La réponse impulsionnelle du circuit. Fonction de transfert et réponse impulsionnelle du circuit. Description mathématique des impulsions

3. Caractéristiques impulsionnelles des circuits électriques

Circuit de réponse impulsionnelle est le rapport de la réponse du circuit à une action impulsive à l'aire de cette action à des conditions initiales nulles.

Par définition ,

où est la réponse du circuit à une action impulsionnelle ;

est la zone de l'impulsion d'impact.

Selon la réponse impulsionnelle connue du circuit, on peut trouver la réaction du circuit à une action donnée : .

En tant que fonction d'action, une seule action d'impulsion est souvent utilisée, également appelée fonction delta ou fonction de Dirac.

La fonction delta est une fonction égale à zéro partout, sauf, et son aire est égale à un ():

Le concept d'une fonction delta peut être obtenu en considérant la limite d'une impulsion rectangulaire avec hauteur et durée lorsque (Fig. 3):

Établissons un lien entre la fonction de transfert du circuit et sa réponse impulsionnelle, pour laquelle nous utilisons la méthode de l'opérateur.

Par définition:

Si l'impact (d'origine) est considéré pour le cas le plus général sous la forme du produit de la surface d'impulsion et de la fonction delta, c'est-à-dire sous la forme , alors l'image de cet impact selon le tableau de correspondance a la forme :

Ensuite, d'autre part, le rapport de la réaction transformée de Laplace du circuit à la valeur de l'aire de l'impulsion d'action est la réponse impulsionnelle de l'opérateur du circuit:

D'où, .

Pour trouver la réponse impulsionnelle du circuit, il faut appliquer la transformée de Laplace inverse :

, c'est-à-dire en fait .

En généralisant les formules, on obtient une relation entre la fonction de transfert de l'opérateur du circuit et les réponses transitoires et impulsionnelles de l'opérateur du circuit :

Ainsi, connaissant l'une des caractéristiques du circuit, vous pouvez en déterminer d'autres.

Faisons une transformation identique de l'égalité en ajoutant à la partie médiane .

Ensuite, nous aurons.

Dans la mesure où est une image de la dérivée de la réponse transitoire, alors l'égalité originale peut être réécrite comme suit :

Passant au domaine des originaux, nous obtenons une formule qui nous permet de déterminer la réponse impulsionnelle du circuit à partir de sa réponse transitoire connue :

Si donc .

La relation inverse entre les caractéristiques indiquées a la forme :

Selon la fonction de transfert, il est facile d'établir la présence d'un terme dans la composition de la fonction.

Si les degrés du numérateur et du dénominateur sont les mêmes, alors le terme en question sera présent. Si la fonction est une fraction propre, alors ce terme n'existera pas.

Exemple : déterminer les réponses impulsionnelles pour les tensions et dans le circuit en série illustré à la figure 4.

Définissons :

D'après le tableau des correspondances, passons à l'original :

Le graphique de cette fonction est représenté sur la figure 5.

Riz. 5

Fonction transmission :

D'après le tableau des correspondances, on a :

Le graphique de la fonction résultante est illustré à la figure 6.

Précisons que les mêmes expressions pourraient être obtenues à l'aide de relations établissant un lien entre et.

La réponse impulsionnelle au sens physique reflète le processus d'oscillations libres et pour cette raison, on peut affirmer que dans les circuits réels, la condition suivante doit toujours être satisfaite :

4. Intégrales de convolution (superpositions)

Considérons la procédure pour déterminer la réponse d'un circuit électrique linéaire à un effet complexe, si la réponse impulsionnelle de ce circuit est connue. Nous supposerons que l'impact est une fonction continue par morceaux illustrée à la figure 7.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver la valeur de la réaction à un moment donné. En résolvant ce problème, nous représentons l'impact comme une somme d'impulsions rectangulaires de durée infinitésimale, dont l'une, correspondant au moment temporel , est représentée sur la figure 7. Cette impulsion est caractérisée par une durée et une hauteur .

D'après le matériau précédemment considéré, on sait que la réponse d'un circuit à une impulsion courte peut être considérée comme égale au produit de la réponse impulsionnelle du circuit et de l'aire de l'action impulsionnelle. Par conséquent, la composante infiniment petite de la réaction, due à cette action impulsive, à l'instant du temps sera égale à :

puisque la zone de l'impulsion est , et le temps s'écoule entre le moment de son application et le moment de l'observation.

En utilisant le principe de superposition, la réponse totale du circuit peut être définie comme la somme d'un nombre infiniment grand de composants infiniment petits, causés par une séquence d'actions impulsionnelles infiniment petites dans la zone précédant le moment du temps.

De cette façon:

Cette formule est vraie pour n'importe quelle valeur, donc la variable est généralement notée simplement. Puis:

La relation résultante est appelée intégrale de convolution ou intégrale de superposition. La fonction trouvée à la suite du calcul de l'intégrale de convolution s'appelle la convolution et .

Vous pouvez trouver une autre forme d'intégrale de convolution si vous modifiez les variables dans l'expression résultante pour :

Exemple : trouver la tension aux bornes de la capacité d'un circuit série (Fig. 8), si une impulsion exponentielle de la forme agit sur l'entrée :

la chaîne est connectée: avec un changement d'état énergétique ... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. De transition caractéristique électrique Chaînes est : Réponse à un pas unitaire...

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Ministère de l'éducation et des sciences de l'Ukraine

Université nationale de Donetsk

Reportage

sur le thème : Circuits et signaux radio

Étudiant en 3ème année du département de jour de NF-3

Développé par un étudiant :

Aleksandrovitch S.V.

Vérifié par le professeur :

Dolbeshchenkov V.V.

INTRODUCTION

"Circuits et signaux radio" (RTC et C)- un cours qui s'inscrit dans la continuité du cours « Fondamentaux de la théorie des circuits ». Son objectif est d'étudier les schémas fondamentaux associés à la réception des signaux, à leur transmission sur les canaux de communication, au traitement et à la conversion dans les circuits radio. Les méthodes d'analyse des signaux et des circuits radio présentées dans le cours "RTC et S" utilisent des informations mathématiques et physiques, principalement connues des étudiants des disciplines précédentes. Une tâche importante du cours "RTC et S" est d'apprendre aux étudiants à choisir un appareil mathématique adapté au problème rencontré, à montrer comment cet appareil fonctionne lors de la résolution de problèmes spécifiques dans le domaine de l'ingénierie radio. Il est également important d'apprendre aux étudiants à voir le lien étroit entre la description mathématique et le côté physique du phénomène considéré, pour pouvoir composer des modèles mathématiques des processus étudiés.

Les principales sections étudiées dans le cours "Circuits et signaux radio":

1. Analyse temporelle des circuits basée sur la convolution ;

2. Analyse spectrale des signaux ;

3. Signaux radio avec amplitude, modulation angulaire ;

4. Analyse de corrélation des signaux ;

5. Circuits linéaires actifs ;

6. Analyse du passage des signaux dans les circuits à bande étroite ;

7. Rétroaction négative dans les circuits linéaires ;

8. Synthèse de filtres ;

9. Circuits non linéaires et méthodes de leur analyse ;

10. Chaînes à paramètres variables ;

11. Principes de génération d'oscillations harmoniques ;

12. Principes du traitement du signal en temps discret ;

13. Signaux aléatoires ;

14. Analyse du passage de signaux aléatoires à travers des circuits linéaires ;

15. Analyse du passage de signaux aléatoires à travers des circuits non linéaires ;

16. Filtrage optimal des signaux déterministes dans le bruit ;

17. Filtrage optimal des signaux aléatoires ;

18. Méthodes numériques de calcul des circuits linéaires.

ANALYSE TEMPORELLE DES CIRCUITS BASÉE SUR LA CONVOLUTION

Réponse transitoire et impulsionnelle

La méthode temporelle est basée sur le concept de réponses transitoires et impulsionnelles du circuit. réponse transitoire les chaînes appellent la réaction de la chaîne à l'action sous la forme d'une fonction unitaire. La réponse transitoire du circuit est indiquée g(t).réponse impulsive les chaînes appellent la réponse de la chaîne à l'impact d'une fonction d'impulsion unitaire (fonction d). Réponse impulsionnelle notée h(t). De plus, g(t) et h(t) sont déterminés sous conditions initiales nulles dans la chaîne. Selon le type de réaction et le type d'impact (courant ou tension), les réponses transitoires et impulsionnelles peuvent être des grandeurs sans dimension, ou avoir la dimension A/B ou B/A.

L'utilisation des concepts de réponses transitoires et impulsionnelles d'un circuit permet de réduire le calcul de la réaction d'un circuit depuis l'action d'un signal non périodique de forme arbitraire à la détermination de la réaction d'un circuit à une simple action tel qu'un seul 1( t) ou fonction impulsionnelle d( t), qui se rapprochent du signal d'origine. Dans ce cas, la réaction résultante de la chaîne linéaire est trouvée (en utilisant le principe de superposition) comme la somme des réactions de la chaîne aux influences élémentaires 1( t) ou d( t).

Entre transition g(t) et impulsion h(t) il existe une certaine relation avec les caractéristiques d'un circuit passif linéaire. Elle peut être établie si l'on représente la fonction d'impulsion unitaire par le passage à la limite de la différence de deux fonctions unitaires de grandeur 1/t, décalées l'une par rapport à l'autre du temps t :

c'est-à-dire que la fonction d'impulsion unitaire est égale à la dérivée de la fonction unitaire. Le circuit considéré étant supposé linéaire, la relation est également conservée pour les réactions impulsionnelles et transitoires du circuit

c'est-à-dire que la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse transitoire du circuit.

L'équation est valable pour le cas où g(0) = 0 (conditions initiales nulles pour la chaîne). Si g(0) ¹ 0, puis présentant g(t) comme g(t) = , où = 0, on obtient l'équation de contrainte pour ce cas :

Pour trouver les réponses transitoires et impulsionnelles d'un circuit, les méthodes classiques et opérateur peuvent être utilisées. L'essence de la méthode classique est de déterminer la réponse temporelle du circuit (sous forme de tension ou de courant dans les branches individuelles du circuit) à l'impact d'un seul 1( t) ou impulsion d( t) les fonctions. Il est généralement pratique d'utiliser la méthode classique pour déterminer la réponse transitoire g(t), et la réponse impulsionnelle h(t) peut être trouvé en utilisant les équations de contrainte ou la méthode de l'opérateur.

Il convient de noter que la valeur je(R)v l'équation est numériquement égale à l'image de la conductivité transitoire. Une image similaire de la réponse impulsionnelle est numériquement égale à la conductance de l'opérateur du circuit

Par exemple, pour RC-chaînes nous avons :

Appliquer à Oui(p) théorème de décomposition, on obtient :

En tableau. 1.1 résume les valeurs des réponses transitoires et impulsionnelles pour le courant et la tension pour certains circuits du premier et du second ordre.

Considérons un circuit électrique linéaire qui ne contient pas de sources indépendantes de courant et de tension. Que l'action extérieure sur la chaîne soit

réponse transitoire g (t -t 0 ) d'un circuit linéaire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes est le rapport de la réaction de ce circuit à l'impact d'un saut de courant ou de tension non unitaire à la hauteur de ce saut dans des conditions initiales nulles :

la caractéristique transitoire du circuit est numériquement égale à la réponse du circuit à l'effet d'un seul saut de courant ou de tension . La dimension de la réponse transitoire est égale au rapport de la dimension de la réponse à la dimension de l'action externe, de sorte que la réponse transitoire peut avoir la dimension de la résistance, de la conductivité ou être une quantité sans dimension.

Soit l'action extérieure sur le circuit sous la forme d'une impulsion infiniment courte de hauteur infiniment élevée et d'aire finie А И :

et .

On note la réponse en chaîne à cette action dans des conditions initiales nulles

réponse impulsive h (t -t 0 ) d'un circuit linéaire qui ne contient pas de sources d'énergie indépendantes est le rapport de la réaction de ce circuit à l'action d'une impulsion infiniment courte de hauteur infiniment élevée et de surface finie à la surface de cette impulsion dans des conditions initiales nulles :

⁄ et .

Comme il ressort de l'expression (6.109), la réponse impulsionnelle du circuit est numériquement égale à la réponse du circuit à l'action d'une seule impulsion(IA = 1). La dimension de la réponse impulsionnelle est égale au rapport de la dimension de la réponse du circuit au produit de la dimension de l'action extérieure et du temps.

Comme les réponses complexes de fréquence et d'opérateur d'un circuit, les réponses transitoires et impulsionnelles établissent une relation entre l'action externe sur le circuit et sa réponse ; cependant, contrairement aux réponses complexes de fréquence et d'opérateur, l'argument des réponses transitoires et impulsionnelles est le temps t plutôt que la fréquence angulaire ω ou complexe p. Puisque les caractéristiques du circuit, dont l'argument est le temps, sont dites temporelles, et dont l'argument est la fréquence (y compris complexe) - caractéristiques de fréquence

sticks (voir module 1.5), les réponses transitoires et impulsionnelles sont liées à la réponse temporelle du circuit.

Chaque couple "influence externe sur le circuit - réaction du circuit" peut être associé à une certaine fréquence complexe

Pour établir un lien entre ces caractéristiques, on retrouve les images opérateur des réponses transitoire et impulsionnelle. Utilisation d'expressions

(6.108), (6.109), on écrit



		Images de l'opérateur de la réaction du circuit aux
impacter. exprimer			à travers des images d'opérateur de
impacts				ai	; on a

	0 images opérateur de caractère transitoire et impulsif
stick ont une forme particulièrement simple :
La réponse impulsionnelle du circuit est donc						C'est une fonction,

qui, selon Laplace, est l'opérateur caractéristique de la valeur

entre les caractéristiques de fréquence et de temps du circuit. Connaissant, par exemple, la réponse impulsionnelle, on peut utiliser la transformée de Laplace directe pour trouver la caractéristique d'opérateur correspondante du circuit

En utilisant les expressions (6.110) et le théorème de différenciation (6.51), il est facile d'établir un lien entre les réponses transitoire et impulsionnelle :

Par conséquent, la réponse impulsionnelle du circuit est égale à la première dérivée de la réponse transitoire par rapport au temps. Du fait que la réponse transitoire du circuit g (tt 0 ) est numériquement égale à la réponse du circuit à l'effet d'un seul saut de tension ou de courant appliqué au circuit avec des conditions initiales nulles, les valeurs de la fonction g (tt 0 ) à t< t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем

L'expression (6.113) est connue sous le nom de formules dérivées généralisées. Le premier terme de cette expression est la dérivée de la réponse transitoire à t > t 0 , et le second terme contient le produit de la fonction δ et la valeur de la réponse transitoire au point t = t 0 . Si à t \u003d t 0 la fonction g (t-t 0) change brusquement, alors la réponse impulsionnelle du circuit contient une fonction δ multipliée par la hauteur de saut de la caractéristique transitoire au point t \u003d t 0. Si la fonction g (tt 0) ne subit pas de rupture à t \u003d t 0, c'est-à-dire que la valeur de la caractéristique de transition au point t \u003d t 0 est nulle, alors l'expression de la dérivée généralisée coïncide avec l'expression pour la dérivée ordinaire.

Méthodes de détermination des caractéristiques temporelles

Pour déterminer les caractéristiques temporelles d'un circuit linéaire, dans le cas général, il est nécessaire de considérer les processus transitoires qui se produisent dans un circuit donné lorsqu'il est exposé à un seul saut (une seule impulsion) de courant ou de tension. Cela peut être fait en utilisant la méthode classique ou opérateur d'analyse transitoire. En pratique, pour trouver les caractéristiques temporelles des circuits linéaires, il convient d'utiliser une autre voie basée sur l'utilisation de relations établissant une relation entre la fréquence et les caractéristiques temporelles. La définition des caractéristiques temporelles dans ce cas commence par la composition

la caractéristique de l'opérateur de la chaîne et en appliquant les relations (6.110) ou (6.111), déterminer les caractéristiques temporelles requises.

donnant au circuit une certaine énergie. Dans ce cas, les courants d'inductance et les tensions de capacité changent brusquement d'une valeur correspondant à l'énergie fournie au circuit. Au deuxième stade (at), l'action de l'action externe appliquée au circuit est terminée (dans ce cas, les sources d'énergie correspondantes sont désactivées, c'est-à-dire qu'elles sont représentées par des résistances internes), et des processus libres apparaissent dans le circuit , procédant grâce à l'énergie stockée dans les éléments réactifs lors de la première étape du processus de transition. Ainsi, la réponse impulsionnelle du circuit, numériquement égale à la réponse à l'action d'une seule impulsion de courant ou de tension, caractérise les processus libres dans le circuit considéré.

Exemple 6.7.Pour un circuit dont le schéma est illustré à la fig. 3.12, a, on retrouve les réponses transitoires et impulsionnelles au repos sur les pinces 2–2".

tension sur le circuit ― tension sur les pinces 1―1"		Réaction du circuit - tension de serrage

La caractéristique opérateur de ce circuit, correspondant au couple donné « action extérieure sur le circuit - réaction du circuit », a été obtenue dans l'exemple 6.5 :

x ⁄ .

Par conséquent, les images d'opérateur des caractéristiques transitoires et impulsionnelles du circuit ont la forme

⁄ ;

1 ⁄ 1 ⁄ .

A l'aide des tableaux de la transformée de Laplace inverse, voir Annexe 1, on passe des images des caractéristiques temporelles recherchées aux originaux de la Fig. 6.20, a, b :

A noter que l'expression de la réponse impulsionnelle du circuit peut également être obtenue en utilisant la formule 6.113 appliquée à l'expression de la réponse transitoire du circuit g t .

Pour une explication qualitative du type de caractéristiques transitoires et impulsionnelles du circuit dans cette inclusion, Fig. 6.20, a, b connecter une source de tension indépendante aux pinces 1-1 "Fig. 6.20, c. La réponse transitoire de ce circuit est numériquement égale à la tension aux pinces 2-2" lorsqu'elle est exposée à une seule surtension

1 Dans et conditions initiales nulles. Au moment initial après la commutation

tion, la résistance de l'inductance est infiniment grande, donc, à t

à la sortie du circuit est égale à la tension aux bornes 1-1 ": u 2 | t 0

tu 1| t0

1 V. Au fil du temps

lorsque la tension aux bornes de l'inductance diminue, tendant vers zéro à t

∞ . Selon

En fonction de cela, la réponse transitoire commence à partir de la valeur g 0

1 et tend vers zéro

La réponse impulsionnelle du circuit est numériquement égale à la tension aux bornes 2 - 2 "

lorsqu'une seule impulsion de tension e t est appliquée à l'entrée du circuit

5. Paramètres secondaires (caractéristiques) des quadripôles mode coordonné d'un quadripôle.

6. Courants non sinusoïdaux. Développement en série de Fourier. Le spectre de fréquence d'une fonction non sinusoïdale de tension ou de courant.

7. Valeurs maximales, moyennes et efficaces du courant non sinusoïdal.

8. Résonance dans un circuit de courant non sinusoïdal.

9. La puissance du circuit de courant non sinusoïdal.

10. Harmoniques supérieures dans les circuits triphasés. Le tripleur de fréquence le plus simple.

11. Apparition de processus transitoires dans les circuits linéaires. Modification des lois.

12. Méthode classique de calcul des transitoires. Formation de l'équation de calcul, le degré de l'équation de calcul. Conditions frontalières.

Méthode classique de calcul des transitoires

13. Modes libre et forcé. La constante de temps du circuit, la définition de la durée du transitoire.

14. Charge périodique d'un condensateur. Fréquence propre des oscillations du contour. résistance critique.

15. Conditions initiales "incorrectes". Caractéristiques du calcul. Ces conditions existent-elles dans les régimes réels ?

16. 0Détermination des racines de l'équation caractéristique. Justifier.

17. Allumer un réseau passif à deux bornes sous l'action d'une tension continue par morceaux. Formule de Duhamel.

La séquence de calcul utilisant l'intégrale de Duhamel

Réponse transitoire et impulsionnelle

19. Application des transformations de Laplace au calcul des processus transitoires. Propriétés de base des fonctions de Laplace.

20. Circuits équivalents d'opérateur. Justifier.

21. Calcul des processus transitoires par la méthode des variables d'état. Formation des équations de calcul. Calcul informatique.

22. Transformée de Fourier et ses principales propriétés. Spectres de fréquence des signaux impulsionnels, différences par rapport aux spectres de fréquence des signaux périodiques non sinusoïdaux.

23. Calcul des caractéristiques de fréquence du circuit. Détermination de la réponse transitoire par fréquence réelle.

24. Caractéristiques de l'application de la méthode de calcul de la fréquence à l'étude du passage d'un signal à travers un quadripôle.

25. Équations d'une longue droite en dérivées partielles. Paramètres primaires d'une longue ligne.

26. Solution des équations d'une longue ligne avec une tension sinusoïdale. Paramètres secondaires de la palangre.

27. Processus ondulatoires sur une longue ligne. Ondes incidentes et réfléchies. Coefficient de reflexion. impédance d'entrée.

Équations différentielles à longues lignes

Paramètres de fonctionnement

Coefficients d'ondes progressives et stationnaires

28. Ligne sans perte. ondes stationnaires.

29. Ligne d'impédance d'entrée sans perte. Simulation d'inductances et de capacités.

31. Processus d'onde dans une ligne sans perte chargée de résistance active. Coefficients d'ondes stationnaires et progressives.

32. Caractéristiques des caractéristiques courant-tension des éléments non linéaires. Circuits équivalents linéaires pour paramètres statiques et différentiels.

33. Calcul des schémas de stabilisation de tension et de courant, détermination du coefficient de stabilisation pour un circuit équivalent linéaire.

34. Approximation des caractéristiques non linéaires. Méthode de calcul analytique.

35. Caractéristiques des processus périodiques dans les circuits électriques avec éléments inertiels.

36. Composition spectrale du courant dans un circuit avec une résistance non linéaire lorsqu'il est exposé à une tension sinusoïdale. Oscillations combinées.

37. Méthode des sinusoïdes équivalentes. Méthodes de calcul de circuits non linéaires par valeurs efficaces. Méthode de sinusoïde équivalente.

Méthode de calcul des circuits alternatifs non linéaires par des valeurs efficaces équivalentes

38. La forme des courbes de courant, de flux magnétique et de tension dans une bobine idéale non linéaire. Circuit équivalent, diagramme vectoriel.

Calcul du courant d'une bobine avec de l'acier, en tenant compte des pertes dans le noyau

40. Ferrorésonance de contrainte. effet déclencheur.

42. Principes fondamentaux de la méthode de l'équilibre harmonique. Donne un exemple.

43. La méthode d'approximation linéaire par morceaux des caractéristiques des éléments non linéaires. Calcul de circuits avec vannes. Schéma d'un redresseur demi-onde et pleine onde.

Circuits avec résistances à valve

44. Calcul du circuit d'un redresseur demi-onde avec une capacité.

18. Réaction des circuits linéaires aux fonctions unitaires. Caractéristiques transitoires et impulsionnelles du circuit, leur relation.

Fonction de pas d'unité (fonction de mise sous tension) 1 (t) est défini comme suit :

Graphique de fonction 1 (t) est illustré à la fig. 2.1.

Une fonction 1 (t) est égal à zéro pour toutes les valeurs négatives de l'argument et à un pour t³ 0 . Introduisons également en considération la fonction d'étape d'unité décalée

Cet effet est activé au moment t= t..

La tension sous la forme d'une fonction à un seul pas à l'entrée du circuit sera lorsqu'une source de tension constante est connectée tu 0 =1V à t= 0 en utilisant une clé idéale (Fig. 2.3).

Fonction d'impulsion d'unité (d - fonction, fonction de Dirac) est définie comme la dérivée de la fonction échelon unitaire. Parce qu'à l'époque t= 0 fonction 1 (t) subit une discontinuité, alors sa dérivée n'existe pas (passe à l'infini). Ainsi, la fonction d'impulsion unitaire

Il s'agit d'une fonction spéciale ou d'une abstraction mathématique, mais elle est largement utilisée dans l'analyse d'objets électriques et autres objets physiques. Les fonctions de ce type sont considérées dans la théorie mathématique des fonctions généralisées.

L'action sous la forme d'une fonction d'impulsion unitaire peut être considérée comme une action de choc (une amplitude suffisamment grande et un temps d'action infiniment court). Une fonction d'impulsion unitaire est également introduite, décalée par le temps t= t

La fonction d'impulsion unitaire est généralement représentée graphiquement par une flèche verticale à t= 0, et décalé à - t= t (figure 2.4).

Si nous prenons l'intégrale de la fonction d'impulsion unitaire, c'est-à-dire déterminer l'aire délimitée par celui-ci, on obtient le résultat suivant :

Riz. 2.4.

Évidemment, l'intervalle d'intégration peut être n'importe quoi, tant que le point t= 0. L'intégrale de la fonction d'impulsion unitaire décalée d ( t-t) est également égal à 1 (si le point t= t). Si nous prenons l'intégrale de la fonction d'impulsion unitaire multipliée par un certain coefficient UNE 0 , alors évidemment le résultat de l'intégration sera égal à ce coefficient. Par conséquent, le coefficient UNE 0 avant d ( t) détermine l'aire délimitée par la fonction UNE 0 ré( t).

Pour l'interprétation physique de la fonction d -, il convient de la considérer comme une limite vers laquelle tend une suite de fonctions ordinaires, par exemple

Réponse transitoire et impulsionnelle

réponse transitoire h(t) est appelée la réaction de la chaîne à l'action sous la forme d'une fonction d'étape unitaire 1 (t). réponse impulsive g(t) est appelée la réaction du circuit à l'action sous la forme d'une fonction d'impulsion unitaire d ( t). Les deux caractéristiques sont déterminées dans des conditions initiales nulles.

Les fonctions transitoire et impulsionnelle caractérisent le circuit en régime transitoire, puisqu'il s'agit de réactions à des sauts, c'est-à-dire assez lourd pour tout système d'impact. De plus, comme cela sera montré ci-dessous, la réponse du circuit à une action arbitraire peut être déterminée en utilisant les réponses transitoires et impulsionnelles. Les réponses transitoires et impulsionnelles sont liées les unes aux autres de la même manière que les actions correspondantes sont liées les unes aux autres. La fonction d'impulsion unitaire est la dérivée de la fonction échelon unitaire (voir (2.2)), donc la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse transitoire, et à h(0) = 0 . (2.3)

Cette déclaration découle des propriétés générales des systèmes linéaires, qui sont décrites par des équations différentielles linéaires, en particulier, si sa dérivée est appliquée à la place d'une action à un circuit linéaire avec des conditions initiales nulles, alors la réaction sera égale à la dérivée de la réaction d'origine.

Des deux caractéristiques considérées, la transitoire est déterminée le plus simplement, car elle peut être calculée à partir de la réponse du circuit à l'inclusion d'une source de tension ou de courant constante à l'entrée. Si une telle réaction est connue, alors pour obtenir h(t) il suffit de le diviser par l'amplitude de l'action constante d'entrée. Il s'ensuit que la réponse transitoire (ainsi que l'impulsion) peut avoir la dimension de la résistance, de la conductivité ou être une quantité sans dimension, selon la dimension de l'action et de la réponse.

Exemple . Définir la transition h(t) et impulsion g(t) caractéristiques d'un circuit RC série.

L'impact est la tension d'entrée tu 1 (t), et la réaction est la tension sur la capacité tu 2 (t). Selon la définition de la réponse transitoire, il convient de la définir comme la tension à la sortie lorsqu'une source de tension constante est connectée à l'entrée du circuit tu 0

Ce problème a été résolu dans la section 1.6, où il a été obtenu tu 2 (t) = tu C (t) = De cette façon, h(t) = tu 2 (t) / tu 0 = La réponse impulsionnelle est déterminée par (2.3) .

réponse impulsive(fonction de poids) est la réponse du système à une seule impulsion infinie (fonction delta ou fonction de Dirac) dans des conditions initiales nulles. La fonction delta est définie par les égalités

, .

Cette fonction générique- un objet mathématique qui est un signal idéal, aucun appareil réel n'est capable de le reproduire. La fonction delta peut être considérée comme la limite d'une impulsion rectangulaire de surface unitaire centrée en un point lorsque la largeur d'impulsion tend vers zéro.

Il nous faut maintenant analyser les limites de cette somme. Il faut donc utiliser des intégrales pour bien comprendre ce type de système. Pour cela, nous avons besoin d'une convolution! Supposons pour ce problème que \\ est supérieur à zéro. Essayez les deux fonctions suivantes.

où est la fonction de transfert du système, qui est la transformée de Laplace pour. La réponse impulsionnelle d'un système avec un intégrateur tend vers une valeur constante égale au gain statique du système sans intégrateur. Pour un système à deux intégrateurs, la réponse impulsionnelle tend asymptotiquement vers une droite, avec trois intégrateurs, vers une parabole, etc.

Le signal discret correspondant est une séquence. Considérons la transformée de Fourier d'un signal continu. Une approximation de la transformée de Fourier est obtenue à partir d'un signal discret par la méthode des rectangles.

Lorsque la somme est arrêtée au dernier rang, on trouve.

Système linéaire à réponse impulsionnelle finie

Ce système est appelé causal car l'état de sortie ne dépend que des états d'entrée précédents. Signal discret, défini.

Pour une impulsion d'entrée, le système linéaire délivre un signal.

Il convient de noter que le signal de sortie est le résultat de la convolution du signal d'entrée par la réponse impulsionnelle.

8. Méthode temporelle pour l'analyse des processus transitoires dans les circuits électriques linéaires

8.1. Caractéristiques transitoires et impulsionnelles des circuits électriques

La méthode temporelle est basée sur le concept de réponses transitoires et impulsionnelles du circuit. réponse transitoire les chaînes appellent la réaction de la chaîne à l'action sous la forme d'une fonction unitaire (7.19). La réponse transitoire du circuit est indiquée g(t).réponse impulsive les chaînes appellent la réponse de la chaîne à l'impact d'une fonction d'impulsion unitaire (fonction d) (7.21). Réponse impulsionnelle notée h(t). De plus, g(t) et h(t) sont déterminés dans des conditions initiales nulles dans le circuit. Selon le type de réaction et le type d'impact (courant ou tension), les réponses transitoires et impulsionnelles peuvent être des grandeurs sans dimension, ou avoir la dimension A/B ou B/A.

Ce système est un filtre à réponse impulsionnelle finie.

Qui est la transformée de Fourier discrète de la réponse impulsionnelle. Considérons, à titre d'exemple simple, un filtre qui implémente la moyenne arithmétique de deux valeurs d'entrée consécutives.

Le filtre du milieu est un filtre passe-bas. Le déphasage change linéairement avec la fréquence. Ceci est confirmé par l'expression de réponse en fréquence suivante. Pour simuler l'effet de ce filtre sur un signal, considérons le signal continu suivant et son échantillon.

Pour obtenir un signal discret filtré, il suffit d'effectuer une convolution avec la réponse impulsionnelle. Pour un filtre à phase linéaire, le déphasage est une fonction linéaire de la fréquence. Ainsi, la réponse en fréquence a la forme suivante.

Toutes les fréquences de signal subissent le même décalage τ lorsqu'elles traversent le filtre. τ est le temps de propagation.

c'est-à-dire que la fonction d'impulsion unitaire est égale à la dérivée de la fonction unitaire. Le circuit considéré étant supposé linéaire, la relation (8.1) est également valable pour les réponses impulsionnelle et transitoire du circuit

La forme d'onde n'est pas modifiée par le filtrage passe-bande. En isolant le terme contenant la phase, la réponse en fréquence s'écrit selon l'expression. Après avoir modifié la variable dans la somme, l'expression de gain est sortie. La réponse en fréquence a été écrite. Compte tenu de la limite, nous obtenons.

Un filtre à phase linéaire avec une réponse impulsionnelle infinie a été obtenu. Cette méthode revient à appliquer une fenêtre rectangulaire aux coefficients de Fourier.

Les coefficients de Fourier de cette fonction.

Le résultat peut être exprimé à l'aide d'une fonction cardinale sinusoïdale et dépend uniquement du rapport de la fréquence de coupure à la fréquence d'échantillonnage.

c'est-à-dire que la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse transitoire du circuit.

L'équation (8.2) est valable pour le cas où g(0) = 0 (conditions initiales nulles pour la chaîne). Si g(0) ¹ 0, puis présentant g(t) comme g(t) = , où = 0, on obtient l'équation de contrainte pour ce cas :

La fonction suivante est utilisée pour obtenir la réponse en fréquence. Voici un graphique du gain et de la phase du filtre. On voit que la phase est bien linéaire dans la bande passante, mais le gain présente de très fortes ondulations. Il existe des discontinuités dans la phase π dans la bande atténuée. Bien entendu, les différences dans la fonction de transfert souhaitée sont dues à la troncature de la réponse impulsionnelle.

Essayons la troncature avec la fenêtre de Hann. Les ondes dans la bande passante et dans la bande atténuée sont considérablement réduites. La linéarité de phase de la bande passante est toujours garantie. Si le retard τ doit rester fixe, la fréquence d'échantillonnage doit être augmentée en même temps. Le signal bruyant est sélectionné.

Exemple. Trouvons par la méthode classique la réponse transitoire en tension pour le circuit représenté sur la fig. 8.1. Numériquement g tu(t) pour ce circuit coïncide avec la tension sur la capacité lorsqu'elle est connectée au moment t= 0 à la source de tension tu 1 = l B :

Loi de changement de tension tuC(t) est déterminé par l'équation (6.27), où il faut fixer tu= l B :

Lors de la recherche de caractéristiques g(t) et h(t) la méthode de l'opérateur utilise les images des fonctions 1( t), ré( t) et la méthodologie de calcul des transitoires, décrite au Ch. sept.

Exemple. Nous définissons la réponse transitoire par la méthode de l'opérateur g tu(t) RC-chaînes (voir Fig. 8.1). Pour ce circuit, conformément à la loi d'Ohm sous forme d'opérateur (7.35), on peut écrire :

Enfin on obtient

Ainsi, par le théorème de développement (7.31), on trouve

c'est-à-dire la même valeur que celle obtenue par la méthode classique.

Il convient de noter que la valeur je(R)v l'équation (8.4) est numériquement égale à l'image de la conductivité transitoire. Une image similaire de la réponse impulsionnelle est numériquement égale à la conductance de l'opérateur du circuit

Par exemple, pour RC-chaînes (voir Fig. 8.1) on a :

Appliquer à Oui(p) théorème de décomposition (7.30), on obtient :

Il convient de noter que la formule (8.5) détermine la composante libre de la réaction en chaîne sous une seule action d'impulsion. Dans le cas général, dans la réaction en chaîne, en plus des composantes exponentielles du mode libre à t> 0 il existe un terme d'impulsion représentant l'impact à t= 0 impulsion unique. En effet, considérant que pour RC-circuit (voir Fig. 8.1) réponse transitoire de courant à tu= 1(t) selon (6.28) sera

puis après différenciation (8.6) selon (8.2) on obtient la réponse impulsionnelle RC-Chaînes salut(t) comme

c'est-à-dire une réaction hje(t) contient deux termes - impulsion et exponentiel.

La signification physique du premier terme dans (8.7) signifie que pour t= 0 en raison de l'impact sur le circuit de la tension de choc d( t) le courant de charge atteint instantanément une valeur infiniment grande, tandis que dans le temps de 0 - à 0 + la charge finale est transférée à l'élément capacitif et il se charge brusquement en tension je/RC. Le second terme détermine le processus libre dans la chaîne à t> 0 et est due à la décharge du condensateur par une entrée en court-circuit (car à t> 0 d( t) = 0, ce qui équivaut à un court-circuit de l'entrée) avec une constante de temps t = RC. Il en résulte que pour d( t)-action impulsive sur RC-circuit interrompt la continuité de la charge sur la capacité (la deuxième loi de commutation). De même, la condition de continuité du courant dans l'inductance (la première loi de commutation) est violée si le circuit contenant l'élément d'inductance est affecté par une tension sous la forme d( t).

En tableau. 8.1 résume les valeurs des réponses transitoires et impulsionnelles pour le courant et la tension pour certains circuits du premier et du second ordre.

8.2. Intégrale de Duhamel

L'intégrale de Duhamel peut être obtenue en approximant la force appliquée F 1 (t)Avec en utilisant des fonctions unitaires décalées les unes par rapport aux autres du temps Dt (Fig. 8.2).

La réponse du circuit à chaque action de pas est définie comme

La réaction en chaîne résultante du système d'actions par étapes peut être trouvée sur la base du principe de superposition :

où P- le nombre de sections d'approximation dans lesquelles l'intervalle 0 ... t. En multipliant et divisant l'expression sous le signe de sommation par Dt et en allant à la limite en tenant compte de cela, on obtient une des formes de l'intégrale de Duhamel :

L'équation (8.8) reflète la réaction du circuit à une action donnée, puisque la fonction d'approximation tend vers celle d'origine.

La deuxième forme de l'intégrale de Duhamel peut être obtenue à l'aide du théorème de convolution (voir):, b), puis la réaction du circuit est déterminée par la méthode classique ou opérateur lorsque la branche considérée est allumée sur la borne active à deux bornes réseau (Fig. 8.4, v). La réaction résultante se trouve comme la somme des réactions : .

8.3. Intégrale de superposition

Lors de la recherche de la réponse d'un circuit à l'aide de l'intégrale de superposition, la réponse impulsionnelle du circuit est utilisée h(t). Pour obtenir une expression générale de l'intégrale de superposition, nous approchons le signal d'entrée F 1 (t) utilisant un système d'impulsions unitaires de durée ré t, amplitudes F 1 (t) et aire F 1(t) ré t (Fig. 8.5). La réponse de sortie du circuit à chacune des impulsions simples

En utilisant le principe de superposition, il n'est pas difficile d'obtenir la réponse totale du circuit à un système d'impulsions unitaires :

L'intégrale (8.12) est appelée intégrale de superposition. Il existe une relation simple entre le recouvrement et les intégrales de Duhamel, qui est déterminée par la relation (8.3) entre la quantité de mouvement h(t) et transitoire g(t) caractéristiques du circuit. En remplaçant, par exemple, la valeur h(t) de (8.3) à la formule (8.12), compte tenu de la propriété de filtrage de la fonction d (7.23), on obtient l'intégrale de Duhamel sous la forme (8.11).

Exemple.À l'entrée RC-circuit (voir fig. 8.1) une surtension est appliquée tu un . Déterminer la réponse du circuit en sortie à l'aide des intégrales de superposition (8.12) et de Duhamel (8.11).

La réponse impulsionnelle de ce circuit est (voir tableau. 8.1) : htu(t) = = (1/RC)e – t / RC. Puis, en remplaçant htu(t– t) = (1/RC)e –( t– t)/ RC dans la formule (8.12), on obtient :

De même, on obtient le résultat en utilisant la fonction de transition de ce circuit et l'intégrale de Duhamel (8.11) :

Si le début de l'impact ne coïncide pas avec le début de la référence temporelle, alors l'intégrale (8.12) prend la forme

Les intégrales de superposition (8.12) et (8.13) représentent la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du circuit et sont largement utilisées dans la théorie des circuits électriques et la théorie de la transmission du signal. Sa signification physique est que le signal d'entrée F 1 (t) est en quelque sorte pondéré par la fonction h(t- t) : plus il décroît lentement avec le temps h(t), plus l'impact sur le signal de sortie est exercé par la valeur de l'action d'entrée qui est plus éloignée du moment d'observation.

Sur la fig. 8.6, une signal affiché F 1 (t) et réponse impulsionnelle h(t- t), qui est une image miroir h(t), et sur la Fig. 8.6, b convolution du signal F 1(t) Avec une fonction h(t- t) (partie grisée), numériquement égal à la réaction de la chaîne à l'instant t.

De la fig. 8.6 on peut voir que la réponse à la sortie du circuit ne peut pas être plus courte que la durée totale du signal t 1 et réponse impulsionnelle e. Ainsi, pour que le signal de sortie ne soit pas déformé, la réponse impulsionnelle du circuit doit tendre vers la fonction d.

Il est également évident que dans une chaîne physiquement réalisable, la réaction ne peut se produire avant l'impact. Et cela signifie que la réponse impulsionnelle d'un circuit réalisé physiquement doit satisfaire la condition

Pour un circuit stable physiquement réalisable, en outre, la condition d'intégrabilité absolue de la réponse impulsionnelle doit être satisfaite :

Si l'action d'entrée a une forme complexe ou est spécifiée graphiquement, des méthodes analytiques graphiques sont utilisées à la place de l'intégrale de convolution (8.12) pour calculer la réaction en chaîne.

Questions et tâches pour l'auto-examen

1. Donner des définitions des réponses transitoires et impulsionnelles du circuit.

2. Indiquez la relation entre les réponses impulsionnelles et transitoires.

3. Comment déterminer la réponse transitoire et impulsionnelle du circuit ?

4. Quelle est la différence entre les caractéristiques transitoires, expliquez leur signification physique.

5. Comment déterminer laquelle des quatre variétés de réponse transitoire ou impulsionnelle doit être appliquée dans chaque cas lors du calcul de la réponse du circuit ?

6. Quelle est l'essence du calcul des processus transitoires utilisant g(t) et h(t)?

7. Comment déterminer la réaction de la chaîne, si l'impact a une forme complexe ?

8. Quelles conditions le circuit doit-il remplir lors de l'utilisation de l'intégrale de Duhamel ?

9. Donner une autre forme de l'intégrale superposée, différente de (8.12).

10. Le calcul de la réaction en chaîne avec les intégrales de Duhamel et la superposition conduit-il aux mêmes résultats ou à des résultats différents ?

11. Déterminez la conductivité transitoire du circuit formé par la résistance et l'inductance connectées en série.

12. Déterminez le circuit formé par la résistance et la capacité connectées en série.

Réponse: .

13. Obtenir la troisième forme de l'intégrale de Duhamel (8.10) à partir de l'équation de convolution (8.10).

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