Рекурсивне фільтрування сигналів. Алгоритм лінійної цифрової фільтрації Алгоритм цифрової фільтрації дискретного сигналу

Алгоритми аналітичного градуювання, цифрової фільтрації методами експоненційного згладжування та ковзного середнього. Робастні, високочастотні, смугові та режекторні фільтри. Дискретне диференціювання, інтегрування та усереднення вимірюваних величин.

Фільтр - це система або мережа, що вибірково змінює форму сигналу (амплітудно-частотну або фазово-частотну характеристику). Основними цілями фільтрації є покращення якості сигналу (наприклад, усунення або зниження перешкод), вилучення з сигналів інформації або поділ декількох сигналів, об'єднаних раніше для, наприклад, ефективного використання доступного каналу зв'язку.

Цифровий фільтр - будь-який фільтр, що обробляє цифровий сигнал для виділення і/або придушення певних частот цього сигналу.

На відміну від цифрового, аналоговий фільтрмає справу з аналоговим сигналом, його властивості недискретні (безперервні), відповідно передавальна функція залежить від внутрішніх властивостей його елементів.

Спрощена блок-схема цифрового фільтрареального часу з аналоговим входом та виходом наведена на рис. 8а. Вузькосмуговий аналоговий сигналперіодично вибирається і конвертується в набір цифрових вибірок, x(n), n = 0,1, Цифровий процесор виробляє фільтрацію, відображаючи вхідну послідовність х(n) у вихідну у(n) згідно з обчислювальним алгоритмом фільтра. ЦАП конвертує відфільтрований цифровим чином вихід аналогові значення, які потім проходять аналогову фільтрацію для згладжування і усунення небажаних високочастотних компонентів.

Мал. 8а. Спрощена блок схема цифрового фільтра

Робота цифрових фільтрівзабезпечується, переважно програмними засобами, тому вони виявляються значно гнучкішими у застосуванні проти аналоговыми. За допомогою цифрових фільтрів можна реалізувати такі функції, які дуже важко отримати звичайними методами. Тим не менш, цифрові фільтри поки не можуть замінити аналогові у всіх ситуаціях, тому зберігається потреба у найбільш популярних аналогових фільтрах.

Щоб розібратися в суті цифрової фільтрації, передусім необхідно визначити математичні операції, які здійснюються над сигналами в цифровій фільтрації (ЦФ). І тому корисно згадати визначення аналогового фільтра.

Лінійний аналоговий фільтрє чотириполюсником, в якому реалізується лінійне перетвореннявхідного сигналу у вихідний сигнал. Математично це перетворення описується звичайним лінійним диференціальним рівнянням N-го порядку

де і - коефіцієнти, що є або константами, або функціями часу t; - Порядок фільтра.

Лінійний дискретний фільтрє дискретним варіантом аналогового лінійного фільтра, в якому квантованою (дискретизованою) є незалежна змінна - час (- крок дискретизації). При цьому ціла змінна може розглядатися як «дискретний час», а сигнали і як функції «дискретного часу» (так звані ґратчасті функції).

Математично функція лінійного дискретного фільтра описується лінійним різницевим рівняннямвиду

де і - відліки вхідного та вихідного сигналів відповідно; і - коефіцієнти алгоритму фільтрації, що є або константи, або функції «дискретного часу» n.

Алгоритм фільтрації (2.2) може бути реалізований засобами аналогової чи цифрової техніки. У першому випадку відліки вхідних і вихідних сигналів за рівнем не квантуються і можуть набувати будь-яких значень в діапазоні їх зміни (тобто мають потужність континууму). У другому випадку відліки сигналів і піддаються квантуванню за рівнем, у зв'язку з чим вони можуть набувати лише «дозволених» значень, що визначаються розрядністю цифрових пристроїв. Крім того, квантовані відліки сигналів кодуються, тому арифметичні операції, що виконуються у виразі (2.2), здійснюються не над самими сигналами, а над їх двійковими кодами. Через квантування за рівнем сигналів і , а також коефіцієнтів та рівність в алгоритмі (2.2) не може бути точним і виконується лише приблизно.

Таким чином, лінійний ЦФ є цифровим пристроєм, що приблизно реалізує алгоритм фільтрації (2.2).

Головний недолік аналогових і дискретних фільтрів полягає в тому, що при зміні умов роботи (температури, тиску, вологості, напруги живлення, старіння елементів і т.д.) їх параметри змінюються. Це призводить до неконтрольованоюпохибки вихідного сигналу, тобто. до низької точності обробки.

Похибка вихідного сигналу в ЦФ залежить від умов роботи (температури, тиску, вологості, напруги живлення тощо.), а визначається лише кроком квантування сигналів і алгоритмом роботи самого фільтра, тобто. внутрішні причини. Ця похибка є контрольованої, її можна зменшити, збільшуючи число розрядів подання відліків цифрових сигналів. Саме цією обставиною зумовлені основні переваги цифрових фільтрів перед аналоговими та дискретними (висока точність обробки сигналів та стабільність характеристик ЦФ).

ЦФ за типом алгоритму обробки сигналів поділяються на стаціонарніі нестаціонарні, рекурсивніі нерекурсивні, лінійніі нелінійні.

Головною характеристикою ЦФ є алгоритм фільтрації, яким здійснюється реалізація ЦФ. Алгоритмом фільтрації описується робота ЦФ будь-якого класу без обмежень, тоді як інші характеристики мають обмеження класу ЦФ, наприклад, деякі з них придатні для опису тільки стаціонарних лінійних ЦФ.

Мал. 11. Класифікація ЦФ

На рис. 11 наведено класифікацію цифрових фільтрів (ЦФ). У основу класифікації покладено функціональний принцип, тобто. ЦФ поділяються виходячи з реалізованих ними алгоритмів, а не з урахуванням будь-яких схемотехнічних особливостей.

ЦФ частотної селекції. Це найбільш відомий, добре вивчений та апробований на практиці тип ЦФ. З алгоритмічного погляду ЦФ частотної селекції вирішують такі задачи:

· Виділення (пригнічення) однієї апріорно заданої смуги частот; залежно від того, які частоти пригнічуються, а які - ні, розрізняють фільтр нижніх частот (ФНЧ), фільтр верхніх частот (ФВЧ), смуговий фільтр (ПФ) та режекторний фільтр (РФ);

· Розділ по окремих частотних каналах рівноцінних і рівномірно розподілених по всьому частотному діапазону спектральних компонент сигналу з лінійчастим спектром; розрізняють ЦФ з проріджуванням за часом і з проріджуванням за частотою; а оскільки основним методом зменшення апаратурних витрат є каскадування більш низьковиборчих, ніж вихідний, наборів ПФ, то багатоступінчаста пірамідальна структура, яка отримується в результаті, була названа ЦФ типу "преселектор - селектор";

· Розділ по окремих частотних каналах спектральних складових сигналу, чий спектр складається з субсмуг різної ширини, нерівномірно розподілених в межах робочого діапазону фільтра.

Розрізняють фільтр з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтр) або фільтр з нескінченною імпульсною характеристикою (БІХ-фільтр).

Оптимальні (квазіоптимальні) ЦФ. Цей тип фільтрів застосовується тоді, коли потрібно оцінити ті чи інші фізичні величини, Що характеризують стан системи, схильної до випадкових обурень. Сучасна тенденція - використання досягнень теорії оптимальної фільтрації та реалізація пристроїв, які мінімізують середній квадрат помилки оцінювання. Вони поділяються на лінійні та нелінійні залежно від того, якими рівняннями описується стан системи.

Якщо рівняння стану лінійні, то застосовується оптимальний ЦФ Калмана, якщо рівняння стану системи нелінійні, то застосовуються різні багатоканальні ЦФ, якість роботи яких поліпшується зі зростанням числа каналів.

Існують різні окремі випадки, коли алгоритми, що реалізуються оптимальними (квазіоптимальними) ЦФ можуть бути спрощені без істотної втрати точності: це, по-перше, випадок лінійної стаціонарної системи, що призводить до відомого ЦФ Вінера; по-друге, випадок спостережень лише в один фіксований момент часу, що призводить до ЦФ, оптимального за критерієм максимуму відношення сигнал/шум (ОСШ); по-третє випадок рівнянь стану системи близьких до лінійних приводить до нелінійних фільтрів першого і другого порядку та ін.

Важливою проблемою є також забезпечення нечутливості всіх перерахованих вище алгоритмів до відхилення статистичних характеристик системи від заздалегідь заданих; синтез таких ЦФ, званих робастними.

Адаптивні ЦФ. Сутність адаптивної цифрової фільтрації полягає в наступному: для обробки вхідного сигналу (зазвичай адаптивні ЦФ будують одноканальними) використовується звичайний КІХ-фільтр; однак ЇХ цього фільтра не залишається раз і назавжди заданою, як це було при розгляді частотної селекції ЦФ; вона також не змінюється за апріорно заданим законом, як це було під час розгляду ЦФ Калмана; ЇХ коригується з надходженням кожного нового відліку таким чином, щоб мінімізувати середньоквадратичну помилку фільтрації на даному кроці. p align="justify"> Під адаптивним алгоритмом розуміється рекурентна процедура перерахунку вектора відліків ЇХ на попередньому кроці у вектор "нових" відліків ЇХ для наступного кроку.

Евристичні ЦФ.Можливі ситуації, коли застосування коректних з математичної точки зору процедур обробки є недоцільним, оскільки призводить до невиправдано великих апаратурних витрат. Евристичний підхід полягає (від грец. І лат. Evrica- "відшукую", "відкриваю") у використанні знання, що вивчає творче, неусвідомлене мислення людини. Евристика пов'язані з психологією, фізіологією вищої нервової діяльності, кібернетикою та інші науками. Евристичний підхід “породжений” прагненням розробників зменшити апаратурні витрати і поширення попри відсутність суворого математичного обгрунтування. Це звані ЦФ з авторськими схемними рішеннями, однією з найвідоміших прикладів є т.зв. медіанний фільтр.

Вступ

1. Аналіз стану питання цифрової фільтрації сигналів, у тому числі фільтрації випадкових нестаціонарних сигналів 9

1.1 Алгоритми лінійної цифрової фільтрації 9

1.2 Алгоритми оптимальної цифрової фільтрації 11

1.3 Алгоритми адаптивної цифрової фільтрації 14

1.4 Алгоритми цифрової фільтрації з урахуванням теорії нечітких множин " 19

1.5 Нейромережні алгоритми цифрової фільтрації 27

1.6 Висновки 33

2. Розробка алгоритмів цифрової фільтрації сигналів на основі теорії нечітких множин 35

2.1 Розробка алгоритму фільтра нижніх частот 35

2.2 Розробка алгоритму смугового (режекторного) фільтра 58

2.3 Оцінка функцій належності нечітких множин - 65

2.4 Використовувані критерії цифрової фільтрації 66

2.5 Аналіз алгоритмів цифрової фільтрації 68

2.6 Висновки 72

3. Проектування цифрових фільтрів на основі розроблених алгоритмів 73

3.1 Проектування цифрового фільтра нижніх частот 73

3.2 Проектування смугового (режекторного) фільтра 75

3.3 Висновки 77

4 Комп'ютерне моделювання цифрових фільтрів 78

4.1 Комп'ютерна модель цифрового фільтра нижніх частот 79

4.2 Комп'ютерна модель смугового (режекторного) фільтра 105

4.3 Висновки 108

5 Експериментальні дослідження 109

5.1 Дослідження комп'ютерної моделі цифрового фільтра нижніх частот 115

5.2 Дослідження комп'ютерної моделі режекторного фільтра 134

5.3 Висновки136 ВИСНОВОК137 ЛІТЕРАТУРА139 ДОДАТКИ148

Введення в роботу

Актуальність теми.У ряді областей техніки форму сигналів пов'язують з об'єктом дослідження, прикладом цього є радіолокація, технічна та медична діагностика, телеметрія та ін. Як правило, тут мають місце нестаціонарні випадкові сигнали малої тривалості в часі. В результаті обробки таких сигналів, наприклад, за допомогою лінійного цифрового фільтра, їх форма, а отже, діагностичні ознаки, що містяться в ній, можуть бути сильно спотворені. У цьому особливу актуальність набуває розробка алгоритмів цифрової фільтрації сигналів, вкладених у збереження їх первинної (не спотвореної шумами) форми. У сучасних літературних джерелах, присвячених метрологічному забезпеченню радіовимірювань (зокрема у роботах В. І. Нефєдова), форма сигналу окреслюється залежність миттєвого значення сигналу від часу.

Розглянемо, наприклад, сигнал електрокардіограми (ЕКГ). Як відомо, крива ЕКГ має характерну форму, що містить в основі так звані зубці (екстремальні точки): Р, Q, R, S, Т. Кожному з цих зубців відповідає певний процес виникнення та проведення електричного збудження у серцевому м'язі. Встановлення діагнозу у разі зводиться до визначення кількісних ознак захворювань з допомогою форми зубців. Під кількісними ознаками розуміються амплітуда зубців, їх тривалість, часові інтервали між зубцями і т. д. Труднощі, що виникають при фільтрації зашумлених ЕКГ сигналів, полягають у тому, що характеристики сигналів при різних станах пацієнта значно відрізняються один від одного. Так, наприклад, лінійний цифровий фільтр, розрахований для оптимального виділення нормальної кардіограми з суміші з білим шумом гауса, спотворює амплітуди зубців кардіограм з різними

захворюваннями. При аналізі сигналу ЕКГ, що пройшов обробку за допомогою алгоритму лінійної цифрової фільтрації, відбувається перепустка захворювання (дефекту). Аналогічні проблеми виникають при розпізнаванні кривих у технічній діагностиці. Тут інформація про стан системи (машини) міститься у вигляді запису значень діагностичного параметра або його відхилень від нормального у різні моменти часу. Прикладом є запис часу значень рівня вібрацій двигунів.

Якщо для цифрової фільтрації із збереженням форми сигналів використовуються адаптивні алгоритми (адаптивні цифрові фільтри), то для них також виникає ряд складнощів, тому що метою застосування алгоритму адаптивної фільтрації сигналів є досягнення локального або глобального екстремуму якості. У задачі збереження вихідної форми сигналу під функціоналом якості розуміється залежність значень середнього квадрата помилки від параметрів адаптації цифрового фільтра. Якщо статистичні властивості сигналів змінюються в часі, то функціонал якості можна вважати «розмитим» або нечітким, тобто таким, що змінює свою форму та місцезнаходження щодо введеної системи координат. У цьому випадку процес адаптації полягає не тільки в русі до точки екстремуму, але і в стеженні за цією точкою, оскільки вона змінює своє місце розташування в просторі. У розглянутих умовах використання адаптивних алгоритмів на основі принципів оптимальної лінійної фільтрації є неефективним та нераціональним з погляду обчислювальних витрат. Таким чином, для вирішення завдань цифрової фільтрації зі збереженням форми сигналів особливої ​​актуальності набуває розробка альтернативних алгоритмів цифрової фільтрації сигналів, що дозволяють заповнити відсутність статистичних характеристик за допомогою навчальної вибірки.

Одним із варіантів побудови алгоритмів цифрової фільтрації, що зберігають початкову форму сигналів, є використання нечіткої логіки. Адаптивні фільтри на основі алгоритмів з нечіткою логікою мають підвищену швидкодію і забезпечують меншу похибку фільтрації за рахунок більш адекватного опису оброблюваних сигналів. актуальним є розвиток існуючих, а також створення нових алгоритмів цифрової фільтрації з використанням нечіткої логіки, які забезпечують більш висока якістьвідновлення форми випадкових сигналів, зокрема нестаціонарних.

Мета дисертаційної роботи -розробка алгоритмів цифрової фільтрації на основі теорії нечітких множин для сигналів із різним спектром.

Для досягнення поставленої мети у дисертації вирішено такі завдання:

Досліджено існуючі алгоритми цифрової фільтрації сигналів з використанням нечіткої логіки та штучних нейронних мереж.

Розроблено алгоритми цифрової фільтрації сигналів на основі теорії нечітких множин.

Проведено проектування та комп'ютерну реалізацію цифрових фільтрів з нечіткою логікою.

Виконано експериментальну перевірку розроблених цифрових фільтрів.

Методи досліджень.При виконанні роботи були використані положення загальної теорії радіотехнічних сигналів, теорія нечітких множин, чисельні методи, методи обчислювальної математики та теорії

програмування, методи статистичної обробки експериментальних даних

Наукова новизна.Вирішення поставлених завдань визначило новизну дисертації, яка полягає в наступному:

Розроблено модифікований алгоритм цифрової фільтрації сигналів на основі теорії нечітких множин, відмінною рисою якого є адаптивна зміна функцій належності в залежності від значень кінцевих різниць першого порядку сигналу.

Розроблено алгоритм цифрової фільтрації сигналів, що дозволяє перебудовувати центральну частоту фільтра відповідно до характеристик сигналу при збереженні всіх інших параметрів фільтра.

На захист виносяться:

Алгоритм цифрової фільтрації сигналів з функціями приладдя, що адаптивно змінюються.

Алгоритм цифрової фільтрації сигналів з центральною частотою фільтра, що змінюється, при збереженні всіх інших його параметрів.

Практична значущість проведених досліджень.

Розроблене у дисертації програмне забезпеченнямає практичну значущість, оскільки дозволяє зменшити тимчасові витрати на проектування радіотехнічних пристроїв типу цифрового фільтра з нечіткою логікою майже в 10 разів.

Реалізація та впровадження результатів роботи.Розроблені алгоритми та програмне забезпечення впроваджено у ТОВ НТК «Інтелектуальні комплексні системи», а також у НОУ «Інститут радіоелектроніки, сервісу та діагностики», що підтверджено відповідними актами.

Апробація роботи.Основні положення дисертаційної роботи отримали позитивну оцінку під час обговорення на 9 міжнародних та всеросійських конференціях, у тому числі:

VII Міжнародна конференція«Актуальні проблеми електронного
приладобудування» (Новосибірськ, 2004);

III Міжнародний технологічний конгрес « Військова техніка, озброєння
та технології подвійного застосування» (Омськ, 2005 р.).

Публікації.За темою дисертації опубліковано 13 друкованих праць, з них 2 - статті у наукових періодичних виданнях, 10 - матеріали та тези доповідей у ​​працях міжнародних та всеросійських конференцій, 1 - свідоцтво про галузеву реєстрацію розробки.

Структура та обсяг роботи.Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, додатків. Загальний обсяг дисертації – 159 сторінок. Основний текст викладено на 138 сторінках, містить 73 малюнки, список літератури з 86 найменувань.

Алгоритми оптимальної цифрової фільтрації

Загалом оптимальний фільтр може бути визначений як частотно-виборча система, що виконує обробку суми сигналу і шуму деяким найкращим чином. Цей тип фільтрів застосовується тоді, коли потрібно оцінити ті чи інші фізичні величини, що характеризують стан системи, схильної до випадкових збурень. Сучасною тенденцією розвитку оптимальних цифрових фільтрів є реалізація пристроїв, які мінімізують СКО оцінювання. Оптимальні цифрові фільтри поділяються на лінійні та нелінійні залежно від того, якими рівняннями описується їхній стан.

Нехай є два ймовірно пов'язані випадкові процеси d(t) і x(t), при цьому першим процесом є корисний сигнал, а другим - прийняте коливання у вигляді суми корисного сигналута деякого шуму u(/):

Потрібно оцінити сигнал d(t) за доступним наглядом х(ґ). Необхідна оцінка d (t) повинна бути отримана в деяких точках t = v, j v t2, й і tl деякі константи.

При розв'язанні задачі передбачаються заданими всі необхідні імовірнісні характеристики процесів d(t) і x(t), а також дані спостережень х(і) та є (tl,t2). Як критерій оптимальності приймемо критерій мінімуму СКО: математичне очікування квадрата помилки, де М - оператор математичного очікування, має бути мінімальним. Розглянемо випадок лінійного оцінювання для безперервного часу t, тобто шукатимемо оцінку у вигляді

У разі h(y) - імпульсна характеристика системи, здійснює оцінювання (оптимального стаціонарного фільтра). Функція h(y) знаходиться в результаті розв'язання інтегрального рівняння Вінера-Хопфа: де Л(іх(т) - взаємна кореляційна функція процесів d(/) та х(/); Лх(т) автокореляційна функція процесу x(t); (v) - оптимальна (Вінерівська) імпульсна характеристика системи.При h(v) - h (v) математичне очікування квадрата помилки мінімальне.З рівняння (1.6) отримано вираз для розрахунку мінімального значенняСКО при використанні оптимальної лінійної системи. Обробка сигналів з використанням нелінійних методів фільтрації докладно викладена у джерелах.

Одним з найбільш відомих є алгоритм оптимальної цифрової фільтрації Калмана. Даний алгоритм реалізує рекурсивну процедуру адаптації, засновану на авторегресійній моделі процесу генерування сигналу. Якщо вхідний сигнал є випадковим і марковським, його можна як вихідний сигнал лінійної дискретної системи, возбуждаемойбелым шумом w(ri) з нульовим математичним очікуванням і дисперсією ow .

Модель генерування сигналу описується виразом де а - деяка константа. Передбачається, що сигнал проходить через канал зв'язку, модель впливу якого описується рівнянням де з - константа, що описує амплітудні зміни сигналу; u(w) адитивний білий шум з нульовим математичним очікуванням та дисперсією cu . Алгоритм оптимальної цифрової фільтрації Калмана дозволяє отримати оцінку d (ri) максимально близьку до сигналу d (n) за критерієм мінімуму СКО. Вираз, яким описується алгоритм, має вигляд: де

Значення К(я) носить назву «коефіцієнт довіри» і залежить від шумових параметрів каналу зв'язку і поточного значення СКО. Важливою проблемою є також забезпечення нечутливості всіх перерахованих вище алгоритмів до відхилення статистичних характеристик системи від заздалегідь заданих. Синтез таких цифрових фільтрів, званих робастними, докладно описано у роботі .

У багатьох випадках цифрові фільтри з постійними параметрами не можуть бути використані, оскільки кореляційні властивості вхідного та еталонного сигналів невідомі або змінюються у часі. Тому необхідно спочатку навчати цифрові фільтри за навчальними статистиками, а потім здійснювати стеження за ними, якщо вони повільно змінюються. Якщо частотні характеристики цифрових фільтрів залежить від спектрів оброблюваних сигналів, такі фільтри називають адаптивними . Основними роботами із синтезу адаптивних цифрових фільтрів можна вважати монографії Я. 3. Ципкіна, Р. Л. Стратоновича, В. В. Шахгільдяна, М. С. Лохвицького, Б. Уідроу та С. Стірнза.

У роботі під адаптивним розуміється такий алгоритм прийняття рішення, при побудові якого подолання апріорної невизначеності використовується попереднє навчання. Основне завдання адаптивного фільтра - підвищити якість обробки сигналу. Для обробки вхідного сигналу використовується звичайний КІХ-фільтр, проте імпульсна характеристика цього фільтра не залишається раз і назавжди заданою, як це було при розгляді цифрових фільтрів частотної селекції. При цьому вона також не змінюється за апріорно заданим законом, як у разі фільтру Калмана. Вимоги до АЧХ адаптивних фільтрів зазвичай не задаються, оскільки їх характеристики змінюються у часі.

Розробка алгоритму смугового (режекторного) фільтра

З урахуванням проведених досліджень у дисертації також розроблено алгоритм цифрової фільтрації сигналів із змінюваною центральною частотою фільтра за збереження решти його параметрів.

Представлені в деяких відомих роботах алгоритми цифрової фільтрації призначені для використання в основі фільтрів нижніх частот, а їх адаптація до характеристик сигналу, що змінюються, здійснюється шляхом зміни ширини смуги пропускання фільтра. У багатьох практичних випадках спектр сигналу зосереджений в деякій смузі, тобто виникають завдання, що вимагають створення смугових або режекторних фільтрів із центральною частотою, що змінюється.

Повернемося до рівняння (2.12) і ще раз запишемо відповідний коефіцієнт передачі:

Апроксимаційні та реалізаційні можливості конкретного типу фільтрів визначаються тими значеннями амплітудної функції (або АЧХ), які вони набувають на межах основного частотного діапазону, Т. е. на частотах в = 0 (f = 0) і ю = я (f = і д/2), незалежно від коефіцієнтів. Проаналізуємо значення АЧХ на частотах ю = 0 і ш = я. Як було розглянуто у цьому розділі, на частоті в = 0 значення АЧХ за будь-яких коефіцієнтах дорівнюватиме одиниці, але в частоті і ю = %, отримуємо (при L = 8):

Таким чином, на частоті со = я значення АЧХ буде повністю визначатися коефіцієнтами фільтра, тобто відліками його імпульсної характеристики. Можлива реалізація фільтрів низькочастотної, багаточастотної та режекторної вибірковості;2. Неможливе конструювання смугових та високочастотних фільтрів. Твердження 3. Дія цифрового смугового фільтра описується формулою де s - коефіцієнти, що визначають центральну частоту; bk є.

Доведення. Як відомо, перенесення спектра сигналу в область високих частотозначає перехід від відеоімпульсу до радіоімпульсу. Аналогічне твердження стосується АЧХ цифрових фільтрів. У випадку коефіцієнт передачі цифрового пристрою при множенні його імпульсної характеристики на гармонійну функцію визначатиметься виразом

При множенні сигналу на гармонійну функцію його спектр розпадається на два складові вдвічі меншого рівня, зміщених на Шо вправо (Со + Шо) і вліво (Со - о) по осі частот. Таким чином, вираз (2.22) може бути записаний у наступному вигляді: відліки гармонійного сигналу. Для створення смугового фільтра необхідно, щоб виконувалася умова Кп(со0) = 1, тому у виразі (2.22) з'являється множник 2. Виходячи з формули (2.22) можна записати алгоритм цифрової фільтрації сигналів, який матиме АЧХ смугового фільтра

Твердження доведене. З урахуванням перебудовуваних коефіцієнтів та штучного зсуву початку координат змінної до вираз (2.23) набуде вигляду:

У виразі (2.24) вагові коефіцієнти ц(х„_Л) визначають ширину, а s(x„.k, k)=sn_k - центральну частоту фільтра.

Адаптація центральної частоти фільтра, тобто коефіцієнтів sn.k, може здійснюватися в такий спосіб. Нехай на вхід фільтра подано суміш гармонійного сигналу та гаусового шуму:

Як відомо, математичний спектр гармонійного сигналу є дельта-функціями, розташованими на частотах ±со0. Тому необхідно вибрати фільтр, що має найбільш вузьку смугу пропускання. Найменшою шириною смуги пропускання при заданому порядку має однорідний фільтр. Отже, всі коефіцієнти \i(xn_k) матимуть одне і те ж значення l/(2iV+l), a sw_A дорівнюють cos((o0(n-k)T + p0) ).

Відповідно до принципів, викладених у роботі, ширина спектра сигналу оцінюється з використанням різниць Axn_k = хп-хп_к. Ці ж різниці можуть бути застосовані для оцінки частоти сигналу ю0. У нашому випадку корисний сигнал є періодичним, тобто виконується умова наявності синхронного каналу формування опорних коливань рівність оцінюваного відліку сигналу хп і відліку, віддаленого за часом на періодів дискретизації, означає, що центральна частота сигналу приймає значення із сукупності со0= 2n-fjk . У разі до = ±2, ±3, ... ±N, кф±\. Іншими словами кожний відлік сигналу хп_к може бути розглянутий сточки зору приналежності нечітким множинам F = СИГНАЛ З ЦЕНТРАЛЬНОЮ ∅АІк, к ф ±1. Одна з можливих форм функції належності \і?(хп_к) нечітких множин F має вигляд, представлений на рис. 2.3(а).

Для знаходження значень sn_k необхідно реалізувати ряд нечітких правил: «Rk: якщо Ахп_к близька до нуля, тоді центральна частота фільтра має бути близька fa/b. Ці правила надалі будуть об'єднані між собою. На основі результатів їх об'єднання буде отримано оцінку частоти сигналу ю0. Подання діапазону зміни центральної частоти фільтра в нечіткому просторі (фазифікація ) виконано у вигляді сімейства нечітких множин fk = ЦЕНТРАЛЬНА ЧАСТОТА ФІЛЬТРА ПРИКЛАДНО ijk з окремими функціями приналежності Hjt(fo), що показано на рис. 2.14.

Проектування смугового (режекторного) фільтра

Відповідно до основі алгоритму лінійної цифрової фільтрації може бути побудована структурна схема фізично реалізованого пристрою. При цьому її склад входять блоки, виконують додавання, множення на ваговий коефіцієнт, і навіть затримку відліків сигналу однією інтервал дискретизації. Отримаємо структурну схему цифрового фільтра, що реалізує алгоритм (2.19). З можливих форм реалізації виберемо пряму форму, як найбільш наочно ілюструє алгоритм, що у її основі. Як було розглянуто раніше, формула (2.19) відрізняється від виразу (2.1) змінними коефіцієнтами (хп.к,к,Ь), а також наявністю знаменника. Отже, структурна схема фільтра на основі алгоритму (2.19), крім стандартних блоків лінійного цифрового фільтра, міститиме блок поділу та додатковий суматор, що підраховує суму вагових коефіцієнтів. Крім того, у структурній схемі також буде присутній блок обчислювача вагових коефіцієнтів. Таким чином, структурна схема цифрового фільтра нижніх частот матиме вигляд, представлений на рис. 3.1.

Адаптивний цифровий фільтр з алгоритмом (2.19) має наступні характеристики (при частоті дискретизації сигналу 250 Гц і N=4):

З урахуванням всього сказаного вище алгоритм (2.24) також може бути використаний для побудови структурної схеми цифрового фільтра .

Згідно з розділом 2, для алгоритму цифрової фільтрації з центральною частотою фільтра, що змінюється, необхідна наявність функцій приналежності I F(X«-) і (fo), які визначають значення s(x„4, к). Крім цього, в алгоритмі (2.24) збережені коефіцієнти i (xn.k), ​​що визначають ширину смуги пропускання фільтра. Отже, структурна схема смугового фільтра буде близька до схеми на рис. 3.1, однак у ній з'являться додаткові помножувачі відліків сигналу коефіцієнти s(xn.k, к). Випадок прямої форми реалізації виразу (2.24) показано на рис. 3.2.

На основі смугового можна побудувати режекторний фільтр шляхом перетворення передавальної функції. Як відомо, фільтр верхніх частот являє собою різницю між всепропускним уп=хп і низькочастотним фільтрами. Одним із варіантів побудови режекторного фільтра служить паралельне включення всепропускаючого і розглянутого раніше смугового фільтрів за схемою, показаною на рис. 3.3.

У цьому розділі проведено проектування фільтрів нижніх частот, а також смугових та режекторних фільтрів з нечіткою логікою. Зокрема, розроблено структурні схемиадаптивних цифрових фільтрів з використанням алгоритмів (2.19) та (2.24). Представлені структурні схеми дозволяють здійснювати на їх основі мікропроцесорну реалізацію розроблених алгоритмів, а також можуть бути використані для створення програм різних системахімітаційного моделювання з метою проведення експериментальних досліджень

За результатами проведених досліджень було здійснено комп'ютерне моделювання розроблених цифрових фільтрів. Для створення комп'ютерних моделей була використана система MATLAB 6.5, що має значні переваги перед існуючими математичними системами і пакетами. Система MATLAB створена для проведення наукових та інженерних розрахунків та орієнтована на роботу з масивами даних. Математичний апарат системи спирається на обчислення із матрицями, векторами, комплексними числами. Мова програмування системи MATLAB досить проста і містить лише кілька десятків операторів. Невелика кількість операторів компенсується процедурами та функціями, які доступні для корекції та модифікації. Запис програм у системі є традиційним і тому звичним для більшості користувачів. Система використовує математичний співпроцесор та допускає можливість звернення до програм, написаних мовами FORTRAN, С та C++. Система також має великі можливості для роботи з сигналами. В наявності є велика кількість спеціалізованих пакетів розширення, призначених для вирішення різних класів математичних та технічних завдань. Крім того, система значно випереджає багато інших подібних програм за швидкістю виконання операцій. Всі ці особливості роблять систему MATLAB дуже привабливою для вирішення багатьох класів завдань.

Пакет Simulink системи MATLAB дозволяє моделювати динамічні нелінійні системи. Введення характеристик досліджуваних систем проводиться в діалоговому режимі шляхом графічного складання схеми з'єднань стандартних елементарних ланок. Елементарними ланками є блоки (або модулі), що зберігаються у вбудованій бібліотеці. Склад бібліотеки може бути

Комп'ютерна модель смугового (режекторного) фільтра

Автором роботи також було проведено моделювання смугового (режекторного) цифрового фільтра на основі теорії нечітких множин. Комп'ютерна модель у програмному середовищі MATLAB була зареєстрована у галузевому фонді алгоритмів та програм. Загальний виглядмоделі для перебудови центральної частоти фільтра від fJ5 до і д/3 (при N=4) показаний на рис. 4.23. Як і раніше, адитивна суміш хя (вихід блоку Suml) корисного сигналу з блоку From Workspace та шуму від джерела Noise надходить на вхід підсистеми Delay line. Структура цієї підсистеми вже згадувалася нами, та її вигляд був представлений на рис. 4.2. Вектор відліків вхідного сигналу X за допомогою демультиплексора поділяється по елементах, що далі надходять на входи однотипних підсистем Subsysteml - Subsystem6 (див. рис. 4.23). Внутрішній пристрій підсистеми Subsysteml показано на рис. 4.24. Ця підсистема служить знаходження значень HF(X„.) (див. розділ 2 цієї роботи). Підсистема обчислює різницю між відліками сигналу (в даному випадку це відліки х„_8 і хЛ_3) та використовує її як вхідний сигнал блоку Gaussian MF (див. рис. 4.24). Блок Gaussian MF видає значення гаусової функції, аргументом якої є різниця х„_8 - х„_3. Вихідні сигнали підсистем Subsysteml-Subsystem6 подаються до блоків MinMaxl - МіпМахЗ (див. рис. 4.23). Ці блоки використовуються для об'єднання правил щодо змінних I х«"хп-к I та I хі" хп+к I і видають на вихід мінімальний з двох вхідних Рис. 4.24 сигнали. Виходи блоків MinMaxl – МіпМахЗ направляються до блоків MATLAB Fcn2 – MATLAB Fcn4 відповідно. При цьому виходи MinMaxl - МіпМахЗ формуються в тривимірний векторта надходять на вхід блоку MATLAB Fcnl.

Насамперед, розглянемо дію блоків MATLAB Fch2 – MATLAB Fcn4. У додатках 11-13 наведено програми, які виконуються даними блоками. Кожна з програм обчислює всі можливі значення коефіцієнтів s(x„.A) і, залежно від вхідного сигналу, вибирає необхідні. Кожен із блоків видає чотиривимірні вектори, що складаються із значень sn+l,sn+2 Sw+3 sn+4 Програма, згідно з якою працює блок MATLAB Fcnl, представлена ​​у додатку 10. Дія цієї програми вже була детально розглянута у цьому розділі. У цій комп'ютерній моделі вона використовується для вибору вектора коефіцієнтів s(x„.A). Вихідний сигнал блоку MATLAB Fcnl надходить на вхід керуючого перемикача Multiport Switch 1. Далі чотиривимірний вихідний сигнал перемикача за допомогою демультиплексора розділяється по елементах і направляється на входи помножувачів Product 1 - Product 8 (рис. 4.23). Ці блоки перемножують відліки сигналу хп_к і коефіцієнти s(x„.A) згідно з виразом (2.24). У роботі розглядається комп'ютерна модель цифрового фільтра з постійної шириною смуги пропускання (режекції). У цьому випадку смуга пропускання (режекції) має найменшу ширину при заданому порядку фільтра. Тому всі коефіцієнти i(xn.k) дорівнюють одиниці, а їх сума дорівнює 9. Таким чином, знаменник виразу (2.24) представлений у вигляді блоку Constantl (рис. 4.23). Чисельником (2.24) є сигнал суматора Sum2, а операція поділу проводиться за допомогою блоку Product 9. Вихідний сигнал дільника посилюється вдвічі (Gain 1) і направляється на вихід цифрового фільтра.

У цьому розділі розроблено комп'ютерні програми, що моделюють дію адаптивного цифрового ФНЧ на основі теорії нечітких множин і дозволяють в режимі навчання проводити налаштування функцій належності. Також проведено розробку комп'ютерної моделі смугового (режекторного) фільтра із змінною центральною частотою фільтра.

Розглянуті у попередньому розділі комп'ютерні моделіцифрових фільтрів, були застосовані для обробки різних сигналів. Спочатку розглядався випадок, коли цифрові фільтри на основі теорії нечітких множин навчаються на сигналах за відсутності шуму, а перешкоди накладаються тільки на вибірку, що тестує. У другому випадку як навчальну вибірку використовувалися сигнали з додаванням шуму. Далі остаточно глави розглядатиметься лише другий випадок навчання, оскільки він є ефективнішим.

p align="justify"> Характеристики комп'ютерної моделі ФНЧ, розглянутого в даній роботі, порівнювалися з характеристиками моделей фільтрів на основі раніше відомих алгоритмів. Для порівняння використовувалися комп'ютерні моделі цифрового фільтра на основі алгоритму японських учених К. Arakawa та Y. Arakawa та лінійного цифрового фільтра. Далі модель цифрового ФНЧ з адаптивно змінюваними функціями приналежності називатимемо як Ф1, модель лінійного цифрового фільтра як ЛФНЧ, а моделі фільтра з роботи залишимо назву, запропоноване його авторами - SFF (див. гл. 2).

Для дослідження показників ФНЧ застосовувалися фрагменти оцифрованих реальних кардіограм, розміщених на веб-сайті http://www.physionet.org.

Абсолютна похибка обчислень при комп'ютерному моделюванні не перевищує 10"7, що визначається межами абсолютної похибки, що допускається, що встановлюється користувачем.

Як відомо, будь-яка електрокардіограма є графічним відображенням коливання потенціалів на поверхні тіла, обумовлених роботою серця. Крива ЕКГ має характерну форму, що містить в основі так звані зубці (екстремальні точки): Р, Q, R, S, Т. Кожному з цих зубців відповідає певний процес виникнення та проведення електричного збудження у серцевому м'язі.

Найбільш важливим етапоманалізу кардіограми, є аналіз зубців (аналіз передсердного зубця Р та комплексу QRS). Встановлення діагнозу зводиться визначення кількісних ознак захворювань з допомогою форми зубців. Під кількісними ознаками розуміється амплітуда зубців, їх тривалість, часові інтервали між зубцями і т. д. Що стосується форми, то тут інформація про захворювання в основному закладена в наявності розщеплення або розширення вершини. Велике значення має полярність зубців Р та Т.

Карасьов Олег Євгенович

Фізично здійсненні ЦФ, які працюють у реальному масштабі часу, для формування вихідного сигналу в i-й дискретний момент часу можуть використовувати такі дані: а) значення вхідного сигналу в моментi-го відліку, а також деяке число «минулих» вхідних відліків; деяка кількість попередніх відліків вихідного сигналу Цілі числа і визначають порядок ЦФ. Класифікація ЦФ проводиться по-різному в залежності від того, як використовується інформація про минулі стани системи.

Траїсверсальні ЦФ.Так прийнято називати фільтри, які працюють відповідно до алгоритму

де -Послідовність коефіцієнтів.

Число тє порядком цифрового трансверсального фільтра. Як видно з формули (2.138), трансверсальний фільтр проводить зважене підсумовування попередніх відліків вхідного сигналу та не використовує попередні відліки вихідного сигналу. Застосувавши z-перетворення до обох частин виразу (2.138), переконуємося, що

Звідси випливає, що системна функція

є дробово-раціональною функцією z , маєm-кратний полюс приz= 0 і тнулів, координати яких визначаються коефіцієнтами фільтра.

Алгоритм функціонування трансверсального ЦФ пояснюється структурною схемою, наведеною на рис. 2.17.

Мал. 2.17. Схема побудови трансверсального ЦФ

Основними елементами фільтра є блоки затримки відлікових значень на один інтервал дискретизації (прямокутники з символами z -1), а також масштабні блоки, що виконують у цифровій формі операції множення на відповідні коефіцієнти. З виходів масштабних блоків сигнали надходять до суматора, де, складаючись, утворюють відлік вихідного сигналу.

Вигляд представленої тут схеми пояснює зміст терміна "трансверсальний фільтр" (від англ. Transverse-поперечний).

Імпульсна характеристика.Повернемося до формули (2.139) та обчислимо імпульсну характеристику трансверсального ЦФ, здійснивши зворотнеz-перетворення. Легко бачити, що кожна доданка функції H(z) дає внесок, що дорівнює відповідному коефіцієнту , зміщеному на ппозицій у бік запізнення. Таким чином, тут

Такого висновку можна дійти і безпосередньо, розглядаючи структурну схему фільтра (див. рис. 2.17) і вважаючи, що на його вхід подано «поодинокий імпульс» (1, 0, 0, 0, ...).

Важливо, що імпульсна характеристика трансверсального фільтра містить кінцеве число членів.

Частотна характеристика.Якщо у формулі (2.139) провести заміну змінної , то отримаємо частотний коефіцієнт передачі

При заданому етапі дискретизації Аможна реалізувати найрізноманітніші форми АЧХ, підбираючи належним чином вагові коефіцієнти фільтра.

Методи синтезу цифрового фільтра. Найбільшого поширення на практиці синтезу цифрових фільтрів отримали три методи, описаних нижче.

Метод інваріантних імпульсних показників.

В основі цього методу лежить припущення про те, що синтезований ЦФ повинен мати імпульсну характеристику, яка є результатом дискретизації імпульсної характеристики відповідного аналогового фільтра-прототипу. Маючи на увазі синтез систем, що фізично реалізуються, для яких імпульсна характеристика звертається в нуль при t<0 ,отримаємо наступне вираження імпульсної характеристики ЦФ:

де T крок дискретизації за часом.

Слід звернути увагу, що кількість окремих членів у вираженні імпульсної характеристики ЦФ може бути як кінцевим, і нескінченним. Це визначає структура фільтра, що синтезується: імпульсній характеристиці з кінцевим числом відліків відповідає трансверсальний фільтр, в той час як для реалізації необмежено протяжної імпульсної характеристики потрібно рекурсивний ЦФ.

Зв'язок між коефіцієнтом імпульсної характеристики та структурою ЦФ особливо простий для транверсального фільтра. Загалом синтез структури фільтра здійснюється шляхом застосування z-перетворення до послідовності виду наведеного вище. Знайшовши системну функцію H(z)фільтра, слід порівняти її із загальним виразом та визначити коефіцієнти транверсальної та рекурсивної частин. Ступінь наближення амплітудно-частотної характеристики синтезованого ЦФ до характеристики аналогового прототипу залежить від вибраного етапу дискретизації. При необхідності слід обчислити частотний коефіцієнт передачі ЦФ, здійснивши системну функцію H(z)заміну змінної за формулою
, а потім порівняти результат з частотним коефіцієнтом передачі аналогового ланцюга.

Синтез ЦФ з урахуванням дискретизації диференціального рівняння

аналогового ланцюга.

До структури ЦФ, приблизно відповідного відомого аналогового ланцюга, можна прийти, здійснивши дискретизацію диференціального рівняння, що описує аналоговий прототип. Як приклад використання цього методу розглянемо синтез ЦФ, що відповідає коливальній динамічній системі 2-го порядку, для якої зв'язок між вихідним коливанням y(t)та вхідним коливанням x(t)встановлюється диференціальним рівнянням

(2.142)

Припустимо, що крок дискретизації дорівнює  tта розглянемо сукупності дискретних відліків  у 1  і  х 1  . Якщо формулі замінити похідні їх конечно-разностными виразами, то диференціальне рівняння перетворитися на різницеве ​​рівняння

Перегрупувавши доданки, отримаємо:

(2.144)

Різнинне рівняння задає алгоритм рекурсивного фільтра 2-го порядку, який моделює аналогову коливальну систему і називається цифровим резонатором. При відповідному виборі коефіцієнтів цифровий резонатор може виконувати роль частотно-виборчого фільтра, подібного до коливального контуру.

Метод інваріантних частотних характеристик .

Принципово неможливо створити ЦФ, частотна характеристика якого точно повторювала б частотну характеристику деякої аналогової ланцюга. Причина полягає в тому, що, як відомо, частотний коефіцієнт передачі ЦФ є періодичною функцією частоти з періодом, що визначається кроком дискретизації.

Говорячи про подібність (інваріантність) частотних характеристик аналогового і цифрового фільтрів, можна вимагати лише те, щоб весь нескінченний інтервал частот а, що відносяться до аналогової системи, був перетворений у відрізок частот ц цифрового фільтра, що задовольняють нерівності
за збереження загального виду АЧХ.

Нехай K а (р) передатна функція аналогового фільтра, що задається дробово-раціональним виразом за ступенями p. Якщо скористатися зв'язком між змінними zі p можна записати:

. (2.145)

За допомогою цього закону зв'язок між pі zне можна отримати фізично реалізовану системну функцію фільтра, оскільки підстановка у вираз K а (р)дасть системну функцію, яка не виражається у вигляді приватного двох багаточленів. Тому для синтезів фільтрів нижніх частот набула поширення зв'язок виду

, (2.146)

яка також переводить точки одиничного кола, що лежить у площині z, точки мнимої осі на площині p. Тоді

, (2.147)

звідки випливає співвідношення між частотними змінними  аналогової та цифрової систем:

. (2.148)

Якщо частота дискретизації досить велика ( ц T<<1), те, як легко видно з формули (2.147),  а  ц. Таким чином, на низьких частотах характеристики аналогового та цифрового фільтрів практично збігаються. У випадку потрібно брати до уваги трансформацію масштабу по осі частот цифрового фільтра.

Практично процедура синтезу ЦФ у тому, що у функції K а (р)аналогового ланцюга виконується заміна змінної за формулою (2.145). Отримана у своїй системна функція ЦФ виявляється дробово-раціональної і тому дозволяє безпосередньо записати алгоритм цифрової фільтрації.

Запитання для самоперевірки

Який фільтр називається узгодженим.

Що являє собою імпульсна характеристика фільтра.

Що являє собою сигнал на виході узгодженого фільтра.

Які фільтри називають цифровими.

У чому відмінність алгоритмів роботи рекурсивного та трансверсального фільтрів.

Назвіть основні методи синтезу цифрових фільтрів .

Назвіть основні властивості дискретного перетворення Фур'є.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА

АЛГОРИТМИ ФІЛЬТРАЦІЇ СИГНАЛІВВ АСУТП

Ціль.Ознайомлення з найбільш поширеними в АСУТП алгоритмами фільтрації вимірюваних випадкових сигналів, проведення порівняльного аналізу їх точності та особливостей реалізації в ЕОМ.

Завдання

1) для заданих характеристик випадкових сигналів розрахувати оптимальні параметри фільтрів,

2) змоделювати систему фільтрації на ЕОМ та обчислити похибку фільтрації по кожному з розглянутих методів,

3) провести порівняльний аналіз ефективності розглянутих алгоритмів.

Основні положення. 1 Постановка задачі оптимальної фільтрації.Сигнали від вимірювальних пристроїв часто містять довільну похибку – перешкоду. Завдання фільтрації у тому, щоб у тому чи іншою мірою відокремити корисну складову сигналу від перешкоди. Як правило, і корисний сигнал, і перешкода передбачаються стаціонарними випадковими процесами, для яких відомі їх статистичні характеристики: математичне очікування, дисперсія, кореляційна функція, спектральна щільність. Знаючи ці характеристики потрібно знайти фільтр у класі лінійних динамічних систем або у вужчому класі лінійних систем із заданою структурою так, щоб сигнал на виході фільтра можливо менше відрізнявся від корисного сигналу.

Рис.1. До постановки задачі фільтрації

Введемо позначення та поставимо завдання фільтрації точніше. Нехай на вхід фільтра з імпульсною характеристикою до(t) та відповідної (в силу Фур'є перетворення) 0

АФГ W(iω) надходять корисні сигнали x(t) та некореляційна з ним перешкода z(t) (Рис.1). Кореляційні функції та спектральні щільності корисного сигналу та перешкоди позначимо R x (t), S x (t), R z (t) і S z (t) . Потрібно знайти характеристики фільтра k(t) або W(t) так, щоб середньоквадратичне значення різниці ε між сигналом на виході фільтра та корисним сигналом x було мінімальним. Якщо характеристика фільтра відома з точністю до одного або кількох параметрів, треба вибрати оптимальні значення цих параметрів.

Помилка ε містить дві складові. Перша ( ε 1 ) пов'язана з тим, що деяка частина перешкоди все ж таки пройде через фільтр, а друга ( ε 2 ) – про те, що форма корисного сигналу під час проходження через фільтр зміниться. Таким чином, визначення оптимальної характеристики фільтра є пошуком компромісного рішення, що мінімізує сумарну похибку.

Представимо частотну характеристику фільтра у вигляді:

W(iω) = A(ω)exp.

За формулами, що пов'язують спектральні густини випадкових процесів на вході та виході лінійної системи з її частотною характеристикою підраховуємо спектральні густини кожної зі складових помилки.

Для помилки, пов'язаної з пропуском перешкоди, отримаємо

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Спектральна щільність помилки, пов'язаної зі спотворенням корисного сигналу, дорівнює

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Сума цих складових S ε має спектральну щільність

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Якщо врахувати, що

|1 – W(iω)| 2 = 2 + А 2 (ω ) sin 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Середньоквадратична помилка пов'язана із спектральною щільністю виразом

Мінімізуючи S ε (ω ) по f(ω) і А(ω), приходимо до рівнянь

cosf*(ω ) = 1
f*(ω ) = 0

2S z (ω )A(ω) – 2S x (ω) = 0

(2)

Знайденим характеристикам оптимального фільтра відповідає спектральна щільність помилки

Мінімальна середньоквадратична помилка

(3)

На жаль, знайдений фільтр не реалізуємо так як умова рівності нулю на всіх частотах фазо-частотної характеристики означає, що імпульсна характеристика фільтра – парна функція вона відмінна від нуля не тільки за t>0 , але і при t(Рис 2,а).

Для будь-якого фізично реалізованого фільтра справедлива вимога: до(t) = 0 при t (рис. 2, б). Ця вимога слід було б ввести в постановку завдання. Природно, що досяжна помилка σ у своїй зросла б. Завдання оптимальної фільтрації з урахуванням фізичної реалізованості було вирішено.

Мал. 2. Імпульсні характеристики нереалізованого (а) та реалізованого (б) фільтрів

Мал. 3. Спектральні густини корисного сигналуS x (ω) та шумуS z (ω) та амплітудно-частотна характеристика оптимального фільтра А * (ω) при неперекриваються (а) і перекриваються (б)S x (ω) таS z (ω)

М. Вінером. Її рішення значно складніше наведеного вище, тому в цій роботі будемо шукати фільтри, що фізично реалізуються, лише в класі фільтрів, характеристики яких задані з точністю до значень параметрів. Величина ж , розрахована за формулою (3), може бути нижньою оцінкою похибки фільтрації.

Фізичний зміст співвідношення (2,б) ілюструється рис. 3. Якщо спектри корисного сигналу та перешкоди не перекриваються, то А(ω)повинно бути нулю там, де спектральна щільність перешкоди відмінна від нуля, і дорівнює одиниці для всіх частот, на яких S x (ω)>0 . На рис. 3,б показаний, характер А*(ω)у разі коли спектральні щільності сигналу і перешкоди перекривають один одного.

Серед фільтрів із заданою структурою найбільшого поширення знайшли фільтри, засновані на операції ковзного середнього, а також експоненційний фільтр і так званий статистичний фільтр нульового порядку. Експоненційний фільтр є аперіодичною ланкою першого порядку, а статистичний фільтр нульового порядку – підсилювальна ланка. Розглянемо кожен із згаданих фільтрів докладніше.

Фільтр ковзного середнього.Вихід фільтра пов'язаний із його входом співвідношенням

Імпульсна перехідна функція фільтра показано на рис.4, а. Частотні характеристики дорівнюють

Імпульсна характеристика може бути виражена через функцію Хевісайду 1(t)

k(t) = k.

Настроювання параметрів фільтра є коефіцієнт посилення kта пам'ять Т.

Експонентний фільтр(Рис. 4, б). Сигнал на виході визначається диференціальним рівнянням

y/ γ + y = kg

Імпульсна характеристика має вигляд:

Частотні характеристики

Параметрами фільтра є коефіцієнт посилення kта постійна часу, обернена величині γ .

Мал. 4. Імпульсні перехідні функціїk(t) та амплітудно-частотні характеристики А(ω) типових фільтрів: а – поточного середнього; б - експоненційного; в) статичного нульового порядку

Статистичний фільтр нульового порядку. Цей фільтр, як згадувалося вище, є підсилювальною ланкою. Його характеристики

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Вага перераховані фільтри не дозволяють досягти ідеальної фільтрації навіть при спектрах сигналу і перешкоди, що не перетинаються. Мінімізувати помилку σ ε можна, підбираючи параметри k, Т, γ. При цьому потрібні характеристики фільтра А(ω)і f(ω) як функції частоти і параметрів підставити в формулу (1), взяти інтеграл від виразу, що вийшов, який буде функцією параметрів фільтра, і знайти мінімум цього інтеграла за параметрами.

Наприклад, для статистичного фільтра кульового порядку спектральна щільність помилки матиме вигляд:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Інтеграл S ε дорівнює дисперсії перешкоди, помноженої на π . Отримаємо

Врахуємо, що інтеграли у правій частині цієї рівності рівні дисперсіям корисного сигналу, і перешкоди, тож

Умова мінімуму цього виразу по kпризводить до рівності

Після встановлення знайденого значення kу вираз для дисперсії помилки отримаємо:

Фільтри поточного середнього і експоненційного мають по два параметри, що настроюються, і їх оптимальні значення не вдасться так легко виразити через характеристики корисного сигналу і перешкоди, однак ці значення можна знайти чисельними методами пошуку мінімуму функції по двох змінних.

Рис.5 Структурна схема моделювання на ЕОМ системи фільтрації випадкового сигналу

2. Опис системи, що моделюється. p align="justify"> Робота проводиться шляхом моделювання на ЕОМ системи, що складається з наступних блоків (рис. 5).

1. Генератор вхідного сигналу I, що включає генератор випадкового сигналу (ГСС) і два формують фільтри із заданими характеристиками W x (iω) і W z (iω) , на виході яких отримують корисний сигнал x(t) і перешкоду z(t) . Між генератором випадкового сигналу та формуючим фільтром W zвключено ланку запізнення Δ, що забезпечує зсув на два-три такти. При цьому вхід фільтра, що формує перешкоди, та вхід фільтра, що формує корисний сигнал, виявляються некорельованими один з одним.

2. Блок розрахунку кореляційних функцій
.

3. Блок фільтрації (II), що включає власне фільтр
та блок розрахунку похибки фільтрації
.

Корисний сигнал, що генерується в системі x(t)та перешкода z(t) є стаціонарними випадковими процесами, кореляційні функції яких можуть бути приблизно апроксимовані експонентами виду (рис. 6)

(6)

де

Оцінки дисперсій сигналів і розраховують за допомогою блоку (при = 0); параметри α та α z задаються викладачем.

3. Дискретна реалізація безперервних фільтрів.Діяльність використовують дискретні реалізації описаних вище безперервних фільтрів. Крок дискретності t oприймають значно менше, ніж час згасання кореляційних функцій корисного сигналу і шуму. Тому записані вище вирази (1) для підрахунку σ через спектральні характеристики вхідного сигналу і шуму можуть бути використані і в дискретному випадку.

Знайдемо спочатку дискретні аналоги фільтрів, що формують із сигналу, який отримується від ГСС, випадкові процеси з кореляційними функціями (6). Спектральні щільності, що відповідають цим кореляційним функціям, мають вигляд

(7)

Передавальні функції формують фільтрів для випадку, коли дисперсія сигналу на виході ГСС дорівнює одиниці, рівні

Неважко бачити, що

Якщо сигнал на вході кожного з формуючих фільтрів позначити через ξ , то диференціальні рівняння, що відповідають передавальним функціям, записаним вище, мають вигляд

Відповідні їм різницеві аналоги запишуться як;

Таким чином, алгоритм роботи фільтра, що формує, корисний сигнал, має вигляд:

(8a)

Аналогічно для фільтра, що формує перешкоди

(8б)

Аналоги безперервних фільтрів, призначених для виділення перешкоди, мають такий вигляд:

для фільтра ковзного середнього

(9)

де величину lвибирають із умови (l + 1) t о = T;

для експоненційного фільтра

(10)

для статистичного фільтра нульового порядку

у i = kg i (11)

Порядок виконання. 1. Скласти та налагодити підпрограми блоку фільтрації поточної інформації та обчислення похибок фільтрації.

2. Отримати реалізації випадкових процесів на виході формувальних фільтрів та по них знайти оцінки дисперсій корисного сигналу та перешкод, а також кореляційних функцій R x (τ) і R z (τ) . Наближено визначити α хі α zта порівняти з розрахунковими.

3. Розрахувати за S x (ω) і S z (ω) аналітично або на ЕОМ нижню оцінку для середньоквадратичної помилки фільтрації.

4. За формулою (4) знайти оптимальний коефіцієнт посилення статистичного фільтра нульового порядку та відповідне йому значення , що порівнюється з .

5. Використовую один з відомих методів пошуку мінімуму функції двох змінних і складену заздалегідь програму, знайти оптимальні параметри ковзного середнього та експоненційного фільтрів та середньоквадратичні помилки фільтрації. При цьому конкретному поєднанню параметрів фільтра відповідає спектральна густина помилки S ε (ω) , що визначається формулою (1), а за нею знаходять значення після чисельного інтегрування.

6. Ввести в ЕОМ програми фільтрації, визначити експериментально середньоквадратичну помилку для оптимальних та відмінних від оптимальних параметрів фільтрів, порівняти результати з розрахунковими.

7. Провести порівняльний аналіз ефективності різних алгоритмів фільтрації за такими показниками: а) мінімально досяжна середньоквадратична помилка; б) необхідний обсяг оперативної пам'яті; в) час рахунки ЕОМ.

Звіт повинен містити: 1) структурну схему системи (див. рис. 5);

2) підпрограми формують і синтезованих фільтрів;

3) розрахунок оптимальних параметрів фільтрів та відповідних їм значень середньоквадратичної похибки;

4) результати аналізу розглянутих алгоритмів та висновки.

Стенд 6.2. Створення проекту 6.3. Дослідження АСУ ТПна навчальному лабораторному... певних цілейсвоєї діяльності. Цілейдіяльності...