยต่อกฎทางกายภาพสำหรับเรา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ใช่สิ่งมีชีวิตที่มีหลายมิติมากที่สุดในจักรวาล และจักรวาลเองก็มีมิติมากกว่าที่เป็นอยู่ในตอนนี้ล่ะ? เป็นที่น่าสังเกตว่าสิ่งนี้เป็นไปได้โดยสิ้นเชิง ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าในอดีตจักรวาลอาจมีมิติมากกว่านี้

ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป การสร้างกรอบเวลา-อวกาศนั้นค่อนข้างง่าย ซึ่งจำนวนมิติที่ "ใหญ่" (ซึ่งก็คือขนาดมหภาค) จะเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ไม่เพียงแต่ในอดีตคุณสามารถมีมิติมากขึ้นเท่านั้น แต่คุณอาจมีโอกาสที่จะทำเช่นนั้นในอนาคตด้วย จริงๆ แล้วคุณสามารถสร้างกาลอวกาศซึ่งตัวเลขนี้จะผันผวน เปลี่ยนแปลงขึ้นลงเมื่อเวลาผ่านไป ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ประการแรก ทุกอย่างเจ๋งมาก: เราสามารถมีจักรวาลที่มีมิติเชิงพื้นที่ที่สี่เพิ่มเติมได้

เจ๋งไปเลย แต่จะเป็นยังไงล่ะเนี่ย? ปกติเราจะไม่คิดถึงเรื่องนี้ แต่แรงพื้นฐานทั้งสี่แรง ได้แก่ แรงโน้มถ่วง แม่เหล็กไฟฟ้า และแรงนิวเคลียร์ทั้งสอง มีคุณสมบัติและแรงเหล่านี้เนื่องจากมีอยู่ในมิติที่จักรวาลของเรามี หากเราต้องลดหรือเพิ่มจำนวนมิติ เราก็จะเปลี่ยนวิธีการแพร่กระจายของเส้นแรงสนาม เป็นต้น

หากแม่เหล็กไฟฟ้าหรือแรงนิวเคลียร์ได้รับผลกระทบ ก็จะเกิดหายนะ

ลองจินตนาการว่าคุณกำลังดูอะตอมหรือภายในอะตอม กำลังดูนิวเคลียสของอะตอม นิวเคลียสและอะตอมเป็นส่วนประกอบสำคัญของสสารทั้งหมดที่ประกอบเป็นโลกของเรา และวัดในระยะทางที่เล็กที่สุด ได้แก่ อังสตรอมสำหรับอะตอม (10^-10 เมตร) เฟมโตมิเตอร์สำหรับนิวเคลียส (10^-15 เมตร) หากคุณปล่อยให้กองกำลังเหล่านี้ "ไหล" ไปสู่มิติอวกาศอื่น ซึ่งพวกมันสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อมิตินั้นใหญ่เพียงพอ กฎแห่งปฏิสัมพันธ์ที่ควบคุมการทำงานของกองกำลังเหล่านี้จะเปลี่ยนไป

โดยทั่วไป กองกำลังเหล่านี้จะมี "พื้นที่" มากขึ้นในการหลบหนี และดังนั้นจะอ่อนกำลังลงเร็วขึ้นในระยะไกลหากมีมิติมากขึ้น สำหรับนิวเคลียสการเปลี่ยนแปลงนี้จะไม่เลวร้ายนัก: ขนาดของนิวเคลียสจะใหญ่ขึ้น นิวเคลียสบางส่วนจะเปลี่ยนความเสถียรกลายเป็นกัมมันตภาพรังสีหรือในทางกลับกันกำจัดกัมมันตภาพรังสี ไม่เป็นไร. แต่ด้วยแม่เหล็กไฟฟ้ามันจะยากขึ้น

ลองนึกภาพว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าจู่ๆ แรงที่จับอิเล็กตรอนกับนิวเคลียสก็อ่อนลง หากมีการเปลี่ยนแปลงจุดแข็งของการโต้ตอบนี้ คุณไม่ได้คิดถึงเรื่องนี้ แต่ในระดับโมเลกุล สิ่งเดียวที่รั้งคุณไว้คือพันธะที่ค่อนข้างอ่อนระหว่างอิเล็กตรอนกับนิวเคลียส หากคุณเปลี่ยนแรงนี้ คุณจะเปลี่ยนการกำหนดค่าของทุกสิ่งทุกอย่าง เอ็นไซม์เสื่อมสภาพ โปรตีนเปลี่ยนรูปร่าง แยกลิแกนด์ออกจากกัน DNA จะไม่ถูกเข้ารหัสเข้าไปในโมเลกุลที่ควรจะเป็น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากแรงแม่เหล็กไฟฟ้าเปลี่ยนแปลงในขณะที่มันเริ่มแพร่กระจายไปยังมิติอวกาศที่สี่ขนาดใหญ่ซึ่งมีขนาดเท่ากับอังสตรอม ร่างกายของผู้คนจะแตกสลายทันทีและเราจะตาย

แต่ทั้งหมดจะไม่สูญหาย มีหลายแบบจำลองซึ่งส่วนใหญ่พัฒนาขึ้นภายในทฤษฎีสตริง โดยที่แรงเหล่านี้ ทั้งแม่เหล็กไฟฟ้าและนิวเคลียร์ถูกจำกัดอยู่เพียงสามมิติ มีเพียงแรงโน้มถ่วงเท่านั้นที่สามารถผ่านมิติที่สี่ได้ สิ่งนี้มีความหมายสำหรับเราก็คือ ถ้ามิติที่สี่มีขนาดใหญ่ขึ้น (และด้วยเหตุนี้ แรงโน้มถ่วงจะ "ไหลออก" สู่มิติพิเศษนั้น) ส่งผลให้วัตถุมีแรงดึงดูดน้อยกว่าที่เราคุ้นเคย

ทั้งหมดนี้จะนำไปสู่การแสดงพฤติกรรม “แปลกๆ” ออกมาในหลายๆ เรื่อง

ตัวอย่างเช่น ดาวเคราะห์น้อยที่ติดอยู่ด้วยกันจะบินออกจากกันเพราะแรงโน้มถ่วงของพวกมันไม่แรงพอที่จะยึดหินไว้ด้วยกัน ดาวหางที่เข้าใกล้ดวงอาทิตย์จะระเหยเร็วขึ้นและแสดงหางที่สวยงามยิ่งขึ้น หากมิติที่สี่โตขึ้นมากพอ แรงโน้มถ่วงบนโลกจะลดลงอย่างมาก ส่งผลให้ดาวเคราะห์ของเรามีขนาดใหญ่ขึ้น โดยเฉพาะบริเวณเส้นศูนย์สูตร

ผู้คนที่อาศัยอยู่ใกล้ขั้วโลกจะรู้สึกราวกับว่าพวกเขาอยู่ในสภาพแวดล้อมที่มีแรงโน้มถ่วงต่ำ ในขณะที่ผู้คนที่เส้นศูนย์สูตรจะตกอยู่ในอันตรายที่จะบินไปในอวกาศ ในระดับมหภาค กฎแรงโน้มถ่วงที่มีชื่อเสียงของนิวตัน - กฎกำลังสองผกผัน - จะกลายเป็นกฎกำลังสามผกผันในทันที ส่งผลให้แรงโน้มถ่วงตามระยะทางลดลงอย่างมาก

ถ้าการวัดมีระยะห่างจากโลกถึงดวงอาทิตย์ ทุกอย่างในระบบสุริยะจะคลายกัน แม้ว่าจะกินเวลาเพียงสองสามวันต่อปี และหากแรงโน้มถ่วงเป็นปกติทุกๆ สามเดือน ระบบสุริยะของเราจะพังทลายลงในเวลาเพียงร้อยปี

คงมีเวลาบนโลกที่เราไม่เพียงแต่สามารถเคลื่อนที่ไปในอวกาศ "เพิ่มเติม" เท่านั้น เมื่อเราไม่เพียงมี "ทิศทาง" เพิ่มเติมนอกเหนือจากบนลงล่าง ซ้าย-ขวา และย้อนกลับและ- ออกมาแต่เมื่อคุณสมบัติของแรงโน้มถ่วงจะเปลี่ยนไปในทางที่แย่ลง เราจะกระโดดให้สูงขึ้นเรื่อยๆ แต่ผลที่ตามมาสำหรับจักรวาลที่เสถียรในขณะนี้คงจะเป็นวันโลกาวินาศ

ดังนั้นจึงไม่คุ้มที่จะฝันถึงการปรากฏตัวของมิติที่สี่อย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม ยังมีข้อสังเกตเชิงบวกอีกด้วย เราไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับภาวะโลกร้อน เนื่องจากระยะห่างจากดวงอาทิตย์ที่เพิ่มขึ้นจะทำให้โลกของเราเย็นลงอย่างมาก เร็วกว่าการเพิ่มคาร์บอนไดออกไซด์ในบรรยากาศที่ทำให้โลกร้อนขึ้น

มิติอวกาศที่สี่จะมีลักษณะอย่างไร?อิลยา เคล