Орбитальные скорости планет солнечной системы

Орбиты космических аппаратов вокруг Земли

Низкая опорная орбита (НОО , низкая околоземная орбита) – орбита космического аппарата около Земли. Орбиту правомерно называть «опорной», если предполагается её изменение – увеличение высоты или изменение наклонения. Если же маневры не предусмотрены или космический аппарат вообще не имеет собственной двигательной установки, предпочтительно использование названия «низкая околоземная орбита». В общем случае считается, что космический аппарат находится на опорной орбите, если он движется с первой космической скоростью, и находится на высоте, где соответствующая плотность верхних слоёв атмосферы, в первом приближении, допускает круговое или эллиптическое движение. При этом на орбите такого типа аппарат может находиться не менее одного витка. Типичные параметры опорной орбиты, на примере космического корабля «Союз-ТМА» составляют:

минимальная высота над уровнем моря (вперигее) – 193 км,

максимальная высота над уровнем моря (вапогее) – 220 км,

наклонение – 51,6 градуса,

период обращения – около 88,3 минуты.

При определении высоты НОО важно указывать, от какой модели Земли она отсчитывается. Российские баллистики традиционно указывают высоту над эллипсоидом, а американские – над сферой, в результате разница может достигать 20 км (примерно соответствует разнице экваториального и полярного радиусов Земли), а положения апогея и перигея – смещаться.

Так как суточное вращение Земли участвует в выведении ракеты-носителя на орбиту, то грузоподъёмность зависит от наклонения орбиты к плоскости экватора. Наилучшие условия достигаются, если НОО имеет наклон к экватору, который совпадает с широтой стартовой площадки, с которой был осуществлён запуск. Другие наклонения орбиты ведут к уменьшению параметров ракеты-носителя по способности вывода груза на орбиту. Однако, не для всех космодромов возможен запуск в наиболее энергетически выгодном направлении, так, например, для Байконура с широтой около 46 градусов невозможен запуск на наклонения меньше 48,5 градусов из-за ограничений по расположению территорий падения отделяющихся частей ракет (зон отчуждения). Наиболее часто используемое наклонение при запусках с Байконура – 51,6 градуса, меньшие наклонения используются редко.

Время жизни, или время нахождения КА на НОО , зависят от баллистических параметров искусственного небесного тела и от активности Солнца в этот период, которая влияет на высоту верхних слоёв атмосферы Земли.

Чем ниже орбита, тем больше масса груза, который может вывести на неё ракета-носитель при прочих равных условиях. Поэтому опорную орбиту выгодно делать как можно ниже. На практике время орбитального полёта (до вхождения в плотные слои атмосферы) менее одних суток может вызвать проблемы при отказах на борту космического аппарата, поэтому такие низкие орбиты практически не используются. Кроме того, на минимальную высоту опорной орбиты влияет величина погрешности выведения, так как при неблагоприятном сочетании ошибок измерительных приборов, органов управления и внешних факторов орбита может оказаться слишком низкой и КА вернётся в атмосферу Земли и сгорит, прежде чем успеет сманеврировать. Тем не менее, известны случаи выведения аппаратов на орбиты с периодом обращения менее 88 минут и высотой перигея 121-150 км. Например, на опорную орбиту с перигеем 129 км была выведена автоматическая станция Луна-7.

Понятие «опорная орбита» вошло в обиход с началом запусков четырёхступенчатой ракеты 8К78 «Молния», четвёртая ступень которой запускалась в невесомости после совершения примерно 3/4 оборота вокруг Земли, как требовалось для межпланетных и лунных АМС.

Низкая околоземная орбита может использоваться не только как опорная, но и как рабочая. В общем случае низкими считаются орбиты с высотой апогея до 2000 км. Особой разновидностью низких околоземных орбит является солнечно-синхронная орбита. На такие орбиты запускаются спутники дистанционного зондирования Земли.

На низкой околоземной орбите находится МКС. После завершения в 1972 году программы «Аполлон» все пилотируемые полёты в космосе происходят по низкой околоземной орбите. В связи с интенсивным использованием на низких орбитах обращается большое количество космического мусора, что приводит к осложнениям в эксплуатации МКС.

Время нахождения спутника на НОО зависит от многих факторов, особенно сильно зависит от влияния Луны и высоты над плотными слоями атмосферы. Например, орбита ИСЗ «Эксплорер-6» (США) менялась каждые 3 месяца от 250 до 160 км, что привело к сроку службы спутника в 2 года вместо 20 запланированных, также первый спутник Земли просуществовал 3 месяца (перигей 215 км, апогей 939 км). Возросшая солнечная активность может привести к резкому увеличению плотности верхней атмосферы – в результате спутник тормозится сильнее, а высота его орбиты снижается быстрее. Существенную роль играет и форма спутника, а именно площадь его миделя (поперечного сечения); для спутников, специально предназначенных к работе на низких орбитах, зачастую выбирают стреловидную, аэродинамически обтекаемую форму корпуса.

Солнечно-синхронная орбита (иногда именуемая гелиосинхронной) –геоцентрическая орбитас такими параметрами, что объект, находящийся на ней, проходит над любой точкой земной поверхности приблизительно в одно и то же местное солнечное время. Таким образом, угол освещения земной поверхности будет приблизительно одинаковым на всех проходах спутника. Такие постоянные условия освещения очень хорошо подходят для спутников, получающих изображения земной поверхности (в том числе спутников дистанционного зондирования земли, метеоспутников). Однако присутствуютгодовые колебания солнечного времени, вызванные эллиптичностью земной орбиты.

Например, спутник LandSat-7, находящийся на солнечно-синхронной орбите, может пересекать экватор пятнадцать раз в сутки, каждый раз в 10:00 местного времени.

Для достижения подобных характеристик параметры орбитывыбираются таким образом, чтобы орбитапрецессировалав восточном направлении на 360 градусов в год (приблизительно на 1 градус в день), компенсируя вращение Земли вокруг Солнца. Прецессия происходит за счёт взаимодействия спутника с Землёй, несферичной из-за полярного сжатия. Скорость прецессии зависит от наклонения орбиты. Нужной скорости прецессии можно достичь лишь для определённого диапазона высот орбит (как правило, выбираются значения 600-800 км, с периодами 96-100 мин.), необходимое наклонение для упомянутого диапазона высот около 98°. Для орбит с бо́льшими высотами требуются весьма большие значения наклонения, из-за чего в зону посещений спутника перестают попадать полярные области.

Данный тип орбит может иметь различные вариации. Например, возможны солнечно-синхронные орбиты с большим эксцентриситетом. В этом случае солнечное время прохода будет зафиксировано только для одной точки орбиты (как правило, перигея).

Период обращения выбирается в соответствии с необходимым периодом повторных проходов над одной и той же точкой поверхности. Хотя спутник на круговой солнечно-синхронной орбите пересекает экватор в одно и то же местное время, это происходит в разных точках экватора (на разной долготе) из-за того, что Земля поворачивается на некоторый угол между проходами спутника. Предположим, период обращения составляет 96 мин. Это значение нацело делит солнечные сутки 7 на пятнадцать. Таким образом, за сутки спутник пройдёт над пятнадцатью разными точками экватора на дневной стороне орбиты (и еще над пятнадцатью - на ночной) и вернется к первой точке. Подбором более сложных (нецелых) отношений, число посещаемых точек может быть увеличено за счёт увеличения периода посещения одной и той же точки.

Специальным случаем солнечно-синхронной орбиты является орбита, на которой посещение экватора происходит в полдень/полночь, а также орбита, лежащая в плоскости терминатора 8 , то есть в полосе закатов и восходов. Последний вариант не имеет смысла для спутников, осуществляющих оптическую фотосъёмку, но хорош для радарных спутников, так как обеспечивает отсутствие участков орбиты, на которых спутник попадает в тень Земли. Таким образом, на такой орбите солнечные батареи спутника постоянно освещаются Солнцем.

Геоцентрическая орбита – траектория движения небесного тела по эллиптической траектории вокругЗемли.

Один из двух фокусов эллипса, по которому движется небесное тело, совпадает с Землёй. Для того, чтобыкосмический корабльоказался на этой орбите, ему необходимо сообщить скорость, которая меньшевторой космической скорости, но не меньше чемпервая космическая скорость.

Высокая эллиптическая орбита (ВЭО) – это тип эллиптической орбиты, у которой высота в апогее во много раз превышает высоту в перигее.

По законам Кеплера спутники, использующие высокие эллиптические орбиты, двигаются с очень высокой скоростью в перигее, а затем сильно замедляются в апогее. Когда КА находится близко от апогея, у наземного наблюдателя создаётся впечатление, что спутник почти не двигается в течение нескольких часов, то есть его орбита становится квазигеостационарной. В течение 3,5 часов сигнал с него можно принимать на антенну диаметром 0,6 м без использования поворотного устройства. С другой стороны, точка квазигеостационара может быть расположена над любой точкой земного шара, а не только над экватором, как у геостационарных спутников. Это свойство используется в северных и южных широтах, сильно удалённых от экватора (выше 76 – 78° с.ш./ю.ш.), где угол места геостационарных спутников может быть очень низким, или даже отрицательным. В этих зонах приём с геостационарного спутника сильно затруднён или вовсе невозможен, и спутники на высокоэллиптических орбитах являются единственной возможностью обеспечить обслуживание. Углы мест у высокоэллиптических спутников превышают 40° на краях зоны обслуживания и достигают 90° в её центре.

Орбиты ВЭО могут иметь любое наклонение, но часто имеют наклонение близкое к для обнуления возмущения вызванного неправильной формой Земли, похожей на сплюснутый эллипсоид. При использовании такого наклонения орбита стабилизируется.

У эллиптических орбит аргумент перигея, находящийся между 180° и 360°, означает, что апогей находится над Северным полушарием. Если аргумент перигея находится между 0° и 180° – апогей находится над Южным полушарием. Апогей орбиты с аргументом перигея 0° или 180° будет находиться точно над экватором, что с практической точки зрения не имеет смысла, поскольку в этом случае дешевле и проще использовать КА на геостационарной орбите (понадобится всего лишь один спутник вместо трёх).

Спутники на ВЭО обладают следующими достоинствами:

возможность обслуживания очень большой территории. Так, например, такая система может обслуживать всю территориюРоссии;

возможность обслуживания высоких широт. Угол места в этих зонах у систем на ВЭО гораздо больше, чем у геостационарных спутников;

широкое использование различных частотных диапазонов на ВЭО без регистрации (в отличие от геостационарной орбиты, где уже практически не осталось ни свободного места, ни свободных частот);

более дешевый вывод на орбиту (примерно в 1,8 раза).

В то же время, в настоящее время у систем на высокоэллиптических орбитах больше недостатков, чем достоинств. К недостаткам относятся:

необходимость иметь, по крайней мере, три спутника на орбите (вместо одного геостационарного) для создания квазигеостационарной системы. В случае обеспечения круглосуточного непрерывного вещания, количество КА возрастает до семи;

приемная антеннадолжна обладать функцией слежения (привод для разворота). Поэтому первоначальная стоимость такой антенны и стоимость её обслуживания будут выше, чем у простой фиксированной антенны;

в высоких широтах плотность населения гораздо ниже, чем в средних районах, поэтому вопрос окупаемости такой системы очень сомнителен;

апогей спутников на ВЭО выше, чем у ГСО, поэтому мощность передатчиков должна быть выше, до 400-500 ватт. Это удорожает спутники;

орбита спутников на ВЭО обычно пересекает радиационные пояса, что сильно сокращает срок службы КА. Для того чтобы избавиться от этой проблемы, необходимо иметь орбиту с апогеем около 50 тыс. км и перигеем около 20 тыс. км;

так как КА движутся по орбите, эффект Доплера создает дополнительные трудности для приемников на Земле;

из-за большого времени распространения сигнала, возникают сложности при использовании приложений, работающих в реальном масштабе времени (например,телефония).

Геопереходная орбита (ГПО ) – орбита, являющаяся переходной между низкой опорной орбитой (НОО) (высота порядка 200 км) и геостационарной орбитой (ГСО) (35 786 км). В отличие от НОО и ГСО, которые в первом приближении являются круговыми, переходная орбита – это сильно вытянутая эллиптическая траектория движения КА, перигей которой лежит на расстоянии НОО от Земли, а апогей на расстоянии ГСО (орбита Гомана - Ветчинкина).

Завершение вывода КАнаГСОпроисходит, когда он достигает апогея при движении по геопереходной орбите. В этот момент разгонный блок сообщает аппарату разгонный импульс, который превращает его эллиптическое движение в круговое, с периодом обращения вокругЗемли, равным длинесуток.

Геостационарная орбита (ГСО) – круговая орбита, расположенная над экватором Земли (0° широты), находясь на которой искусственный спутник обращается вокруг планеты с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг оси. В горизонтальной системе координат направление на спутник не изменяется ни по азимуту ни по высоте над горизонтом, спутник «висит» в небе неподвижно. Геостационарная орбита является разновидностью геосинхронной орбиты и используется для размещения искусственных спутников (коммуникационных, телетрансляционных и т.п.).

Спутник должен обращаться в направлении вращения Земли, на высоте 35 786 км над уровнем моря. Именно такая высота обеспечивает спутнику период обращения, равный периоду вращения Земли относительно звёзд (Звёздные сутки: 23 часа 56 минут 4,091 секунды).

Преимущества геостационарной орбиты получили широкую известность после выхода в свет научно-популярной статьи Артура Кларка в журнале «Wireless World» в 1945 году, поэтому на Западе геостационарная и геосинхронные орбиты иногда называются «орбитами Кларка ». А «поясом Кларка » называют область космического пространства на расстоянии 36000 км над уровнем моря в плоскости земного экватора, где параметры орбит близки к геостационарной. Первым спутником, успешно выведенным на ГСО, былSyncom-3 , запущенный NASA в августе 1964 года.

Спутник, находящийся на геостационарной орбите, неподвижен относительно поверхности Земли, поэтому его местоположение на орбите называется точкой стояния. В результате, сориентированная на спутник и неподвижно закреплённая направленная антенна может сохранять постоянную связь с этим спутником длительное время.

Геостационарная орбита может быть точно обеспечена только на окружности, расположенной прямо над экватором, с высотой, очень близкой к 35 786 км.

После завершения активной эксплуатации на остатках топлива спутник должен быть переведён на орбиту захоронения, расположенную на 200-300 км выше ГСО.

ОРБИТА, в астрономии, - путь небесного тела в пространстве. Хотя орбитой можно называть траекторию любого тела, обычно имеют в виду относительное движение взаимодействующих между собой тел: например, орбиты планет вокруг Солнца, спутников вокруг планеты или звезд в сложной звездной системе относительно общего центра масс. Искусственный спутник «выходит на орбиту», когда начинает двигаться по циклической траектории вокруг Земли или Солнца. Термин «орбита» используется также в атомной физике при описании электронных конфигураций.

Абсолютные и относительные орбиты.

Абсолютной орбитой называют путь тела в системе отсчета, которую в каком-то смысле можно считать универсальной и потому абсолютной. Такой системой считают Вселенную в большом масштабе, взятую как целое, и называют ее «инерциальной системой». Относительной орбитой называют путь тела в такой системе отсчета, которая сама движется по абсолютной орбите (по искривленной траектории с переменной скоростью). Например, у орбиты искусственного спутника обычно указывают размер, форму и ориентацию относительно Земли. В первом приближении это эллипс, в фокусе которого находится Земля, а плоскость неподвижна относительно звезд. Очевидно, это относительная орбита, поскольку она определена по отношению к Земле, которая сама движется вокруг Солнца. Удаленный наблюдатель скажет, что спутник движется относительно звезд по сложной винтовой траектории; это его абсолютная орбита. Ясно, что форма орбиты зависит от движения системы отсчета наблюдателя.

Необходимость различать абсолютную и относительную орбиты возникает потому, что законы Ньютона верны только в инерциальной системе отсчета, поэтому их можно использовать только для абсолютных орбит. Однако мы всегда имеем дело с относительными орбитами небесных тел, ибо наблюдаем их движение с обращающейся вокруг Солнца и вращающейся Земли. Но если абсолютная орбита земного наблюдателя известна, то можно либо перевести все относительные орбиты в абсолютные, либо представить законы Ньютона уравнениями, верными в системе отсчета Земли.

Абсолютную и относительную орбиты можно проиллюстрировать на примере двойной звезды. Например, Сириус, кажущийся невооруженному глазу одиночной звездой, при наблюдении с большим телескопом оказывается парой звезд. Путь каждой из них можно проследить отдельно по отношению к соседним звездам (принимая во внимание, что и сами они движутся). Наблюдения показали, что две звезды не только обращаются одна вокруг другой, но и перемещаются в пространстве так, что между ними всегда есть точка, движущаяся по прямой линии с постоянной скоростью (рис. 1). Эту точку называют центром масс системы. Практически с ней связана инерциальная система отсчета, а траектории звезд относительно нее представляют их абсолютные орбиты. Чем дальше отходит звезда от центра масс, тем она легче. Знание абсолютных орбит позволило астрономам вычислить по отдельности массы Сириуса А и Сириуса В.

Если же измерять положение Сириуса В относительно Сириуса А, то получим относительную орбиту (рис. 2). Расстояние между этими двумя звездами всегда равно сумме их расстояний от центра масс, поэтому относительная орбита имеет ту же форму, что и абсолютные, а по размеру равна их сумме. Зная размер относительной орбиты и период обращения, можно, используя третий закон Кеплера, вычислить лишь суммарную массу звезд.

Более сложный пример представляет движение Земли, Луны и Солнца. Каждое из этих тел движется по своей абсолютной орбите относительно общего центра масс. Но поскольку Солнце значительно превосходит всех по массе, принято изображать Луну и Землю в виде пары, центр масс которой движется по относительной эллиптической орбите вокруг Солнца. Однако эта относительная орбита весьма близка к абсолютной.

Движение Земли относительно центра масс системы Земля - Луна наиболее точно измеряется с помощью радиотелескопов, определяющих расстояние до межпланетных станций. В 1971 при полете аппарата «Маринер-9» к Марсу по периодическим вариациям расстояния до него определили амплитуду движения Земли с точностью 20-30 м. Центр масс системы Земля - Луна лежит внутри Земли, на 1700 км ниже ее поверхности, а отношение масс Земли и Луны составляет 81,3007. Зная их суммарную массу, найденную по параметрам относительной орбиты, можно легко найти и массу каждого из тел.

Говоря об относительном движении, мы можем произвольно выбирать точку отсчета: относительная орбита Земли вокруг Солнца в точности такова, как относительная орбита Солнца вокруг Земли. Проекцию этой орбиты на небесную сферу называют «эклиптикой». В течение года Солнце передвигается по эклиптике приблизительно на 1° в сутки, а если смотреть от Солнца, то так же точно движется Земля. Плоскость эклиптики наклонена к плоскости небесного экватора на 23°27ў, т.е. таков угол между земным экватором и ее орбитальной плоскостью. Все орбиты в Солнечной системе указывают относительно плоскости эклиптики.

Орбиты Луны и планет.

На примере Луны покажем, как описывается орбита (рис. 3). Это относительная орбита, плоскость которой наклонена примерно на 5° к эклиптике. Этот угол называют «наклонением» лунной орбиты. Плоскость лунной орбиты пересекает эклиптику по «линии узлов». Тот из них, где Луна проходит с юга на север, называют «восходящим узлом», а другой - «нисходящим».

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.