Вектор перемещения точки и ее координаты. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения

При своём движении в пространстве материальная точка описывает воображаемую линию, которую называют траекторией.

Например, следы людей и машин на песке, инверсионный след самолёта, летящего высоко в небе (рис. 6).

Траектория – понятие относительное.

Следовательно, о форме траектории без указания системы отсчёта говорить нельзя. При поступательном движении тела все его точки движутся по траектории одинаковой формы и равной длины. При вращении тела относительно неподвижной оси траектории всех его точек, не лежащих на оси вращения, имеют одинаковую форму, т. е. окружности, но длины этих окружностей неодинаковы: чем дальше точка находится от оси вращения, тем больше длина окружности, по которой она движется. В зависимости от формы траектории различают движения прямолинейные и криволинейные. Необходимо помнить, что в различных системах отсчета траектории движущихся м. т. могут иметь различные формы. Для примера рассмотрим движение точки конца пропеллера летящего самолета. В системе отсчета, связанной с самолетом, траектория – окружность, а в системе отсчета, связанной с Землей, точка конца пропеллера описывает винтовую линию. Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из выражений x = x (t), y = y (t), z = z (t) исключить время.

1.8. Вектор перемещения материальной точки

Изменение положения материальной точки в пространстве при ее движении характеризуютвектором перемещения .

Вектор, проведённый из начального положения материальной точки в конечное, называют вектором перемещения .

Вектор перемещения характеризует изменение радиус-вектора движущейся точки за рассматриваемый промежуток времени. В течение промежутка времени t материальная точка переходит из точки 1 с координатами: х 1 , у 1 , z 1 в точку 2 с координатами: х 2 , у 2 , z 2 (рис. 1.7).

Вектор перемещения материальной точки записывают в виде

, (6)

Вместо одного уравнения (6) можно использовать три скалярных уравнения – проекций вектора перемещения на оси координат Х, У, Z:

(8)

Замечание о символе  : этот символ имеет несколько смыслов.

Во-первых, он обозначает конечное изменение (прирост или убыль) стоящей за ним переменной величины. Например,

– изменение радиус-вектора; x, y, z – изменения координат.

Во-вторых, он применяется для обозначения абсолютной ошибки измерения в теории погрешностей измерений физических величин.

В-третьих, он применяется для обозначения малого элемента переменной величины. Например, t – малый промежуток времени; V – малый элемент объема (элементарный объем).

В-четвертых, это символический вектор – векторный оператор Лапласа.

Замечание о векторных величинах : Общим свойством всех векторных величин является то, что сложение или вычитание однородных векторных величин производится геометрически.

Например, тот опытный факт, что результат нескольких последовательных перемещений всегда находится как геометрическая сумма (по правилу параллелограмма) этих перемещений, говорит о векторном характере перемещений, о необходимости и целесообразности введения перемещения как векторной величины.

• Tutorial

В я рассказал о видах передвижений и перемещений в плиточном мире. Сегодня расскажу подробней о векторных способах. Как и в прошлый раз расскажу теорию, объясню суть и покажу пример реализации перемещений на языке C++.

Перемещение по вектору , один из способов реализации движения. Мир уже не разделен на клетки, и предоставляет куда больше свободы для передвижений. Координаты могут задаваться с большой точностью (не только целые, но и float значения), что позволяет реализовывать весьма реалистичные движения. Вектор – это направление, в котором будет осуществляться движение нашего агента. Проще всего его можно задать двумя значениями, например V(10,5). Это значит что при перемещении точки, находящейся в координате A(1,1) по вектору V(10,5) положение объекта будет находиться в A+V = C(1+10,1+5) = C(11,6). Значения вектора могут быть также отрицательными.

Для изменения направления движения достаточно сложить текущий вектор с новым. Например, имея вектор V1(2,6) мы хотим изменить его, прибавив вектор V2(3,-3), новый вектор движения будет V1+V2 = V3(2+3),6+(-3)) = V3(5,3). Графически это можно изобразить следующим образом:

Вернемся к передвижениям по вектору. Как уже говорил, чтобы переместить объект на определенный вектор, нужно сложить координаты объекта со значениями вектора: Pos(x,y)+V(a,b) = NewPos(x+a,y+b). Чем больше вектор – тем дальше переместиться наш объект. Это может создавать ряд трудностей, связанных с «проскакиванием» препятствий. Имея достаточно большой шаг, объект запросто может пропустить мелкие объекты. Существует много разных способов устранения этого недостатка, но они не входят в рамки статьи.

Все же такой подход вполне может иметь право на существование, и приведу пример реализации движения объекта по вектору. Сделаем класс вектор – содержащий два значения. И класс моб, который будет двигаться по заданному вектору. Для изменения вектора движения создадим функцию, куда будем помещать новый вектор.
class Vector { public: float x, y; }; class Mob { public: float x,y;//координаты float, так как движения более точные Vector Way;//вектор движения void AddVector(Vector NewWay); void Move(); }; void Mob::AddVector(Vector NewWay) {//добавляем новый вектор Way.x+=NewWay.x;//прибавление нового вектора Way.y+=NewWay.y; } void Mob::Move() {//функция перемещения по вектору x+=Way.x; y+=Way.y; }
В некоторых случаях вектор только указывает направление, а скорость задается дополнительной переменной. Тогда прибавлять вектор к координатам нельзя, да и сам вектор должен быть нормализованным , то есть длинной равной единице. Зададим, для примера, направление движения единичным вектором, а скорость будет лишь множителем, увеличивающим длину вектора. Чтобы добавить новый вектор к имеющемуся нужно проделать ряд шагов:

1. Перевести вектор в ненормализованный вид (умножить значения вектора на скорость).
2. То же сделать с новым вектором, если это не было сделано ранее.
3. Сложить векторы обычным способом.
4. Вычислить длину получившегося вектора – это наша новая скорость.
5. Нормализовать вектор.

Ситуативный способ

Целевые способы

1. Более плавные движения
2. Естественные движения
3. Возможность реализовать физику (трение, ускорение, вращения, притяжение, ...)

1. Порой очень ресурсозатратно (вычисление корня в нормализации и т.д.)
2. Сложные функции, требующие хорошего понимания основ (особенно что касается реализации физики)
3. Сложности в получении информации об окружающем мире (нужно просчитывать столкновения со всеми потенциальными объектами)

Этот метод достаточно широко используется, особенно там, где необходимо более точно и красиво передать движения. А это большинство современных 3D игр. В следующей, и последней, статье я расскажу о смешанных способах реализации движения, совмещающие как плиточные так и векторные перемещения.

В этом случае положение частицы задается её радиус-вектором . Геометрическое место концов радиус-вектора представляет кривую,
называемую траекторией .

Зависимость радиус-вектора частицы от времени называется кинематическим уравнением движения . С геометрической
точки зрения -- это уравнение траектории.

Изменение радиус-вектора за время ∆t называется перемещением : . Длина дуги траектории между этими точками ∆l назывется путем .
Важнейшей кинематической характеристикой движения является скорость .

Скоростью частицы называется векторная величина, определяемая равенством
,
иначе говоря, скорость -- это производная от радиус-вектора по времени .

Из определения следует, что скорость направлена по касательной к траектории. Величина скорости
,
где l -- путь, пройденный вдоль траектории.
Иногда используется понятие средней скорости : это векторная величина, равная отношению перемещения ко времени, т.е.

Скорость изменения скорости частицы по времени, т.е. вектор

называется ускорением частицы.

Таким образом, зная кинематический закон движения, можно простым дифференцированием по времени найти скорость и ускорение в любой
момент времени (так называемая прямая задача кинематики).

Наоборот, зная ускорение частицы, а также начальные условия , т.е. положение и скорость частицы в начальный момент времени,
можно найти траекторию движения частицы (обратная задача кинематики).

Координатный способ описания движения

Если с телом отсчета жестко связать какую-нибудь координатную систему (например, декартову), то положение частицы в любой момент времени определяется тремя ее координатами x,y,z.Проектируя радиус-вектор на координатные оси, получим три зависимости координат частицы от времени

которые представляют кинематический закон движения в координатной форме.

Модули скорости и ускорения будут
и
Обратная задача:
и

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :

Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Движение точки по окружности может быть очень сложным (рис. 17).

Рассмотрим подробно движение точки по окружности, при котором v = const. Такое движение называется равномерным движением по окружности. Естественно, вектор скорости не может быть неизменным (v не равно const), так как направление скорости постоянно меняется.

Время, за которое траектория точки опишет окружность, называется периодом обращения точки (Т). Число оборотов точки в одну секунду называется частотой обращения (v). Период обращения можно найти по формуле:

Естественно, перемещение точки за один оборот будет равно нулю. Однако пройденный путь будет равен 2ПиR , а при числе оборотов п путь будет равен 2ПиRn или2ПиRt/T , где t - время движения.

Ускорение при равномерном движении точки по окружности направлено к ее центру и численно равно а = v 2 /R.

Это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Вывод этого равенства может быть следующим. Приведем векторы скорости к одной точке хотя бы за - Т (можно и за Т/2 или Т) (рис. 18).

Тогда сумма изменений векторов скоростей за малые промежутки времени будет равна длине дуги АВ, которая равна модулю |v 2 - v 1 | за время t = 1/4*Т.

Определим длину дуги. Поскольку радиусом для дуги будет модуль вектора v 1 =v 2 =v , то длина дуги l может быть вычислена как длина четверти окружности с радиусом v:

После сокращения получим:

Если же движение равнопеременное, то v Ф const, тогда рассматривают другую составляющую ускорения, обеспечивающую изменение модуля скорости. Это ускорение называется тангенциальным:

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, оно может совпадать по направлению со скоростью (движение равноускоренное) или быть противоположно направленным (движение равнозамедленное).

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А x и В x . Длина отрезка А x В x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Здесь x 0 , y 0 , z 0 - начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z - конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х 0 и у 0 , то есть А(х 0 , у 0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора , с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

По теореме Пифагора

S 2 = S x 2 + S y 2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

11) Основные кинематические характеристики движения: скорость и ускорение

Основными кинематическими характеристиками движущейся точки являются её скорость и ускорение, значения которых определяются по уравнениям движения через первые и вторые производные по времени от s или от х, у, z, или от r (см. Скорость, Ускорение).

Способы задания движения твёрдого тела зависят от вида, а число уравнений движения - от числа степеней свободы тела (см.Степеней свободы число). Простейшими являются Поступательное движение и Вращательное движение твёрдого тела. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, и его движение задаётся и изучается так же, как движение одной точки. При вращательном движении вокруг неподвижной оси z (рис. 3 ) тело имеет одну степень свободы; его положение определяется углом поворота φ, а закон движения задаётся уравнением φ = f (t ). Основными кинематическими характеристиками являются угловая скорость ω=dφ/dt и угловое ускорение ε = dω/dt тела. Величины ω и ε изображаются в виде векторов, направленных вдоль оси вращения. Зная ω и ε, можно определить скорость и ускорение любой точки тела.

Более сложным является движение тела, имеющего одну неподвижную точку и обладающего 3 степенями свободы (например,Гироскоп, или волчок). Положение тела относительно системы отсчёта определяется в этом случае какими-нибудь 3 углами (например, Эйлера углами: углами прецессии, нутации и собственного вращения), а закон движения - уравнениями, выражающими зависимость этих углов от времени. Основными кинематическими характеристиками являются мгновенная угловая скорость ω и мгновенное угловое ускорение ε тела. Движение тела слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих своё направление мгновенных осей вращения ОР , проходящих через неподвижную точку О (рис. 4 ).

Самым общим случаем является движение свободного твёрдого тела, имеющего 6 степеней свободы. Положение тела определяется 3 координатами одной из его точек, называемых полюсом (в задачах динамики за полюс принимается центр тяжести тела), и 3 углами, выбираемыми так же, как для тела с неподвижной точкой; закон движения тела задаётся 6 уравнениями, выражающими зависимости названных координат и углов от времени. Движение тела слагается из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. Таким, например, является движение в воздухе артиллерийского снаряда или самолета, совершающего фигуры высшего пилотажа, движение небесных тел и др. Основными кинематическими характеристиками являются скорость и ускорение поступательной части движения, равные скорости и ускорению полюса, и угловая скорость и угловое ускорение вращения тела вокруг полюса. Все эти характеристики (как и кинематические характеристики для тела с неподвижной точкой) вычисляются по уравнениям движения; зная эти характеристики, можно определить скорость и ускорение любой точки тела. Частным случаем рассмотренного движения является плосконаправленное (или плоское) движение твёрдого тела, при котором все его точки движутся параллельно некоторой плоскости. Подобное движение совершают звенья многих механизмов и машин.

В К. изучают также сложное движение точек или тел, то есть движение, рассматриваемое одновременно по отношению к двум (и более) взаимно перемещающимся системам отсчета. При этом одну из систем отсчета рассматривают как основную (ее еще называют условно неподвижной), а перемещающуюся по отношению к ней систему отсчёта называют подвижной; в общем случае подвижных систем отсчёта может быть несколько.

При изучении сложного движения точки её движение, а также скорость и ускорение по отношению к основной системе отсчёта называют условно абсолютными, а по отношению к подвижной системе - относительными. Движение самой подвижной системы отсчёта и всех неизменно связанных с ней точек пространства по отношению к основной системе называют переносным движением, а скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчёта, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, называют переносной скоростью и переносным ускорением. Например, если основную систему отсчета связать с берегом, а подвижную с пароходом, идущим по реке, и рассмотреть качение шарика по палубе парохода (считая шарик точкой), то скорость и ускорение шарика по отношению к палубе будут относительными, а по отношению к берегу - абсолютными; скорость же и ускорение той точки палубы, которой в данный момент касается шарик, будут для него переносными. Аналогичная терминология используется и при изучении сложного движения твёрдого тела.

12) Нормальное и тангенциальное ускорение

13) Кинематика вращательного движения: угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением

Часто для наглядного представления движения точки пользуются графиками перемещения, скорости и ускорения в функции от времени в прямоугольных координатных осях.

Рассмотрим кинематические графики для равномерного движения. Независимо от того, является оно прямолинейным или криволинейным, мы имеем для него следующие уравнения:

Из этих уравнений следует, что график перемещения равномерного движения является прямой, отсекающей на оси ординат величину s0 , т. е. величину перемещения точки в начале движения от начала отсчета (рис.а).

График скорости изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс, так как скорость равномерного движения точки - постоянная величина v = const (рис.б).

Рассмотрим кинематические графики для равнопеременного движения. Каким бы ни было это движение - прямолинейным или криволинейным, - для него справедливы уравнения:

График перемещения равнопеременного движения является криволинейным - параболическим, так как он соответствует уравнению параболы (рис. а, б).

На оси ординат эти графики отсекают при t = О величины, соответствующие расстоянию в начале движения от начала отсчетаs0 .

График скорости изображается прямой, наклоненной к оси абсцисс (рис. в, г), и отсекает на оси ординат (при t = 0) величину начальной скорости v0 .

График ускорения равномерно-переменного движения изображается линией, параллельной оси абсцисс (оси времени) - (рис. д, е.)

При равномерно-ускоренном движении график ускорения располагаем выше оси абсцисс. При равномерно-замедленном движении - ниже (рис. е). При равномерно-замедленном движении значение скорости убывает. Это наглядно видно из (рис. г). Возможен случай, когда скорость, уменьшаясь, достигает нулевого значения (точка М на рис. г). Затем скорость изменяет свой знак и по абсолютному значению начинает увеличиваться. Здесь по существу происходит переход равномерно-замедленного движения в равномерно-ускоренное. Именно такое явление и происходит для случая, изображенного на (рис. б, д) при t = tA , т. е. при изменении алгебраического знака скорости.

Между кинематическими графиками существует определенная взаимосвязь. Так, для равномерного движения график скорости изображается линией, параллельной оси абсцисс, а график расстояния - прямой наклонной линией. Для равнопеременного движения график ускорения является прямой, параллельной оси абсцисс, график скорости - наклонная прямая, а график расстояний - параболическая кривая. Эта взаимосвязь графиков следует непосредственно из дифференциальных зависимостей, связывающих ускорение, скорость и расстояние:

Учитывая аналогию в уравнениях движения точки и уравнениях вращения тела, графическую интерпретацию можно использовать при исследовании вращательного движения, являющегося основным в технике. Здесь вместо расстояния будет фигурировать угол поворота, вместо скорости - угловая скорость, вместо ускорения - угловое ускорение.

14) Масса

физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая её инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают М. инертную и М. гравитационную (тяжёлую, тяготеющую).

Понятие М. было введено в механику И. Ньютоном. В классической механике Ньютона М. входит в определение импульса (количества движения (См. Количество движения)) тела: импульс p пропорционален скорости движения тела v ,

p = mv . (1)

Коэффициент пропорциональности - постоянная для данного тела величина m - и есть М. тела. Эквивалентное определение М. получается из уравнения движения классической механики

f = ma . (2)

Здесь М. - коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела a . Определённая соотношениями (1) и (2) М. называется инерциальной массой, или инертной массой; она характеризует динамические свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше М. тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, то есть тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).

Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения М. этих тел: m 1 : m 2 : m 3 ... = a 1 : a 2 : a 3 ...; если одну из М. принять за единицу измерения, можно найти М. остальных тел.

В теории гравитации Ньютона М. выступает в другой форме - как источник поля тяготения. Каждое тело создаёт поле тяготения, пропорциональное М. тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна М. тел). Это поле вызывает притяжение любого другого тела к данному телу с силой, определяемой Ньютона законом тяготения (См.Ньютона закон тяготения):

где r - расстояние между телами, G - универсальная Гравитационная постоянная, a m 1 и m 2 - М. притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для Веса Р тела массы m в поле тяготения Земли:

Р = m · g . (4)

Здесь g = G · M / r 2 - ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, а r ≈ R - радиусу Земли. М., определяемая соотношениями (3) и (4), называется гравитационной массой тела.

Единицей М. в СГС системе единиц служит Грамм, а в Международной системе единиц (См. Международная система единиц) СИ - Килограмм. М. атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы (См. Атомные единицы массы). М. элементарных частиц принято выражать либо в единицах М. электрона m e , либо в энергетических единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, М. электрона составляет 0,511 Мэв , М. протона - 1836,1 m e , или 938,2 Мэв и т. д.

Природа М. - одна из важнейших нерешенных задач современной физики. Принято считать, что М. элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и другими). Однако количественная теория М. ещё не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему М. элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.

В астрофизике М. тела, создающего гравитационное поле, определяет так называемый Гравитационный радиус тела R гр = 2GM/c 2 . Вследствие гравитационного притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R ≤ R гр. Звёзды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали «чёрными дырами (См. Чёрная дыра)». Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.

15) Сила

16) Законы Ньютона

I закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно.

II закон Ньютона

Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе:

III закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

17) Границы применимости законов Ньютона

До конца прошлого столетия никто не сомневался в абсолютной правильности законов Ньютона. Однако в XX в. выяснилось, что эти законы все-таки не абсолютно точны.

Ими нельзя пользоваться, когда тела движутся с очень большими скоростями, которые сравнимы со скоростью света. Альберт Эйнштейн, которого называют Ньютоном XX в., сумел сформулировать законы движения, справедливые и для движения со скоростями, близкими к скорости света.

Эти законы лежат в основе так называемой релятивистской механики или теории относительности. А законы Ньютона представляют собой следствие этих законов, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света.

Законы Ньютона нельзя применять и при рассмотрении движения внутриатомных частиц. Такие движения описываются законами квантовой механики, в которой классическая механика рассматривается как частный случай.

Законы сохранения импульса и энергии, выведенные из законов Ньютона, справедливы и в квантовой механике, и в теории относительности. Механика лежит в основе всего естествознания.

18) Сила трения

Сила, возникающая в месте соприкосновения тел и препятствующая их относительному переме­щению, называется силой трения . Направление силы трения противоположно направлению движения. Различают силу трения покоя и силу трения скольжения.

Если тело скользит по какой-либо поверхности, его движению препятствует сила трения скольжения.

, где N - сила реакции опоры, a μ - коэффициент трения скольжения. Коэф­фициент μ зависит от материала и качества обработки соприкасающихся поверхностей и не зависит от веса тела. Коэффициент трения определяется опытным путем.

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно движению тела. При изменении на­правления скорости изменяется и направление си­лы трения.

Сила трения начинает действовать на тело, когда его пытаются сдвинуть с места. Если внешняя сила F меньше произведения μN, то тело не будет сдвигаться - началу движения, как принято гово­рить, мешает сила трения покоя. Тело начнет дви­жение только тогда, когда внешняя сила F превы­сит максимальное значение, которое может иметь сила трения покоя

Трение покоя – сила трения, препятствующая возникновению движению одного тела по поверхности другого.

В некоторых случаях трение полезно (без трения невозможно было бы ходить по земле человеку, жи­вотным, двигаться автомобилям, поездам и т.д.), в таких случаях трение усиливают. Но в других слу­чаях трение вредно. Например, из-за него изнаши­ваются трущиеся детали механизмов, расходуется лишнее горючее на транспорте и т.д. Тогда с трением борются, применяя смазку («жидкостную или воздушную подушку») или заменяя скольжение на качение (поскольку трение качения характеризует­ся значительно меньшими силами, нежели трение скольжения).

Силы трения, в отличие от гравитационных сил и сил упругости, не зависят от координат относительного расположения тел, они могут зависеть от скорости относительного движения соприкасающихся тел. Силы трения являются непотенциальными силами.

Сила трения покоя (υ = 0).

19) Сила упругости

Сила, возникающая в результате деформации тела и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц тела при деформации, называется силой упругости.

В элементарном курсе физики рассматриваются деформации растяжения или сжатия. В этих случаях силы упругости направлены вдоль линии действия внешней силы, т.е. вдоль осей продольно деформируемых нитей, пружин, стержней и т. п., или перпендикулярно к поверхностям соприкасающихся тел.

Деформацию растяжения или сжатия характе­ризует абсолютное удлинение: где х 0 - первоначальная длина образца, х - его дли­на в деформированном состоянии. Относительным удлинением тела называют отношение .

Сила упругости, действующая на тело со стороны опоры или подвеса, называется силой реакции опоры (подвеса) или силой натяжения подвеса .

Закон Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации растяжения или сжатия , пропорциональна абсолютному удлинению тела и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела относительно других частиц при деформации:

Здесь х – удлинение тела (пружины) (м). Удлинение положительно при растяжении тела и отрицательно при сжатии.

Коэффициент пропорциональности k называет­ся жесткостью тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено, а также от его геоме­трических размеров и формы. Жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м).

Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Работа силы упругости не зависит от формы траек­тории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости является потенциальными силами.

20) Гравитационная сила

Гравита́ция (всемирное тяготение, тяготение) -фундаментальное взаимодействие в природе, которому подвержены все тела, имеющие массу. Главным образом, гравитация действует в масштабах космоса. Термингравитация используется также как название раздела в физике, изучающего гравитационное взаимодействие.

Гравитационная постоянная

Из (2.26) при m 1 =m 2 =m имеем

Из этой формулы видно, что гравитационная постоянная численно равна силе взаимного тяготения двух материальных точек, имеющих массы, равные единице массы, и находящихся друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
Числовое значение гравитационной постоянной устанавливают экспериментально. Впервые это сделал английский ученый Кэвендиш с помощью крутильного динамометра (крутильных весов).

В СИ гравитационная постоянная имеет значение

G = 6,67·10 -11 Нм 2 /кг 2 .

Следовательно, две материальные точки массой 1 кг каждая, находящиеся друг от друга на расстоянии 1 м, взаимно притягиваются гравитационной силой, равной 6,67·10 -11 Н.

21) Закон всемирного тяготения

В 1687 г. Ньютон установил один из фундаментальных законов механики, получивший название закона всемирного тяготения : любые две материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Эту силу называют силой тяготения (или гравитационной силой).