Андрєєва з точки лібрації. Крапки Лагранжа. Перспективи їх використання у космічній діяльності

Б. В. Булюбаш,
, МДТУ ім. Р.Є.Алексєєва, м. Нижній Новгород

Крапки Лагранжа

Близько 400 років тому у розпорядженні астрономів виявився новий інструмент вивчення світу планет і зірок – телескоп Галілео Галілея. Минуло зовсім небагато часу, і до нього додалися відкриті Ісааком Ньютоном закон всесвітнього тяжіння та три закони механіки. Але тільки після смерті Ньютона були розроблені математичні методи, що дозволили ефективно використати відкриті ним закони та робити точний розрахунок траєкторій небесних тіл. Авторами цих методів стали французькі математики. Ключовими постатями були П'єр Симон Лаплас (1749–1827) та Жозеф Луї Лагранж (1736–1813). Значною мірою саме їхніми зусиллями було створено нову науку – небесну механіку. Саме так назвав її Лаплас, для якого небесна механіка стала обґрунтуванням філософії детермінізму. Зокрема, широку популярність набув образ описаної Лапласом вигаданої істоти, яка, знаючи швидкості та координати всіх частинок у Всесвіті, могла однозначно передбачити її стан у будь-який майбутній час. Ця істота – «демон Лапласа» – уособлювала головну ідею філософії детермінізму. А зоряний час нової наукинастав 23 вересня 1846 р., з відкриттям восьмої планети Сонячної системи – Нептуна. Німецький астроном Йоганн Галле (1812–1910) виявив Нептун саме там, де той і мав перебувати згідно з розрахунками, виконаними французьким математиком Урбеном Левер'є (1811–1877).

Одним із видатних досягненьнебесної механіки стало відкриття Лагранжем у 1772 р. так званих точок лібрації.Згідно з Лагранжем, у системі двох тіл є в цілому п'ять точок (називаються зазвичай точками Лагранжа), у яких сума сил, що діють на поміщене в точку третє тіло (маса якого істотно менша за маси двох інших), дорівнює нулю. Природно, мова йде про систему відліку, що обертається, в якій на тіло, крім сил тяжіння, буде також діяти відцентрова сила інерції. У точці Лагранжа, таким чином, тіло перебуватиме у стані рівноваги. У системі Сонце-Земля точки Лагранжа розташовані в такий спосіб. На прямій, що сполучає Сонце та Землю, розташовані три точки з п'яти. Крапка L 3 розташована на протилежній щодо Сонця стороні земної орбіти. Крапка L 2 розташована з тієї ж сторони від Сонця, як і Земля, але у ній, на відміну L 3, Сонце закрито Землею. А точка L 1 знаходиться на прямій, що з'єднує L 2 та L 3, але між Землею та Сонцем. Крапки L 2 та L 1 відокремлює від Землі однакову відстань – 1,5 млн км. Через свої особливості точки Лагранжа привертають увагу письменників-фантастів. Так, у книзі Артура Кларка та Стівена Бакстера «Сонячна буря» саме у точці Лагранжа L 1 космічні будівельники зводять величезний екран, покликаний загородити Землю від надпотужної сонячної бурі.

Дві точки, що залишилися – L 4 та L 5 – знаходяться на орбіті Землі, одна – перед Землею, інша – позаду. Дві ці точки дуже істотно відрізняються від інших, оскільки рівновага небесних тіл, що опинилися в них, буде стійкою. Саме тому серед астрономів настільки популярна гіпотеза про те, що на околицях точок L 4 та L 5 можуть бути залишки газопилової хмари епохи формування планет Сонячної системи, що завершилася 4,5 млрд років тому.

Після того, як Сонячну систему почали досліджувати автоматичні міжпланетні станції, інтерес до точок Лагранжа різко зріс. Так, на околиці точки L 1 проводять дослідження сонячного вітру космічні апарати NASA: SOHO (Solar and Heliospheric Observatory)і Wind(в пров. з англ. - вітер).

Ще один апарат NASA– зонд WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)- знаходиться в околиці точки L 2 та досліджує реліктове випромінювання. По напрямку до L 2 рухаються космічні телескопи «Планк» та «Гершель»; Незабаром до них приєднається телескоп «Вебб», який має змінити знаменитий космічний довгожитель телескоп «Хаббл». Що ж до точок L 4 та L 5 , то 26–27 вересня 2009 р. зонди-близнюки STEREO-Aі STEREO-Bпередали Землю численні зображення активних процесів лежить на поверхні Сонця. Початкові плани проекту STEREOбули нещодавно суттєво розширені, і в даний час зонди передбачається також використовувати для вивчення околиці точок Лагранжа щодо наявності там астероїдів. Головна мета такого дослідження – перевірка комп'ютерних моделей, що передбачають наявність астероїдів у «стійких» точках Лагранжа.

У зв'язку з цим слід зазначити, що у другій половині XX ст., коли з'явилася можливість чисельно вирішувати на комп'ютері складні рівняння небесної механіки, образ стабільної та передбачуваної Сонячної системи (а разом із і філософія детермінізму) остаточно пішов у минуле. Комп'ютерне моделювання показало, що з неминучої неточності в чисельних значеннях швидкостей і координат планет Наразічасу йдуть дуже суттєві відмінності у моделях еволюції Сонячної системи. Так, згідно з одним із сценаріїв, Сонячна система через сотні мільйонів років може навіть втратити одну зі своїх планет.

При цьому комп'ютерні моделінадають унікальну можливість реконструювати події, що відбувалися у віддалену від нас епоху молодості Сонячної системи. Так, широку популярність здобула модель математика Е. Бельбруно та астрофізика Р. Готта (Принстонський університет), згідно з якою в одній із точок Лагранжа ( L 4 або L 5) у далекому минулому сформувалася планета Тея ( Teia). Гравітаційний вплив з боку інших планет змусило Тею в якийсь момент залишити точку Лагранжа, вийти на траєкторію руху до Землі і в результаті зіткнутися з нею. Модель Готта та Бельбруно наповнює деталями гіпотезу, яку поділяють багато астрономів. Згідно з нею, Місяць складається з речовини, що утворилася близько 4 млрд років тому після зіткнення із Землею космічного об'єкта розміром з Марс. У цієї гіпотези є, однак, уразливе місце: питання, де саме міг утворитися такий об'єкт. Якщо місцем його народження були віддалені від Землі ділянки Сонячної системи, то тоді його енергія була б дуже великою і результатом зіткнення із Землею стало б не створення Місяця, але руйнування Землі. Отже, подібний об'єкт мав утворитися неподалік Землі, і околиці однієї з точок Лагранжа цілком придатні для цього.

Але якщо події могли так розвиватися в минулому, що забороняє їм знову статися в майбутньому? Чи не зросте, іншими словами, на околицях точок Лагранжа ще одна Тея? Проф. П. Вейгерт (Університет Зап. Онтаріо, Канада) вважає, що це неможливо, оскільки в Сонячній системі в даний час пилових частинок для формування таких об'єктів явно недостатньо, а 4 млрд років тому, коли планети утворювалися з частинок газопилових хмар, ситуація була принципово інакший. На думку Р. Готта, в околицях точок Лагранжа цілком можуть бути виявлені астероїди – залишки «будівельної речовини» планети Теї. Такі астероїди можуть стати для Землі помітним фактором ризику. Дійсно, гравітаційний вплив з боку інших планет (і насамперед Венери) може виявитися достатнім для того, щоб астероїд залишив околицю точки Лагранжа, а в цьому випадку він цілком може вийти на траєкторію зіткнення із Землею. У гіпотези Готта є передісторія: ще 1906 р. М. Вольфом (Німеччина, 1863–1932) у точках Лагранжа системи Сонце–Юпітер було виявлено астероїди, перші поза пояса астероїдів між Марсом і Юпітером. Згодом на околиці точок Лагранжа системи Сонце-Юпітер їх було виявлено понад тисячу. Не такими успішними виявилися спроби знайти астероїди поблизу інших планет Сонячної системи. Очевидно, їх все ж таки немає біля Сатурна, і тільки в останньому десятилітті вони були виявлені неподалік Нептуна. З цієї причини, цілком природно, питання наявності чи відсутності астероїдів у точках Лагранжа системи Земля–Сонце надзвичайно хвилює сучасних астрономів.

П. Вейгерт за допомогою телескопа на Мауна-Кеа (Гаваї, США) вже намагався на початку 90-х років. ХХ ст. Знайти ці астероїди. Його спостереження відрізнялися скрупульозністю, проте успіху не принесли. Порівняно недавно стартували програми автоматичного пошуку астероїдів, зокрема, Лінкольнівський проект пошуку близьких до Землі астероїдів. (Lincoln Near Earth Asteroid Research project). Однак і вони поки що результату не дали.

Передбачається, що зонди STEREOвиведуть подібні пошуки на принципово інший рівень точності. Проліт зондами околиць точок Лагранжа був запланований на початку проекту, а після включення в проект програми пошуку астероїдів обговорювалася навіть можливість назавжди залишити їх на околиці цих точок.

Розрахунки, однак, показали, що зупинка зондів зажадала б занадто велику витрату палива. Враховуючи цю обставину, керівники проекту STEREOзупинилися на варіанті повільного прольоту цих областей простору. На це підуть місяці. На борту зондів розміщені геліосферні реєстратори, і саме з їхньою допомогою шукатимуть астероїди. Навіть у цьому випадку завдання залишається дуже складним, оскільки на майбутніх знімках астероїди будуть лише точками, що переміщуються на тлі тисяч зірок. Керівники проекту STEREOрозраховують на активну допомогу у пошуках з боку астрономів-аматорів, які переглядатимуть отримані знімки в Інтернеті.

Експерти дуже стурбовані проблемою безпеки пересування зондів на околиці точок Лагранжа. Справді, зіткнення з «пилинками» (які можуть виявитися дуже значними за своїми розмірами) може пошкодити зонди. У своєму польоті зонди STEREOвже неодноразово стикалися з частинками пилу – від кількох тисяч за добу.

Головна інтрига майбутніх спостережень полягає у повній невизначеності питання про те, скільки астероїдів повинні побачити зонди. STEREO(Якщо побачать взагалі). Нові комп'ютерні моделі не зробили ситуацію більш передбачуваною: з них випливає, що гравітаційна дія Венери може не лише «витягувати» астероїди з точок Лагранжа, а й сприяти переміщенню астероїдів у ці точки. Загальна кількість астероїдів на околиці точок Лагранжа не дуже велика («не йдеться про сотні»), і їх лінійні розміри на два порядки менше розмірів астероїдів з пояса між Марсом і Юпітером. Чи підтвердяться його прогнози? Чекати залишилося зовсім небагато.

За матеріалами статті (пер. з англ.)
S. Clark. Living in weightlessness //New Scientist. 21 February 2009

Що це за «точки», чим вони привабливі у космічних проектах і чи є практика їхнього використання? З цими питаннями редколегія порталу «Планета Королева» звернулася до доктора технічних наук Юрія Петровича Улибишева.

Проводить інтерв'ю Волков Олег Миколайович, заступник керівника проекту "Великий початок".

Волков О.Н.: У гостях інтернет порталу «Планета Корольова – заступник керівника науково-технічного центру ракетно-космічної корпорації «Енергія», начальник відділу космічної балістики, доктор технічних наук Юрій Петрович Улибишев. Юрію Петровичу, добрий день!

.: Доброго дня.

В.: Існування на навколоземної орбітипілотованих комплексів це не дивина. Це звичайна, звична справа. Останнім часом у міжнародному космічному співтоваристві виявляється інтерес до інших космічних проектів, у яких передбачається розміщувати космічні комплекси, у тому числі, і пілотовані в так званих точках Лагранжа. Серед них проект відвідуваних космічних станцій, проект станцій, що розміщуються для пошуку небезпечних астероїдів та стеження Місяця.

Що таке точка Лагранжа? У чому їхня істота з погляду небесної механіки? Яка історія теоретичних досліджень із цього питання? Які основні результати досліджень?

У.: У нашій сонячній системі є велика кількість природних ефектів, пов'язаних з рухом Землі, Місяця, планет. До них відносяться і так звані точки Лагранжа. У науковій літературі їх навіть називають точками лібрації. Щоб пояснити фізичну суть цього явища, спочатку розглянемо просту систему. Є Земля, і навколо неї круговою орбітою літає Місяць. Нічого більше у природі немає. Це, так зване, обмежене завдання трьох тіл. І ось у цьому завдання ми розглянемо космічний апарат та його можливий рух.

Найперше, що спадає на думку розглянути: а що буде, якщо космічний апарат знаходиться на лінії, що з'єднує Землю та Місяць. Якщо ми рухатимемося по цій лінії, то у нас є два гравітаційні прискорення: тяжіння Землі, тяжіння Місяця, і плюс є доцентрове прискорення за рахунок того, що ця лінія постійно обертається. Вочевидь, що у якійсь точці ці три прискорення внаслідок те, що вони різноспрямовані і лежать однією лінії, можуть обнулитися, тобто. це буде точка рівноваги. Ось таку точку називають точкою Лагранжа, або лібраційною точкою. Насправді таких точок п'ять: три з них знаходяться на лінії, що обертається, що з'єднує Землю і Місяць, їх називають колінеарними точками лібрації. Перша, яку ми з вами розібрали, позначають L 1, друга знаходиться за Місяцем- L 2, і третя колінеарна точка- L 3 знаходиться на звороті Землі по відношенню до Місяця. Тобто. на цій лінії, але в протилежному напрямку. Це перші три точки.

Є ще дві точки, які знаходяться з двох сторін поза цією лінією. Їх називають трикутними точками лібрації. Всі ці точки показані на цьому малюнку (Рис.1). Ось така ідеалізована картинка.

Рис.1.

Тепер, якщо ми помістимо в будь-яку з цих точок космічний апарат, то в рамках такої простої системи він завжди там і залишиться. Якщо ми трохи - трохи відхилимося від цих точок, то в околицях можуть існувати періодичні орбіти, їх називають ще гало-орбітами (див. мал.2), і космічний апарат зможе рухатися навколо цієї точки за такими своєрідними орбітами. Якщо говорити про точки лібрації L 1, L 2 системи Земля – Місяць, то період руху за цими орбітами буде близько 12 - 14 діб, і вони можуть бути обрані зовсім по-різному.

Рис.2.

Насправді, якщо ми повернемося до реального життя і розглянемо це завдання вже в точній постановці, то все виявиться набагато складніше. Тобто. космічний апарат не може бути дуже довго, більше, скажімо, одного періоду, в русі по такій ось орбіті, не може залишатися на ній, за рахунок того, що:

По-перше, орбіта Місяця навколо Землі не є круговою – вона має невелику еліптичність;

Крім того, на космічний апарат діятиме тяжіння Сонця, тиск сонячного світла.

У результаті космічний апарат зможе залишатися на такій орбіті. Тому, з погляду реалізації космічного польоту за подібними орбітами, необхідно виведення космічного апарату на відповідну гало-орбіту і потім періодичне проведення маневрів щодо її підтримки.

За мірками міжпланетних польотів витрати на підтримку для таких орбіт досить малі, не більше 50 – 80 м/сек на рік. Для порівняння можу сказати, що підтримання орбіти геостаціонарного супутника на рік це теж 50 м/сек. Там ми утримуємо геостаціонарний супутник біля нерухомої точки - це завдання набагато простіше. Тут ми повинні утримувати космічний апарат на околиці ось такої гало-орбіти. У принципі, практично це завдання реалізується. Більше того, вона реалізована з використанням двигунів малої тяги, і кожен маневр це частка метра чи одиниці м/сек. Звідси напрошується можливість використання орбіт на околиці цих точок. космічних польотів, у тому числі пілотованих.

Тепер, з погляду, а чому вони вигідні, і чим вони цікаві саме для практичної космонавтики?

Якщо ви все пам'ятаєте, американський проект APOLLO », в якому використовувалася навколомісячна орбіта, з якої спускався апарат, приземлявся на поверхню Місяця, через якийсь час повертався на навколомісячну орбіту і потім летів до Землі. Довгомісячні орбіти представляють певний інтерес, але вони не завжди зручні для пілотованої космонавтики. У нас можуть бути різні позаштатні ситуації, крім того, природно бажання вивчати Місяць не тільки в околиці якогось району, а взагалі вивчати весь Місяць. Через війну виявляється, що використання окололунных орбіт пов'язані з низкою обмежень. Обмеження накладаються на дати старту, на дати повернення з близькомісячної орбіти. Параметри навколомісячних орбіт можуть залежати від енергетики. Скажімо, полярні райони можуть бути недоступними. Але найголовніший, напевно, аргумент на користь космічних станцій на околицях точок лібрації полягає в тому, що:

Перше, ми можемо стартувати із Землі у будь-який момент часу;

Якщо станція знаходиться в точці лібрації, і космонавти повинні летіти на Місяць, вони можуть з точки лібрації, вірніше з галоорбіти, летіти в будь-яку точку на поверхні Місяця;

Тепер, коли екіпаж прилетів: з погляду пілотованої космонавтики, дуже важливим є забезпечення можливості швидкого повернення екіпажу у разі якихось нештатних ситуацій, хвороб членів екіпажу тощо. Якщо ми говоримо про навколомісячну орбіту, нам може знадобитися очікування, припустимо, часу старту 2 тижні, а тут ми можемо стартувати будь-якої миті часу - з Місяця до станції в точку лібрації і потім до Землі, або, в принципі, відразу до Землі. Такі переваги досить явно видно.

Є варіанти використання: L1 чи L2. Є певні розбіжності. Як ви знаєте, Місяць повернуто до нас завжди однією і тією самою стороною, тобто. період її обертання дорівнює періоду її руху навколо Землі. Зрештою, зворотний бік Місяця ніколи не видно з Землі. У цьому випадку можна вибрати гало-орбіту таку, що вона завжди перебуватиме на лінії видимості із Землею і матиме можливість здійснення зв'язку, спостережень та ще якихось експериментів, пов'язаних із зворотним боком Місяця. Таким чином, космічні станції, розміщені в точці або в точці L1, або в точці L2 для пілотованої космонавтики можуть мати певні переваги. Крім того, цікавим є те, що між гало-орбітами точок L1 або L2 можна здійснити так званий низькоенергетичний переліт, буквально, 10 м/сек, і ми перелетимо з однієї гало-орбіти на іншу.

В.: Юрію Петровичу, у мене питання: точка L1 знаходиться на лінії між Місяцем і Землею, і, як я розумію, з точки зору забезпечення зв'язку між космічною станцією та Землею, зручніша. Ви говорили, що L2, точка, яка знаходиться за Місяцем, теж цікавий для практичної космонавтики. А як забезпечити зв'язок із Землею, якщо станція перебуватиме у точці L2?

У.: Будь-яка станція, перебуваючи на орбіті на околицях точки L1, має можливість безперервного зв'язку із Землею, будь-яка гало-орбіта. Для точки L2 дещо складніше. Це зв'язано з тим що космічна станціяпри русі по гало-орбіті може бути по відношенню до Землі, як би, в тіні Місяця, і зв'язок тоді неможливий. Але можна побудувати таку гало-орбіту, яка завжди матиме можливість зв'язку із Землею. Це спеціально обрана орбіта.

В: Це нескладно зробити?

У.: Так, можна зробити, і, так як ніщо не вдається зробити безкоштовно, знадобиться дещо більша витрата палива. Скажімо, замість 50 м/с буде 100 м/с. Напевно, це не найкритичне питання.

В.: Ще одне уточнююче питання. Ви говорили, що енергетично легко перелетіти з точки L1 до точки L2, і назад. Правильно я розумію, що не має сенсу створювати дві станції в районі Місяця, а чи достатньо мати одну станцію, яка енергетично легко переходить в іншу точку?

У.: Так, до речі, наші партнери з міжнародної космічної станції пропонують один із варіантів для обговорення розвитку проекту МКС у вигляді космічної станції з можливістю перельоту від точки L1 до точки L2, і назад. Це цілком реалізовано і найближчим часом польоту (скажімо, 2 тижні) і може бути використане для пілотованої космонавтики.

Ще я хотів сказати, що на практиці польоти по гало-орбітах в даний час були реалізовані американцями за проектом ARTEMIS . Це приблизно 2-3 роки тому. Там два космічні апарати літали на околицях точок L1 і L2 з підтримкою відповідних орбіт. Один апарат здійснив переліт з точки L2 до точки L1. Вся ця технологія практично реалізована. Звісно, ​​хотілося, щоби це зробили ми.

В: Ну, у нас ще все попереду. Юрію Петровичу, наступне питання. Як я зрозумів з Ваших міркувань, будь-яка космічна система, що складається з двох планет, що має точки Лагранжа, або точки лібрації. Чи існують такі точки для системи Сонце – Земля, і в чому привабливість цих точок?

У.: Так, звичайно, абсолютно правильно У системі Земля – Сонце є також точки лібрації. Їх також п'ять. На відміну від навколомісячних точок лібрації політ у тих точках може бути привабливим вже для зовсім інших завдань. Якщо говорити конкретно, то найбільший інтерес представляють точки L1 та L2. Тобто. точка L1 у напрямку від Землі до Сонця, а точка L2 у протилежному напрямку на лінії, що з'єднує Землю та Сонце.

Так ось, перший політ у точку L1 у системі Сонце – Земля був здійснений у 1978 році. З того часу було реалізовано кілька космічних місій. Основний лейтмотив таких проектів був із спостереженням за Сонцем: за сонячним вітром, за сонячної активністю, зокрема. Є системи, які використовують попередження про якісь активні процеси на Сонці, що впливають на Землю: на наш клімат, на самопочуття людей тощо. Це те, що стосується точки L1. Вона насамперед цікава людству можливістю спостереження за Сонцем, за його активністю та за процесами, що відбуваються на Сонці.

Тепер точка L2. Крапка L2 теж цікава і, насамперед, для астрофізики. І пов'язано це з тим, що космічний апарат, розміщений на околицях цієї точки, може використовувати, наприклад, радіотелескоп, який буде екранований від випромінювання з боку Сонця. Він буде спрямований протилежно від Землі та Сонця і може дозволити проводити чистіше астрофізичні спостереження. Вони не зашумлені Сонцем, жодними відбитими випромінюваннями з боку Землі. І цікаво, т.к. ми рухаємося навколо Сонця, за 365 днів робимо повний обіг, то подібним радіотелескопом можна розглянути будь-який напрямок всесвіту. Такі проекти також є. Ось зараз у нас у Фізичному інституті Російської Академії наук розробляється такий проект «Міліметрон». У цій точці теж низка місій була реалізована, і космічні апарати літають.

В.: Юрію Петровичу, з погляду пошуку небезпечних астероїдів, які можуть загрожувати Землі, в якій точці треба розміщувати космічні апарати, щоб вони стежили за небезпечними астероїдами?

У.: Взагалі-то, такої прямої, очевидної відповіді на це питання, мені здається, немає Чому? Тому що астероїди, що рухаються по відношенню до сонячної системи, як би, групуються в ряд сімейств, у них зовсім різні орбіти і, на мою думку, можна в близькомісячній точці помістити апарат для одного типу астероїдів. Те, що стосується точок лібрації системи Сонце – Земля, також можна подивитися. Але такої очевидної, прямої відповіді: «така точка в такій системі» - мені здається, важко дати. Але, у принципі, точки лібрації може бути привабливі захисту Землі.

В.: Правильно я розумію, що сонячна система має ще багато цікавих місць, не тільки Земля – Місяць, Земля – Сонце. А які ще цікаві місця сонячної системиможна використовувати у космічних проектах?

У.: Справа в тому, що в сонячній системі в тому вигляді, в якому вона існує, крім ефекту, пов'язаного з точками лібрації, існує ще ряд таких ефектів, пов'язаний із взаємним рухом тіл у сонячній системі: і Землі, і планет, і т.д. д. У нас у Росії я, на жаль, не знаю робіт на цю тему, а ось, насамперед, американці та європейці виявили, що в сонячній системі існують, так звані, низькоенергетичні перельоти (причому, ці дослідження – досить складні й у математичному) плані роботи, і в плані обчислювальному – вони вимагають великих обчислювальних суперкомп'ютерів).

Ось, наприклад, повертаємося до точки L1 системи Земля – Місяць. По відношенню до цієї точки можна побудувати (це привабливо для автоматичних апаратів) перельоти по всій сонячній системі, даючи невеликі за мірками міжпланетних польотів імпульси порядку декількох сотень м/сек. І тоді цей космічний апарат розпочне повільний рух. При цьому можна побудувати траєкторію таким чином, що вона обмине низку планет.

На відміну від прямих міжпланетних перельотів, це буде тривалий процес. Тому для пілотованої космонавтики він не дуже підходить. А для автоматичних апаратів він може бути дуже привабливим.

Ось на малюнку (Мал.3) показана ілюстрація цих перельотів. Траєкторії, як би, зачіплюються одна за одну. Перехід з гало-орбіти з L1 до L2. Він ст проіт досить небагато. Ось там - те саме. Ми ніби ковзаємо цим тунелем, і в місці зачеплення або близькому до зачеплення з іншим тунелем ми даємо невеликий маневр і перелітаємо, йдемо до іншої планети. Загалом, дуже цікавий напрямок. Воно називається " Superhighway »(принаймні, американці використовують такий термін).

Рис.3.
(Малюнок із зарубіжних публікацій)

Практична реалізація частково була зроблена американцями у рамках проекту GENESIS . Нині вони теж у цьому напрямі працюють. Мені здається, це один із найперспективніших таких напрямків у розвитку космонавтики. Тому що все-таки з тими двигунами, «рушіями», які у нас є в даний час, я маю на увазі двигуни великої тяги і електрореактивні двигуни (які поки мають дуже маленьку тягу і вимагають велику енергію), ми зрушимо в плані освоєння сонячної системи чи подальшого вивчення сильно не можемо. А ось такі багаторічні або навіть десятирічні завдання перельоту можуть бути дуже цікавими для досліджень. Так само, як Вояджер. Він літав, здається, з 1978 або 1982 ( з 1977 року – ред.), зараз пішов за межі сонячної системи Цей напрямок дуже складний. По-перше, складно у математичному плані. Крім того, тут аналіз та розрахунки з механіки перельотів вимагають високих ресурсівкомп'ютерів, тобто. на персональному комп'ютеріце сумнівно обрахувати, чи потрібно використовувати суперкомп'ютери.

В.: Юрію Петровичу, можна систему низькоенергетичних переходів використовувати для організації космічного сонячного патруля – постійної системи моніторингу сонячної системи з наявними обмеженнями палива, які у нас є?

У.: Навіть між Землею та Місяцем, а також, припустимо, між Землею та Марсом, Землею та Венерою існують, так звані квазіперіодичні траєкторії Подібно до того, як ми розбирали гало-орбіту, яка в ідеальному завданні без обурення існує, але коли ми накладаємо реальні обурення, ми змушені коригувати якимось чином орбіту. Ці квазіперіодичні орбіти вимагають також невеликих, за мірками міжпланетних польотів, коли характеристичні швидкості – це сотні м/сек. З погляду космічного патруля для спостереження за астероїдами вони можуть бути привабливими. Єдиний мінус у тому, що вони слабо підходять для нинішньої пілотованої космонавтики через велику тривалість перельотів. А з погляду енергії, і навіть із тими двигунами, які зараз у нашому столітті є, можна зробити досить цікаві проекти.

В.: Правильно я розумію, точки лібрації системи Земля – Місяць, Ви припускаєте для пілотованих об'єктів, а точки, про які Ви говорили раніше, для автоматів?

У.: Ще я хотів би додати один момент, космічна станція в L1 або L2 може служити для запуску невеликих космічних апаратів (американці називають такий підхід Gate Way » - «Міст у всесвіт»). Апарат може з використанням низькоенергетичних перельотів періодично рухатися навколо Землі на дуже великих відстанях, або здійснювати переліт до інших планет або навіть обліт декількох планет.

В.: Якщо трохи пофантазувати, то надалі Місяць буде джерелом космічного палива, і на точку лібрації системи Земля – Місяць надходитиме місячне паливо, то можна заправляти космічні апарати космічним паливом та посилати космічні патрулі по всій сонячній системі.

Юрію Петровичу, Ви розповідали про цікаві явища. Їх досліджували американська сторона ( NASA), а нашій країні займаються цими проектами?

У.: Проектами, пов'язаними з точками лібрації системи Земля – Місяць, наскільки я знаю, напевно, не займаються Ось проектами, що з точками лібрації системи Сонце – Земля, займаються. У нас великий досвід у цьому напрямку мають Інститут прикладної математики Російської Академії Наук імені Келдиша, Інститут космічних досліджень, деякі ВНЗ у Росії намагаються займатися подібними проблемами. Але такого систематичного підходу, великої програми, бо програма має починатися з підготовки кадрів, причому кадрів із дуже високою кваліфікацією, немає. У традиційних курсах з космічної балістики, з небесної механіки сама механіка руху космічних апаратів на околиці точок лібрації, низькоенергетичні перельоти практично відсутня.

Я повинен відзначити, за часів Радянського Союзуподібними програмами займалися більш – менш активно, і фахівці були, як я вже згадував, в Інституті прикладної математики, ІКІ, ФІАН. Зараз багато хто з них перебуває в такому віці… А велика кількість молоді, яка б займалася цими проблемами, проглядається дуже слабо.

Я згадав американців не про те, щоб їх похвалити. Справа в тому, що США цими проблемами займаються дуже великі підрозділи. Насамперед у лабораторії JPL NASA великий колектив працює і вони здійснили, напевно, більшість американських проектів міжпланетної космонавтики. У багатьох американських університетах, в інших центрах, NASA працює велика кількість фахівців з гарною підготовкою, з хорошим комп'ютерним оснащенням. Вони йдуть із цієї проблеми, у цьому напрямі дуже широким фронтом.

У нас, на жаль, це якось скомкано. Якби така програма в Росії і з'явилася б, представляла в цілому великий інтерес, то на розгортання цих робіт, могло б піти досить тривалий час, починаючи з підготовки кадрів та закінчуючи дослідженнями, розрахунками, розробкою відповідних космічних апаратів.

В.: Юрію Петровичу, а які ВНЗ готують фахівців з небесної механіки в нашій країні?

У.: Наскільки я знаю, у МДУ, у Петербурзькому університеті є кафедра небесної механіки Там такі спеціалісти є. Скільки їх, мені важко відповісти.

В.: Бо щоб почати реалізовувати практичний бік питання, треба спочатку стати глибоким фахівцем, а для цього треба мати відповідну спеціальність.

У.: І мати дуже хорошу математичну підготовку

В: Добре. А можете зараз навести список літератури, який допоміг би тим людям, які зараз не мають спеціальної математичної підготовки?

У.: Російською мовою, наскільки я знаю, присвячена точкам лібрації, є одна монографія Маркєєва Якщо пам'ять мені не зраджує, вона називається так: «Точки лібрації в небесній механіці та космодинаміці». Вона приблизно в 1978 році виходила. Є довідник за редакцією Дубошина «Довідник з небесної механіки та астродинаміки». Він витримав 2 видання. Наскільки я пам'ятаю, у ньому також є такі питання. Решту можна почерпнути, по-перше, на сайті Інституту прикладної математики є електронна бібліотека та свої препринти (окремо видані статті) у цьому напрямі. Вони друкують у вільному доступі до Інтернету. За допомогою пошукової системиможна знайти відповідні препринти та їх подивитися. Дуже багато доступного з Інтернету матеріалу англійською мовою.

В.: Дякуємо за захоплюючу розповідь. Я сподіваюся, ця тема буде цікавою для наших користувачів інтернет ресурсу. Велике вам спасибі!

У 1772 виявив це явище.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Всі точки Лагранжа лежать у площині орбіт масивних тіл і позначаються великою латинською літерою L з числовим індексом від 1 до 5. Перші три точки розташовані на лінії, що проходить через обидва масивні тіла. Ці точки Лагранжа називаються колінеарнимиі позначаються L 1 L 2 і L 3 . Точки L4 і L5 називаються трикутними або троянськими.

  L 1 знаходиться між двома тілами системи, ближче до менш масивного тіла, L 2 - зовні, менш масивним тілом і L 3 - за більш масивним. Відстань від центру мас системи до цих точок у першому наближенні α розраховуються за допомогою наступних формул :

  r 1 = (R [ 1 − (α 3) 1 / 3 ] , 0) (\displaystyle r_(1)=\left(R\left,0\right)) r 2 = (R [ 1 + (α 3) 1 / 3 ] , 0) (\displaystyle r_(2)=\left(R\left,0\right)) r 3 = (R [ 1 + 5 12 α ] , 0) (\displaystyle r_(3)=\left(R\left,0\right))

  де α = M 2 M 1 + M 2 (\displaystyle \alpha =(\frac (M_(2))(M_(1)+M_(2)))),

  R- відстань між тілами, M M 2 – маса другого тіла.

  L 1

  Крапка L 1лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2), і знаходиться між ними поблизу другого тіла. Її наявність обумовлена ​​тим, що гравітація тіла M2 частково компенсує гравітацію тіла M1. При цьому чим більше M 2 тим далі від нього буде розташовуватися ця точка.

  Приклад:Об'єкти, які рухаються навколо Сонця ближче, ніж Земля, зазвичай мають менші орбітальні періоди, ніж Землі, якщо вони входять у зону впливу земного тяжіння. Якщо об'єкт перебуває безпосередньо між Землею і Сонцем, то дія земної сили тяжкості частково компенсує вплив гравітації Сонця, рахунок цього відбувається збільшення орбітального періоду об'єкта. Причому чим ближче до Землі знаходиться об'єкт, тим сильніший цей ефект. І нарешті, на певному наближенні до планети – у точці L 1- дія земної сили тяжкості врівноважує вплив сонячної гравітації настільки, що період обігу навколо Сонця стає рівним періоду обігу Землі. Для нашої планети відстань до точки L 1становить близько 1,5 млн. км. Притягнення Сонця тут на 2% (118 мкм/с²) сильніше, ніж на орбіті Землі (5,9 мм/с²), тоді як зниження необхідної центробувної сили вдвічі менше (59 мкм/с²). Сума цих двох ефектів урівноважується тяжінням Землі, яке становить тут також 177 мкм/с². Використання

  Місячна точка L 1(в системі Земля - ​​Місяць) може стати ідеальним місцем для будівництва космічної пілотованої орбітальної станції, яка, розташовуючись на «півдорозі» між Землею і Місяцем, дозволила б легко дістатися до Місяця з мінімальними витратами палива і стати ключовим вузлом вантажного потоку між Землею та її супутником.

  L 2

  Крапка L 2лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2), і знаходиться за тілом із меншою масою. Крапки L 1і L 2розташовуються на одній лінії і в межі M 1 M2 симетричні відносно M 2 . У точці L 2гравітаційні сили, що діють на тіло, компенсують дію відцентрових сил у обертовій системі відліку.

  Приклад:у об'єктів, розташованих за орбітою Землі, орбітальний період майже завжди більший, ніж у Землі. Але додатковий вплив на об'єкт сили тяжіння Землі, крім дії сонячної гравітації, призводить до збільшення швидкості обертання та зменшення часу обороту навколо Сонця, в результаті в точці L 2орбітальний період об'єкта стає рівним орбітальному періоду Землі.

  Крапка L 2в системі Сонце – Земля є ідеальним місцем для будівництва орбітальних космічних обсерваторій та телескопів. Оскільки об'єкт у точці L 2здатний тривалий час зберігати свою орієнтацію щодо Сонця та Землі, проводити його екранування та калібрування стає набагато простіше. Однак ця точка розташована трохи далі земної тіні (в області півтіні), так що сонячна радіація блокується не повністю. У цій точці вже знаходяться апарати американського та європейського космічних агентств - WMAP, «Планк», «Гершель» та Gaia, а в 2018 повинен приєднатися «Джеймс Уебб». Крапка L 2в системі Земля-Місяць може бути використана для забезпечення супутникового зв'язку з об'єктами на звороті Місяця, а також бути зручним місцем для розміщення заправної станції для забезпечення вантажопотоку між Землею і Місяцем

  Якщо M 2 багато менше за масою, ніж M 1 то точки L 1і L 2знаходяться на приблизно однаковій відстані rвід тіла M 2 , рівному радіусу сфери Хілла :

  r ≈ R M 2 3 M 1 3 (\displaystyle r\approx R(\sqrt[(3)](\frac (M_(2))(3M_(1)))))

  де R- Відстань між компонентами системи.

  Цю відстань можна описати як радіус кругової орбіти навколо M 2 , для якої період звернення за відсутності M 1 3 ≈ 1.73 (\displaystyle (\sqrt (3))\approx 1.73)разів менше, ніж період обігу M2 навколо M1.

  Приклади

  • В системі Сонце-Земля: 1 500 000 км від Землі
  • Земля - ​​Місяць : 61 500 км від Місяця

  L 3

  Крапка L 3лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2 ), і знаходиться за тілом із більшою масою. Так само, як для точки L 2У цій точці гравітаційні сили компенсують дію відцентрових сил.

  Приклад:Крапка L 3в системі Сонце – Земля знаходиться за Сонцем, на протилежному боці земної орбіти. Однак, незважаючи на свою невелику гравітацію (у порівнянні з гравітацією Сонця), Земля все ж таки надає на нього невеликий вплив, тому точка L 3знаходиться не на самій орбіті Землі, а трохи далі від Сонця, ніж Земля ] , оскільки обертання відбувається навколо Сонця, а навколо барицентра). В результаті в цій точці L 3досягається таке поєднання гравітації Сонця і Землі, що об'єкти, що знаходяться в цій точці, рухаються з таким самим орбітальним періодом, як і наша планета.

  До початку космічної ери серед письменників-фантастів була дуже популярна ідея про існування на протилежному боці земної орбіти у точці L 3іншої аналогічної їй планети, званої «Протиземель», яка через своє розташування була недоступна для прямих спостережень. Проте насправді через гравітаційний вплив інших планет точка L 3в системі Сонце – Земля є вкрай нестійкою. Так, під час геліоцентричних з'єднань Землі та Венери по різні боки Сонця, які трапляються кожні 20 місяців, Венера знаходиться всього в 0,3 а. тобто.від крапки L 3і таким чином дуже серйозно впливає на її розташування щодо земної орбіти. Крім того, через незбалансованість [ прояснити] центру тяжкості системи Сонце - Юпітер щодо Землі та еліптичності земної орбіти, так звана «Противоземля» все одно час від часу була б доступна для спостережень і обов'язково була б помічена. Ще одним ефектом, що видає її існування, була її власна гравітація: вплив тіла розміром вже близько 150 км і більше на орбіти інших планет було б помітно. З появою можливості проводити спостереження за допомогою космічних апаратів та зондів було достовірно показано, що у цій точці немає об'єктів розміром понад 100 м. [ ] .

  Орбітальні космічні апарати та супутники, розташовані поблизу точки L 3, можуть постійно стежити за різними формами активності на поверхні Сонця, зокрема, про появу нових плям або спалахів, та оперативно передавати інформацію на Землю (наприклад, у рамках системи раннього попередження про космічну погоду NOAA Space Weather Prediction Center). Крім того, інформація з таких супутників може бути використана для забезпечення безпеки далеких пілотованих польотів, наприклад, до Марсу або астероїдів. У 2010 році було вивчено кілька варіантів запуску подібного супутника

  L 4 та L 5

  Якщо на основі лінії, що з'єднує обидва тіла системи, побудувати два рівносторонні трикутники, дві вершини яких відповідають центрам тіл M 1 і M 2 то точки L 4і L 5будуть відповідати положенню третіх вершин цих трикутників, розташованих у площині орбіти другого тіла у 60 градусах попереду та позаду нього.

  Наявність цих точок та їх висока стабільність обумовлюється тим, що оскільки відстані до двох тіл у цих точках однакові, то сили тяжіння з боку двох масивних тіл співвідносяться в тій же пропорції, що їх маси, і таким чином результуюча сила спрямована на центр мас системи ; крім того, геометрія трикутника сил підтверджує, що результуюче прискорення пов'язане з відстанню до центру мас тієї ж пропорцією, що і двох масивних тіл. Оскільки центр мас є і центром обертання системи, результуюча сила точно відповідає тій, яка потрібна утримання тіла у точці Лагранжа в орбітальному рівновазі з рештою системою. (Насправді, маса третього тіла і не повинна бути дуже малою). Ця трикутна конфігурація була виявлена ​​Лагранжем під час роботи над завданням "трьох" тіл. Крапки L 4і L 5називають трикутними(На відміну від колінеарних).

  Також точки називають троянськими: ця назва походить від троянських, астероїдів, Юпітера, які є найяскравішим прикладом прояву цих точок. Вони були названі на честь героїв Троянської війни з «Іліади» Гомера, причому астероїди в точці L 4отримують імена греків, а точці L 5- захисників Трої; тому їх тепер так і називають «греками» (або «ахейцями») та «троянцями».

  Відстань від центру мас системи до цих точок координатній системіз центром координат у центрі мас системи розраховуються за такими формулами:

  r 4 = (R 2 β , 3 R 2) 2)) \ right)) r 5 = (R 2 β − 3 R 2) (\displaystyle r_(5)=\left((\frac (R)(2))\beta ,-(\frac ((\sqrt (3))R) )(2))\right)) β = M 1 − M 2 M 1 + M 2 (\displaystyle \beta =(\frac (M_(1)-M_(2))(M_(1)+M_(2)))), R- відстань між тілами, M 1 - маса більш масивного тіла, M 2 – маса другого тіла.

  Приклади

  • У 2010 році в системі Сонце - Земля у троянській точці L 4виявлено астероїд. В L 5поки що не виявлено троянських астероїдів, але там спостерігається досить велике скупчення міжпланетного пилу.
  • За деякими спостереженнями, в точках L 4 і L 5 системи Земля - ​​Місяць знаходяться дуже розріджені скупчення міжпланетного пилу - хмари Кордилевського.
  • У системі Сонце - Юпітер на околицях точок L 4 і L 5 знаходяться так звані троянські астероїди . Станом на 21 жовтня 2010 року відомо близько чотирьох з половиною тисяч астероїдів у точках L 4 і L 5 .
  • Троянські-астероїди в точках L 4і L 5є не тільки у Юпітера, а й у інших планет-гігантів.
  • Іншим цікавим прикладом є супутник Сатурна Тефія, в точках L 4 і L 5 якої знаходяться два невеликі супутники - Телесто і Каліпсо. Ще одна пара супутників відома в системі Сатурн - Діона : Олена у точці L 4 та Полідевк у точці L 5 . Тефія і Діона в сотні разів масивніші за своїх «підопічних», і набагато легше Сатурна, що робить систему стабільною.
  • Один із сценаріїв моделі, ударного, формування місяця, передбачає, що гіпотетична протопланета (планетезималь) Тейя, в результаті зіткнення якої з Землею утворився Місяць, сформувалася в точці Лагранжа L 4 або L 5 системи Сонце - Земля.
  • Спочатку вважалося, що у системі KOI-730 дві з чотирьох планет обертаються навколо свого сонця по одній орбіті. Уздовж загальної орбіти ці два світу постійно поділяють 60 градусів дистанції. Однак подальші дослідження показали, що дана системане містить коорбітальних планет.

  Рівновість у точках Лагранжа

  Тіла, вміщені в колінеарних точках Лагранжа, перебувають у нестійкій рівновазі. Наприклад, якщо об'єкт у точці L 1 злегка зміщується вздовж прямої, що з'єднує два масивних тіла, сила, що притягує його до того тіла, до якого воно наближається, збільшується, а сила тяжіння з боку іншого тіла, навпаки, зменшується. В результаті об'єкт все більше віддалятиметься від положення рівноваги.

  Така особливість поведінки тіл на околицях точки L 1 відіграє важливу роль у тісних подвійних, зоряних системах. Порожнини Роша компонент таких систем стикаються в точці L 1 , тому, коли одна із зірок-компаньйонів у процесі еволюції заповнює свою порожнину Роша, речовина перетікає з однієї зірки на іншу саме через околиці точки Лагранжа L 1 .

  Незважаючи на це, існують стабільні замкнуті орбіти (в системі координат, що обертається) навколо колінеарних точок лібрації, принаймні, у разі завдання трьох тіл. Якщо на рух впливають і інші тіла (як це відбувається в Сонячній системі), замість замкнутих орбіт об'єкт рухатиметься по квазіперіодичним орбітам, що мають форму фігур Ліссажу. Незважаючи на нестійкість такої орбіти, космічний апарат може залишатися на ній протягом тривалого часу, витрачаючи відносно невелику кількість палива.

  На відміну від колінеарних точок лібрації, у троянських точках забезпечується стійка рівновага, якщо M 1 /M 2 > 24,96 . При зміщенні об'єкта виникають сили Коріоліса, які викривляють траєкторію, і об'єкт рухається по стійкій орбіті навколо точки лібрації.

  Практичне застосування

  Дослідники у галузі космонавтики давно вже звернули увагу на точки Лагранжа. Наприклад, у точці L 1 системи Земля – Сонце зручно розмістити космічну сонячну обсерваторію – вона ніколи не потраплятиме в тінь Землі, а отже, спостереження можуть вестись безперервно. Крапка L 2 підходить для космічного телескопа – тут Земля майже повністю затуляє сонячне світло, Та й сама не заважає спостереженням, оскільки звернена до L 2 неосвітленим стороною. Точка L 1 системи Земля - ​​Місяць зручна розміщувати ретрансляційної станції під час освоєння Місяця. Вона буде в зоні прямої видимості для більшої частини зверненого до Землі півкулі Місяця, а для зв'язку з нею знадобляться передавачі в десятки разів менш потужні, ніж для зв'язку із Землею.

  В даний час кілька космічних апаратів, в першу чергу, астрофізичних обсерваторій, розміщені або плануються до розміщення в різних точках Лагранжа Сонячної системи:

  Точка L 1 системи Земля-Сонце:

  • Космічний, апарат, WIND, призначений для дослідження сонячного вітру (запущений у 1994 році).
  • SOHO (англ. Solar and Heliospheric Observatory , «Сонячна та геліосферна обсерваторія») (запущений у 1995 році).
  • Advanced Composition Explorer (запущений у 1997 році).

  Точка L 2 системи Земля-Сонце:

  Інші точки Лагранжа:

  Згадка у культурі

  Крапки Лагранжа досить популярні у науково-фантастичних творах, присвячених освоєнню космосу. Автори часто поміщають в них заселені або автоматичні станції - див. Borderlands 2 .

  Іноді в точки Лагранжа поміщають і більш цікаві об'єкти - сміттєзвалища («Єднання розумів» Чарльза Шеффілда, Нептунова арфа» Андрія Балабухи), інопланетні артефакти ( «Захисник» Ларрі Нівена) і навіть цілі Пола Андерсона). Айзек-Азімов пропонував відправляти в точки Лагранжа радіоактивні відходи («Вигляд з висоти»).