Узагальнена характеристика сигналу. Узагальнена структура каналу зв'язку. Геометричне представлення сигналів та їх характеристик
PAGE 24
РОСТІВСЬКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ
СЕРВІСУ ТА ТУРИЗМУ
________________________________________________________________
Кафедра Радіоелектроніка
Лазаренко С.В.
лекція № 1
з дисципліни “Радіотехнічні ланцюги та сигнали”
Ростов-на-Дону
2010
лекція 1
ВСТУП. ОСНОВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛІВ
З дисципліни РАДІОТЕХНІЧНІ ЛАНЦЮГИ І СИГНАЛИ
Час: 2 години
Досліджувані питання: 1. Предмет, ціль та завдання курсу
2. Короткий оглядкурсу, зв'язок з іншими дисциплінами
3. Коротка історія розвитку дисципліни
4. Загальна методика роботи над курсом, види занять,
форми звітності, навчальна література
5 Енергетичні характеристики сигналу
6 Кореляційні характеристики детермінованих сигналів
7 Геометричні методи теорії сигналів
8 Теорія ортогональних сигналів. Узагальнений ряд Фур'є
У цій лекції реалізуються такі елементи кваліфікаційної характеристики:
Студент повинен знати основні закони, принципи та методи аналізу електричних ланцюгів, а також методи моделювання електричних ланцюгів, схем та пристроїв.
Студент повинен володіти прийомами виконання розрахунків ланцюгів у встановленому та перехідному режимах.
1. ПРЕДМЕТ І ЗАВДАННЯ КУРСУ
Предметом вивчення дисципліни РАДІОТЕХНІЧНІ ЛАНЦЮГИ І СИГНАЛИ є електромагнітні процеси в лінійних та нелінійних радіотехнічних ланцюгах, методи розрахунку ланцюгів у встановленому та перехідному режимах, безперервні та дискретні сигнали та їх характеристики.
Від практики дисципліна бере об'єкти дослідження - типові ланцюги та сигнали, від фізики - її закони електромагнітного поля, від математики - апарат дослідження.
Метою вивчення дисципліни є прищеплення студентам навички розрахунку найпростіших радіотехнічних ланцюгів та ознайомлення їх із сучасними алгоритмами оптимальної обробки сигналів.
В результаті вивчення дисципліни кожен студент має
МАТИ УЯВЛЕННЯ:
Про сучасні алгоритми оптимальної обробки сигналів;
Про тенденції розвитку теорії радіотехнічних ланцюгів та сигналів,
ЗНАТИ:
Класифікацію радіотехнічних сигналів;
Тимчасові та спектральні характеристики детермінованих сигналів;
Випадкові сигнали, їх характеристики, кореляційний та спектральний аналізвипадкових сигналів;
Дискретні сигнали та їх характеристики;
Алгоритми цифрової обробки сигналів,
ВМІТИ ВИКОРИСТОВУВАТИ:
Методи аналітичного та чисельного вирішення задач проходження сигналів через лінійні та не лінійні ланцюги;
Методи спектрального та кореляційного аналізу детермінованих та випадкових сигналів,
ВОЛОДІТИ:
Прийомами вимірювання основних параметрів та характеристик радіотехнічних ланцюгів та сигналів;
Прийомами аналізу проходження сигналів через ланцюги,
МАТИ ДОСВІД:
Дослідження проходження детермінованих сигналів через лінійні стаціонарні ланцюги, нелінійні та параметричні ланцюги;
Розрахунки найпростіших радіотехнічних ланцюгів.
Експлуатаційна спрямованість підготовки з дисципліни забезпечується проведенням лабораторного практикуму, під час якого кожному студенту прищеплюються практичні навички:
Роботи з електро- та радіовимірювальними приладами;
Проведення експрес-аналізу позаштатних ситуацій у роботі фрагментів радіотехнічних ланцюгів за результатами вимірів.
2 КОРОТКИЙ ОГЛЯД КУРСУ, ЗВ'ЯЗОК З ІНШИМИ ДИСЦИПЛІНАМИ
Дисципліна "Радіотехнічні ланцюги та сигнали" базується на знанні.і ях "Математики", "Фізики", "Інформатики", та забезпечує засвоєння сту дентами загальнонаукових та спеціальних дисциплін, "Метрологія та радіоізме ренія", "Пристрої генерування та формування радіосигналів", "Пристрої прийому та обробки сигналів", "Основи телебачення та видипро техніки", "Статистична теорія радіотехнічних систем", "Радіотехні чеські системи", курсове та дипломнедо тування.
Вивчення дисципліни "Радіотехнічні ланцюги та сигнали" розвиває у студентів інженерне мислення, готує їх до освоєння спеціальних дисциплін.
Викладання дисципліни направлено:
На глибоке вивчення студентами основних законів, принципів та методів аналізу електричних ланцюгів, фізичної сутності електромагнітних процесів у пристроях радіоелектроніки;
На прищеплення твердих навичок з аналізу встановлених і перехідних процесів у ланцюгах, а також проведення експериментів з метою визначення характеристик і параметрів електричних ланцюгів.
Дисципліна складається з 5 розділів:
1 Сигнали;
2 Проходження сигналів через лінійні ланцюги;
3 Нелінійні та параметричні ланцюги;
4 Ланцюги зі зворотними зв'язками та автоколивальні ланцюги
5 Принципи цифрової фільтраціїсигналів
3. КОРОТКА ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ ДИСЦИПЛІНИ
Виникнення теорії електричних та радіотехнічних ланцюгів нерозривно пов'язане з практикою: зі становленням електротехніки, радіотехніки та радіоелектроніки. У розвиток зазначених областей та їх теорії зробили свій внесок багато вітчизняних та зарубіжних учених.
Явлення електрики та магнетизму були відомі людині давно. Проте лити у другій половині ХУІІІ століття вони почали вивчатися серйозно, з них стали зриватися ореоли таємничості та надприродності.
Вже Михайло Васильович Ломоносов (1711 - 1765) передбачав, що у природі існує одна електрика і що електричні та магнітні явища органічно пов'язані між собою. Великий внесок у науку про електрику зробив російський академік Франс Епінус (1724 - 1802).
Бурхливий розвиток вчення про електромагнітні явища стався в XIX столітті, викликане інтенсивним розвитком машинного виробництва. У цей час людство винаходить для своїх практичних потреб ТЕЛЕГРАФ, ТЕЛЕФОН, ЕЛЕКТРИЧНЕ ОСВІТЛЕННЯ, ЗВАРЮВАННЯ МЕТАЛІВ, ЗЛЕКТРОМАШИННІ ҐЕНЕРАТОРИ та ЕЛЕКТРОДВИГУНИ.
Вкажемо у хронологічній послідовності найяскравіші етапи розвитку вчення про електромагнетизм.
У 1785 році французький фізик Кулон Шарль Відповідь (1736 - 1806) встановив закон механічної взаємодії електричних зарядів(Закон Кулону).
У 1819 році данець Ерстед Ханс Крістіан (1777 - 1851) виявив дію електричного струму на магнітну стрілку, а в 1820 році французький фізик Ампер Андре Марі (1775 - 1836) встановив кількісний захід (силу), що діє з боку магнітного поля на ділянку провідника (закон Ампера).
У 1827 році німецький фізик Ом Георг Сімон (1787 - 1854) отримав експериментально зв'язок між тоном та напругою для ділянки металевого провідника (закон Ома).
У 1831 році англійський фізик Фарадей Майкл (1791 - 1867) встановив закон електромагнітної індукції, а в 1832 році російський фізик Ленц Емілій Християнович (1804 - 1865) сформулював принцип спільності та оборотності електричних та магнітних явищ.
У 1873 році на підставі узагальнення експериментальних даних з електрики та магнетизму англійський учений Дж. К. Максвелл висунув гіпотезу існування електромагнітних хвиль та розробив теорію для їх опису.
У 1888 році німецький фізик Герц Генріх Рудольф (1857 - 1894) експериментально довів існування випромінювання електромагнітних хвиль.
Практичне використаннярадіохвиль вперше здійснив російський учений Олександр Степанович Попов(1859 - 1905), який 7 травня 1895 року продемонстрував на засіданні Російського фізико - хімічного товариства передавач (іскровий прилад) та приймач електромагнітних хвиль (грозовідмітник) .
Наприкінці XIX століття в Росії працювали відомі інженери та вчені Лодигін Олександр Миколайович (1847 - 1923), створив першу у світі лампу розжарювання (1873); Яблучків Павло Миколайович (1847 - 1894), розробив електросвічку (1876); Доливо-Добровольський Михайло Йосипович (1861 - 1919), створив трифазну систему струмів (1889) і який заснував сучасну енергетику.
У XIX столітті аналіз електричних ланцюгів становив одне із завдань електротехніки. Електричні ланцюги вивчалися і розраховувалися за суто фізичними законами, що описує їх поведінку під впливом електричних зарядів, напруг і струмів. Ці фізичні закони лягли основою теорії електричних і радіотехнічних ланцюгів.
У 1893 – 1894 роках працями Ч.Штейнметца і А.Кеннеллі був розвинений так званий символічний метод, який спочатку був застосований для механічних коливань у фізиці, а потім перенесений в електротехніку, де комплексні величини стали використовуватися для узагальненого представлення амплітудно-фазової картини синусоїдального коливання.
На основі робіт Герця(1888), а потім Пупіна (1892) по резонансу та налаштуванню RLC-контурів та пов'язаних коливальних систем виникли проблеми визначення передавальних характеристикланцюгів.
У 1889 році А.Кеннеллі розробив формально - математичний метод еквівалентного перетворення електричних кіл.
В другій половині XIX століття Максвелл і Гельмгольц розробили методи контурних струмів та вузлових напруг (потенціалів), які лягли в основу матричних та топологічних методів аналізу пізнішого часу. Дуже важливим було визначення Гельмгольцем принципу суперпозиції, тобто. окремого розгляду кількох простих процесів в одному і тому ж ланцюгу з наступним алгебраїчним підсумовуванням цих процесів у складніше електричне явище в тому ж ланцюгу. Метод суперпозиції дозволив теоретично вирішувати велике коло завдань, які раніше вважалися нерозв'язними і піддавалися лише емпіричному розгляду.
Наступним істотним кроком у становленні теорії електричних та радіотехнічних ланцюгів було введення в 1899 року поняття комплексного опору електричного ланцюга змінному струму
Важливим етапомформування теорії електричних та радіотехнічних ланцюгів було дослідження частотних характеристикланцюгів. Перші ідеї у цьому напрямі також пов'язані з ім'ям Гельмгольца, який використав для аналізу принцип суперпозиції та метод гармонійного аналізу, тобто. застосував розкладання функції ряд Фур'є.
Наприкінці XIX століття були введені поняття Т-і П-подібних ланцюгів (їх стали називати чотириполюсниками). Майже водночас виникло поняття електричних фільтрів.
Фундамент сучасної теорії радіотехнічних ланцюгів та радіотехніки взагалі заклали наші співвітчизники М.Б.Шулейкін, Б.А.Веденський, А.І.Берг, А.Л.Мінц, В.А. . Папалексі та багато інших.
4 ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА РОБОТИ НАД КУРСОМ, ВИДИ ЗАНЯТТІВ, ФОРМИ ЗВІТНОСТІ, НАВЧАЛЬНА ЛІТЕРАТУРА
Вивчення дисципліни здійснюється на лекціях, лабораторних та практичних заняттях.
Лекції є одним з найважливіших видів навчальних занятьпро становлять основу теоретичного навчання. Вони дають систематизовані основи наукових знань з дисципліни, концентрують увагуе ми на найскладніших і вузлових питаннях, стимулюють їхню активну пізнавальну діяльність, формують творче мислення.
На лекціях поряд з фундаментальністю забезпечується необхіднийі травня ступінь практичної спрямованості навчання. Викладення матеріалу пов'язується з військовою практикою, конкретними об'єктами спеціальної техніки, в яких знаходять застосування електричні ланцюги.
Лабораторні заняття мають на меті навчити студентів методам екз периментальних та наукових досліджень, прищепити навички наукового аналізу та узагальнення отриманих результатів, навички роботи з лабораторнимпро рудуванням, контрольно-вимірювальними приладами та обчислювальної техніких нікой.
Під час підготовки до лабораторних занять студенти самостійно або (за потреби) на цільових консультаціях вивчають відповідною ний теоретичний матеріал, загальний порядок проведення досліджень, оформлюють бланки звітів (викреслюють схему лабораторної установки, необхідні таблиці).
Експеримент є основною частиною лабораторної роботи та реалі ється кожним студентом самостійно відповідно до керівництва до лабораторної роботи. Перед проведенням експерименту проводиться дон трольне опитування у формі летучки, мета якого - перевірка якості підгпро товки студентів до лабораторної роботи. При цьому необхідно брати до уваги знання теоретичного матеріалу, порядку виконання роботи, характер очікуваних результатів. При прийомі звітів слід враховуватидо куратність оформлення, дотримання студентами вимог ЄСКД, готівкаі чі та правильність необхідних висновків.
Практичні заняття проводяться з метою вироблення навичок у вирішенніе ні завдань, виробництві розрахунків. Головним їх змістом є праводо тична робота кожного студента. На практичні заняття виносяться зада чи, що мають прикладний характер. Підвищення рівня комп'ютерноїд готування здійснюється на практичних заняттях шляхом виконання розрахунківе тов за допомогою програмованих мікрокалькуляторів або персональних ЕОМ. На початку кожного заняття проводиться контрольне опитування, мета кітпро рого - перевірка підготовленості студентів до заняття, а також - активіза ція їх пізнавальної діяльності.
У процесі засвоєння змісту дисципліни у студентів систематі чески формуються методичні навички та навички самостійної роботи. Студентам прищеплюються вміння правильно поставити питання, поставити прпро найпростіше завдання, доповісти сутність виконаної роботи, користуватися доз кой і наочними посібниками.
Для прищеплення первинних навичок підготовки та проведення навчальних занять передбачається залучення студентів як помічників керівника лабораторних занять.
До найважливіших напрямів активізації пізнавальної дея ності студентів відноситься проблемне навчання. Для його реалізації зпро здаються проблемні ситуації з курсу в цілому, з окремих тем іпро просам, що реалізуються:
За допомогою запровадження нових проблемних понять з показом того, як історично вони виникли і як вони використовуються;
Шляхом зіткнення студента з протиріччями між новими явле нями та старими поняттями;
З необхідністю вибору необхідної інформації;
Використанням протиріч між наявними знаннями з ре результатам рішення та вимогами практики;
Пред'явленням фактів та явищ, незрозумілих на перший погляд з
допомогою відомих законів;
Шляхом виявлення міжпредметних зв'язків та зв'язків між явищами.
У процесі вивчення дисципліни передбачено контроль засвоєння матеріалу на всіх практичних видах занять у формі летучок, а за темами 1 та 2 формою двогодинної контрольної роботи.
Для визначення якості навчання в цілому з дисциплінит ся іспит. До іспиту допускаються студенти, які виконали всі вимоги навчальної програми, що прозвітували про всіх лабораторних роботах, отримайв ні позитивні оцінки щодо курсової роботи. Іспити проводяться в уст ній формі з необхідними письмовими поясненнями на класній дошці (формули, графіки тощо). На підготовку кожному студенту надається не більше 30 хвилин. Для підготовки до відповіді студенти можуть використатипро дозволені начальником кафедри методичні та довідкові матеріалие ріали. Підготовка до відповіді може здійснюватись письмово. Начальник кафедри може звільняти від складання іспиту студентів, які показалит особисті знання за результатами поточного контролю, з виставленням нимн ки "відмінно".
Таким чином, дисципліна "Радіотехнічні ланцюги та сигнали" явля ється системою концентрованих і в той же час досить повниха досконалих знань, що дозволяють радіоінженеру вільно орієнтуватися в найважливіших питанняхексплуатації спеціальних радіотехнічних пристроїв та систем.
ОСНОВНА НАВЧАЛЬНА ЛІТЕРАТУРА:
1. Баскаков С.І. Радіотехнічні ланцюги та сигнали. 3-тє видання. М: Вища школа, 2000 .
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
2. Баскаков С.І. Радіотехнічні ланцюги та сигнали. Посібник до вирішення завдань: Навч. посібник для радіотехн. спец. вузів. - 2-ге видання. М.: Вища школао ла, 2002.
3. ПОПОВ В.П. Основи теорії ланцюгів. Навч. для вузів.-3-тє вид. М.: Вища школао ла, 2000 .
5 ЕНЕРГЕТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛУ
Основними енергетичними характеристиками речовинного сигналу є:
1) миттєва потужність, що визначається як квадрат миттєвого значення сигналу
Якщо - напруга або струм, то миттєва потужність, що виділяється на опорі і 1 Ом.
Миттєва потужність не адитивна, тобто миттєва потужність суми сигналів не дорівнює сумі їх миттєвих потужностей:
2) енергія на інтервалі часу виражається як інтеграл від миттєвої потужності
3) середня потужність на інтервалі визначається значенням енергії сигналу на цьому інтервалі, віднесеної до одиниці часу
де.
Якщо сигнал заданий на нескінченному інтервалі часу, то середня потужність визначається так:
Системи передачі інформації проектуються так, щоб інформація передавалася зі спотвореннями менше заданих при мінімальній енергії та потужності сигналів.
Енергія та потужність сигналів, що визначаються на довільному інтервалі часу, можуть бути адитивними, якщо сигнали на цьому інтервалі часу ортогональні. Розглянемо два сигнали та, які задані на інтервалі часу. Енергія та потужність суми цих сигналів виражаються так:
, (1)
. (2)
Тут, і, - енергія та потужність першого та другого сигналів, взаємна енергія та взаємна потужність цих сигналів (або енергія та потужність їх взаємодії). Якщо виконуються умови
то сигнали і на інтервалі часу називають ортогональними, і вирази(1) і (2) набувають вигляду
Поняття ортогональності сигналів обов'язково пов'язані з інтервалом визначення.
Щодо комплексних сигналів також користуються поняттями миттєвої потужності, енергії та середньої потужності. Ці величини вводять те щоб енергетичні характеристики комплексного сигналу були дійсними величинами.
1. Миттєва потужність визначається добутком комплексного сигналуна комплексно-сполучений сигнал
2. Енергія сигналуна інтервалі часу за визначенням дорівнює
3. Потужність сигналуна інтервалі визначається як
Два комплексні сигнали і, задані на інтервалі часу, є ортогональними, якщо їх взаємна потужність (або енергія) дорівнює нулю.
6 КОРРЕЛЯЦІЙНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМІНОВАНИХ СИГНАЛІВ
Однією з найважливіших тимчасових характеристик сигналу є автокореляційна функція (АКФ), що дозволяє судити про рівень зв'язку (кореляції) сигналу з його зрушеною за часом копією.
Для речового сигналу, заданого на інтервалі часута обмеженого по енергії, кореляційна функція визначається наступним виразом:
, (3)
де - величина часового зсуву сигналу.
Для кожного значення автокореляційна функція виражається деякою числовою величиною.
З (3) слід, що АКФ є парною функцією тимчасового зсуву. Дійсно, замінюючи в (3) змінну на, отримаємо
При подібність сигналу з його несдвинутой копією максимальна і функціядосягає максимального значення, рівного повної енергії сигналу
Зі збільшенням функція всіх сигналів, крім періодичних, зменшується (не обов'язково монотонно) і при відносному зрушенні сигналів і величину, що перевищує тривалість сигналу, звертається в нуль.
Автокореляційна функція періодичного сигналу сама є періодичною функцією з тим самим періодом.
Для оцінки ступеня подібності двох сигналів використовується взаємна кореляційна функція (ВКФ), яка визначається виразом
Тут і - сигнали, задані на нескінченному інтервалі часуі які мають кінцеву енергію.
Значення не змінюється, якщо замість затримки сигналу розглядатиме випередження першого сигналу.
Автокореляційна функція є окремим випадком ВКФ, коли сигнали таоднакові.
На відміну від функція в загальному випадку не є парною щодо і може досягати максимуму три будь-хто.
Значення визначає взаємну енергію сигналів та
7 ГЕОМЕТРИЧНІ МЕТОДИ У ТЕОРІЇ СИГНАЛІВ
При вирішенні багатьох теоретичних та прикладних завдань радіотехніки виникають такі питання: 1) в якому сенсі можна говорити про величину сигналу, стверджуючи, наприклад, що один сигнал значно перевершує інший; 2) чи можна об'єктивно оцінювати, наскільки два неоднакові сигнали «схожі» один на одного?
У XX в. був створений функціональний аналіз розділ математики, що узагальнює наші інтуїтивні уявлення про геометричну структуру простору. Виявилося, що ідеї функціонального аналізу дають можливість створити струнку теорію сигналів, в основі якої лежить концепція сигналу як вектора у спеціально сконструйованому нескінченномірному просторі.
Лінійний простір сигналів. Нехай -безліч сигналів. Причина об'єднання цих об'єктів наявність деяких властивостей, загальних всім елементів множини.
Дослідження властивостей сигналів, що утворюють такі множини, стає особливо плідним тоді, коли вдається виражати одні елементи множини через інші елементи. Прийнято казати, що багато сигналів наділено у своїй певної структурою. Вибір тієї чи іншої структури може бути продиктований фізичними міркуваннями. Так, стосовно електричних коливань відомо, що можуть складатися, і навіть множитися на довільний масштабний коефіцієнт. Це дає можливість у безлічі сигналів запровадити структуру лінійного простору.
Безліч сигналів утворює речовий лінійний простір, якщо справедливі наступні аксіоми:
1. Будь-який сигнал за будь-яких приймає лише речові значення.
2. Для будь-яких і існує їхня сума, причому також міститься в. Операція підсумовування комутативна: та асоціативна: .
3. Для будь-якого сигналу та будь-якого речовинного числа визначено сигнал=.
4. Безліч М містить особливий нульовий елемент , такий, що для всіх.
Якщо математичні моделісигналів набувають комплексних значень, то, допускаючи в аксіомі 3 множення на комплексне число, приходимо до поняття комплексного лінійного простору.
Введення структури лінійного простору є першим кроком на шляху до геометричного трактування сигналів. Елементи лінійних просторів часто називають векторами, наголошуючи на аналогії властивостей цих об'єктів і звичайних тривимірних векторів.
Обмеження, що накладаються аксіомами лінійного простору, дуже жорсткі. Не кожна сигналів виявляється лінійним простором.
Концепція координатного базису. Як і в звичайному тривимірному просторі, У лінійному просторі сигналів можна виділити спеціальне підмножина, що грає роль координатних осей.
Говорять, що сукупність векторів (}, належать, є лінійно незалежною, якщо рівність
можливо лише у разі одночасного звернення на нуль всіх числових коефіцієнтів.
Система лінійно незалежних векторів утворює координатний базис у лінійному просторі. Якщо дано розкладання деякого сигналу як
то числа () є проекціями сигналу щодо вибраного базису.
У завданнях теорії сигналів число базисних векторів, зазвичай, необмежено велике. Такі лінійні простори називають нескінченномірними. Звичайно, теорія цих просторів не може бути вкладена в формальну схему лінійної алгебри, де число базисних векторів завжди звичайно.
Нормований лінійний простір. Енергія сигналу. Щоб продовжити і поглибити геометричне трактування теорії сигналів, необхідно запровадити нове поняття, яке за своїм змістом відповідає довжині вектора. Це дозволить не тільки надати точний сенс висловлюванню вигляду «перший сигнал більше за другий», а й вказати, наскільки він більший.
Довжину вектора математики називають його нормою. Лінійний простір сигналів є нормованим, якщо кожному вектору однозначно зіставлено число норма цього вектора, причому виконуються такі аксіоми нормованого простору:
1. Норма невід'ємна, тобто.. Норма тоді і лише тоді, якщо .
2. Для будь-якого числа справедлива рівність.
3. Якщо і — два вектори з , то виконується нерівність трикутника: .
Можна запропонувати різні способизапровадження норми сигналів. У радіотехніці найчастіше вважають, що речові аналогові сигналимають норму
(4)
(З двох можливих значень кореня вибирається позитивне). Для комплексних сигналів норма
де * - символ комплексно-сполученої величини. Квадрат норми носить назву енергії сигналу
Саме така енергія виділяється у резисторі з опором 1 Ом, якщо на його затискачі існує напруга.
Визначати норму сигналу за допомогою формули (4) доцільно з таких причин:
1. У радіотехніці про величину сигналу часто судять, виходячи із сумарного енергетичного ефекту, наприклад, кількості теплоти, що виділяється в резисторі.
2. Енергетична норма виявляється «нечутливою» до змін форми сигналу, можливо, і значним, але що відбувається на коротких відрізках часу.
Лінійний нормований простір з кінцевою величиною норми виду (1.15) носить назву простору функцій з квадратом, що інтегрується, і коротко позначається.
8 ТЕОРІЯ ОРТОГОНАЛЬНИХ СИГНАЛІВ. УЗАГАЛЬНА РЯД ФУР'Є
Ввівши в безлічі сигналів структуру лінійного простору, визначивши норму і метрику, ми, проте, позбавлені можливості визначити таку характеристику, як кут між двома векторами. Це вдається зробити, сформулювавши важливе поняття скалярного добутку елементів лінійного простору.
Скалярний добуток сигналів. Нагадаємо, що якщо у звичайному тривимірному просторі відомі два вектори і, то квадрат модуля їх суми
де - скалярне твір цих векторів, що залежить від кута між ними.
Діючи за аналогією, обчислимо енергію суми двох сигналів та:
. (5)
На відміну від самих сигналів їх енергії неадитивні - енергія сумарного сигналу містить так звану взаємну енергію
. (6)
Порівнюючи між собою формули(5) та (6), визначимо скалярний добуток речових сигналів та:
Скалярний твір має властивості:
- , де - речове число;
Лінійний простір з таким скалярним твором, повний у тому сенсі, що він містить у собі всі граничні точки будь-яких послідовностей векторів з цього простору, що сходяться, називається речовинним гільбертовим простором.
Справедлива фундаментальна нерівність Коші- Буняковського
Якщо сигнали набувають комплексних значень, то можна визначити комплексний гільбертовий простір, ввівши в ньому скалярний твір за формулою
таке, що.
Ортогональні сигнали та узагальнені ряди Фур'є. Два сигнали і називаються ортогональними, якщо їх скалярне твір, отже, і взаємна енергія дорівнюють нулю:
Нехай гільбертове простір сигналів з кінцевим значенням енергії. Ці сигнали визначені на часовому відрізку, кінцевому або нескінченному. Припустимо, що у цьому ж відрізку задана нескінченна система функцій, ортогональних один одному і які мають одиничні норми:
Говорять, що при цьому в просторі сигналів заданий ортонормований базис.
Розкладемо довільний сигнал у ряд:
(7)
Подання (7) називається узагальненим рядом Фур'є сигналу у вибраному базисі.
Коефіцієнти даного ряду знаходять в такий спосіб. Візьмемо базову функцію з довільним номером, помножимо на неї обидві частини рівності (7) і потім проінтегруємо результати за часом:
. (8)
Зважаючи на ортонормованість базису у правій частині рівності (8) залишиться тільки член суми з номером, тому
Можливість уявлення сигналів у вигляді узагальнених рядів Фур'є факт великого важливого значення. Замість того, щоб вивчати функціональну залежність у безлічі точок, ми отримуємо можливість характеризувати ці сигнали лічильною (але, взагалі кажучи, нескінченною) системою коефіцієнтів узагальненого ряду Фур'є.
Енергія сигналу, представленого у формі узагальненого ряду Фур'є. Розглянемо деякий сигнал, розкладений у ряд по ортонормованій базовій системі:
і обчислимо його енергію, безпосередньо підставивши цей ряд у відповідний інтеграл:
(9)
Оскільки базисна система функцій ортонормована, у сумі (9) відмінними від нуля будуть тільки члени з номерами. Звідси виходить чудовий результат:
Сенс цієї формули такий: енергія сигналу є сума енергій всіх компонент, у тому числі складається узагальнений ряд Фур'є.
Старший викладач кафедри Радіоелектроніки С.Лазаренко
Швидкість передачі вимірювальної інформації визначає ефективність системи зв'язку, що входить до вимірювальної системи.
Спрощена схема вимірювальної системи показано на рис.175.
Зазвичай первинний вимірювальний перетворювач перетворює вимірювану величину електричний сигнал X (t),який потрібно передати по канал зв'язку.Залежно від того, що є каналом зв'язку (електричний провід або кабель, світловод, водне середовище, повітряний або безповітряний простір) носіями вимірювальної інформації можуть бути електричний струм, промінь світла, звукові коливання, радіохвилі тощо. Вибір носія є першим етапом узгодження сигналу з каналом.
Узагальненими характеристиками каналу зв'язку є часТ до, в протягом якого він наданий для передачі вимірювальної інформації, ширина смуги пропускання F до і динамічний діапазон Н к, під яким розуміють відношення припустимої потужності в каналі до потужності неминуче присутніх у каналі перешкод, виражене децибелах. твір, добуток
називається ємністю каналу.
Аналогічними узагальненими характеристиками сигналу є часТ с, протягом якого відбувається передача вимірювальної інформації, ширина спектра F c та динамічний діапазонН c - виражене в децибелах відношення найбільшої потужності сигналу до найменшої потужності, яку необхідно відрізняти від нуля при заданій якості передачі. твір, добуток
називається обсягом сигналу.
Геометрична інтерпретація введених уявлень показано на рис. 176.
Умовою узгодження сигналу з каналом, що забезпечує передачу вимірювальної інформації без втрат та спотворень за наявності перешкод, є виконання нерівності
коли обсяг сигналу повністю "вписується" у ємність каналу. Однак умова узгодження сигналу з каналом може виконуватися і тоді, коли деякі (але не всі) останні нерівності не виконуються. В цьому випадку виникає необхідність так званих обмінних операцій,при яких відбувається як би "обмін" тривалості сигналу на ширину спектра, або ширини спектра на динамічний діапазон сигналу і т.п.
Приклад 82.Сигнал, що має ширину спектра 3 кГц, необхідно передати каналом, смуга пропускання якого 300 Гц. Це можна зробити, записавши його попередньо на магнітну стрічку і відтворюючи під час передачі зі швидкістю в 10 разів меншої швидкості запису. При цьому всі частоти вихідного сигналу зменшаться в 10 разів, і в стільки разів збільшиться час передачі. Прийнятий сигнал також потрібно буде записати на магнітну стрічку. Відтворюючи його потім зі швидкістю в 10 разів більшою, можна буде відтворити вихідний сигнал.
Аналогічним чином можна за короткий часпередати тривалий сигнал, якщо смуга пропускання каналу ширша за спектр сигналу.
У каналах з адитивними некорельованими перешкодами
де Р c і Р п - відповідно потужності сигналу та перешкод. При передачі електричних сигналів відношення
можна розглядати як кількість рівнів квантування сигналу, що забезпечують безпомилкову передачу. Дійсно, при обраному кроці квантування сигнал будь-якого рівня через вплив перешкод не може бути прийнятий за сигнал сусіднього рівня. Якщо тепер уявити сигнал сукупністю миттєвих значень, взятих відповідно до теореми В.А. Котельникова через проміжки часу D t= ,
то кожен із цих моментів часу він буде відповідати одному з рівнів, тобто. може мати одне з прівноймовірних значень, що відповідає ентропії
Після реєстрації приймальним пристроєм одного з рівнів фіксований момент часу ентропія (апостеріорна) виявиться рівною 0, а квант інформації (кількість інформації, переданої в дискретний момент часу)
Оскільки весь сигнал передається N = 2 F c T c квантами, то кількість інформації, що міститься в ньому
прямо пропорційно обсягу сигналу. Для передачі цієї інформації за час Т до необхідно забезпечити швидкість передачі
Якщо сигнал з каналом узгоджено і Т с = Т к; F c = F к,то
Це формула К. Шеннона для граничної пропускної спроможності каналуВона встановлює максимальну швидкість безпомилкової передачі інформації. При Т c< T к скорость может быть меньшей, а при Т с >T можливі помилки.
Залежність граничної пропускної спроможності каналу від відношення сигнал/перешкода при кількох значеннях ширини смуги пропускання показано на рис. 177. Характер цієї залежності різний при великих та малих відносинах
тобто. залежність пропускної спроможності каналу від відношення сигнал/перешкода логарифмічна.
Якщо «1, то незважаючи на те, що Р п » Р c , безпомилкова передача все-таки можлива, але дуже малою швидкістю. В цьому випадку справедливе розкладання
де можна обмежитися першим членом. З огляду на те, що log e = 1,443, отримаємо
Таким чином, при малих відносинах сигнал/перешкода залежність пропускної здатності від відношення сигнал/перешкода лінійна.
Залежність пропускної спроможності від ширини смуги пропускання каналу реальних системах складніша, ніж просто лінійна. Від лінії пропускання каналу залежить потужність шумової перешкоди на вході приймального пристрою. Якщо спектр перешкод рівномірний, то
де G - спектральна густина потужності перешкоди, тобто. потужність перешкоди, що припадає на одиницю смуги частот. Тоді
Потужність сигналу можна виразити через таку ж спектральну щільність, якщо ввести до розгляду еквівалентнусмугу частот F е:
Розділивши обидві частини цього виразу на F е, отримаємо:
Характер цієї залежності показано на рис. 178. Важливо відзначити, що зі збільшенням смуги пропускання каналу його пропускна здатність не збільшується безмежно, а прагне деякої межі . Це пояснюється посиленням шуму в каналі та погіршенням відношення сигнал/шум на вході приймального пристрою. Межа, до якої зі зростанням F до прагне, можна визначити, скориставшись при великих F до вже відомим розкладанням логарифмічної функціїу ряд. Тоді, якщо
Таким чином, максимальне значення, якого прагне гранична пропускна здатність каналу зі зростанням його ширини смуги пропускання, пропорційно відношенню потужності сигналу до потужності перешкод, що припадає на одиницю смуги частот. Звідси, очевидно, випливає такий практичний висновок: збільшення граничної пропускної спроможності каналу потрібно збільшувати потужність передавального пристрою і використовувати приймальний пристрійіз мінімальним рівнем шумів на вході.
Поряд з ефективністю другим найважливішим показником якості системи зв'язку є завадостійкість. При передачі вимірювальної інформації в аналоговій формі вона оцінюється за відхиленням прийнятого сигналувід переданого. Перешкодостійкість дискретних каналів зв'язку ймовірністю помилкиР ош (відношенням числа помилково прийнятих знаків до загального числа переданих) та пов'язана з нею залежністю
Якщо, наприклад, Р ош = 10 -5 , то? = 5; якщо Р ош = 10 -6 , то æ = 6.
Ефективним способом підвищення перешкодостійкості при передачі вимірювальної інформації в аналоговій формі та некорельованих перешкод є накопичення.Сигнал передається кілька разів і при когерентному складанні всіх прийнятих для реалізації його значення у відповідні моменти часу підсумовуються, у той час як перешкода в ці моменти часу, будучи випадковою, частково компенсується. В результаті відношення сигнал/перешкода збільшується, стійкість до перешкод підвищується. Аналогічно ідея накопичення реалізується під час передачі вимірювальної інформації з дискретного каналу.
Приклад 83. Нехай характер перешкоди такий, що може бути прийнято за сигнал (тобто. 0 то, можливо прийнятий за 1). При передачі кодом Бодо комбінація 01001 тричі прийнята у вигляді:
Якщо суматором є пристрій, що не спрацьовує при появі хоча б одного нуля в стовпці, комбінація буде прийнята правильно за умови, що кожен нуль хоча б раз був прийнятий правильно.
Якщо за однієї передачі можливість незалежних помилок позначити через Р ош, то після N -кратного повторення передачі вона дорівнюватиме Р ош. Отже, завадостійкість після Nповторних передач
де æ - завадостійкість при одноразовій передачі. Таким чином, завадостійкість при накопиченні зростає до повторень раз.
Одним із способів підвищення перешкодостійкості є також застосування коригувальних кодів.
Підвищення завадостійкості досягається за рахунок збільшення надмірності, а більш загальному плані - за рахунок збільшення обсягу сигналу при тій же кількості вимірювальної інформації. У цьому повинна зберігатися умова узгодження сигналу з каналом. За виконання цієї умови і Т c = Т до; Н с = Н до передача вимірювальної інформації за допомогою амплітудно-модульованого високочастотного коливання є більш завадою, ніж безпосередня передача сигналу, тому що у випадку, наприклад, тональної модуляції займає вдвічі більшу смугу частот. У свою чергу застосування глибокої частотної або фазової модуляції, завдяки розширенню спектра, ще більше підвищує стійкість до перешкод системи зв'язку. У цьому сенсі перспективним є застосування не простихсигналів, у яких
F з Т з ≈ 1,
а складних,для яких
До них відносяться імпульсні сигнали з високочастотним заповненням та частотною модуляцією або фазовою маніпуляцією несучих коливань та ін.
Вимоги ефективності та завадостійкості систем зв'язку є суперечливими. Вони спонукають з одного боку зменшувати, з другого - збільшувати обсяг сигналу, не порушуючи, умови узгодження його з каналом і змінюючи кількості що міститься у ньому інформації. Задоволення цих вимог передбачає синтез оптимальних технічних рішень.
Під час вивчення узагальненої теорії сигналів розглядаються такі вопросы.
1. Основні характеристики та методи аналізу сигналів, що використовуються у радіотехніці для передачі інформації.
2. Основні види перетворень сигналів у процесі побудови каналів.
3. Способи побудови та методи аналізу радіотехнічних ланцюгів, за допомогою яких виконуються операції над сигналом.
Радіотехнічні сигнали можна визначити як сигнали, що використовуються у радіотехніці. За своїм призначенням радіотехнічні сигнали поділяються на сигнали:
радіомовлення,
телевізійні,
телеграфні,
радіолокаційні,
радіонавігаційні,
телеметричні та ін.
Усі радіотехнічні сигнали модульовані. p align="justify"> При формуванні модульованих сигналів використовують первинні сигнали низької частоти (аналогові, дискретні, цифрові).
Аналоговий сигнал повторює закон зміни повідомлення.
Дискретний сигнал – джерело повідомлення передає інформацію через певні інтервали часу (наприклад, погоду), крім того, дискретне джерело може бути отримано в результаті дискретизації в часі аналогового сигналу.
Цифровий сигнал – це відображення повідомлення у цифровій формі. Приклад: текстове повідомлення кодується у цифровий сигнал.
Усі знаки повідомлення можуть кодуватися в двійковий, шістнадцятковий та інші коди. Кодування здійснюється автоматично за допомогою кодера. Таким чином, символи коду перетворюються на стандартні сигнали.
Перевага цифрової передачі даних - це висока перешкода. Зворотне перетворення здійснюється за допомогою цифроаналогового перетворювача.
Математичні моделі сигналів
При вивченні загальних властивостей сигналів зазвичай відволікаються від їхньої фізичної природи та призначення, замінюючи їх математичною моделлю.
Математична модель - Вибраний спосіб математичного опису сигналу, що відображає найбільш суттєві властивості сигналу. На основі математичної моделі можна зробити класифікацію сигналів з метою визначення їх загальних властивостей та принципових відмінностей.
Радіотехнічні сигнали прийнято ділити на два класи:
детерміновані сигнали,
Випадкові сигнали.
Детермінований сигнал – це сигнал, значення якого будь-які моменти часу є відомою величиною чи може бути заздалегідь обчислено.
Випадковий сигнал – це сигнал, миттєве значення якого є випадковою величиною(наприклад, звуковий сигнал).
Математичні моделі детермінованих сигналів
Детерміновані сигнали поділяються на два класи:
періодичний,
неперіодичний.
Нехай s ( t ) - Детермінований сигнал. Періодичні сигнали описуються періодичною функцією часу:
і повторюються через період T . Наближено t >> T . Інші сигнали неперіодичні.
Імпульс – це сигнал, значення якого від нуля протягом обмеженого інтервалу часу (тривалість імпульсу 
).
Однак при описі математичної моделі використовуються функції, задані на безкінечному інтервалі часу. Вводять поняття ефективної (практичної) тривалості імпульсу:
.
Експонентний імпульс.
Наприклад: визначення ефективної тривалості експонентного імпульсу як інтервалу часу, протягом якого значення сигналу зменшується в 10 разів. Визначити ефективну тривалість імпульсу для малюнку:
Енергетичні характеристики сигналу . Миттєва потужність – це потужність сигналу на опорі 1 Ом:
.
Для неперіодичного сигналу введемо поняття енергії на опорі 1 Ом:
.
Для періодичного сигналу запроваджено поняття середньої потужності:
Динамічний діапазон сигналу визначається як відношення максимальної P ( t ) до тієї мінімальної P ( t ) , яка дозволяє забезпечити задану якість передачі (виражається зазвичай у дБ):
.
Спокійна мова диктора має динамічний діапазон приблизно 25-30 дБ, у симфонічного оркестру до 90 дБ. Вибір значення P
min
пов'язаний з рівнем перешкод: 
.
Повідомлення та відповідні сигнали за своєю структурою можуть бути безперервними або дискретними.
Безперервні сигнали визначаються безліччю значень на кінцевому інтервалі часу. Такі сигнали описуються на деякому досить великому інтервалі часу безперервними функціями часу. Типовим прикладом безперервного сигналу може бути телефонний сигнал, що відображає мову, музику, зміна температури тощо (рис. 1.2).
Дискретними називаються сигнали, що характеризуються кінцевим числом значень на інтервалі часу існування. Прикладом дискретного сигналу можуть бути сигнали телеграфного зв'язку, що відображають літери алфавіту і знаки певними поєднаннями дискретних станів сигналу (рис. 1.3).
Рис. 1.2. Телефонний сигнал Мал. 1.3. Телеграфні сигнали
Слід зазначити, що будь-який безперервний сигнал передачі повідомлення з певною точністю можна дискретизувати. Ця можливість полягає в тому, що це реальні сигнали мають обмежені спектри частот, т. е. описуються функціями з кінцевим безліччю значень кінцевому інтервалі часу.
Функції, що описують сигнали зв'язку, можуть бути періодичними та неперіодичними функціями часу. З курсу теорії радіосигналів відомо, що сигнал (функція) будь-якого виду може бути розкладений на гармонійні складові: періодичні сигнали – за допомогою рядів Фур'є, неперіодичні – за допомогою інтеграла Фур'є.
Сукупність амплітуд гармонійних складових називається спектром амплітуд або просто спектром сигналу.
Для аналізу сигналів зручніше користуватися не повними аналітичними описамисигналів (повна реалізація яких завжди можлива), а деякими узагальненими показниками чи параметрами.
Такими узагальненими фізичними параметрами сигналу є:
- Тривалість сигналу ;
-ширина спектра частот;
- динамічний діапазон;
Тривалість характеризує час існування сигналу і, отже, час, який необхідно надати канал зв'язку передачі сигналу.
Ширина спектра частот характеризує форму сигналу та смугу пропускання каналу, яку необхідно мати для передачі сигналу каналом.
Динамічний діапазон сигналу Д характеризує перевищення потужності сигналу над потужністю відповідних сигналу перешкод, записане в логарифмічній формі:
Більш точно динамічним діапазоном сигналу слід вважати логарифм відношення його найбільшої миттєвої потужності та найменшої миттєвої потужності. Але так як в каналі зв'язку мінімальна потужність сигналу завжди повинна перевищувати потужність перешкод, як узагальненого параметра обрано перевищення сигналу над перешкодою.
Первинні телефонні сигнали
Телефонні сигнали є результатом мовних повідомлень. Вони є безперервно змінюється за величиною струм (напруга), що однозначно відображає звукові коливання. Первинні телефонні сигнали відносяться до безперервних сигналів.
Йдеться людини містить звукові коливання діапазоні від 80 до 10000Гц, а слуховий апарат здатний сприймати звукові коливання діапазоні від 16 до 20000 Гц. Встановлено також, що основна частина середньої потужності сигналу, що забезпечує гучність мовлення, зосереджена діапазоні від 300 до 600 Гц; Інші частотні складові діапазону забезпечують фарбування звуку.
Усереднений енергетичний спектр мовного сигналу показано на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Середній спектр мовного сигналу
Виходячи з наведених цифрових даних, у техніці військового зв'язку для отримання достатньої гучності та розбірливості мови сигнал обмежують смугою 300...3400 Гц. Ця смуга є стандартною для військового радіозв'язку і має спеціальну назву ЕППЛ - смуга частот, що ефективно передається.
У радіомовленні на довгих, середніх і коротких хвилях ЕППЛ становитиме 50...4500 Гц, в УКХ діапазоні - 30...10000 Гц, а передачі стереофонічних програм - 20...20000 Гц.
Першою характеристикою сигналу є тривалість Т с.
Друга характеристика - динамічний діапазон сигналу, що показує перевищення сигналу над шумом (порогом)
Наприклад, мова (при переході від шепоту до крику) має динамічний діапазон D =50 дБ.
Третім показником є ширина спектра сигналу
, (1.46)
де - верхня та нижня межа спектра сигналу.
Узагальненою характеристикою сигналу є обсяг сигналу, який визначається виразом
V c = T c * D c * F c. (1.47)
Щоб вирішити питання можливості передачі сигналу по каналу зв'язок, такі ж характеристики вводяться і для каналу T до, D до, F до, V до
V до =T до *D до * F до, (1.48)
де T до - час використання каналу,
D до - динамічний діапазон каналу (здатність передавати різні рівні),
F до - ширина смуги частот, що пропускаються каналом,
V до - ємність каналу.
Передача можлива за умов:
T до T; D до D; F до F с. (1.49)
Цю вимогу можна послабити, записавши
V до V c (1.50)
Процес видозміни параметрів сигналу для забезпечення можливості передачі його по заданому каналу називається узгодженням сигналу з каналом зв'язку.
Модуляція сигналів
Класифікація видів модуляції
Повідомлення, подане електричним сигналом, має бути передано на певну відстань (у тому числі на досить велику). З цією метою використовуються сигнали - переносники. Енергія переносників має бути достатньою передачі на задану відстань.
Таким чином, перетворення сигналів при передачі полягає у впливі на переносник, що змінює той чи інший параметр. Цей вплив називається модуляцією.
Різні види модуляції характеризуються різними видамипереносників, а також рядом параметрів, що піддаються зміні.
По виду переносників розрізняють:
§ модуляцію синусоїдальних (гармонічних) сигналів;
§ модуляцію імпульсних сигналів.
За змінними параметрами розрізняють:
§ амплітудну модуляцію;
§ частотну модуляцію;
§ фазову модуляцію;
§ кодову модуляцію та ін.
У тих випадках, коли безперервне повідомлення передається в дискретній (цифровій) формі, здійснюється попереднє перетворення безперервного повідомлення дискретне, що включає дискретизацію (квантування) за часом і за рівнем.
Амплітудна модуляція
Амплітудна модуляція характеризується зміною амплітуди A 0 переносника за законом сигналу повідомлення, що передається
, (1.51)
де - найбільша зміна амплітуди при модуляції,
f(t) -функція, що виражає закон зміни в часі повідомлення.
Тоді амплітудно-модульований гармонійний сигнал матиме такий вигляд
, (1.52)
де – глибина амплітудної модуляції.
У тому випадку, коли 
 |
Як видно з виразу (рисунок 1.9 б), спектр сигналу складається з трьох
гармонійних складових: несучої з частотою та двох частот – нижньої та верхньої - .
Ширина спектра сигналу.
Якщо модуляція гармонійного сигналу проводиться за складнішим законом, причому спектр амплітуди, що огинає, знаходиться в діапазоні частот від (нижньої) до (верхньої), то можна показати, що в спектрі амплітудно-модульованого (АМ) сигналу замість двох бічних частот будуть дві бічні смуги частот : нижня 
та верхня 
. Для неспотвореної передачі такого сигналу канал зв'язку повинен мати смугу пропускання частот, що дорівнює , тобто. смуга пропускання має бути вдвічі більшою найвищої частотиспектра модулюючого сигналу
Для зменшення смуги частот модульованого сигналу, отже, і необхідної смуги пропускання каналу зв'язку застосовують так звану односмугову передачу. За такої передачі з допомогою фільтрів роблять придушення несучої частоти частот однієї з бічних смуг, тобто. передача виробляється у смузі частот - .
При амплітудній модуляції необхідно виконання умови. Невиконання цієї умови призводить до специфічних спотворень – так званої перемодуляції.
Частотна модуляція
При частотній модуляції частота сигналу змінюється за законом
, (1.54)
де – постійна складова частоти;
Глибина частотної модуляції;
Найбільша зміна частоти при модуляції (девіація частоти);
Закон модуляції.
Частотно-модульований сигнал можна подати у вигляді
де – поточна фаза гармонійного сигналу;
Початкова фаза.
В окремому випадку, коли модуляція частоти здійснюється за гармонічним законом
, (1.56)
де - Індекс частотної модуляції.
Сигнал такого виду представляється так:
де – функція Бесселя нульового порядку;
Функція Бесселя k-ого порядку.
Спектр амплітуд модульованого за частотою сигналу наведено на рис. а) б). Спектр амплітуд модульованого по частоті дискретний сигнал, складається з і бічних частот . Розподіл амплітуд гармонійних складових залежить від індексу частотної модуляції.
При дуже маленькому діапазон ЧС не відрізняється від діапазону АМ, тобто. містить , , . Зі зростанням збільшується вага бічних складових і відповідно потрібна смуга каналу зв'язку.
Якщо обмежитися у спектрі лише складовими, амплітуда яких становить щонайменше 5-10% від до модуляції, то ширина спектра цих складових становитиме .
При великих (>>1) ширина спектра практично дорівнює подвоєної величини девіації частоти і не залежить від частоти модулюючого сигналу.
Фазова модуляція
При фазовій модуляції фаза гармонічного сигналу змінюється за законом модулюючого сигналу
, (1.57)
де - глибина фазової модуляції ,
Найбільша зміна фази під час модуляції (індекс фазової модуляції).
де - Девіація частоти ФМ сигналу.
Сигнал із фазовою модуляцією можна подати у вигляді
Оскільки миттєве значення частоти є похідною від фази за часом
то при фазовій модуляції воно може бути представлене у вигляді
. (1.59)
Таким чином, ФМ сигнал еквівалентний ЧС сигналу з модулюючим функцією .
Для частотного випадку, коли модулюючий сигнал є гармонічним, повна фаза ФМ сигналу визначається рівністю
а ФМ коливання опишеться виразом
Миттєве значення частоти ФМ сигналу
де - Девіація частоти ФМ сигналу. Порівняння виразів (1.61) і (1.56) показує, що з гармонійному модулюющем сигналі ЧС і ФМ сигнали відрізняються лише фазою гармонійної функції, що визначає зміна повної фази в.ч. коливання. Тобто. по зовнішньому виглядусигналу не можна зробити висновок, що це ЧС чи ФМ?
Проте за зміни частоти модуляції проявляється різницю між ЧС і ФМ.
При ЧС величина девіації частоти залежить від амплітуди модулюючого сигналу і залежить від частоти модуляції . Величина ж індексу зменшується зі зростанням частоти.