Les opérations logiques les plus simples en informatique. Les opérations logiques les plus simples en informatique Introduction des notions de « faux, vrai énoncé »

La logique est largement utilisée non seulement dans la vie, mais aussi dans la mise en œuvre de la technologie numérique, y compris les ordinateurs. La technologie numérique contient les éléments dits logiques qui mettent en œuvre certaines opérations logiques.

La logique utilise des instructions logiques simples et composées (instructions déclaratives) qui peuvent être vraies ( 1 ) ou fausse ( 0 ).

Un exemple d'énoncés simples :

• "Moscou est la capitale de la Russie" (1)
• "Deux fois deux - trois" (0)
• "Génial!" (pas une déclaration)

Les opérations logiques sont utilisées pour combiner plusieurs instructions simples en une seule instruction composée. Il existe trois opérations logiques de base : AND, OR, NOT.

Ordre des opérations:

1. actions entre parenthèses, opérations de comparaison (<, ≤, >, ≥, =, ≠)

Considérons chacune des trois opérations séparément.

1. Opération NON change le sens d'une déclaration logique à l'opposé. Cette opération est aussi appelée « inversion », « négation logique ». Signe d'opération : ¬

Table de vérité:

2. Opération ET pour une instruction composée, elle n'est vraie que si toutes les instructions simples d'entrée sont vraies. Cette opération peut également être appelée "multiplication logique" ou "conjonction". Signe d'opération : , & , /\

Table de vérité:

3. L'opération OU pour une instruction composée donne vrai lorsqu'au moins une des instructions simples entrantes est vraie. "Ajout logique", "disjonction". Signe d'opération : + , v

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1

Pour lequel des nombres donnés l'énoncé est-il faux :

NE PAS(nombre > 50) OU ALORS(nombre pair)?
1) 9 2) 56 3) 123 4) 8

Décision. Tout d'abord, nous effectuons des comparaisons entre parenthèses, puis l'opération NOT et enfin l'opération OR.

1) Remplacez le chiffre 9 dans l'expression :
NE PAS (9 > 50) OU ALORS(9 pairs)
NE PAS(Faux) OU ALORS(faux) = vrai OU ALORS faux = vrai

9 ne nous convient pas, puisque par condition il faut mentir.

2) Remplacez le nombre 56 dans l'expression :
NE PAS (56 > 50) OU ALORS(56 même)
NE PAS(vrai) OU ALORS(vrai) = faux OU ALORS vrai = vrai

56 ne fonctionne pas non plus.

3) Substitut 123 :
NE PAS (123 > 50) OU ALORS(123 même)
NE PAS(vrai) OU ALORS(faux) = faux OU ALORS faux = faux

Le nombre 123 est apparu.

Ce problème pourrait être résolu d'une autre manière :
NE PAS(nombre > 50) OU ALORS(nombre pair)

Nous devons obtenir une valeur fausse. Nous voyons que l'opération OU sera effectuée en dernier. L'opération OU donnera faux lorsque NOT(nombre) et (nombre est pair) sont tous les deux faux.

Puisque la condition (un nombre pair) doit être égale à une valeur fausse, nous rejetons immédiatement les options avec les nombres 56, 8.

Ainsi, vous pouvez résoudre par substitution directe, ce qui est long et peut donner une erreur lors du calcul de l'expression ; ou vous pouvez résoudre le problème rapidement en analysant toutes les conditions simples.

Répondre: 3)

Exemple 2

Lequel des nombres suivants est vrai pour l'énoncé suivant :

NE PAS(Le premier chiffre est pair) ET PAS(Le dernier chiffre est impair) ?

1) 6843 2) 4562 3) 3561 4) 1234

Les parenthèses sont comparées en premier, puis les opérations NON sur les parenthèses et enfin ET. Cette expression entière doit être évaluée comme vraie.

Étant donné que l'opération n'inverse PAS le sens de l'énoncé, nous pouvons réécrire cette expression complexe comme suit :

(Le premier chiffre est impair) Et(Le dernier chiffre est pair) = vrai

Comme vous le savez, la multiplication logique ET ne donne la vérité que lorsque toutes les déclarations simples sont vraies. Donc les deux conditions doivent être vraies :

(Le premier chiffre est impair) = vrai (Le dernier chiffre est pair) = vrai

Comme vous pouvez le voir, seul le nombre 1234 convient

Répondre: 4)

Exemple 3

Lequel des noms suivants est vrai pour l'énoncé suivant :
NE PAS(La première lettre est une voyelle) Et(Nombre de lettres > 5) ?

1) Ivan 2) Nikolai 3) Semyon 4) Illarion

Réécrivons l'expression :
(La première lettre n'est pas une voyelle)Et(nombre de lettres > 5) = vrai
(Consonne de la première lettre)Et(nombre de lettres > 5) = vrai

Durée de la leçon : 45 minutes

Type de leçon : combiné:

• test de connaissances - travail oral;
• nouveau matériel - conférence;
• consolidation - exercices pratiques ;
• test de connaissances - tâches pour un travail indépendant.

Objectifs de la leçon:

• donner le concept de table de vérité ;
• consolidation du matériel de la leçon précédente "Algèbre propositionnelle" ;
• utilisation des technologies de l'information;
• inculquer la compétence de recherche indépendante de nouveau matériel;
• développement de la curiosité, initiative;
• l'éducation à la culture de l'information.

Plan de cours:

1. Moment d'organisation (2 min).
2. Répétition de la matière de la leçon précédente (enquête orale) (4 min).
3. Explication du nouveau matériel (12 min).
4. Ancrage

• étude de cas (5 min) ;
• exercices pratiques (10 min) ;
• devoirs pour travail indépendant (10 min).

Matériel matériel et logiciel :

• tableau blanc;
• projecteur multimédia;
• des ordinateurs;
• éditeur de présentation MS PowerPoint 2003 ;
• document de référence "Tables de vérité" ;
• démonstration de la présentation "Table de vérité".

Pendant les cours

I. Moment organisationnel

Nous poursuivons notre étude du sujet « Fondamentaux de la logique ». Dans les leçons précédentes, nous avons vu que la logique est assez étroitement liée à notre vie quotidienne, et nous avons également vu que presque toutes les déclarations peuvent être écrites sous la forme d'une formule.

II. Révision de la leçon précédente

Rappelons les principales définitions et concepts :

III. Explication du nouveau matériel

Les deux derniers exemples sont des déclarations complexes. Comment déterminer la véracité d'énoncés complexes ?

Nous avons dit que c'était calculé. Pour ce faire, il existe des tables en logique pour calculer la vérité des énoncés composés (complexes). On les appelle tables de vérité.

Ainsi, le sujet de la leçon est TABLES DE VÉRITÉ.

3.1) Définition. Une table de vérité est un tableau qui montre la vérité d'un énoncé complexe pour toutes les valeurs possibles des variables d'entrée (Figure 1).

3.2) Analysons plus en détail chaque opération logique conformément à sa définition :

1. L'inversion (négation) est une opération logique qui associe chaque énoncé simple à un énoncé composé, qui consiste dans le fait que l'énoncé original est nié.

Cette opération s'applique à une seule variable, donc seulement deux lignes, parce que une variable peut avoir l'un des deux valeurs : 0 ou 1.

2. Une conjonction (multiplication) est une opération logique qui associe deux énoncés simples à un énoncé composé qui est vrai si et seulement si les deux énoncés originaux sont vrais.

Il est facile de voir que cette table est vraiment similaire à la table de multiplication.

3. La disjonction (addition) est une opération logique qui associe chacune de deux déclarations simples à une déclaration composée qui est fausse si et seulement si les deux déclarations originales sont fausses.

On peut voir que la table est similaire à la table d'addition sauf dernière action. Dans le système binaire 1 + 1 = 10, en décimal - 1 + 1 = 2. En logique, la valeur de la variable 2 est impossible, considérons 10 du point de vue de la logique : 1 est vrai, 0 est faux, c'est-à-dire 10 est vrai et faux en même temps, ce qui ne peut pas l'être, donc la dernière action est strictement basée sur la définition.

4. L'implication (suite) est une opération logique qui associe toutes les deux déclarations simples à une déclaration composée qui est fausse si et seulement si la condition est vraie et la conséquence est fausse.

5. L'équivalence (équivalence) est une opération logique qui associe chacune de deux déclarations simples à une déclaration composée qui est vraie si et seulement si les deux déclarations originales sont simultanément vraies ou fausses.

Les deux dernières opérations ont été analysées par nous dans la leçon précédente.

3.3) Démontons algorithme de la table de vérité pour une phrase complexe :

3.4) Prenons un exemple de compilation d'une table de vérité pour une déclaration complexe :

Exemple. Construire une table de vérité pour la formule : A U B -> ¬A U C.

Résolution (Figure 2)

L'exemple montre que la table de vérité n'est pas toute la décision, mais seulement la dernière action (colonne surlignée en rouge).

IV. Consolidation.

Pour consolider le matériel, vous êtes invité à résoudre indépendamment les exemples sous les lettres a, b, c, en plus d–g (Figure 3).

V. Devoirs, résumant le matériel.

Les devoirs vous sont également donnés sur l'écran du moniteur (Figure 4)

Généralisation du matériel : aujourd'hui, dans la leçon, nous avons appris à déterminer la vérité des déclarations composées, mais plus d'un point de vue mathématique, car on ne vous a pas donné les déclarations elles-mêmes, mais les formules qui les affichent. Dans les prochaines leçons, nous allons consolider ces compétences et essayer de les appliquer à la solution tâches logiques.

Algèbre de la logique

Algèbre de la logique

Algèbre de la logique(Anglais) algèbre de la logique) est l'une des principales branches de la logique mathématique, dans laquelle les méthodes de l'algèbre sont utilisées dans les transformations logiques.

Le fondateur de l'algèbre de la logique est le mathématicien et logicien anglais J. Boole (1815-1864), qui a fondé sa doctrine logique sur l'analogie entre l'algèbre et la logique. Il écrivait tout énoncé en utilisant les symboles du langage qu'il développait et recevait des « équations », dont la vérité ou la fausseté pouvait être prouvée sur la base de certaines lois logiques, telles que les lois de commutativité, de distributivité, d'associativité, etc.

Moderne algèbre de la logique est une branche de la logique mathématique et étudie les opérations logiques sur les énoncés du point de vue de leur valeur de vérité (vrai, faux). Les déclarations peuvent être vraies, fausses ou contenir du vrai et du faux dans des proportions différentes.

déclaration logique est toute phrase déclarative par rapport à laquelle on peut affirmer sans équivoque que son contenu est vrai ou faux.

Par exemple, « 3 fois 3 égale 9 », « Arkhangelsk au nord de Vologda » sont des affirmations vraies, et « Cinq est inférieur à trois », « Mars est une étoile » sont fausses.

De toute évidence, toutes les phrases ne peuvent pas être une déclaration logique, car il n'est pas toujours logique de parler de sa fausseté ou de sa vérité. Par exemple, l'énoncé «L'informatique est un sujet intéressant» est vague et nécessite des informations supplémentaires, et l'énoncé «Pour un élève de 10e année, Ivanov A. A., l'informatique est un sujet intéressant», selon les intérêts d'Ivanov A. A., peut prendre la valeur "vrai" ou "faux".

À l'exception algèbre propositionnelle à deux valeurs, dans lequel seules deux valeurs sont acceptées - "vrai" et "faux", il y a algèbre propositionnelle multivaluée. Dans une telle algèbre, en plus des significations "vrai" et "faux", des valeurs de vérité telles que "probablement", "possible", "impossible", etc. sont utilisées.

En algèbre, les logiques diffèrent Facile(élémentaire) déclarations, désigné par des lettres latines (A, B, C, D, ...), et complexe(composite), composé de plusieurs simples utilisant des connecteurs logiques, par exemple, tels que "pas", "et", "ou", "si et seulement alors", "si ... alors". La véracité ou la fausseté des énoncés complexes ainsi obtenus est déterminée par la signification des énoncés simples.

Dénoter comme MAIS l'énoncé "L'algèbre de la logique a été appliquée avec succès dans la théorie des circuits électriques", et à travers À- "L'algèbre de la logique est utilisée dans la synthèse des circuits relais-contact."

Puis l'énoncé composé "L'algèbre de la logique est appliquée avec succès dans la théorie circuits électriques et dans la synthèse des circuits relais-contact "peut être brièvement écrit comme A et B; ici "et" est un connecteur logique. Évidemment, puisque les propositions élémentaires A et B sont vrais, alors l'énoncé composé est également vrai A et B.

Chaque connecteur logique est considéré comme une opération sur des énoncés logiques et a son propre nom et sa propre désignation.

Il n'y a que deux valeurs logiques : vrai et faux (FAUX). Cela correspond à la représentation numérique − 1 et 0 . Les résultats de chaque opération logique peuvent être enregistrés sous forme de tableau. Ces tables sont appelées tables de vérité.

Opérations de base de l'algèbre logique

1. Négation logique, inversion(lat. renversement- inversion) - une opération logique, à la suite de laquelle une nouvelle instruction est obtenue à partir d'une instruction donnée (par exemple, A) ( pas un), qui est appelée négation de l'énoncé original, désigné symboliquement par une barre supérieure ($A↖(-)$) ou par des conventions telles que ¬, "pas", et lit : "pas A", "A est faux", "ce n'est pas vrai que A", "négation de A". Par exemple, "Mars est une planète système solaire"(énoncé A); "Mars n'est pas une planète du système solaire" ($A↖(-)$); la proposition "10 est un nombre premier" (proposition B) est fausse ; la proposition "10 n'est pas un nombre premier" (proposition B) est vraie.

Une opération utilisée par rapport à une quantité est appelée unaire. Le tableau des valeurs pour cette opération a la forme

$A↖(-)$ est faux quand A est vrai et vrai quand A est faux.

Géométriquement, la négation peut être représentée comme suit : si A est un certain ensemble de points, alors $A↖(-)$ est le complémentaire de l'ensemble A, c'est-à-dire tous les points qui n'appartiennent pas à l'ensemble A.

2.Conjonction(lat. conjonction- connexion) - multiplication logique, une opération qui nécessite au moins deux valeurs logiques (opérandes) et relie deux ou plusieurs instructions à l'aide d'un groupe "et"(Par example, "A et B"), qui est symboliquement désigné par le signe ∧ (A ∧ B) et se lit : « A et B ». Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer la conjonction : A ∙ B; A & B, A et B, et parfois aucun signe n'est mis entre les déclarations : AB. Exemple de multiplication logique : "Ce triangle est isocèle et rectangle." Cette proposition ne peut être vraie que si les deux conditions sont remplies, sinon la proposition est fausse.

déclaration MAIS ∧ À vrai uniquement si les deux déclarations sont MAIS et À vrai.

Géométriquement, la conjonction peut être représentée comme suit : si UN B MAIS ∧ À il y a une intersection d'ensembles MAIS et À.

3. Disjonction(lat. disjonction- division) - addition logique, une opération qui relie deux déclarations ou plus à l'aide d'un groupe "ou alors"(Par example, "A ou B"), qui est symboliquement désigné par le signe ∨ (MAIS∨ À) et lit : "A ou B". Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer la disjonction : A + B ; A ou B; Un | B. Exemple d'addition logique : "Le nombre x est divisible par 3 ou 5." Cette proposition sera vraie si les deux conditions ou au moins une des conditions sont satisfaites.

La table de vérité de l'opération a la forme

déclaration MAIS∨ À est faux uniquement lorsque les deux déclarations sont MAIS et À faux.

Géométriquement, l'addition logique peut être représentée comme suit : si UN B sont des ensembles de points, alors MAIS ∨ À est la réunion des ensembles MAIS et À, c'est-à-dire une figure qui combine à la fois un carré et un cercle.

4. Disjonction disjonction stricte, addition modulo deux- une opération logique qui relie deux déclarations à l'aide d'un connecteur "ou alors", utilisé au sens exclusif, qui est symboliquement désigné par les signes ∨ ∨ ou ⊕ ( MAIS ∨ ∨ B, A ⊕ À) et lit : "A ou B". Un exemple d'addition modulo deux est l'énoncé « Ce triangle est obtus ou aigu ». L'énoncé est vrai si l'une des conditions est satisfaite.

La table de vérité de l'opération a la forme

La proposition A ⊕ B n'est vraie que si les propositions A et B ont des significations différentes.

5. implication(lat. implicitement- Je me connecte étroitement) - une opération logique qui relie deux déclarations à l'aide d'un groupe "si donc" en un énoncé complexe, qui est symboliquement désigné par le signe → ( MAIS → À) et lit : "si A, alors B", "A implique B", "de A suit B", "A implique B". Le signe ⊃ (A ⊃ B) est également utilisé pour désigner l'implication. Un exemple de l'implication : "Si le quadrilatère résultant est un carré, alors un cercle peut être circonscrit autour de lui." Cette opération relie deux expressions logiques simples, dont la première est une condition et la seconde une conséquence. Le résultat d'une opération n'est faux que si la prémisse est vraie et la conséquence est fausse. Par exemple, "Si 3 * 3 = 9 (A), alors le Soleil est une planète (B)", le résultat de l'implication A → B est faux.

La table de vérité de l'opération a la forme

Pour l'opération d'implication, l'assertion est vraie que tout peut découler d'un mensonge, mais seulement la vérité d'une vérité.

6. Équivalence, double implication, équivalence(lat. égalité- égal et valentis- valide) - une opération logique qui autorise deux déclarations MAIS et À obtenir une nouvelle déclaration UNE ≡ B qui se lit : "A est équivalent à B". Les signes suivants sont également utilisés pour indiquer l'équivalence : ⇔, ∼. Cette opération peut être exprimée par des connecteurs "si et seulement alors", "nécessaire et suffisant", "équivalent". Un exemple d'équivalence est l'énoncé : "Un triangle sera rectangle si et seulement si l'un des angles est égal à 90 degrés."

La table de vérité de l'opération d'équivalence a la forme

L'opération d'équivalence est l'opposé de l'addition modulo 2 et s'évalue à vrai si et seulement si les valeurs des variables sont les mêmes.

Connaissant la signification d'énoncés simples, il est possible de déterminer la signification d'énoncés complexes sur la base de tables de vérité. En même temps, il est important de savoir que trois opérations suffisent pour représenter n'importe quelle fonction de l'algèbre de la logique : la conjonction, la disjonction et la négation.

La priorité des opérations logiques est la suivante : négation ( "ne pas") a la priorité la plus élevée, alors la conjonction ( "et"), après conjonction — disjonction ( "ou alors").

À l'aide de variables logiques et d'opérations logiques, toute déclaration logique peut être formalisée, c'est-à-dire remplacée par une formule logique. Dans le même temps, les déclarations élémentaires qui forment une déclaration composée peuvent n'avoir aucun rapport de sens, mais cela n'interfère pas avec la détermination de la vérité ou de la fausseté d'une déclaration composée. Par exemple, l'énoncé "Si cinq est supérieur à deux ( MAIS), alors mardi vient toujours après lundi ( À)" - sous-entendu MAIS→ À, et le résultat de l'opération dans ce cas est "vrai". Dans les opérations logiques, la signification des énoncés n'est pas prise en compte, seule leur vérité ou leur fausseté est prise en compte.

Considérons, par exemple, la construction d'une instruction composée à partir d'instructions MAIS et À, qui serait faux si et seulement si les deux déclarations sont vraies. Dans la table de vérité de l'opération d'addition modulo deux, on trouve : 1 ⊕ 1 = 0. Et l'énoncé peut être, par exemple, ceci : « Cette boule est complètement rouge ou complètement bleue. Par conséquent, si l'énoncé MAIS"Cette balle est complètement rouge" est un vrai et une déclaration À"Cette balle est complètement bleue" est vrai, alors l'énoncé composé est faux, puisque la balle ne peut pas être à la fois rouge et bleue.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Déterminer pour les valeurs indiquées de X la valeur de l'énoncé logique ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1 ; 2) X = 12 ; 3) X = 3.

Décision. La séquence des opérations est la suivante : d'abord, les opérations de comparaison entre parenthèses sont effectuées, puis la disjonction, et l'opération d'implication est effectuée en dernier. L'opérateur de disjonction ∨ est faux si et seulement si les deux opérandes sont faux. La table de vérité de l'implication est

De là, nous obtenons:

1) pour X = 1 :

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) pour X = 12 :

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) pour X = 3 :

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Exemple 2 Spécifiez l'ensemble de valeurs entières X pour lesquelles l'expression ¬((X > 2) → (X > 5)) est vraie.

Décision. L'opération de négation est appliquée à l'expression entière ((X > 2) → (X > 5)) , donc quand l'expression ¬((X > 2) → (X > 5)) est vraie, l'expression ((X > 2) →(X > 5)) est faux. Il faut donc déterminer pour quelles valeurs de X l'expression ((X > 2) → (X > 5)) est fausse. L'opérateur d'implication ne prend la valeur "faux" que dans un seul cas : lorsqu'un faux découle de la vérité. Et ceci n'est vrai que pour X = 3 ; X=4 ; X=5.

Exemple 3 Pour lequel des mots suivants l'énoncé ¬(voyelle de la première lettre ∧ voyelle de la troisième lettre) ⇔ chaîne de 4 caractères est-il faux ? 1) as ; 2) biscuit ; 3) maïs ; 4) erreur ; 5) homme fort.

Décision. Examinons chacun des mots suivants un par un :

1) pour le mot assa on obtient : ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — l'énoncé est vrai ;

2) pour le mot kuku on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — l'énoncé est vrai ;

3) pour le mot maïs on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - l'énoncé est faux ;

4) pour le mot erreur nous obtenons : ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — l'énoncé est vrai ;

5) pour le mot homme fort on obtient : ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - l'énoncé est faux.

Expressions booléennes et leur conversion

En dessous de Expression booléenne doit être compris comme un tel enregistrement pouvant prendre la valeur logique "vrai" ou "faux". Avec cette définition, parmi les expressions logiques, il faut distinguer entre :

• des expressions qui utilisent des opérations de comparaison ("supérieur à", "inférieur à", "égal", "différent de", etc.) et prennent des valeurs logiques (par exemple, l'expression a > b, où a = 5 et b = 7, égal à "faux");
• expressions logiques directes associées à des valeurs logiques et des opérations logiques (par exemple, A ∨ B ∧ C, où A = vrai, B = faux et C = vrai).

Les expressions booléennes peuvent inclure des fonctions, des opérations algébriques, des opérations de comparaison et des opérations logiques. Dans ce cas, la priorité d'exécution des actions est la suivante :

1. calcul des dépendances fonctionnelles existantes ;
2. effectuer des opérations algébriques (d'abord multiplication et division, puis soustraction et addition);
3. effectuer des opérations de comparaison (dans un ordre aléatoire);
4. exécution d'opérations logiques (d'abord l'opération de négation, puis les opérations de multiplication logique, d'addition logique, les dernières opérations sont l'implication et l'équivalence).

Une expression booléenne peut utiliser des parenthèses qui modifient l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées.

Exemple. Trouver la valeur d'une expression :

$1 ≤ une ∨ UNE ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ pour a = 2, b = 3, A = vrai, B = faux.

Décision. L'ordre des valeurs de comptage :

1) b a + a b > a + b, après substitution on obtient : 3 2 + 2 3 > 2 + 3, soit 17 > 2 + 3 = vrai ;

2) A ∧ B = vrai ∧ faux = faux.

Par conséquent, l'expression entre parenthèses est (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = vrai ∨ faux = vrai ;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = vrai ;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Après ces calculs, nous obtenons finalement : vrai ∨ A ∧ vrai ∧ ¬B ∧ ¬vrai.

Il faut maintenant effectuer les opérations de négation, puis la multiplication et l'addition logiques :

5) ¬B = ¬faux = vrai ; ¬vrai = faux ;

6) A ∧ vrai ∧ vrai ∧ faux = vrai ∧ vrai ∧ vrai ∧ faux = faux ;

7) vrai ∨ faux = vrai.

Ainsi, le résultat d'une expression logique pour les valeurs données est "vrai".

Noter.Étant donné que l'expression originale est, en fin de compte, la somme de deux termes, et la valeur de l'un d'eux 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = vrai, sans autres calculs, nous pouvons dire que le résultat pour l'expression entière est également "vrai ”.

Transformations d'identité d'expressions logiques

Dans l'algèbre de la logique, les lois fondamentales sont remplies, ce qui permet des transformations identiques d'expressions logiques.

Les preuves de ces énoncés sont produites sur la base de la construction de tables de vérité pour les enregistrements correspondants.

Les transformations équivalentes de formules logiques ont le même but que les transformations de formules en algèbre ordinaire. Ils servent à simplifier des formules ou à les amener à une certaine forme en utilisant les lois fondamentales de l'algèbre de la logique. En dessous de simplification de formule, qui ne contient pas les opérations d'implication et d'équivalence, s'entend comme une transformation équivalente conduisant à une formule qui contient soit un plus petit nombre d'opérations par rapport à celle d'origine, soit un plus petit nombre de variables.

Certaines transformations de formules logiques sont similaires aux transformations de formules en algèbre ordinaire (mise entre parenthèses du facteur commun, utilisation des lois commutatives et associatives, etc.), tandis que d'autres transformations sont basées sur des propriétés que les opérations d'algèbre ordinaire n'ont pas (utilisation de la loi distributive loi de conjonction, lois d'absorption, de collage, de Morgan, etc.).

Examinons des exemples de certaines des techniques et méthodes utilisées lors de la simplification de formules logiques :

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Pour transformer ici, vous pouvez appliquer la loi d'idempotence, la loi distributive ; un fonctionnement variable avec inversion et un fonctionnement constant.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Ici, pour simplifier, la loi d'absorption est appliquée.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Lors de la conversion, la règle de Morgan, l'opération d'une variable avec son inverse, l'opération avec une constante sont appliquées

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Trouver une expression logique équivalente à l'expression A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Décision. On applique la règle de de Morgan pour B et C : ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .

Nous obtenons une expression équivalente à celle d'origine : A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Répondre: A ∧ B ∧ ¬C.

Exemple 2 Indiquez la valeur des variables logiques A, B, C, pour lesquelles la valeur de l'expression logique (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) est fausse.

Décision. L'opération d'implication n'est fausse que si a est faux à partir d'une prémisse vraie. Ainsi, pour une expression donnée, la prémisse A ∨ B doit prendre la valeur "vrai", et la conséquence, c'est-à-dire l'expression B ∨ ¬C ∨ B , doit prendre la valeur "faux".

1) A ∨ B - le résultat de la disjonction est "vrai" si au moins un des opérandes est "vrai" ;

2) B ∨ ¬C ∨ B - l'expression est fausse si tous les termes ont la valeur "faux", c'est-à-dire B - "faux" ; ¬C est "faux", et donc la variable C a la valeur "vrai" ;

3) si nous considérons la prémisse et tenons compte du fait que B est "faux", alors nous obtenons que la valeur de A est "vraie".

Répondre: A est vrai, B est faux, C est vrai.

Exemple 3 Quel est le plus grand entier X pour lequel l'énoncé (35

Décision.Écrivons la table de vérité pour l'opération d'implication :

Expression X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Répondre: X=5.

Utilisation d'expressions booléennes pour décrire des régions géométriques

Des expressions booléennes peuvent être utilisées pour décrire des régions géométriques. Dans ce cas, la tâche est formulée comme suit : écrire pour une région géométrique donnée une telle expression logique qui prend la valeur "vrai" pour les valeurs x, y si et seulement si tout point de coordonnées (x; y) appartient à la région géométrique.

Considérons la description d'une région géométrique à l'aide d'une expression logique à l'aide d'exemples.

Exemple 1 L'image de la région géométrique est définie. Écrivez une expression logique décrivant l'ensemble des points qui lui appartiennent.

1) .

Décision. La région géométrique donnée peut être représentée comme un ensemble des régions suivantes : la première région — D1 — demi-plan $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, la seconde — D2 — un cercle centré à l'origine $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Leur intersection D1 $∩$ D2 est la région désirée.

Résultat: expression booléenne $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Cette zone peut s'écrire comme suit : |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Noter. Lors de la construction d'une expression logique, des inégalités non strictes sont utilisées, ce qui signifie que les limites des figures appartiennent également à la zone ombrée. Si vous utilisez des inégalités strictes, les frontières ne seront pas prises en compte. Les frontières qui n'appartiennent pas à une région sont généralement représentées par des lignes pointillées.

Vous pouvez résoudre le problème inverse, à savoir : dessiner une région pour une expression logique donnée.

Exemple 2 Dessinez et ombrez la zone dont les points satisfont la condition logique y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Décision. La zone recherchée est l'intersection de trois demi-plans. On construit sur le plan (x, y) des droites y = x ; y=-x ; y = 2. Ce sont les frontières de la région, et la dernière frontière y = 2 n'appartient pas à la région, donc on la dessine ligne pointillée. Pour satisfaire l'inégalité y ≥ x, il faut que les points soient à gauche de la droite y = x, et l'inégalité y = -x soit satisfaite pour les points qui sont à droite de la droite y = -x. État y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Utiliser des fonctions logiques pour décrire des circuits électriques

Les fonctions logiques sont très pratiques pour décrire le fonctionnement des circuits électriques. Ainsi, pour le circuit illustré sur la figure, où la valeur de la variable X est l'état de l'interrupteur (s'il est allumé, la valeur de X est "vrai", et s'il est éteint - "faux"), cela la valeur de Y est l'état de l'ampoule (si elle est allumée) - la valeur est "vrai", et sinon - "faux"), la fonction logique s'écrira comme suit : Y = X . La fonction Y est appelée fonction conductrice.

Pour le circuit représenté sur la figure, la fonction logique Y a la forme : Y = X1 ∪ X2, puisqu'un interrupteur suffit pour allumer l'ampoule. Dans le circuit de la Fig., pour que l'ampoule brûle, les deux interrupteurs doivent être allumés, par conséquent, la fonction de conductivité a la forme: Y \u003d X1 ∧ X2.

Pour un circuit plus complexe, la fonction de conductance ressemblera à : Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Le circuit peut également contenir des contacts d'établissement. Dans ce cas, le contact ouvert en tant qu'interrupteur garantit que l'ampoule s'allume lorsque le bouton est relâché plutôt qu'enfoncé. Pour de tels circuits, le sectionneur est décrit par négation.

Les deux régimes sont appelés équivalent, si le courant traverse l'un d'eux lorsqu'il traverse l'autre. Des deux circuits équivalents, on considère le circuit le plus simple dont la fonction de conductivité contient un plus petit nombre d'éléments. La tâche de trouver le plus circuits simples entre équivalents est très important.

Utilisation de l'appareil d'algèbre logique dans la conception de circuits logiques

L'appareil mathématique de l'algèbre de la logique est très pratique pour décrire le fonctionnement du matériel d'un ordinateur. Toute information lorsqu'elle est traitée sur un ordinateur est représentée sous forme binaire, c'est-à-dire qu'elle est codée par une certaine séquence de 0 et 1. Le traitement des signaux binaires correspondant à 0 et 1 est effectué dans l'ordinateur par des éléments logiques. Portes logiques qui effectuent des opérations logiques de base ET, OU, NON, sont présentés dans la fig.

Les symboles des éléments logiques sont standard et sont utilisés lors de l'élaboration de circuits logiques informatiques. À l'aide de ces circuits, vous pouvez implémenter n'importe quelle fonction logique décrivant le fonctionnement d'un ordinateur.

Techniquement, un élément de logique informatique est implémenté sous la forme circuit électrique, qui est une connexion de différentes pièces : diodes, transistors, résistances, condensateurs. L'entrée d'un élément logique, également appelé porte, reçoit des signaux électriques de niveaux de tension haut et bas, la sortie reçoit un signal de sortie, également haut ou niveau faible. Ces niveaux correspondent à l'un des états système binaire: Dix; VRAI FAUX. Chaque élément logique a son propre symbole, qui exprime sa fonction logique, mais n'indique pas laquelle circuit électrique mis en œuvre dans celui-ci. Cela facilite l'écriture et la compréhension de circuits logiques complexes. Le fonctionnement des circuits logiques est décrit à l'aide de tables de vérité. Symbole dans le schéma OU, le signe "1" provient de la désignation obsolète de disjonction par "> = 1" (la valeur de la disjonction est 1 si la somme des deux opérandes est supérieure ou égale à 1). Le signe "&" dans le diagramme AND est une notation abrégée du mot anglais and.

Les éléments électroniques sont constitués d'éléments logiques. logique, qui effectuent des opérations logiques plus complexes. Un ensemble d'éléments logiques, composé d'éléments NOT, OR, AND, avec lesquels vous pouvez construire une structure logique de n'importe quelle complexité, est appelé fonctionnellement complet.

Construction de tables de vérité d'expressions logiques

Pour une formule logique, vous pouvez toujours écrire table de vérité, c'est-à-dire présenter la fonction logique donnée sous forme de tableau. Dans ce cas, le tableau doit contenir toutes les combinaisons possibles d'arguments de fonction (formules) et de valeurs de fonction correspondantes (résultats de formule sur un ensemble de valeurs donné).

Une forme de notation pratique lors de la recherche de valeurs de fonction est un tableau contenant, en plus des valeurs variables et des valeurs de fonction, également les valeurs des calculs intermédiaires. Prenons un exemple de construction d'une table de vérité pour la formule $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

Si une fonction est évaluée à 1 pour tous les ensembles de valeurs variables, elle est identiquement vrai; si pour tous les ensembles de valeurs d'entrée la fonction prend la valeur 0, c'est identiquement faux; si l'ensemble des valeurs de sortie contient à la fois 0 et 1, la fonction est appelée faisable. L'exemple ci-dessus est un exemple d'une fonction identiquement vraie.

Connaissant la forme analytique de la fonction logique, vous pouvez toujours passer à la forme tabulaire des fonctions logiques. A partir d'une table de vérité donnée, on peut résoudre le problème inverse, à savoir : pour une table donnée, construire une formule analytique d'une fonction logique. Il existe deux formes de construction d'une dépendance analytique d'une fonction logique selon une fonction donnée sous forme de tableau.

1. Forme normale disjonctive (DNF) est la somme des produits formés à partir des variables et de leurs négations pour les fausses valeurs.

L'algorithme de construction d'un DNF est le suivant :

1. dans la table de vérité, les fonctions sélectionnent des ensembles d'arguments dont les formes logiques sont égales à 1 ("vrai");
2. tous les ensembles logiques sélectionnés en tant que produits logiques d'arguments sont enregistrés en les connectant séquentiellement les uns aux autres par l'opération d'une somme logique (disjonction);
3. pour les arguments faux, une opération de négation est posée dans la notation construite.

Exemple. Construisez une fonction qui détermine que le premier nombre est égal au second, en utilisant la méthode DNF. La table de vérité d'une fonction a la forme

Décision. Nous sélectionnons des ensembles de valeurs d'arguments dans lesquels la fonction est égale à 1. Ce sont les première et quatrième lignes du tableau (la ligne d'en-tête n'est pas prise en compte lors de la numérotation).

Nous écrivons les produits logiques des arguments de ces ensembles, en les combinant avec une somme logique : X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Nous écrivons la négation des arguments des ensembles sélectionnés qui ont une valeur fausse (la quatrième ligne du tableau ; le deuxième ensemble de la formule ; les premier et deuxième éléments) : X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Répondre: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Forme conjonctivement normale (CNF) est le produit de sommes formées de variables et de leurs négations pour les vraies valeurs.

L'algorithme de construction d'un CNF est le suivant :

1. dans la table de vérité, on sélectionne des ensembles d'arguments dont les formes logiques sont 0 ("faux");
2. tous les ensembles logiques sélectionnés en tant que sommes logiques d'arguments sont écrits séquentiellement, les reliant les uns aux autres par l'opération d'un produit logique (conjonction);
3. pour les arguments qui sont vrais, l'opération de négation est inscrite dans la notation construite.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Considérons l'exemple précédent, c'est-à-dire que nous allons construire une fonction qui détermine que le premier nombre est égal au second, en utilisant la méthode CNF. Pour une fonction donnée, sa table de vérité est de la forme

Décision. Nous sélectionnons des ensembles de valeurs d'arguments dans lesquels la fonction est égale à 0. Ce sont les deuxième et troisième lignes (la ligne d'en-tête n'est pas prise en compte lors de la numérotation).

Nous écrivons les sommes logiques des arguments de ces ensembles, en les combinant avec un produit logique : X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

Nous écrivons la négation des arguments des ensembles sélectionnés qui ont une valeur vraie (la deuxième ligne du tableau, le premier ensemble de la formule, le deuxième élément; pour la troisième ligne, et c'est le deuxième ensemble de la formule , le premier élément) : X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Ainsi, un enregistrement d'une fonction logique dans CNF a été obtenu.

Répondre: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Les valeurs de fonction obtenues par les deux méthodes sont équivalentes. Pour prouver cette affirmation, nous utilisons les règles de la logique : F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Exemple 2. Construisez une fonction logique pour une table de vérité donnée :

Formule requise : X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Il peut être simplifié : X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Exemple 3 Pour la table de vérité donnée, construisez une fonction logique en utilisant la méthode DNF.

Formule requise : X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3)↖(-)$.

La formule est assez lourde et devrait être simplifiée :

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Tables de vérité pour résoudre des problèmes logiques

Compiler des tables de vérité est l'un des moyens de résoudre des problèmes logiques. Lors de l'utilisation de cette méthode de résolution, les conditions contenues dans le problème sont corrigées à l'aide de tables spécialement compilées.

Exemples de résolution de problèmes

Exemple 1 Créez une table de vérité pour un dispositif de sécurité qui utilise trois capteurs et qui se déclenche lorsque seulement deux d'entre eux se ferment.

Décision.Évidemment, le résultat de la solution sera un tableau dans lequel la fonction recherchée Y(X1, X2, X3) aura la valeur "vrai" si deux variables quelconques ont la valeur "vrai".

Exemple 2 Faites un programme de leçons pour la journée, en considérant que la leçon d'informatique ne peut être que la première ou la deuxième, la leçon de mathématiques - la première ou la troisième, et la leçon de physique - la deuxième ou la troisième. Est-il possible de créer un horaire qui réponde à toutes les exigences ? Combien y a-t-il d'options d'horaire ?

Décision. Le problème est facilement résolu si vous créez le tableau approprié :

Le tableau montre qu'il existe deux options pour le calendrier souhaité :

1. mathématiques, informatique, physique;
2. informatique, physique, mathématiques.

Exemple 3 Trois amis sont venus au camp sportif - Peter, Boris et Alexei. Chacun d'eux est passionné par deux sports. On sait qu'il existe six sports de ce type : football, hockey, ski, natation, tennis, badminton. Il est également connu que :

1. Boris est l'aîné;
2. jouer au football est plus jeune que jouer au hockey ;
3. jouer au football et au hockey et Peter habite dans la même maison;
4. lorsqu'une querelle éclate entre un skieur et un joueur de tennis, Boris les réconcilie ;
5. Peter ne peut pas jouer au tennis ou au badminton.

Quels sports chacun des garçons aime-t-il ?

Décision. Créons un tableau et reflétons-y les conditions du problème, en remplissant les cellules correspondantes avec les nombres 0 et 1, selon que l'énoncé correspondant est faux ou vrai.

Puisqu'il y a six sports, il s'avère que tous les garçons sont friands de sports différents.

Il découle de la condition 4 que Boris n'aime pas le ski ou le tennis, et des conditions 3 et 5 que Pierre ne peut pas jouer au football, au hockey, au tennis et au badminton. Par conséquent, les sports préférés de Peter sont le ski et la natation. Mettons-le dans le tableau et remplissons les cellules restantes des colonnes "Ski" et "Natation" avec des zéros.

Le tableau montre que seul Aleksey peut jouer au tennis.

Les conditions 1 et 2 impliquent que Boris n'est pas un joueur de football. Ainsi, Alexei joue au football. Continuons à remplir le tableau. Nous ajouterons à cellules vides les chaînes "Aleksey" sont des zéros.

Enfin, nous apprenons que Boris aime le hockey et le badminton. La table finale ressemblera à ceci :

Répondre: Petr aime le ski et la natation, Boris joue au hockey et au badminton et Alexey joue au football et au tennis.

Cours d'informatique 9e année

Sujet : Concept, jugement, conclusion. Les notions de "vérité" et de "mensonge".

Sujet : Les notions de "vérité" et de "mensonge"

Objectifs:

initier les élèves aux notions d'"affirmations vraies et fausses" ;

apprendre à déterminer si l'énoncé est vrai du point de vue de la réalité objective ;

Tâches pédagogiques de la leçon:

développer la pensée logique, l'observation, la parole;

développer la capacité de travailler en équipe, respecter les opinions des camarades de classe.

Exigences pour le niveau de maîtrise du matériel pédagogique après la fin de la leçon:

savoir comment les gens obtiennent la "vérité" ;

être capable d'évaluer la vérité et de la corriger si elle est fausse ;

être capable de donner des exemples de la façon dont une affirmation vraie peut « devenir » fausse avec le temps.

Concepts clés: notions de "vrai" et de "faux".

Caractéristiques de la leçon :

forme d'organisation: conversation heuristique basée sur les connaissances et l'expérience des étudiants, travail frontal ;

type de leçon: combiné (formation de nouvelles connaissances basées sur l'actualisation de l'expérience et des connaissances quotidiennes existantes) ;

stratégie: analyse des connaissances existantes avec accès à un nouveau niveau de compréhension des affirmations vraies et fausses.

Support matériel de la leçon: manuel, démo PC.

Exemple de plan de cours :

Moment d'organisation (1-2 minutes).

Étude de nouveau sujet (10-12)

Fixation primaire (9-12 min).

Education physique (2-3 minutes).

Atelier informatique (10-12 min).

Généralisation et résumé (3 min).

Commentaire du professeur sur devoirs(2-3 minutes).

Pendant les cours

Organisation des étudiants pour le travail.

La devise de la leçon: "Considérez comme malheureux ce jour et cette heure où vous n'avez rien appris de nouveau, n'avez rien ajouté à votre éducation."

Les gars, nous avons sujet intéressant, mais je dois être sûr que vous êtes prêt à l'étudier.

II. Exploration d'un nouveau sujet.

Travail préparatoire.

Le jeu "La vérité est un mensonge"

Choisissez un synonyme pour le mot "vérité", et maintenant pour le mot "faux".

De nouvelles connaissances seront difficiles à acquérir et à maîtriser sans la capacité de répondre rapidement et correctement aux questions posées, alors commençons la leçon avec le jeu "True - lies"

Je vais donner quelques réflexions, si vous me croyez, puis tenez la carte "I", sinon, alors la carte "L".

Tous les crocodiles volent.

Un ordinateur est un assistant d'une personne pour compter.

10 est divisible par 3 sans reste.

Le téléphone sert de moyen de communication.

Notre école est située dans le 29ème arrondissement.

Nous n'avons pas de cours d'informatique pour le moment.

La ville de Temryue est la capitale du territoire de Krasnodar.

Toutes les écoles de la ville ont quatre étages.

Vous êtes des élèves de 4e et de 4e.

Introduction des notions de "faux, énoncé vrai"

Énumérez les déclarations auxquelles vous croyez. Pourquoi? (Parce que c'est vrai, c'est vrai)

De telles déclarations sont appelées vrai, c'est-à-dire véridique, correspondant à la réalité.

Comment pouvez-vous appeler les déclarations que vous considérez comme incorrectes ?

De telles déclarations sont faux.

Se souvenir! La vérité est ce qui correspond à la réalité.

Un mensonge est quelque chose qui n'est pas vrai.

Fixation du matériel.

Le jeu "Qui est le plus?"

Pour vérifier dans quelle mesure vous avez compris le nouveau matériel, je vous propose un jeu-concours "Qui est le plus ?"

Les règles du jeu sont les suivantes : la classe est divisée en deux équipes "Vrai" et "Faux". En conséquence, les gars de l'équipe "Vérité" donnent des exemples de déclarations vraies, et les gars de l'équipe "Faux" donnent des exemples de fausses déclarations.

Bon travail! Tu as fait un excellent travail. Pourquoi pensez-vous qu'il n'y a pas de gagnants et de perdants dans notre concours ?

Nous sommes entourés d'un si grand nombre d'objets et vous êtes très observateur, attentif et curieux, ce qui vous a aidé à faire face avec succès à la tâche.

2) Travailler sur le manuel.

Manuel de lecture pp. 82-85

premier sondage.

Est-il toujours facile de déterminer quand une affirmation donnée est vraie ? (non, parfois il n'y a pas assez de connaissances et d'expérience)

Quelles actions une personne doit-elle entreprendre pour obtenir la vérité ? (observer, comparer, réfléchir, calculer, mesurer, rechercher)

Quel est le résultat de la réflexion ? (énoncé oral ou énoncé sous forme de texte, figure, nombre, schéma, formule)

Donnez des exemples de la vie où une fausse déclaration devient vraie lorsque les gens apprennent quelque chose de nouveau ou vice versa.

Fizminutka.

Faites le jeu inverse

Nous avons commencé la leçon avec la sélection de synonymes, et maintenant je vous suggère de choisir des antonymes, et verbalement.

Je prononcerai des déclarations-actions, et vous ferez le contraire.

Asseoir.

Ne sautez pas.

Ne restez pas debout.

Ne lève pas les mains.

Pleurer.

Ne piétinez pas.

Soyez silencieux.

Ne vous asseyez pas.

Ne vous asseyez pas.

N'écoute pas.

Travailler dans des cahiers.

№ 1. Remplir les mots manquants:

Les notions de « vérité » et de « Faux ' sont des concepts incompatibles.

Vrai ne "coule" pas toujours en surface.

Les gens minent la vérité lors de l'observation, de l'examen d'objets et de phénomènes, pense , calculer, mesurer, etc.

L'énoncé peut être vrai ou faux .

La vérité est ce que correspond réalité.

Le mensonge c'est quoi réalité ne correspond pas.

№ 5. Traiter les informations graphiques et textuelles et indiquer si ces jugements sont vrais ou faux, en mettant en évidence la lettre souhaitée.

№ 6. a) Regardez le schéma.

"bois"

"érable"

"épicéa"

"pin"

"chêne"

Pensez aux mots et remplissez le diagramme

Aujourd'hui, nous allons parler d'un sujet appelé l'informatique. La table de vérité, les types de fonctions, l'ordre dans lequel elles sont exécutées sont nos principales questions, auxquelles nous essaierons de trouver des réponses dans l'article.

Habituellement, ce cours est enseigné au lycée, mais un grand nombre d'élèves est à l'origine d'une incompréhension de certaines fonctionnalités. Et si vous allez consacrer votre vie à cela, vous ne pouvez tout simplement pas vous passer de l'examen d'État unifié en informatique. La table de vérité, la transformation d'expressions complexes, la solution de problèmes logiques - tout cela se trouve dans un ticket. Nous allons maintenant examiner ce sujet plus en détail et vous aider à marquer plus de points à l'examen.

Sujet de logique

Quel genre de sujet est l'informatique? Table de vérité - comment la construire ? Pourquoi avons-nous besoin de la science de la logique ? Nous allons maintenant répondre à toutes ces questions.

L'informatique est un sujet assez passionnant. Cela ne peut pas être un problème pour la société moderne, car tout ce qui nous entoure, d'une manière ou d'une autre, renvoie à l'ordinateur.

Les bases de la science de la logique sont données par des professeurs de lycée dans des cours d'informatique. Tables de vérité, fonctions, simplification des expressions - tout cela devrait être expliqué par les professeurs d'informatique. Cette science est simplement nécessaire dans notre vie. Regardez de plus près, tout obéit à une sorte de lois. Vous avez lancé la balle, elle s'est envolée, mais après cela, elle est retombée au sol, cela s'est produit en raison des lois de la physique et de la force de gravité. Maman prépare de la soupe et ajoute du sel. Pourquoi, quand on en mange, on ne tombe pas sur des céréales ? C'est simple, le sel dissous dans l'eau, obéissant aux lois de la chimie.

Faites maintenant attention à votre façon de parler.

• "Si j'emmène mon chat à la clinique vétérinaire, il sera vacciné."
• "Aujourd'hui a été une journée très difficile car le chèque est arrivé."
• « Je ne veux pas aller à l'université parce qu'il y aura un colloque aujourd'hui », etc.

Tout ce que vous dites doit obéir aux lois de la logique. Cela s'applique à la fois aux conversations professionnelles et amicales. C'est pour cette raison qu'il est nécessaire de comprendre les lois de la logique afin de ne pas agir au hasard, mais d'être sûr de l'issue des événements.

Les fonctions

Afin de compiler une table de vérité pour le problème qui vous est proposé, vous devez connaître les fonctions logiques. Ce que c'est? La fonction booléenne a des variables qui sont des déclarations (vraies ou fausses), et la valeur de la fonction elle-même devrait nous donner la réponse à la question : "L'expression est-elle vraie ou fausse ?".

Toutes les expressions prennent les valeurs suivantes :

• Vrai ou faux.
• Je ou L
• 1 ou 0.
• Plus ou moins.

Ici, privilégiez la méthode qui vous convient le mieux. Afin de faire une table de vérité, nous devons lister toutes les combinaisons de variables. Leur nombre est calculé par la formule : 2 à la puissance n. Le résultat du calcul est le nombre de combinaisons possibles, la variable n dans cette formule est le nombre de variables dans la condition. Si l'expression comporte de nombreuses variables, vous pouvez utiliser une calculatrice ou créer un petit tableau pour vous-même en élevant deux à une puissance.

Au total, il existe sept fonctions ou relations dans la logique qui relient les expressions :

• Multiplication (conjonction).
• Addition (disjonction).
• Conséquence (implication).
• Équivalence.
• Inversion.
• AVC de Schaeffer.
• Percer la flèche.

La première opération présentée dans la liste est appelée "multiplication logique". Il peut être marqué graphiquement comme une coche inversée, & ou * signes. La deuxième opération de notre liste est l'addition logique, indiquée graphiquement par une coche, +. Une implication est appelée une conséquence logique, indiquée par une flèche pointant de la condition à la conséquence. L'équivalence est indiquée par une flèche à double sens, la fonction n'est vraie que dans les cas où les deux valeurs prennent soit la valeur "1" soit "0". L'inversion est appelée négation logique. Le nombre premier de Schaeffer est appelé une fonction qui nie la conjonction, et la flèche de Pierce est appelée une fonction qui nie la disjonction.

Fonctions binaires de base

La table de vérité logique aide à trouver la réponse au problème, mais pour cela, vous devez vous souvenir des tables de fonctions binaires. Dans cette section, ils seront fournis.

Conjonction (multiplication). Si deux, alors nous obtenons vrai, dans tous les autres cas, nous obtenons faux.

Le résultat est faux avec addition logique, nous n'avons que dans le cas de deux fausses entrées.

Une conséquence logique est fausse uniquement lorsque la condition est vraie et que la conséquence est fausse. Ici, vous pouvez donner un exemple tiré de la vie : "Je voulais acheter du sucre, mais le magasin était fermé", par conséquent, le sucre n'a jamais été acheté.

L'équivalent est vrai uniquement dans les cas où les valeurs des données d'entrée sont les mêmes. C'est-à-dire avec des paires : "0 ; 0" ou "1 ; 1".

Dans le cas de l'inversion, tout est élémentaire, s'il y a une expression vraie à l'entrée, alors elle est convertie en fausse, et vice versa. L'image montre comment cela est indiqué graphiquement.

Le trait de Schiffer n'aura un résultat faux dans la sortie que s'il existe deux expressions vraies.

Dans le cas de la flèche Pierce, la fonction ne sera vraie que si nous n'avons que des expressions fausses en entrée.

Dans quel ordre effectuer les opérations logiques

Veuillez noter que la construction de tables de vérité et la simplification d'expressions ne sont possibles qu'avec le bon ordre des opérations. Rappelez-vous dans quel ordre ils doivent être effectués, c'est très important pour obtenir le bon résultat.

• négation logique;
• multiplication;
• une addition;
• conséquence;
• équivalence;
• négation de la multiplication (trait de Scheffer);
• négation de l'addition (flèche de Pierce).

Exemple 1

Nous proposons maintenant de considérer un exemple de construction d'une table de vérité pour 4 variables. Il faut savoir dans quels cas F \u003d 0 pour l'équation: non A + B + C * D

La réponse à cette tâche sera l'énumération des combinaisons suivantes : "1;0;0;0", "1;0;0;1" et "1;0;1;0". Comme vous pouvez le voir, faire une table de vérité est assez simple. Encore une fois, je voudrais attirer votre attention sur l'ordre des actions. Dans ce cas particulier, il s'agissait de :

1. Inversion de la première expression simple.
2. La conjonction des troisième et quatrième expressions.
3. Disjonction de la deuxième expression avec les résultats des calculs précédents.

Exemple #2

Nous allons maintenant considérer une autre tâche qui nécessite la construction d'une table de vérité. L'informatique (des exemples ont été tirés d'un cours scolaire) peut également être donnée comme une tâche. Considérons brièvement l'un d'entre eux. Vanya est-elle coupable d'avoir volé le ballon si l'on sait ce qui suit :

• Si Vanya n'a pas volé ou Petya l'a fait, alors Seryozha a participé au vol.
• Si Vanya n'est pas coupable, alors Seryozha n'a pas non plus volé le ballon.

Introduisons la notation : I - Vanya a volé la balle ; P - Petya a volé; S - Seryozha a volé.

Selon cette condition, on peut composer une équation : F=((nonI+P) implication C)*(nonI implication nonC). Nous avons besoin de ces options où la fonction prend une vraie valeur. Ensuite, vous devez créer un tableau, puisque cette fonction a jusqu'à 7 actions, nous les omettrons. Nous ne saisirons que les données d'entrée et le résultat.

Veuillez noter que dans ce problème, nous avons utilisé des signes plus et moins au lieu des signes "0" et "1". Ceci est également acceptable. Nous nous intéressons aux combinaisons où F=+. Après les avoir analysés, nous pouvons tirer la conclusion suivante : Vanya a participé au vol du ballon, puisque dans tous les cas où F prend la valeur +, ET a une valeur positive.

Exemple #3

Nous vous proposons maintenant de trouver le nombre de combinaisons lorsque F=1. L'équation est la suivante : F=notA+B*A+notB. On fait une table de vérité :

Réponse : 4 combinaisons.