Тривимірний простір: вектори, координати. Чому простір трехмерно

Антропний принцип замість Бога?

Антропним принципом вчені стали іменувати приблизно з середини XX століття зіставлення особливостей нашого світу з можливістю існування в ньому життя і розуму. У вільній і зрозумілішою формулюванні цей принцип стверджує дивовижне явище, а саме, що світ наш створений і існує виключно для того, щоб в ньому міг з'явитися й існувати людина! Іншими словами кажучи, все властивості Всесвіту пристосовані для виникнення розумного життя, оскільки в ній присутні ми, спостерігачі!

Чому ми живемо в тривимірному просторі?

Природа вибрала для нашого існування тривимірний простір (довжина, ширина і висота), хоча деякі фізики вважають, що в реальності наш простір має 11 вимірювань (!). Але 8 з них «згорнуті», тому ми їх не помічаємо. Втім, якщо у «згорнутих» вимірювань геометричні параметри будуть збільшуватися, то колись вони будуть серйозно впливати на динаміку нашого світу. До цього варто додати, що такий важливий явище еволюціонує реальності, як стійкий рух, можливо тільки в тривимірному просторі!

Якби наш простір мало всього два виміри (довжину і ширину), або тільки одне (довжину), то, як всім очевидно, рух в такому просторі було б настільки сковано, що про виникнення життя в ньому не могло б бути й мови. Якби число вимірювань в нашому просторі було більше трьох, то, наприклад, планети не могли б утримуватися біля своїх зірок - вони або впали б на них, або відлетіли б геть! Подібна доля спіткала б також і атоми з їх ядрами і електронами.

Нагадаємо, що сьогодні ми знаємо чотири види основних природних сил: гравітаційні, електромагнітні та внутріядерні - слабкі і сильні.

Так ось, доведено, що навіть найменше їх зміна призведе до суттєвої трансформації нашого Всесвіту! Аналогічні обмеження існують і в співвідношеннях мас електрона і протона. Їх зміна спричинило б за собою непередбачувані наслідки.

  Фактор стабільності - час!

Мало хто знає, що наш простір, строго кажучи, має не три виміри, а чотири! Причому четвертої координатою є ... час!

Найважливіша відмінність її від інших трьох координат полягає в незворотності, тобто час з невідомих нам причин тече тільки в одну сторону - з минулого в майбутнє! І тим не менше без цієї координати в світі не було б розвитку і будь-якої еволюції.

Згідно з сучасними науковими уявленнями, простір, час і матерія були народжені одномоментно в результаті так званого Великого вибуху. Ця ідея досить добре розроблена вченими, хоча як все відбувалося на мікрорівні, в значній мірі залишається неясним.

Зокрема, залишається незрозумілим, чому в результаті Великого вибуху кількість утворилася матерії виявилося трохи більше, ніж антиматерії, хоча начебто їх повинно бути порівну! «Хтось» потурбувався про цю антисиметрії, бо при рівній кількості частинок і античастинок всі вони зникли б (аннигилировали) і ні з чого було б створювати складні системи.

Умови існування білкових тіл

Зрозуміло, що розумне життя може існувати лише на білковій основі, причому в дуже вузькому інтервалі температур. Отже, орбіти життєво важливу планет повинні бути обрані так, щоб середня температура на них не виходила за ці межі! Добре б, щоб ця орбіта була кругової - в іншому випадку зими на цих планетах були б довгими і згубними для всього живого. А надто спекотне літо згубило б залишилися в живих! Більш того, наша Земля теж намертво прикута до своєї орбіти - більшість живих істот на ній не змогло б вижити навіть при зміні її орбіти всього на десяту частку!

Кажуть, що і Місяць зі своїми припливами і відливами вкрай необхідна для розвитку розумного життя на Землі. Але ж висловлювалося припущення, що Місяця колись не було у нашої планети. Кажуть, «хтось» її сюди притягнув! Цей факт підтверджується, зокрема, дуже ретельної «установкою» Місяця на земній орбіті: діаметр її в 200 разів менше діаметра Сонця і розташована вона в 200 разів ближче до нас. В результаті в період повного сонячного затемнення диск Місяця точно накриває диск Сонця і ми можемо бачити нічне небо серед білого дня! «Комусь» було потрібно показати нам цю дивовижну картину!

«Підозріла» мовчання космосу

Чи не символізує воно неминучість згубного майбутнього цивілізацій, які пройшли шлях нашої планети? Спробуємо оцінити шанси застати когось із них, як то кажуть, в доброму здоров'ї. Для цього розглянемо нашу зоряну систему, Галактику, що містить, як вважається, близько 100 мільярдів зірок.

Наше Сонце запалилося 5 мільярдів років тому і за цей час біля нього, на планеті Земля, зародилася і дожила до наших днів розумне життя. Однак припустимо, що близько інших зірок життя виникала набагато раніше - скажімо, 10 мільярдів років тому. Тоді, після досягнення відповідного рівня розвитку і в міру погіршення середовища існування, тодішня цивілізація вирішить колонізувати навколишній її простір для заселення своїми громадянами. З цією метою вона відправить в різні боки три величезних космічних корабля з тисячею поселенців і необхідними припасами і технікою на кожному.

До найближчої зірки шлях корабля, що летить зі швидкістю 10 тисяч кілометрів на секунду (!), Займе сто років! Дамо поселенцям ще 300 років на облаштування на новому місці і дочекаємося моменту, коли вони відправлять свої кораблі до наступних зірок. При таких «східчастих» польотах тодішня цивілізація заселить всю Галактику за 20 мільйонів років! Причому ця цифра явно занижена, оскільки насправді не представимо багато часу піде на пошуки відповідних планет. Зрозуміло, що викладений сценарій можна вважати абсолютно казковим, оскільки в ньому фігурують абсолютно фантастичні терміни. А чим більше термін, тим більше шансів зустрітися з непередбачуваними подіями.

Всесвіти можуть бути різними!

Весь світ, що виник після Великого вибуху, в багато разів перевищує ту його частину, яку ми можемо побачити в телескопи. Тому сьогодні вчені допускають існування всесвітів зі своїми наборами фундаментальних параметрів і законів, і ми їх не бачимо виключно через гігантських космічних відстаней.

А що стосується антропного принципу, то він почав широко обговорюватися в середині минулого століття після виходу в світ книги американського вченого В. Картера «Збіг великих чисел і антропологічний принцип у космології». Автор так пояснив цей принцип: «Всесвіт повинна бути такою, щоб у ній на деякому етапі еволюції могли існувати спостерігачі». Або: «Наші спостереження повинні бути обмежені умовами, необхідними для нашого існування як спостерігачів».

Тривимірний світ, в якому ми не живемо

Ще стародавні греки перетворили математику з емпіричної науки в дедуктивну, зажадавши виведення доказів її тверджень з основних понять і виключивши посилання на досвід в якості аргументу.

Чистий математика досліджує форми і відносини в відволікання від матеріального змісту. Її безпосереднім предметом виявляються, наприклад, не ті чи інші тіла кулястої форми, а «ідеальний куля», не ті чи інші сукупності предметів і навіть не окремі числа, а цілі числа взагалі і т. П.

Однак при всій абстрактності цієї науки ніхто з математиків, мабуть, не сумнівався в тому, що всі їх поняття, теореми і формули виражають реальні кількісні та просторові відносини. Математична геометрія була теорією реального простору, як пізніше механіка стала теорією руху

Математика - наука, що вивчає
   кількісні та просторові
   форми і відносини дійсності
   Академік А. Д. Александров

Навколишній нас світ тривимірний. Ми звикли до цієї думки з народження - кожна людина знає, що таке висота, довжина і ширина, три основні виміри навколишнього нас простору. Залежно від традицій, прийнятих в різних країнах, розміри предметів вимірюють в метрах, футах, чи, льє і інших еталонних одиницях довжини. Для наших подальших міркувань виберемо трохи незвичайну одиницю довжини. Нею буде служити один світловий рік(1 св. М), т. Е. Відстань, яку проходить променем світла за один календарний рік. У традиційних заходах довжини це становить неймовірну величину - приблизно 9,46 10 12 кілометрів.

Якщо з навколишнього простору подумки вирізати куб з ребром, рівним 1 св. році, то всередині благополучно розміститься будинок, в якому ми живемо, земну кулю, Сонячна система ... Загалом, все, що необхідно для нормального життя людини. Для зручності назвемо розглянутий нами куб одиничним кубом.  А тепер відзначимо наступний очевидний факт. Незважаючи на величезні розміри, наш одиничний куб - лише дрібна частка навколишнього світу.

Такий уявний одиничний куб можна вирізати в будь-якій точці простору. При цьому можна стверджувати, що два куба, вирізані в різних точках простору, виявляться однаковими. Це і є основна ідея так званого евклидова різноманіття,  згідно з якою будь-яка його точка оточена кубом відповідних розмірів. Більш точно можна сформулювати наступне визначення. Тривимірним евклідовим різноманіттям називається безліч М 3, будь-яка точка якого є центром куба, що повністю складається з точок даної множини.

До речі сказати, в цьому визначенні розміри самого куба не задаються - зовсім не обов'язково використовувати куби великих розмірів. З таким же успіхом можна стверджувати, що кожна точка міститься в кубі, ребро якого не перевищує по довжині, скажімо, один мікрон (10 -6 см).

Все сказане вище коротко можна виразити наступними словами: оточуючий нас світ є тривимірним евклідовим різноманіттям. А тепер спробуємо відповісти на наступне питання: як влаштований світ за межами одиничного куба, в якому знаходиться наш будинок - наша Сонячна система?

Тривимірний тор та інші

Якщо на хвилину уявити, що оточує нас нескінченно в усіх напрямках, то відповідь на питання про будову навколишнього світу дасть наступна теорема Адамара:

«Нескінченно протяжне в усіх напрямках тривимірне евклідів різноманіття М 3  збігається з евклідовому простором E 3».

Евклід простір Е 3  з прямокутною системою координат всім добре відомо, тому не будемо детально зупинятися на вивченні його властивостей.

Для того ж, щоб зробити наші міркування більш змістовними і цікавими, припустимо інший варіант: навколишній світ замкнутий, т. Е. Має кінцеві розміри і не має краю. Іншими словами, задамося питанням, як влаштовані замкнуті тривимірні евклідові різноманіття, або, іншими словами,   евклідові форми.  Повна відповідь на це питання дає теорема, доведена Дж. Вольфом (1982):

Існує рівно десять тривимірних евклідових форм. Причому шість з них представляють собою орієнтуються, а інші чотири - неоріентіруемие різноманіття.

Все Евклідовому форми будуються схожим чином, єдине - для побудови деяких з них потрібно використовувати куб, а для інших - правильну шестикутну призму.

Першою і найбільш відомої евклідової формою є своєрідний аналог знайомого всім   двомірного тора - тривимірний тор. Позначимо це безліч (куб з попарно ототожнення гранями) через Т 3. Ще однією евклідової формою є так званий скручений тривимірний тор, позначений відповідно як Q 3. А тепер проведемо простий фізичний експеримент, який покаже, що різноманіття Т 3  і Q 3  різні, причому обидва відрізняються від евклідового простору Е 3.

Для цього в центрі грані А тривимірного тора помістимо космічний корабель, що летить зі швидкістю світла, і змусимо його стартувати в вертикальному напрямку. Рівно через рік космічний корабель, продовжуючи рухатися по прямій, повернеться у вихідну точку. Тепер ця точка буде знаходитися в центрі грані А ', яка, за умовою, ототожнена з межею А. В результаті експерименту виявимо, що в тривимірному торі Т 3  існує замкнута пряма лінія l  довжиною в один світловий рік.

Поставимо ще один аналогічний експеримент. Змусимо космічний корабель стартувати з точки у, що лежить в межі А  на відстані 1 км від її центру. Через рік корабель благополучно повернеться в точку у. Висновок з другого експерименту - через точку у  проходить замкнута пряма довжиною 1 світловий рік, паралельна прямій   l.

Тепер обидва описаних експерименту проведемо в скрученому торі Q 3. Перший експеримент дасть абсолютно той же самий результат, що і раніше. Однак у другому експерименті він буде зовсім іншим. Корабель, що стартує з точки у, Через один рік досягне точки z, Яка лежить в межі А'-А і діаметрально протилежна точці у  щодо центру цієї межі. Політ по прямій продовжиться і триватиме ще один рік, після закінчення якого корабель повернеться в точку у.

Таким чином, в Q 3  через точку у  проходить замкнута пряма довжиною 2, паралельна прямій   l. Отже, різноманіття Т 3  і Q 3  різні, і обидва відрізняються від простору Е 3, В якому немає замкнутих прямих ліній.

Наступна евклидова форма - заповнена пляшка Клейна  (різноманіття До 3) - на відміну від попередніх є неоріентіруемой. Доведемо це. Для цього повторимо експеримент з космічним кораблем, що стартує з центру межі А, Але додатково забезпечимо ніс корабля пропелером, з постійною швидкістю обертається за годинниковою стрілкою (якщо спостерігати за ним з кабіни пілота). Припустимо, що запас палива у корабля досить великий і пропелер буде обертатися протягом року аж до того часу, коли корабель, завершивши подорож по замкнутій прямий l, Повернеться у вихідну точку. У момент, коли корабель знову опиниться в точці старту, пілот з подивом виявить, що пропелер обертається проти годинникової стрілки! (Звичайно, маються на увазі ті години, які пілот забув на старті.) Останнє означає, що різноманіття До 3  - неоріентіруемо і, отже, відрізняється від побудованих раніше евклідових форм Т 3і Q 3.

На закінчення зазначимо, що розміри Сонячної системи (її діаметр дорівнює приблизно 124 10 9 км) малі в порівнянні з розмірами різноманіть, побудованих вище на основі лінійного куба. Вона може бути розташована як всередині Т 3, Q 3, До 3, Так і в будь-який інший евклідової форми. При цьому для обчислення відстаней, що не перевищують 1 св. рік, ми можемо користуватися звичайною евклідової геометрією і навіть не здогадуватися про те, що навколишній нас світ замкнутий. В даний час людство не має в своєму розпорядженні космічними кораблями, літаючими зі швидкістю світла. Це означає, що зараз неможливо здійснити глобальні експерименти, подібні описаним вище, і, нарешті, встановити, в якому ж з евклідових світів ми живемо.

різноманітні різноманіття

Як вже було відмічено, всі розглянуті вище різноманіття мають евклідової геометрією. Що це означає і які ще геометрії існують?

Найбільш відомими і вживаними в загальнолюдської практиці є евклидова, сферична  і гіперболічна геометрії. Нагадаємо, що сферичну геометрію іноді називають геометрією Рімана, А гіперболічного - геометрією Лобачевського. У тривимірному просторі, крім трьох зазначених, існує ще п'ять так званих синтетичних геометрій.

Відповідно до того, які геометричні закони діють на тривимірному різноманітті, будемо називати його відповідно евклідовим, сферичним, гіперболічним або синтетичним.

Евклідові різноманіття ми вже розглянули вище. Що до інших, то більше двадцяти років тому У. Терстон (1978) довів чудову теорему:   майже всі тривимірні різноманіття є гіперболічними, тобто підпадають під дію законів геометрії Лобачевського. За цей результат в 1983 році він був удостоєний Філдсівської премії - найпрестижнішої нагороди для математиків.

Сферичні різноманіття бувають як тривимірні, так і багатовимірні (Вольф, 1982). У просторі будь-якої розмірності існує кінцеве число типів таких різноманіть. Синтетичних різноманіть дуже мало (Thurston, 1978; Dunbar, 1981; Терстон, 2001) на відміну від решти класу гіперболічних різноманіть. Останній невичерпно широкий і класифікація його до теперішнього часу не завершена.

сферичні різноманіття

Всі тривимірні сферичні різноманіття - орієнтується. Це означає, що з будь-якої замкнутої траєкторії не літав космічний корабель з безперервно обертається пропелером, після повернення в точку старту його пропелер обертається в ту ж сторону, що і в момент старту.

Найпростішим сферичним різноманіттям є тривимірна сфера S 3. Її можна визначити як межу чотиривимірного кулі або, що те ж саме, як безліч точок в просторі Е 4, Віддалених від центру на однакову відстань. За допомогою стереографической проекції можна встановити взаємно однозначну і взаємно безперервне відповідність між точками тривимірної сфери S 3  і точками безлічі Е 3  + (∞), отриманого додаванням до звичного нам евклидову простору Е 3  нескінченно віддаленої точки ∞. Таким чином можна вважати, що S 3 = Е 3 + {∞}.

Другим прикладом сферичного різноманіття служить тривимірне проективне простір Р 3. Його можна легко уявити собі у вигляді кулі, діаметрально протилежні точки якого ототожнені.

Третій, і мабуть, самий нетривіальний приклад сферичного різноманіття - сферичне простір додекаедру Пуанкаре або, для стислості, сфера Пуанкаре.

Сфера Пуанкаре дивним чином пов'язана з самими різними розділами математики - геометрією, топологією, теорією груп, теорією катастроф, теорією вузлів і іншими (Кірбі, Шарлеман, 1982).

Всі інші сферичні різноманіття, одержувані за єдиною схемою, являють собою так звані лінзові  і призматичні простору.

гіперболічні різноманіття

Перше тривимірне замкнутий гіперболічне різноманіття було побудовано німецьким математиком Ф. Лебеллем в 1931 р Однак побудова його було досить складним, тому через два роки Х. Зейферт і К. Вебер запропонували елегантну конструкцію гіперболічного простору додекаедру.

З точки зору математики найбільш складна частина проблеми побудови полягає в доказі існування цього гіперболічного додекаедру в просторі Лобачевського. Позитивна відповідь на це питання дає фундаментальна теорема Е. М. Андрєєва (1970), в якій сформульовані необхідні та достатні умови для існування опуклих гіперболічних багатогранників. Ця теорема є одним з наріжних каменів сучасної теорії гіперболічних різноманіть, створеної У. Терстоном.

Конструюємо різноманіття з багатогранників

Розглянемо прямокутний багатогранник Р, все двогранні (і плоскі) кути якого рівні 90 °. В евклідовому просторі в якості такого многогранника можна взяти куб, в сферичному - тетраедр, а в гіперболічному - шестикутну призму Лебелля, Бокова поверхня якої складається з 12-ти п'ятикутників.

З теореми Андрєєва слід, що будь-який багатогранник, у якого немає трикутних і чотирикутних граней, а в кожній вершині сходиться рівно по три ребра, може бути реалізований як прямокутний багатогранник в просторі Лобачевського. Шестикутна призма Лебелля, очевидно, задовольняє цим умовам.

Для побудови гіперболічних різноманіть використовується спосіб, що полягає в забарвленні суміжних граней багатогранника в різні кольори і подальшого ототожнення відповідних граней, забарвлених в один колір, у кількох однакових примірників багатогранників. Такий спосіб побудови різноманіть був вперше реалізований Ф. Лебеллем (Loebell, 1931) для шестикутної призми, японським математиком М. Такахаші (Takahashi, 1985) - для правильного прямокутного додекаедру і А. Ю. Весніна (1987) - для довільного прямокутного багатогранника Р.

При цьому відзначимо, що все різноманіття, побудовані за забарвленням багатогранника в чотири кольори, які орієнтуються. Однак доведено, що фарбуючи межі багатогранника Р  в п'ять, шість або сім кольорів, за аналогічною схемою можна побудувати і неоріентіруемие різноманіття (Mednykh, 1992).

  Зупинимося ще на одну властивість прямокутних багатогранників. нехай D  - правильний прямокутний додекаедр в просторі Лобачевського. Іспанська математик Х.-М. Монтезінос (Hilden et al., 1987) довів наступну чудову теорему:

«Будь-яке замкнуте тривимірне різноманіття може бути отримано з кінцевого числа примірників багатогранника D  попарним ототожненням їх граней ».

Відзначимо, що в теоремі Монтезіноса всі грані склеєних багатогранників - конгруентний, а все ребра мають однакову довжину. При цьому кожне ребро оточене чотирма, двома або одним додекаедрів. Першу ситуацію легко уявити: чотири прямокутних додекаедру склеєні один за одним навколо загального ребра і утворюють сумарний кут, рівний 4 90 ° = 360 °. У другому випадку пара суміжних граней одного додекаедру ототожнюється з парою суміжних граней іншого додекаедру. Сумарний двогранний кут навколо ребра, що належить двом додекаедрів, в цьому випадку дорівнює 2 90 ° = 180 °. Третій варіант легко створити, ототожнюючи суміжні грані одного додекаедру поворотом на кут 90 °.

Наявність ребер другого і третього типу перетворює різноманіття в різноманіття з особливостями, або орбіфолд. У цьому випадку зазначені ребра утворюють сингулярне безліч  орбіфолда. Зауважимо, що всюди, крім сингулярних ребер, різноманіття має геометрією Лобачевського.

тривимірні орбіфолди

евклідові орбіфолди

Для будь-якого тривимірного евклідового орбіфолда існує фундаментальна безліч - вигнутий багатогранник, з якого заданий орбіфолд можна отримати, попарно ототожнюючи (склеюючи) певні його межі.

Прикладами евклідових орбіфолдов можуть служити так звані Борромееви кільця  або тривимірна сфера з сингулярним безліччю вузол   «Вісімка».

Всього існує 230 замкнутих тривимірних евклідових орбіфолдов - по числу кристалографічних груп, відкритих в кінці минулого століття російським ученим Е. С. Федоровим. Будова евклідових орбіфолдов було повністю описано в докторській дисертації В. Данбар, захищеної в 1981 р в Прінстонському університеті - найбільшому математичному центрі світу.

сферичні орбіфолди

Сингулярним безліччю сферичних орбіфолдов може служити так званий   раціональний вузолабо зачеплення. Їм може виявитися також заузленний граф, з кожної вершини якого виходить за три ребра. Зокрема, сингулярним безліччю сферичного орбіфолда буде скелет тетраедра (ребра + вершини), розташований в тривимірній сфері.

При цьому слід мати на увазі, що сильні заузліванія тетраедра можуть зіпсувати сферичну геометрію і змусити орбіфолд володіти евклідової, гіперболічної або однієї з синтетичних геометрій.

Нещодавно австралійцями професором К. Ходжсоном і його учнем Д. Хеардом створена комп'ютерна програма, що дозволяє обчислювати обсяги заузленних графів, вкладених в тривимірну сферу (Hodgson and Heard, 2005). Повна класифікація тривимірних орбіфолдов у всіх геометрії, крім гіперболічної, зроблена в роботах У. Данбар. Як і в разі різноманіть, гіперболічна геометрія є найбільш багатою, і повний опис орбіфолдов в ній до цих пір ніхто не почув.

гіперболічні орбіфолди

  З теореми Монтезіноса слід, що кожне тривимірне різноманіття може бути перетворено в гіперболічний орбіфолд, якщо всередину його помістити відповідне сингулярне безліч. Оскільки існує нескінченно багато різних різноманіть, це означає, що існує також нескінченно багато гіперболічних орбіфолдов.

Один з найпростіших гіперболічних орбіфолдов - тривимірна сфера з сингулярним безліччю Борромееви кільця з індексом сингулярності 4. Інший приклад - сильно заузленний тетраедр, все ребра якого мають індекс сингулярності два. Доказ таких фактів зазвичай досить складно і може бути проведено за допомогою теорем про геометризації, отриманих У. Терстоном, його учнями і послідовниками. Загальний принцип докази полягає в наступному: якщо орбіфолд не є евклідовим, сферичним або синтетичним і задовольняє деяким простим геометричним умовам, то він - гіперболічний.

Зміни, що відбулися в математиці за останні більш ніж півтора століття, не тільки неозора розширили її зміст, а й змінили його принципово. У предмет математики зараз входить будь-яка структура, яку можна досліджувати шляхом логічного міркування з достатньою строгістю і багатством висновків. Чи знайде вона застосування і прообраз в дійсності - це вже питання не до математики.

Спочатку хочу сказати спасибі за коментар в попередньому пості з приводу тетракуба. Його довжину слід взяти рівної 299792458м (стільки світло проходить за секунду). Це буде правильно для куба будь-якого обсягу щоб він став правильним.

А тепер до справи. І не критикуйте особливо картинки, сам в Пейнті малював більшість).

Хотілося б почати з короткого повторення першого поста, так як це необхідно для розуміння наступних міркувань.

Для початку розділимо поняття «вимір» і «n-мірний світ». Виміром ми називаємо пряму (координатну вісь), таку що всім точкам можна поставити у відповідність точки на цій прямій. Наприклад, вимірами можна назвати осі в координатної площини. N-мірний світ позначає світ, в якому кожній його точці можна приписати всього n координат, тобто має n вимірювань.

Розглянемо нульмерние світ - точку, яка не має координат. Якщо поставити нескінченне число нульмерние в ряд, вийде лінія - одновимірний світ, який має довжину. У ньому Кожному нульмерние світу буде відповідати координата в першому вимірі. Повторимо, одновимірний світ складається з нескінченної кількості нульмерние світів.

Тепер розглянемо площину - двовимірний світ. Його можна представити у вигляді нескінченної кількості ліній (одновимірних світів), причому вони можуть бути як паралельні, так і перетинатися під різними кутами.

Як уже очевидно, простір складається з площин, які також можуть бути паралельні, перпендикулярні або перетинатися під різними кутами. Всі ці світи прості і зрозумілі нам.

Але що ми можемо сказати про чотиривимірному світі? Як ми вже з'ясували, він повинен складатися з безлічі тривимірних світів, з безлічі просторів. А тепер подумаємо про те, що в кожен момент часу простір змінюється. Щомиті простір вже нове, хоча і схоже на попереднє. Таким чином, ми можемо говорити, що живемо в ЧОТИРИВИМІРНОМУ світі, так як протягом життя ми проходимо нескінченну кількість просторів, які змінюють один одного протягом часу. Час же буде четвертим виміром цього світу, адже кожному простору ми може поставити у відповідність тимчасову координату. Начебто теж не складно. Йдемо далі.

Виходячи з цієї логіки, пятімерний світ повинен складатися з безлічі чотиривимірних світів. Тут-то ми вже не можемо уявити це відразу, потрібен аналіз складніше.

Популярні зараз стандартна модель і теорія суперструн ділить вимірювання на просторові і тимчасові. Сучасна М-теорія говорить про існування 10 просторових вимірів. Справа навіть не в нерозумінні ідеологами теорії струн СУТТЄВО вимірювань і багатовимірних світів, не в тому, що їх чомусь 10, а в тому, що воно говорить, що «скорочення» виміру мають просторової протяжності, відмінну від нуля. Виходить, що координата в цих вимірах залежить від координати в трьох вимірах. Це взагалі суперечить тому, що вимірювання повинні бути не пов'язані між собою, і що можна пересуватися в одному з них, залишаючись нерухомим у інших. Це хороша спроба пояснити будову світу, але вона занадто складна, рівняння теорії струн іноді не в змозі вирішити навіть суперкомп'ютери, а суть досліджень зводиться до того, що на основі вже діючих законів з'ясувати ФОРМУ згорнутих вимірювань, щоб за допомогою цієї форму пояснити ці ж закони .

Що таке чотиривимірний світ? Це весь світ, в якому ми живемо, який був задовго до існування людства і буде існувати ще невідомо скільки, який триває від так званого «Великого вибуху» і йде в нескінченність (є думки, що просторово всесвіт обмежена, поки не будемо порушувати це питання ) і вічність. Якщо пятімерний світ складається з безлічі чотиривимірних світів, це означає, що воно складається з паралельних або пересічних з нашим світів.

У природи існують закони, які, як ми знаємо, незмінні. Тобто якщо взяти простір з нашого чотиривимірного світу в якій-небудь ранній момент часу (нехай це буде момент Т), і рухатися вперед з тимчасового виміру, використовуючи дані закони, ми ЗАВЖДИ отримаємо той простір, в якому ми зараз знаходимося. Навіть всі наші думки і дії обумовлені хімічними і електростатичними реакціями в нашому мозку, які працюють за тими ж законами, за якими працюють всі взаємодії у всесвіті.

Але що буде, якщо в момент часу Т ми застосуємо інші закони, наприклад, всього лише змінивши те, що гравітаційна взаємодія змушує маси не зближує, а відштовхують, а інші закони залишимо незмінними. Тоді, слідуючи за часом вперед, ми отримаємо зовсім інший світ, в якому може не бути людства взагалі, а якщо виникнуть розумні форми життя, вони будуть намагатися пояснити, чому все тіла відштовхуються точно так же, як ми намагаємося пояснити, чому вони притягуються. Завдяки такому уявного експерименту, ми представили інший чотиривимірний світ, який перетинається з НАШИМ в точці з координатою Т в четвертому вимірі.

Розглянемо, що перетинаються. Щоб вони перетнулися, вони повинні знаходиться в ПРОСТОРІ (в тривимірному світі), самі вони двовимірні, а перетнуться вони по ЛІНІЇ, по одномерному світу.

Так само і чотиривимірні світи, перебуваючи в п'ятому, можуть (чисто теоретично) перетинатися по тривимірним світів. Тобто, використовуючи різні закони з різних тривимірних положень ми можемо з протягом часу прийти до ОДНОМУ І ТОМУ же тривимірному світу. Наприклад, якщо скинути ядро ​​з вежі і вистрілити ядром з бійниці в цій вежі, в будь-який момент часу (не обов'язково один і той же для двох випадків) обидва ядра будуть знаходиться в одному і тому ж положенні, незважаючи на те що спочатку вони знаходилися в різних положеннях і до них були застосовані різні сили.

В 1 прикладі є 2 паралельних чотиривимірних світу. У другому прикладі 2 світу перетинаються в точці (в нашому випадку, чотиривимірні світи мають одну однакову просторову структуру в певний момент часу). У третьому ж прикладі існує світ, який нескінченно переходить сам у себе завдяки його законам, та ще й перетинається з іншим в двох точках.

А тепер подумайте над прикладом чотиривимірного світу, який буде абсолютно завжди ідентичний нашому, але в якому будуть діяти зовсім інші закони фізики. На перший погляд, це неможливо, адже якщо взяти один і той же тривимірний світ і застосувати до нього різні закони, ми отримаємо абсолютно різні чотиривимірні вимірювання. Але такий приклад існує. Досить просто в НАШОМУ чотиривимірному світі рухатися не вперед в часі, а тому. Очевидно, то кожному положенню простору в такому світі буде відповідати простір в нашому звичному світі.

А тепер розглянемо деякі постулати, які будуть спостерігатися в цьому новому світі, який тотожно дорівнює нашому. Візьмемо, наприклад, чотири положення з сучасного світу, які визнані більшістю фізиків:

1) Всесвіт збільшується

2) Гравітація змушує тіла притягатися

3) Тіло, на яке не впливають сили, зберігає інерційний рух

4) Щоб розірвати зв'язок, потрібно витратити енергію, а коли зв'язок створюється, енергія вивільняється

А тепер зіставимо кожному положенню з нашого світу становище тотожного нашому світу, де час тече навпаки

1) Всесвіт буде звужуватися, так як ми йдемо вниз в часі

2) З гравітацією все не так очевидно. Наприклад, якщо кинути кулю з літака, він буде все швидше і швидше летіти до землі, а потім прийде в стан спокою на землі. Розглянемо цей процес навпаки в часі. Куля під впливом гравітації спочатку з положення спокою різко злітає, і з набором висоти все повільніше і повільніше летить вгору. З цього ми можемо зробити висновок, що в світі, протилежному нашому, гравітація змушує тіла відштовхуватися. Але тоді подивимося на людину, що йде в магазин. Якщо подивитися на цей процес у зворотну сторону, то людина так само буде йти з магазину, притягаючи до землі, і не відлітаючи від неї під дією гравітації. Тобто в цьому випадку гравітація змушує тіла притягує. З двох ситуацій ми отримали абсолютно різні висновки, з чого випливає, що закони в цьому світі будуть не протилежні нашим, вони просто будуть ІНШИМИ, що не полярно протилежними.

3) Розглянь політ камінчика в космосі. Якщо представляти цей процес навпаки, то камінчик так само буде летіти в космос. Цей закон ЗБЕРІГАЄТЬСЯ в протилежному нашому світі.

4) Уявімо, що каратист розбиває цеглу. Він витрачає енергію, щоб зруйнувати внутрішній зв'язок цегли. Розглянемо цей процес у зворотну сторону: цегла збирається в єдине ціле і каратист отримує енергію. Отримали той же самий закон, в якому при утворенні зв'язку звільняється енергія. Цей закон також зберігається.

Таким чином, в новому світі деяких законів нашого світу зберігаються (3,4) деякі змінюються на протилежні (1), а деякі перетворюються в такі, які ми не можемо відразу описати (2). Якби в такому світі існувала цивілізація, то вона б постаралася знайти і швидше за все знайшла б пояснення всіх цих процесів, але для нас це не принципово. Такі чотиривимірні світи, в яких з різних положень з разними законами ми будемо отримувати одні і ті ж структури простору, ми будемо називати збігаються.

Таким чином, п'ятий вимір - це ЗАКОНИ ФІЗИКИ. І дійсно, в стандартній системі координат все осі повинні бути перпендикулярні. Тоді кожній точці в пятимерном світі ми дійсно можемо поставити у відповідність 3 просторових координати, одну тимчасову, а також п'яту координату, яка буде позначати ЗАКОНИ, які включені до цієї точки. Зауважимо, що деякі парадокси, які особливо уважні можуть знайти в такій системі координат, виникають унаслідок СПРЯМОВАНОСТІ нашого чотиривимірного світу (час для нас іде вперед, а уповільнити його шляхом величезної просторової швидкості немає можливості у більшості з нас).

Ще більш уважні можуть сказати, що самі закони можна розбити на нескінченно велику кількість вимірювань. Наприклад, кожній силі взаємодій з нескінченно можливої ​​кількості цих сил можна поставити у відповідність нескінченно велике напрямок впливів. Потім кожному набору сили і напряму можна поставити у відповідність нескінченне число можливих елементарних частинок. Так і навпаки, кожному набору елементів відповідає нескінченність напрямків, а кожному напрямку нескінченність сил і т.д. Таким чином, ми можемо виділити замість п'ятого виміру нескінченну кількість вимірювань, незалежних один від одного.

Що може пояснити ця теорія? Вона може пояснити те, що закони фізики не звідки не взялися. Вони просто такі, які вони є, є нескінченно велика кількість комбінацій інших законів в інших світах, до яких, може, за допомогою технологій, а може і за допомогою еволюції, людство коли-небудь отримає доступ.

Задавайте свої питання! Будь-яка критика вітається крім "ти неправий, а я прав, і взагалі, все не так". Наступна стаття буде про теорію нескінченної вкладеності матерії, буде досить цікаво)

Кожна дитина з перших же днів свого життя дізнається, що навколишній світ - тривимірний. У предметів є довжина, ширина і висота. З 8 маленьких кубиків можна скласти кубик з ребром в два рази довше. Все це пізнається з дитинства.

З точки зору фізика тривимірність нашого простору може бути доведена експериментальною перевіркою закону Кулона: той факт, що сила між двома точковими зарядами падає з відстанню за законом 1 / r  2 - є ні що інше, як прояв тривимірності нашого простору. Дійсно, для визначення напруженості електричного поля (і, отже, сили взаємодії зарядів) можна виходити з концепції силових ліній поля, густота яких якраз і дає напруженість поля. У разі одного точкового заряду, лінії поля починаються на заряді і изотропно йдуть на нескінченність. Тоді, оскільки кількість ліній, які перетинають довільну сферу радіусом r, Постійно, то щільність ліній, а значить і напруженість поля, обернено пропорційна площі поверхні сфери, тобто обернено пропорційна квадрату відстані від заряду.

Для перевірки тривимірності простору на дуже малих відстанях, на ядерних масштабах легко перевірити тривимірність, порівнюючи маси і радіуси різних ядер: маса повинна бути пропорційна r 3 .

На ще більш малих масштабах можна вимірювати силу електричного взаємодії в зіткненнях електронів - просто вимірюючи їх формфактор. Тобто, закон Кулона тут - практично єдиний засіб перевірки тривимірності.

Тут може виникнути розумне питання: а навіщо, власне, треба перевіряти тривимірність простору? Хіба це і так не очевидно?

Компактификацією НА ГРАНИЧНО малих відстанях.

Вся справа тут в тому, що на гранично малих відстанях структура нашого простору-часу може бути зовсім інша. В даний час є безліч теоретичних конструкцій, яким вдається вивести багато властивостей нашого, "низькоенергетичного" світу, виходячи з того, що при високих енергіях (на дуже малих відстанях) наш простір-часу не трехмерно, а 10-, 11- або ще більш багатовимірний. Ми не будемо тут заглиблюватися в суть цих теорій. Скажемо тільки, що так виходить з-за того, що геометрія таких багатовимірних просторів набагато багатше звичної нам і іноді дозволяє "природним" шляхом вивести властивості всіх фундаментальних взаємодій (природа яких, як ми тепер вже розуміємо, теж у багато чисто геометрична).

Для нас важливіше те, як ці теорії пояснюють відсутність проявів додаткових вимірів в звичайному житті. У цих теоріях стверджується, що в силу деяких причин "зайві" вимірювання компактифицированного, замкнулися самі на себе, згорнулися на дуже малих відстанях. Щоб зрозуміти це, уявіть собі зовнішню поверхню тонкого гумового шланга: маленький світлячок, що повзає по ньому, зрозуміло, пересувається по двовимірної поверхні. Однак якщо ми будемо спостерігати за вогником здалеку, то нам буде здаватися, що він робить тільки одномірне руху, тільки уздовж кривої (уздовж шланга). Другий вимір існує, але воно замкнуто саме на себе. Мікроскопічно рух по ньому можливо, але воно не буде відображатися на жодних спостережувані явища.

Приблизна така ж картина має місце і в цих теоріях. Однак типовий масштаб, на якому повинні бути згорнуті додаткові виміри, неминуче виявляється порядку планковской довжини 10 -33 см. І тому, навіть якщо ці теорії правильно описують світ, і такі додаткові виміри і справді існують, їх експериментальне спостереження, мабуть , не представляється можливим, принаймні, в найближчому майбутньому. (Хтось підрахував, що для спостереження цих ефектів треба побудувати прискорювач розміром з галактику).

Компактификацією на міліметровому МАСШТАБІ.

Насправді, ідея введення додаткових вимірів і подальша їх компактификацією не нова - перші спроби побудувати об'єднану теорію електромагнітних і гравітаційних взаємодій на основі 5-мірного простору-часу були зроблені ще на початку нашого століття. З тих пір багато чого було зрозуміло і напрацьовано, але завжди залишалося одне - компактификацією додаткових вимірів відбувалася на експериментально недосяжному масштабі порядку планковской довжини.

У минулому році було раптом усвідомлено, що це не єдина можливість. У двох роботах вчених зі Стенфордського Університету була запропонована теоретична конструкція, в яку входили нові виміри, компактифицированного на цілком спостерігається масштабі. Схема, запропонована в цих роботах, була настільки проста і прозора, і в той же час мала настільки багато наслідків і застосувань, що зараз, через рік з гаком, кількість робіт, що використовують цю ідею, обчислюється вже сотнями.

Суть ідеї така: припустимо, що існує n додаткових просторових вимірів, компактіціфірованних на масштабі R. Припустимо, що в силу якихось причин, звичайна матерія (речовина, електромагнітні хвилі і інші переносники взаємодій) можуть переміщатися не в усьому (n + 3) вимірному просторі, а лише в певній 3-мірної "гіперповерхні", яка і є "наш" світ. Таким чином, звичайні частинки відчувають тільки 3 просторових виміри. Виняток становить гравітаційна взаємодія - оскільки гравітація обумовлюється викривленням самого простору-часу, гравітаційна взаємодія може безперешкодно проникати і в додаткові виміри, як у вигляді статичного поля, так і у вигляді гравітаційних хвиль і Гравітон.

Очевидно, такі додаткові виміри не вплинуть на вид закону Кулона - електромагнітна взаємодія їх не відчуває. Однак його гравітаційний аналог - закон всесвітнього тяжіння - зміниться. Якщо на великих відстанях r  \u003e R сила буде як і раніше F ~ 1 / r  2, то на малих відстанях r < R зависимость будет сильнее: F ~ 1/r  2 + n.

Давайте розпишемо формули більш акуратно.

Почнемо з закону Кулона і запишемо силу електростатичного відштовхування двох електронів (в гаусом системі одиниць): F = e 2 /r 2 = (e 2 /hc) (hc/r 2) = hc/r  2. Тут ми розбили вираз на твір двох множників: фундаментального, що описує загальну залежність hc / r  2, і безрозмірного коефіцієнта характеризує силу електромагнітної взаємодії в цілому. Цей коефіцієнт називається постійної тонкої структури і приблизно дорівнює 1/137 (тут h  = 1,05. 10 -34 Дж. С - постійна Планка, поділена на 2, з  - швидкість світла.)

Аналогічне вираз для сили гравітаційної взаємодії має вигляд: F  гр = Gm 2 /r 2 = (Gm 2 /hc) (hc/r  2) = гр hc/r  2. Тут ми знову розбили вираз на твір двох множників. Чисельне значення гр (що характеризує силу гравітаційної взаємодії) для двох електронів дуже мало, близько 10 -45. Саме тому, коли досліджують взаємодію елементарних частинок, то їх взаємною гравітацією завжди нехтують: при зменшенні r  електричне і гравітаційне взаємодії ростуть за однаковим законом, але їх відносна сила відрізняється на 40 з гаком порядків.

Однак, давайте тепер врахуємо те, що при r < R  "Включаються" нові виміри. З природного умови безперервності, ми отримуємо: F  гр = гр ( R/r) n hc/r 2 .

Ми бачимо, що відносна сила гравітаційної взаємодії зростає в порівнянні з електромагнітним! Це означає, що коли-то, при енергіях, цілком доступних на прискорювачах, гравітація між двома елементарними частинками буде так само сильна, як і інші взаємодії! Абсолютно приголомшлива можливість!

Усвідомивши це, давайте поглянемо на те, для чого була власне запропонована ця теорія (поки що ми лише аналізували її наслідки, гралися з нею).

Вчених давно спантеличувало, чому у фізиці високих енергій є, принаймні, два фундаментальних масштабу енергій. Один з них (енергії близько 1 ТеВ) - характерний масштаб об'єднання електромагнітного і слабкої взаємодій, інший - близько 10 15 ТеВ - Планка масштаб: енергія, при якій ефекти квантової гравітації стають сильні. Таке сильне розходження двох фундаментальних величин однакової розмірності не давало фізикам спокою.

Однак, якщо електрослабкої (тевний) масштаб - експериментальний факт, то Планка масштаб - є просто екстраполяція закону всесвітнього тяжіння на 33 порядку вниз по шкалі відстаней! Дійсно, мінімальні відстані, на яких проводилася пряма експериментальна перевірка закону всесвітнього тяжіння - це сантиметри, десятки сантиметрів. Так що може трапитися, що Планка масштаб виявиться фікцією!

Тому ніщо нам не заважає зробити припущення про те, що насправді в природі є всього ОДИН фундаментальний енергетичний масштаб - тевний; що при енергіях порядку 1 ТеВ. ВСЕ взаємодії стають однаковими по силі, можливо навіть об'єднуються в єдине взаємодія. Зі зменшенням енергії (збільшенням відстані) все взаємодії починають слабшати, але гравітаційне убуває набагато швидше за інших через те, що воно відчуває додаткові виміри.

Так відбувається аж до відстаней порядку радіусу компактификации; після нього, при ще більших відстанях, гравітація вже підпорядковується звичного нам закону. За цей час, однак, константа гравітаційної взаємодії встигає зменшитися на багато порядків, що призводить до спостережуваного слабкості гравітації в порівнянні з іншими взаємодіями.

З цих міркувань можна легко отримати формулу для радіуса компактификации нових вимірів: R = 10 30/n  - 17 см. Нагадаємо, що n  - це кількість додаткових вимірів.

Видно, що за все одним новим виміром не обійдешся, радіус компактификации тоді буде 10 11 м, тобто ми тоді б жили в 4-вимірному просторі і звичайно відчували б це.

Але якщо взяти n  = 2, то R  стає порядку часток міліметра. Це дуже цікава ситуація, оскільки зараз якраз готуються досліди з перевірки закону тяжіння Ньютона на субміліметровому масштабі.

випадок n\u003e 2 навряд чи буде доступний експерименту у вигляді прямої перевірки закону Ньютона. Однак треба розуміти, що найголовніше в цій конструкції - це сильне прояв квантових гравітаційних ефектів на тевном масштабі. Воно має місце "з побудови", при будь-якому числі нових вимірів. Ці ефекти будуть проявлятися в більшій кількості різноманітних високоенергетичних реакцій зіткнення елементарних частинок (розрахунок цих реакцій з урахуванням сильних ефектів гравітації і був предметом сотень публікацій, які посунули відразу після початкової статті).

Таким чином, не виключено, що будуються зараз прискорювальні комплекси, які досягнуть, нарешті, тевного діапазону енергій, зможуть спостерігати не тільки електрослабкої явища, а й ефекти квантової гравітації! Якщо це так, то це було б абсолютно несподіваним і безцінним подарунком природи!

А ЧИ МОЖНА БЕЗ компактификацією?

Нарешті, торкнемося ще одну гіпотезу, на цей раз зовсім нову - відповідні статті вийшли буквально протягом останнього місяця. У цих роботах було помічено, що всі попередні теорії, що включають додаткові виміри, базувалися на гіпотезі факторізуемих метрики, тобто того, що властивості нашої тривимірної "гіперповерхні» не залежать від нових, додаткових координат. У загальному випадку, така залежність, звичайно, може бути.

Принципово новим результатом в цьому випадку є те, що тепер додаткові виміри не обов'язково згорнуті, вони можуть бути і нескінченними. Роль радіусу компактификации в цьому випадку грає локальний радіус кривизни цих нових вимірів. Наш світ тоді виходить ніби "спійманий" геометричними, топологічними спотвореннями нових вимірів. Цікаво, що в цій теорії безмасові Гравітон з'являються самі собою, і вони теж виявляються "спіймані" тими ж топологічними дефектами. Закон Ньютона в цій теорії все ж модифікується за рахунок масивних партнерів Гравітон (так званих масивних збуджень типу Калуци-Клейна), але ця модифікація вкрай незначна. Крім усього іншого, ця теорія також дає пояснення походженню двох дуже різних фундаментальних енергетичних масштабів.

Ця теорія поки що перебуває в зародковому стані - є багато питань, які поки що не отримали відповіді. Однак не можна не визнати, що це дуже цікава альтернатива компактификации.

З усього сказаного випливає важливий урок: структура нашого простору-часу може виявитися набагато хитріше і цікавіше, ніж ми підозрювали ще пару років назад. Перевірка так це - є долею зовсім недалекого майбутнього.

ЛІТЕРАТУРА:

1. Г.Е.Горелік "Чому простір трехмерно?", М., Наука, 1982,
2. Г.Е.Горелік "Розмірність простору", видавництво МДУ, 1983,
3. N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali, Phys.Lett.B429: 263-272,1998 e-Print Archive: hep-ph / 9803315 - нові виміри на міліметровому масштабі і ефекти квантової гравітації в тевном діапазоні.
4. L.Randall, R.Sundrum, Phys.Rev.Lett.83: 3370-3373,1999; e-Print Archive: hep-ph / 9905221; L.Randall, R.Sundrum, Phys.Rev.Lett.83: 4690-4693,1999; e-Print Archive: hep-th / 9906064 - фундаментальні взаємодії - теорія великого об'єднання
   

Ще зі шкільного курсу алгебри і геометрії ми знаємо про поняття тривимірного простору. Якщо розібратися, сам термін «тривимірний простір» визначається як система координат з трьома вимірами (це знають всі). По суті, описати будь-який об'ємний об'єкт можна за допомогою довжини, ширини і висоти в класичному розумінні. Однак давайте, як то кажуть, копнемо дещо глибше.

Що таке тривимірне простір

Як вже стало ясно, розуміння тривимірного простору і об'єктів, здатних існувати всередині нього, визначається трьома основними поняттями. Правда, у випадку з точкою це саме три значення, а у випадку з прямими, кривими, ламаними лініями або об'ємними об'єктами відповідних координат може бути більше.

В даному випадку все залежить саме від типу об'єкта і застосовуваної системи координат. Сьогодні найбільш поширеною (класичної) вважається Декартова система, яку іноді ще називають прямокутної. Вона і деякі інші різновиди будуть розглянуті трохи пізніше.

Крім усього іншого, тут потрібно розмежовувати абстрактні поняття (якщо можна так сказати, безформні) на зразок точок, прямих або площин і фігури, що володіють кінцевими розмірами або навіть обсягом. Для кожного з таких визначень існують і свої рівняння, що описують їх можливе положення в тривимірному просторі. Але зараз не про це.

Поняття точки в тривимірному просторі

Для початку визначимося, що представляє собою точка в тривимірному просторі. В общем-то, її можна назвати якоюсь основною одиницею, яка визначає будь-яку плоску або об'ємну фігуру, пряму, відрізок, вектор, площину і т. Д.

Сама ж точка характеризується трьома основними координатами. Для них в прямокутній системі застосовуються спеціальні напрямні, звані осями X, Y і Z, причому перші дві осі служать для вираження горизонтального положення об'єкта, а третя відноситься до вертикального завданням координат. Природно, для зручності вираження положення об'єкта відносно нульових координат в системі прийняті позитивні і негативні значення. Однак ж сьогодні можна знайти і інші системи.

Різновиди систем координат

Як вже говорилося, прямокутна система координат, створена Декартом, сьогодні є основною. Проте в деяких методиках завдання місця розташування об'єкта в тривимірному просторі застосовуються і деякі інші різновиди.

Найбільш відомими вважаються циліндрична і сферична системи. Відмінність від класичної полягає в тому, що при завданні тих же трьох величин, що визначають місце розташування точки в тривимірному просторі, одне зі значень є кутовим. Іншими словами, в таких системах використовується окружність, відповідна кутку в 360 градусів. Звідси і специфічне завдання координат, що включає такі елементи, як радіус, кут і утворює. Координати в тривимірному просторі (системі) такого типу підкоряються дещо іншим закономірностям. Їх завдання в даному випадку контролюється правилом правої руки: якщо поєднати великий і вказівний палець з осями X і Y, відповідно, решта пальців в зігнутому положенні вкажуть на напрям осі Z.

Поняття прямого в тривимірному просторі

Тепер кілька слів про те, що являє собою пряма в тривимірному просторі. Виходячи з основного поняття прямої, це якась нескінченна лінія, проведена через точку або дві, не рахуючи безлічі точок, розташованих в послідовності, що не змінює пряме проходження лінії через них.

Якщо подивитися на пряму, проведену через дві точки в тривимірному просторі, доведеться враховувати по три координати обох точок. Те ж саме відноситься до відрізків і векторах. Останні визначають базис тривимірного простору і його розмірність.

Визначення векторів і базису тривимірного простору

Зауважте, це можуть бути тільки три вектора, але ось трійок векторів можна визначити скільки завгодно. Розмірність простору визначається кількістю лінійно-незалежних векторів (в нашому випадку - три). І простір, в якому є кінцеве число таких векторів, називається конечномірні.

Залежні і незалежні вектори

Що стосується визначення залежних і незалежних векторів, лінійно-незалежними прийнято вважати вектори, які є проекціями (наприклад, вектори осі X, спроектовані на вісь Y).

Як уже зрозуміло, будь-четвертий вектор є залежним (теорія лінійних просторів). А ось три незалежних вектора в тривимірному просторі в обов'язковому порядку не повинні лежати в одній площині. Крім того, якщо визначати незалежні вектори в тривимірному просторі, вони не можуть бути, так би мовити, один продовженням іншого. Як вже зрозуміло, в розглянутому нами випадку з трьома вимірами, відповідно до загальної теорії, можна побудувати виключно тільки трійки лінійно-незалежних векторів в певній системі координат (без різниці, якого типу).

Площина в тривимірному просторі

Якщо розглядати поняття площині, не вдаючись у математичні визначення, для більш простого розуміння цього терміна, такий об'єкт можна розглядати виключно як двовимірний. Іншими словами, це нескінченна сукупність точок, у яких одна з координат є постійною (константою).

Наприклад, площиною можна назвати будь-яку кількість точок з різними координатами по осях X і Y, але однаковими координатами по осі Z. У будь-якому випадку одна з тривимірних координат залишається незмінною. Однак це, так би мовити, загальний випадок. У деяких ситуаціях тривимірний простір може перетинатися площиною по всіх осях.

Чи існує більше трьох вимірів

Питання про те, скільки може існувати вимірювань, досить цікавий. Як вважається, ми живемо не в тривимірному з класичної точки зору просторі, а в чотиривимірному. Крім відомих всім довжини, ширини і висоти, такий простір включає в себе ще й час існування об'єкта, причому час і простір між собою взаємопов'язані досить сильно. Це довів ще Ейнштейн у своїй теорії відносності, хоча це більше відноситься до фізики, ніж до алгебри і геометрії.

Цікавий і той факт, що сьогодні вчені вже довели існування як мінімум дванадцяти вимірювань. Звичайно, зрозуміти, що вони собою являють, зможе далеко не кожен, оскільки це відноситься скоріше до якоїсь абстрактної області, яка знаходиться поза людського сприйняття світу. Проте факт залишається фактом. І не дарма ж багато антропологи і історики стверджують, що наші пращури могли мати якісь специфічні розвинені органи чуття на кшталт третього ока, які допомагали сприймати багатовимірну дійсність, а не виключно тривимірний простір.

До речі сказати, сьогодні існує досить багато думок з приводу того, що екстрасенсорика теж є одним із проявів сприйняття багатомірного світу, і тому можна знайти досить багато підтверджень.

Зауважте, що сучасними базовими рівняннями і теоремами описати багатовимірні простору, що відрізняються від нашого чотиривимірного світу, теж не завжди представляється можливим. Та й наука в цій галузі відноситься скоріше до області теорій і припущень, ніж до того, що можна явно відчути або, так би мовити, помацати або побачити на власні очі. Проте непрямі докази існування багатовимірних світів, в яких може існувати чотири і більше вимірів, сьогодні ні в кого не викликають сумнівів.

висновок

В цілому ж, ми дуже коротко розглянули основні поняття, пов'язані з тривимірного простору і базовим визначенням. Природно, існує безліч приватних випадків, пов'язаних з різними системами координат. До того ж ми постаралися особливо не лізти в математичні нетрі для пояснення основних термінів тільки для того, щоб питання, пов'язане з ними, був зрозумілий кожному школяру (так би мовити, пояснення «на пальцях»).

Проте, думається, навіть з таких простих трактувань можна зробити висновок про математичному аспекті всіх складових, що входять в базовий шкільний курс алгебри і геометрії.