Тривимірний світ. Тривимірний світ, в якому ми не живемо. І все-таки, чому три

Спочатку хочу сказати спасибі за коментар в попередньому пості з приводу тетракуба. Його довжину слід взяти рівної 299792458м (стільки світло проходить за секунду). Це буде правильно для куба будь-якого обсягу щоб він став правильним.

А тепер до справи. І не критикуйте особливо картинки, сам в Пейнті малював більшість).

Хотілося б почати з короткого повторення першого поста, так як це необхідно для розуміння наступних міркувань.

Для початку розділимо поняття «вимір» і «n-мірний світ». Виміром ми називаємо пряму (координатну вісь), таку що всім точкам можна поставити у відповідність точки на цій прямій. Наприклад, вимірами можна назвати осі в координатної площини. N-мірний світ позначає світ, в якому кожній його точці можна приписати всього n координат, тобто має n вимірювань.

Розглянемо нульмерние світ - точку, яка не має координат. Якщо поставити нескінченне число нульмерние в ряд, вийде лінія - одновимірний світ, який має довжину. У ньому Кожному нульмерние світу буде відповідати координата в першому вимірі. Повторимо, одновимірний світ складається з нескінченної кількості нульмерние світів.

Тепер розглянемо площину - двовимірний світ. Його можна представити у вигляді нескінченної кількості ліній (одновимірних світів), причому вони можуть бути як паралельні, так і перетинатися під різними кутами.

Як уже очевидно, простір складається з площин, які також можуть бути паралельні, перпендикулярні або перетинатися під різними кутами. Всі ці світи прості і зрозумілі нам.

Але що ми можемо сказати про чотиривимірному світі? Як ми вже з'ясували, він повинен складатися з безлічі тривимірних світів, з безлічі просторів. А тепер подумаємо про те, що в кожен момент часу простір змінюється. Щомиті простір вже нове, хоча і схоже на попереднє. Таким чином, ми можемо говорити, що живемо в ЧОТИРИВИМІРНОМУ світі, так як протягом життя ми проходимо нескінченну кількість просторів, які змінюють один одного протягом часу. Час же буде четвертим виміром цього світу, адже кожному простору ми може поставити у відповідність тимчасову координату. Начебто теж не складно. Йдемо далі.

Виходячи з цієї логіки, пятімерний світ повинен складатися з безлічі чотиривимірних світів. Тут-то ми вже не можемо уявити це відразу, потрібен аналіз складніше.

Популярні зараз стандартна модель і теорія суперструн ділить вимірювання на просторові і тимчасові. Сучасна М-теорія говорить про існування 10 просторових вимірів. Справа навіть не в нерозумінні ідеологами теорії струн СУТТЄВО вимірювань і багатовимірних світів, не в тому, що їх чомусь 10, а в тому, що воно говорить, що «скорочення» виміру мають просторової протяжності, відмінну від нуля. Виходить, що координата в цих вимірах залежить від координати в трьох вимірах. Це взагалі суперечить тому, що вимірювання повинні бути не пов'язані між собою, і що можна пересуватися в одному з них, залишаючись нерухомим у інших. Це хороша спроба пояснити будову світу, але вона занадто складна, рівняння теорії струн іноді не в змозі вирішити навіть суперкомп'ютери, а суть досліджень зводиться до того, що на основі вже діючих законів з'ясувати ФОРМУ згорнутих вимірювань, щоб за допомогою цієї форму пояснити ці ж закони .

Що таке чотиривимірний світ? Це весь світ, в якому ми живемо, який був задовго до існування людства і буде існувати ще невідомо скільки, який триває від так званого «Великого вибуху» і йде в нескінченність (є думки, що просторово всесвіт обмежена, поки не будемо порушувати це питання ) і вічність. Якщо пятімерний світ складається з безлічі чотиривимірних світів, це означає, що воно складається з паралельних або пересічних з нашим світів.

У природи існують закони, які, як ми знаємо, незмінні. Тобто якщо взяти простір з нашого чотиривимірного світу в якій-небудь ранній момент часу (нехай це буде момент Т), і рухатися вперед з тимчасового виміру, використовуючи дані закони, ми ЗАВЖДИ отримаємо той простір, в якому ми зараз знаходимося. Навіть всі наші думки і дії обумовлені хімічними і електростатичними реакціями в нашому мозку, які працюють за тими ж законами, за якими працюють всі взаємодії у всесвіті.

Але що буде, якщо в момент часу Т ми застосуємо інші закони, наприклад, всього лише змінивши те, що гравітаційна взаємодія змушує маси не зближує, а відштовхують, а інші закони залишимо незмінними. Тоді, слідуючи за часом вперед, ми отримаємо зовсім інший світ, в якому може не бути людства взагалі, а якщо виникнуть розумні форми життя, вони будуть намагатися пояснити, чому все тіла відштовхуються точно так же, як ми намагаємося пояснити, чому вони притягуються. Завдяки такому уявного експерименту, ми представили інший чотиривимірний світ, який перетинається з НАШИМ в точці з координатою Т в четвертому вимірі.

Розглянемо, що перетинаються. Щоб вони перетнулися, вони повинні знаходиться в ПРОСТОРІ (в тривимірному світі), самі вони двовимірні, а перетнуться вони по ЛІНІЇ, по одномерному світу.

Так само і чотиривимірні світи, перебуваючи в п'ятому, можуть (чисто теоретично) перетинатися по тривимірним світів. Тобто, використовуючи різні закони з різних тривимірних положень ми можемо з протягом часу прийти до ОДНОМУ І ТОМУ же тривимірному світу. Наприклад, якщо скинути ядро ​​з вежі і вистрілити ядром з бійниці в цій вежі, в будь-який момент часу (не обов'язково один і той же для двох випадків) обидва ядра будуть знаходиться в одному і тому ж положенні, незважаючи на те що спочатку вони знаходилися в різних положеннях і до них були застосовані різні сили.

В 1 прикладі є 2 паралельних чотиривимірних світу. У другому прикладі 2 світу перетинаються в точці (в нашому випадку, чотиривимірні світи мають одну однакову просторову структуру в певний момент часу). У третьому ж прикладі існує світ, який нескінченно переходить сам у себе завдяки його законам, та ще й перетинається з іншим в двох точках.

А тепер подумайте над прикладом чотиривимірного світу, який буде абсолютно завжди ідентичний нашому, але в якому будуть діяти зовсім інші закони фізики. На перший погляд, це неможливо, адже якщо взяти один і той же тривимірний світ і застосувати до нього різні закони, ми отримаємо абсолютно різні чотиривимірні вимірювання. Але такий приклад існує. Досить просто в НАШОМУ чотиривимірному світі рухатися не вперед в часі, а тому. Очевидно, то кожному положенню простору в такому світі буде відповідати простір в нашому звичному світі.

А тепер розглянемо деякі постулати, які будуть спостерігатися в цьому новому світі, який тотожно дорівнює нашому. Візьмемо, наприклад, чотири положення з сучасного світу, які визнані більшістю фізиків:

1) Всесвіт збільшується

2) Гравітація змушує тіла притягатися

3) Тіло, на яке не впливають сили, зберігає інерційний рух

4) Щоб розірвати зв'язок, потрібно витратити енергію, а коли зв'язок створюється, енергія вивільняється

А тепер зіставимо кожному положенню з нашого світу становище тотожного нашому світу, де час тече навпаки

1) Всесвіт буде звужуватися, так як ми йдемо вниз в часі

2) З гравітацією все не так очевидно. Наприклад, якщо кинути кулю з літака, він буде все швидше і швидше летіти до землі, а потім прийде в стан спокою на землі. Розглянемо цей процес навпаки в часі. Куля під впливом гравітації спочатку з положення спокою різко злітає, і з набором висоти все повільніше і повільніше летить вгору. З цього ми можемо зробити висновок, що в світі, протилежному нашому, гравітація змушує тіла відштовхуватися. Але тоді подивимося на людину, що йде в магазин. Якщо подивитися на цей процес у зворотну сторону, то людина так само буде йти з магазину, притягаючи до землі, і не відлітаючи від неї під дією гравітації. Тобто в цьому випадку гравітація змушує тіла притягує. З двох ситуацій ми отримали абсолютно різні висновки, з чого випливає, що закони в цьому світі будуть не протилежні нашим, вони просто будуть ІНШИМИ, що не полярно протилежними.

3) Розглянь політ камінчика в космосі. Якщо представляти цей процес навпаки, то камінчик так само буде летіти в космос. Цей закон ЗБЕРІГАЄТЬСЯ в протилежному нашому світі.

4) Уявімо, що каратист розбиває цеглу. Він витрачає енергію, щоб зруйнувати внутрішній зв'язок цегли. Розглянемо цей процес у зворотну сторону: цегла збирається в єдине ціле і каратист отримує енергію. Отримали той же самий закон, в якому при утворенні зв'язку звільняється енергія. Цей закон також зберігається.

Таким чином, в новому світі деяких законів нашого світу зберігаються (3,4) деякі змінюються на протилежні (1), а деякі перетворюються в такі, які ми не можемо відразу описати (2). Якби в такому світі існувала цивілізація, то вона б постаралася знайти і швидше за все знайшла б пояснення всіх цих процесів, але для нас це не принципово. Такі чотиривимірні світи, в яких з різних положень з разними законами ми будемо отримувати одні і ті ж структури простору, ми будемо називати збігаються.

Таким чином, п'ятий вимір - це ЗАКОНИ ФІЗИКИ. І дійсно, в стандартній системі координат все осі повинні бути перпендикулярні. Тоді кожній точці в пятимерном світі ми дійсно можемо поставити у відповідність 3 просторових координати, одну тимчасову, а також п'яту координату, яка буде позначати ЗАКОНИ, які включені до цієї точки. Зауважимо, що деякі парадокси, які особливо уважні можуть знайти в такій системі координат, виникають унаслідок СПРЯМОВАНОСТІ нашого чотиривимірного світу (час для нас іде вперед, а уповільнити його шляхом величезної просторової швидкості немає можливості у більшості з нас).

Ще більш уважні можуть сказати, що самі закони можна розбити на нескінченно велику кількість вимірювань. Наприклад, кожній силі взаємодій з нескінченно можливої ​​кількості цих сил можна поставити у відповідність нескінченно велике напрямок впливів. Потім кожному набору сили і напряму можна поставити у відповідність нескінченне число можливих елементарних частинок. Так і навпаки, кожному набору елементів відповідає нескінченність напрямків, а кожному напрямку нескінченність сил і т.д. Таким чином, ми можемо виділити замість п'ятого виміру нескінченну кількість вимірювань, незалежних один від одного.

Що може пояснити ця теорія? Вона може пояснити те, що закони фізики не звідки не взялися. Вони просто такі, які вони є, є нескінченно велика кількість комбінацій інших законів в інших світах, до яких, може, за допомогою технологій, а може і за допомогою еволюції, людство коли-небудь отримає доступ.

Задавайте свої питання! Будь-яка критика вітається крім "ти неправий, а я прав, і взагалі, все не так". Наступна стаття буде про теорію нескінченної вкладеності матерії, буде досить цікаво)

Скільки вимірів має простір світу, в якому ми живемо?

Що за питання! Звичайно, три ?? скаже звичайна людина і буде правий. Але є ще особлива порода людей, що мають придбане властивість сумніватися в очевидних речах. Ці люди називаються «вченими», оскільки їх спеціально цьому вчать. Для них наш питання не таке просте: вимір простору ?? річ важковловима, їх не можна просто перерахувати, показуючи пальцем: один, два, три. Не можна виміряти їх число і яким-небудь приладом на зразок лінійки або амперметра: простір має 2,97 плюс-мінус 0,04 виміру. Доводиться продумувати це питання глибше і шукати непрямі методи. Такі пошуки виявилися плідним заняттям: сучасна фізика вважає, що число вимірювань реального світу тісно пов'язане з найглибшими властивостями речовини. Але шлях до цих ідей почався з перегляду нашого повсякденного досвіду.

Зазвичай кажуть, що світ, як і будь-яке тіло, має три виміри, яким відповідають три різних напрямки, скажімо, «висота», «ширина» і «глибина». Здається ясним, що «глибина», зображена на площині малюнка, зводиться до «висоті» і «ширині», є в певному сенсі їх комбінацією. Так само ясно, що в реальному тривимірному просторі всі мислимі напрямки зводяться до якихось трьох заздалегідь обраним. Але що означає «зводяться», «є комбінацією»? Де будуть ці «ширина» і «глибина», якщо ми опинимося не в прямокутної кімнаті, а в невагомості де-небудь між Венерою і Марсом? Нарешті, хто поручиться, що «висота», скажімо, в Москві і Нью-Йорку ?? це одне і те ж «вимір»?

Біда в тому, що ми вже знаємо відповідь до задачі, яку намагаємося вирішити, а це далеко не завжди корисно. Ось якби виявитися в світі, число вимірів якого заздалегідь не відомо, і відшукувати їх по одному ?? Або, принаймні, так відмовитися від готівки знань про дійсність, щоб подивитися на її первинні властивості зовсім по-новому.

Кругляк ?? знаряддя математика

У 1915 році французький математик Анрі Лебег придумав, як визначити число вимірів простору, не користуючись поняттями висоти, ширини і глибини. Щоб зрозуміти його ідею, досить уважно подивитися на брусчатую бруківку. На ній легко можна знайти місця, де камені сходяться по три і по чотири. Можна замостити вулицю квадратними плитками, які будуть примикати один до одного по дві або по чотири; якщо взяти однакові трикутні плитки, вони будуть примикати по дві або по шість. Але жоден майстер не зможе замостити вулицю так, щоб булижники всюди примикали один до одного тільки по два. Це настільки очевидно, що смішно і припускати зворотне.

Математики відрізняються від нормальних людей саме тим, що помічають можливість таких абсурдних припущень і вміють робити з них висновки. У нашому випадку Лебег міркував так: поверхня бруківки, безумовно, двумерна. У той же час на ній неминуче є точки, де сходяться щонайменше три кругляка. Спробуємо узагальнити це спостереження: скажімо, що розмірність якійсь області дорівнює N, якщо при її замощення не вдається уникнути зіткнень N + 1 або більшого числа «кругляків». Тепер тривимірність простору підтвердить будь-який муляр: адже при викладанні товстої, в кілька шарів стіни обов'язково будуть точки, де стикнуться не менше ніж чотири цегли!

Однак на перший погляд здається, що до лебеговськой визначенням розмірності можна знайти, як висловлюються математики, «контрприклад». Це дощату підлогу, в якому мостини стикаються рівно по дві. Чим не замощення? Тому Лебег зажадав ще, щоб «булижники», використовувані у визначенні розмірності, були маленькими. Це важлива ідея, і в кінці ми повернемося до неї ще раз ?? в несподіваному ракурсі. А зараз ясно, що умова малої величини «кругляків» рятує визначення Лебега: скажімо, короткі паркетини, на відміну від довгих мостин, в деяких точках обов'язково будуть стикатися по три. Значить, три виміри простору ?? це не просто можливість довільно вибрати в ньому якісь три «різних» напряму. Три виміри ?? це реальне обмеження наших можливостей, яке легко відчути, трохи погравши з кубиками або цеглою.

Розмірність простору очима Штірліца

Інше обмеження, пов'язане з тривимірністю простору, добре відчуває в'язень, замкнений у тюремній камері (наприклад, Штірліц в підвалі у Мюллера). Як виглядає ця камера з його точки зору? Шорсткі бетонні стіни, щільно замкнена сталеві двері ?? словом, одна двовимірна поверхня без щілин і отворів, огороджувати з усіх боків замкнутий простір, де він знаходиться. З такої оболонки дітися дійсно нікуди. А чи можна замкнути людини всередині одновимірного контуру? Уявіть, як Мюллер малює навколо Штірліца крейдою коло на підлозі і йде геть: це не тягне навіть на анекдот.

З цих міркувань витягується ще один спосіб визначити число вимірювань нашого простору. Сформулюємо його так: обгородити з усіх боків область N-мірного простору можна тільки (N-1) -мірною «поверхнею». У двовимірному просторі «поверхнею» буде одновимірний контур, в одновимірному ?? дві нульмерние точки. Це визначення придумав в 1913 році голландський математик Брауер, але відомим воно стало тільки через вісім років, коли його незалежно один від одного, перевідкрити наш Павло Урисон і австрієць Карл Менгер.

Тут наші шляхи з Лебегом, Брауера і їх колегами розходяться. Нове визначення розмірності було потрібно їм для того, щоб побудувати абстрактну математичну теорію просторів будь-якої розмірності аж до нескінченної. Це ?? чисто математична конструкція, гра людського розуму, який досить сильний навіть для пізнання таких дивних об'єктів, як безконечномірний простір. Математики не намагаються дізнатися, чи існують насправді речі, що володіють такою структурою: це не їхня професія. Навпаки, наш інтерес до кількості вимірювань світу, в якому ми живемо, фізичний: ми хочемо дізнатися, скільки їх насправді і як відчути їх число «на своїй шкурі». Нам потрібні явища, а не чисті ідеї.

Характерно, що всі наведені приклади були запозичені більш-менш з архітектури. Саме ця область діяльності людей найтісніше пов'язана з простором, як воно видається нам в звичайному житті. Щоб просунутися в пошуку вимірювань фізичного світу далі, потрібно вихід до інших рівнів реальності. Вони доступні людині завдяки сучасній технології, а значить ?? фізики.

При чому тут швидкість світла?

Ненадовго повернемося до залишеного в камері Штирлицу. Щоб вибратися з оболонки, надійно відділяла його від іншої частини тривимірного світу, він скористався четвертим виміром, якому не страшні двовимірні перепони. А саме, він деякий час подумав і знайшов собі підходяще алібі. Інакше кажучи, нове загадкове вимір, яким скористався Штірліц, ?? це час.

Важко сказати, хто першим помітив аналогію між часом і вимірами простору. Два століття тому про це вже знали. Жозеф Лагранж, один з творців класичної механіки, науки про рухах тіл, порівняв її з геометрією чотиривимірного світу: його порівняння звучить, як цитата з сучасної книги із Загальної теорії відносності.

Хід думки Лагранжа, втім, легко зрозуміти. У його час вже були відомі графіки залежності змінних величин від часу, на зразок нинішніх кардіограм або графіків місячного ходу температури. Такі графіки малюють на двовимірної площині: уздовж осі ординат відкладають шлях, пройдений змінною величиною, а вздовж осі абсцис ?? минулий час. При цьому час дійсно стає просто «ще одним» геометричним виміром. Точно так само можна додати його і до тривимірного простору нашого світу.

Але чи дійсно час схоже на просторові виміри? На площині з намальованим графіком є ​​два виділених «осмислених» напряму. А напрямку, що не збігаються ні з однією з осей, сенсу не мають, вони не зображують нічого. На звичайній же геометричній двовимірної площині всі напрямки рівноправні, виділених осей немає.

По-справжньому час можна вважати четвертою координатою, тільки якщо воно не буде виділено серед інших напрямків в чотиривимірному «просторі-часі». Треба знайти спосіб «обертати» простір-час так, щоб час і просторові виміри «змішувалися» і могли в певному сенсі переходити один в одного.

Цей спосіб знайшли Альберт Ейнштейн, який створив теорію відносності, і Герман Мінковський, який додав їй сувору математичну форму. Вони скористалися тим, що в природі є універсальна швидкість ?? швидкість світла.

Візьмемо дві точки простору, кожну ?? в свій момент часу, або два «події» на жаргоні теорії відносності. Якщо помножити на швидкість світла інтервал часу між ними, який вимірюється в секундах, то вийде певну відстань в метрах. Будемо вважати, що цей уявний відрізок «перпендикулярний» просторовому відстані між подіями, а разом вони утворюють «катети» якогось прямокутного трикутника, «гіпотенуза» якого ?? це відрізок в просторі-часі, що з'єднує вибрані події. Мінковський запропонував: щоб знайти квадрат довжини «гіпотенузи» цього трикутника, будемо не додавати квадрат довжини «просторового» катета до квадрату довжини «тимчасового», а віднімати його. Звичайно, при цьому може вийти негативний результат: тоді вважають, що «гіпотенуза» має уявну довжину! Але який же в цьому сенс?

При обертанні площини довжина будь-якого намальованого на ній відрізка зберігається. Мінковський зрозумів, що треба розглядати такі «обертання» простору-часу, які зберігають запропоновану ним «довжину» відрізків між подіями. Саме так можна добитися, щоб швидкість світла була в побудованої теорії універсальної. Якщо дві події пов'язані світловим сигналом, то «відстань Маньківського» між ними дорівнює нулю: просторове відстань збігається з інтервалом часу, помноженим на швидкість світла. «Обертання», запропоноване Мінковським, зберігає це «відстань» нульовим, як би не змішувалися при «повороті» простір і час.

Це не єдина причина, по якій «відстань» Маньківського володіє реальним фізичним змістом, незважаючи на вкрай дивне для непідготовленої людини визначення. «Відстань» Маньківського дає спосіб побудувати «геометрію» простору-часу так, що і просторові, і часові інтервали між подіями вдається зробити рівноправними. Мабуть, саме в цьому полягає головна ідея теорії відносності.

Отже, час і простір нашого світу так тісно пов'язані один з одним, що важко зрозуміти, де закінчується одне і починається інше. Разом вони утворюють щось на зразок сцени, на якій розігрується спектакль «Історія Всесвіту». Діючі лиця ?? частинки матерії, атоми і молекули, з яких зібрані галактики, туманності, зірки, планети, а на деяких планетах ?? навіть живі розумні організми (читачеві повинна бути відома щонайменше одна така планета).

Спираючись на відкриття попередників, Ейнштейн створив нову фізичну картину світу, в якій простір і час виявилися невіддільні одна від одної, а дійсність стала по-справжньому чотиривимірної. І в цій чотиривимірної дійсності «розчинилося» одне з двох відомих тодішньої науки «фундаментальних взаємодій»: закон всесвітнього тяжіння звівся до геометричній структурі чотиривимірного світу. Але Ейнштейн нічого не зміг зробити з іншим фундаментальним взаємодією ?? електромагнітним.

Простір-час набуває нових вимірів

Загальна теорія відносності настільки красива і переконлива, що відразу після того, як вона стала відома, інші вчені спробували пройти тим самим шляхом далі. Ейнштейн звів до геометрії гравітацію? Значить, на частку його послідовників залишається геометризованний електромагнітні сили!

Так як можливості метрики чотиривимірного простору Ейнштейн вичерпав, його послідовники стали намагатися якось розширити набір геометричних об'єктів, з яких можна було б сконструювати таку теорію. Цілком природно, що їм захотілося збільшити число розмірностей.

Але поки теоретики займалися геометризацией електромагнітних сил, були відкриті ще два фундаментальні взаємодії ?? так звані сильне і слабке. Тепер треба було об'єднати вже чотири взаємодії. При цьому виникла маса несподіваних труднощів, для подолання яких винаходили нові ідеї, все далі що вели вчених від наочної фізики минулого століття. Стали розглядати моделі світів, що мають десятки і навіть сотні вимірювань, знадобилося і нескінченновимірних простір. Щоб розповісти про ці пошуках, потрібно було б написати цілу книжку. Нам важливе інше питання: де ж розташовані всі ці нові виміри? Чи можна відчути їх так само, як ми відчуваємо час і тривимірний простір?

Уявіть собі довгу і дуже тонку трубочку ?? наприклад, порожній усередині пожежний шланг, зменшений в тисячу разів. Це двовимірна поверхня, але два її вимірювання нерівноправні. Одне з них, довжину, помітити легко ?? це «макроскопічне» вимір. Периметр ж ?? «Поперечне» вимір ?? можна розгледіти тільки під мікроскопом. Сучасні багатовимірні моделі світу схожі на цю трубочку, хоча вони мають не одне, а чотири макроскопічних вимірювання ?? три просторових і один часовий. Решта вимірювання в цих моделях не можна розглянути навіть під електронним мікроскопом. Щоб виявити їх прояви, фізики користуються прискорювачами ?? дуже дорогими, але грубими «мікроскопами» для субатомного світу.

Поки одні вчені вдосконалювали цю вражаючу картину, блискуче долаючи одну перешкоду за іншим, у інших назріло каверзне питання:

Чи може розмірність бути дробової?

А чому б і ні? Для цього треба «просто» знайти нову властивість розмірності, яке могло б пов'язати її з нецілі числами, і що володіють цією властивістю геометричні об'єкти, що мають дробову розмірність. Якщо ми хочемо знайти, наприклад, геометричну фігуру, що має півтора вимірювання, то у нас є два шляхи. Можна намагатися або відняти пів-вимірювання у двовимірної поверхні, або додати пів-вимірювання до одновимірної лінії. Щоб це зробити, потренуємося спершу на додаванні або відібрання цілого виміру.

Є такий відомий дитячий фокус. Фокусник бере трикутний листок паперу, робить на ньому надріз ножицями, згинає листок по лінії надрізу навпіл, робить ще один надріз, знову згинає, надрізає останній раз, і ?? ап! ?? в його руках опиняється гірлянда з восьми трикутничків, кожен з яких абсолютно подібний до вихідного, але в вісім разів менше його по площі (і в корінь квадратний з восьми разів ?? за розмірами). Можливо, цей фокус показали в 1890 році італійському математику Джузеппе Пеано (а може бути, він сам любив його показувати), у всякому разі, саме тоді він помітив ось що. Візьмемо ідеальну папір, ідеальні ножиці і повторимо послідовність надрізання і складання нескінченне число разів. Тоді розміри окремих трикутничків, одержуваних на кожному кроці цього процесу, будуть прагнути до нуля, а самі трикутники стягнуться в точки. Стало бути, ми отримаємо з двовимірного трикутника одновимірну лінію, не втративши при цьому ні шматочка паперу! Якщо не розтягувати цю лінію в гірлянду, а залишити такий «зім'ятою», як у нас вийшло при розрізанні, то вона заповнить трикутник цілком. Більш того, під яким сильним мікроскопом ми б не розглядали цей трикутник, збільшуючи його фрагменти в будь-яке число раз, одержувана картина буде виглядати точно так само, як незбільшення: висловлюючись науково, крива Пеано має однакову структуру при всіх масштабах збільшення, або є «масштабно інваріантної ».

Отже, зігнувшись незліченна безліч разів, одномірна крива змогла як би придбати розмірність два. Значить, є надія і на те, що менш «зім'ята» крива матиме «розмірність», скажімо, півтора. Але як же знайти спосіб вимірювати дробові розмірності?

У «брукову» визначенні розмірності, як пам'ятає читач, треба було використовувати досить маленькі «булижники», інакше результат міг вийти неправильний. Але маленьких «кругляків» буде потрібно багато: тим більше, чим менше їх розмір. Виявляється, для визначення розмірності не обов'язково вивчати, як «булижники» прилягають один до одного, а досить лише з'ясувати, як зростає їх число при зменшенні величини.

Візьмемо відрізок прямої довжиною 1 дециметр і дві кривих Пеано, разом заповнюють квадрат розміром дециметр на дециметр. Будемо покривати їх маленькими квадратними «каменюками» з довжиною сторони 1 сантиметр, 1 міліметр, 0,1 міліметра і так далі аж до мікрона. Якщо виражати розмір «кругляка» в дециметрах, то на відрізок потрібно число «кругляків», що дорівнює їх розміру в ступеня мінус одиниця, а на криві Пеано ?? розміром в ступеня мінус два. При цьому відрізок безперечно має один вимір, а крива Пеано, як ми бачили, ?? два. Це не просто збіг. Показник ступеня в співвідношенні, що зв'язує число «кругляків» з їх розміром, дійсно дорівнює (зі знаком мінус) розмірності тієї фігури, яка ними покрита. Особливо важливо, що показник ступеня може бути дробовим числом. Наприклад, для кривої, проміжної за своєю «зжужмленість» між звичайною лінією і часом щільно заповнюють квадрат кривих Пеано, величина показника буде більше 1 і менше 2. Це і відкриває потрібну нам дорогу до визначення дробових розмірностей.

Саме таким способом була визначена, наприклад, розмірність берегової лінії Норвегії ?? країни, що має дуже порізане (або «зім'ятою» ?? як кому більше подобається) узбережжі. Звичайно, замощення бруківкою берега Норвегії відбувалося не на місцевості, а на карті з географічного атласу. Результат (не абсолютно точний через неможливість на практиці дійти до нескінченно малих «кругляків») склав 1,52 плюс-мінус одна сота. Ясно, що розмірність не могла вийти менше одиниці, оскільки мова йде все-таки про «одновимірної» лінії, і більше двох, оскільки берегова лінія Норвегії «намальована» на двовимірної поверхні земної кулі.

Людина як міра всіх речей

Дробові розмірності ?? це прекрасно, може сказати тут читач, але яке відношення вони мають до питання про кількість вимірювань світу, в якому ми живемо? Чи може статися, що розмірність світу подрібнена і не точно дорівнює трьом?

Приклади кривої Пеано і узбережжя Норвегії показують, що подрібнена розмірність виходить, якщо крива лінія сильно «зім'ята», закладена в нескінченно малі складочки. Процес визначення дробової розмірності теж включає в себе використання безмежно зменшуються «кругляків», якими ми покриваємо досліджувану криву. Тому подрібнена розмірність, висловлюючись науково, може виявлятися тільки «на досить малих масштабах», тобто показник ступеня в співвідношенні, що зв'язує число «кругляків» з їх розміром, може лише в межі виходити на своє дробове значення. Навпаки, одним величезним каменем можна накрити фрактал ?? об'єкт дробової розмірності ?? кінцевих розмірів не відрізняється від точки.

Для нас світ, в якому ми живемо, ?? це перш за все той масштаб, на якому він доступний нам у повсякденному житті. Незважаючи на вражаючі досягнення техніки, його характерні розміри все ще визначаються гостротою нашого зору і дальністю наших піших прогулянок, характерні проміжки часу ?? швидкістю нашої реакції і глибиною нашої пам'яті, характерні величини енергії ?? силою тих взаємодій, в які вступає наше тіло з оточуючими речами. Ми не набагато перевершили тут древніх, та й чи варто прагнути до цього? Природні і технологічні катастрофи кілька розширюють масштаби «нашої» дійсності, але не роблять їх космічними. Мікросвіт тим більше недоступний в нашому повсякденному житті. Відкритий перед нами світ ?? тривимірний, «гладкий» і «плоский», він прекрасно описується геометрією древніх греків; досягнення науки в кінцевому рахунку повинні служити не стільки розширення, скільки захист його кордонів.

Так що ж все-таки відповісти людям, що чекають відкриття прихованих розмірностей нашого світу? На жаль, єдине доступне для нас вимір, яке світ має понад трьох просторових, ?? це час. Мало це чи багато, старо або ново, чудово або буденно? Час ?? це просто четверта ступінь свободи, і скористатися нею можна дуже по-різному. Згадаймо ще раз того ж Штірліца, до речі, фізика за освітою: у кожного миті свій резон ??

Андрій Соболевський