Arithmétique dans les systèmes numériques. Opérations arithmétiques dans les systèmes numériques. Contrôle des devoirs

Systèmes de numérotation

Système de numérotation - un ensemble de techniques et de règles pour écrire des nombres dans des signes ou des symboles numériques.

Tous les systèmes numériques peuvent être divisés en deux classes : positionnel et non positionnel... Dans la classe des systèmes positionnels pour écrire des nombres dans différents systèmes le calcul utilise un certain nombre de caractères différents. Le nombre de ces caractères dans le système de numérotation positionnelle est appelé base du système de numération. Vous trouverez ci-dessous un tableau contenant les noms de certains systèmes de numération positionnelle et une liste de signes (nombres) à partir desquels les nombres sont formés.

Certains systèmes de numérotation

Dans le système de numération positionnelle, la position relative du chiffre dans le nombre se voit attribuer un facteur de pondération, et le nombre peut être représenté comme la somme des produits des coefficients par le degré correspondant de la base du système de numération (facteur de pondération ):

A n A n – 1 A n – 2 ... A 1 A 0, A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(Le signe "," sépare la partie entière du nombre de la partie fractionnaire. Ainsi, la signification de chaque signe dans le nombre dépend de la position qu'occupe le signe dans l'enregistrement du nombre. C'est pourquoi de tels systèmes de nombres sont appelés positionnels ).

Système de numérotation positionnelle - un système dans lequel la valeur d'un nombre est déterminée par les valeurs des chiffres qu'il contient et leur position relative dans le nombre.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

L'index décimal en bas indique la base du système numérique.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F, 4 16 = A 16 2 + 1 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Lorsque vous travaillez avec des ordinateurs, vous devez utiliser plusieurs systèmes de nombres positionnels en parallèle (le plus souvent binaire, décimal, octal et hexadécimal), par conséquent, les procédures de conversion des nombres d'un système de nombres à un autre sont d'une grande importance pratique. Notez que dans tous les exemples ci-dessus, le résultat est un nombre décimal, et donc une méthode pour convertir des nombres de n'importe quel système de nombres positionnels en nombre décimal a déjà été démontrée.

En général, pour convertir la partie entière d'un nombre du système décimal au système de base B, vous devez la diviser par B. Le reste donnera le chiffre le moins significatif du nombre. Le quotient obtenu dans ce cas doit être à nouveau divisé par B - le reste donnera le chiffre suivant du nombre, etc. Les divisions continuent jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à la base. Les valeurs des résidus résultants, prises dans l'ordre inverse, forment le nombre binaire souhaité.

Un exemple de traduction d'une partie entière : Convertissez 25 10 en nombre binaire.

25/2 = 12 avec un reste de 1,

12/2 = 6 avec un reste de 0,

6/2 = 3 avec reste 0,

Les parties entières et fractionnaires sont traduites séparément. Pour traduire la partie fractionnaire, il faut la multiplier par B. La partie entière du produit résultant sera le premier signe (après la virgule qui sépare la partie entière de la fraction). La partie fractionnaire du produit doit être multipliée à nouveau par B. La partie entière du nombre résultant sera le signe suivant, etc.

Pour traduire la partie fractionnaire (ou un nombre avec des entiers "0"), vous devez le multiplier par 2. La partie entière du produit sera le premier chiffre du nombre dans système binaire... Ensuite, en rejetant toute la partie du résultat, nous multiplions à nouveau par 2, etc. Notez que la fraction décimale finale dans ce cas peut très bien devenir binaire (périodique) infini.

Un exemple de traduction de la partie fractionnaire : Convertir 0,73 10 en nombre binaire.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (partie entière 1),

0,46 2 = 0,92 (partie entière 0),

0,92 2 = 1,84 (toute la partie 1),

0,84 2 = 1,68 (partie entière de 1), etc.

Ainsi : 0,73 10 = 0,1011 2.

Diverses opérations arithmétiques peuvent être effectuées sur des nombres écrits dans n'importe quel système numérique. Les opérations arithmétiques dans tous les systèmes de nombres positionnels sont effectuées selon les mêmes règles que vous connaissez bien.

Envisagez d'ajouter deux nombres en base dix :

Lors de l'addition des nombres 6 et 7, le résultat peut être représenté par l'expression 10 + 3, où 10 est la base complète du système de nombres décimaux. Remplacez 10 (base) par 1 et remplacez à gauche du chiffre 3. Il s'avérera :

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Envisagez d'ajouter deux nombres à la base huit :

Lors de l'addition des nombres 6 et 7, le résultat peut être représenté par l'expression 8 + 5, où 8 est la base complète du système de nombres octaux. Remplacez 8 (base) par 1 et remplacez à gauche du chiffre 5. Il s'avérera :

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Envisagez d'ajouter deux grands nombres à la base huit :

L'addition commence par le bit le moins significatif. Ainsi, 4 8 + 6 8 est représenté par 8 (base) + 2. Remplacez 8 (base) par 1 et ajoutez cette unité aux chiffres les plus significatifs. Ensuite, ajoutez les chiffres suivants : 5 8 + 3 8 + 1 8 est représenté par 8 + 1, remplacez 8 (base) par 1 et ajoutez-le au bit de poids fort. Ensuite, 2 8 + 7 8 + 1 8 est représenté par 8 (base) + 2, remplacez 8 (base) par 1 et remplacez à gauche du nombre résultant (à la position du chiffre le plus significatif). Ainsi, il s'avère :

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

D'autres opérations arithmétiques (soustraction, multiplication et division) sont effectuées de la même manière dans différents systèmes numériques.

Considérons la multiplication "colonne", en utilisant l'exemple de deux nombres dans le système binaire :

11101 2 101 2

Nous écrivons des nombres les uns sous les autres, conformément aux chiffres. Ensuite, nous multiplions au niveau du bit le deuxième facteur par le premier et l'écrivons avec un décalage vers la gauche, de la même manière que lors de la multiplication de nombres décimaux. Il reste à additionner les nombres "décalés", en tenant compte de la base des nombres, en l'occurrence binaire.

convertir le résultat obtenu en base 16.

Dans le deuxième chiffre, 29 est représenté par 16 (base) et 13 (D). Remplacez 16 (base) par 1 et ajoutez-le au bit de poids fort.

Dans le troisième chiffre 96 + 1 = 97. Ensuite, 97 est représenté par 6 · 16 (base) et 1. Ajoutez 6 au chiffre le plus significatif.

Au quatrième chiffre, 20 + 6 = 26. Représentons 26 par 16 (base) et 10 (A). Nous transférons l'unité dans la catégorie la plus significative.

Avec certaines compétences dans le travail avec divers systèmes de numérotation, l'enregistrement pourrait être immédiatement représenté comme

Donc A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2.

Du point de vue de l'étude des principes de représentation et de traitement de l'information dans un ordinateur, les systèmes en discussion (binaire, octal et hexadécimal) sont d'un grand intérêt, bien que l'ordinateur ne traite des données que converties en un code binaire (système de numération binaire ). Cependant, souvent afin de réduire le nombre de caractères écrits sur papier ou saisis à partir d'un clavier d'ordinateur, il est plus commode d'utiliser des nombres octaux ou hexadécimaux, d'autant plus que, comme il sera montré ci-dessous, la procédure de traduction mutuelle des nombres de chaque de ces systèmes en binaire est très simple - des traductions beaucoup plus simples entre l'un de ces trois systèmes et décimal.

Nous représentons les nombres de différents systèmes de nombres, respectivement, les uns aux autres :

Le tableau montre que les nombres du système de base 2, 8 et 16 ont des motifs périodiques. Ainsi, huit valeurs du système octal, c'est-à-dire (de 0 à 7 ou base complète) correspondent à trois chiffres ( triades) du système binaire. Ainsi, pour décrire les nombres d'un chiffre du système octal, il faut exactement trois chiffres du binaire. De même avec les nombres hexadécimaux. Seulement pour les décrire, il faut exactement quatre chiffres ( tétrades) du système binaire.

D'où il s'ensuit que pour la traduction de tout entier nombre binaire en octal, vous devez le diviser de droite à gauche en groupes de 3 chiffres (le groupe le plus à gauche peut contenir moins de trois chiffres binaires), puis attribuer à chaque groupe son équivalent octal.

Par exemple, vous souhaitez convertir 11011001 2 au système octal.

Nous divisons le nombre en groupes de trois chiffres 011 2, 011 2 et 001 2. Remplacez les nombres correspondants dans le système octal. On obtient 3 8, 3 8 et 1 8 ou 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Les virements inversés s'effectuent de la même manière, par exemple :

Convertir le système de nombres binaires pour AB5D 16.

Nous remplaçons tour à tour chaque caractère du nombre AB5D 16 par le nombre correspondant du système binaire. On obtient 1010 16, 1011 16, 0101 16 et 1101 16 ou 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2.

En plus des systèmes de numération positionnels considérés ci-dessus, il existe ceux dans lesquels la signification du signe ne dépend pas de la place qu'il occupe dans le nombre. De tels systèmes de nombres sont appelés non positionnel... L'exemple le plus célèbre d'un système non positionnel est romain... Ce système utilise 7 caractères (I, V, X, L, C, D, M) qui correspondent aux valeurs suivantes :

Règles d'écriture des nombres en chiffres romains: - si un gros chiffre est devant un plus petit, alors ils sont ajoutés (principe d'addition), - si un plus petit chiffre est devant un plus grand, alors le plus petit est soustrait du plus grand (principe de soustraction).

La deuxième règle est appliquée afin d'éviter de répéter quatre fois le même nombre. Ainsi, les chiffres romains I, X, C sont placés respectivement devant X, C, M pour désigner 9, 90, 900 ou avant V, L, D pour désigner 4, 40, 400.

Exemples d'écriture de nombres en chiffres romains :

IV = 5 - 1 = 4 (au lieu de IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (au lieu de XVIIII),

XL = 50 - 10 = 40 (au lieu de XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33, etc.

Il convient de noter qu'effectuer même des opérations arithmétiques simples sur des nombres à plusieurs chiffres avec des chiffres romains est très gênant. Probablement, la complexité des calculs dans le système romain, basé sur l'utilisation de lettres latines, était l'une des raisons impérieuses de le remplacer par un système décimal plus pratique à cet égard.

3.1 La base du système numérique s'appelle ...

Un ensemble de techniques et de règles pour écrire des nombres dans des signes ou des symboles numériques

Le nombre de caractères utilisés dans un système de numérotation positionnel particulier

Diviseur utilisé lors de la conversion de nombres d'un système numérique à un autre

Facteur commun lors de la conversion de nombres d'un système numérique à un autre

3.2 Quel système de numération n'est pas largement utilisé en informatique

Octal

Binaire

Quintuple

Hexadécimal

Les opérations arithmétiques dans tous les systèmes de nombres positionnels sont effectuées selon les mêmes règles. Pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres présentés dans des systèmes numériques différents, il faut d'abord les convertir en un système numérique et prendre en compte le fait que le passage au chiffre suivant lors de l'opération d'addition et l'emprunt au chiffre le plus significatif lors de l'opération de soustraction est déterminée par la base du système numérique.

Les opérations arithmétiques dans le système de nombres binaires sont basées sur des tables d'addition, de soustraction et de multiplication de nombres binaires à un chiffre.

Lorsque deux unités sont additionnées, le débordement se produit et l'unité est transférée sur le bit de poids fort, lorsque 0-1 est soustrait, un prêt est effectué à partir du bit de poids fort, dans la table "Soustraction" ce prêt est indiqué par 1 avec un tiret au-dessus du nombre (tableau 3).

Tableau 3

Vous trouverez ci-dessous des exemples d'exécution d'opérations arithmétiques sur des nombres représentés dans divers systèmes numériques :

Les opérations arithmétiques sur les nombres entiers présentés dans divers systèmes numériques sont assez simples à mettre en œuvre à l'aide des programmes Calculator et MS Excel.

1.3. Représenter des nombres dans un ordinateur

Les données numériques sont traitées dans un ordinateur dans un système de nombres binaires. Les nombres sont stockés dans la mémoire de l'ordinateur en code binaire, c'est-à-dire sous la forme d'une séquence de zéros et de uns, et peuvent être représentés au format à virgule fixe ou flottante.

Les entiers sont stockés en mémoire au format à virgule fixe. Avec ce format de représentation des nombres, un registre mémoire constitué de huit cellules mémoire (8 bits) est alloué pour stocker des entiers non négatifs. Chaque bit de la cellule mémoire correspond toujours au même bit du nombre, et la virgule est à droite après le bit de poids faible et en dehors de la grille de bits. Par exemple, le nombre 110011012 sera stocké dans un registre mémoire comme suit :

Tableau 4

La valeur maximale d'un nombre entier non négatif pouvant être stocké dans un registre au format à virgule fixe peut être déterminée à partir de la formule : 2n - 1, où n est le nombre de chiffres du nombre. Le nombre maximum dans ce cas sera égal à 28 - 1 = 25510 = 111111112 et le minimum 010 = 000000002. Ainsi, la plage de variation des entiers non négatifs sera comprise entre 0 et 25510.

Contrairement au système décimal dans le système binaire, la représentation informatique d'un nombre binaire n'a pas de symboles désignant le signe d'un nombre : positif (+) ou négatif (-), donc, pour représenter des entiers signés dans le système binaire, deux formats de nombres sont utilisés : le format de la valeur du nombre signé et le format du code complémentaire. Dans le premier cas, deux registres mémoire (16 bits) sont alloués pour stocker des entiers signés, et le bit de poids fort (le plus à gauche) est utilisé sous le signe du nombre : si le nombre est positif, alors 0 est écrit dans le bit signé, si le nombre est négatif, alors - 1. Par exemple, le nombre 53610 = 00000010000110002 sera représenté dans les registres mémoire comme suit :

Tableau 5

et un nombre négatif -53610 = 10000010000110002 sous la forme :

Tableau 6

Le nombre positif maximum ou le minimum négatif au format d'une valeur de nombre signé (en tenant compte de la représentation d'un chiffre sous le signe) est 2n-1 - 1 = 216-1 - 1 = 215 - 1 = 3276710 = 1111111111111112 et la plage de nombres sera comprise entre - 3276710 et 32767.

Le plus souvent, pour représenter des entiers signés dans le système binaire, on utilise le format complément à deux, ce qui permet de remplacer l'opération arithmétique de soustraction dans un ordinateur par une opération d'addition, ce qui simplifie grandement la structure du microprocesseur et augmente ses performances .

Pour représenter des entiers négatifs dans ce format, utilisez le code de complément, qui est le module du complément à zéro d'un nombre négatif. La conversion d'un nombre entier négatif en code complémentaire s'effectue à l'aide des opérations suivantes :

1) écrire le module du nombre en code direct en n (n = 16) chiffres binaires ;

2) obtenir le code inversé du numéro (inverser tous les chiffres du numéro, c'est-à-dire remplacer tous les uns par des zéros et les zéros par des uns);

3) au code inverse reçu, ajoutez un au bit le moins significatif.

Par exemple, pour le nombre -53610 dans ce format, le module sera 00000010000110002, le code inverse est 1111110111100111, et le code supplémentaire est 1111110111101000.

Il faut se rappeler que le code complémentaire d'un nombre positif est le nombre lui-même.

Pour stocker des entiers signés autres que la représentation informatique de 16 bits lorsqu'il est utilisé deux registres de mémoire(ce format de nombre est également appelé format d'entier court signé), les formats d'entier signé moyen et long sont utilisés. Quatre registres (4 x 8 = 32 bits) sont utilisés pour représenter les nombres sous forme de nombres du milieu, et huit registres sont utilisés pour représenter les nombres sous forme de nombres longs (8 x 8 = 64 bits). Les plages de valeurs pour le format des nombres moyens et longs seront respectivement : - (231 - 1) ... + 231 - 1 et - (263 - 1) ... + 263 - 1.

La représentation informatique des nombres au format à virgule fixe présente des avantages et des inconvénients. À avantages la simplicité de la représentation des nombres et des algorithmes pour la mise en œuvre des opérations arithmétiques, les inconvénients sont la gamme finie de représentation des nombres, qui peut être insuffisante pour résoudre de nombreux problèmes pratiques (mathématiques, économiques, physiques, etc.).

Les nombres réels (fractions décimales finies et infinies) sont traités et stockés dans l'ordinateur au format à virgule flottante. Avec ce format de représentation du nombre, la position de la virgule dans l'enregistrement peut changer. Tout nombre réel K au format à virgule flottante peut être représenté par :

où A est la mantisse du nombre ; h - base du système numérique; p est l'ordre du nombre.

L'expression (2.7) pour le système de nombres décimaux prendra la forme :

pour binaire -

pour octal -

pour hexadécimal -

Cette forme de représentation du nombre est aussi appelée Ordinaire ... Avec un changement dans l'ordre, la virgule dans le nombre se déplace, c'est-à-dire qu'elle semble flotter vers la gauche ou vers la droite. Par conséquent, la forme normale de représentation des nombres est appelée point flottant... Le nombre décimal 15,5, par exemple, au format à virgule flottante peut être représenté par : 0,155 · 102 ; 1,55 * 101 ; 15,5 * 100 ; 155,0 * 10-1 ; 1550.0 10-2, etc. Cette forme d'écriture du nombre décimal 15.5 avec virgule flottante n'est pas utilisée lors de l'écriture logiciels d'ordinateur et les saisir dans un ordinateur (les dispositifs d'entrée des ordinateurs ne perçoivent qu'un enregistrement de données linéaire). Sur cette base, l'expression (2.7) pour représenter les nombres décimaux et les entrer dans un ordinateur est convertie sous la forme

où P est l'ordre du nombre,

c'est-à-dire qu'au lieu de la base du système de nombres 10, ils écrivent la lettre E, au lieu d'une virgule - un point, et le signe de multiplication n'est pas mis. Ainsi, le nombre 15,5 au format virgule flottante et linéaire (représentation informatique) s'écrira : 0,155Е2 ; 1.55E1 ; 15.5E0 ; 155.0E-1 ; 1550.0Е-2, etc.

Quel que soit le système de nombres, tout nombre à virgule flottante peut être représenté par un ensemble infini de nombres. Cette forme de notation est appelée non normalisé ... Pour une représentation sans ambiguïté des nombres à virgule flottante, la forme normalisée du nombre est utilisée, dans laquelle la mantisse du nombre doit répondre à la condition

où | A | - la valeur absolue de la mantisse du nombre.

La condition (2.9) signifie que la mantisse doit être une fraction régulière et avoir un chiffre non nul après la virgule décimale, ou, en d'autres termes, s'il y a un non nul après la virgule décimale dans la mantisse, alors le nombre est appelé normalisé. Ainsi, le nombre 15,5 sous forme normalisée (mantisse normalisée) sous forme à virgule flottante ressemblera à ceci : 0,155102, c'est-à-dire que la mantisse normalisée sera A = 0,155 et d'ordre P = 2, ou dans la représentation informatique du nombre 0,155E2 ...

Les nombres à virgule flottante ont un format fixe et occupent quatre (32 bits) ou huit octets (64 bits) dans la mémoire de l'ordinateur. Si un nombre occupe 32 bits dans la mémoire de l'ordinateur, alors il s'agit d'un nombre de précision normale, s'il s'agit de 64 bits, il s'agit d'un nombre à double précision. Lors de l'écriture d'un nombre à virgule flottante, des bits sont alloués pour stocker le signe de la mantisse, le signe d'ordre, la mantisse et l'ordre. Le nombre de chiffres alloués pour l'ordre du nombre détermine la plage de changements de nombres, et le nombre de chiffres alloués pour le stockage de la mantisse détermine la précision avec laquelle le nombre est défini.

Lors de l'exécution d'opérations arithmétiques (addition et soustraction) sur des nombres représentés sous forme de virgule flottante, la procédure (algorithme) suivante est mise en œuvre :

1) l'alignement des ordres de nombres est effectué sur lequel des opérations arithmétiques sont effectuées (l'ordre du nombre le plus petit en valeur absolue augmente jusqu'à une valeur de l'ordre du nombre le plus grand en valeur absolue, tandis que la mantisse diminue du même nombre de fois);

2) des opérations arithmétiques sont effectuées sur la mantisse des nombres ;

3) le résultat obtenu est normalisé.

Addition et soustraction

Dans un système à base, les chiffres 0, 1, 2, ..., s - 1 sont utilisés pour désigner le zéro et les premiers nombres naturels c-1. Pour effectuer l'opération d'addition et de soustraction, une table d'addition à un chiffre est compilé.

Tableau 1 - Addition binaire

Par exemple, une table d'addition hexadécimale :

Tableau 2 - Addition sextuple

L'addition de deux nombres quelconques écrits en base c s'effectue de la même manière qu'en système décimal, en chiffres, à partir du premier chiffre, en utilisant la table d'addition de ce système. Les nombres à additionner sont signés les uns après les autres de manière à ce que les nombres des mêmes chiffres se tiennent verticalement. Le résultat de l'addition est écrit sous la ligne horizontale sous les sommes des nombres. Tout comme lors de l'addition de nombres dans le système décimal, dans le cas où l'addition de chiffres dans n'importe quel chiffre donne un nombre à deux chiffres, le dernier chiffre de ce nombre est écrit dans le résultat, et le premier chiffre est ajouté au résultat de en ajoutant le chiffre suivant.

Par example,

Vous pouvez justifier la règle spécifiée pour l'ajout de nombres en utilisant la représentation des nombres sous la forme :

Regardons un des exemples :

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Nous sélectionnons séquentiellement les termes en fonction du degré de la base 7, en commençant par le degré le plus bas, zéro.

La soustraction est également effectuée en chiffres, en commençant par le plus petit, et si le chiffre du réduit est inférieur au chiffre du soustrait, alors l'unité est "occupée" à partir du chiffre suivant du réduit, et le chiffre correspondant de le soustrait est soustrait du nombre à deux chiffres résultant ; lors de la soustraction des chiffres du chiffre suivant dans ce cas, vous devez réduire mentalement le chiffre à réduire de un, si ce chiffre s'avère être zéro (et alors sa réduction est impossible), alors vous devez "prendre" un de le chiffre suivant, puis diminuez de un. Il n'est pas nécessaire de compiler une table spéciale pour la soustraction, puisque la table d'addition donne les résultats de la soustraction.

Par example,

Multiplication et division

Pour effectuer les actions de multiplication et de division dans un système de base c, une table de multiplication pour les nombres à un chiffre est compilée.

Tableau 3 - Multiplication de nombres à un chiffre

Tableau 4 - Multiplication dans le système numérique hexadécimal

La multiplication de deux nombres arbitraires dans le système de base c est effectuée de la même manière que dans le système décimal - "colonne", c'est-à-dire que le multiplicateur est multiplié par le chiffre de chaque chiffre du facteur (séquentiellement) avec l'addition suivante de ces résultats intermédiaires.

Par example,

Lors de la multiplication de nombres à plusieurs chiffres dans des résultats intermédiaires, l'indice de base n'est pas mis :

La division dans les systèmes de base c est effectuée par un angle, de la même manière qu'en notation décimale. Dans ce cas, la table de multiplication et la table d'addition du système correspondant sont utilisées. La situation est plus compliquée si le résultat de la division n'est pas une fraction c-aire finie (ou un entier). Ensuite, lors de l'exécution d'une opération de division, il est généralement demandé de sélectionner la partie non périodique de la fraction et sa période. La possibilité d'effectuer l'opération de division dans le système de nombres s-aire est utile lors de la traduction de nombres fractionnaires d'un système de nombres à un autre.

Par example:

Conversion de nombres d'un système numérique à un autre

Il existe de nombreuses façons différentes de convertir des nombres d'un système numérique à un autre.

Méthode de division

Soit le nombre N = an an-1. ... ... a1 a0 p.

Pour obtenir un enregistrement du nombre N dans un système de base h, vous devez le représenter sous la forme :

N = bmhm + bm-1hm-1 + ... + b1h + b0 (1)

où 1

N = bmbm-1 ... b1boh (2)

De (1) on obtient :

N = (bmhm-1 + ... + b) * h + b0 = N1h + b0, où 0 ? b0?h (3)

C'est-à-dire que le chiffre b0 est le reste de la division du nombre N par le nombre h. Quotient incomplet Nl = bmhm-1 +. ... ... + b1 peut être représenté comme :

Nl = (bmhm-2 + ... + b2) h + b1 = N2h + b1, où 0 ? b2?h (4)

Ainsi, le chiffre bi dans l'entrée (2) du nombre N est le reste de la division du premier quotient incomplet N1 par la base h du nouveau système numérique. Le deuxième quotient incomplet N2 peut être représenté par :

N2 = (bmhm-3 + ... + b3) h + b2, où 0 ? b2?h (5)

c'est-à-dire que le chiffre b2 est le reste de la division du deuxième quotient incomplet N2 par la base h du nouveau système. Puisque les quotients incomplets diminuent, ce processus est fini. Et puis nous obtenons Nm = bm, où bm

Nm-1 = bmh + bm.1 = Nmh + bm.1

Ainsi, la séquence de chiffres bm, bm-1. ... , b1, b0 dans la notation du nombre N en base h est la séquence des restes de la division séquentielle du nombre N par la base h, pris dans l'ordre inverse.

Prenons un exemple : pour traduire le nombre 123 dans un système de nombres hexadécimal :

Ainsi, le nombre 12310 = 7 (11) 16 ou peut s'écrire 7B16

Écrivons le nombre 340227 dans le système de numération quintuple :

Ainsi, nous obtenons que 340227 = 2333315

Pour travailler avec des données, utilisez codage, c'est à dire. expression de données d'un type à travers des données d'un autre type.

Le système existe aussi en informatique - on l'appelle codage binaire et repose sur la représentation des données par une séquence de deux caractères seulement : 0 et 1. Ces caractères sont appelés chiffres binaires, en anglais - chiffre binaire ou, en bref, peu (peu).

Deux concepts peuvent être exprimés avec un bit : 0 ou 1 (Oui ou pas de noir ou blanc, vrai ou Mensonge etc.). Si le nombre de bits est porté à deux, alors quatre concepts différents peuvent déjà être exprimés :

Huit valeurs différentes peuvent être codées avec trois bits : 000 001 010 011 100 101 110 111

En augmentant de un le nombre de bits dans le système de codage binaire, on double le nombre de valeurs qui peuvent être exprimées dans ce système, c'est-à-dire que la formule générale est :

N = 2 m, où:

N - le nombre de valeurs codées indépendantes ;

T- le codage binaire utilisé dans ce système.

Puisqu'un bit est une unité de mesure trop petite, en pratique, une unité plus grande est souvent utilisée - un octet, égal à huit bits.

Des unités de données dérivées plus grandes sont également utilisées :

Kilooctet (Ko) = 1024 octets = 2 10 octets ;

Mégaoctet (Mo) = 1024 Ko = 2 20 octets ;

Gigaoctet (Go) = 1024 Mo = 2 30 octets.

Récemment, en lien avec l'augmentation du volume de données traitées, des unités dérivées telles que :

Téraoctet (To) = 1024 Go = 2 40 octets ;

Pétaoctets (Po) = 1024 To = 2 50 octets ;

Exaoctets (Eoctets) = 1024 Po = 2 60 octets.

Encodage des informations textuelles est produit à l'aide du code standard américain pour l'échange d'informations ASCII, dans lequel les codes de caractères sont définis de 0 à 127. Les normes nationales attribuent 1 octet d'informations pour un caractère et incluent une table de codes ASCII, ainsi que des codes d'alphabets nationaux avec des nombres de 128 à 255. Il existe actuellement cinq codages cyrilliques différents : KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh et ISO. À la fin des années 90, un nouveau standard international Unicode est apparu, qui alloue non pas un octet, mais deux octets pour chaque caractère, et peut donc être utilisé pour coder non pas, mais des caractères différents.

Tableau de codage de base ASCII est donné dans le tableau.

Codage des graphiques en couleur produit à l'aide d'un raster, où chaque point est associé à son numéro de couleur. Dans le système de codage RVB, la couleur de chaque point est représentée par la somme du rouge (Rouge), du vert (Vert) et du bleu (Bleu). Dans le système de codage CMJN, la couleur de chaque point est représentée par la somme du cyan, du magenta, du jaune et du noir (K) ajouté.

Codage des signaux analogiques

Historiquement, la première forme technologique de réception, de transmission et de stockage de données était la représentation analogique (continue) d'un signal sonore, optique, électrique ou autre. Pour recevoir de tels signaux dans un ordinateur, une conversion analogique-numérique est d'abord effectuée.

La conversion analogique-numérique consiste à mesurer un signal analogique à intervalles réguliers et à coder le résultat de la mesure avec un mot binaire de n bits. Dans ce cas, une séquence de mots binaires de n bits est obtenue, représentant un signal analogique avec une précision donnée.

La norme de CD actuellement acceptée utilise ce que l'on appelle "l'audio 16 bits avec un taux de balayage de 44 kHz". Pour la figure donnée, traduite en langage normal, cela signifie que la "longueur de pas" (t) est égale à 1/44000 s, et la "hauteur de pas" (δ) est de 1/65 536 de la sonie maximale du signal (puisque 2 16 = 65 536) ... Dans ce cas, la plage de fréquences de reproduction est de 0 à 22 kHz et la plage dynamique de 96 décibels (ce qui est une caractéristique de qualité totalement inaccessible pour l'enregistrement sonore magnétique ou mécanique).

Compression de données.

Le volume de données traitées et transmises augmente rapidement. Cela est dû à la mise en œuvre de processus applicatifs de plus en plus complexes, à l'émergence de nouveaux services d'information, à l'utilisation de l'image et du son.

Compression de données (compression de données)- un processus de réduction de la quantité de données. La compression peut réduire considérablement la quantité de mémoire requise pour le stockage des données et réduire (à une taille acceptable) le temps de transfert des données. La compression d'image est particulièrement efficace. La compression des données peut être effectuée à la fois par logiciel et par matériel ou par une méthode combinée.

La compression des textes est associée à une mise en page plus compacte octets, encodage des caractères. Il utilise également un compteur de répétition d'espace. Quant au son et aux images, la quantité d'informations qui les représente dépend du pas de quantification choisi et du nombre de bits de conversion analogique-numérique. Fondamentalement, il utilise les mêmes méthodes de compression que pour le traitement de texte. Si la compression des textes s'effectue sans perte d'informations, la compression du son et des images entraîne presque toujours une certaine perte d'informations. La compression est largement utilisée dans l'archivage de données.

Notation- représentation d'un nombre par un ensemble spécifique de caractères. Les systèmes de nombres sont :

1. Unique (système de tags ou de bâtons) ;

2. Non positionnel (Romain);

3. Positionnel (décimal, binaire, octal, hexadécimal, etc.).

Positionnel est un système numérique dans lequel la valeur quantitative de chaque chiffre dépend de sa place (position) dans le nombre. La base Le système de numération positionnelle est un entier élevé à une puissance égale au nombre de chiffres de ce système.

Le système de nombres binaires comprend un alphabet de deux nombres : 0 et 1.

Le système de nombre octal comprend un alphabet de 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Le système de nombres décimaux comprend un alphabet de 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Le système de nombres hexadécimaux comprend un alphabet à 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

En informatique, le codage est utilisé dans le système de nombres binaires, c'est-à-dire séquence 0 et 1.

Pour convertir un entier d'un système numérique à un autre, vous devez exécuter l'algorithme suivant :

1. La base du nouveau système de numérotation est exprimée par les numéros du système de numérotation d'origine.

2. Effectuez consécutivement la division du nombre donné par la base du nouveau système de nombres jusqu'à ce que le quotient soit inférieur au diviseur.

3. Les soldes résultants doivent être transférés vers le nouveau système de numérotation.

4. Construisez un nombre à partir des restes du nouveau système de numération, en commençant par le dernier reste.

Dans le cas général, dans un SS positionnel de base P, tout nombre X peut être représenté comme un polynôme à partir d'une base P :

X = un P n + un n-1 P n-1 + ... + un 1 P 1 + ao P 0 + un -1 P -1 + un -2 P -2 + ... + un -m P -m,

où les coefficients a i peuvent être n'importe lequel des P chiffres utilisés dans le CC avec la base P.

La conversion des nombres de 10 SS à tout autre pour les parties entières et fractionnaires du nombre est effectuée par diverses méthodes :

a) la partie entière du nombre et les quotients intermédiaires sont divisés par la base du nouveau SS, exprimé en 10 SS jusqu'à ce que le quotient de la division devienne inférieur à la base du nouveau SS. Les actions sont effectuées en 10 SS. Le résultat est des quotients écrits dans l'ordre inverse.

b) la partie fractionnaire du nombre et les parties fractionnaires résultantes des produits intermédiaires sont multipliées par la base du nouveau SS jusqu'à ce que la précision spécifiée soit atteinte, ou "0" est obtenu dans la partie fractionnaire du produit intermédiaire. Le résultat est des parties entières de pièces intermédiaires, écrites dans l'ordre dans lequel elles ont été reçues.

À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique au système numérique décimal.

Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 de la notation binaire (SS) en SS décimal. Solution:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Exemple 2. Convertir 1011101.001 du système de nombre octal (SS) en SS décimal. Solution:

Exemple 3... Convertissez le nombre AB572.CDF de la base hexadécimale en SS décimal. Solution:

Ici UNE-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- par 15.

Conversion d'un nombre 8 (16) en forme 2 - il suffit de remplacer chaque chiffre de ce nombre par le nombre binaire correspondant à 3 bits (4 bits). Jetez les zéros inutiles dans les chiffres les plus significatifs et les moins significatifs.

Exemple 1 : Convertissez le nombre 305.4 8 en SS binaire.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Exemple 2 : convertir le nombre 9AF, 7 16 en CC binaire.

(_9 __ _UNE __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Pour traduire le 2e nombre en 8 (16) SS, procédez comme suit : en partant de la virgule vers la gauche et vers la droite, divisez le nombre binaire en groupes de 3 (4) chiffres, en complétant les groupes extrêmes gauche et droite par des zéros si nécessaire. Ensuite, chaque groupe est remplacé par le chiffre octal (16) correspondant.

Exemple 1 : convertir le nombre 110100011110100111,1001101 2 en octal SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Exemple 2 : convertissez le nombre 110100011110100111,1001101 2 en SS hexadécimal.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Opérations arithmétiques dans tous les systèmes de nombres positionnels, les nombres sont exécutés selon les mêmes règles que vous connaissez bien.

Une addition. Considérez l'ajout de nombres dans le système de nombres binaires. Il est basé sur la table d'addition de nombres binaires à un bit :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Il est important de faire attention au fait que lorsque deux unités sont ajoutées, un débordement de décharge se produit et un transfert est effectué sur le bit de poids fort. Le débordement du chiffre se produit lorsque la valeur du nombre qu'il contient devient égale ou supérieure à la base.

L'addition de nombres binaires à plusieurs chiffres se fait conformément à la table d'addition ci-dessus, en tenant compte des transferts possibles des bits les moins significatifs vers les plus significatifs. A titre d'exemple, ajoutez les nombres binaires 110 2 et 11 2 dans une colonne :

Soustraction. Considérez la soustraction de nombres binaires. Il est basé sur une table de soustraction pour les nombres binaires à un bit. En soustrayant d'un plus petit nombre (0) un plus grand (1), un prêt est effectué à partir du bit le plus significatif. Dans le tableau, le prêt est désigné 1 avec une ligne :

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication de nombres binaires à un bit :

Division. L'opération de division est effectuée selon un algorithme similaire à l'algorithme pour effectuer une opération de division en notation décimale. A titre d'exemple, divisons le nombre binaire 110 2 par 11 2:

Pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres exprimés dans des systèmes numériques différents, vous devez d'abord les traduire dans le même système.

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Leçon 15
§12. Opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres positionnels

Opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres positionnels

Opérations arithmétiques dans les systèmes de base positionnels q s'effectuent selon des règles similaires aux règles en vigueur dans le système des nombres décimaux.

À l'école primaire, les tables d'addition et de multiplication sont utilisées pour apprendre aux enfants à compter. Des tableaux similaires peuvent être compilés pour n'importe quel système de numérotation positionnelle.

12.1. Addition de nombres en base q

Considérons des exemples de tables d'addition dans les systèmes de nombres ternaire (tableau 3.2), octal (tableau 3.4) et hexadécimal (tableau 3.3).

Tableau 3.2

Addition ternaire

Tableau 3.3

Addition hexadécimale

Tableau 3.4

Ajout octal

q obtenir le montant S deux nombres UNE et B, il faut additionner les chiffres les formant par les chiffres je de droite à gauche:

Si a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
si a i + b i q, alors s i = a i + b i - q, le (i + 1) ème bit le plus significatif est augmenté de 1.

Exemples:

12.2. Soustraction de nombres de base q

Alors qu'à la base q faire la différence R deux nombres UNE et V, il faut calculer les différences des chiffres les formant par les chiffres je de droite à gauche:

Si a i b i, alors r i = a i - b i, le (i + 1) e bit le plus significatif ne change pas ;
si un je< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).