Conception (synthèse) de filtres numériques linéaires. Fondements théoriques de la synthèse des filtres Éléments de la théorie de la synthèse des filtres fréquentiels linéaires

La théorie classique de la synthèse des circuits électriques linéaires passifs à paramètres localisés prévoit deux étapes :

Trouver ou sélectionner une fonction rationnelle appropriée qui pourrait être une caractéristique d'une chaîne physiquement réalisable et, en même temps, être suffisamment proche d'une caractéristique donnée ;

Trouver la structure et les éléments du circuit qui implémente la fonction sélectionnée.

La première étape est appelée l'approximation d'une caractéristique donnée, la seconde est la réalisation du circuit.

L'approximation basée sur l'utilisation de diverses fonctions orthogonales ne pose pas de difficultés fondamentales. La tâche de trouver la structure optimale d'une chaîne pour une caractéristique donnée (physiquement réalisable) est beaucoup plus difficile. Ce problème n'a pas de solution univoque. Une même caractéristique du circuit peut être implémentée de plusieurs manières, différant dans le circuit, par le nombre d'éléments qu'il contient et la complexité de la sélection des paramètres de ces éléments, mais la sensibilité des caractéristiques du circuit à l'instabilité des paramètres, etc.

Distinguer la synthèse de chaînes dans domaine fréquentiel et dans le provisoire. Dans le premier cas, la fonction de transfert est fixée À(iω), et dans le second - la réponse impulsionnelle g (t). Ces deux fonctions étant liées par une paire de transformées de Fourier, la synthèse du circuit dans le domaine temporel peut être réduite à une synthèse dans le domaine fréquentiel et inversement. Pourtant, la synthèse pour un réponse impulsive a ses propres caractéristiques qui jouent un grand rôle dans la technologie des impulsions lors de la génération d'impulsions avec certaines exigences pour leurs paramètres (pente du front, dépassement, forme de pic, etc.).

Ce chapitre traite de la synthèse de quadripôles dans le domaine fréquentiel. Il convient de souligner qu'il existe actuellement une littérature abondante sur la synthèse des circuits électriques linéaires et que l'étude de la théorie générale de la synthèse n'est pas incluse dans la tâche du cours "Circuits et signaux radiotechniques". Ici, seuls quelques problèmes particuliers de la synthèse des réseaux à deux ports sont considérés, reflétant les caractéristiques des circuits radioélectroniques modernes. Ces fonctionnalités incluent principalement :

L'utilisation de réseaux actifs à quatre ports ;

La tendance à exclure les inductances des circuits sélectifs (dans la conception microélectronique) ;

L'émergence et le développement rapide de la technologie des circuits discrets (numériques).

On sait que la fonction de transfert d'un réseau à deux ports À(iω) est uniquement déterminé par ses zéros et ses pôles sur le p-plan. Par conséquent, l'expression « synthèse par la fonction de transfert donnée » est équivalente à l'expression « synthèse par les zéros et pôles donnés de la fonction de transfert ». La théorie existante de la synthèse des réseaux à deux ports considère des circuits dont la fonction de transfert a un nombre fini de zéros et de pôles, c'est-à-dire des circuits constitués d'un nombre fini de liens avec des paramètres localisés. Ceci conduit à la conclusion que les méthodes classiques de synthèse de circuits sont inapplicables aux filtres adaptés à un signal donné. En effet, le facteur e iωt 0 entrant dans la fonction de transfert d'un tel filtre [voir. (12.16)] n'est pas réalisé par un nombre fini de liens avec des paramètres localisés. Le matériel présenté dans ce chapitre se concentre sur les réseaux à quatre ports avec un petit nombre de liens. De tels quadripôles sont typiques des filtres passe-bas, des filtres passe-haut, des filtres de suppression, etc., qui sont largement utilisés dans les appareils électroniques.

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formation professionnelle supérieure

"Université technique d'État d'Omsk"

ANALYSE ET SYNTHÈSE DU SCHÉMA
CIRCUIT ÉLECTRIQUE
Instructions méthodiques
à la conception de cours et au CPC

Maison d'édition OmSTU

2010
Compilé par I. V. Nikonov

Les instructions méthodologiques présentent la synthèse et l'analyse d'un circuit électrique avec d'importantes unités fonctionnelles analogiques de l'ingénierie radio : un filtre électrique et un amplificateur. Une analyse du spectre du signal périodique complexe d'entrée est réalisée, ainsi que l'analyse du signal en sortie du circuit électrique (pour un mode de fonctionnement linéaire).

Sont destinés aux étudiants des spécialités 210401, 210402, 090104 et des directions 21030062 jour et formes extra-muros formation, études des disciplines "Fondements de la théorie des circuits", "Génie électrique et électronique".
Réimprimé par décision du Conseil de rédaction et de publication
Université technique d'État d'Omsk

© GOU VPO "État d'Omsk

Université technique ", 2010

1. Analyse des spécifications techniques. Principales étapes de conception 5

2. Principes de base et méthodes de conception électrique
filtres 6

2.1. Principes fondamentaux de conception des filtres 6

2.2. Technique de synthèse de filtres par paramètres caractéristiques 11

2.3. Technique de synthèse de filtres par paramètres opératoires 18

2.4. Un exemple de synthèse du circuit équivalent d'un filtre électrique 25

3. Principes de base et étapes de calcul circuit électrique amplificateur
tension 26

3.1 Principes de base du calcul des circuits électriques des amplificateurs 26

3.2. Un exemple de calcul d'un amplificateur de circuit électrique
au transistor bipolaire 28

4. Principes de base et étapes de l'analyse spectrale complexe
signal périodique 30

4.1. Principes de l'analyse spectrale 30

4.2. Formules de calcul pour l'analyse spectrale 31

4.3. Exemple d'analyse du spectre d'un signal d'entrée 32

5. Analyse du signal à la sortie du circuit électrique. Recommandations
sur l'élaboration d'un schéma électrique 33

5.1. Analyse du flux de signaux à travers un circuit électrique 33

6. Exigences de base pour le contenu, les performances, la protection
dissertation 35

6.1. La procédure et le calendrier de délivrance d'un devoir pour la conception de cours 35

6.3. Enregistrement de la partie graphique du travail de cours (projet) 36

6.4. protection projets de cours(travaux) 38

Bibliographie 39

Annexes 40

Annexe A. Liste des abréviations et symboles 40

Annexe B. Variantes des données initiales pour la synthèse des filtres 41

Annexe B. Variantes des données initiales pour le calcul de l'amplificateur 42

Annexe D. Options pour les données d'entrée pour l'analyse du spectre
signal 43

Annexe D. Paramètres des transistors pour le circuit de commutation
OE (OI) 45

Annexe E. Formulaire de tâche 46

INTRODUCTION
Les principales tâches des disciplines du génie électrique et radio sont l'analyse et la synthèse de circuits et de signaux électriques. Dans le premier cas, les courants, tensions, coefficients de transmission, spectres sont analysés pour des modèles, circuits, dispositifs, signaux connus. Dans la synthèse, le problème inverse est résolu - le développement de modèles analytiques et graphiques (schémas) de circuits électriques et de signaux. Si les calculs et le développement sont complétés par la fabrication de la conception et de la documentation technologique, la fabrication de modèles ou de prototypes, alors le terme est utilisé conception.

Les premières disciplines des spécialités d'ingénierie radio des établissements d'enseignement supérieur, dans lesquelles divers problèmes d'analyse et de synthèse sont envisagés, sont les disciplines « Fondements de la théorie des circuits électriques » et « Génie électrique et électronique ». Les principales sections de ces disciplines :

- analyse en régime permanent de circuits électriques résistifs linéaires, de circuits électriques réactifs linéaires, y compris les circuits résonants et non galvaniques ;

- analyse des caractéristiques fréquentielles complexes des circuits électriques ;

- analyse de circuits électriques linéaires avec des influences périodiques complexes ;

- analyse de circuits électriques linéaires sous influences impulsionnelles ;

- théorie des réseaux linéaires à quatre ports ;

- analyse de circuits électriques non linéaires ;

- filtres électriques linéaires, synthèse de filtres électriques.

Les sections énumérées sont étudiées pendant les séances en classe, cependant, la conception des cours est également une partie importante du processus éducatif. Le sujet du travail de cours (projet) peut correspondre à l'une des sections étudiées, il peut être complexe, c'est-à-dire qu'il peut comprendre plusieurs sections de la discipline, il peut être proposé par l'étudiant.

Dans ces directives, des recommandations sont envisagées pour la mise en œuvre d'un travail de cours complet (projet), dans lequel il est nécessaire de résoudre les problèmes interdépendants de synthèse et d'analyse pour un circuit électrique analogique.

1. ANALYSE DE LA RÉFÉRENCE TECHNIQUE.
PRINCIPALES ÉTAPES DE LA CONCEPTION
En tant que travail de cours complexe (projet) dans ces directives, il est proposé de développer des schémas électriques équivalents et schématiques d'un circuit électrique contenant un filtre électrique et un amplificateur, ainsi qu'une analyse du spectre du signal d'entrée du générateur d'impulsions et analyse du "passage" du signal d'entrée à la sortie de l'appareil. Ces tâches sont importantes, utiles dans la pratique, car des unités fonctionnelles largement utilisées en ingénierie radio sont en cours de développement et d'analyse.

Le schéma structurel électrique de l'ensemble du dispositif, pour lequel il est nécessaire d'effectuer des calculs, est illustré à la figure 1. Les options pour les tâches pour les sections individuelles des calculs sont données dans les annexes B, C, D. Les nombres d'options pour les tâches correspondent au nombre d'étudiants dans la liste du groupe, ou le numéro d'option est formé de manière plus complexe. Si nécessaire, les étudiants peuvent définir indépendamment des exigences de conception supplémentaires, par exemple, des exigences de poids et de taille, des exigences pour les caractéristiques phase-fréquence et autres.

Générateur

impulsions

Filtre électrique analogique

Amplificateur de tension analogique

Riz. 1
La figure 1 montre les valeurs efficaces complexes des tensions électriques d'entrée et de sortie de la forme harmonique.

Lors de la conception des cours, il est nécessaire de résoudre les tâches suivantes :

A) synthétiser (développer) par n'importe quelle méthode un circuit électrique équivalent, puis - un schéma électrique sur n'importe quel radioélément. Calculer l'atténuation et le coefficient de transmission de la tension, illustrer les calculs avec des graphiques ;

B) développer un schéma électrique d'un amplificateur de tension sur tous les radioéléments. Effectuer des calculs de l'amplificateur pour le courant continu, analyser les paramètres de l'amplificateur en mode de petits signaux variables;

D) analyser le passage de la tension électrique du générateur d'impulsions à travers un filtre électrique et un amplificateur, illustrer l'analyse avec des graphiques du spectre d'amplitude et de phase du signal de sortie.

Dans cette séquence, il est recommandé d'effectuer les calculs nécessaires, puis de les organiser sous forme de sections d'une note explicative. Les calculs doivent être effectués avec une précision d'au moins 5 %. Ceci doit être pris en compte dans divers arrondis, analyses approximatives du spectre du signal, lors du choix de radioéléments étalons proches en valeur nominale des valeurs calculées.

2.1. Principes de base de la conception des filtres

2.1.1. Exigences de conception de base

Les filtres électriques sont des circuits électriques linéaires ou quasi-linéaires avec des coefficients de transmission de puissance apparente complexes dépendant de la fréquence. Dans ce cas, au moins un des deux coefficients de transmission est également dépendant de la fréquence : tension ou courant. Au lieu de coefficients de transmission sans dimension, l'atténuation (), mesurée en décibels, est largement utilisée dans l'analyse et la synthèse des filtres :

, (1)

où,, sont les modules des coefficients de transfert (dans la formule (1), le logarithme décimal est utilisé).

La plage de fréquences dans laquelle l'atténuation () tend vers zéro et le gain de puissance apparente () vers l'unité est appelée bande passante (BW). Et inversement, dans la gamme de fréquence, où le coefficient de transfert de puissance est proche de zéro, et l'atténuation est de plusieurs dizaines de décibels, il existe une bande d'arrêt (FB). La bande d'arrêt est également appelée bande d'arrêt ou bande d'arrêt dans la littérature sur les filtres électriques. Il existe une bande de fréquences de transition entre le SP et le PS. Selon l'emplacement de la bande passante dans la gamme de fréquences, les filtres électriques sont classés dans les types suivants :

LPF - filtre passe-bas, la bande passante est aux fréquences les plus basses;

HPF - filtre passe-haut, la bande passante est aux hautes fréquences;

PF - filtre passe-bande, la bande passante est dans une plage de fréquences relativement étroite;

RF - filtre coupe-bande, la bande d'arrêt se situe dans une plage de fréquences relativement étroite.

Un véritable filtre électrique peut être implémenté sur divers composants radio : inductances et condensateurs, dispositifs d'amplification sélectifs, dispositifs piézoélectriques et électromécaniques sélectifs, guides d'ondes, et bien d'autres. Il existe des manuels pour calculer les filtres sur des composants radio bien définis. Cependant, le principe suivant est plus universel : tout d'abord, un circuit équivalent est développé sur la base d'éléments LC idéaux, puis les éléments idéaux sont recalculés en tout composant radio réel. Avec un tel recalcul, un schéma électrique, une liste d'éléments est développée, des composants radio standard sont sélectionnés ou les composants radio nécessaires sont conçus indépendamment. Plus option simple un calcul similaire est le développement d'un schéma de principe d'un filtre réactif avec des condensateurs et des inductances, car le schéma de principe dans ce cas est similaire à un équivalent.

Mais même avec un calcul universel aussi général, il existe plusieurs méthodes différentes pour synthétiser le circuit équivalent d'un filtre LC :

- synthèse en mode coordonné à partir des mêmes liaisons en G, T, U. Cette technique est également appelée caractérisation ou synthèse de filtre « k ». Dignité: formules de calcul simples ; l'atténuation calculée (irrégularité d'atténuation) dans la bande passante () est considérée comme nulle. Défaut: Cette méthode de synthèse utilise différentes approximations, mais en fait, la correspondance sur toute la bande passante n'est pas possible. Par conséquent, les filtres calculés par cette méthode peuvent avoir une atténuation dans la bande passante de plus de trois décibels ;

- synthèse polynomiale. Dans ce cas, le facteur de transfert de puissance requis est approximé par un polynôme, c'est-à-dire que l'ensemble du circuit est synthétisé et non des liaisons individuelles. Cette méthode est aussi appelée synthèse selon des paramètres de fonctionnement ou synthèse selon les ouvrages de référence des filtres passe-bas normalisés. Lors de l'utilisation d'ouvrages de référence, l'ordre du filtre est calculé, un filtre passe-bas équivalent est sélectionné qui répond aux exigences de la tâche. Dignité: les calculs prennent en compte d'éventuelles incohérences et déviations des paramètres des radioéléments, les filtres passe-bas se transforment facilement en filtres d'autres types. Défaut: il est nécessaire d'utiliser des ouvrages de référence ou programmes spéciaux;

- synthèse par impulsion ou caractéristiques transitoires... Basé sur la relation entre les caractéristiques temporelles et fréquentielles des circuits électriques par diverses transformations intégrales (Fourier, Laplace, Carson, etc.). Par exemple, la réponse impulsionnelle () est exprimée en termes de réponse de transfert () en utilisant la transformée de Fourier directe :

Cette méthode a trouvé application dans la synthèse de divers filtres transversaux (filtres à retards), par exemple numériques, acoustoélectroniques, pour lesquels il est plus facile de développer des circuits électriques en termes d'impulsions qu'en caractéristiques fréquentielles. V dissertation Lors de la conception des circuits de filtrage, il est recommandé d'appliquer la méthode de synthèse en fonction des caractéristiques ou des paramètres de fonctionnement.

Ainsi, dans les travaux concernant la synthèse d'un filtre électrique, il faut, par l'une des méthodes, élaborer un circuit électrique équivalent sur des éléments réactifs idéaux, puis un schéma électrique sur d'éventuels radioéléments réels.

Dans le devoir de conception de cours dans la partie concernant la synthèse d'un filtre électrique (Annexe B), les données suivantes peuvent être données :

- le type de filtre synthétisé (LPF, HPF, PF, RF) ;

- - résistances actives des circuits externes, avec lesquelles le filtre doit être adapté en tout ou en partie dans la bande passante ;

- - fréquence de coupure de la bande passante du filtre ;

- est la fréquence de coupure de la bande d'arrêt du filtre ;

- - fréquence moyenne du filtre (pour PF et RF) ;

- - atténuation du filtre dans la bande passante (pas plus) ;

- - atténuation du filtre dans la bande d'arrêt (pas moins);

- - bande passante du PF ou RF ;

- - bande de rétention PF ou RF ;

- - coefficient d'équerrage de LPF, HPF ;

- - coefficient d'équerrage PF, RF.

Si nécessaire, les étudiants peuvent sélectionner indépendamment des données supplémentaires ou des exigences de conception.

2.1.2. Rationnement et conversions de fréquence

Lors de la synthèse de circuits de filtrage équivalents et de base, il est conseillé d'appliquer des transformations de normalisation et de fréquence. Cela permet de réduire le nombre de types de calculs différents et d'effectuer des synthèses en se basant sur un filtre passe-bas. Le rationnement est le suivant. Au lieu d'être conçus pour des fréquences de fonctionnement et des résistances de charge données, les filtres sont conçus pour une résistance de charge et des fréquences normalisées. La normalisation de fréquence est effectuée, en règle générale, par rapport à la fréquence. ... Avec cette normalisation, la fréquence et la fréquence. Lors de la normalisation, un circuit équivalent avec des éléments normalisés est d'abord développé, puis ces éléments sont recalculés selon les exigences spécifiées à l'aide de facteurs de dénormalisation :

La possibilité d'appliquer la normalisation dans la synthèse des circuits électriques découle du fait que la forme des caractéristiques de transfert requises du circuit électrique au cours de cette opération ne change pas, elles ne sont transférées qu'à d'autres fréquences (normalisées).

Par exemple, pour le circuit diviseur de tension illustré à la figure 2, le coefficient de transfert de tension est le même que pour les radioéléments donnés et fréquence de fonctionnement, et à des valeurs normalisées - lors de l'application de facteurs de normalisation.

Riz. 2

Sans rationnement :

, (5)

avec standardisation :

. (6)
Dans l'expression (6), dans le cas général, les facteurs de normalisation peuvent être des nombres réels arbitraires.

L'utilisation supplémentaire de transformations fréquentielles permet de simplifier considérablement la synthèse de HPF, PF, RF. Ainsi, la séquence recommandée de synthèse HPF, lors de l'utilisation de transformations de fréquence, est la suivante :

- les exigences graphiques pour HPF sont normalisées (l'axe des fréquences normalisées est introduit) ;

- la conversion de fréquence des exigences d'atténuation dues à la conversion de fréquence est effectuée :

- un filtre passe-bas à éléments normalisés est en cours de conception ;

- LPF est converti en HPF avec des éléments normalisés ;

- les éléments sont dénormalisés selon les formules (3), (4).

- les exigences graphiques pour le PF sont remplacées par les exigences pour le LPF à partir de la condition que leur bande passante et leur délai soient égaux ;

- un circuit de filtrage passe-bas est synthétisé ;

- une conversion de fréquence inverse est appliquée pour obtenir un circuit de filtre passe-bande en incluant des éléments réactifs supplémentaires dans les branches LPF pour former des circuits résonants.

- les exigences graphiques pour la RF sont remplacées par les exigences pour le filtre passe-haut à condition que leur bande passante et leur délai soient égaux ;

- un circuit de filtre passe-haut est synthétisé, soit directement, soit à l'aide d'un prototype - un filtre passe-bas ;

- le circuit HPF est transformé en circuit filtre coupe-bande en incluant des éléments réactifs supplémentaires dans les branches HPF.

2.2. Technique de synthèse de filtre

2.2.1. Principes de base de la synthèse par paramètres caractéristiques

La justification des principales relations calculées de cette méthode de synthèse est la suivante.

Un réseau linéaire à deux ports est considéré ; un système de paramètres est utilisé pour le décrire :

où sont la tension et le courant à l'entrée du dispositif à quatre ports, sont la tension et le courant à la sortie du dispositif à quatre bornes.

Les coefficients de transmission pour un mode arbitraire (apparié ou non) sont déterminés :

où est la résistance de charge (dans le cas général, complexe).

Pour le mode arbitraire, la constante de transmission (), l'atténuation (), la phase () sont introduites :

. (11)

L'atténuation chez les népers est déterminée par l'expression
, (12)

et en décibels - par l'expression

En mode incohérent, entrée, sortie et caractéristiques de transfert les réseaux à quatre ports sont appelés paramètres de fonctionnement et, dans le mode convenu, caractéristique. Les valeurs des résistances d'entrée et de sortie correspondantes à une fréquence de fonctionnement donnée sont déterminées à partir des équations du réseau à quatre ports (8) :

Dans un mode cohérent, en tenant compte des expressions (14), (15), la constante caractéristique de la transmission est déterminée :

Prise en compte des relations pour les fonctions hyperboliques

, (17)

(18)

la relation entre les paramètres caractéristiques du mode adapté et les éléments du circuit électrique (-paramètres) est déterminée. Les expressions sont de la forme

Les expressions (19), (20) caractérisent le mode coordonné d'un réseau linéaire arbitraire à quatre ports. La figure 3 montre un diagramme d'un
Liaison en L dont les paramètres, conformément aux expressions (8), sont déterminés :

Riz. 3

Avec l'inclusion coordonnée du lien en forme de L, les expressions (19), (20) sont transformées en la forme :

, (21)

. (22)

S'il existe différents types d'éléments réactifs dans les branches longitudinales et transversales du circuit en L, alors le circuit est un filtre électrique.

L'analyse des formules (21), (22) pour ce cas permet d'obtenir une méthode de synthèse des filtres par paramètres caractéristiques. Les principales dispositions de cette technique :

- le filtre est conçu à partir de celui-ci, connecté en cascade, adapté dans la bande passante les uns aux autres et aux charges externes des liens (par exemple, des liens de type G);

- l'atténuation dans la bande passante () est prise nulle, puisque le filtre est considéré adapté sur toute la bande passante ;

- les valeurs requises des résistances actives externes () pour le mode apparié sont déterminées à travers les résistances des "branches" du lien en L selon la formule approximative

- la fréquence de coupure de la bande passante () est déterminée à partir de la condition

- l'atténuation du lien () à la fréquence de coupure de la bande d'arrêt () est déterminée (en décibels) par la formule

; (25)

- le nombre de liens G identiques inclus dans la cascade est déterminé par l'expression :

2.2.2. Séquence de synthèse du LPF (HPF)
par paramètres caractéristiques

Les formules de calcul sont obtenues à partir des principales dispositions de la méthodologie de synthèse pour les paramètres caractéristiques donnés au paragraphe 2.2.1 des données des lignes directrices... En particulier, les formules (27), (28) pour déterminer les valeurs des éléments de lien sont obtenues à partir des expressions (23), (24). Lors de la synthèse par paramètres caractéristiques, la séquence de calculs pour LPF et HPF est la suivante :

A) les valeurs nominales de l'inductance et de la capacité idéales du lien G du filtre sont calculées en fonction des valeurs données des résistances de charge, du générateur et de la valeur de la fréquence de coupure de la bande passante :

où sont les valeurs des résistances de charge et de générateur, est la valeur de la fréquence de coupure de la bande passante. Le diagramme des exigences d'atténuation et le diagramme de la liaison en L du filtre passe-bas sont représentés sur les figures 4 un B... Chiffres 5 un B les exigences pour l'atténuation et le diagramme de la liaison HPF en forme de L sont donnés.

Riz. 4

Riz. 5

b) l'atténuation de liaison () est calculée en décibels à la fréquence de coupure de la bande d'arrêt () en fonction de la valeur donnée du coefficient de squareness (). Pour LPF :

Pour le filtre passe haut :

. (30)

Dans les calculs utilisant les formules (29), (30), le logarithme népérien est utilisé ;

C) le nombre de liaisons () est calculé en fonction d'une valeur donnée d'atténuation garantie à la limite de la bande d'arrêt, conformément à la formule (26) :

La valeur est arrondie à la valeur entière supérieure la plus proche ;

D) l'atténuation du filtre en décibels est calculée pour plusieurs fréquences dans la bande d'arrêt (l'atténuation calculée dans la bande passante, hors pertes thermiques, dans cette méthode est considérée égale à zéro). Pour un filtre passe-bas :

. (31)

Pour le filtre passe haut :

; (32)
e) les pertes de chaleur sont analysées (). Pour un calcul approximatif des pertes de chaleur pour un prototype basse fréquence, les résistances résistives des inducteurs réels () sont d'abord déterminées à une fréquence à des valeurs sélectionnées indépendamment du facteur de qualité (). Les inductances, à l'avenir, dans le schéma électrique, seront introduites à la place des inductances idéales (les condensateurs sont considérés comme Q plus élevés et leurs pertes résistives ne sont pas prises en compte). Formules de calcul :

. (34)

L'atténuation du filtre en décibels, tenant compte des déperditions thermiques, est déterminée par :

et le module du coefficient de transfert de tension () est déterminé à partir de la relation le reliant à l'atténuation du filtre :

E) sur la base des résultats des calculs utilisant les formules (35), (36), des graphiques d'atténuation et de module du coefficient de transfert de tension pour un filtre passe-bas ou un filtre passe-haut sont construits ;

G) selon les ouvrages de référence des radioéléments, les condensateurs et inductances standard les plus proches des éléments idéaux sont sélectionnés pour l'élaboration ultérieure d'un schéma électrique et d'une liste d'éléments de l'ensemble du circuit électrique. En l'absence de bobines d'inductance standard du calibre requis, vous devez les développer vous-même. La figure 6 montre les dimensions de base d'une simple bobine cylindrique monocouche nécessaire à son calcul.
Riz. 6

Le nombre de tours d'une telle bobine avec noyau ferromagnétique(ferrite, fer carbonyle) est déterminé à partir de l'expression

où est le nombre de tours, est la perméabilité magnétique absolue, est la perméabilité magnétique relative du matériau du noyau,
Est la longueur de la bobine, où est le rayon de la base de la bobine.
2.2.3. Séquence de la synthèse de PF (RF)
par paramètres caractéristiques

Chiffres 7 un B et 8 un B les graphiques des exigences d'atténuation et des liaisons en forme de L les plus simples, respectivement, pour les filtres passe-bande et coupe-bande sont présentés.
Riz. 7

Riz. huit

Il est recommandé de synthétiser PF et RF en utilisant les calculs de filtres prototypes avec la même bande passante et le même délai. Pour PF, le prototype est un filtre passe-bas, et pour RF, un filtre passe-haut. La technique de synthèse est la suivante :

A) à la première étape de la synthèse, une conversion de fréquence est appliquée, dans laquelle les exigences graphiques pour l'atténuation du PF sont recalculées en exigences pour l'affaiblissement du filtre passe-bas, et les exigences graphiques pour l'affaiblissement du Les RF sont recalculées dans les exigences d'affaiblissement du filtre passe-haut :

B) selon la méthode précédemment considérée pour la synthèse de LPF et HPF (points a – f
p.2.2.2) un circuit électrique est en cours de développement équivalent à un filtre passe-bas pour la synthèse d'un PF, ou un filtre passe-haut - pour une synthèse de la RF. Pour un filtre passe-bas ou un filtre passe-haut, des graphiques d'atténuation et de coefficient de transfert de tension sont tracés ;

C) le circuit de filtrage passe-bas est transformé en un circuit de filtrage passe-bande en convertissant les branches longitudinales en circuits oscillants successifs et les branches transversales en circuits oscillants parallèles en connectant des éléments réactifs supplémentaires. Le circuit HPF est transformé en circuit de filtre coupe-bande en transformant les branches longitudinales en circuits oscillants parallèles et les branches transversales en circuits oscillants en série en connectant des éléments réactifs supplémentaires. Les éléments réactifs supplémentaires pour chaque branche LPF (HPF) sont déterminés par la valeur de la fréquence moyenne donnée du filtre passe-bande ou coupe-bande () et les valeurs calculées des éléments réactifs des branches LPF (HPF) en utilisant le puits -expression connue pour les circuits résonants :

D) pour les circuits PF ou RF, les condensateurs et les inductances sont développés ou sélectionnés selon les ouvrages de référence des radioéléments selon la même méthodologie qui a été considérée précédemment au paragraphe 2.2.2 (point g) des présentes lignes directrices ;

E) les graphiques de l'atténuation et du coefficient de transfert de tension du LPF (HPF) sont recalculés dans les graphiques PF (RF) conformément aux rapports entre les fréquences de ces filtres. Par exemple, pour convertir des graphiques LPF en PF :

, (41)

où sont les fréquences, respectivement, au-dessus et au-dessous de la fréquence centrale du filtre passe-bande. Les mêmes formules sont utilisées pour recalculer les graphiques de filtre passe-haut dans les graphiques de filtre coupe-bande.

2.3. Technique de synthèse de filtres par paramètres opératoires

2.3.1. Principes de base de la synthèse par paramètres opératoires
(synthèse polynomiale)

Dans cette méthode de synthèse, comme dans la synthèse par paramètres caractéristiques, des exigences sont fixées pour le type de filtre conçu, la résistance de charge active, l'atténuation ou le coefficient de transfert de puissance dans la bande passante et la bande d'arrêt. Cependant, il est pris en compte que les impédances d'entrée et de sortie du filtre changent dans la bande passante. A cet égard, le filtre est synthétisé dans un mode incohérent, c'est-à-dire selon des paramètres de fonctionnement, ce qui se traduit dans les données initiales par le besoin. La méthode est basée sur un calcul obligatoire pour tout type de filtre passe-bas - prototype (filtre passe-bas). Les calculs utilisent la normalisation () et les transformations de fréquence.

Un circuit de filtrage équivalent n'est pas développé à partir de liaisons identiques séparées, mais complètement à la fois, généralement sous la forme d'un circuit à structure en chaîne. La figure 9 montre une vue d'un circuit en chaîne en forme de U d'un filtre passe-bas, et la figure 10 montre une vue d'un circuit en forme de T du même filtre avec des éléments non normalisés.

Riz. neuf

Riz. Dix

Les principales étapes de calculs sur lesquelles s'appuie cette synthèse sont les suivantes :

A) approximation - remplacement des exigences graphiques pour le coefficient de transfert de puissance par une expression analytique, par exemple, le rapport des polynômes en puissances, qui correspond aux formules des caractéristiques de fréquence des filtres réactifs réels ;

B) le passage à la forme opérateur d'enregistrement des caractéristiques fréquentielles (remplacement d'une variable par une variable dans une expression analytique se rapprochant du coefficient de transfert de puissance) ;

C) transition vers l'expression de l'impédance d'entrée du filtre, en utilisant la relation entre le coefficient de transfert de puissance, le coefficient de réflexion et l'impédance d'entrée du filtre :

Dans l'expression (44), un seul coefficient de réflexion est appliqué, ce qui correspond à un circuit électrique stable (les pôles de ce coefficient n'ont pas de partie réelle positive) ;

D) expansion de l'expression analytique de la résistance d'entrée, obtenue à partir de (44), en somme de fractions ou en fraction continue pour obtenir le circuit équivalent et les valeurs des éléments.

En pratique, la synthèse polynomiale est généralement effectuée à l'aide d'ouvrages de référence sur les filtres, dans lesquels les calculs de cette méthode synthèse. Les ouvrages de référence contiennent des fonctions d'approximation, des circuits équivalents et des éléments normalisés de filtres passe-bas. Dans la plupart des cas, les polynômes de Butterworth et Chebyshev sont utilisés comme fonctions d'approximation.

L'atténuation du filtre passe-bas avec la fonction d'approximation de Butterworth est décrite par l'expression :

où est l'ordre du filtre (un entier positif numériquement égal au nombre d'éléments réactifs dans le circuit de filtrage équivalent).

L'ordre du filtre est déterminé par l'expression

Les tableaux 1, 2 montrent les valeurs des éléments réactifs normalisés dans l'approximation de Butterworth, calculées pour différents ordres du filtre passe-bas (pour des circuits similaires à ceux des figures 9, 10).

Tableau 1

Valeurs des éléments normalisés du Butterworth LPF du circuit en U

Conférence numéro 15.

Conception (synthèse) de filtres numériques linéaires.

La conception (synthèse) d'un filtre numérique est comprise comme le choix de tels coefficients de la fonction système (de transfert), auxquels les caractéristiques du filtre résultant satisfont aux exigences spécifiées. A strictement parler, le problème de conception inclut également le choix d'une structure de filtre appropriée (voir leçon 14), en tenant compte de la précision finie des calculs. Ceci est particulièrement important lors de la mise en œuvre de filtres sous forme matérielle (sous la forme de LSI spécialisés ou de processeurs de signaux numériques). Par conséquent, en général, la conception d'un filtre numérique comprend les étapes suivantes :

1. Résoudre un problème d'approximation pour déterminer des coefficients de filtre et une fonction système répondant à des exigences spécifiques.
2. Le choix du schéma de construction du filtre, c'est-à-dire la transformation de la fonction système en un diagramme filtre.
3. Estimation des effets de quantification, c'est-à-dire des effets liés à la précision finie de la représentation des nombres dans systèmes numériques avec une profondeur de bits finie.
4. Vérifier par des méthodes de simulation si le filtre obtenu répond aux exigences spécifiées.

Les méthodes de synthèse de filtres numériques peuvent être classées selon différents critères :

1. par le type de filtre reçu :
   • méthodes de synthèse de filtres à réponse impulsionnelle finie;
   • méthodes de synthèse de filtres à réponse impulsionnelle infinie;
2. par la présence d'un prototype analogique :
   • méthodes de synthèse utilisant un prototype analogique;
   • méthodes de synthèse directe (sans utiliser de prototype analogique).

En pratique, les filtres FIR sont souvent préférés pour les raisons suivantes. Premièrement, les filtres FIR offrent la possibilité de calculer avec précision le signal de sortie avec une entrée limitée en convolution qui ne nécessite pas de troncature de réponse impulsionnelle. Deuxièmement, les filtres à réponse impulsionnelle finie peuvent avoir une réponse en phase strictement linéaire dans la bande passante, ce qui permet de concevoir des filtres avec une réponse en amplitude qui ne déforme pas les signaux d'entrée. Troisièmement, les filtres FIR sont toujours stables et, avec l'introduction d'un délai fini approprié, sont physiquement réalisables. De plus, les filtres FIR peuvent être implémentés non seulement par des schémas non récursifs, mais également à l'aide de formes récursives.

Notons les inconvénients des filtres FIR :

1. Une réponse impulsionnelle avec un grand nombre d'échantillons est nécessaire pour approcher des filtres dont la réponse en fréquence est nette. Par conséquent, lors de l'utilisation d'une convolution normale, il est nécessaire d'effectuer un grand nombre de calculs. Seul le développement de méthodes de convolution rapide basées sur un algorithme FFT très efficace a permis aux filtres FIR de rivaliser avec succès avec les filtres IIR qui ont des coupures nettes dans la réponse en fréquence.
2. Le retard dans les filtres FIR à phase linéaire n'est pas toujours un nombre entier de cases d'échantillons. Dans certaines applications, un tel retard multiple peut entraîner certaines difficultés.

L'une des options de conception des filtres numériques est associée à une séquence donnée d'échantillons de réponse impulsionnelle, qui sont utilisés pour obtenir et analyser sa réponse en fréquence (gain en fréquence).

Obtenons une condition sous laquelle un filtre non récursif a une réponse en phase strictement linéaire. La fonction système d'un tel filtre est :

, (15.1)

où les coefficients de filtre sont les échantillons de réponse impulsionnelle. La transformée de Fourier de est la réponse en fréquence du filtre, périodique en fréquence avec une période. On la représente pour une séquence réelle sous la forme : On obtient les conditions dans lesquelles la réponse impulsionnelle du filtre assurera la stricte linéarité de sa réponse en phase. Ce dernier signifie que la caractéristique de phase doit avoir la forme :

(15.2)

où est le retard de phase constant, exprimé en termes de nombre d'intervalles d'échantillonnage. Écrivons la réponse en fréquence comme suit :

(15.3)

En égalant les parties réelle et imaginaire, on obtient :

, (15.4)

. (15.5)

Où:

. (15.6)

Il y en a deux solutions possibleséquation (15.6). L'un (at) n'a pas d'intérêt, l'autre convient au cas. En multipliant transversalement les termes de l'équation (15.6), on obtient :

(15.7)

Puisque l'équation (15.7) a la forme d'une série de Fourier, la solution de l'équation doit satisfaire les conditions suivantes :

, (15.8)

et (15,9)

De la condition (15.8), il s'ensuit que pour chacun il n'y a qu'un seul retard de phase auquel une linéarité stricte de la réponse en phase du filtre peut être obtenue. De (15.9) il s'ensuit que pour une condition donnée et satisfaisante (15.8), la réponse impulsionnelle doit avoir une symétrie bien définie.

Il est conseillé d'envisager l'utilisation des conditions (15.8) et (15.9) séparément pour les cas pairs et impairs. S'il s'agit d'un nombre impair, alors un nombre entier, c'est-à-dire que le retard dans le filtre est égal à un nombre entier d'intervalles d'échantillonnage. Dans ce cas, le centre de symétrie tombe sur la référence. Si le nombre est pair, alors il s'agit d'un nombre fractionnaire et le retard dans le filtre est égal à un nombre non entier d'intervalles d'échantillonnage. Par exemple, pour nous obtenons, et le centre de symétrie de la réponse impulsionnelle se situe au milieu entre deux échantillons.

Les valeurs des coefficients de réponse impulsionnelle sont utilisées pour calculer la réponse en fréquence des filtres FIR. On peut montrer que pour une réponse impulsionnelle symétrique avec un nombre impair d'échantillons, l'expression d'une fonction réelle qui prend des valeurs positives et négatives est :

, (15.10)

où

Le plus souvent, lors de la conception d'un filtre FIR, on part de la réponse en fréquence requise (ou souhaitée), suivie du calcul des coefficients du filtre. Il existe plusieurs méthodes pour calculer de tels filtres :méthode de conception à l'aide de fenêtres, méthode d'échantillonnage fréquentiel, méthode de calcul du filtre optimal (selon Chebyshev).Considérez une idée de conception de fenêtrage utilisant un filtre FIR passe-bas comme exemple.

Tout d'abord, la réponse en fréquence souhaitée du filtre conçu est définie. Par exemple, prenons la réponse en fréquence continue idéale d'un filtre passe-bas avec un gain, égal à un aux basses fréquences et égal à zéro aux fréquences dépassant un certain fréquence de coupure ... Une représentation discrète d'un filtre passe-bas idéal est une caractéristique périodique qui peut être spécifiée par des échantillons à un intervalle de périodicité égal à la fréquence d'échantillonnage. La détermination des coefficients du filtre passe-bas par les méthodes DFT inverse (soit analytiquement, soit en utilisant un programme qui implémente la DFT inverse) donne une séquence infinie dans les deux sens d'échantillons de réponse impulsionnelle, qui a la forme d'une fonction classique.

Pour obtenir un filtre non récursif réalisable d'un ordre donné, cette séquence est tronquée - le fragment central de la longueur requise en est sélectionné. La troncature simple des échantillons de réponse impulsionnelle est cohérente avec l'utilisation defenêtre rectangulairefixé par une fonction spéciale En raison de la troncature de l'échantillon, la réponse en fréquence initialement spécifiée est déformée, car il s'agit d'une convolution dans le domaine fréquentiel de la réponse en fréquence discrète et de la DFT de la fonction fenêtre :

, (15.11)

où DFT En conséquence, une ondulation des lobes secondaires se produit dans la bande passante de la réponse en fréquence.

Pour affaiblir les effets répertoriés et, surtout, pour réduire le niveau des lobes dans la bande d'arrêt, la réponse impulsionnelle tronquée est multipliée par la fonction de pondération (fenêtre), tombant doucement vers les bords. Ainsi, la méthode de conception de filtre FIR à fenêtre est une méthode de réduction des espaces de fenêtre en utilisant des fenêtres non rectangulaires. Dans ce cas, la fonction de pondération (fenêtre) doit avoir les propriétés suivantes :

• la largeur du lobe principal de la réponse en fréquence de la fenêtre contenant autant d'énergie totale que possible doit être petite;
• l'énergie dans les lobes latéraux de la réponse en fréquence de la fenêtre devrait diminuer rapidement à l'approche.

Comme fonctions de poids, les fenêtres de Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev, etc. sont utilisées.

La théorie générale de la synthèse des circuits électriques linéaires n'est pas incluse dans l'objectif du cours "Circuits et signaux radio".

Ce chapitre n'aborde que quelques questions particulières propres à la synthèse des circuits radio :

synthèse de quadripôles actifs sous la forme d'une connexion en cascade de liaisons élémentaires sans interaction (découplées) du premier ou du deuxième ordre ;

construction de circuits sélectifs ne contenant pas de bobines d'inductance (circuits intégrés);

éléments de la synthèse de circuits discrets (numériques) et la relation entre la réponse en fréquence et la réponse en phase des filtres numériques.

La synthèse des circuits analogiques dans ce chapitre est réalisée uniquement dans le domaine fréquentiel, c'est-à-dire selon une fonction de transfert donnée ; pour les circuits numériques, la synthèse est également envisagée pour une réponse impulsionnelle donnée (brièvement).

On sait que la fonction de transfert d'un réseau linéaire à quatre ports est uniquement déterminée par ses zéros et ses pôles sur le plan (circuits analogiques) ou sur le plan z (circuits numériques). Par conséquent, l'expression « synthèse par une fonction de transfert donnée » est équivalente à l'expression « synthèse par des zéros et des pôles donnés de la fonction de transfert ». La théorie existante de la synthèse des réseaux à deux ports considère des circuits dont la fonction de transfert a un nombre fini de zéros et de pôles, c'est-à-dire des circuits constitués d'un nombre fini de liens avec des paramètres localisés. Le matériel présenté ci-dessous se concentre sur les quadripôles avec un petit nombre de liaisons, qui sont typiques des filtres passe-bas, des filtres passe-haut, des filtres de blocage, etc., qui sont largement utilisés dans les appareils électroniques.

Les filtres électriques sont des réseaux à quatre ports qui, avec une atténuation négligeable A, laissent passer les oscillations dans certaines plages de fréquences f 0 ... f 1 (bandes passantes) et ne laissent pratiquement pas passer les oscillations dans d'autres plages f 2 ... f 3 (arrêt bandes ou bandes de non-transmission).

Riz. 2.1.1. Filtre passe-bas (LPF). Riz. 2.1.2. Filtre passe-haut (HPF).

Il existe de nombreux types de mise en œuvre de filtres électriques : filtres LC passifs (les circuits contiennent des éléments inductifs et capacitifs), filtres RC passifs (les circuits contiennent des éléments résistifs et capacitifs), filtres actifs (les circuits contiennent des amplificateurs opérationnels, des éléments résistifs et capacitifs), guide d'onde , filtres numériques et autres. Parmi tous les types de filtres, les filtres LC occupent une place particulière, car ils sont largement utilisés dans les équipements de télécommunications dans diverses gammes de fréquences. Une technique de synthèse bien développée existe pour ce type de filtre, et la synthèse d'autres types de filtres en fait largement partie.

méthodologie. Par conséquent, le travail de cours se concentre sur la synthèse

Riz. 2.1.3. Filtre passe-bande (PF). filtres LC passifs.

La tâche de synthèse un filtre électrique consiste à définir un circuit de filtrage avec le plus petit nombre possible d'éléments, dont la réponse en fréquence répondrait aux spécifications spécifiées. Des exigences sont souvent faites sur la caractéristique de l'atténuation de travail. Dans les Figures 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, les exigences d'affaiblissement de fonctionnement sont fixées par les niveaux d'affaiblissement maximal admissible dans la bande passante A et les niveaux d'affaiblissement minimal admissible dans la bande passante As. La tâche de synthèse est divisée en deux étapes : problème d'approximation exigences pour l'affaiblissement fonctionnel d'une fonction physiquement réalisable et tâche de mise en œuvre fonction approximative trouvée par le circuit électrique.

La solution au problème d'approximation consiste à trouver une telle fonction d'ordre minimum possible, qui, d'une part, satisfasse aux exigences techniques spécifiées pour la réponse en fréquence du filtre, et, d'autre part, satisfasse aux conditions de réalisabilité physique.

La solution au problème de mise en œuvre consiste à déterminer le circuit électrique dont la réponse en fréquence coïncide avec la fonction trouvée à la suite de la résolution du problème d'approximation.

2.1. FONDAMENTAUX DE LA SYNTHÈSE DE FILTRES PAR PARAMÈTRES DE FONCTIONNEMENT.

Considérons quelques relations caractérisant les conditions de transfert d'énergie à travers un filtre électrique. En règle générale, un filtre électrique est utilisé dans des conditions où les appareils sont connectés du côté de ses bornes d'entrée, ce qui, dans le circuit équivalent, peut être représenté sous la forme d'un réseau actif à deux ports avec les paramètres E (jω), R1, et les dispositifs représentés dans le circuit équivalent sont connectés du côté des bornes de sortie de la résistance R2. Le schéma de connexion du filtre électrique est illustré à la Figure 2.2.1.

La figure 2.2.2 montre un schéma dans lequel, au lieu d'un filtre et d'une résistance R2, une résistance de charge est connectée à un générateur équivalent (avec les paramètres E (jω), R1), dont la valeur est égale à la résistance du générateur R1. Comme vous le savez, le générateur délivre une puissance maximale à une charge résistive si la résistance de charge est égale à la résistance des pertes internes du générateur R1.

Le passage du signal à travers un réseau à quatre ports est caractérisé par une fonction de transfert d'exploitation T (jω). La fonction de transfert de travail permet de comparer la puissance S 0 (jω) fournie par le générateur à la charge R1 (adaptée à ses propres paramètres) avec la puissance S 2 (jω) fournie à la charge R2 après passage dans le filtre :

L'argument de la fonction de transfert de travail arg (T (jω)) caractérise les relations de phase entre la fem E (jω) et la tension de sortie U 2 (jω). On l'appelle la constante de phase de travail de la transmission (notée par la lettre grecque "beta") :

Lors du transfert d'énergie via un réseau à quatre ports, les changements de puissance, de tension et de courant en valeur absolue sont caractérisés par le module de la fonction de transfert de travail. Lors de l'évaluation des propriétés sélectives des filtres électriques, une mesure est utilisée qui est déterminée fonction logarithmique... Cette mesure est l'atténuation de travail (notée par la lettre grecque « alpha »), qui est liée au module de fonction de transfert de travail par les rapports :

, (Нп); ou (2.2)

, (dB). (2.3)

Dans le cas de l'utilisation de la formule (2.2), l'atténuation de travail est exprimée en népers et lors de l'utilisation de la formule (2.3) - en décibels.

La valeur est appelée la constante de travail de la transmission à quatre ports (indiquée par la lettre grecque « gamma »). La fonction de transfert de travail peut être représentée en utilisant l'atténuation de travail et la phase de travail comme :

Dans le cas où la résistance des pertes internes du générateur R1 et la résistance de charge R2 sont résistives, les puissances S 0 (jω) et S 2 (jω) sont actives. Il convient de caractériser le passage de la puissance à travers le filtre à l'aide du facteur de transfert de puissance, défini comme le rapport de la puissance maximale P max reçue du générateur par la charge qui lui est adaptée à la puissance P 2 fournie à la charge R2 :

Un réseau réactif à quatre ports ne consomme pas d'énergie active. Alors la puissance active P 1 donnée par le générateur est égale à la puissance P 2 consommée par la charge :

Nous exprimons la valeur du module de courant d'entrée :, et la substituons dans (2.5).

En utilisant des transformations algébriques, nous représentons (2.5) sous la forme :

Nous représentons le numérateur du membre de droite de l'équation sous la forme :

Le côté gauche de l'équation (2.6) est l'inverse du facteur de transfert de puissance :

L'expression suivante représente la réflectance de la puissance des bornes d'entrée d'un réseau à quatre ports :

Coefficient de réflexion (tension ou courant) aux bornes d'entrée du réseau à quatre ports, égal à

caractérise l'adaptation de la résistance d'entrée du filtre avec la résistance R1.

Un réseau passif à quatre ports ne peut pas fournir d'amplification de puissance, c'est-à-dire.

Par conséquent, pour de tels circuits, il est conseillé d'utiliser une fonction auxiliaire définie par l'expression :

Représentons l'atténuation de travail sous une forme différente, plus pratique pour résoudre le problème de la synthèse de filtre :

Bien entendu, la nature de la dépendance fréquentielle de l'atténuation de fonctionnement est associée à la dépendance fréquentielle d'une fonction dite fonction de filtrage : les zéros et pôles de la fonction de filtrage coïncident avec les zéros et pôles de l'atténuation.

Sur la base des formules (2.7) et (2.9), il est possible de représenter le coefficient de réflexion de puissance à partir des bornes d'entrée d'un réseau à quatre ports :

Passons à l'enregistrement images d'opérateur selon Laplace, en tenant compte que p = jω, et aussi que le carré du module d'une quantité complexe est exprimé, par exemple. L'expression (2.10) sous forme d'opérateur a la forme

Les expressions d'opérateur,, sont des fonctions rationnelles de la variable complexe "p", et par conséquent elles peuvent être écrites comme

où,, - sont des polynômes, par exemple :

A partir de la formule (2.11), en tenant compte de (2.12), on peut obtenir la relation entre les polynômes :

Au stade de la résolution du problème d'approximation, l'expression de la fonction de filtrage est déterminée, c'est-à-dire que les polynômes h (p), w (p) sont déterminés; à partir de l'équation (2.13) on peut trouver le polynôme v (p).

Si l'expression (2.8) est présentée sous forme d'opérateur, alors nous pouvons obtenir la fonction de la résistance d'entrée du filtre sous forme d'opérateur :

Les conditions de réalisation physique sont les suivantes :

1. v (p) - doit être un polynôme de Hurwitz, c'est-à-dire que ses racines sont situées dans la moitié gauche du plan de la variable complexe p = + j · Ω (exigence de stabilité de la chaîne);

2. w (p) - doit être un polynôme pair ou impair (pour le filtre passe-bas w (p) - pair, de sorte qu'il n'y a pas de pôle d'atténuation à = 0 ; pour le filtre passe-haut w (p) - impair );

3. h (p) est tout polynôme à coefficients réels.

2.2. RÈGLEMENT SUR LA RÉSISTANCE ET LA FRÉQUENCE.

Les valeurs numériques des paramètres des éléments L, C, R et les fréquences de coupure des filtres réels peuvent prendre diverses valeurs, selon les conditions techniques. L'utilisation de petites et de grandes valeurs dans les calculs entraîne une erreur de calcul importante.

On sait que la nature des dépendances fréquentielles du filtre ne dépend pas des valeurs absolues des coefficients des fonctions décrivant ces dépendances, mais n'est déterminée que par leurs rapports. Les valeurs des coefficients sont déterminées par les valeurs des paramètres des filtres L, C, R. Par conséquent, la normalisation (changement du même nombre de fois) des coefficients des fonctions conduit à la normalisation des valeurs des paramètres des éléments filtrants. Ainsi, au lieu des valeurs absolues des résistances des éléments filtrants, leurs valeurs relatives sont prises, par rapport à la résistance de charge R2 (ou R1).

De plus, si les valeurs de fréquence sont normalisées par rapport à la fréquence de coupure de la bande passante (cette valeur est le plus souvent utilisée), cela réduira davantage la propagation des valeurs utilisées dans les calculs et augmentera la précision du calculs. Les valeurs de fréquence normalisées sont écrites comme et sont des valeurs sans dimension, et la valeur normalisée est la fréquence de coupure de la bande passante.

Par exemple, considérons la résistance des éléments connectés en série L, C, R :

Résistance normalisée :.

Introduisons les valeurs de fréquence normalisées dans la dernière expression : où les paramètres normalisés sont égaux à :.

Les vraies valeurs (dénormalisées) des paramètres des éléments sont déterminées par :

En modifiant les valeurs de f 1 et R2, il est possible d'obtenir de nouveaux circuits d'appareils fonctionnant dans d'autres gammes de fréquences et sous des charges différentes du circuit d'origine. L'introduction de la standardisation a permis de créer des catalogues de filtres, ce qui dans de nombreux cas réduit le problème complexe de la synthèse de filtres à travailler avec des tableaux.

2.3. CONSTRUCTION DE CIRCUITS DOUBLE.

Comme vous le savez, les deux grandeurs sont la résistance et la conductivité. Un double circuit peut être trouvé pour chaque circuit de filtre électrique. Dans ce cas, l'impédance d'entrée du premier circuit sera égale à la conductivité d'entrée du second, multipliée par un coefficient. Il est important de noter que la fonction de transfert d'exploitation T (p) pour les deux schémas sera la même. Un exemple de construction d'un circuit double est illustré à la figure 2.3.

De telles conversions sont souvent pratiques, car elles peuvent réduire le nombre d'éléments inductifs. Comme vous le savez, les inductances, par rapport aux condensateurs, sont des éléments volumineux et à faible Q.

Les paramètres normalisés des éléments du double circuit sont déterminés (en = 1) :

2.4. APPROXIMATION DES CARACTÉRISTIQUES DE FRÉQUENCE.

Les figures 2.1.1 - 2.1.3 montrent les graphiques des fonctions de l'atténuation de fonctionnement du filtre passe-bas (LPF), du filtre passe-haut (HPF), du filtre passe-bande (BPF). Les mêmes graphiques montrent les niveaux d'atténuation requis. Dans la bande passante f 0 ... f 1, la valeur d'atténuation maximale admissible (appelée irrégularité d'atténuation) ΔA est définie ; dans la bande de non-émission f 2 ... f 3, la valeur minimale admissible de l'atténuation A S est définie ; dans la zone de transition des fréquences f 1 ... f 2, aucune exigence d'atténuation n'est imposée.

Avant de procéder à la solution du problème d'approximation, les caractéristiques requises de l'atténuation de fonctionnement en fréquence sont normalisées, par exemple, pour un filtre passe-bas et un filtre passe-haut :

La fonction d'approximation recherchée doit satisfaire aux conditions de faisabilité physique et reproduire avec suffisamment de précision la dépendance fréquentielle requise de l'atténuation de fonctionnement. Il existe différents critères pour évaluer l'erreur d'approximation, qui sont basés sur Divers types approximation. Dans les problèmes d'approximation des caractéristiques amplitude-fréquence, les critères d'optimalité de Taylor et Chebyshev sont le plus souvent utilisés.

2.4.1. Approximation par le critère de Taylor.

Dans le cas de l'application du critère de Taylor, la fonction d'approximation recherchée a la forme suivante (valeur normalisée) :

où est le carré du module de la fonction de filtrage ;

- l'ordre du polynôme (prend une valeur entière) ;

ε - coefficient d'irrégularité. Sa valeur est liée à la valeur de - non-uniformité d'atténuation dans la bande passante (Fig. 2.4). Comme à la fréquence de coupure de la bande passante Ω 1 = 1, donc

Les filtres avec des dépendances fréquentielles de l'atténuation (2.16) sont appelés filtres avec caractéristiques d'atténuation au maximum plates, ou des filtres avec caractéristiques de Butterworth, qui a d'abord appliqué l'approximation du critère de Taylor lors de la résolution du problème de synthèse de filtre.

L'ordre de la fonction d'approximation est déterminé en fonction de la condition qu'à la fréquence de coupure Ω 2 l'atténuation de fonctionnement dépasse la valeur minimale admissible :

Où . (2.19)

Puisque l'ordre du polynôme doit être un entier, la valeur résultante est

Graphique 2.4. arrondi au plus proche

valeur entière.

L'expression (2.18) peut être représentée sous forme d'opérateur en utilisant la transformation jΩ → :

Trouver les racines du polynôme :, d'où

K = 1, 2, ..., NB (2,20)

Les racines prennent des valeurs conjuguées complexes et sont situées sur un cercle de rayon. Pour former le polynôme de Hurwitz, vous devez utiliser uniquement les racines situées dans la moitié gauche du plan complexe :

La figure 2.5 montre un exemple de placement des racines d'un polynôme d'ordre 9 avec une composante réelle négative dans le plan complexe. Module carré

Riz. 2.5. la fonction de filtration, selon (2.16), est égale à :

Polynôme à coefficients réels ; est un polynôme d'ordre pair. Ainsi, les conditions de réalisation physique sont remplies.

2.4.2. Approximation par le critère de Chebyshev.

En utilisant les polynômes de puissance 2 NB pour l'approximation de Taylor, une bonne approximation de la fonction idéale près du point Ω = 0 est obtenue, mais afin d'assurer une pente suffisante de la fonction d'approximation pour Ω> 1, il est nécessaire d'augmenter l'ordre du polynôme (et, par conséquent, l'ordre du schéma).

La meilleure pente dans la plage de fréquences de transition peut être obtenue si, à titre approché, nous choisissons non pas une fonction monotone (Fig. 2.4), mais une fonction qui fluctue dans la plage de valeurs 0 ... ΔA dans la bande passante à 0<Ω<1 (рис. 2.7).

La meilleure approximation par le critère de Chebyshev est fournie en utilisant les polynômes de Chebyshev P N (x) (Fig. 2.6). Dans l'intervalle -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

Dans l'intervalle -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P N (x) = cos (N arccos (x)), (2.21)

pour N = 1 P 1 (x) = cos (arccos (x)) = x,

pour N = 2 P 2 (x) = cos (2 arccos (x)) = 2 cos 2 (arccos (x)) - 1 = 2 x 2 - 1,

pour N≥3, le polynôme P N (x) peut être calculé à l'aide de la formule de récurrence

PN +1 (x) = 2 x PN (x) - PN -1 (x).

Pour x> 1, les valeurs des polynômes de Chebyshev augmentent de façon monotone et sont décrites par l'expression

P N (x) = ch (N Arch (x)). (2.22)

La fonction de l'affaiblissement de travail (Fig.2.7) est décrite par l'expression

où est le coefficient d'irrégularité, déterminé par la formule (2.17) ;

Carré de module de fonction de filtrage ;

P N (Ω) est un polynôme de Chebyshev d'ordre N.

L'atténuation de fonctionnement dans la bande d'arrêt doit dépasser la valeur de A S :

En substituant l'expression (2.22) aux valeurs des fréquences de la bande de non-transmission dans cette inégalité, nous la résolvons par rapport à la valeur N = Np - l'ordre du polynôme de Chebyshev :

L'ordre du polynôme doit être un entier, donc la valeur résultante doit être arrondie à la valeur entière la plus proche.

Le carré du module de la fonction de transfert d'exploitation (valeur normalisée)

Étant donné que les zéros d'atténuation (ce sont aussi les racines du polynôme de Hurwitz) sont situés dans la bande passante, l'expression (2.21) pour les valeurs des fréquences de la bande passante doit être substituée dans cette expression.

L'expression (2.25) peut être représentée sous forme d'opérateur en utilisant la transformation jΩ → :

Les racines du polynôme sont déterminées par la formule :

K = 1, 2, ..., NCH, (2,26)

Les racines conjuguées complexes dans le plan complexe sont situées sur une ellipse. Le polynôme de Hurwitz n'est formé que de racines de composante réelle négative :

Carré de module de fonction de filtrage ; par conséquent, nous trouvons le polynôme en utilisant la formule récurrente :

C'est un polynôme à coefficients réels ; est un polynôme de degré pair. Les conditions de réalisation physique sont remplies.

2.5. MISE EN OEUVRE DE LA FONCTION APPROXIMATION PAR LE CIRCUIT ELECTRIQUE.

L'une des méthodes pour résoudre le problème de mise en œuvre est basée sur l'expansion de la fonction de résistance d'entrée en une fraction continue

La procédure de décomposition est décrite dans la littérature :,. L'expansion continue de la fraction peut être brièvement expliquée comme suit.

La fonction est un rapport de polynômes. Premièrement, le polynôme numérateur est divisé par le polynôme dénominateur ; alors le polynôme qui était le diviseur devient divisible, et le reste résultant devient le diviseur, et ainsi de suite. Les quotients obtenus par division forment une fraction continue. Pour le circuit de la figure 2.8, la fraction continue a la forme (pour = 1) :

Si nécessaire, vous pouvez à partir du reçu

les schémas passent au dual.

2.6. MÉTHODE DE CONVERSION DE VARIABLE DE FRÉQUENCE.

La méthode de conversion de fréquence variable est utilisée pour synthétiser le filtre passe-haut et le filtre haute fréquence. La conversion s'applique uniquement aux fréquences normalisées.

2.6.1. synthèse HPF... En comparant les caractéristiques du LPF et du HPF dans les figures 2.9 et 2.10, vous pouvez voir qu'elles sont mutuellement inverses. Cela signifie que si nous modifions la variable de fréquence

dans l'expression des caractéristiques du filtre passe-bas, on obtiendra alors la caractéristique du filtre passe-haut. Par exemple, pour un filtre avec une caractéristique de Butterworth

Utiliser cette transformation équivaut à remplacer des éléments capacitifs par des éléments inductifs et vice versa :

C'est-à-dire

C'est-à-dire .

Pour synthétiser un filtre passe-haut à l'aide de la méthode de conversion à fréquence variable, vous devez procéder comme suit.

Riz. 2.9. LPF avec la Fig. 2.10. HPF avec normalisé

caractéristique. caractéristique.

1. Effectuez la normalisation de la variable de fréquence.

2. Appliquer la formule (2.27) pour transformer la variable de fréquence

Les exigences recalculées pour la caractéristique d'atténuation de fonctionnement représentent les exigences pour l'atténuation de fonctionnement du prototype LPF.

3. Synthétiser un prototype de filtre passe-bas.

4. Appliquer la formule (2.27) pour la transition du prototype de filtre passe-bas au filtre passe-haut requis.

5. Dénormaliser les paramètres des éléments du filtre passe-haut synthétisé.

2.6.2. synthèse PF... Graphique 2.1.3. représente la caractéristique symétrique de l'atténuation de fonctionnement du filtre passe-bande. C'est le nom de la caractéristique qui est géométriquement symétrique par rapport à la fréquence centrale.

Pour synthétiser la TF à l'aide de la méthode de transformation de la variable de fréquence, vous devez procéder comme suit.

1. Pour passer de la caractéristique symétrique requise du PF à la caractéristique normalisée du prototype de filtre passe-bas (et utiliser la technique de synthèse déjà connue), il est nécessaire de remplacer la variable de fréquence (Figure 2.11)

2.7. FILTRES ACTIFS.

Les filtres actifs se caractérisent par l'absence d'inducteurs, car les propriétés des éléments inductifs peuvent être reproduites à l'aide de circuits actifs contenant des éléments actifs (amplificateurs opérationnels), des résistances et des condensateurs. De tels schémas sont désignés : schémas ARC. Les inconvénients des inducteurs sont un faible facteur Q (pertes élevées), de grandes dimensions, un coût de production élevé.

2.7.1. Principes fondamentaux de la théorie des filtres ARC... Pour un réseau linéaire à quatre ports (incluant un filtre ARC linéaire), le rapport entre la tension d'entrée et de sortie (sous forme d'opérateur) est exprimé par la fonction de transfert de tension :

où w (p) est un polynôme pair (Kp 0 pour un filtre passe-bas) ou impair (pour un filtre passe-haut),

v (p) est un polynôme de Hurwitz d'ordre N.

Pour un filtre passe-bas, la fonction de transfert (valeur normalisée) peut être représentée comme un produit de facteurs

où К = Н U (0) = К2 1 К2 2 ... forme d'opérateur, pour p = 0);

les facteurs du dénominateur sont formés par le produit de racines conjuguées complexes

dans le cas d'un filtre d'ordre impair, il y a un facteur formé en utilisant la racine du polynôme de Hurwitz avec une valeur réelle.

Chaque facteur de fonction de transfert peut être mis en œuvre par un filtre passe-bas actif (ARC) du second ou du premier ordre. Et l'ensemble de la fonction de transfert donnée H U (p) est une connexion en cascade de ces réseaux à quatre ports (figure 2.13).

Un réseau actif à quatre bornes basé sur un amplificateur opérationnel a une propriété très utile - son impédance d'entrée est bien supérieure à son impédance de sortie. La connexion à un réseau à quatre bornes en tant que charge d'une très grande résistance (ce mode de fonctionnement est proche du mode veille) n'affecte pas les caractéristiques du réseau à quatre bornes lui-même.

U (р) = Н1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)

Par exemple, un filtre passe-bas actif de 5ème ordre peut être mis en œuvre par un circuit qui est une connexion en cascade de deux réseaux à quatre ports de second ordre et d'un réseau à quatre ports de premier ordre (Fig.2.14), et un 4ème -Le filtre passe-bas d'ordre se compose d'une connexion en cascade de deux réseaux à quatre ports de second ordre. Les quadripôles avec un facteur Q plus élevé sont connectés en premier au chemin de transmission du signal ; un réseau à quatre ports de premier ordre (avec le facteur Q le plus faible et la pente de réponse en fréquence la plus faible) est connecté en dernier.

2.7.2. Synthèse de filtre ARC produit en utilisant la fonction de transfert de tension (2.29). La normalisation de fréquence est effectuée par rapport à la fréquence de coupure f c. À la fréquence de coupure, la valeur de la fonction de transfert de tension est inférieure au maximum Hmax par fois, et la valeur d'atténuation est de 3 dB

Riz. 2.14. Filtre passe-bas ARC 5ème ordre.

Les caractéristiques fréquentielles sont normalisées par rapport à f c. Si on résout les équations (2.16) et (2.23) par rapport à la fréquence de coupure, alors on obtient les expressions

Pour LPF avec caractéristique de Butterworth ;

Avec la caractéristique de Chebyshev.

Selon le type de caractéristique de filtre - Butterworth ou Chebyshev, - l'ordre de la fonction d'approximation est déterminé par les formules (2.19) ou (2.26).

Les racines du polynôme de Hurwitz sont déterminées par les formules (2.20) ou (2.26). La fonction de transfert de tension pour un réseau à quatre ports du deuxième ordre peut être formée à l'aide d'une paire de racines conjuguées complexes et, en outre, peut être exprimée en termes de paramètres des éléments de circuit (Fig. 2.14). L'analyse du circuit et la dérivation de l'expression (2.31) ne sont pas données. L'expression (2.32) pour un réseau à quatre ports du premier ordre s'écrit de la même manière.

Étant donné que la valeur de la résistance de charge n'affecte pas les caractéristiques du filtre actif, la dénormalisation est effectuée sur la base de ce qui suit. Tout d'abord, les valeurs acceptables des résistances résistives sont sélectionnées (10 ... 30 kOhm). Ensuite, les valeurs réelles des paramètres de capacité sont déterminées; pour cela, f c est utilisé dans l'expression (2.15).