ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคืออะไร อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรหลายตัว โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึมของตัวแปรสองตัว

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาโมเดลการทำงานที่ง่ายที่สุดแล้ว การทำงานขึ้นอยู่กับสิ่งเดียวเท่านั้น การโต้แย้ง- แต่เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ ของโลกรอบๆ เรามักจะพบกับการเปลี่ยนแปลงพร้อมกันมากกว่า 2 ปริมาณ และกระบวนการต่างๆ มากมายสามารถถูกทำให้เป็นรูปเป็นร่างได้อย่างมีประสิทธิภาพ การทำงานของตัวแปรหลายตัว, ที่ไหน - ข้อโต้แย้งหรือ ตัวแปรอิสระ- มาเริ่มพัฒนาหัวข้อด้วยหัวข้อที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว .

ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเรียกว่า กฎตามค่าแต่ละคู่ ตัวแปรอิสระ(ข้อโต้แย้ง) จาก ขอบเขตของคำจำกัดความสอดคล้องกับค่าของตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน)

ฟังก์ชั่นนี้แสดงไว้ดังนี้:

อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือตัวอักษรมาตรฐานอื่น:

เนื่องจากคู่ของค่าลำดับ "x" และ "y" เป็นตัวกำหนด ชี้ไปที่เครื่องบินจากนั้นฟังก์ชันก็จะถูกเขียนผ่าน โดยที่ จุดบนระนาบที่มีพิกัด สัญกรณ์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในงานปฏิบัติบางงาน

ความหมายทางเรขาคณิตของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวง่ายมาก หากฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งสอดคล้องกับเส้นบางเส้นบนระนาบ (เช่น พาราโบลาโรงเรียนที่คุ้นเคย) กราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะอยู่ในปริภูมิสามมิติ ในทางปฏิบัติเรามักจะต้องรับมือกับมัน พื้นผิวแต่บางครั้งกราฟของฟังก์ชันอาจเป็นเส้นเชิงพื้นที่ หรือแม้แต่จุดเดียวก็ได้

เราคุ้นเคยกับตัวอย่างเบื้องต้นของพื้นผิวจากหลักสูตรนี้เป็นอย่างดี เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- นี้ เครื่องบิน- สมมติว่า สมการสามารถเขียนใหม่ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบฟังก์ชัน:

คุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัวคือค่าที่ระบุไว้แล้ว ขอบเขตของคำจำกัดความ.

โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเรียกว่าชุด ทุกคนคู่ที่มีค่าอยู่

ในเชิงกราฟิก โดเมนของคำจำกัดความคือ เครื่องบินทั้งหมดหรือบางส่วน- ดังนั้น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน คือระนาบพิกัดทั้งหมด - ด้วยเหตุผลดังกล่าว เพื่อสิ่งใดๆจุดมีค่าอยู่

แต่การจัดการที่ไม่ได้ใช้งานดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไปแน่นอน:

เหมือนสองตัวแปรเหรอ?

เมื่อพิจารณาแนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว จะเป็นประโยชน์ในการวาดภาพการเปรียบเทียบกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว โดยเฉพาะเมื่อคิดออก ขอบเขตของคำจำกัดความเราจ่ายเงินแล้ว ความสนใจเป็นพิเศษสำหรับฟังก์ชันที่มีเศษส่วน รากคู่ ลอการิทึม ฯลฯ ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการที่นี่!

งานในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีความน่าจะเป็นเกือบ 100% จะพบได้ในงานเฉพาะเรื่องของคุณ ดังนั้นฉันจะวิเคราะห์ตัวอย่างจำนวนที่เหมาะสม:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น:

คำตอบ: ระนาบพิกัดทั้งหมด ยกเว้นจุดที่เป็นของเส้น

ใช่ครับ เขียนคำตอบแบบนี้ดีกว่า โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวนั้นไม่ค่อยแสดงด้วยสัญลักษณ์ใดๆ เลย มักใช้บ่อยกว่ามาก คำอธิบายด้วยวาจาและ/หรือ การวาดภาพ.

ถ้าตามเงื่อนไข ที่จำเป็นวาดภาพแล้วจำเป็นต้องพรรณนาระนาบพิกัดและ เส้นประทำให้เป็นเส้นตรง เส้นประบ่งบอกว่าเส้นนั้น ไม่รวมเข้าสู่ขอบเขตของคำจำกัดความ

ดังที่เราจะได้เห็นในภายหลัง คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีการวาดภาพเลยในตัวอย่างที่ยากกว่านี้

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: การแสดงออกที่รุนแรงจะต้องไม่เป็นลบ:

คำตอบ: ครึ่งระนาบ

การแสดงกราฟิกนี่ก็ยังเป็นแบบดั้งเดิม: เราวาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แข็งวาดเส้นตรงและแรเงาด้านบน ครึ่งระนาบ- เส้นทึบบ่งบอกถึงความจริงที่ว่ามัน รวมอยู่ด้วยเข้าสู่ขอบเขตของคำจำกัดความ

ความสนใจ!หากคุณไม่เข้าใจสิ่งใดจากตัวอย่างที่สอง โปรดศึกษา/ทำซ้ำบทเรียนโดยละเอียด อสมการเชิงเส้น– หากไม่มีเขามันจะยากมาก!

ภาพขนาดย่อสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

เฉลยสองบรรทัดและตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มาอุ่นเครื่องกันต่อไป:

ตัวอย่างที่ 4

และพรรณนามันลงบนภาพวาด

สารละลาย: เข้าใจง่ายว่านี่คือการกำหนดปัญหา กำหนดให้มีการดำเนินการวาดภาพ (แม้ว่าขอบเขตของคำจำกัดความจะง่ายมาก) แต่ก่อนอื่น การวิเคราะห์: ค่ารากของนิพจน์ต้องไม่เป็นลบ และเมื่อตัวส่วนไม่สามารถไปที่ศูนย์ได้ ความไม่เท่าเทียมกันจึงเข้มงวด:

จะกำหนดพื้นที่ที่ความไม่เท่าเทียมกันกำหนดได้อย่างไร? ฉันแนะนำอัลกอริธึมการดำเนินการแบบเดียวกันกับในโซลูชัน อสมการเชิงเส้น.

ก่อนอื่นเราวาด เส้นซึ่งถูกกำหนดไว้ ความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน- สมการจะกำหนด วงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของรัศมีซึ่งแบ่งระนาบพิกัดออกเป็น สองชิ้นส่วน - "ภายใน" และ "ภายนอก" ของวงกลม เนื่องจากเรามีความไม่เท่าเทียมกัน เข้มงวดดังนั้นวงกลมนั้นจะไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความอย่างแน่นอน ดังนั้นจึงต้องวาดวงกลมนั้น เส้นประ.

ตอนนี้เรามาเริ่มกันเลย โดยพลการจุดเครื่องบิน, ไม่ได้เป็นของวงกลมแล้วแทนที่พิกัดของมันลงในอสมการ วิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกที่มา:

ได้รับ ความไม่เท่าเทียมกันที่ผิดพลาดดังนั้น ชี้ ไม่พอใจความไม่เท่าเทียมกัน ยิ่งไปกว่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันนี้ไม่พอใจกับจุดใดๆ ที่อยู่ในวงกลม ดังนั้น ขอบเขตคำจำกัดความที่ต้องการจึงอยู่ที่ส่วนนอกของวงกลม พื้นที่คำจำกัดความมักฟักออกมา:

ใครๆ ก็สามารถยึดจุดใดๆ ที่เป็นของพื้นที่แรเงาได้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าพิกัดของมันเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตามความไม่เท่าเทียมกันที่ตรงกันข้ามนั้นให้ วงกลมศูนย์กลางที่จุดกำเนิดรัศมี

คำตอบ: ส่วนนอกของวงกลม

กลับไปที่ความหมายทางเรขาคณิตของปัญหากันดีกว่า ตอนนี้เราพบโดเมนของคำจำกัดความแล้วแรเงามัน หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าในแต่ละจุดของพื้นที่แรเงาจะมีค่า "zet" และฟังก์ชันแบบกราฟิก มีดังต่อไปนี้ พื้นผิว:

แผนผังแสดงให้เห็นชัดเจนว่าพื้นผิวนี้อยู่ในตำแหน่งต่างๆ เกินเครื่องบิน (คนใกล้ตัวและคนไกลจากเรา)ในบางสถานที่- ภายใต้เครื่องบิน (เลขแปดด้านซ้ายและขวาสัมพันธ์กับเรา)- พื้นผิวยังผ่านแกนด้วย แต่พฤติกรรมของฟังก์ชันเช่นนี้ไม่น่าสนใจสำหรับเรามากนักในตอนนี้ สิ่งสำคัญคือสิ่งนั้น ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นเฉพาะในด้านคำจำกัดความเท่านั้น- หากเราเอาจุดใดๆ ที่เป็นของวงกลมไป ก็จะไม่มีพื้นผิวตรงนั้น (เนื่องจากไม่มี “zet”)ดังเห็นได้จากช่องว่างตรงกลางภาพ

โปรดเข้าใจตัวอย่างที่วิเคราะห์อย่างถี่ถ้วน เนื่องจากในนั้นฉันได้อธิบายโดยละเอียดถึงแก่นแท้ของปัญหา

งานต่อไปนี้ให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ และการวาดภาพในตอนท้ายของบทเรียน โดยทั่วไปในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณาระหว่าง เส้นลำดับที่ 2วงกลมที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือ แต่พวกเขาสามารถ "ผลักดัน" เข้าสู่ปัญหาได้ วงรี, อติพจน์หรือ พาราโบลา.

ขยับขึ้นไปกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: นิพจน์รากต้องไม่เป็นลบ: และตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์: ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความจึงถูกระบุโดยระบบ

เราจัดการกับเงื่อนไขแรกตามรูปแบบมาตรฐานที่กล่าวถึงในบทเรียน อสมการเชิงเส้น: ลากเส้นตรงแล้วกำหนดครึ่งระนาบที่สอดคล้องกับอสมการ เพราะความไม่เท่าเทียมกัน ไม่เข้มงวดแล้วเส้นตรงก็จะเป็นคำตอบด้วย

ด้วยเงื่อนไขที่สองของระบบ ทุกอย่างก็ง่ายเช่นกัน: สมการระบุแกนพิกัด และเนื่องจาก ดังนั้นจึงควรแยกออกจากโดเมนของคำจำกัดความ

มาวาดภาพกัน โดยอย่าลืมว่าเส้นทึบบ่งบอกถึงการเข้าสู่พื้นที่คำจำกัดความ และเส้นประบ่งบอกถึงการแยกออกจากพื้นที่นี้:

ควรสังเกตว่าเราอยู่ที่นี่แล้ว ถูกบังคับวาดรูป และสถานการณ์นี้เป็นเรื่องปกติ - ในหลาย ๆ งานการอธิบายพื้นที่ด้วยวาจาเป็นเรื่องยากและแม้ว่าคุณจะอธิบาย แต่คุณก็จะเข้าใจได้ไม่ดีและถูกบังคับให้บรรยายถึงพื้นที่นั้น

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

อย่างไรก็ตามคำตอบที่ไม่มีรูปวาดนั้นดูชื้นมาก

ให้เราทำซ้ำความหมายทางเรขาคณิตของผลลัพธ์ที่ได้รับอีกครั้ง: ในพื้นที่แรเงาจะมีกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งแสดงถึง พื้นผิวของพื้นที่สามมิติ- พื้นผิวนี้สามารถอยู่เหนือหรือใต้ระนาบ หรือสามารถตัดกับระนาบได้ ในกรณีนี้ ทั้งหมดนี้ขนานกับเรา ข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของพื้นผิวเป็นสิ่งสำคัญ และสิ่งสำคัญคือต้องค้นหาบริเวณที่มีอยู่อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างโดยประมาณของงานสุดท้ายในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ฟังก์ชันที่ดูเรียบง่ายจะสร้างวิธีแก้ปัญหาที่ห่างไกลจากความเร่งรีบ:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: โดยใช้ สูตรผลต่างกำลังสองให้เราแยกตัวประกอบนิพจน์ราก: .

ผลคูณของสองปัจจัยไม่เป็นลบ , เมื่อไร ทั้งคู่ตัวคูณไม่เป็นลบ: หรือเมื่อไร ทั้งคู่ไม่เป็นบวก: . นี่เป็นคุณสมบัติทั่วไป ดังนั้นเราจึงต้องแก้สองข้อ ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและ รวมกันพื้นที่ที่ได้รับ ในสถานการณ์ที่คล้ายกัน แทนที่จะเป็นอัลกอริธึมมาตรฐาน วิธีการเชิงวิทยาศาสตร์หรือเชิงปฏิบัติจะทำงานเร็วกว่ามาก =)

เราวาดเส้นตรงที่แบ่งระนาบพิกัดออกเป็น 4 “มุม” เราใช้จุดที่เป็นของ "มุม" ด้านบนเช่นจุดและแทนที่พิกัดของมันลงในสมการของระบบที่ 1: - ได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าวิธีแก้ปัญหาของระบบคือ ทั้งหมด"มุม" ด้านบน การแรเงา

ตอนนี้เรามาถึงจุดที่ "มุม" ด้านขวา ระบบที่ 2 ยังคงอยู่ซึ่งเราแทนที่พิกัดของจุดนี้: - อสมการประการที่ 2 ไม่เป็นความจริง ดังนั้น และทั้งหมด"มุม" ด้านขวาไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของระบบ

เรื่องที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับ "มุม" ด้านซ้ายซึ่งไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และสุดท้าย เราก็แทนที่พิกัดของจุดทดลองของ "มุม" ล่างลงในระบบที่ 2: - อสมการทั้งสองเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบคือ และทั้งหมด“มุม” ล่างซึ่งควรแรเงาด้วย

แน่นอนว่าในความเป็นจริงไม่จำเป็นต้องอธิบายอย่างละเอียด - การกระทำที่แสดงความคิดเห็นทั้งหมดนั้นดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา!

คำตอบ: โดเมนของคำจำกัดความคือ สมาคมโซลูชั่นระบบ .

ดังที่คุณอาจเดาได้ คำตอบดังกล่าวไม่น่าจะได้ผลหากไม่มีภาพวาด และสถานการณ์นี้บังคับให้คุณหยิบไม้บรรทัดและดินสอขึ้นมา แม้ว่าเงื่อนไขจะไม่จำเป็นต้องใช้ก็ตาม

และนี่คือถั่วของคุณ:

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นักเรียนที่ดีมักจะพลาดลอการิทึม:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นระบบจะกำหนดโดเมนของคำจำกัดความ

อสมการนี้ระบุถึงครึ่งระนาบด้านขวาและไม่รวมแกน

ด้วยเงื่อนไขที่สอง สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น แต่ก็โปร่งใสเช่นกัน มาจำกัน ไซนัสอยด์- ข้อโต้แย้งคือ "Igrek" แต่สิ่งนี้ไม่ควรทำให้ฉันสับสน - Igrek ดังนั้น Igrek, Zyu ดังนั้น Zyu ไซน์อยู่ที่ไหนมากกว่าศูนย์? ไซน์มีค่ามากกว่าศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงเวลา เนื่องจากฟังก์ชันเป็นแบบคาบ จึงมีช่วงเวลาดังกล่าวมากมายไม่จำกัด และในรูปแบบที่ยุบลง วิธีแก้ปัญหาของอสมการจะถูกเขียนดังนี้:
โดยที่จำนวนเต็มใดก็ได้

แน่นอนว่าไม่สามารถพรรณนาช่วงเวลาเป็นจำนวนอนันต์ได้ ดังนั้นเราจะจำกัดตัวเองให้อยู่แค่ช่วงเวลานั้นเท่านั้น และเพื่อนบ้าน:

มาวาดภาพให้เสร็จโดยไม่ลืมว่าตามเงื่อนไขแรก กิจกรรมของเราถูกจำกัดไว้ที่ครึ่งระนาบด้านขวาอย่างเคร่งครัด:

อืม...กลายเป็นภาพวาดผีๆ...เป็นตัวแทนที่ดีของคณิตศาสตร์ชั้นสูง...

คำตอบ:

ลอการิทึมถัดไปเป็นของคุณ:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

ในระหว่างการแก้ปัญหาคุณจะต้องสร้าง พาราโบลาซึ่งจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน คือ “ด้านใน” ที่อยู่ระหว่างกิ่งก้านและส่วนด้านนอก วิธีการค้นหาชิ้นส่วนที่ต้องการปรากฏซ้ำแล้วซ้ำอีกในบทความ อสมการเชิงเส้นและตัวอย่างก่อนหน้าในบทเรียนนี้

เฉลย วาดรูป และตอบท้ายบทเรียน

ถั่วสุดท้ายของย่อหน้านั้นอุทิศให้กับ "ส่วนโค้ง":

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: อาร์กิวเมนต์อาร์คไซน์ต้องอยู่ภายในขีดจำกัดต่อไปนี้:

มีความเป็นไปได้ทางเทคนิคสองประการ: ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้น คล้ายกับตัวอย่างสุดท้ายของบทเรียน โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวพวกเขาสามารถ "ม้วน" อสมการสองเท่าและปล่อย "Y" ไว้ตรงกลาง สำหรับหุ่นจำลอง ฉันแนะนำให้แปลง "หัวรถจักร" ให้เทียบเท่ากัน ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

ระบบได้รับการแก้ไขตามปกติ - เราสร้างเส้นตรงและค้นหาระนาบครึ่งที่จำเป็น เป็นผลให้:

โปรดทราบว่าที่นี่ขอบเขตจะรวมอยู่ในพื้นที่คำจำกัดความและเส้นตรงจะถูกวาดเป็นเส้นทึบ สิ่งนี้จะต้องได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดร้ายแรง

คำตอบ: โดเมนของคำจำกัดความแสดงถึงคำตอบของระบบ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

โซลูชันตัวอย่างใช้เทคนิคขั้นสูง - การแปลงความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

ในทางปฏิบัติ บางครั้งเรายังประสบปัญหาเกี่ยวกับการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวด้วย โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามสามารถเป็นได้ ทั้งหมดพื้นที่สามมิติหรือบางส่วน ในกรณีแรกจะมีการกำหนดฟังก์ชันไว้ เพื่อสิ่งใดๆจุดในอวกาศในวินาที - สำหรับจุดเหล่านั้นที่เป็นของวัตถุอวกาศบางส่วนเท่านั้นส่วนใหญ่มักจะ - ร่างกาย- อาจเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ได้ ทรงรี, "ข้างใน" กระบอกพาราโบลาฯลฯ ภารกิจในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามมักจะประกอบด้วยการค้นหาส่วนนี้และวาดภาพสามมิติ อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างดังกล่าวค่อนข้างหายาก (ผมเจอแค่สองสามชิ้นเท่านั้น)ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงย่อหน้าภาพรวมนี้

เส้นระดับ

เพื่อให้เข้าใจคำนี้ได้ดีขึ้น เราจะเปรียบเทียบแกนด้วย ความสูง: ยิ่งค่า “Z” สูง ความสูงยิ่งมากขึ้น ค่า “Z” ยิ่งต่ำ ความสูงก็จะยิ่งต่ำลง ความสูงอาจเป็นค่าลบก็ได้

ฟังก์ชันในขอบเขตของคำจำกัดความคือกราฟเชิงพื้นที่ เพื่อความแน่นอนและความชัดเจนมากขึ้น เราจะถือว่านี่เป็นพื้นผิวเล็กๆ น้อยๆ เส้นระดับคืออะไร- หากพูดโดยนัย เส้นระดับคือ “ชิ้น” แนวนอนของพื้นผิวที่ระดับความสูงต่างๆ “ชิ้น” เหล่านี้หรือพูดให้ถูกต้องกว่านั้น ส่วนต่างๆดำเนินการโดยเครื่องบิน หลังจากนั้นก็ฉายลงบนเครื่องบิน .

คำนิยาม: เส้นระดับฟังก์ชันคือเส้นบนระนาบที่แต่ละจุดที่ฟังก์ชันรักษาค่าคงที่:

ดังนั้น เส้นระดับช่วยในการพิจารณาว่าพื้นผิวนั้นๆ มีลักษณะอย่างไร และช่วยได้โดยไม่ต้องสร้างภาพวาดสามมิติ! พิจารณางานเฉพาะ:

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาและลงจุดเส้นระดับต่างๆ ของกราฟฟังก์ชัน

สารละลาย: เราตรวจสอบรูปร่างของพื้นผิวที่กำหนดโดยใช้เส้นระดับ เพื่อความสะดวก เราจะขยายรายการ "กลับไปด้านหน้า":

แน่นอนว่าในกรณีนี้ “zet” (ความสูง) ไม่สามารถรับค่าลบได้อย่างชัดเจน (เนื่องจากผลรวมของกำลังสองไม่เป็นลบ)- ดังนั้นพื้นผิวจึงอยู่ในพื้นที่ครึ่งบน (เหนือระนาบ)

เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้บอกว่าเส้นระดับจะต้อง "ตัด" ที่ระดับความสูงเฉพาะใด เราจึงมีอิสระในการเลือกค่า "Z" หลายค่าตามดุลยพินิจของเรา

เราตรวจสอบพื้นผิวที่ความสูงเป็นศูนย์ ด้วยเหตุนี้เราจึงใส่ค่าไว้ในความเท่าเทียมกัน :

วิธีแก้สมการนี้คือประเด็น นั่นคือเมื่อ เส้นระดับแสดงถึงจุด.

เราสูงขึ้นหนึ่งหน่วยและ "ตัด" พื้นผิวของเรา เครื่องบิน (แทนลงในสมการพื้นผิว):

ดังนั้น, สำหรับความสูง เส้นระดับจะเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมีหนึ่งหน่วย.

ฉันเตือนคุณว่า “สไลซ์” ทั้งหมดจะถูกฉายลงบนเครื่องบินและนั่นคือสาเหตุที่ฉันเขียนพิกัดของคะแนนเป็นสอง ไม่ใช่สาม!

ตัวอย่างเช่น ตอนนี้เราใช้เครื่องบินและ "ตัด" พื้นผิวที่กำลังศึกษาด้วย (ทดแทนลงในสมการพื้นผิว):

ดังนั้น, สำหรับความสูงเส้นระดับเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมี.

และมาสร้างเส้นระดับอื่นกันเถอะ :

–วงกลมมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมี 3.

เส้นระดับดังที่ฉันได้เน้นไปแล้วนั้นตั้งอยู่บนเครื่องบิน แต่แต่ละบรรทัดมีการเซ็นชื่อ - ความสูงเท่าใดที่สอดคล้องกับ:

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจว่าเส้นระดับอื่น ๆ ของพื้นผิวที่พิจารณานั้นเป็นวงกลมด้วย และยิ่งเราขึ้นไปสูง (เราเพิ่มค่า "Z") รัศมีก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น, พื้นผิวนั่นเองมันเป็นชามไม่มีที่สิ้นสุดที่มีก้นรูปไข่ซึ่งด้านบนตั้งอยู่บนเครื่องบิน “ ชาม” นี้พร้อมกับแกน“ ออกมาที่คุณ” จากหน้าจอมอนิเตอร์นั่นคือคุณกำลังดูที่ด้านล่าง =) และนี่ไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล! มีเพียงฉันเท่านั้นที่เทมันลงบนถนนถึงตาย =) =)

คำตอบ: เส้นระดับของพื้นผิวที่กำหนดคือวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันของรูปทรง

บันทึก : เมื่อได้วงกลมเสื่อมซึ่งมีรัศมีเป็นศูนย์ (จุด)

แนวคิดของเส้นระดับมาจากการทำแผนที่ เพื่อถอดความนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้ เราสามารถพูดอย่างนั้นได้ เส้นระดับคือตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ของจุดที่มีความสูงเท่ากัน- พิจารณาภูเขาลูกหนึ่งที่มีเส้นระดับ 1,000, 3,000 และ 5,000 เมตร:

จากภาพแสดงให้เห็นชัดเจนว่าความชันด้านซ้ายบนของภูเขามีความชันมากกว่าความชันด้านขวาล่างมาก ดังนั้น เส้นระดับทำให้คุณสามารถสะท้อนภูมิประเทศบนแผนที่ "เรียบ" ได้ อย่างไรก็ตาม ค่าความสูงติดลบที่นี่ยังได้รับความหมายที่เฉพาะเจาะจงมากด้วย ท้ายที่สุดแล้ว พื้นที่บางส่วนของพื้นผิวโลกก็อยู่ต่ำกว่าระดับศูนย์ของมหาสมุทรโลก

(บรรยายครั้งที่ 1)

ฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

ตัวแปร z เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัว f(x,y) หากคู่ของค่าใดๆ (x,y) G ค่าที่แน่นอนของตัวแปร z เชื่อมโยงกัน

Def.พื้นที่ใกล้เคียงของจุด p 0 คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด p 0 และมีรัศมี = (x-x 0 ) 2 +(โอ้. 0 ) 2

ของจำนวนที่น้อยโดยพลการเราสามารถระบุตัวเลข ()>0 เพื่อให้ค่าทั้งหมดของ x และ y ซึ่งระยะห่างจาก t.p ถึง p0 น้อยกว่าความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: f(x,y) A , เช่น. สำหรับจุดทั้งหมด p ที่ตกอยู่ใกล้จุด p 0 โดยมีรัศมี ค่าของฟังก์ชันจะแตกต่างจาก A น้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ และนี่หมายความว่าเมื่อจุด p เข้าใกล้จุด p 0 ด้วย ใครก็ได้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน z=f(x,y) กำหนดให้ p(x,y) คือจุดปัจจุบัน p 0 (x 0 ,y 0) คือจุดที่กำลังพิจารณา

Def.

3) ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: = f(x 0 ,y 0);

ลิม f(x,y) = f(x 0 ,ย 0 );

หน้า 0

อนุพันธ์บางส่วน

ลองให้อาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นจาก x; x+x เราได้จุด p 1 (x+x,y) คำนวณความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุด p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ x

z= ลิม x z

z = ลิม ฉ(x+x,y) - ฉ(x,y)

เอ็กซ์ x0 เอ็กซ์

การกำหนดฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

เมื่อพิจารณาประเด็นต่างๆ จากความรู้ต่างๆ จำเป็นต้องศึกษาการขึ้นต่อกันดังกล่าวระหว่างปริมาณตัวแปร เมื่อค่าตัวเลขของค่าใดค่าหนึ่งถูกกำหนดโดยค่าของค่าอื่นๆ หลายๆ ค่าอย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่นเมื่อศึกษาสภาพร่างกายเราต้องสังเกตการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง แต่ละจุดของร่างกายจะถูกระบุด้วยพิกัดสามจุด: x, y, z ดังนั้น เมื่อศึกษาการกระจายความหนาแน่น เราสรุปได้ว่าความหนาแน่นของร่างกายขึ้นอยู่กับตัวแปรสามตัว: x, y, z หากสถานะทางกายภาพของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา t ความหนาแน่นเดียวกันจะขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรสี่ตัว: x, y, z, t

อีกตัวอย่างหนึ่ง: มีการศึกษาต้นทุนการผลิตในการผลิตหน่วยของผลิตภัณฑ์บางประเภท อนุญาต:

x - ต้นทุนวัสดุ

y - ค่าใช้จ่ายในการชำระเงิน ค่าจ้างพนักงาน,

z - ค่าเสื่อมราคา

เห็นได้ชัดว่าต้นทุนการผลิตขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ที่มีชื่อ x, y, z

คำจำกัดความ 1.1ถ้าสำหรับแต่ละชุดของค่า "n" ตัวแปร

จากเซต D บางชุดของคอลเลกชันเหล่านี้สอดคล้องกับค่าเฉพาะของตัวแปร z จากนั้นพวกเขาบอกว่าฟังก์ชันถูกกำหนดให้กับเซต D

ตัวแปร "n"

เซต D ที่ระบุในคำจำกัดความ 1.1 เรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความหรือโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันนี้

หากพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว แสดงว่าการรวบรวมตัวเลข

ตามกฎแล้วจะแสดงแทน (x, y) และถูกตีความว่าเป็นจุดของระนาบพิกัด Oxy และโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน z = f (x, y) ของตัวแปรสองตัวจะแสดงเป็นชุดจุดที่กำหนด บนเครื่องบิน Oxy

ตัวอย่างเช่น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน

คือเซตของจุดบนระนาบ Oxy ซึ่งพิกัดเป็นไปตามความสัมพันธ์

กล่าวคือ มันคือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

สำหรับฟังก์ชั่น

ขอบเขตของคำจำกัดความคือจุดที่ตรงตามเงื่อนไข

นั่นคือภายนอกด้วยความเคารพต่อวงกลมที่กำหนด

บ่อยครั้งฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะถูกระบุโดยปริยาย กล่าวคือ เป็นสมการ

การเชื่อมต่อสามตัวแปร ในกรณีนี้ แต่ละปริมาณ x, y, z ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันโดยนัยของอีกสองตัวที่เหลือ

ภาพเรขาคณิต (กราฟ) ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z = f (x, y) คือเซตของจุด P (x, y, z) ใน พื้นที่สามมิติ Oxyz ซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ z = f (x, y)

ตามกฎแล้วกราฟของฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่องคือพื้นผิวที่แน่นอนในปริภูมิ Oxyz ซึ่งฉายบนระนาบพิกัด Oxy ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน z= f (x, y)

ตัวอย่างเช่น (รูปที่ 1.1) กราฟของฟังก์ชัน

คือครึ่งบนของทรงกลม และกราฟของฟังก์ชัน

ครึ่งล่างของทรงกลม

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น z = ax + โดย + с คือระนาบในปริภูมิ Oxyz และกราฟของฟังก์ชัน z = const คือระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด Oxyz

โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวขึ้นไปในรูปแบบของกราฟในพื้นที่สามมิติด้วยสายตา

ต่อไปนี้ เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปร 2 หรือ 3 ตัวเป็นหลัก เนื่องจากการพิจารณากรณีของตัวแปรจำนวนมากกว่า (แต่จำกัด) จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน

นิยามฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

(บรรยายครั้งที่ 1)

ตัวแปร u เรียกว่า f(x,y,z,..,t) หากชุดของค่าใดๆ (x,y,z,..,t) มีความเกี่ยวข้องกันกับค่าที่กำหนดไว้อย่างดีของตัวแปร u

ชุดคอลเลกชันของค่าของตัวแปรเรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

G - set (x,y,z,..,t) - โดเมนของคำจำกัดความ

ฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

ตัวแปร z เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัว f(x,y) หากคู่ของค่าใดๆ (x,y) О G ค่าที่แน่นอนของตัวแปร z เชื่อมโยงกัน

ขีดจำกัดของฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

กำหนดให้ฟังก์ชัน z=f(x,y) กำหนดให้ p(x,y) คือจุดปัจจุบัน p 0 (x 0 ,y 0) คือจุดที่กำลังพิจารณา

Def.พื้นที่ใกล้เคียงของจุด p 0 คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด p 0 และมีรัศมี r ร= Ö (x-x 0 ) 2 +(โอ้. 0 ) 2 Ø

หมายเลข A เรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน | ที่จุด p 0 หากมี

สำหรับจำนวน e ที่น้อยโดยพลการเราสามารถระบุตัวเลข r (e)>0 ซึ่งสำหรับค่าทั้งหมดของ x และ y ซึ่งระยะห่างจาก t p ถึง p0 น้อยกว่า r ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: ½f(x,y) - A½0 โดยมีรัศมี r ค่าของฟังก์ชันจะแตกต่างจาก A น้อยกว่า e ในค่าสัมบูรณ์ และนี่หมายความว่าเมื่อจุด p เข้าใกล้จุด p 0 ด้วย ใครก็ได้ path ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ตัวเลข A อย่างไม่มีกำหนด

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน z=f(x,y) กำหนดให้ p(x,y) คือจุดปัจจุบัน p 0 (x 0 ,y 0) คือจุดที่กำลังพิจารณา

Def.ฟังก์ชัน z=f(x,y) เรียกว่าต่อเนื่องที่ t p 0 หากตรงตามเงื่อนไข 3 ข้อ:

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดนี้ ฉ(พี 0) = ฉ(x,y);

2)f-i มีขีดจำกัด ณ จุดนี้

3) ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: b = f(x 0 ,y 0);

ลิม f(x,y)= ฉ(x 0 ,ย 0 ) ;

พีà พี 0

หากมีการละเมิดเงื่อนไขความต่อเนื่องอย่างน้อย 1 ข้อ จุด p จะเรียกว่าจุดพัก สำหรับฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร สามารถแยกจุดพักและเส้นแบ่งทั้งหมดได้

แนวคิดเรื่องขีดจำกัดและความต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมากถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัวไม่สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร

สำหรับฟังก์ชัน 3 ตัวแปร อาจมีจุดไม่ต่อเนื่อง เส้นไม่ต่อเนื่อง และพื้นผิวไม่ต่อเนื่อง

อนุพันธ์บางส่วน

ลองพิจารณาฟังก์ชัน z=f(x,y), p(x,y) เป็นจุดที่กำลังพิจารณา

ลองให้อาร์กิวเมนต์ x ส่วนเพิ่ม Dx; x+Dx เราได้จุด p 1 (x+Dx,y) คำนวณความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุด p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ x

Def. ผลหารของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน z=f(x,y) เทียบกับตัวแปร x เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของส่วนเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชันนี้เทียบกับตัวแปร x ต่อส่วนเพิ่มนี้เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มที่จะ ศูนย์.

¶ z= ลิม ดี x z

à ¶ z = ลิม ฉ(x+ ดี x,y) - ฉ(x,y)

¶ x ดีx® 0 ดีx

ในทำนองเดียวกัน เราหาผลหารของอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร y

การหาอนุพันธ์ย่อย

เมื่อพิจารณาอนุพันธ์บางส่วน จะมีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในแต่ละครั้ง ตัวแปรที่เหลือจะถือเป็นค่าคงที่ ด้วยเหตุนี้ แต่ละครั้งที่เราพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเพียงตัวเดียวและอนุพันธ์ย่อยเกิดขึ้นพร้อมกับอนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันนี้ของตัวแปรตัวเดียว ดังนั้นกฎในการค้นหาอนุพันธ์ย่อย: อนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรที่พิจารณาจะถูกหาให้เป็นอนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวนี้ ตัวแปรที่เหลือจะถือเป็นค่าคงที่ ในกรณีนี้ สูตรทั้งหมดสำหรับสร้างความแตกต่างฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว (อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ ผลหาร) ถือว่าใช้ได้

แนวคิดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

หากแต่ละจุด X = (x 1, x 2, ... xn) จากเซต (X) ของจุดของปริภูมิ n มิติสัมพันธ์กับค่าที่กำหนดอย่างดีค่าหนึ่งของตัวแปร z แล้วพวกเขาจะบอกว่าค่าที่กำหนด ฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว z = ฉ(x 1, x 2, ...x n) = ฉ (X)

ในกรณีนี้ จะมีการเรียกตัวแปร x 1, x 2, ... xn ตัวแปรอิสระหรือ ข้อโต้แย้งฟังก์ชั่น z - ตัวแปรตามและสัญลักษณ์ f หมายถึง กฎหมายการติดต่อสื่อสาร- เซต (X) เรียกว่า ขอบเขตของคำจำกัดความฟังก์ชั่น (นี่คือเซตย่อยหนึ่งของปริภูมิ n มิติ)

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน z = 1/(x 1 x 2) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว อาร์กิวเมนต์ของมันคือตัวแปร x 1 และ x 2 และ z เป็นตัวแปรตาม โดเมนของคำจำกัดความคือระนาบพิกัดทั้งหมด ยกเว้นเส้นตรง x 1 = 0 และ x 2 = 0 เช่น โดยไม่มีแกน x และพิกัด โดยการแทนที่จุดใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความลงในฟังก์ชัน เราจะได้ตัวเลขจำนวนหนึ่งตามกฎหมายการติดต่อสื่อสาร ตัวอย่างเช่น การหาประเด็น (2; 5) เช่น x 1 = 2, x 2 = 5 เราได้
z = 1/(2*5) = 0.1 (เช่น z(2; 5) = 0.1)

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b โดยที่ 1, a 2,… และ n, b เป็นจำนวนคงที่ เรียกว่า เชิงเส้น- ถือได้ว่าเป็นผลรวมของฟังก์ชันเชิงเส้น n ของตัวแปร x 1, x 2, ... x n ฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกเรียกว่า ไม่เชิงเส้น.

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน z = 1/(x 1 x 2) ไม่เป็นเชิงเส้น และฟังก์ชัน z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – เชิงเส้น

ฟังก์ชันใด ๆ z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) สามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชัน n ของตัวแปรหนึ่งได้หากเราแก้ไขค่าของตัวแปรทั้งหมดยกเว้นหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว z = 1/(x 1 x 2 x 3) สามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชัน 3 ตัวของตัวแปรตัวเดียวได้ หากเราแก้ไข x 2 = a และ x 3 = b แล้วฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ z = 1/(abx 1); ถ้าเราแก้ไข x 1 = a และ x 3 = b แล้วมันจะอยู่ในรูปแบบ z = 1/(abx 2); หากเราแก้ไข x 1 = a และ x 2 = b มันจะอยู่ในรูปแบบ z = 1/(abx 3) ในกรณีนี้ทั้งสามฟังก์ชันจะมีรูปแบบเดียวกัน นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากเราแก้ไข x 2 = a สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว มันจะอยู่ในรูปแบบ z = 5x 1 a นั่นคือ ฟังก์ชันกำลัง และถ้าเราแก้ไข x 1 = a มันจะอยู่ในรูปแบบ นั่นคือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กำหนดการฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z = f(x, y) คือเซตของจุดในปริภูมิสามมิติ (x, y, z) โดยที่ z จะใช้สัมพันธ์กับ abscissa x และกำหนด y ด้วยความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
z = ฉ (x, y) กราฟนี้แสดงถึงพื้นผิวบางส่วนในพื้นที่สามมิติ (เช่น ในรูปที่ 5.3)

สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าฟังก์ชันเป็นเส้นตรง (เช่น z = ax + x + c) กราฟของฟังก์ชันจะเป็นระนาบในปริภูมิสามมิติ ตัวอย่างอื่นๆ กราฟ 3 มิติแนะนำให้ศึกษาด้วยตนเองโดยใช้ตำราเรียนของเครเมอร์ (หน้า 405-406)

หากมีตัวแปรมากกว่าสองตัว (n ตัวแปร) แล้ว กำหนดการฟังก์ชันคือเซตของจุดในปริภูมิมิติ (n+1) ซึ่งพิกัด x n+1 ถูกคำนวณตามกฎการทำงานที่กำหนด กราฟดังกล่าวเรียกว่า ไฮเปอร์เซอร์เฟซ(สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น – ไฮเปอร์เพลน) และยังแสดงถึงนามธรรมทางวิทยาศาสตร์ด้วย (เป็นไปไม่ได้ที่จะบรรยาย)

รูปที่ 5.3 – กราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในพื้นที่สามมิติ

พื้นผิวระดับฟังก์ชันของตัวแปร n คือเซตของจุดในปริภูมิ n มิติ โดยที่จุดเหล่านี้ทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะเท่ากันและเท่ากับ C ตัวตัวเลข C ในกรณีนี้เรียกว่า ระดับ.

โดยปกติแล้ว สำหรับฟังก์ชันเดียวกัน คุณสามารถสร้างพื้นผิวระดับได้ไม่จำกัด (ขึ้นอยู่กับระดับที่ต่างกัน)

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ระดับพื้นผิวจะอยู่ในรูปแบบ เส้นระดับ.

ตัวอย่างเช่น พิจารณา z = 1/(x 1 x 2) สมมติว่า C = 10 เช่น 1/(x 1 x 2) = 10 จากนั้น x 2 = 1/(10x 1) กล่าวคือ บนระนาบ เส้นระดับจะอยู่ในรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 5.4 เป็นเส้นทึบ ในอีกระดับหนึ่ง เช่น C = 5 เราจะได้เส้นระดับในรูปแบบของกราฟของฟังก์ชัน x 2 = 1/(5x 1) (แสดงด้วยเส้นประในรูปที่ 5.4)

รูปที่ 5.4 - เส้นระดับฟังก์ชัน z = 1/(x 1 x 2)

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้ z = 2x 1 + x 2 สมมติว่า C = 2 นั่นคือ 2x 1 + x 2 = 2 จากนั้น x 2 = 2 - 2x 1 เช่น บนระนาบ เส้นระดับจะอยู่ในรูปของเส้นตรง แสดงในรูปที่ 5.5 เป็นเส้นทึบ ในอีกระดับหนึ่ง เช่น C = 4 เราจะได้เส้นระดับในรูปของเส้นตรง x 2 = 4 - 2x 1 (แสดงด้วยเส้นประในรูปที่ 5.5) เส้นระดับสำหรับ 2x 1 + x 2 = 3 แสดงในรูปที่ 5.5 เป็นเส้นประ

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว เส้นระดับใดๆ จะเป็นเส้นตรงบนระนาบ และเส้นระดับทั้งหมดจะขนานกัน

รูปที่ 5.5 - เส้นระดับฟังก์ชัน z = 2x 1 + x 2

หน้าที่ของตัวแปรหลายตัว

§1 แนวคิดเรื่องฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

ให้มี nปริมาณตัวแปร แต่ละชุด
หมายถึงจุด n- ชุดมิติ
(n-มิติเวกเตอร์)

ให้ชุดที่กำหนด
และ
.

โอดีเอ- หากแต่ละจุด
ตรงกับตัวเลขเอกพจน์
แล้วเราบอกว่ามีฟังก์ชันตัวเลขให้มา nตัวแปร:

.

เรียกว่าโดเมนแห่งคำจำกัดความ
- ชุดของค่าของฟังก์ชันที่กำหนด

ในกรณีที่ n=2 แทน
มักจะเขียน x, ย, z- จากนั้นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะมีรูปแบบ:

z= ฉ(x, ย).

ตัวอย่างเช่น,
- ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

- ฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว

ฟังก์ชันเชิงเส้น nตัวแปร

โอดีเอ- กราฟฟังก์ชัน nตัวแปรถูกเรียกว่า n- ไฮเปอร์พื้นผิวมิติในอวกาศ
ซึ่งแต่ละจุดจะระบุด้วยพิกัด

ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z= ฉ(x, ย) เป็นพื้นผิวในปริภูมิสามมิติ แต่ละจุดระบุด้วยพิกัด ( x, ย, z) , ที่ไหน
, และ
.

เนื่องจากไม่สามารถพรรณนากราฟของฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปได้ เราจะพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเป็นหลัก (เพื่อความชัดเจน)

การพล็อตฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเป็นงานที่ค่อนข้างยาก การสร้างเส้นระดับที่เรียกว่าสามารถให้ความช่วยเหลือที่สำคัญในการแก้ปัญหานี้ได้

โอดีเอ- เส้นระดับของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z= ฉ(x, ย) เรียกว่าเซตของจุดบนระนาบ ฮูซึ่งเป็นเส้นโครงของส่วนของกราฟของฟังก์ชันโดยระนาบขนานกัน ฮู.ที่แต่ละจุดบนเส้นระดับ ฟังก์ชันจะมีค่าเท่ากัน เส้นระดับอธิบายไว้ในสมการ ฉ(x, ย)=ค, ที่ไหน กับ– จำนวนที่แน่นอน มีเส้นระดับมากมายนับไม่ถ้วน และหนึ่งในนั้นสามารถลากผ่านแต่ละจุดของโดเมนคำจำกัดความได้

โอดีเอ- ฟังก์ชั่นระดับพื้นผิว nตัวแปร ย= ฉ (
) เรียกว่า ไฮเปอร์พื้นผิวในอวกาศ
ในแต่ละจุดที่ค่าของฟังก์ชันคงที่และเท่ากับค่าที่กำหนด กับ- สมการพื้นผิวระดับ: ฉ (
)=ส.

ตัวอย่าง- สร้างกราฟฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

.

.

เมื่อค=1:
;
.

ด้วยค=4:
;
.

ที่ค=9:
;
.

เส้นระดับคือวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกัน ซึ่งรัศมีจะลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น z.

§2 ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว แนวคิดเดียวกันจะถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถให้คำจำกัดความของขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้

โอดีเอ- ตัวเลข A เรียกว่าขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว z= ฉ(x, ย) ที่
,
และถูกกำหนดไว้
ถ้าเป็นจำนวนบวกใดๆ มีจำนวนบวก เช่นนั้นถ้าตรงประเด็น
ห่างจากจุด
ระยะทางน้อยลง จากนั้นปริมาณ ฉ(x, ย) และ A ต่างกันน้อยกว่า .

โอดีเอ- ถ้าฟังก์ชั่น z= ฉ(x, ย) กำหนดไว้ที่จุด
และมีลิมิต ณ จุดนี้เท่ากับค่าของฟังก์ชัน
แล้วเรียกว่าต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด

.

§3 อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว
.

ลองแก้ไขค่าของอาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งของมันกัน , วาง
- แล้วฟังก์ชัน
มีฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง - ปล่อยให้มันมีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น :

.

อนุพันธ์นี้เรียกว่าอนุพันธ์ย่อย (หรืออนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง) ของฟังก์ชัน
โดย ตรงจุด
และถูกกำหนดไว้:
;
;
;
.

ความแตกต่างเรียกว่าการเพิ่มขึ้นบางส่วน และถูกกำหนดไว้
:

เมื่อคำนึงถึงสัญกรณ์ข้างต้นแล้วเราสามารถเขียนได้

.

กำหนดไว้เช่นเดียวกัน

.

อนุพันธ์บางส่วนฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวในตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของส่วนเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชันต่อส่วนเพิ่มของตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกัน เมื่อส่วนเพิ่มนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ใดๆ อาร์กิวเมนต์อื่นๆ จะถือว่าคงที่ กฎและสูตรทั้งหมดสำหรับการแยกฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวใช้ได้กับอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

โปรดทราบว่าอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนได้ซึ่งเรียกว่า อนุพันธ์ย่อยที่สอง(หรืออนุพันธ์ย่อยอันดับสอง) ของฟังก์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน
มีอนุพันธ์บางส่วนอันดับสองสี่ตัวซึ่งแสดงดังนี้:

;
;

;
.

และ
- อนุพันธ์บางส่วนผสม

ตัวอย่าง.ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน

.

สารละลาย.
,
.

,
.

,
.

ออกกำลังกาย.

1. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองสำหรับฟังก์ชัน

,
;

2. สำหรับฟังก์ชั่น
พิสูจน์ว่า
.

เฟืองท้ายเต็ม ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

ด้วยการเปลี่ยนแปลงค่าไปพร้อมๆ กัน เอ็กซ์และ ที่การทำงาน
จะเปลี่ยนตามจำนวนที่เรียกว่าการเพิ่มขึ้นรวมของฟังก์ชัน z ตรงจุด
- เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ปัญหาจะเกิดขึ้นจากการแทนที่ส่วนเพิ่มโดยประมาณ
เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ
และ
- บทบาทของการประมาณเชิงเส้นทำได้โดย เฟืองท้ายเต็มคุณสมบัติ:

ส่วนต่างผลรวมลำดับที่สอง:

=
.

=
.

ใน มุมมองทั่วไปเฟืองท้ายเต็ม n-ลำดับที่ มีรูปแบบ:

อนุพันธ์เชิงทิศทาง การไล่ระดับสี

ให้ฟังก์ชัน z= ฉ(x, ย) ถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด M( x, ย) และ - ทิศทางบางอย่างที่ระบุโดยเวกเตอร์หน่วย
- พิกัดของเวกเตอร์หน่วยแสดงผ่านโคไซน์ของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์และแกนพิกัด และเรียกว่าโคไซน์ทิศทาง:

,

.

เมื่อเคลื่อนที่จุด M( x, ย) ไปในทิศทางนี้ ล ตรงประเด็น
การทำงาน zจะได้รับส่วนเพิ่ม

เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันในทิศทางที่กำหนด ล.

ถ้า MM 1 =∆ ล, ที่

ต

เกี่ยวกับ

อนุพันธ์ของทิศทางแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศทางที่กำหนด จะเห็นได้ชัดว่าอนุพันธ์บางส่วน และ แทนอนุพันธ์ในทิศทางขนานกับแกน วัว และ เฮ้ย- มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น

ตัวอย่าง- คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่จุด (1;1) ในทิศทาง
.

โอดีเอ. การไล่ระดับสีฟังก์ชั่น z= ฉ(x, ย) เป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัดเท่ากับอนุพันธ์ย่อย:

.

พิจารณาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์
และ
:

มันง่ายที่จะเห็นว่า
, เช่น. อนุพันธ์ของทิศทางเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของการไล่ระดับสีและเวกเตอร์ทิศทางของหน่วย .

เนื่องจาก
ดังนั้นผลคูณสเกลาร์จะเป็นค่าสูงสุดเมื่อเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกัน ดังนั้น ความชันของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะระบุทิศทางของการเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ และโมดูลัสของการไล่ระดับสีจะเท่ากับอัตราการเติบโตสูงสุดของฟังก์ชัน

เมื่อทราบความชันของฟังก์ชันแล้ว เราสามารถสร้างเส้นระดับฟังก์ชันภายในเครื่องได้

ทฤษฎีบท- ให้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์มา z= ฉ(x, ย) และตรงจุด
ความชันของฟังก์ชันไม่เป็นศูนย์:
- จากนั้นการไล่ระดับสีจะตั้งฉากกับเส้นระดับที่ผ่านจุดที่กำหนด

ดังนั้น หากเริ่มจากจุดใดจุดหนึ่ง เราสร้างเกรเดียนต์ของฟังก์ชันและส่วนเล็กๆ ของเส้นระดับตั้งฉากกับจุดนั้นที่จุดใกล้เคียง เราก็สามารถสร้างเส้นระดับได้ (โดยมีข้อผิดพลาดบางประการ)

ปลายสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ให้ฟังก์ชัน
กำหนดและต่อเนื่องกันในบางจุด
.

โอดีเอ- จุด
เรียกว่าจุดสูงสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชัน
ถ้ามีบริเวณใกล้จุดดังกล่าว ซึ่งไม่ว่าจะจุดใดก็ตาม
ความไม่เท่าเทียมกันถือเป็น:

.

แนวคิดเรื่องค่าต่ำสุดในท้องถิ่นถูกนำมาใช้ในทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับท้องถิ่นสุดขั้ว).

เพื่อให้มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้
มีจุดสุดโต่งเฉพาะที่ ณ จุดนั้น
จำเป็นที่อนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งทั้งหมด ณ จุดนี้จะต้องเท่ากับศูนย์:

ดังนั้น จุดที่เป็นไปได้ของจุดสุดขั้วคือจุดที่ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และการไล่ระดับสีเท่ากับ 0:
- เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง จุดดังกล่าวจะเรียกว่าจุดคงที่

คำนิยาม. ตัวแปร z(พร้อมพื้นที่เปลี่ยน ซี) เรียกว่า ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัว เอ็กซ์, ยในความอุดมสมบูรณ์ มถ้าแต่ละคู่ ( เอ็กซ์, ย) จากหลายๆ คน ม zจาก ซี.

คำนิยาม. มากมาย มซึ่งมีการระบุตัวแปรไว้ เอ็กซ์, วาย,เรียกว่า โดเมนของฟังก์ชัน, ตั้ง Z – ช่วงฟังก์ชันและตัวพวกเขาเอง เอ็กซ์, ย- ของเธอ ข้อโต้แย้ง.

การกำหนด: z = ฉ(x,y), z = z(x,y)

ตัวอย่าง.

คำนิยาม . ตัวแปร z(พร้อมพื้นที่เปลี่ยน ซี) เรียกว่า ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระหลายตัวในความอุดมสมบูรณ์ มถ้าแต่ละชุดมีตัวเลขจากชุด มตามกฎหรือกฎหมายบางอย่าง จะมีการกำหนดค่าเฉพาะหนึ่งค่าไว้ zจาก ซี.แนวคิดเรื่องอาร์กิวเมนต์ โดเมนของคำจำกัดความ และโดเมนของค่าถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

การกำหนด: ซ = ฉ, ซ = ซ.

ความคิดเห็น เนื่องจากตัวเลขสองสามตัว ( เอ็กซ์, ย) ถือได้ว่าเป็นพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ ต่อมาเราจะใช้คำว่า "จุด" สำหรับอาร์กิวเมนต์คู่ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว รวมถึงชุดตัวเลขที่เรียงลำดับซึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ของตัวแปรหลายๆ ตัว

การแสดงเรขาคณิตของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

พิจารณาฟังก์ชัน

z = ฉ(x,y), (15.1)

ที่กำหนดไว้ในบางพื้นที่ มบนเครื่องบิน O เอ็กซ์ซี- จากนั้นเซตของจุดในปริภูมิสามมิติที่มีพิกัด ( x,y,z)โดยที่ คือกราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เนื่องจากสมการ (15.1) กำหนดพื้นผิวหนึ่งในปริภูมิสามมิติ มันจะเป็นภาพเรขาคณิตของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา

โดเมนฟังก์ชัน z = ฉ(x,y)ในกรณีที่ง่ายที่สุด มันเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด และจุดของเส้นโค้งนี้ (ขอบเขตของขอบเขต) อาจเป็นหรืออาจจะไม่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ หรือทั้งระนาบ หรือ สุดท้ายคือชุดของหลายส่วนของระนาบ xOy

z = ฉ(x,y)

ตัวอย่างได้แก่สมการของระนาบ z = ขวาน + โดย + c

และพื้นผิวลำดับที่สอง: ซ = x² + ย² (พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ)

(กรวย) เป็นต้น

ความคิดเห็น สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป เราจะใช้คำว่า "พื้นผิวใน" n-พื้นที่มิติ” แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาถึงพื้นผิวดังกล่าวก็ตาม

เส้นระดับและพื้นผิว

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่กำหนดโดยสมการ (15.1) เราสามารถพิจารณาเซตของจุด ( เอ็กซ์, ย)โอ้เครื่องบิน เอ็กซ์ซีเพื่อที่ zรับค่าคงที่เดียวกันนั่นคือ z= ค่าคงที่ จุดเหล่านี้ก่อตัวเป็นเส้นบนระนาบที่เรียกว่า เส้นระดับ.

ตัวอย่าง.

ค้นหาเส้นระดับของพื้นผิว ซี = 4 – x² - ย². สมการของพวกเขาดูเหมือน x² + ย² = 4 – ค(ค=const) – สมการของวงกลมศูนย์กลางที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี เช่น เมื่อใด กับ=0 เราได้วงกลม x² + ย² = 4 .

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว คุณ = คุณ(x, y, z)สมการ คุณ(x, y, z) = คกำหนดพื้นผิวในปริภูมิสามมิติซึ่งเรียกว่า พื้นผิวระดับ.

ตัวอย่าง.

สำหรับฟังก์ชั่น คุณ = 3x + 5ย – 7zพื้นผิวระดับ –12 จะเป็นตระกูลของระนาบขนานที่กำหนดโดยสมการที่ 3 x + 5ย – 7z –12 + กับ = 0.

ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

เรามาแนะนำแนวคิดกัน δ-บริเวณใกล้เคียงคะแนน ม 0 (x 0, ย 0)บนเครื่องบิน O เอ็กซ์ซีเป็นวงกลมรัศมี δ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่กำหนด ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนด δ-บริเวณใกล้เคียงในพื้นที่สามมิติเป็นลูกบอลรัศมี δ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ม 0 (x 0, ย 0, z 0)- สำหรับ n-ปริภูมิมิติ เราจะเรียกว่า δ-พื้นที่ใกล้เคียงของจุด ม 0 ชุดคะแนน มโดยมีพิกัดตรงตามเงื่อนไข

พิกัดของจุดอยู่ที่ไหน ม 0 . บางครั้งชุดนี้เรียกว่า “ลูกบอล” ค่ะ n-พื้นที่มิติ

คำนิยาม. มีชื่อเรียกว่าหมายเลข A ขีด จำกัดฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ฉตรงจุด ม 0 ถ้าเป็นเช่นนั้น | ฉ(ม) – ก| < ε для любой точки มจาก δ-บริเวณใกล้เคียง ม 0 .

การกำหนด: .

จะต้องคำนึงถึงว่าในกรณีนี้ประเด็น มอาจจะใกล้เข้ามาแล้ว ม 0 ซึ่งค่อนข้างจะพูดตามวิถีใดๆ ภายใน δ-บริเวณใกล้เคียงของจุด ม 0 . ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแยกแยะขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวออก ในความหมายทั่วไปจากสิ่งที่เรียกว่า ขีดจำกัดซ้ำแล้วซ้ำอีกได้รับจากข้อความต่อเนื่องจนถึงขีด จำกัด สำหรับแต่ละข้อโต้แย้งแยกกัน

ตัวอย่าง.

ความคิดเห็น สามารถพิสูจน์ได้ว่าจากการดำรงอยู่ของขีดจำกัด ณ จุดที่กำหนดในความหมายปกติ และการดำรงอยู่ ณ จุดนี้ของขีดจำกัดในแต่ละข้อโต้แย้ง การดำรงอยู่และความเท่าเทียมกันของขีดจำกัดซ้ำๆ จะตามมา ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง

คำนิยาม การทำงาน ฉเรียกว่า อย่างต่อเนื่องตรงจุด ม 0 ถ้า (15.2)

หากเราแนะนำสัญลักษณ์ เงื่อนไข (15.2) ก็สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ (15.3)

คำนิยาม . จุดภายใน ม 0โดเมนฟังก์ชัน z = ฉ(M)เรียกว่า จุดพักฟังก์ชันถ้าเงื่อนไข (15.2), (15.3) ไม่เป็นที่พอใจ ณ จุดนี้

ความคิดเห็น จุดความไม่ต่อเนื่องหลายจุดสามารถเกิดขึ้นได้บนเครื่องบินหรือในอวกาศ เส้นหรือ พื้นผิวแตกหัก.

ตัวอย่าง.

คุณสมบัติของลิมิตและฟังก์ชันต่อเนื่อง

เนื่องจากคำจำกัดความของขีด จำกัด และความต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวนั้นเกือบจะตรงกับคำจำกัดความที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวดังนั้นสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคุณสมบัติทั้งหมดของขีด จำกัด และฟังก์ชันต่อเนื่องที่พิสูจน์แล้วในส่วนแรกของหลักสูตรจะยังคงอยู่ กล่าวคือ:

1) หากมีอยู่ก็จะมีอยู่และ (ถ้า)

2) ถ้า และเพื่อใดๆ ฉันมีขีดจำกัดและมีที่ไหนสักแห่ง ม 0แล้วมีขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ พิกัดของจุดอยู่ที่ไหน ร 0 .

3) ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(ม)และ ก.(ม)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ม 0 จากนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันต่างๆ ก็จะต่อเนื่องกันเช่นกัน f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(ถ้า ก.(ม 0) ≠ 0).

4) ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องกันที่จุดนั้น พี 0และฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น ม 0โดยที่ ฟังก์ชันเชิงซ้อนจะต่อเนื่องกันที่จุดนั้น อาร์ 0 .

5) ฟังก์ชั่นทำงานต่อเนื่องในพื้นที่จำกัดแบบปิด ดีใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในภูมิภาคนี้

6) หากฟังก์ชันทำงานต่อเนื่องในพื้นที่จำกัดแบบปิด ดี,รับค่าในภูมิภาคนี้ กและ ในแล้วเธอก็เข้าพื้นที่ ดีและค่ากลางใดๆ ที่อยู่ระหว่างนั้น กและ ใน.

7) หากฟังก์ชันทำงานต่อเนื่องในพื้นที่จำกัดแบบปิด ดีนำค่าของเครื่องหมายต่างๆ ในภูมิภาคนี้ แล้วมีจุดจากภูมิภาคอย่างน้อยหนึ่งจุด ดีซึ่งในนั้น ฉ = 0.

อนุพันธ์บางส่วน

ลองพิจารณาเปลี่ยนฟังก์ชันเมื่อระบุส่วนเพิ่มให้กับอาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งเท่านั้น - x ฉันและลองเรียกมันว่า

คำนิยาม . อนุพันธ์บางส่วนฟังก์ชั่นตามข้อโต้แย้ง x ฉันเรียกว่า .

การกำหนด: .

ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวจึงถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงๆ ตัวแปรหนึ่งตัว – x i- ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของอนุพันธ์ที่พิสูจน์แล้วสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งจึงสามารถใช้ได้

ความคิดเห็น ในการคำนวณเชิงปฏิบัติของอนุพันธ์ย่อย เราใช้กฎปกติในการหาความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง โดยสมมติว่าอาร์กิวเมนต์ที่ใช้สร้างความแตกต่างนั้นเป็นตัวแปร และอาร์กิวเมนต์ที่เหลือจะคงที่

ตัวอย่าง .

1. ซี = 2x² + 3 เอ็กซ์ซี –12ย² + 5 x – 4ย +2,

2. ซี = เอ็กซ์วาย

การตีความทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการพื้นผิว z = ฉ(x,y)และวาดเครื่องบิน x=ค่าคงที่ ให้เราเลือกจุดบนเส้นตัดของระนาบและพื้นผิว ม(x,ย)- ถ้าจะให้โต้แย้ง ที่เพิ่มขึ้น ∆ ที่และพิจารณาจุด T บนเส้นโค้งด้วยพิกัด ( x, y+Δ ใช่, z+∆y z) จากนั้นแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากเส้นตัด MT ที่มีทิศทางบวกของแกน O ที่จะเท่ากับ เมื่อผ่านไปยังขีด จำกัด ที่ เราพบว่าอนุพันธ์บางส่วนเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับเส้นโค้งผลลัพธ์ที่จุด มโดยมีทิศทางบวกของแกน O คุณดังนั้นอนุพันธ์ย่อยจึงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมกับแกน O เอ็กซ์แทนเจนต์กับเส้นโค้งที่ได้จากการแบ่งส่วนพื้นผิว z = ฉ(x,y)เครื่องบิน ย=ค่าคงที่

ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

เมื่อศึกษาประเด็นที่เกี่ยวข้องกับความแตกต่าง เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว เนื่องจากการพิสูจน์ตัวแปรจำนวนมากจะดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

คำนิยาม . เพิ่มขึ้นเต็มจำนวนฟังก์ชั่น ยู = ฉ(x, y, z)เรียกว่า

ทฤษฎีบท 1 หากมีอนุพันธ์บางส่วนอยู่ที่จุด ( x 0, ย 0, z 0) และในละแวกใกล้เคียงบางแห่งและต่อเนื่องกันตรงจุด ( x 0 , ย 0 , z 0) จากนั้นจะถูกจำกัด (เนื่องจากโมดูลไม่เกิน 1)

จากนั้น การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 สามารถแสดงเป็น: , (15.6)

คำนิยาม . ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น คุณ = ฉ (x, y, z)ณ จุด ( x 0 , ปี 0 , z 0)สามารถแสดงได้ในรูปแบบ (15.6), (15.7) จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน หาความแตกต่างได้ณ จุดนี้และการแสดงออกคือ ส่วนเชิงเส้นหลักของการเพิ่มขึ้นหรือ เฟืองท้ายเต็ม ฟังก์ชั่นที่เป็นปัญหา

การกำหนด: ดู่, df (x 0 , y 0 , z 0)

เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระจะถือเป็นส่วนเพิ่มตามอำเภอใจ ดังนั้น

หมายเหตุ 1. ดังนั้น คำว่า "ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้" จึงไม่เท่ากับคำว่า "ฟังก์ชันมีอนุพันธ์บางส่วน" - สำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์ จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องของอนุพันธ์เหล่านี้ ณ จุดที่เป็นปัญหาด้วย

พิจารณาฟังก์ชันแล้วเลือก x 0 = 1, ใช่ 0 = 2. จากนั้น ∆ x= 1.02 – 1 = 0.02; Δ ย = 1.97 – 2 = -0.03 มาหากัน.

ฉะนั้นแล้ว ฉ ( 1, 2) = 3 เราได้

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราชี้ให้เห็นว่าเมื่อศึกษาปรากฏการณ์หลายอย่าง เราต้องเผชิญกับฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ลองยกตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1 พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านซึ่งมีความยาวเท่ากับ x และ y แสดงโดยสูตร แต่ละคู่ของค่า x และ y สอดคล้องกับค่าหนึ่งของพื้นที่ S S เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างที่ 2 ปริมาตร V ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบซึ่งมีความยาวเท่ากับ x แสดงไว้ในสูตร โดยที่ V เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x สามตัว

ตัวอย่างที่ 3 ระยะ R ของกระสุนปืนที่ยิงด้วยความเร็วเริ่มต้น จากปืนที่ลำกล้องเอียงไปทางขอบฟ้าในมุม แสดงเป็นสูตรหากละเลยแรงต้านอากาศ) นี่คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สำหรับคู่ของค่าแต่ละคู่ สูตรนี้จะให้ค่าเฉพาะของ R กล่าวคือ R เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างที่ 4 และ นี่คือฟังก์ชันของตัวแปรสี่ตัว

คำจำกัดความ 1. หากแต่ละคู่ของค่าของตัวแปรอิสระสองตัว x และ y จากขอบเขตหนึ่งของการเปลี่ยนแปลง D สอดคล้องกับค่าหนึ่งของปริมาณ จากนั้นเราจะบอกว่ามีฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัวที่ x และ y กำหนดไว้ ในภูมิภาค

ในเชิงสัญลักษณ์ ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะแสดงดังนี้:

สามารถระบุฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้ เช่น โดยใช้ตารางหรือในเชิงวิเคราะห์ โดยใช้สูตร ดังที่ทำในตัวอย่างทั้งสี่ที่กล่าวถึงข้างต้น ตามสูตรคุณสามารถสร้างตารางค่าฟังก์ชันสำหรับคู่ค่าของตัวแปรอิสระบางคู่ได้ ใช่สำหรับ

สำหรับตัวอย่างแรก คุณสามารถสร้างตารางต่อไปนี้:

ในตารางนี้ ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับค่าหนึ่งของ x และ y ค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจะถูกระบุ

หากได้รับการพึ่งพาฟังก์ชันอันเป็นผลมาจากการวัดค่าของ z ในระหว่างการศึกษาเชิงทดลองของปรากฏการณ์ ก็จะได้ตารางที่กำหนดทันทีว่า z เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะถูกระบุโดยตารางเท่านั้น

เช่นเดียวกับในกรณีของตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะไม่มีอยู่ในค่า x และ y ใด ๆ

คำจำกัดความ 2 ชุดของคู่ของค่าที่กำหนดฟังก์ชันเรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความหรือโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันนี้

ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันแสดงไว้อย่างชัดเจนในเชิงเรขาคณิต หากเราพรรณนาแต่ละคู่ของค่า x และ y เป็นจุดในระนาบ โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะแสดงเป็นจุดบนระนาบ เราจะเรียกกลุ่มของจุดนี้ว่าโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดเมนของคำจำกัดความอาจเป็นทั้งระนาบได้ ต่อไปนี้เราจะจัดการกับพื้นที่ดังกล่าวเป็นหลัก ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น เส้นที่กั้นเขตนี้เรียกว่าเขตแดน จุดของภูมิภาคที่ไม่อยู่บนขอบเขตจะเรียกว่าจุดภายในของภูมิภาค พื้นที่ที่ประกอบด้วยจุดภายในเท่านั้นเรียกว่าเปิดหรือปิด หากจุดขอบเขตเป็นของภูมิภาคด้วย ภูมิภาคนั้นจะเรียกว่าปิด ขอบเขตจะถูกเรียกว่าขอบเขตหากมีค่าคงที่ C ซึ่งระยะทางของจุด M ใด ๆ ของขอบเขตจากจุดกำเนิดของพิกัด O น้อยกว่า C นั่นคือ

ตัวอย่างที่ 5: กำหนดโดเมนธรรมชาติของฟังก์ชัน

นิพจน์เชิงวิเคราะห์เหมาะสมสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y ดังนั้น ขอบเขตธรรมชาติของนิยามของฟังก์ชันคือระนาบทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 6. .

เพื่อให้มีค่าจริง รากจะต้องมีจำนวนที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ x และ y จะต้องเป็นไปตามค่าอสมการหรือ

ทุกจุดที่มีพิกัดเป็นไปตามอสมการที่ระบุจะอยู่ในวงกลมรัศมี 1 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและบนขอบเขตของวงกลมนี้

ตัวอย่างที่ 7. .

เนื่องจากลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันหรือต้องเป็นไปตามนั้น

ซึ่งหมายความว่าขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือครึ่งหนึ่งของระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง โดยไม่รวมเส้นตรงนั้นเอง (รูปที่ 166)

ตัวอย่างที่ 8: พื้นที่ของสามเหลี่ยม 5 เป็นฟังก์ชันของฐานและความสูง

ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือพื้นที่เช่นฐานของรูปสามเหลี่ยมและความสูงต้องไม่เป็นลบหรือเป็นศูนย์) โปรดทราบว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาไม่ตรงกับโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความของนิพจน์เชิงวิเคราะห์ซึ่งมีการระบุฟังก์ชันไว้ เนื่องจากโดเมนตามธรรมชาติของคำจำกัดความของนิพจน์นั้นเห็นได้ชัดว่าเป็นระนาบ Oxy ทั้งหมด