5 pour construire un circuit sur des éléments logiques. Circuits logiques et expressions logiques. Algorithme de construction de circuits logiques

Une fonction logique dans un ordinateur correspond à un certain circuit de portes. Ce principe donne ce qui suit approche de la construction d'un ordinateur:

Nous formons une fonction logique qui décrit la transformation des codes binaires originaux en le résultat souhaité.

La fonction résultante est simplifiée en utilisant les lois de l'algèbre logique.

La fonction finalement obtenue s'écrit sous la forme d'un circuit de portes.

Un circuit de portes est réalisé au niveau physique à partir d'éléments électroniques.

Donne moi exemple de mise en œuvre de la 3ème étape... La fonction est donnée

Obtenir le schéma logique d'une fonction.

La formation d'un schéma logique doit être lancée en tenant compte de la priorité des opérations (voir p. "Définir une fonction logique (booléenne)"), ainsi que des parenthèses qui modifient l'ordre des opérations. Comme vous le savez, les opérations entre parenthèses (le cas échéant) ont la priorité la plus élevée, puis l'opération d'inverse (négation). Par conséquent, pour une fonction donnée, vous devez d'abord former les éléments
et puis l'élément
... Ensuite, vous pouvez ajouter les éléments résultants (
et
) et, enfin, ajouter la variable à la somme résultante une. En conséquence, nous obtenons le schéma suivant (Fig. 5) :

Riz. 5. Schéma d'implémentation de la fonction (formule (28))

La solution du problème inverse est également possible, lorsqu'un circuit logique est donné, il est nécessaire d'obtenir une fonction logique. Par exemple, dans la Fig. 6 est un schéma logique. Il est nécessaire d'écrire une fonction logique pour cela.

Riz. 6. Schéma d'implémentation des fonctions F ( X , oui , z )

En partant des variables d'entrée, nous écrivons séquentiellement pour chaque porte son fonctionnement logique sur ses variables d'entrée dans le sens des flèches. Ensuite, à la sortie du circuit, nous obtenons le résultat - une fonction. Lors de l'enregistrement des opérations, n'oubliez pas que les opérations effectuées précédemment ont une priorité plus élevée, qui est déterminée soit par l'opération elle-même, soit indiquée par des parenthèses.

Ainsi pour le circuit de la figure 6, tout d'abord, trois opérations sont effectuées : x ∙ y, et ... Puis l'opération pour inverser la somme :
, puis encore une opération d'addition logique des résultats des opérations précédentes :
... La dernière sera l'opération d'inversion du résultat de la multiplication logique :
... Ainsi, la fonction requise a la forme.

Pourquoi est-il nécessaire de pouvoir construire des circuits logiques ?

Le fait est que des circuits plus complexes sont constitués de portes, qui permettent d'effectuer des opérations arithmétiques et de stocker des informations. De plus, un circuit qui remplit certaines fonctions peut être construit à partir de valves de combinaisons et de nombres différents. Par conséquent, l'importance de la présentation formelle du schéma logique est extrêmement grande. Il est nécessaire pour que le développeur puisse choisir l'option la plus appropriée pour construire un circuit à partir de portes. Le processus d'élaboration d'un schéma logique général d'un appareil (y compris un ordinateur dans son ensemble) devient ainsi hiérarchique, et à chaque niveau suivant, les schémas logiques créés à l'étape précédente sont utilisés comme des « briques ».

L'algèbre de la logique a donné aux concepteurs un outil puissant pour le développement, l'analyse et l'amélioration des circuits logiques. En effet, il est beaucoup plus facile, rapide et moins coûteux d'étudier les propriétés et de prouver le bon fonctionnement d'un circuit à l'aide d'une formule l'exprimant que de créer un véritable appareil technique... C'est précisément le sens de toute modélisation mathématique.

Les circuits logiques doivent être construits à partir du nombre minimum d'éléments possible, ce qui, à son tour, offre une vitesse de fonctionnement élevée et augmente la fiabilité de l'appareil.

Algorithme de construction de circuits logiques :

1) Déterminer le nombre de variables booléennes.

2) Déterminer le nombre de bases opérations logiques et leur commande.

3) Dessinez la porte correspondante pour chaque opération logique.

4) Connectez les portes dans l'ordre des opérations logiques.

Instruction. Lors de la saisie au clavier, utilisez la notation suivante : Par exemple, l'expression logique abc + ab ~ c + a ~ bc doit être saisie comme ceci : a * b * c + a * b = c + a = b * c
Utilisez ce service pour saisir des données sous forme de schéma logique.

Règles de saisie des fonctions logiques

1. Utilisez + au lieu de v (disjonction, OU).
2. Il n'est pas nécessaire de faire précéder une fonction logique d'un indicateur de fonction. Par exemple, au lieu de F (x, y) = (x | y) = (x ^ y), il vous suffit de saisir (x | y) = (x ^ y).
3. Le nombre maximum de variables est de 10.

La conception et l'analyse des circuits logiques informatiques sont effectuées à l'aide d'une section spéciale des mathématiques - l'algèbre de la logique. Dans l'algèbre de la logique, trois fonctions logiques principales peuvent être distinguées : « NON » (négation), « ET » (conjonction), « OU » (disjonction).
Pour créer tout dispositif logique, il est nécessaire de déterminer la dépendance de chacune des variables de sortie sur les variables d'entrée de fonctionnement, une telle dépendance est appelée fonction de commutation ou fonction d'algèbre logique.
Une fonction d'algèbre logique est dite entièrement définie si les 2 n de ses valeurs sont données, où n est le nombre de variables de sortie.
Si toutes les valeurs ne sont pas définies, la fonction est dite partiellement définie.
Un dispositif est dit logique si son état est décrit à l'aide d'une fonction d'algèbre logique.
Les méthodes suivantes sont utilisées pour représenter une fonction de l'algèbre de la logique :

• la description verbale est une forme qui est utilisée au stade de la conception initiale et a une représentation conditionnelle.
• description de la fonction de l'algèbre de la logique sous forme de table de vérité.
• description de la fonction de l'algèbre de la logique sous la forme d'une expression algébrique : deux formes algébriques de FAL sont utilisées :
  une) DNF - forme normale disjonctive Est une somme logique de produits logiques élémentaires. Le DNF est obtenu à partir de la table de vérité par l'algorithme suivant ou la règle :
  1) les lignes de variables pour lesquelles la fonction de sortie = 1 sont sélectionnées dans le tableau.
  2) un produit logique est écrit pour chaque ligne de variables ; où les variables = 0 sont écrites avec inversion.
  3) le produit résultant est logiquement résumé.
  Fднф = X 1 * X 2 * X 3 X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2 X 3
  Un DNF est dit parfait si toutes les variables ont le même rang ou le même ordre, c'est-à-dire chaque œuvre doit comprendre toutes les variables sous forme directe ou inverse.
  b) CNF - forme normale conjonctive Est un produit logique de sommes logiques élémentaires.
  Le CNF peut être obtenu à partir de la table de vérité en utilisant l'algorithme suivant :
  1) sélectionner des ensembles de variables pour lesquels la fonction de sortie = 0
  2) pour chaque ensemble de variables, nous écrivons une somme logique élémentaire, et les variables = 1 sont écrites avec inversion.
  3) les montants reçus sont logiquement multipliés.
  Fscnf = (X 1 V X 2 V X 3) (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  CNF est appelé parfait si toutes les variables ont le même rang.

Figure 1 - Schéma du dispositif logique

Toutes les opérations booléennes sont définies tables de vérité valeurs. La table de vérité détermine le résultat de l'opération pour tout est possible x valeurs logiques des déclarations d'origine. Le nombre d'options reflétant le résultat des opérations d'application dépendra du nombre d'instructions dans une expression logique. Si le nombre d'instructions dans une expression logique est N, la table de vérité contiendra 2 N lignes, car il existe 2 N combinaisons différentes de valeurs possibles des arguments.

Opération NON - négation logique (inversion)

• si l'expression originale est vraie, alors le résultat de sa négation sera faux ;
• si l'expression originale est fausse, alors le résultat de sa négation sera vrai.

Opération OU - addition logique (disjonction, union)

Opération ET - multiplication logique (conjonction)

Opération "SI-ALORS" - suite logique (implication)

Opération "A si et seulement si B" (équivalence, équivalence)

Opération "Ajouter mod 2" (XOR, exclusif ou, disjonction stricte)

Priorité booléenne

• Actions entre parenthèses
• Inversion
• Conjonction (&)
• Disjonction (V), OU exclusif (XOR), somme mod 2
• Implication (→)
• Équivalence (↔)

Forme normale disjonctive parfaite

1. Chaque terme logique de la formule contient toutes les variables incluses dans la fonction F (x 1, x 2, ... x n).
2. Tous les termes logiques de la formule sont différents.
3. Pas un seul terme logique ne contient une variable et sa négation.
4. Aucun terme logique dans une formule ne contient deux fois la même variable.

Forme normale conjonctive parfaite

1. Toutes les clauses élémentaires contiennent toutes les variables incluses dans la fonction F (x 1, x 2, ... x n).
2. Toutes les disjonctions élémentaires sont différentes.
3. Chaque disjonction élémentaire contient une variable une fois.
4. Aucune disjonction élémentaire ne contient une variable et sa négation.

Travail de laboratoire# 2. Algèbre de la logique

Objectif

Apprenez les bases de l'algèbre booléenne.

Tâches de laboratoire

À la fin de la leçon, l'étudiant doit:

• définitions des concepts de base (énoncés simples et complexes, opérations logiques, expressions logiques, fonction logique);
• l'ordre d'exécution des opérations logiques ;
• algorithme de construction de tables de vérité ;
• schémas de portes logiques de base ;
• lois de la logique et règles de transformation des expressions logiques ;

• appliquer des plumes logiques pour simplifier les expressions logiques ;
• construire des tables de vérité ;
• construire des diagrammes logiques d'expressions complexes.

Informations théoriques générales

Concepts de base de l'algèbre logique

La base logique de l'ordinateur est l'algèbre de la logique, qui considère les opérations logiques sur les déclarations.

Algèbre de la logique- C'est une branche des mathématiques qui étudie les énoncés, considérés du côté de leurs valeurs logiques (vérité ou fausseté) et des opérations logiques sur eux.

Énoncé logique Est-ce toute phrase déclarative par rapport à laquelle il est possible de dire sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse.

Exemple.« 3 est un nombre premier » est une affirmation parce qu'elle est vraie.

Toutes les phrases ne sont pas des affirmations logiques.

Exemple. la phrase « Allons au cinéma » n'est pas un dicton. Les phrases interrogatives et motivantes ne sont pas des déclarations.

Forme expressive Est une phrase déclarative qui contient directement ou indirectement au moins une variable et devient une déclaration lorsque toutes les variables sont remplacées par leurs valeurs.

Exemple.« X + 2> 5 » est une forme de déclaration qui est vraie pour x> 3, sinon fausse.

L'algèbre de la logique considère tout énoncé d'un seul point de vue - qu'il soit vrai ou faux. Les mots et expressions "pas", "et", "ou", "si ..., alors", "alors et seulement alors" et d'autres permettent de construire de nouvelles déclarations à partir des déclarations déjà données. De tels mots et expressions sont appelés connecteurs logiques.

Les instructions formées à partir d'autres instructions utilisant des connecteurs logiques sont appelées constituant(difficile). Les déclarations qui ne sont pas composées sont appelées élémentaire(Facile).

Exemple. dire "Le nombre 6 est divisible par 2" est une affirmation simple. L'énoncé « Le nombre 6 est divisible par 2 et le nombre 6 est divisible par 3 » est un énoncé composé formé de deux simples en utilisant le conjonctif logique « et ».

La vérité ou la fausseté des énoncés composés dépend de la vérité ou de la fausseté des énoncés élémentaires qui les composent.

Pour faire référence à des instructions logiques, des noms leur sont attribués.

Exemple. Notons par A l'énoncé simple « le nombre 6 est divisible par 2 », et par B l'énoncé simple « le nombre 6 est divisible par 3 ». Ensuite, l'énoncé composé « Le nombre 6 est divisible par 2 et le nombre 6 est divisé par 3 » peut être écrit comme « A et B ». Ici "et" est une connexion logique, A, B sont des variables logiques qui ne peuvent prendre que deux valeurs - "vrai" ou "faux", notées respectivement "1" et "0".

Chaque connecteur logique est considéré comme une opération sur des instructions logiques et possède son propre nom et sa propre désignation (tableau 1).

Tableau 1. Opérations logiques de base

NE PAS L'opération exprimée par le mot "pas" s'appelle le déni et est indiqué par une ligne au-dessus de l'énoncé (ou du signe). L'énoncé A est vrai lorsque A est faux et faux lorsque A est vrai.

Exemple. Soit A = "Aujourd'hui est nuageux", alors A = "Aujourd'hui n'est pas nuageux."

ET L'opération exprimée par le lien "et" s'appelle conjonction(latin conjonctio - connexion) ou multiplication logique et est désigné par le point "" (peut également être désigné par les signes ou &). L'énoncé A B est vrai si et seulement si les deux énoncés A et B sont vrais.

Exemple. L'énoncé « Le nombre 6 est divisible par 2 et le nombre 6 est divisible par 3 » est vrai, mais l'énoncé « Le nombre 6 est divisible par 2 et le nombre 6 est supérieur à 10 » est faux.

OU L'opération exprimée par le lien "ou" (au sens non exclusif du terme) est appelée disjonction(latin disjonctio - division) ou addition logique et est indiqué par le signe

(ou plus). L'énoncé A B est faux si et seulement si les deux énoncés A et B sont faux.

Exemple: L'énoncé « Le nombre 6 est divisible par 2 ou le nombre 6 est supérieur à 10 » est vrai, et l'énoncé « Le nombre 6 est divisible par 5 ou le nombre 6 est supérieur à 10 » est faux.

SI DONC L'opération exprimée par les ligaments "si ... alors", "de ... suit", "... entraîne ..." est appelée implication(latin implico - étroitement lié) et est indiqué par le signe →. L'énoncé A → B est faux si et seulement si A est vrai et B est faux.

Exemple. Dire "si un étudiant a réussi tous les examens avec d'excellentes notes, alors il recevra une bourse." Évidemment, cette implication ne devrait être reconnue comme fausse que dans le cas où l'étudiant a réussi tous les examens avec d'excellentes notes, mais n'a pas reçu de bourse. Dans d'autres cas, lorsque tous les examens ne sont pas réussis avec d'excellentes notes et que la bourse est reçue (par exemple, en raison du fait que l'étudiant vit dans une famille à faible revenu) ou lorsque les examens n'ont pas du tout été réussis et qu'il peut pas question d'une bourse, l'implication peut être reconnue comme vraie.

ÉGAL À L'opération exprimée par les ligaments "alors et seulement alors", "nécessaire et suffisant", "... équivaut à..." s'appelle équivalent ou double implication et est noté ou ~. L'énoncé A↔B est vrai si et seulement si les valeurs de A et B coïncident.

Exemple: L'énoncé « Un nombre est pair si et seulement s'il est divisible par 2 » est vrai, et l'énoncé « Un nombre est impair si et seulement s'il est divisible par 2 » est faux.

OU SOIT L'opération exprimée par les ligaments "Soit... soit" s'appelle OU exclusif ou ajout mod 2 et est désigné par XOR ou. L'affirmation A B est vraie si et seulement si les valeurs de A et B ne coïncident pas.

Exemple. L'énoncé « Le nombre 6 est soit impair, soit divisible par 2 sans reste » est vrai, et l'énoncé « Le nombre 6 est pair ou le nombre 6 est divisible par 3 » est faux, car les deux énoncés qu'il contient sont vrais .

Commenter. L'implication peut s'exprimer en termes de disjonction et de négation :

L'équivalence peut s'exprimer en termes de négation, de disjonction et de conjonction :

Le OU exclusif peut s'exprimer en termes de négation, de disjonction et de conjonction :

Conclusion. Les opérations de négation, de disjonction et de conjonction sont suffisantes pour décrire et traiter des énoncés logiques.

L'ordre d'exécution des opérations logiques est spécifié par des parenthèses. Mais pour réduire le nombre de parenthèses, nous avons convenu de considérer que d'abord l'opération de négation (« non ») est effectuée, puis la conjonction (« et »), après la conjonction - la disjonction (« ou ») et le ou exclusif, enfin, l'implication et l'équivalence.

À l'aide de variables logiques et de symboles d'opérations logiques, toute déclaration peut être formalisée, c'est-à-dire remplacée par une formule logique (expression logique).

Formule logique est un enregistrement symbolique d'une instruction, composé de valeurs logiques (constantes ou variables), unies par des opérations logiques (liens).

Fonction logique est une fonction de variables booléennes qui ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 ou 1. A son tour, la variable booléenne elle-même (l'argument fonction logique) ne peut également prendre que deux valeurs : 0 ou 1.

Exemple... - fonction logique de deux variables A et B.

Les valeurs d'une fonction logique pour différentes combinaisons de valeurs de variables d'entrée - ou, comme on l'appelle autrement, des ensembles de variables d'entrée - sont généralement données par un tableau spécial. Un tel tableau s'appelle table de vérité.

Donnons une table de vérité des principales opérations logiques (Tableau 2)

Tableau 2

Sur la base des données de la table de vérité des opérations logiques de base, vous pouvez compiler des tables de vérité pour des formules plus complexes.

Algorithme de construction de tables de vérité pour des expressions complexes :

• nombre de lignes = 2 n + ligne de cap,
• n est le nombre d'instructions simples.

• nombre de colonnes = nombre de variables + nombre d'opérations logiques ;
• déterminer le nombre de variables (expressions simples) ;
• déterminer le nombre d'opérations logiques et la séquence de leur exécution.

Exemple 1. Créez une table de vérité pour la formule ET – PAS, qui peut être écrite comme suit :.

1. Déterminez le nombre de lignes :

Il y a deux déclarations simples en entrée : A et B, donc n = 2 et le nombre de lignes = 2 2 + 1 = 5.

2. Déterminez le nombre de colonnes :

Une expression se compose de deux expressions simples (A et B) et de deux opérations logiques (1 inversion, 1 conjonction), c'est-à-dire nombre de colonnes de la table de vérité = 4.

3. Remplir les colonnes en tenant compte des tables de vérité des opérations logiques (Tableau 3).

Tableau 3. Table de vérité pour l'opération logique

Remarque : NAND aussi appelé "Le coup de Schaeffer"(noter |) ou "Anti-conjonction"; OU PAS aussi appelé "La flèche de Pierce"(représente ↓) ou "Antidisjonction".

Exemple 2. Créez une table de vérité pour une expression logique.

Solution:

1. Déterminez le nombre de lignes :

Il y a deux déclarations simples en entrée : A et B, donc n = 2 et le nombre de lignes = 2 2 + 1 = 5.

2. Déterminez le nombre de colonnes :

Une expression se compose de deux expressions simples (A et B) et de cinq opérations logiques (2 inversions, 2 conjonctions, 1 disjonction), c'est-à-dire nombre de colonnes de la table de vérité = 7.

On effectue d'abord les opérations d'inversion, puis de conjonction et enfin l'opération de disjonction.

3. Remplir les colonnes en tenant compte des tables de vérité des opérations logiques (Tableau 5).

Tableau 5. Table de vérité pour l'opération logique
Étant donné que toute opération logique peut être représentée comme une combinaison de trois opérations de base, tout dispositif informatique qui traite ou stocke des informations peut être assemblé à partir d'éléments logiques de base, comme à partir de « blocs de construction ».

Les éléments logiques de l'ordinateur fonctionnent avec des signaux qui sont des impulsions électriques. Il y a une impulsion - la signification logique du signal - 1, il n'y a pas d'impulsion - 0. Les signaux-valeurs des arguments arrivent aux entrées de l'élément logique, la valeur du signal de la fonction apparaît à la sortie.

La transformation du signal par un élément logique est spécifiée par une table d'états, qui est en fait une table de vérité correspondant à une fonction logique, uniquement présentée sous forme de circuits logiques. Sous cette forme, il est pratique de représenter des chaînes d'opérations logiques et d'effectuer leurs calculs.

Algorithme de construction de circuits logiques.

1. Déterminer le nombre de variables booléennes.
2. Déterminer le nombre d'opérations logiques et leur ordre.
3. Dessinez l'élément logique correspondant pour chaque opération logique.
4. Connectez les portes logiques dans l'ordre dans lequel les opérations logiques sont effectuées.

Exemple. Construire un circuit logique pour une fonction logique donnée.

Solution.

1. Nombre de variables booléennes = 2 (A et B).
2. Nombre d'opérations = 5 (2 inversions, 2 conjonctions, 1 disjonction). On effectue d'abord les opérations d'inversion, puis de conjonction et enfin l'opération de disjonction.
3. Le circuit contiendra 2 onduleurs, 2 conjoncteurs et 1 disjoncteur.
4. La construction doit commencer par une opération logique, qui doit être effectuée en dernier. Dans ce cas, une telle opération est une addition logique, par conséquent, la sortie doit être un disjoncteur. Les signaux lui sont transmis à partir de deux conjoncteurs, auxquels, à leur tour, un signal d'entrée est normal et un autre est inversé (provenant d'onduleurs).

Informations similaires.

Les circuits booléens sont un moyen pratique de représenter des expressions logiques. Voici comment les trois principales opérations logiques sont représentées sur de tels diagrammes :

Fig 6.1 - Représentation schématique des opérations logiques

Exemple. Pour évaluer une expression booléenne : 1 ou 0 et 1 dessiner un diagramme montrant la séquence des opérations logiques. Calculer la valeur d'une expression logique selon le schéma.

Ici, il est clairement indiqué que l'opération est effectuée en premier et, ensuite ou. Maintenant, dans l'ordre de gauche à droite, nous allons affecter les résultats des opérations aux flèches sortantes :

Le résultat était 1 , c'est à dire. "VRAI".

Exemple. Une expression est donnée : ne pas (1 et (0 ou 1) et 1).

Évaluez la valeur d'une expression à l'aide d'un circuit booléen.

Solution. Le schéma logique avec les résultats du calcul ressemble à ceci :

Implication et équivalence

Implication(énoncé conditionnel). En russe, cette opération logique correspond aux syndicats si donc; Quand ensuite; dès que ... alors etc.

Expression commençant après les conjonctions si, quand, dès que, est appelée la base de l'instruction conditionnelle.

Expression après les mots ensuite, appelé une conséquence. Dans les formules logiques, l'opération d'implication est désignée par le signe "→". L'implication est une double opération ; écrit comme ceci : A → B.

Équivalence. Contrepartie linguistique - syndicats si et seulement si; si et seulement si ... L'équivalence est notée signe"≡" ou "↔".

L'ordre des cinq opérations logiques dans l'ordre décroissant de priorité est le suivant : négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence.

Conversion d'expressions booléennes

Une formule a une forme normale s'il n'y a pas de signes d'équivalence, d'implication, de double négation, alors que les signes de négation ne sont trouvés que pour les variables.

Formules de base pour convertir des expressions logiques :

2. (A & B) A V.

3. (Un B) A & B.

4. (A → B) A & B.

5.A → B A B.

6.A ↔ B (A & B) (A & B) ≡ (A B) & (A B).

7.A & (A B) A.

8.A A & B A.

9.A & (A B) A & B.

10.A A & B A V.

11. Lois de commutativité :

A & B B & A;

UNE B B UNE.

12. Lois de l'associativité :

(UNE B) C A (V AVEC);

(A & B) & C A & (B & C).

13. Lois de l'idempotence :

UNE A A;

14. Lois de distribution :

UN B C) (A & B) (A & C);

UNE (B & C) ≡ (A B) & (A AVEC).

15.A 1 ≡ 1;

16. A & 1 A;

17.A A 1 ;

18.A & 0 0 ;

19.A & A 0.

6.3. Travail de laboratoire

Les tâches sont réparties en fonction de ce qui est donné par l'enseignant mn-code. Si m est un nombre impair, alors votre option est 1, si pair - option 2.

Exercice 1.À l'aide d'opérations logiques, notez les déclarations qui sont vraies lorsque les conditions suivantes sont remplies :

Option 1.

1) au moins un des nombres X, Y, Z est positif ;

2) un seul des nombres X, Y, Z n'est pas positif.

3) un seul des nombres X, Y, Z est supérieur à 10

4) aucun des nombres X, Y, Z n'est égal à 104

Option 2.

1) au moins un des nombres X, Y, Z est négatif ;

2) un seul des nombres X, Y, Z est négatif.

3) un seul des nombres X, Y, Z ne dépasse pas 10

4) chacun des nombres X, Y, Z est égal à 0

Tâche 2. Déterminer la valeur d'une expression booléenne ne pas (X>Z) ne pas (X = Y) si :

Option 1.

1) X = 3, Y = 5, Z = 2 ;

2) X = 5, Y = 0, Z = –8.

Option 2.

1) X = 9, Y = –9, Z = 9 ;

2) X = 0, Y = 1, Z = 19.

Tâche 3. Soient a, b, c des valeurs logiques qui ont les significations suivantes : a = vrai, b = Mensonge, c = vrai... Dessinez des diagrammes logiques pour les expressions booléennes suivantes et calculez leurs valeurs :

Option 1.

1) un et b;

2) ne pas une ou b;

3) un ou b et Avec;

4) (un ou b) et(c ou b).

Option 2.

1) un ou b;

2) un et b ou Avec;

3) ne pas une ou b et Avec;

4) ne pas(une et b et Avec).

Tâche 4. Construire des circuits logiques par expression logique :

Option 1.x 1 et (ne pas x 2 ou x 3).

Option 2.x 1 et x 2 Ou pas x 1 et x 3.

Tâche 5. Effectuer des calculs logiques. Notez les expressions booléennes appropriées :

Variante 1. Variante 2.

Tâche 6. Un schéma logique est donné. Créez une expression booléenne qui correspond à ce schéma.

Évaluez la valeur de l'expression pour :

Option 1.

1) x 1 = 0, x 2 = 1 ;

2) x 1 = 1, x 2 = 1.

Option 2.

1) x 1 = 1, x 2 = 0;

2) x 1 = 0, x 2 = 0.

Tâche 7. Un schéma logique est donné. Construire une table de vérité pour un circuit donné.

Tâche 8. Déterminer la vérité de la formule :

Option 1. ((a) .

Option 2..

Tâche 9. Simplifiez l'expression :

Option 1. .

Option 2. .

6.4. Exigences relatives au contenu du rapport

1. Le but du travail de laboratoire.

2. Affectation à des travaux de laboratoire. Mn - code.

3. Les résultats de la résolution des tâches de leur version.

4. Conclusions sur les résultats obtenus.

6.5. Questions de contrôle

1. Qu'est-ce qu'une proposition logique, constante, variable, formule ?

2. Quels types d'opérations logiques sont envisagées dans le laboratoire ?

3. Tables de vérité pour l'implication et l'équivalence ?

4. Énumérer les lois de l'algèbre de la logique ?

Travaux de laboratoire n° 7
"SYSTÈMES DE CALCUL"

7.1. Objectif

Étude des systèmes numériques. Acquisition de compétences en traduction d'un système de numérotation à un autre

7.2. Instructions méthodiques

Forme développée l'enregistrement d'un numéro s'appelle un enregistrement sous la forme :

A q = ± (a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 +… + a 0 q 0 + a –1 q -1 + a -2 q -2 +… + a -mq - m).

Ici, A q est le nombre lui-même, q est la base du système de numération, et i sont les chiffres du système de numération donné, n est le nombre de chiffres de la partie entière du nombre, m est le nombre de chiffres du partie fractionnaire du nombre.

Exemple. Obtenez la forme développée des nombres décimaux 32478 ; 26.387.

32478 10 = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10 4 + 2*10 3 + 4*10 2 + 7*10 1 + 8*10 0 .

26,387 10 = 2*10 1 + 6*10 0 + 3*10 -1 + 8*10 -2 + 7*10 -3 .

Exemple. Obtenez la forme développée des nombres 112 3, 101 101 2, 15FC 16, 101.11 2

112 3 =1*10 2 + 1*10 1 + 2*10 0 .

1011012 = 1*10 101 + 0*10 100 + 1*10 11 + 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 .

15FC 16 = 1 * 10 3 + 5 * 10 2 + F * 10 1 + C.

101,11 2 = 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 + 1*10 -1 + 1*10 -10 .

Si tous les termes sous la forme développée d'un nombre non décimal sont représentés dans le système décimal et que l'expression résultante est calculée selon les règles de l'arithmétique décimale, vous obtiendrez un nombre dans le système décimal égal à celui donné. Selon ce principe, une conversion est effectuée du système non décimal au système décimal.

Exemple. Convertissez tous les nombres de l'exemple précédent en système décimal.

112 3 =1*3 2 + 1*3 1 + 2*3 0 = 9+3+2 = 14 10 .

101101 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =32+8+4+1 = 45 10 ,

15FC 16 = 1 * 16 3 + 5 * 16 2 + 15 * 16 1 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10.

101,11 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 –1 + 12 -2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .