Espace tridimensionnel: vecteurs, coordonnées. Pourquoi l'espace est en trois dimensions

Principe anthropique au lieu de Dieu?

Les scientifiques ont commencé à appeler le principe anthropique vers le milieu du 20ème siècle une comparaison des particularités de notre monde avec la possibilité de l'existence de la vie et de l'esprit en son sein. Dans une formulation libre et plus compréhensible, ce principe affirme un phénomène étonnant, à savoir que notre monde a été créé et existe uniquement pour qu'une personne puisse y apparaître et y exister! En d’autres termes, toutes les propriétés de l’Univers sont adaptées à l’émergence d’une vie intelligente, puisque nous, observateurs, y sommes présents!

Pourquoi vivons-nous dans un espace tridimensionnel?

La nature a choisi pour notre existence un espace tridimensionnel (longueur, largeur et hauteur), bien que certains physiciens estiment qu'en réalité notre espace a 11 dimensions (!). Mais 8 d’entre eux sont «effondrés», nous ne les remarquons donc pas. Cependant, si les paramètres géométriques des mesures «minimisées» augmentent, ils influenceront sérieusement la dynamique de notre monde. Il faut ajouter à cela qu'un phénomène aussi important d'une réalité en évolution, en tant que mouvement stable, n'est possible que dans un espace à trois dimensions!

Si notre espace n'avait que deux dimensions (longueur et largeur), ou seulement une (longueur), alors, comme tout le monde le sait, le mouvement dans un tel espace serait si contraint qu'il ne pouvait plus être question de l'origine de la vie. Si le nombre de dimensions dans notre espace était supérieur à trois, alors, par exemple, les planètes ne pourraient pas se tenir près de leurs étoiles - elles tomberaient sur elles ou s'envoleraient! Un destin similaire aurait également compris les atomes avec leurs noyaux et leurs électrons.

Rappelons qu’aujourd’hui nous connaissons quatre types de forces naturelles fondamentales: gravitationnelle, électromagnétique et intranucléaire - faible et forte.

Ainsi, il a été prouvé que même le moindre changement entraînerait une transformation significative de notre univers! Des restrictions similaires existent dans les rapports de masse de l'électron et du proton. Leur changement aurait des conséquences imprévisibles.

  Facteur de stabilité - le temps!

Peu de gens savent que notre espace, à proprement parler, n’a pas trois dimensions, mais quatre! Et la quatrième coordonnée est ... le temps!

La différence la plus importante par rapport aux trois autres coordonnées est l’irréversibilité, c’est-à-dire que le temps pour des raisons inconnues ne coule que dans un sens - du passé au futur! Néanmoins, sans cette coordination dans le monde, il n'y aurait ni développement ni évolution.

Selon les concepts scientifiques modernes, l'espace, le temps et la matière sont nés simultanément du «Big Bang». Les scientifiques ont bien développé cette idée, bien que la façon dont tout cela s'est passé au niveau micro-économique reste en grande partie obscure.

En particulier, on ne sait toujours pas pourquoi, à la suite du Big Bang, la quantité de matière formée s’est avérée légèrement supérieure à celle de l’antimatière, bien qu’il semble qu’elles devraient être égales! "Quelqu'un" s'est occupé de cette antisymétrie, car avec un nombre égal de particules et d'antiparticules, elles disparaîtraient toutes (annihilaient) et rien ne créerait des systèmes complexes.

Les conditions d'existence des corps protéiques

Il est clair que la vie intelligente ne peut exister que sur la base de protéines et dans une plage de températures très étroite. Par conséquent, les orbites des planètes vitales doivent être choisies pour que la température moyenne ne dépasse pas ces limites! Ce serait bien si cette orbite était circulaire - sinon, les hivers sur ces planètes seraient longs et désastreux pour tous les êtres vivants. Et un été trop chaud tuerait les survivants! De plus, notre Terre est également enchaînée à son orbite - la majorité des êtres vivants qui y vivent n’ont pas pu survivre, même si son orbite n’a été changée que d’un dixième!

On dit que la Lune, avec ses flux et reflux, est extrêmement nécessaire au développement de la vie intelligente sur Terre. Mais il a été suggéré que la lune n'était pas sur notre planète. Ils disent que "quelqu'un" l'a amenée ici! Ce fait est confirmé notamment par "l'installation" très prudente de la Lune sur l'orbite terrestre: son diamètre est 200 fois inférieur au diamètre du Soleil et il est situé 200 fois plus proche de nous. En conséquence, lors d'une éclipse solaire totale, le disque de la lune recouvre avec précision le disque du soleil et nous pouvons voir le ciel nocturne en plein jour! “Quelqu'un” avait besoin de nous montrer cette photo incroyable!

"Méfiant" silence du cosmos

Cela symbolise-t-il l'inévitabilité du futur désastreux des civilisations qui ont emprunté le chemin de notre planète? Essayons d'évaluer les chances de trouver l'un d'eux, comme on dit, en bonne santé. Pour ce faire, considérons notre système stellaire, le Galaxy, qui contiendrait environ 100 milliards d'étoiles.

Notre Soleil s'est illuminé il y a 5 milliards d'années et à cette époque, sur la planète Terre, la vie intelligente a commencé et a survécu jusqu'à nos jours. Cependant, supposons que la vie autour d’autres étoiles soit apparue beaucoup plus tôt, disons il ya 10 milliards d’années. Ensuite, lorsque le niveau de développement approprié sera atteint et que l'habitat se détériorera, la civilisation de l'époque décidera de coloniser son environnement afin d'être occupée par ses citoyens. À cette fin, il enverra dans différentes directions trois énormes engins spatiaux avec un millier de colons et les fournitures et équipements nécessaires à chacun.

À l’étoile la plus proche, le trajet d’un navire volant à une vitesse de 10 000 kilomètres par seconde (!) Prendra cent ans! Nous donnerons 300 ans de plus aux colons pour s’installer dans un nouvel endroit et attendre le moment où ils enverront leurs navires aux prochaines étoiles. Avec de tels vols "à étapes", la civilisation de l'époque peuplera toute la galaxie en 20 millions d'années! De plus, ce chiffre est clairement sous-estimé, car en réalité, il n’est pas possible de passer beaucoup de temps à la recherche de planètes appropriées. Il est clair que le scénario présenté peut être considéré comme absolument fabuleux, car des termes absolument fantastiques y figurent. Et plus le délai est long, plus les chances de faire face à des événements imprévisibles sont grandes.

Les univers peuvent être différents!

Le monde entier qui a émergé après le Big Bang est beaucoup plus grand que la partie visible dans les télescopes. Par conséquent, les scientifiques permettent aujourd'hui l'existence d'univers avec leurs propres ensembles de paramètres et lois fondamentaux, et nous ne les voyons pas uniquement à cause de gigantesques distances spatiales.

Quant au principe anthropique, il a fait l’objet de nombreuses discussions au milieu du siècle dernier après la publication du livre du scientifique américain W. Carter "La coïncidence des grands nombres et le principe anthropologique en cosmologie". L'auteur a expliqué ce principe de la manière suivante: «L'univers doit être tel qu'il puisse exister des observateurs à un moment donné de son évolution». Ou: "Nos observations devraient être limitées aux conditions nécessaires à notre existence d'observateurs."

Monde tridimensionnel dans lequel nous ne vivons pas

Même les Grecs anciens ont transformé les mathématiques de la science empirique en techniques déductives, exigeant le retrait des preuves de ses notions de base et excluant la référence à l'expérience comme argument.

Les mathématiques pures explorent les formes et les relations dans l'abstraction du contenu matériel. Son objet immédiat n'est, par exemple, pas l'un ou l'autre corps en forme de sphère, mais la "boule idéale", non pas un ensemble d'objets ou même des nombres individuels, mais des nombres entiers en général, etc.

Cependant, malgré l'abstraction de cette science, aucun des mathématiciens, apparemment, ne doutait pas que tous leurs concepts, théorèmes et formules exprimaient de véritables relations quantitatives et spatiales. La géométrie mathématique était la théorie de l'espace réel, la mécanique étant plus tard la théorie du mouvement.

Les mathématiques sont une science qui étudie
   quantitatif et spatial
   formes et relations de la réalité
   Académicien A.D. Aleksandrov

Le monde qui nous entoure est en trois dimensions. Nous sommes habitués à cette idée dès la naissance - tout le monde sait ce que sont la hauteur, la longueur et la largeur, les trois dimensions principales de l’espace qui nous entoure. En fonction des traditions adoptées dans différents pays, la taille des objets est mesurée en mètres, en pieds, en li, en lieues et autres unités de longueur standard. Pour notre raisonnement ultérieur, choisissez une unité de longueur légèrement inhabituelle. Elle va servir un année lumière(1 St.), c’est-à-dire la distance parcourue par un rayon de lumière en une année civile. Dans les mesures traditionnelles de longueur, c'est une quantité inimaginable - environ 9,46 10 12 kilomètres.

Si dans l'espace autour de nous, coupez mentalement un cube avec un bord égal à 1 de sv. année, l’intérieur abritera en toute sécurité la maison dans laquelle nous vivons, le globe terrestre, le système solaire ... En général, tout ce qui est nécessaire à la vie humaine normale. Pour plus de commodité, appelons le cube que nous avons considéré unité de cube.  Et maintenant, notons l'évidence suivante. Malgré sa taille énorme, notre cube n’est que la plus petite particule du monde environnant.

Un tel cube d'unité imaginaire peut être coupé à n'importe quel autre point de l'espace. Dans ce cas, on peut faire valoir que deux cubes coupés à des points différents de l’espace seront identiques. C’est l’idée principale du soi-disant variétés euclidiennes,  selon lequel n'importe lequel de ses points est entouré d'un cube de tailles correspondantes. Plus précisément, nous pouvons formuler la définition suivante. Une variété euclidienne tridimensionnelle est un ensemble M 3, dont n'importe quel point est le centre d'un cube entièrement constitué de points d'un ensemble donné.

En passant, dans cette définition, les dimensions du cube lui-même ne sont pas spécifiées - il n'est pas du tout nécessaire d'utiliser des cubes de grandes tailles. Avec le même succès, on peut affirmer que chaque point est contenu dans un cube dont le bord ne dépasse pas, par exemple, un micron (10 -6 cm) de long.

Tout ce qui précède peut être brièvement exprimé dans les mots suivants: le monde qui nous entoure est une variété euclidienne à trois dimensions. Et maintenant, nous allons essayer de répondre à la question suivante: comment le monde fonctionne-t-il au-delà des limites du cube unique dans lequel se trouve notre maison - notre système solaire?

Torus tridimensionnel et autres

Si pendant un moment nous imaginons que l'espace autour de nous est infini dans toutes les directions, alors ce qui suit répondra à la question sur la structure du monde qui nous entoure théorème de Hadamard:

"Variété Euclidienne tridimensionnelle infiniment étendue dans toutes les directions M 3  coïncide avec l'espace euclidien E 3».

Espace euclidien E 3  tout le monde connaît le système de coordonnées rectangulaire, nous ne nous attarderons donc pas à l'étude de ses propriétés.

Pour rendre notre raisonnement plus significatif et intéressant, supposons une autre option: le monde qui nous entoure est fermé, c’est-à-dire qu’il a des dimensions finies et qu’il n’a pas d’avantage. En d'autres termes, demandons-nous comment sont arrangés les variétés euclidiennes tridimensionnelles fermées, ou, en d'autres termes,   Formes euclidiennes.  Une réponse complète à cette question est donnée par le théorème démontré par J. Wolf (1982):

Il existe exactement dix formes euclidiennes en trois dimensions. De plus, six d'entre elles sont orientables et les quatre autres sont des variétés non orientables.

Toutes les formes euclidiennes sont construites de la même manière. La seule chose à faire est de créer certaines d’entre elles pour pouvoir utiliser un cube et pour d’autres d’utiliser un prisme hexagonal normal.

La première et la plus célèbre forme euclidienne est une sorte d'analogue du familier à tous.   tore à deux dimensions - tore à trois dimensions. On note cet ensemble (un cube avec des faces identifiées par paires) par T 3. Une autre forme euclidienne est ce qu’on appelle un tore tridimensionnel torsadé, désigné respectivement par Q 3. Et maintenant, nous allons mener une expérience physique simple qui montrera que les variétés T 3  et Q 3  sont différents, les deux sont différents de l'espace euclidien E 3.

Pour ce faire, nous plaçons un engin spatial volant à la vitesse de la lumière au centre de la face A du tore tridimensionnel et le forçons à démarrer dans la direction verticale. Exactement un an plus tard, le vaisseau spatial, qui continue à se déplacer en ligne droite, reviendra au point de départ. Or ce point sera au centre de la face A ’, qui, par la condition, est identifiée à la face A. À la suite de l’expérience, nous trouvons que dans le tore à trois dimensions T 3  il y a une ligne droite fermée l  une année-lumière

Mettons une autre expérience similaire. Faire le lancement du vaisseau spatial du point y, couché sur le bord Un  à une distance de 1 km de son centre. Dans un an, le navire reviendra en toute sécurité au point. à. Conclusion de la deuxième expérience - à travers le point à  passe une ligne droite fermée avec une longueur de 1 année lumière parallèle à une ligne droite   l.

Nous allons maintenant mener les deux expériences décrites dans un tore torsadé. Q 3. La première expérience donnera exactement le même résultat qu'auparavant. Cependant, dans la deuxième expérience, ce sera complètement différent. Expédier à partir du point àdans un an atteindra le point zqui se trouve dans la face A'-A et est diamétralement opposé au point à  par rapport au centre de cette face. Le vol en ligne droite se poursuivra et durera une autre année, après quoi le navire retournera au point à.

Donc dans Q 3  par le point à  il y a une ligne droite fermée de longueur 2 parallèle à une ligne droite   l. D'où les variétés T 3  et Q 3  sont différents et les deux sont différents de l'espace E 3dans lequel il n'y a pas de lignes droites fermées.

La prochaine forme euclidienne est bouteille remplie de klein  (variété K 3) - contrairement aux précédents, il n’est pas orientable. Prouvons le. Pour ce faire, répétez l’expérience avec le vaisseau spatial en partant du centre du visage. Un, mais nous fournirons en outre la proue de l’hélice du navire, à une vitesse constante, dans le sens des aiguilles d’une montre (si vous l’observez depuis le cockpit). Supposons que l’approvisionnement en carburant du navire soit suffisant et que l’hélice tourne pendant un an, jusqu’au moment où le navire achève le voyage en ligne droite fermée l, reviendra au point de départ. Au moment où le navire est à nouveau au point de départ, le pilote sera surpris de constater que l'hélice tourne dans le sens anti-horaire! (Bien entendu, les heures que le pilote a oubliées au début sont prises en compte.) Ce dernier signifie que la diversité K 3  - non orientable et, par conséquent, différent des formes euclidiennes précédemment construites T 3et Q 3.

En conclusion, nous notons que la taille du système solaire (son diamètre est d’environ 124 10 9 km) est petite comparée aux dimensions des variétés construites ci-dessus sur la base d’un cube linéaire. Il peut être situé à l'intérieur T 3, Q 3, K 3, donc sous toute autre forme euclidienne. Dans le même temps, calculer les distances ne dépassant pas 1 er. année, nous pouvons utiliser la géométrie euclidienne habituelle sans même deviner que le monde qui nous entoure est fermé. À l’heure actuelle, l’humanité n’a pas de vaisseau spatial volant à la vitesse de la lumière. Cela signifie qu’il est maintenant impossible de réaliser des expériences globales, similaires à celles décrites ci-dessus, et, enfin, d’établir lequel des mondes euclidiens dans lequel nous vivons.

Variétés variées

Comme déjà noté, toutes les variétés ci-dessus ont une géométrie euclidienne. Qu'est-ce que cela signifie et quelles sont les autres géométries existantes?

Les plus célèbres et utilisés dans la pratique humaine sont euclidien, sphérique  et géométrie hyperbolique. Rappelons que la géométrie sphérique est parfois appelée géométrie de Riemannet hyperbolique - géométrie de Lobachevsky. Dans l'espace à trois dimensions, en plus des trois, il y a cinq autres soi-disant géométries synthétiques.

Selon lesquelles les lois géométriques agissent sur une variété tridimensionnelle, nous l'appellerons respectivement euclidienne, sphérique, hyperbolique ou synthétique.

Nous avons déjà examiné les variétés euclidiennes ci-dessus. Pour le reste, il y a plus de vingt ans, W. Thurston (1978) a démontré un théorème remarquable:   presque toutes les variétés tridimensionnelles sont hyperboliques, c’est-à-dire qu’elles obéissent aux lois de la géométrie de Lobachevsky. Pour ce résultat en 1983, il reçut le prix Fields, le prix le plus prestigieux décerné aux mathématiciens.

Les variétés sphériques sont à la fois tridimensionnelles et multidimensionnelles (Wolff, 1982). Dans l'espace de toute dimension, il existe un nombre fini de types de telles variétés. Il existe très peu de variétés synthétiques (Thurston, 1978; Dunbar, 1981; Thurston, 2001), contrairement à la dernière classe de variétés hyperboliques. Ce dernier est inépuisablement large et sa classification n’a pas encore été complétée.

Variétés sphériques

Toutes les variétés sphériques tridimensionnelles sont orientables. Cela signifie que quelle que soit la trajectoire de fermeture d’un vaisseau spatial dont l’hélice tourne constamment, lorsqu’elle revient au point de départ, son hélice tourne dans le même sens que lors du lancement.

La variété sphérique la plus simple est une sphère tridimensionnelle. S 3. Il peut être défini comme la limite d'une boule à quatre dimensions ou identique à un ensemble de points dans l'espace. E 4éloigné du centre à la même distance. À l'aide de la projection stéréographique, vous pouvez établir une correspondance unilatérale et mutuellement continue entre les points d'une sphère tridimensionnelle. S 3  et points ensemble E 3  + () Obtenu en ajoutant à l'espace euclidien auquel nous sommes habitués E 3  point d'infini. Ainsi, nous pouvons supposer que S 3 = E 3 + {∞}.

Le deuxième exemple de variété sphérique est un espace projectif en trois dimensions. P 3. On peut facilement l'imaginer sous la forme d'une sphère, dont les points diamétralement opposés sont identifiés.

Le troisième exemple, et peut-être le moins banal, d'une variété sphérique est l'espace sphérique du dodécaèdre de Poincaré ou sphère de Poincaré.

La sphère de Poincaré est merveilleusement connectée aux branches les plus diverses des mathématiques - géométrie, topologie, théorie des groupes, théorie des catastrophes, théorie des nœuds, etc. (Kirby, Charlemagne, 1982).

Toutes les autres variétés sphériques obtenues par un seul régime sont les soi-disant lentille  et espaces prismatiques.

Variétés hyperboliques

La première variété hyperbolique tridimensionnelle fermée a été construite par le mathématicien allemand F. Lebell en 1931. Cependant, sa construction a été plutôt compliquée. C'est pourquoi, deux ans plus tard, H. Seifert et K. Weber proposent une construction élégante de l'espace hyperbolique du dodécaèdre.

Du point de vue des mathématiques, la partie la plus difficile du problème de la construction consiste à prouver l’existence de ce dodécaèdre hyperbolique dans l’espace de Lobachevsky. Une réponse positive à cette question est donnée par le théorème fondamental de E. M. Andreev (1970), dans lequel sont formulées les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de polyèdres hyperboliques convexes. Ce théorème est l’une des pierres angulaires de la théorie moderne des variétés hyperboliques créée par William Thurston.

Nous construisons des variétés à partir de polyèdres.

Considérons un polyèdre rectangulaire P, dont tous les angles sont dièdres (et plats) à 90 °. Dans un espace euclidien, un cube peut être pris comme un polyèdre, un tétraèdre peut être considéré comme un espace sphérique, et prisme hexagonal de Lebeldont la surface latérale est constituée de 12 pentagones.

D'après le théorème d'Andreev, il s'ensuit que tout polyèdre ne présentant pas de faces triangulaires et quadrilatérales, et à chaque sommet convergeant exactement, peut être réalisé sous la forme d'un polyèdre rectangulaire dans l'espace de Lobachevsky. Le prisme hexagonal de Lebel satisfait évidemment à ces conditions.

Pour construire des variétés hyperboliques, on utilise une méthode qui consiste à colorer les faces adjacentes d’un polyèdre de différentes couleurs et à identifier ensuite les faces correspondantes peintes d’une couleur pour plusieurs copies identiques de polyèdres. Cette méthode de construction de variétés a été appliquée pour la première fois par F. Lebelle (Loebell, 1931) pour un prisme hexagonal, par le mathématicien japonais M. Takahashi (Takahashi, 1985) pour un dodécaèdre rectangulaire régulier et par A. Yu. Vesnin (1987) pour un polyhèdre rectangulaire arbitraire. R.

De plus, nous notons que toutes les variétés construites à partir de la couleur du polyèdre en quatre couleurs sont orientables. Cependant, il a été démontré que la coloration des faces d’un polyèdre R  dans cinq, six ou sept couleurs, en utilisant un schéma similaire, des variétés non orientables peuvent être construites (Mednykh, 1992).

  Arrêtons-nous sur une propriété supplémentaire des polyèdres rectangulaires. Laisser D  - un dodécaèdre rectangulaire régulier dans l'espace Lobachevsky. Mathématicien espagnol H.-M. Montesinos (Hilden et al., 1987) a prouvé le remarquable théorème suivant:

"Toute variété tridimensionnelle fermée peut être obtenue à partir d'un nombre fini de copies d'un polyèdre D  identification par paire de leurs visages ".

Notez que dans le théorème de Montesinos, toutes les faces des polyèdres collés sont congruentes et toutes les arêtes ont la même longueur. De plus, chaque bord est entouré de quatre, deux ou un dodécaèdre. La première situation est facile à imaginer: quatre dodécaèdres rectangulaires sont collés les uns après les autres autour d’un bord commun et forment un angle total égal à 4 90 ° = 360 °. Dans le second cas, une paire de faces adjacentes d'un dodécaèdre est identifiée à une paire de faces adjacentes d'un autre dodécaèdre. L'angle dièdre total autour d'un bord appartenant à deux dodécaèdres est, dans ce cas, de 2 90 ° = 180 °. La troisième option est facile à créer, en identifiant les faces adjacentes d’un dodécaèdre unique en le faisant pivoter à un angle de 90 °.

La présence d’arêtes des deuxième et troisième types transforme la variété en variété avec des caractéristiquesou orbifold. Dans ce cas, les arêtes spécifiées forment ensemble singulier  orbifold. Notez que partout, sauf pour les bords singuliers, le collecteur a une géométrie de Lobachevsky.

Orbifolds 3D

Orbifolds euclidiens

Pour tout orbifold euclidien tridimensionnel, il existe un ensemble fondamental - un polyèdre curviligne, à partir duquel un orbifold donné peut être obtenu en identifiant (en collant) par paire certaines de ses faces.

Les exemples d’orbifolds euclidiens sont les soi-disant Bagues borroméennes  ou sphère tridimensionnelle avec nœud singulier   "Huit".

Au total, il existe 230 orbifolds euclidiens tridimensionnels fermés - en fonction du nombre de groupes cristallographiques découverts à la fin du siècle dernier par le scientifique russe E. S. Fedorov. La structure des orbifolds euclidiens est décrite en détail dans la thèse de doctorat de W. Dunbar, soutenue en 1981 à l’Université de Princeton - le plus grand centre mathématique au monde.

Orbifolds sphériques

L'ensemble singulier d'orbifolds sphériques peut être le soi-disant   noeud rationnelou engrenage. Il peut également s'agir d'un graphe noué de chaque sommet à trois arêtes. En particulier, l'ensemble singulier d'un orbifold sphérique sera le squelette d'un tétraèdre (arêtes + sommets) situé dans une sphère tridimensionnelle.

Il convient de garder à l’esprit que les forts nœuds du tétraèdre peuvent altérer la géométrie sphérique et donner à l’orbifère une géométrie euclidienne, hyperbolique ou synthétique.

Les Australiens, le professeur K. Hodgson et son élève D. Heard, ont récemment créé un programme informatique permettant de calculer les volumes de graphes noués imbriqués dans une sphère tridimensionnelle (Hodgson et Heard, 2005). La classification complète des orbifolds tridimensionnels dans toutes les géométries, à l’exception de celle hyperbolique, est réalisée dans les travaux de W. Dunbar. Comme dans le cas des variétés, la géométrie hyperbolique est la plus riche et aucune description complète de ses orbifolds n’a encore été obtenue.

Orbifolds hyperboliques

  Il découle du théorème de Montesinos que chaque variété tridimensionnelle peut être transformée en orbifold hyperbolique en y plaçant un ensemble singulier approprié. Puisqu'il existe une infinité de variétés différentes, il en résulte qu'il existe également une infinité d'orbifolds hyperboliques.

Une des sphères hyperboliques les plus simples est une sphère tridimensionnelle avec un ensemble singulier d'anneaux borroméens avec un indice de singularité égal à 4. Un autre exemple est un tétraèdre très étroit, dont toutes les arêtes ont un indice de singularité égal à deux. La preuve de tels faits est généralement assez difficile et peut être réalisée à l'aide du théorème de géométrisation obtenu par W. Thurston, ses étudiants et ses suiveurs. Le principe général de la preuve est le suivant: si l’orbifold n’est pas euclidien, sphérique ou synthétique et satisfait à certaines conditions géométriques simples, il est alors hyperbolique.

Les changements survenus en mathématiques au cours des 150 dernières années ont non seulement considérablement élargi son contenu, mais l'ont fondamentalement modifié. Le sujet des mathématiques inclut désormais toute structure pouvant être étudiée par un raisonnement logique avec suffisamment de rigueur et une profusion de conclusions. Que ce soit pour trouver une application ou un prototype en réalité n’est plus une question de mathématiques.

Dans un premier temps, je tiens à remercier le commentaire que nous avons fait dans un précédent article sur le tétracube. Sa longueur devrait être prise égale à 299792458m (tant de lumière passe en une seconde). Cela sera vrai pour un cube de n'importe quelle taille afin qu'il devienne correct.

Et maintenant au point. Et ne critiquez pas particulièrement les images, il a attiré la majorité dans le paintte).

Je voudrais commencer par une brève répétition du premier message, car cela est nécessaire pour comprendre le raisonnement suivant.

Commençons par séparer les concepts de «dimension» et de «monde à n dimensions». Par mesure, on appelle une ligne droite (axe des coordonnées), de sorte que tous les points puissent être associés aux points de cette ligne droite. Par exemple, les mesures peuvent être appelées axes dans le plan de coordonnées. Un monde à N dimensions signifie un monde dans lequel on ne peut attribuer à n tous ses points, c’est-à-dire avoir n dimensions.

Considérons un monde de dimension zéro - un point qui n'a pas de coordonnées. Si vous mettez un nombre infini de zéro-dimensionnel dans une ligne, vous obtenez une ligne - un monde unidimensionnel, ayant une longueur. Dans ce document, chaque monde de dimension zéro correspondra à une coordonnée dans la première dimension. Nous répétons que le monde à une dimension consiste en un nombre INFINI de mondes à zéro dimension.

Considérons maintenant le plan - un monde à deux dimensions. Il peut être représenté sous la forme d'un nombre INFINITE de lignes (mondes unidimensionnels), elles peuvent être à la fois parallèles et se croiser à des angles différents.

Comme on le voit déjà, l’espace est constitué de plans qui peuvent aussi être parallèles, perpendiculaires ou se croiser à différents angles. Tous ces mondes sont simples et clairs pour nous.

Mais que pouvons-nous dire sur le monde à quatre dimensions? Comme nous l'avons déjà constaté, il doit consister en une multitude de mondes en trois dimensions, d'une multitude d'espaces. Et maintenant, nous penserons que l’espace change à chaque instant. À chaque instant, l’espace est nouveau, bien que semblable au précédent. Ainsi, nous pouvons dire que nous vivons dans un monde QUATRE DIMENSIONNEL, car au cours de notre vie, nous traversons un nombre infini d'espaces qui se remplacent dans le temps. Le temps sera la quatrième dimension de ce monde, car nous pouvons assigner une coordonnée temporelle à chaque espace. Cela ne semble pas non plus être difficile. Allez-y.

Sur la base de cette logique, le monde à cinq dimensions devrait se composer de nombreux mondes à quatre dimensions. C’est alors que nous ne pouvons plus le présenter en une fois, nous avons besoin d’une analyse plus compliquée.

Le modèle standard et la théorie des supercordes, désormais populaires, divisent les mesures en mesures spatiales et temporelles. La théorie moderne suggère l'existence de 10 dimensions spatiales. Les idéologues n’ont même pas mal compris la théorie des cordes pour les mesures SUTH et les univers multidimensionnels, non pas parce qu’ils sont au nombre de 10, mais parce qu’il est dit que les mesures «tordues» ont une DENSITÉ SPATIALE différente de zéro. Il s'avère que la coordonnée dans ces dimensions dépend de la coordonnée en trois dimensions. Cela va généralement à l’encontre du fait que les mesures ne doivent pas être interconnectées et qu’on peut se déplacer dans l’une d’elles en restant immobiles dans l’autre. C’est une bonne tentative pour expliquer la structure du monde, mais c’est trop compliqué, parfois même les supercalculateurs sont incapables de résoudre les équations de la théorie des cordes, et l’essence de la recherche est de découvrir la FORME des mesures minimisées sur la base des lois existantes, afin que cette forme puisse expliquer ces mêmes lois. .

Quel est le monde à quatre dimensions? C’est tout le monde dans lequel nous vivons, qui existait bien avant l’existence de l’humanité, et on ne saura pas combien de temps encore, qui dure depuis le prétendu «Big Bang» et va à l’infini (certains pensent que l’univers spatial est limité jusqu’à ce que nous abordions ce problème. ) et l'éternité. Si le monde à cinq dimensions consiste en un ensemble de mondes à quatre dimensions, cela signifie qu’il consiste en un parallèle ou en une intersection avec nos mondes.

La nature a des lois qui, on le sait, sont immuables. En d’autres termes, si nous prenons l’espace de notre monde à quatre dimensions à un moment précoce (qu’il s’agisse du moment T) et si nous avançons dans la dimension temporelle, en utilisant ces lois, nous obtiendrons TOUJOURS l’espace dans lequel nous nous trouvons maintenant. Même toutes nos pensées et actions sont causées par des réactions chimiques et électrostatiques dans notre cerveau, qui fonctionnent selon les mêmes lois, selon lesquelles toutes les interactions dans l'univers fonctionnent.

Mais que se passera-t-il si, à l’époque T, nous appliquons d’autres lois, par exemple, simplement en modifiant le fait que l’interaction gravitationnelle amène les masses à ne pas CONFINCE, mais À APPUYER, et à laisser le reste des lois inchangé. Ensuite, en progressant dans le temps, nous aurons un monde complètement différent dans lequel l’humanité n’existera peut-être pas du tout. Si des formes de vie intelligentes se développent, ils essaieront d’expliquer pourquoi tous les corps se repoussent tout comme nous essayons d’expliquer pourquoi ils sont attirés. En raison d'une telle expérience mentale, nous avons présenté un autre monde à quatre dimensions, qui est intersecté avec le nôtre au point où la coordonnée T est située dans la quatrième dimension.

Envisagez de croiser des avions. Pour qu’ils se croisent, ils doivent être dans l’ESPACE (dans le monde tridimensionnel), ils sont bidimensionnels et ils se croiseront le long de la LIGNE, dans le monde unidimensionnel.

De même, les mondes à quatre dimensions, étant dans la cinquième, peuvent se croiser (purement théoriquement) le long de mondes à trois dimensions. C'est-à-dire qu'en utilisant différentes lois issues de positions tridimensionnelles différentes, nous pouvons arriver à UN SEULEMENT monde tridimensionnel avec le passage du temps. Par exemple, si vous déposez le noyau de la tour et que vous le tirez des meurtrières de cette tour, à un moment donné (pas nécessairement la même chose dans deux cas), les deux cœurs seront dans la même position, bien que initialement ils occupaient des positions différentes et différentes forces leur étaient appliquées.

Dans l'exemple 1, il y a 2 mondes parallèles à quatre dimensions. Dans le deuxième exemple, deux mondes se croisent en un point (dans notre cas, les mondes à quatre dimensions ont la même structure spatiale à un moment donné). Dans le troisième exemple, il y a un monde qui se transforme infiniment en lui-même grâce à ses lois, et il en croise également un autre en deux points.

Et réfléchissons maintenant à l'exemple du monde à quatre dimensions, qui sera absolument identique au nôtre, mais dans lequel des lois de la physique complètement différentes vont opérer. À première vue, cela est impossible, car si nous prenons le même monde tridimensionnel et lui appliquons des lois différentes, nous obtiendrons des mesures quadridimensionnelles complètement différentes. Mais un tel exemple existe. Il suffit simplement de ne pas avancer dans le temps, mais dans notre NOTRE monde à quatre dimensions. Évidemment, chaque position d'espace dans un tel monde correspondra à un espace de notre monde familier.

Examinons maintenant quelques-uns des postulats qui seront observés dans ce nouveau monde, qui est identique à nous. Prenons, par exemple, quatre positions du monde moderne reconnues par la plupart des physiciens:

1) L'Univers s'agrandit

2) La gravité attire le corps

3) Le corps, qui n'est pas affecté par la force, maintient le mouvement d'inertie

4) Pour rompre le lien, il faut dépenser de l'énergie et lorsque le lien est créé, l'énergie est libérée.

Et maintenant, nous comparons à chaque position de notre monde une position identique à celle de notre monde, où le temps s'écoule au contraire

1) L'univers se rétrécira à mesure que nous descendons dans le temps

2) Avec la gravité, les choses ne sont pas si évidentes. Par exemple, si vous lancez un ballon depuis un avion, il volera de plus en plus vite au sol, puis il s'immobilisera au sol. Considérez ce processus à l'envers dans le temps. La balle sous l’effet de la gravité, d’abord en position de repos, décolle brutalement, et avec la montée, elle vole de plus en plus lentement. Nous pouvons en conclure que dans le monde opposé au nôtre, la gravité oblige le corps à se repousser. Mais ensuite, regardez la personne qui va au magasin. Si vous regardez ce processus dans la direction opposée, alors la personne ira aussi du magasin, CRAFTING au sol, et ne s'envolera pas sous l'influence de la gravité. C'est-à-dire que, dans ce cas, la gravité provoque l'attraction du corps. Des deux situations, nous avons eu des conclusions complètement différentes, d'où il résulte que les lois de ce monde ne seront pas opposées aux nôtres, elles seront simplement AUTRES et non opposées.

3) Considérons le vol d'un caillou dans l'espace. Si pour représenter ce processus au contraire, un caillou volera également dans l'espace. Cette loi est préservée dans notre monde opposé.

4) Imaginez qu'un joueur de karaté casse une brique. Il dépense de l'énergie pour rompre le lien interne de la brique. Considérez ce processus dans le sens opposé: une brique est assemblée en un seul ensemble et un homme de karaté reçoit de l'énergie. Nous avons la même loi, dans laquelle de l'énergie est libérée lorsqu'un lien est formé. Cette loi est également vraie.

Ainsi, dans le nouveau monde, certaines lois de notre monde sont préservées (3.4), d’autres sont inversées (1) et d’autres transformées en lois que nous ne pouvons pas décrire immédiatement (2). Si une civilisation existait dans un tel monde, elle essaierait de la trouver et trouverait probablement une explication à tous ces processus, mais pour nous cela n’est pas important. Nous appellerons CONFESSING de tels mondes à quatre dimensions, dans lesquels nous recevrons les mêmes structures d'espace à partir de positions différentes et avec des lois différentes.

Ainsi, la cinquième dimension est la loi de la physique. En effet, dans le système de coordonnées standard, tous les axes doivent être perpendiculaires. Ensuite, à chaque point du monde à cinq dimensions, nous pouvons réellement associer 3 coordonnées spatiales, une temporaire et la cinquième coordonnée, qui désigneront les lois qui sont attachées à ce point. Notez que certains paradoxes qui peuvent être trouvés particulièrement attentifs dans un tel système de coordonnées découlent de la DIRECTION de notre monde à quatre dimensions (le temps avance pour nous, et la plupart d’entre nous ne peuvent pas le ralentir à une vitesse spatiale énorme).

Encore plus attentifs, ils peuvent dire que les lois elles-mêmes peuvent être décomposées en un nombre infiniment grand de dimensions. Par exemple, chaque force d'interaction d'un nombre infiniment possible de ces forces peut être associée à une direction d'action infiniment grande. Ensuite, chaque ensemble de forces et de directions peut se voir attribuer un nombre infini de particules élémentaires possibles. Et inversement, chaque ensemble d’éléments correspond à une infinité de directions, à une infinité de forces, etc. Ainsi, au lieu de la cinquième dimension, nous pouvons sélectionner un nombre infini de dimensions indépendantes les unes des autres.

Qu'est-ce qui peut expliquer cette théorie? Elle peut expliquer que les lois de la physique ne viennent de nulle part. Ils sont ce qu'ils sont, il existe un nombre infiniment grand de combinaisons d'autres lois dans d'autres mondes, auxquelles, peut-être avec l'aide de la technologie, et peut-être avec l'aide de l'évolution, l'humanité aura toujours accès.

Posez vos questions! Toute critique est la bienvenue sauf "tu as tort, et j'ai raison, et en général, tout ne l'est pas". Le prochain article traitera de la théorie de l'imbrication infinie de la matière, ce sera très intéressant)

Dès les premiers jours de sa vie, chaque enfant apprend que le monde qui nous entoure est en trois dimensions. Les articles ont une longueur, une largeur et une hauteur. À partir de 8 petits cubes, vous pouvez créer un cube avec une arête deux fois plus longue. Tout cela est reconnu depuis l'enfance.

Du point de vue du physicien, la tridimensionnalité de notre espace peut être prouvée par une vérification expérimentale de la loi de Coulomb: le fait que la force entre deux charges ponctuelles diminue avec la distance selon la loi 1 / r  2 - n'est rien d'autre qu'une manifestation de la tridimensionnalité de notre espace. En effet, pour déterminer l'intensité du champ électrique (et, par conséquent, l'intensité de l'interaction des charges), on peut partir du concept de lignes de force de champ, dont la densité ne donne que l'intensité du champ. Dans le cas d'une charge ponctuelle unique, les lignes de champ commencent à la charge et vont de manière isotrope à l'infini. Puis, puisque le nombre de lignes coupant une sphère de rayon arbitraire rconstamment la densité des lignes, et donc l'intensité du champ, est inversement proportionnelle à la surface de la sphère, c'est-à-dire inversement proportionnelle au carré de la distance de la charge.

Pour tester la tridimensionnalité de l'espace à de très petites distances, à l'échelle nucléaire, il est facile de vérifier la tridimensionnalité en comparant les masses et les rayons de différents noyaux: la masse doit être proportionnelle r 3 .

Sur des échelles encore plus petites, on peut mesurer la force d'une interaction électrique dans des collisions d'électrons - simplement en mesurant leur facteur de forme. C'est la loi de Coulomb ici - presque le seul moyen de vérifier la tridimensionnalité.

Ici, une question raisonnable peut se poser: pourquoi, en fait, devons-nous vérifier la tridimensionnalité de l'espace? N'est-ce pas évident?

IDENTIFICATION COMPACTE À DES DISTANCES EXTRÊMEMENT PETITES.

Le problème est qu’à des distances extrêmement courtes, la structure de notre espace-temps peut être très différente. Actuellement, de nombreuses constructions théoriques parviennent à déduire de nombreuses propriétés de notre monde "basse énergie", en supposant qu'aux hautes énergies (à de très petites distances), notre espace-temps n'est pas tridimensionnel, mais 10, 11 ou même plus. multidimensionnel. Nous n'entrerons pas dans l'essence de ces théories ici. Nous disons simplement qu'il en est ainsi parce que la géométrie de tels espaces multidimensionnels est beaucoup plus riche que nous en avons l'habitude et nous permet parfois de déduire les propriétés de toutes les interactions fondamentales de manière «naturelle» (dont la nature, comme nous le comprenons maintenant, est également beaucoup plus purement géométrique).

Le plus important pour nous est de savoir comment ces théories expliquent l’absence de manifestations de dimensions supplémentaires dans la vie ordinaire. Dans ces théories, il est avancé que, pour une raison quelconque, les mesures «supplémentaires» ont été compactées, enfermées elles-mêmes, enroulées à très petite distance. Pour comprendre cela, imaginez la surface extérieure d'un tuyau en caoutchouc mince: une petite luciole rampant dessus se déplace bien entendu sur une surface bidimensionnelle. Cependant, si nous observons la flamme à distance, il nous semblera qu’elle n’effectue que des mouvements unidimensionnels, uniquement le long de la courbe (le long du tuyau). La deuxième dimension existe, mais elle est autonome. Le mouvement microscopique est possible, mais il n’affectera aucun phénomène observable.

Approximativement la même image a lieu dans ces théories. Cependant, l'échelle typique sur laquelle les dimensions supplémentaires doivent être cumulées s'avère inévitablement être de l'ordre d'une longueur de Planck de 10 à 33 cm. Par conséquent, même si ces théories décrivent correctement le monde et que de telles dimensions supplémentaires existent, leur observation expérimentale semble être Ce n'est pas possible, du moins dans un avenir prévisible. (Quelqu'un a calculé que pour observer ces effets, il est nécessaire de construire un accélérateur de la taille d'une galaxie).

IDENTIFICATION COMPACTE À L'ÉCHELLE DU MILLIMÈTRE.

En fait, l'idée d'introduire des dimensions supplémentaires et leur compactification ultérieure n'est pas nouvelle - les premières tentatives pour construire une théorie unifiée des interactions électromagnétiques et gravitationnelles basée sur un espace-temps à 5 dimensions ont été faites au début de notre siècle. Depuis lors, beaucoup a été compris et accumulé, mais une chose est toujours restée: la compactification de mesures supplémentaires a eu lieu à une échelle inaccessible expérimentalement de l'ordre de la longueur de Planck.

L'année dernière, on s'est soudain rendu compte que ce n'était pas la seule possibilité. Dans deux communications de scientifiques de l'Université de Stanford, une construction théorique a été proposée, comprenant de nouvelles mesures compactées à une échelle complètement observable. Le schéma proposé dans ces travaux était si simple et transparent, et avait en même temps tellement de conséquences et d'applications que maintenant, après plus d'un an, le nombre d'œuvres utilisant cette idée est déjà de l'ordre de centaines.

L'essence de l'idée est la suivante: Supposons qu'il existe n dimensions spatiales supplémentaires compactifiées sur l'échelle R. Supposons que, pour une raison quelconque, une matière ordinaire (matière, ondes électromagnétiques et autres vecteurs d'interaction) ne puisse pas bouger dans tous (n + 3) -dimensionnelle, mais seulement dans une certaine "hypersurface" tridimensionnelle, qui est "notre" monde. Ainsi, les particules ordinaires ne ressentent que 3 dimensions spatiales. La seule exception est l'interaction gravitationnelle - puisque la gravité est causée par la courbure de l'espace-temps lui-même, l'interaction gravitationnelle peut facilement pénétrer dans des dimensions supplémentaires, à la fois sous la forme d'un champ statique et sous la forme d'ondes gravitationnelles et de gravitons.

De toute évidence, ces mesures supplémentaires n'affecteront pas la forme de la loi de Coulomb - elles ne ressentent aucune interaction électromagnétique. Cependant, sa contrepartie, la loi du monde, va changer. Si à longue distance r  \u003e R force sera toujours F ~ 1 / r  2, puis à courte distance r < R зависимость будет сильнее: F ~ 1/r  2 + n.

Écrivons les formules plus attentivement.

Commençons par la loi de Coulomb et notons la force de répulsion électrostatique de deux électrons (dans le système d'unités gaussien): F = e 2 /r 2 = (e 2 /hc) (hc/r 2) = hc/r  2 Ici, nous avons décomposé l’expression en le produit de deux facteurs: le facteur fondamental, qui décrit la dépendance générale hc / r  2 et un coefficient sans dimension caractérisant la force de l'interaction électromagnétique dans son ensemble. Ce coefficient est appelé constante de structure fine et est approximativement égal à 1/137 (ici h  = 1,05. 10 -34 J. s. Est-ce que la constante de Planck est divisée par 2, avec  - la vitesse de la lumière.)

Une expression similaire pour la force d'interaction gravitationnelle a la forme: F  gr = Gm 2 /r 2 = (Gm 2 /hc) (hc/r  2) = gr hc/r  2 Ici, nous avons encore cassé l'expression dans le produit de deux facteurs. La valeur numérique de gr (caractérisant la force de l'interaction gravitationnelle) pour deux électrons est très petite, de l'ordre de 10 -45. C’est pourquoi, lors de l’étude de l’interaction des particules élémentaires, leur gravité mutuelle est toujours négligée: r  Les interactions électriques et gravitationnelles croissent selon la même loi, mais leur force relative diffère de plus de 40 ordres de grandeur.

Cependant, prenons maintenant en compte le fait que r < R  de nouvelles dimensions sont incluses. De la condition naturelle de continuité, on obtient: F  gr = gr ( R/r) n hc/r 2 .

Nous voyons que la force relative de l'interaction gravitationnelle grandit par rapport à l'électromagnétique! Cela signifie qu’une fois, avec des énergies assez accessibles aux accélérateurs, la gravité entre deux particules élémentaires sera aussi forte que les autres interactions! Une opportunité absolument géniale!

Conscients de cela, jetons un coup d’œil à ce pour quoi cette théorie avait été proposée (jusqu’à présent nous n’avons analysé que ses conséquences et joué avec elle).

Les scientifiques s'interrogent depuis longtemps sur les raisons pour lesquelles, dans la physique des hautes énergies, il existe au moins deux échelles d'énergie fondamentales. L'une d'elles (énergies de l'ordre de 1 TeV) est l'échelle caractéristique de la combinaison des interactions électromagnétiques et faibles, l'autre est de l'ordre de 10 15 TeV - l'échelle de Planck: l'énergie à laquelle les effets de la gravité quantique deviennent forts. Une distinction aussi forte entre deux quantités fondamentales de même dimension ne laissait pas les physiciens se reposer.

Cependant, si l'échelle électrofaible (tev) est un fait expérimental, l'échelle de Planck est simplement une extrapolation de la loi de la perception universelle par 33 ordres de grandeur sur l'échelle de la distance! En effet, les distances minimales auxquelles la vérification expérimentale directe de la loi de perception universelle a été effectuée est de centimètres, dizaines de centimètres. Il se peut donc que l'échelle de Planck soit une fiction!

Par conséquent, rien ne nous empêche de supposer qu’en réalité, dans la nature, il n’ya qu’UNE échelle d’énergie fondamentale - TeVn; cela aux énergies de l'ordre de 1 TeV. TOUTES les interactions deviennent égales en force, peut-être même combinées en une seule interaction. Avec une diminution de l'énergie (augmentation de la distance), toutes les interactions commencent à s'affaiblir, mais la gravité décroît beaucoup plus rapidement que les autres, car elle donne une dimension supplémentaire.

Cela se produit jusqu'aux distances de l'ordre du rayon de compactification; après cela, à des distances encore plus grandes, la gravité est déjà soumise à la loi à laquelle nous sommes habitués. Pendant ce temps, cependant, la constante d'interaction gravitationnelle a le temps de diminuer de plusieurs ordres de grandeur, ce qui conduit à la faiblesse de gravité observée par rapport aux autres interactions.

A partir de ces considérations, on peut facilement obtenir une formule pour le rayon de compactification de nouvelles mesures: R = 10 30/n  - 17 cm Rappelons que n  - Ceci est le nombre de mesures supplémentaires.

On peut voir que vous ne pourrez pas gérer avec une seule nouvelle dimension, le rayon de compactification sera alors de 10 11 m, c’est-à-dire que nous habiterions alors dans un espace à 4 dimensions et le sentirions bien sûr.

Mais si vous prenez n  = 2, alors R  devient de l'ordre du millimètre. C'est une situation très intéressante, car des expériences sont en cours de préparation pour tester la loi de Newton à l'échelle submillimétrique.

Affaire nIl est peu probable que\u003e 2 soit disponible pour l'expérience sous la forme d'un test direct de la loi de Newton. Cependant, il convient de comprendre que l’essentiel dans cette construction est une forte manifestation des effets gravitationnels quantiques à l’échelle TeV. Il se déroule «par construction», pour un nombre quelconque de nouvelles dimensions. Ces effets se traduiront par un grand nombre de collisions de particules élémentaires de haute énergie (le calcul de ces réactions, compte tenu des effets importants de la gravité, a fait l'objet de centaines de publications qui se sont précipitées immédiatement après l'article original).

Ainsi, il est possible que les complexes d'accélérateurs actuellement en construction, qui ont finalement atteint la plage d'énergie TeV, soient en mesure d'observer non seulement les phénomènes électrofaibles, mais également les effets de la gravité quantique! Si tel était le cas, il s'agirait d'un cadeau inattendu et inestimable de la nature!

Et est-ce possible sans compactage?

Enfin, nous aborderons une autre hypothèse, cette fois-ci totalement nouvelle: les articles correspondants ont été publiés littéralement au cours du dernier mois. Dans ces documents, il a été noté que toutes les théories précédentes, y compris les dimensions supplémentaires, étaient basées sur l'hypothèse d'une métrique factorisable, c'est-à-dire que les propriétés de notre "hypersurface" tridimensionnelle ne dépendent pas de nouvelles coordonnées supplémentaires. En général, une telle relation peut bien sûr être.

Un résultat fondamentalement nouveau dans ce cas est que maintenant les dimensions supplémentaires ne sont pas nécessairement réduites, elles peuvent être infinies. Le rôle du rayon de compactification est dans ce cas joué par le rayon de courbure local de ces nouvelles dimensions. Notre monde se trouve alors «attrapé» par des distorsions géométriques, topologiques de nouvelles dimensions. Fait intéressant, dans cette théorie, les gravitons sans masse apparaissent par eux-mêmes et ils se révèlent également «pris» par les mêmes défauts topologiques. La loi de Newton dans cette théorie est encore modifiée en raison de partenaires de graviton massifs (les excitations dites de type Kaluza-Klein), mais cette modification est extrêmement mineure. Entre autres choses, cette théorie explique également l'origine de deux échelles d'énergie fondamentale très différentes.

Cette théorie en est encore à ses balbutiements - de nombreuses questions n’ont pas encore reçu de réponse. Cependant, il faut bien admettre qu’il s’agit d’une alternative très intéressante à la compactification.

Une leçon importante suit de tout ce qui précède: la structure de notre espace-temps peut être beaucoup plus sournoise et plus intéressante que nous ne le soupçonnions il y a quelques années. Vérifiez s’il s’agit bien d’un avenir très proche.

Littérature:

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2. G.Ye.Gorelik "La dimension de l'espace", Presses de l'Université d'État de Moscou, 1983,
3. N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali, Phys.Lett.B429: 263-272,1998 e-Print Archive: hep-ph / 9803315 - nouvelles mesures à l'échelle millimétrique et effets de la gravité quantique dans la gamme Tev.
4. L. Randall, R. Sundrum, Phys. Rev. Lett.83: 3370 à 3373,1999; e-Print Archive: hep-ph / 9905221; L. Randall, R. Sundrum, Phys. Rev. Lett.83: 4690-4693.1999; e-Print Archive: hep-th / 9906064 - Interactions fondamentales - La théorie de la grande unification
   

Même depuis le cours scolaire d'algèbre et de géométrie, nous connaissons le concept d'espace tridimensionnel. Si on veut comprendre, le terme "espace à trois dimensions" est défini comme un système de coordonnées à trois dimensions (tout le monde le sait). En fait, il est possible de décrire n'importe quel objet de volume à l'aide de la longueur, de la largeur et de la hauteur au sens classique. Cependant, creusons, comme on dit, un peu plus loin.

Quel est l'espace en trois dimensions

Comme nous l’avons déjà compris, la compréhension de l’espace tridimensionnel et des objets susceptibles d’exister à l’intérieur de celui-ci est déterminée par trois concepts principaux. En réalité, dans le cas d’un point, il ya exactement trois valeurs et dans le cas d’objets droits, courbes, en pointillés ou de volume, les coordonnées correspondantes peuvent être plus grandes.

Dans ce cas, tout dépend du type d'objet et du système de coordonnées appliqué. Aujourd'hui, le système cartésien, parfois appelé aussi rectangulaire, est considéré comme le plus commun (classique). Elle et quelques autres espèces seront discutées plus tard.

Entre autres choses, il est nécessaire ici de distinguer les concepts abstraits (s’il est possible de le dire sans forme) des points, des droites ou des plans et des figures de dimensions finies, voire de volume. Pour chacune de ces définitions, il existe également des équations propres décrivant leur position possible dans un espace tridimensionnel. Mais maintenant n'est pas à ce sujet.

Le concept de point dans un espace tridimensionnel

Pour commencer, nous définissons ce qu'est un point dans un espace tridimensionnel. En général, on peut appeler une certaine unité de base qui définit toute figure plate ou tridimensionnelle, une ligne, un segment, un vecteur, un plan, etc.

Le point lui-même est caractérisé par trois coordonnées principales. Pour eux, dans un système rectangulaire, des guides spéciaux sont utilisés, appelés axes X, Y et Z, les deux premiers axes servant à exprimer la position horizontale de l'objet et le troisième se référant à la spécification verticale des coordonnées. Naturellement, pour la commodité d'exprimer la position d'un objet par rapport aux coordonnées zéro dans le système, des valeurs positives et négatives sont supposées. Cependant, aujourd'hui, vous pouvez trouver d'autres systèmes.

Variétés de systèmes de coordonnées

Comme déjà mentionné, le système de coordonnées rectangulaires créé par Descartes est aujourd'hui le principal. Néanmoins, dans certaines techniques permettant de définir l'emplacement d'un objet dans un espace tridimensionnel, d'autres variétés sont utilisées.

Les plus célèbres sont les systèmes cylindriques et sphériques. La différence avec le classique est que lorsque vous spécifiez les trois mêmes valeurs qui déterminent l'emplacement d'un point dans un espace tridimensionnel, l'une des valeurs est angulaire. En d'autres termes, dans de tels systèmes, un cercle correspondant à un angle de 360 ​​degrés est utilisé. De là et la tâche spécifique de coordonnées, y compris des éléments tels que rayon, angle et génératrice. Les coordonnées dans l'espace tridimensionnel (système) de ce type obéissent à des lois quelque peu différentes. Leur tâche dans ce cas est contrôlée par la règle de la main droite: si vous combinez votre pouce et votre index avec les axes X et Y, les doigts restants dans une position courbée indiqueront la direction de l'axe des Z.

Le concept de ligne dans un espace tridimensionnel

Quelques mots sur ce qui constitue une ligne droite dans un espace tridimensionnel. Basé sur le concept de base d'une ligne droite, il s'agit d'une sorte de ligne infinie tirée par un point ou deux, sans compter l'ensemble des points situés dans une séquence qui ne modifie pas le passage direct de la ligne qui les traverse.

Si vous regardez une ligne passant par deux points dans un espace tridimensionnel, vous devrez prendre en compte les trois coordonnées des deux points. La même chose s'applique aux segments et aux vecteurs. Ces derniers déterminent la base de l’espace tridimensionnel et sa dimension.

Définition des vecteurs et base de l'espace tridimensionnel

Notez qu'il ne peut y avoir que trois vecteurs, mais ici vous pouvez définir autant que des triplets de vecteurs. La dimension de l'espace est déterminée par le nombre de vecteurs linéairement indépendants (dans notre cas, trois). Et l’espace dans lequel il existe un nombre fini de tels vecteurs est appelé dimension finie.

Vecteurs dépendants et indépendants

En ce qui concerne la définition des vecteurs dépendants et indépendants, les vecteurs qui sont des projections (par exemple, les vecteurs de l'axe des X projetés sur l'axe des Y) sont considérés comme linéairement indépendants.

Comme on le voit déjà, tout quatrième vecteur est dépendant (la théorie des espaces linéaires). Mais trois vecteurs indépendants dans un espace tridimensionnel ne doivent pas nécessairement se trouver dans le même plan. De plus, si nous définissons des vecteurs indépendants dans un espace tridimensionnel, ils ne peuvent pas être, pour ainsi dire, une continuation de l'autre. Comme on le voit déjà, dans le cas que nous considérons à trois dimensions, selon la théorie générale, seuls trois triplets de vecteurs linéairement indépendants dans un certain système de coordonnées peuvent être construits (quel que soit leur type).

Plan dans un espace tridimensionnel

Si nous considérons le concept de plan, sans entrer dans des définitions mathématiques, pour une compréhension plus simple de ce terme, un tel objet peut être considéré uniquement comme bidimensionnel. En d’autres termes, c’est un ensemble infini de points dont l’une des coordonnées est une constante (constante).

Par exemple, un plan peut être appelé un nombre quelconque de points avec des coordonnées différentes le long des axes X et Y, mais avec les mêmes coordonnées le long de l'axe Z. Dans tous les cas, l'une des coordonnées tridimensionnelles reste inchangée. Cependant, il s’agit, pour ainsi dire, d’un cas général. Dans certaines situations, un espace tridimensionnel peut se croiser avec un plan le long de tous les axes.

Y a-t-il plus de trois dimensions

La question de savoir combien de mesures peuvent exister est assez intéressante. On croit que nous ne vivons pas en trois dimensions du point de vue classique de l'espace, mais en quatre dimensions. En plus des longueurs, largeurs et hauteurs connues, cet espace inclut également la durée de vie de l'objet, et l'espace-temps est étroitement lié. Cela a été prouvé par Einstein dans sa théorie de la relativité, bien que cela se rapporte davantage à la physique qu'à l'algèbre et à la géométrie.

Autre fait intéressant, les scientifiques ont déjà prouvé l’existence d’au moins douze dimensions. Bien sûr, loin de tout le monde sera capable de comprendre ce qu’il est, puisqu’il fait plutôt référence à un certain domaine abstrait qui est en dehors de la perception humaine du monde. Néanmoins, le fait demeure. Et ce n’est pas pour rien que de nombreux anthropologues et historiens soutiennent que nos ancêtres pourraient disposer d’organes sensoriels développés spécifiques, comme le troisième œil, qui permettaient de percevoir une réalité multidimensionnelle, et pas uniquement un espace tridimensionnel.

À propos, il y a aujourd'hui beaucoup d'opinions sur le fait que la perception extrasensorielle est aussi l'une des manifestations de la perception du monde multidimensionnel, et on peut trouver beaucoup de preuves.

Notez que les équations et les théorèmes de base modernes décrivent des espaces multidimensionnels différents de notre monde à quatre dimensions, ce n’est pas toujours possible. Et la science dans ce domaine se rapporte plus au domaine des théories et des hypothèses qu’à ce qui peut être clairement ressenti ou, pour ainsi dire, touché ou vu de première main. Néanmoins, la preuve indirecte de l'existence de mondes multidimensionnels, dans lesquels il peut y avoir quatre dimensions ou plus, est aujourd'hui incontestable.

Conclusion

En général, nous avons très brièvement passé en revue les concepts de base liés à l’espace tridimensionnel et les définitions de base. Naturellement, il existe de nombreux cas spéciaux associés à différents systèmes de coordonnées. En outre, nous avons essayé de ne pas nous plonger dans la nature sauvage des mathématiques pour expliquer les termes de base, mais uniquement pour que la question qui les concerne soit compréhensible pour tout écolier (pour ainsi dire, l'explication est «aux doigts»).

Néanmoins, il semble que même à partir de telles interprétations simples, on puisse conclure que l'aspect mathématique de toutes les composantes incluses dans le cours élémentaire d'algèbre et de géométrie.