Schéma général du modèle mathématique du fonctionnement du système. Un exemple de modèle mathématique. Définition, classification et caractéristiques. Modèle mathématique informatique

Les informations initiales dans la construction des processus de MM pour le fonctionnement des systèmes sont des données sur l'objectif et les conditions de fonctionnement du système à l'étude (conçu). Ces informations déterminent l'objectif principal de la modélisation, les exigences du MM, le niveau d'abstraction et le choix d'un schéma de modélisation mathématique.

Le concept de schéma mathématique nous permet de considérer les mathématiques non pas comme une méthode de calcul, mais comme une méthode de pensée, un moyen de former des concepts, ce qui est le plus important dans le passage d'une description verbale à une représentation formalisée du processus de son fonctionnement sous la forme de quelques MM.

Lors de l'utilisation d'un schéma mathématique, tout d'abord, le chercheur du système doit s'intéresser à la question de l'adéquation de l'affichage sous la forme de schémas spécifiques de processus réels dans le système à l'étude, et non à la possibilité d'obtenir une réponse (résultat de la solution) à une question de recherche spécifique.

Par exemple, la représentation du processus de fonctionnement du SVI à usage collectif sous la forme d'un réseau de schémas de file d'attente permet de bien décrire les processus intervenant dans le système, mais avec des lois complexes de flux entrants et de flux de services, il ne permet pas d'obtenir des résultats sous une forme explicite.

schéma mathématique peut être défini comme un maillon du passage d'une description signifiante à une description formalisée du processus de fonctionnement du système, en tenant compte de l'impact de l'environnement extérieur. Celles. il y a une chaîne : modèle descriptif - schéma mathématique - modèle de simulation.

Chaque système spécifique est caractérisé par un ensemble de propriétés, qui s'entendent comme des valeurs qui reflètent le comportement de l'objet simulé (système réel) et prennent en compte les conditions de son fonctionnement en interaction avec l'environnement extérieur (système) E.

Lors de la construction d'un système MM, il est nécessaire de résoudre le problème de son exhaustivité. La complétude de la modélisation est réglée principalement par le choix des frontières "Système-environnement E". La tâche de simplification du MM doit également être résolue, ce qui permet de mettre en évidence les principales propriétés du système, en écartant la modélisation secondaire, en termes de finalité.

MM de l'objet de simulation, c'est-à-dire Les systèmes peuvent être représentés comme un ensemble de grandeurs qui décrivent le processus de fonctionnement d'un système réel et forment, dans le cas général, les sous-ensembles suivants :

La totalité des -input influence sur

La totalité des influences environnementales

L'ensemble des paramètres internes (propres) du système

La totalité des caractéristiques de sortie du système

Dans les ensembles énumérés, il est possible de distinguer les grandeurs contrôlées et non contrôlées. Dans le cas général, X, V, H, Y sont des ensembles non intersectés qui contiennent à la fois des composantes déterministes et stochastiques.

Ainsi, sous le MM d'un objet, nous comprenons un ensemble fini de variables, ainsi que des relations mathématiques entre elles et des caractéristiques.

La modélisation est dite déterministe si les opérateurs F, Ф sont déterministes, c'est-à-dire pour une entrée particulière, l'entrée est déterministe. La modélisation déterministe est un cas particulier de la modélisation stochastique. En pratique, modélisant des objets dans le domaine de l'analyse des systèmes aux stades initiaux de la recherche, il est plus rationnel d'utiliser des schémas mathématiques typiques : équations différentielles, automates finis et probabilistes, QS, etc.

En tant que modèles déterministes, lorsqu'un fait aléatoire n'est pas pris en compte dans l'étude, des équations différentielles, intégrales et autres sont utilisées pour représenter des systèmes fonctionnant en temps continu, et des automates finis et des schémas de différence sont utilisés pour représenter des systèmes fonctionnant en temps discret.

Conditions générales d'Utilisation

La discipline "Méthodes de solutions optimales" a pour objectif de maîtriser la méthodologie de modélisation des processus commerciaux et économiques en vue de leur analyse et de leur gestion optimale.

Le but de ces des lignes directrices- aider les étudiants à étudier les bases de la modélisation économique et mathématique, à montrer les compétences pratiques nécessaires à l'application de méthodes mathématiques dans la construction de modèles pour la connexion d'indicateurs de tâches de pratique commerciale et, sur leur base, la justification scientifique du choix des décisions de gestion.

L'objet d'étude du cours est les mécanismes économiques de gestion des organisations professionnelles et des entreprises.

Le sujet du cours est les liens informationnels et fonctionnels des systèmes commerciaux et économiques.

Le résultat de l'admission au test dans la discipline "Méthodes de solutions optimales" est un test résolu avec toutes les tâches marquées par l'enseignant "Réussi". Le travail de contrôle crédité reste à l'enseignant, un bilan est soumis au service pédagogique et méthodologique. En cas d'ambiguïté des conditions des tâches et de difficultés à résoudre les problèmes, il est nécessaire de consulter l'élève avec l'enseignant principal. Si le travail résolu n'est pas crédité, l'étudiant doit éliminer les commentaires et soumettre le contrôle pour une nouvelle révision.

RÈGLES D'ENREGISTREMENT DES TRAVAUX

La page de titre du cahier doit contenir le nom de la discipline, le nom de la faculté, du cours, le nom, le prénom, le patronyme.

Au début du travail ou sur la page de titre, le nombre de tâches accomplies dans la tâche de contrôle doit être indiqué.

Avant de résoudre chaque problème, il est nécessaire d'écrire son état dans son intégralité. La résolution de problèmes doit inclure des calculs détaillés et de brèves explications, une analyse économique des résultats obtenus. À la fin travail de contrôle donnez une liste de la littérature utilisée et apposez votre signature.

Tâche numéro 1

Construire un modèle économique-mathématique pour déterminer la structure des plats dans une entreprise de restauration publique qui fournit un profit maximal sur la base des normes spécifiées pour le coût des produits pour les premier et deuxième plats présentés dans le tableau 1 suivant.

Les données pour les tâches doivent être sélectionnées dans le tableau 2 par les premières lettres du nom, du prénom et du patronyme de l'élève. Par exemple, l'étudiant Kornienko Nikolai Sergeevich doit résoudre un problème avec les données a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 =9 , une 42 = 6, une 44 = 4, une 54 = 19, b 1 = 450, b 2 = 310, b 3 = 410, b 4 = 315, b 5 = 400, c 1 = 89, c 2 = 41 , c 3 = 50.

Dans l'article porté à votre connaissance, nous proposons des exemples de modèles mathématiques. De plus, nous porterons attention aux étapes de création de modèles et analyserons certains des problèmes liés à la modélisation mathématique.

Un autre de nos problèmes concerne les modèles mathématiques en économie, dont nous examinerons une définition un peu plus tard. Nous proposons de commencer notre conversation par le concept même de « modèle », d'aborder brièvement leur classification et de passer à nos questions principales.

La notion de "modèle"

On entend souvent le mot "modèle". Qu'est-ce que c'est? Ce terme a de nombreuses définitions, en voici seulement trois :

• un objet spécifique qui est créé pour recevoir et stocker des informations, reflétant certaines propriétés ou caractéristiques, etc., de l'original de cet objet (cet objet spécifique peut être exprimé sous différentes formes : mental, description à l'aide de signes, etc.) ;
• un modèle signifie également un affichage de toute situation, vie ou gestion spécifique;
• une petite copie d'un objet peut servir de modèle (ils sont créés pour une étude et une analyse plus détaillées, car le modèle reflète la structure et les relations).

Sur la base de tout ce qui a été dit précédemment, nous pouvons tirer une petite conclusion : le modèle permet d'étudier en détail un système ou un objet complexe.

Tous les modèles peuvent être classés selon un certain nombre de critères :

• par domaine d'utilisation (éducatif, expérimental, scientifique et technique, gaming, simulation) ;
• par la dynamique (statique et dynamique) ;
• par branche de connaissance (physique, chimique, géographique, historique, sociologique, économique, mathématique) ;
• selon le mode de présentation (matériel et informatif).

Les modèles d'information, à leur tour, sont divisés en signes et verbaux. Et emblématique - sur ordinateur et non-ordinateur. Passons maintenant à un examen détaillé d'exemples de modèle mathématique.

Modèle mathématique

Comme il n'est pas difficile de deviner modèle mathématique reflète toutes les caractéristiques d'un objet ou d'un phénomène à l'aide de symboles mathématiques. Les mathématiques sont nécessaires pour modéliser les lois du monde dans son propre langage spécifique.

La méthode de modélisation mathématique est née il y a assez longtemps, il y a des milliers d'années, avec l'avènement de cette science. Cependant, la dynamique de développement cette méthode la modélisation a donné naissance aux ordinateurs (ordinateurs électroniques).

Passons maintenant au classement. Il peut également être réalisé selon certains signes. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Nous proposons de nous arrêter et de regarder de plus près la dernière classification, car elle reflète les schémas généraux de modélisation et les objectifs des modèles en cours de création.

Modèles descriptifs

Dans ce chapitre, nous proposons de nous attarder plus en détail sur les modèles mathématiques descriptifs. Afin de rendre tout très clair, un exemple sera donné.

Pour commencer, cette vue peut être qualifiée de descriptive. Cela est dû au fait que nous faisons simplement des calculs et des prévisions, mais nous ne pouvons en aucun cas influencer le résultat de l'événement.

Un exemple frappant de modèle mathématique descriptif est le calcul de la trajectoire de vol, de la vitesse, de la distance de la Terre d'une comète qui a envahi les étendues de notre système solaire. Ce modèle est descriptif, puisque tous les résultats obtenus ne peuvent que nous avertir d'un certain danger. Malheureusement, nous ne pouvons pas influencer le résultat de l'événement. Cependant, sur la base des calculs obtenus, il est possible de prendre toutes les mesures pour préserver la vie sur Terre.

Modèles d'optimisation

Nous allons maintenant parler un peu des modèles économiques et mathématiques, dont les exemples peuvent être diverses situations. Dans ce cas, nous parlons de modèles qui aident à trouver la bonne réponse dans certaines conditions. Ils doivent avoir certains paramètres. Pour que ce soit très clair, considérons un exemple de la partie agraire.

Nous avons un grenier, mais le grain se gâte très vite. Dans ce cas, nous devons choisir le bon régime de température et optimiser le processus de stockage.

Ainsi, on peut définir la notion de « modèle d'optimisation ». Au sens mathématique, il s'agit d'un système d'équations (à la fois linéaires et non), dont la solution aide à trouver solution optimale dans une situation économique particulière. Nous avons considéré un exemple de modèle mathématique (optimisation), mais je voudrais ajouter une chose : ce type appartient à la classe des problèmes extrêmes, ils aident à décrire le fonctionnement du système économique.

Notons encore une nuance : les modèles peuvent être de nature différente (voir tableau ci-dessous).

Modèles multicritères

Nous vous invitons maintenant à parler un peu du modèle mathématique d'optimisation multiobjectif. Avant cela, nous avons donné un exemple de modèle mathématique pour optimiser un processus selon un critère quelconque, mais que se passe-t-il s'il y en a beaucoup ?

Un exemple frappant d'une tâche multicritères est l'organisation d'une alimentation adéquate, saine et en même temps économique de grands groupes de personnes. De telles tâches sont souvent rencontrées dans l'armée, les cantines scolaires, les colonies de vacances, les hôpitaux, etc.

Quels critères nous sont donnés dans cette tâche?

1. La nourriture doit être saine.
2. Les dépenses alimentaires doivent être réduites au minimum.

Comme vous pouvez le voir, ces objectifs ne coïncident pas du tout. Cela signifie que lors de la résolution d'un problème, il faut rechercher la solution optimale, un équilibre entre les deux critères.

Modèles de jeu

En parlant de modèles de jeux, il est nécessaire de comprendre le concept de "théorie des jeux". En termes simples, ces modèles reflètent des modèles mathématiques de conflits réels. Il vaut seulement la peine de comprendre que, contrairement à un vrai conflit, un modèle mathématique de jeu a ses propres règles spécifiques.

Je vais maintenant donner un minimum d'informations issues de la théorie des jeux, qui vous aideront à comprendre ce qu'est un modèle de jeu. Et donc, dans le modèle, il y a nécessairement des parties (deux ou plus), qui sont généralement appelées joueurs.

Tous les modèles ont certaines caractéristiques.

Le modèle de jeu peut être jumelé ou multiple. Si nous avons deux sujets, alors le conflit est apparié, s'il y en a plus - multiple. On peut aussi distinguer un jeu antagoniste, on l'appelle aussi jeu à somme nulle. Il s'agit d'un modèle dans lequel le gain de l'un des participants est égal à la perte de l'autre.

modèles de simulation

Dans cette section, nous nous concentrerons sur les modèles mathématiques de simulation. Voici des exemples de tâches :

• modèle de la dynamique du nombre de micro-organismes ;
• modèle de mouvement moléculaire, etc.

Dans ce cas, on parle de modèles qui se rapprochent le plus possible des processus réels. Dans l'ensemble, ils imitent toute manifestation dans la nature. Dans le premier cas, par exemple, on peut modéliser la dynamique du nombre de fourmis dans une colonie. Dans ce cas, vous pouvez observer le sort de chaque individu. Dans ce cas, la description mathématique est rarement utilisée, le plus souvent il y a des conditions écrites :

• au bout de cinq jours, la femelle pond des œufs;
• au bout de vingt jours, la fourmi meurt, et ainsi de suite.

Ainsi, sont utilisés pour décrire un grand système. La conclusion mathématique est le traitement des données statistiques reçues.

Exigences

Il est très important de savoir qu'il existe certaines exigences pour ce type de modèle, parmi lesquelles figurent celles indiquées dans le tableau ci-dessous.

Étapes de modélisation

Total en modélisation mathématique quatre étapes ont été identifiées.

1. Formulation de lois liant les parties du modèle.
2. Étude de problèmes mathématiques.
3. Découvrir la coïncidence des résultats pratiques et théoriques.
4. Analyse et modernisation du modèle.

Modèle économique et mathématique

Dans cette section, nous soulignerons brièvement le problème. Des exemples de tâches peuvent être :

• formation d'un programme de production pour la production de produits à base de viande, assurant le maximum de profit de la production;
• maximiser le profit de l'organisation en calculant le nombre optimal de tables et de chaises à produire dans une usine de meubles, etc.

Le modèle économico-mathématique affiche une abstraction économique, qui s'exprime à l'aide de termes et de signes mathématiques.

Modèle mathématique informatique

Voici des exemples de modèle mathématique informatique :

• tâches hydrauliques à l'aide d'organigrammes, de diagrammes, de tableaux, etc.;
• problèmes de mécanique des solides, etc.

Un modèle informatique est une image d'un objet ou d'un système, présenté comme :

• les tables;
• schémas fonctionnels ;
• schémas ;
• graphiques, etc.

Où ce modèle reflète la structure et les interconnexions du système.

Construire un modèle économique et mathématique

Nous avons déjà parlé de ce qu'est un modèle économique-mathématique. Un exemple de résolution du problème sera considéré maintenant. Nous devons analyser le programme de production pour identifier la réserve d'augmentation des bénéfices avec un changement dans l'assortiment.

Nous n'examinerons pas entièrement le problème, mais nous construirons seulement un modèle économique et mathématique. Le critère de notre tâche est la maximisation du profit. Alors la fonction a la forme : Л=р1*х1+р2*х2… tendant vers le maximum. Dans ce modèle, p est le profit par unité, x est le nombre d'unités produites. De plus, sur la base du modèle construit, il est nécessaire de faire des calculs et de résumer.

Un exemple de construction d'un modèle mathématique simple

Tâche. Le pêcheur est revenu avec la prise suivante :

• 8 poissons - habitants des mers du nord;
• 20% des prises - les habitants des mers du sud;
• pas un seul poisson n'a été trouvé dans la rivière locale.

Combien de poissons a-t-il acheté au magasin ?

Ainsi, un exemple de construction d'un modèle mathématique de ce problème est le suivant. Nous désignons le nombre total de poissons par x. Suivant la condition, 0,2x est le nombre de poissons vivant aux latitudes sud. Maintenant, nous combinons toutes les informations disponibles et obtenons un modèle mathématique du problème : x=0,2x+8. Nous résolvons l'équation et obtenons la réponse à question principale: 10 poissons qu'il a achetés au magasin.

SCHÉMAS MATHÉMATIQUES POUR LA SIMULATION DE SYSTÈMES

APPROCHES DE BASE POUR CONSTRUIRE DES MODÈLES MATHÉMATIQUES DE SYSTÈMES

Les informations initiales dans la construction de modèles mathématiques des processus de fonctionnement des systèmes sont des données sur le but et les conditions de fonctionnement du système étudié (conçu) S. Ces informations définissent l'objectif principal de la modélisation du système S et vous permet de formuler les exigences pour le modèle mathématique développé M De plus, le niveau d'abstraction dépend de l'éventail des questions auxquelles le chercheur du système veut répondre à l'aide du modèle et détermine dans une certaine mesure le choix d'un schéma mathématique.

Schémas mathématiques. L'introduction du concept de schéma mathématique nous permet de considérer les mathématiques non pas comme une méthode de calcul, mais comme une méthode de pensée, comme un moyen de formuler des concepts, ce qui est le plus important dans le passage d'une description verbale d'un système à une représentation formelle du processus de son fonctionnement sous la forme d'un modèle mathématique (analytique ou de simulation). Lors de l'utilisation d'un schéma mathématique, tout d'abord, le chercheur du système S doit s'intéresser à la question de l'adéquation de la cartographie sous la forme de schémas spécifiques de processus réels dans le système étudié, et non à la possibilité d'obtenir un réponse (résultat de la solution) à une question de recherche spécifique. Par exemple, la représentation du processus de fonctionnement d'un système d'information et informatique à usage collectif sous la forme d'un réseau de schémas de file d'attente permet de bien décrire les processus intervenant dans le système, mais avec des lois complexes de flux entrants et de service. flux, il ne permet pas d'obtenir des résultats sous une forme explicite.

schéma mathématique peut être défini comme un maillon du passage d'une description signifiante à une description formelle du processus de fonctionnement du système, en tenant compte de l'influence de l'environnement extérieur, c'est-à-dire qu'il existe une chaîne "modèle descriptif - schéma mathématique - mathématique (analytique ou (et) modèle de simulation).

Chaque système spécifique S est caractérisé par un ensemble de propriétés, qui s'entendent comme des grandeurs qui reflètent le comportement de l'objet modélisé (système réel) et prennent en compte les conditions de son fonctionnement en interaction avec l'environnement extérieur (système) E. Lors de la construction d'un modèle mathématique du système, il est nécessaire de résoudre le problème de son exhaustivité. La complétude du modèle est réglée principalement par le choix de la frontière « système S - environnement E» . Le problème de la simplification du modèle doit également être résolu, ce qui permet de mettre en évidence les principales propriétés du système, en écartant les secondaires. De plus, la classification des propriétés du système comme primaires ou secondaires dépend de manière significative de l'objectif de la modélisation du système (par exemple, analyse des caractéristiques probabilistes-temporelles du processus de fonctionnement du système, synthèse de la structure du système, etc.).

Modèle d'objet formel. Le modèle de l'objet de modélisation, c'est-à-dire le système S, peut être représenté comme un ensemble de grandeurs qui décrivent le processus de fonctionnement d'un système réel et forment, dans le cas général, les sous-ensembles suivants : actions d'entrée par système

;

totalité influences environnementales

;

totalité paramètres internes (propres) systèmes

;

totalité caractéristiques de sortie systèmes

.

De plus, dans les sous-ensembles répertoriés, les variables contrôlées et non contrôlées peuvent être distinguées. En général , , , sont des éléments de sous-ensembles disjoints et contiennent à la fois des composantes déterministes et stochastiques.

Lors de la modélisation du système S, des actions d'entrée, des influences environnementales E et les paramètres internes du système sont variables indépendantes (exogènes), qui sous forme vectorielle ont la forme , , , et les caractéristiques de sortie du système sont variables dépendantes (endogènes) et sous forme vectorielle ont la forme ).

Le processus de fonctionnement du système S est décrit dans le temps par l'opérateur F s , qui dans le cas général transforme des variables exogènes en endogènes selon des relations de la forme

. (1)

L'ensemble des dépendances des caractéristiques de sortie du système sur le temps y j (t) pour toutes sortes
appelé trajectoire de sortie
. La dépendance (1) est appelée loi de fonctionnement du systèmeS et noté F s . Dans le cas général, la loi de fonctionnement du système F s peut être spécifié comme une fonction, des conditions fonctionnelles, logiques, sous des formes algorithmiques et tabulaires, ou comme une règle de correspondance verbale.

Très important pour la description et l'étude du système S est le concept algorithme de fonctionnementUNE s , qui s'entend comme une méthode pour obtenir des caractéristiques de sortie, en tenant compte des actions d'entrée
, influences environnementales
et ses propres paramètres système
. Il est évident que la même loi de fonctionnement F s le système S peut être mis en œuvre de différentes manières, c'est-à-dire en utilisant de nombreux algorithmes différents pour fonctionner UNE s .

Les relations (1) sont une description mathématique du comportement de l'objet (système) de la modélisation dans le temps t, c'est-à-dire refléter ses propriétés dynamiques. Par conséquent, les modèles mathématiques de ce type sont généralement appelés modèles dynamiques(systèmes).

Pour modèles statiques le modèle mathématique (1) est un mappage entre deux sous-ensembles des propriétés de l'objet modélisé Oui et { X, V, H), qui sous forme vectorielle peut s'écrire

. (2)

Les relations (1) et (2) peuvent être spécifiées de différentes manières : analytiquement (à l'aide de formules), graphiquement, tabulairement, etc. Dans certains cas, de telles relations peuvent être obtenues par les propriétés du système S à des moments précis, appelés États. L'état du système S est caractérisé par les vecteurs

et
,

où
,
, …,
à l'époque
;
,
, …,
à l'époque
etc.,
.

Si l'on considère le processus de fonctionnement du système S comme un changement d'états successifs
, alors ils peuvent être interprétés comme les coordonnées d'un point dans À-espace de phase dimensionnel. De plus, chaque mise en œuvre du procédé correspondra à une certaine trajectoire de phase. L'ensemble de toutes les valeurs d'état possibles appelé territoire de l'État objet de simulation Z, et
.

Les états du système S à l'instant t 0 < t*J entièrement déterminé par les conditions initiales
[où
,
, …,
], actions d'entrée
, paramètres propres au système
et les influences environnementales
, qui se sont déroulés sur une période de temps t*- t 0 , Avec en utilisant deux équations vectorielles

; (3)

. (4)

La première équation à l'état initial et variables exogènes
définit une fonction vectorielle
, et le second en fonction de la valeur d'états obtenue
- variables endogènes en sortie du système
. Ainsi, la chaîne d'équations de l'objet "entrée-état-sortie" permet de déterminer les caractéristiques du système

. (5)

Dans le cas général, le temps dans le système modèle S peut être considéré sur l'intervalle de modélisation (0, T)à la fois continu et discret, c'est-à-dire quantifié en segments de longueur
unités de temps chacune, lorsque
, où
- nombre d'intervalles d'échantillonnage.

Ainsi, sous modèle mathématique de l'objet(système réel) comprendre un sous-ensemble fini de variables (
} ainsi que les relations mathématiques entre eux et les caractéristiques
.

Si la description mathématique de l'objet de modélisation ne contient pas d'éléments d'aléa ou qu'ils ne sont pas pris en compte, c'est-à-dire si l'on peut considérer que dans ce cas les effets stochastiques de l'environnement extérieur
et paramètres internes stochastiques
absent, alors le modèle est appelé déterministe en ce sens que les caractéristiques sont déterminées de manière unique par des actions d'entrée déterministes

. (6)

Évidemment, le modèle déterministe est un cas particulier du modèle stochastique.

Régimes typiques. Les relations mathématiques données sont des schémas mathématiques vue générale et nous permettent de décrire une large classe de systèmes. Cependant, dans la pratique de la modélisation d'objets dans le domaine de l'ingénierie des systèmes et de l'analyse des systèmes, aux premières étapes de l'étude du système, il est plus rationnel d'utiliser schémas mathématiques typiques :équations différentielles, automates finis et probabilistes, systèmes de files d'attente, réseaux de Petri, etc.

Ne possédant pas un tel degré de généralité que les modèles considérés, les schémas mathématiques typiques présentent les avantages de la simplicité et de la clarté, mais avec un rétrécissement significatif des possibilités d'application. En tant que modèles déterministes, lorsque les facteurs aléatoires ne sont pas pris en compte dans l'étude, des équations différentielles, intégrales, intégro-différentielles et autres sont utilisées pour représenter des systèmes fonctionnant en temps continu, et des automates finis et des schémas de différences finies sont utilisés pour représenter des systèmes fonctionnant en temps continu. temps discret. . En tant que modèles stochastiques (prenant en compte des facteurs aléatoires), les automates probabilistes sont utilisés pour représenter des systèmes à temps discret, et les systèmes de file d'attente sont utilisés pour représenter des systèmes à temps continu, etc.

Bien entendu, les schémas mathématiques typiques énumérés ne peuvent pas prétendre pouvoir décrire sur leur base tous les processus se produisant dans les grands systèmes d'information et de contrôle. Pour de tels systèmes, dans certains cas, il est plus prometteur d'utiliser des modèles agrégatifs.

Les modèles agrégatifs (systèmes) permettent de décrire une large gamme d'objets de recherche avec une mise en évidence du caractère systémique de ces objets. C'est lors de la description agrégative qu'un objet complexe (système) est divisé en un nombre fini de parties (sous-systèmes), tout en conservant les connexions qui assurent l'interaction des parties.

Ainsi, lors de la construction de modèles mathématiques des processus de fonctionnement des systèmes, on peut distinguer les principales approches suivantes : continue-déterministe (par exemple, équations différentielles) ; discret-déterministe (automates finis); stochastique discret (automates probabilistes); continu-stochastique (systèmes de file d'attente); généralisé ou universel (systèmes agrégatifs).

MODÈLES CONTINUEMENT DÉTERMINISTES (D-SCHEMES)

Considérons les caractéristiques d'une approche déterministe continue utilisant des équations différentielles comme modèles mathématiques à titre d'exemple. Équations différentielles de telles équations sont appelées dans lesquelles les inconnues sont des fonctions d'une ou plusieurs variables, et l'équation comprend non seulement des fonctions, mais également leurs dérivées de divers ordres. Si les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, alors les équations sont appelées équations différentielles partielles, sinon, lorsqu'on considère les fonctions d'une seule variable indépendante, les équations sont appelées équations différentielles ordinaires.

Rapports de base. Habituellement, dans de tels modèles mathématiques, le temps est utilisé comme une variable indépendante dont dépendent les fonctions désirées inconnues. t. Alors la relation mathématique pour les systèmes déterministes (6) sous forme générale sera

, (7)

où
,
et
- P- vecteurs dimensionnels ;
- une fonction vectorielle qui est définie sur certains ( P+1)-dimensionnel
fixe et continue.

Étant donné que les schémas mathématiques de ce type reflètent la dynamique du système étudié, c'est-à-dire son comportement dans le temps, ils sont appelés ré-schémas(Anglais) dynamique).

Dans le cas le plus simple, l'équation différentielle ordinaire a la forme

. (8)

L'application la plus importante pour l'ingénierie des systèmes ré-schémas comme appareil mathématique dans la théorie du contrôle automatique. Pour illustrer les caractéristiques de la construction et de l'application des schémas en D, considérons l'exemple le plus simple formalisation du processus de fonctionnement de deux systèmes élémentaires de nature physique différente : mécanique S M (oscillations du pendule, Fig. 1, a) et électrique S K (circuit d'oscillation Fig. 1, b).

Riz. 1. Systèmes élémentaires

Le processus des petites oscillations du pendule est décrit par une équation différentielle ordinaire

où
- masse et longueur de la suspension pendulaire ; g - accélération en chute libre ;
- l'angle de déviation du pendule à l'instant t.

A partir de cette équation d'oscillation libre du pendule, on peut trouver des estimations des caractéristiques d'intérêt. Par exemple, la période d'un pendule

.

De même, les processus dans un circuit oscillant électrique sont décrits par une équation différentielle ordinaire

où L À , AVEC À - inductance et capacité du condensateur ; q(t) - charge du condensateur au moment t.

A partir de cette équation, on peut obtenir diverses estimations des caractéristiques du processus dans un circuit oscillant. Par exemple, la période des oscillations électriques

.

Évidemment, en introduisant la notation
,
, ,
, on obtient une équation différentielle ordinaire du second ordre décrivant le comportement de ce système fermé :

où
- paramètres système ; z(t) - l'état du système à un moment donné t.

Ainsi, le comportement de ces deux objets peut être étudié sur la base du modèle mathématique général (9). De plus, il convient de noter que le comportement de l'un des systèmes peut être analysé à l'aide de l'autre. Par exemple, le comportement d'un pendule (système S M) peut être étudiée à l'aide d'un circuit oscillant électrique (système S K).

Si le système étudié S, c'est-à-dire un pendule ou un circuit, interagit avec l'environnement extérieur E, alors il y a une entrée X(t) (une force externe pour le pendule et une source d'énergie pour le circuit) et un modèle continûment déterministe d'un tel système aura la forme

Du point de vue du schéma général du modèle mathématique X(t) est une action d'entrée (de contrôle), et l'état du système S dans ce cas peut être considéré comme une caractéristique de sortie, c'est-à-dire que l'on peut supposer que la variable de sortie coïncide avec l'état du système à un instant donné y=z.

Applications possibles. Lors de la résolution des problèmes d'ingénierie des systèmes, les problèmes de gestion des grands systèmes sont d'une grande importance. Attention aux systèmes contrôle automatique- un cas particulier de systèmes dynamiques décrit par ré-schémas et répartis dans une classe distincte de modèles en raison de leurs spécificités pratiques.

Décrivant les processus de contrôle automatique, ils adhèrent généralement à la représentation d'un objet réel sous la forme de deux systèmes : contrôlé et géré (objet de contrôle). La structure d'un système de contrôle automatique multidimensionnel d'une vue générale est illustrée à la fig. 2, où sont indiqués variables endogènes:
- vecteur d'influences d'entrée (réglage);
- vecteur d'influences perturbatrices ;
- vecteur de signaux d'erreur ;
- vecteur d'actions de contrôle ; variables exogènes:
- vecteur d'état du système S ;
- vecteur de variables de sortie, généralement
=
.

Riz. 2. La structure du système de contrôle automatique

Un système de contrôle moderne est un ensemble d'outils logiciels et matériels qui garantissent la réalisation d'un certain objectif par l'objet de contrôle. La précision avec laquelle l'objet de contrôle atteint un objectif donné peut être jugée pour un système unidimensionnel par la coordonnée d'état y(t). Différence entre donné à cul (t) et valide y(t) la loi de variation de la variable contrôlée est l'erreur de contrôle . Si la loi prescrite de modification de la variable contrôlée correspond à la loi de modification de l'action d'entrée (réglage), c'est-à-dire
, ensuite
.

Systèmes pour lesquels des erreurs de contrôle
à tout moment sont appelés idéaux. En pratique, la mise en œuvre de systèmes idéaux est impossible. Ainsi l'erreur h"(t) - un élément nécessaire de contrôle automatique basé sur le principe de la rétroaction négative, car pour correspondre à la variable de sortie y(t) sa valeur définie utilise des informations sur l'écart entre eux. La tâche du système de contrôle automatique est de changer la variable y(t) selon une loi donnée avec une certaine précision (avec une erreur admissible). Lors de la conception et de l'exploitation de systèmes de contrôle automatique, il est nécessaire de choisir les paramètres système suivants S, ce qui fournirait la précision de contrôle requise, ainsi que la stabilité du système dans le processus transitoire.

Si le système est stable, alors le comportement du système dans le temps présente un intérêt pratique, l'écart maximal de la variable contrôlée y(t) dans le processus transitoire, le temps du processus transitoire, etc. Des conclusions sur les propriétés des systèmes de contrôle automatique de différentes classes peuvent être tirées de la forme d'équations différentielles qui décrivent approximativement les processus dans les systèmes. L'ordre de l'équation différentielle et les valeurs de ses coefficients sont entièrement déterminés par les paramètres statiques et dynamiques du système S.

Donc l'utilisation ré-schémas permet de formaliser le processus de fonctionnement de systèmes continûment déterministes S et évaluer leurs principales caractéristiques à l'aide d'une approche analytique ou de simulation mise en œuvre sous la forme d'un langage approprié pour modéliser des systèmes continus ou à l'aide d'outils informatiques analogiques et hybrides.

1. Modèles graphiques

2. Modèles de simulation

3. Modèles mathématiques

4. Modélisation des processus de planification optimale

5. Modélisation des processus globaux

7. Simulation systèmes écologiques et processus

8. Modèles d'informations sur les objets

9. Analyse du système

10. Modèles statistiques

11. Modèles tabulaires

12. Formalisation et modélisation

Dans le cursus scolaire d'informatique, il y a traditionnellement un axe significatif de formalisation et de modélisation. Le concept de modèle fait référence à des concepts scientifiques généraux fondamentaux, et la modélisation est une méthode de cognition de la réalité utilisée par diverses sciences.

Dans pratiquement toutes les sciences naturelles et sociales, la construction et l'utilisation de modèles est un puissant outil de recherche. Les objets et les processus réels sont si multiples et complexes que la meilleure façon leur étude s'avère être la construction d'un modèle qui ne reflète qu'une partie de la réalité et donc bien plus simple que cette réalité. Le sujet de la recherche et du développement de l'informatique est la méthodologie de la modélisation de l'information associée à l'utilisation des équipements et des technologies informatiques. En ce sens, on parle de simulation par ordinateur. L'importance interdisciplinaire de l'informatique se manifeste en grande partie précisément par l'introduction de la modélisation informatique dans divers domaines scientifiques et appliqués : physique et technologie, biologie et médecine, économie, gestion, et bien d'autres.

Modélisation informatique comprend le processus de mise en œuvre d'un modèle d'information sur un ordinateur et la recherche d'un objet de simulation à l'aide de ce modèle - la réalisation d'une expérience informatique. Grâce à la simulation informatique, de nombreux problèmes scientifiques et industriels sont résolus.

La modélisation de l'information est associée à la formalisation des données sur l'objet de modélisation (cf. Formalisation et Modélisation »). La construction d'un modèle d'information commence par la définition des objectifs de la modélisation et l'analyse de l'objet de modélisation comme un système complexe dans lequel il est nécessaire de mettre en évidence les propriétés reflétées dans le modèle et les relations entre elles (voir " L'analyse du système"). Les modèles d'information diffèrent dans la forme de présentation des informations sur l'objet de modélisation. Modèles mathématiquesutiliser le langage mathématique pour représenter l'objet de la modélisation. Un type distinct de modèles mathématiques est modèles statistiques- orienté traitement données de masse(par exemple, les enquêtes auprès de la population) dans lesquelles il y a un élément de hasard. Les données sur l'objet de modélisation, organisées sous forme de tableau, sont modèle tabulaire. Des outils graphiques sont utilisés pour construire modèles graphiques. L'approche orientée objet de la programmation qui a émergé à la fin du siècle dernier a donné naissance à un nouveau paradigme dans la modélisation de l'information : modélisation des informations d'objet. Les modèles informatiques qui reproduisent le comportement de systèmes complexes pour lesquels il n'existe pas d'appareil mathématique univoque sont appelés modèles de simulation.

La modélisation informatique de l'information est utilisée pour décrire et analyser des processus de nature diverse. Les sciences physiques ont la plus grande expérience à cet égard (voir " La modélisation systèmes physiques et processus »). La modélisation informatique aide à résoudre d'importants problèmes environnementaux (voir " Modélisation des systèmes et processus écologiques »). La modélisation de l'information joue un rôle important en économie et en gestion. Les tâches les plus importantes dans ce domaine sont les tâches de planification (voir " Modélisation des processus de planification optimale »). Au moyen de la simulation informatique, les scientifiques tentent de résoudre même un problème aussi global que le sort de la civilisation humaine (voir " Modélisation des processus globaux »).

1. Modèles graphiques

La variété des modèles graphiques est assez grande. Considérons certains d'entre eux.

Un moyen visuel d'afficher la composition et la structure des systèmes (voir " Systémologie”) sont des graphiques.

Prenons un exemple. Il y a une description verbale d'une zone : « Notre district se compose de cinq villages : Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino et Myshkino. Des routes automobiles sont tracées entre : Dedkino et Babkino, Dedkino et Koshkino, Babkino et Myshkino, Babkino et Koshkino, Koshkino et Repkino ». A partir de cette description, il est assez difficile d'imaginer cette zone. La même information est beaucoup plus facile à percevoir à l'aide d'un schéma (voir figure). Ceci n'est pas une carte de la région. Ici, les directions vers les points cardinaux ne sont pas maintenues, l'échelle n'est pas respectée. Ce schéma reflète uniquement le fait de l'existence de cinq villages et de la liaison routière entre eux. Tel schéma montrant la composition élémentaire du système et la structure des liaisons, est appelé compter.

Composants graphique sont pics et travers de porc. Les sommets sont représentés par des cercles sur la figure. éléments du système, et les bords sont représentés par des lignes - c'est Connexions(relation amoureuse) entre les éléments. En regardant ce graphique, il est facile de comprendre la structure du système routier dans une zone donnée.

Le graphe construit permet par exemple de répondre à la question : par quels villages faut-il passer pour aller de Repkino à Myshkino ? On voit qu'il y a deux chemins possibles : 1) R K B M et) R K D B M. Peut-on en conclure que le 1er chemin est plus court que le 2ème ? Non. Ce graphique ne contient pas de caractéristiques quantitatives. Ce n'est pas une carte où l'échelle est respectée et il est possible de mesurer la distance.

Le graphique présenté dans la figure suivante contient des caractéristiques quantitatives. Les chiffres près des bords indiquent la longueur des routes en kilomètres. Ceci est un exemple graphique pondéré. Un graphique pondéré peut contenir caractéristiques quantitatives non seulement des connexions, mais aussi des pics. Par exemple, les sommets peuvent indiquer la population de chaque village. D'après les données du graphe pondéré, il s'avère que le premier chemin est plus long que le second.

De tels graphiques sont également appelés réseau. Le réseau se caractérise la possibilité de nombreux chemins différents pour se déplacer le long des arêtes entre certaines paires de sommets. Les réseaux se caractérisent également par la présence de chemins fermés, appelés cycles. Dans ce cas, il y a un cycle : K D B K.

Dans les schémas considérés, chaque arête indique la présence d'une liaison routière entre deux points. Mais la liaison routière fonctionne de la même manière dans les deux sens : si vous pouvez emprunter la route de B à M, vous pouvez également emprunter la route de M à B (nous supposons qu'il y a un trafic à double sens). De tels graphiques sont désorienté, et leurs connexions sont appelées symétrique.

Un exemple qualitativement différent d'un graphique est illustré dans la figure suivante.

Graphique de compatibilité des groupes sanguins

Cet exemple est lié à la médecine. On sait que différentes personnes ont différents groupes sanguins. Il existe quatre groupes sanguins. Il s'avère que lorsque le sang est transfusé d'une personne à une autre, tous les groupes ne sont pas compatibles. Le graphique montre les options possibles pour la transfusion sanguine. Les groupes sanguins sont les sommets du graphique avec les nombres correspondants, et les flèches indiquent la possibilité de transfuser un groupe sanguin à une personne de groupe sanguin différent. Par exemple, ce graphique montre que le sang du groupe I peut être transfusé à n'importe qui, et une personne du groupe sanguin I n'accepte que le sang de son propre groupe. On peut également voir qu'une personne avec un groupe sanguin IV peut être transfusée avec n'importe lequel, mais son propre sang ne peut être transfusé que dans le même groupe.

Connexions entre les sommets d'un graphe donné asymétrique et sont donc représentés par des lignes dirigées avec des flèches. De telles lignes sont appelées arc(contrairement aux arêtes des graphes non orientés). Un graphe avec ces propriétés est appelé orienté. Une ligne partant et entrant au même sommet est appelée boucler. V cet exemple il y a quatre boucles.

Il n'est pas difficile de voir les avantages de la représentation graphique d'un modèle de système de transfusion sanguine par rapport à une description verbale des mêmes règles. Le graphique est facile à comprendre et à mémoriser.

Un type très courant de systèmes sont des systèmes avec une structure hiérarchique. Une structure hiérarchique apparaît naturellement lorsque des objets ou certaines de leurs propriétés sont dans une relation de subordination (enchâssement, héritage). En règle générale, les systèmes de gestion administrative ont une structure hiérarchique, entre les éléments desquels des relations de subordination sont établies. Par exemple : le directeur de l'usine - les chefs d'ateliers - les chefs de sections - les contremaîtres - les ouvriers. Les systèmes ont également une structure hiérarchique, entre les éléments dont il existe des relations d'occurrence des uns dans les autres.

Le graphe de structure hiérarchique est appelé arbre. La principale propriété d'un arbre est qu'il n'y a qu'un seul chemin entre deux de ses sommets. Les arbres ne contiennent pas de cycles et de boucles.

Regardez le graphique qui reflète la structure administrative hiérarchique de notre état : La fédération Russe est divisé en sept districts administratifs ; les districts sont divisés en régions (oblasts et républiques nationales), qui comprennent des villes et d'autres établissements. Un tel graphe est appelé arbre.

L'arbre de la structure administrative de la Fédération de Russie

L'arbre a un sommet principal, qui s'appelle racine d'arbre. Ce sommet est affiché en haut ; viens d'elle branches arbre. Les niveaux de l'arborescence sont comptés à partir de la racine. Les sommets directement connectés à la racine forment le premier niveau. Les connexions vont d'eux aux sommets du deuxième niveau, et ainsi de suite. Chaque sommet de l'arbre (sauf la racine) a un initiale sommet au niveau précédent et peut avoir un ensemble généré sommets au niveau suivant. Ce type de connexion est appelé un à plusieurs". Les sommets qui n'ont pas d'enfants sont appelés feuilles(sur notre graphique, ce sont des sommets désignant des villes).

L'objectif général du graphisme scientifique peut être formulé comme suit : rendre « visible » l'invisible et l'abstrait. Le dernier mot est mis entre guillemets, car cette « apparition » est souvent très conditionnelle. Est-il possible de voir la distribution de température à l'intérieur d'un corps chauffé de manière inhomogène d'une forme complexe sans y introduire des centaines de microcapteurs, c'est-à-dire, en substance, le détruire ? - Oui, c'est possible, s'il existe un modèle mathématique approprié et, ce qui est très important, un accord sur la perception de certaines conventions dans la figure. Est-il possible de voir la distribution des minerais métalliques sous terre sans excavation ? La structure de la surface d'une planète extraterrestre d'après les résultats du radar ? La réponse à ces questions et à bien d'autres est oui, vous pouvez, avec l'aide de infographie et les traitements mathématiques antérieurs.

De plus, on peut « voir » quelque chose qui, à proprement parler, ne correspond pas du tout au mot « voir ». Ainsi, la science née à l'intersection de la chimie et de la physique - la chimie quantique - nous donne l'opportunité de "voir" la structure de la molécule. Ces images sont le comble de l'abstraction et d'un système de conventions, puisque dans le monde atomique nos concepts habituels de particules (noyaux, électrons, etc.) sont fondamentalement inapplicables. Cependant, «l'image» multicolore d'une molécule sur un écran d'ordinateur est plus utile pour ceux qui comprennent la pleine mesure de sa conventionnalité que des milliers de nombres qui sont les résultats de calculs.

Contours

La technique standard pour traiter les résultats d'une expérience informatique est la construction de lignes (surfaces), appelées isolignes(isosurfaces), le long duquel une fonction a une valeur constante. C'est une technique très courante pour visualiser les caractéristiques d'un champ scalaire dans l'approximation d'un milieu continu : isothermes - lignes d'égale température, isobares - lignes d'égale pression, isolignes de la fonction d'écoulement de liquide ou de gaz, par lesquelles on peut facilement imaginez leurs flux, les isolignes de la population écologique au sol, les isolignes de concentration des impuretés nocives dans l'environnement, etc.

Isolignes du courant

La figure montre les isolignes de la fonction d'écoulement d'un liquide inégalement chauffé dans une région d'écoulement rectangulaire. A partir de cette image, on peut clairement juger de la direction des flux de courant et de leur intensité.

Couleurs conditionnelles, contraste conditionnel

Une autre technique intéressante du graphisme scientifique moderne est la coloration conditionnelle. Il trouve l'application la plus large dans diverses applications de la science et constitue un ensemble de techniques pour la visualisation la plus pratique des résultats de simulation par ordinateur.

Dans diverses études de champs de température, se pose le problème de la présentation visuelle des résultats, par exemple des températures sur des cartes météorologiques. Pour ce faire, vous pouvez dessiner des isothermes sur le fond de la carte. Mais encore plus de visualisation peut être obtenue, étant donné que la plupart des gens ont tendance à percevoir le rouge comme "chaud", le bleu comme "froid". La transition le long du spectre du rouge au bleu reflète les températures intermédiaires.

Il en va de même pour illustrer le champ de température à la fois à la surface d'une pièce usinée et à la surface d'une planète lointaine.

Lors de la modélisation de molécules organiques complexes, un ordinateur peut produire des résultats sous la forme d'une image multicolore, dans laquelle les atomes d'hydrogène sont représentés dans une couleur, les atomes de carbone dans une autre, etc., et l'atome est représenté par une boule (cercle) , à l'intérieur duquel la densité de couleur change en fonction de la distribution de la densité électronique. Lors de la recherche de minéraux à l'aide de photographies aériennes d'avions ou de satellites spatiaux, les ordinateurs créent des images couleur conditionnelles des distributions de densité sous la surface de la Terre.

Les images en couleurs et contrastes conditionnels sont la méthode la plus puissante de graphisme scientifique. Il vous permet de comprendre la structure non seulement des objets plats, mais aussi des objets tridimensionnels (tridimensionnels), donne au chercheur l'une des merveilleuses méthodes de cognition.

L'étude de la modélisation graphique de l'information ne doit pas être confondue avec l'étude des technologies de traitement graphique de l'information. Lorsque les étudiants commencent à étudier la modélisation, ils sont généralement déjà familiarisés avec les technologies de base de l'infographie : ils savent utiliser des éditeurs graphiques simples, ils savent construire des diagrammes dans un tableur ou un autre programme approprié.

La construction de modèles graphiques simples sous forme de graphes et de structures hiérarchiques est déjà appropriée dans cours de base l'informatique dans le cadre de l'étude du thème « Formalisation et Modélisation ». Construire un arbre généalogique de la famille, un système hiérarchique de gestion scolaire, etc. est une activité relativement simple accessible à la plupart des élèves. Dans ce cas, il convient d'utiliser les capacités illustratives des systèmes d'infographie.

Quant à la mise en œuvre autonome de modèles graphiques scientifiques par la programmation, il s'agit d'un matériau de difficulté accrue, dont le développement pratique convient dans un cours d'informatique de profil ou dans le cadre d'un cours électif visant à une étude approfondie de la modélisation. de processus physiques et autres.

modèle de simulation reproduit le comportement d'un système complexe d'éléments en interaction. La modélisation de simulation est caractérisée par la présence des circonstances suivantes (simultanément toutes ou certaines d'entre elles) :

L'objet de la modélisation est un système inhomogène complexe ;

· dans le système simulé, il existe des facteurs de comportement aléatoire ;

Il est nécessaire d'obtenir une description du processus qui se développe au fil du temps;

· Il est fondamentalement impossible d'obtenir des résultats de simulation sans utiliser un ordinateur.

L'état de chaque élément du système simulé est décrit par un ensemble de paramètres qui sont stockés dans la mémoire de l'ordinateur sous forme de tableaux. Les interactions des éléments du système sont décrites de manière algorithmique. La modélisation s'effectue en mode pas à pas. A chaque pas de simulation, les valeurs des paramètres du système changent. Le programme qui implémente le modèle de simulation reflète le changement d'état du système, donnant les valeurs de ses paramètres souhaités sous forme de tableaux en pas de temps ou dans la séquence d'événements se produisant dans le système. Pour visualiser les résultats de la simulation, une représentation graphique est souvent utilisée, incl. Animé.

Le modèle de simulation est basé sur l'imitation d'un processus réel (simulation). Par exemple, en modélisant le changement (dynamique) du nombre de micro-organismes dans une colonie, on peut considérer de nombreux objets distincts et surveiller le sort de chacun d'eux, en fixant certaines conditions pour sa survie, sa reproduction
etc. Ces conditions sont généralement précisées verbalement. Par exemple : après un certain laps de temps, le micro-organisme se divise en deux parties, et après un autre laps de temps (plus long), il meurt. La satisfaction des conditions décrites est implémentée de manière algorithmique dans le modèle.

Autre exemple : la modélisation du mouvement des molécules dans un gaz, lorsque chaque molécule est représentée comme une boule avec une certaine direction et vitesse de déplacement. L'interaction de deux molécules ou d'une molécule avec la paroi du vaisseau se produit selon les lois de la collision absolument élastique et est facilement décrite de manière algorithmique. L'obtention des caractéristiques intégrales (générales, moyennées) du système s'effectue au niveau du traitement statistique des résultats de simulation.

Une telle expérience informatique prétend en fait reproduire une expérience à grande échelle. A la question : "Pourquoi as-tu besoin de faire ça ?" nous pouvons donner la réponse suivante : la modélisation par simulation permet de distinguer « à l'état pur » les conséquences des hypothèses enchâssées dans le concept de micro-événements (c'est-à-dire au niveau des éléments du système), en les sauvant de l'influence d'autres des facteurs inévitables dans une expérience à grande échelle, dont nous ne sommes peut-être même pas conscients. Si une telle simulation comprend également des éléments description mathématique processus au niveau micro, et si le chercheur ne se fixe pas pour tâche de trouver une stratégie de régulation des résultats (par exemple, contrôler le nombre d'une colonie de micro-organismes), alors la différence entre le modèle de simulation et le modèle mathématique (descriptif) on s'avère plutôt arbitraire.

Les exemples de modèles de simulation donnés ci-dessus (l'évolution d'une colonie de micro-organismes, le mouvement de molécules dans un gaz) conduisent à déterministe description des systèmes . Ils manquent d'éléments de probabilité, de caractère aléatoire des événements dans les systèmes simulés. Considérons un exemple de modélisation d'un système qui a ces qualités.

Qui n'a pas fait la queue et s'est demandé avec impatience s'il pouvait faire un achat (ou payer un loyer, monter sur un carrousel, etc.) dans le temps dont il disposait ? Ou, essayer d'appeler le service d'assistance par téléphone et se cogner plusieurs fois sur des bips courts, devenir nerveux et évaluer si je vais passer ou non ? De ces problèmes «simples» au début du XXe siècle, une nouvelle branche des mathématiques est née - théorie des files d'attente, en utilisant l'appareil de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques, des équations différentielles et des méthodes numériques. Par la suite, il s'est avéré que cette théorie a de nombreux débouchés dans l'économie, les affaires militaires, l'organisation de la production, la biologie et l'écologie, etc.

Simulation informatique dans la résolution de problèmes de file d'attente, mise en œuvre sous la forme méthode de test statistique(méthode de Monte Carlo) joue un rôle important. Les possibilités des méthodes analytiques pour résoudre les problèmes de file d'attente réels sont très limitées, tandis que la méthode de test statistique est universelle et relativement simple.

Considérons le problème le plus simple de cette classe. Il y a une boutique avec un vendeur, qui comprend au hasard des acheteurs. Si le vendeur est libre, il commence à servir l'acheteur immédiatement, si plusieurs acheteurs sont entrés en même temps, une file d'attente se crée. Il existe de nombreuses autres situations similaires :

zone de réparation dans la flotte et les bus qui ont quitté la ligne en raison d'une panne ;

· le service des urgences et les patients venus à l'accueil à l'occasion d'une blessure (c'est-à-dire sans système de rendez-vous) ;

· échange de téléphone avec une entrée (ou un opérateur téléphonique) et des abonnés qui font la queue lorsque l'entrée est occupée (un tel système est parfois pratiqué) ;

serveur réseau local et les machines personnelles sur le lieu de travail qui envoient un message à un serveur capable d'accepter et de traiter pas plus d'un message à la fois.

Le processus d'arrivée des clients dans le magasin est un processus aléatoire. Les intervalles de temps entre les arrivées de toute paire consécutive d'acheteurs sont des événements aléatoires indépendants distribués selon une loi, qui ne peut être établie que par de nombreuses observations (ou une variante plausible de celle-ci est prise pour la modélisation). Le deuxième processus aléatoire de ce problème, qui n'a rien à voir avec le premier, est la durée de service pour chacun des clients.

La modélisation de systèmes de ce type a pour but de répondre à un certain nombre de questions. Une question relativement simple - quel est le temps moyen dont vous disposez pour faire la queue pour des lois de distribution données des variables aléatoires ci-dessus ? Une question plus difficile est : quelle est la répartition des temps d'attente des services dans la file d'attente ? Une question tout aussi difficile est la suivante: à quels rapports des paramètres des distributions d'intrants une crise se produira-t-elle, dans laquelle le tour de l'acheteur nouvellement entré n'atteindra jamais? Si vous pensez à cette tâche relativement simple, les questions possibles se multiplieront.

L'approche de modélisation ressemble à ceci en termes généraux. Formules mathématiques utilisées - lois de distribution des variables aléatoires initiales ; les constantes numériques utilisées sont les paramètres empiriques inclus dans ces formules. Aucune équation n'est résolue qui serait utilisée dans l'étude analytique de ce problème. Au lieu de cela, il y a une file d'attente simulée jouée avec logiciels d'ordinateur, générant des nombres aléatoires avec des lois de distribution données. Ensuite, le traitement statistique de la totalité des valeurs obtenues des quantités déterminées par les objectifs de modélisation donnés est effectué. Par exemple, le nombre optimal de vendeurs pour différentes périodes d'exploitation du magasin est trouvé, ce qui garantira l'absence de files d'attente. L'appareil mathématique utilisé ici s'appelle méthodes de statistiques mathématiques.

L'article « Modeling Ecological Systems and Processes » 2 décrit un autre exemple de simulation : un modèle parmi tant d'autres du système « prédateur-proie ». Les individus des espèces qui sont dans ces relations, selon certaines règles, contenant des éléments de hasard, se déplacent, les prédateurs mangent des proies, les deux se multiplient, etc. Un tel modèle ne contient aucune formule mathématique, mais nécessite un traitement statistique des résultats.

Un exemple d'algorithme de modèle de simulation déterministe

Considérons un modèle de simulation de l'évolution d'une population d'organismes vivants, appelé "Vie", qui est facile à mettre en œuvre dans n'importe quel langage de programmation.

Pour construire un algorithme de jeu, considérons un champ carré de n+ 1 colonnes et lignes avec une numérotation régulière de 0 à n. Pour plus de commodité, nous définissons les colonnes et les lignes des limites extrêmes comme une «zone morte», elles ne jouent qu'un rôle auxiliaire.

Pour toute cellule interne du champ de coordonnées ( je, j) vous pouvez définir 8 voisins. Si la cellule est "vivante", nous peignons dessus, si la cellule est "morte", elle vide.

Établissons les règles du jeu. Si la cellule ( je, j) est "vivant" et est entouré de plus de trois cellules "vivantes", il meurt (de surpopulation). Une cellule « vivante » meurt également s'il y a moins de deux cellules « vivantes » dans son environnement (de solitude). Une cellule « morte » prend vie si trois cellules « vivantes » apparaissent autour d'elle.

Pour plus de commodité, nous introduisons tableau à deux dimensions UNE, dont les éléments prennent la valeur 0 si la cellule correspondante est vide, et 1 si la cellule est "vivante". Ensuite, l'algorithme de détermination de l'état de la cellule avec la coordonnée ( je, j) peut être défini comme suit :

S := UNE + UNE +

A + A

A + A +

A + A ;

Si(A=1) Et((S > 3) Ou

(S<)) Puis B := 0;

Si(A=0) Et(S=3)

Alors B := 1;

Voici un tableau B détermine les coordonnées du champ à l'étape suivante. Pour toutes les cellules internes de je= 1 à n– 1 et j= 1 à n- 1 ce qui précède est vrai. Notez que les générations suivantes sont définies de manière similaire, il suffit d'effectuer la procédure de réaffectation :

Pour moi := 1 À N-1 Faire

Pour J := 1 À N-1 Faire

A := B;

Sur l'écran de visualisation, il est plus pratique d'afficher l'état du champ non pas sous forme matricielle, mais sous forme graphique.

Il ne reste plus qu'à déterminer la procédure de réglage de la configuration initiale du terrain de jeu. Lors de la détermination aléatoire de l'état initial des cellules, l'algorithme convient

Pour moi := 1 À K Faire

Début K1 := Aléatoire(N - 1);

K2 := Aléatoire(N - 1) + 1 ;

Il est plus intéressant pour l'utilisateur de définir lui-même la configuration initiale, qui est facile à mettre en œuvre. À la suite d'expériences avec ce modèle, on peut trouver, par exemple, des établissements stables d'organismes vivants qui ne meurent jamais, restant inchangés ou changeant de configuration avec une certaine période. Absolument instable (périr à la deuxième génération) est la réinstallation de la "croix".

Dans le cours d'informatique de base, les étudiants peuvent implémenter le modèle de simulation "Vie" dans le cadre de la section "Introduction à la programmation". Une maîtrise plus poussée de la modélisation par simulation peut s'effectuer au lycée dans un profil ou un électif en informatique. Cette option sera discutée ensuite.

Le début de l'étude est une conférence sur la modélisation par simulation de processus aléatoires. Dans l'école russe, les concepts de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques commencent à peine à être introduits dans le cours de mathématiques, et l'enseignant doit être prêt à faire une introduction à ce matériel le plus important pour la formation d'une vision du monde et d'une culture mathématique. Nous soulignons qu'il s'agit d'une introduction élémentaire à l'éventail des concepts en discussion ; cela peut être fait en 1-2 heures.

Puis nous discutons des problèmes techniques liés à la génération sur ordinateur de suites de nombres aléatoires avec une loi de distribution donnée. Dans ce cas, vous pouvez vous fier au fait que dans chaque langage de programmation universel, il existe un capteur de nombres aléatoires uniformément répartis sur le segment de 0 à 1. A ce stade, il est inopportun d'aborder la difficile question des principes de sa mise en œuvre. Sur la base des générateurs de nombres aléatoires disponibles, nous montrons comment vous pouvez organiser

a) un générateur de nombres aléatoires uniformément distribués sur tout intervalle [ une, b];

b) un générateur de nombres aléatoires pour presque toutes les lois de distribution (par exemple, en utilisant une méthode intuitivement claire de "sélection-rejet").

Il est conseillé de commencer l'examen du problème de file d'attente décrit ci-dessus par une discussion de l'historique de la résolution des problèmes de file d'attente (le problème d'Erlang des demandes de service au central téléphonique). Ceci est suivi par l'examen du problème le plus simple, qui peut être formulé en utilisant l'exemple de la formation et du service d'une file d'attente dans un magasin avec un vendeur. Notez qu'à la première étape de la modélisation de la distribution Variables aléatoiresà l'entrée peut être supposée également probable, ce qui, bien que non réaliste, supprime un certain nombre de difficultés (pour générer des nombres aléatoires, vous pouvez simplement utiliser le capteur intégré au langage de programmation).

Nous attirons l'attention des étudiants sur les questions qui se posent en premier lieu lors de la modélisation de systèmes de ce type. Premièrement, il s'agit du calcul des valeurs moyennes (espérances mathématiques) de certaines variables aléatoires. Par exemple, combien de temps avez-vous en moyenne pour faire la queue au comptoir ? Soit : trouver le temps moyen passé par le vendeur à attendre l'acheteur.

La tâche de l'enseignant, en particulier, est d'expliquer que les moyennes de l'échantillon sont elles-mêmes des variables aléatoires ; dans un autre échantillon de même taille, ils auront des valeurs différentes (pour les grands échantillons, ils ne différeront pas trop les uns des autres). D'autres options sont possibles : dans un public plus préparé, vous pouvez montrer une méthode d'estimation des intervalles de confiance dans laquelle les espérances mathématiques des variables aléatoires correspondantes sont trouvées pour des probabilités de confiance données (en utilisant des méthodes connues des statistiques mathématiques sans chercher à justifier). Dans un public moins préparé, on peut se limiter à une déclaration purement empirique: si dans plusieurs échantillons de taille égale les valeurs moyennes coïncidaient à une décimale près, alors ce signe est très probablement correct. Si la simulation ne parvient pas à atteindre la précision souhaitée, la taille de l'échantillon doit être augmentée.

Dans un public encore plus préparé mathématiquement, on peut poser la question : quelle est la distribution des variables aléatoires qui sont les résultats de la modélisation statistique, compte tenu des distributions des variables aléatoires qui sont ses paramètres d'entrée ? Puisque la présentation de la théorie mathématique correspondante dans ce cas est impossible, il faut se limiter aux méthodes empiriques : construire des histogrammes des distributions finales et les comparer avec plusieurs fonctions de distribution typiques.

Après avoir élaboré les principales compétences de cette modélisation, nous passons à un modèle plus réaliste dans lequel les flux d'entrée d'événements aléatoires sont distribués, par exemple, selon Poisson. Cela nécessitera que les étudiants maîtrisent en outre la méthode de génération de séquences de nombres aléatoires avec la loi de distribution spécifiée.

Dans le problème considéré, comme dans tout problème plus complexe sur les files d'attente, une situation critique peut survenir lorsque la file d'attente croît indéfiniment avec le temps. Modéliser l'approche d'une situation critique au fur et à mesure que l'un des paramètres augmente est une tâche de recherche intéressante pour les étudiants les plus préparés.

Sur l'exemple de la tâche sur la file d'attente, plusieurs nouveaux concepts et compétences sont élaborés à la fois :

concepts de processus aléatoires;

concepts et compétences de base de la modélisation par simulation ;

construction de modèles de simulation d'optimisation;

· construction de modèles multicritères (en résolvant les problèmes du service client le plus rationnel en combinaison avec les intérêts du propriétaire du magasin).

Modèle mathématique - une description approximative de l'objet à modéliser, exprimée à l'aide de symboles mathématiques.

Les modèles mathématiques sont apparus avec les mathématiques il y a plusieurs siècles. L'apparition des ordinateurs a donné une énorme impulsion au développement de la modélisation mathématique. L'utilisation des ordinateurs a permis d'analyser et de mettre en pratique de nombreux modèles mathématiques qui ne se prêtaient pas auparavant à la recherche analytique. Modèle mathématique mis en œuvre par ordinateur appelé modèle mathématique informatique, une effectuer des calculs ciblés à l'aide d'un modèle informatique appelé expérience informatique.

Les étapes de la modélisation mathématique par ordinateur sont présentées dans la figure. Première étape- définition des objectifs de modélisation. Ces objectifs peuvent être différents :

1) un modèle est nécessaire pour comprendre comment un objet particulier fonctionne, quelle est sa structure, ses propriétés de base, ses lois de développement et son interaction avec le monde extérieur (compréhension);

2) le modèle est nécessaire pour apprendre à gérer un objet (ou un processus) et déterminer les meilleures façons de gérer pour des objectifs et des critères donnés (gestion) ;

3) le modèle est nécessaire pour prédire les conséquences directes et indirectes de la mise en œuvre des méthodes et formes d'impact spécifiées sur l'objet (prévision).

Expliquons avec des exemples. Soit l'objet d'étude l'interaction d'un écoulement liquide ou gazeux avec un corps faisant obstacle à cet écoulement. L'expérience montre que la force de résistance à l'écoulement depuis le côté du corps augmente avec l'augmentation de la vitesse d'écoulement, mais à une vitesse suffisamment élevée, cette force diminue brusquement pour augmenter à nouveau avec une nouvelle augmentation de la vitesse. Qu'est-ce qui a causé la diminution de la force de résistance? La modélisation mathématique permet d'avoir une réponse claire : au moment d'une diminution brutale de la résistance, les tourbillons formés dans l'écoulement de liquide ou de gaz derrière le corps profilé commencent à se détacher de celui-ci et sont emportés par l'écoulement.

Un exemple d'un domaine complètement différent: coexistant pacifiquement avec des nombres stables de populations de deux espèces d'individus ayant une base alimentaire commune, commencent «soudainement» à changer radicalement leur nombre. Et ici la modélisation mathématique permet (avec un certain degré de certitude) d'établir la cause (ou du moins de réfuter une certaine hypothèse).

Le développement du concept de gestion d'objets est un autre objectif possible de la modélisation. Quel mode de vol d'avion faut-il choisir pour que le vol soit sûr et économiquement le plus avantageux ? Comment programmer des centaines de types de travaux sur la construction d'une grande installation pour qu'elle se termine au plus vite ? Beaucoup de ces problèmes se posent systématiquement devant les économistes, les concepteurs et les scientifiques.

Enfin, prédire les conséquences de certains impacts sur un objet peut être à la fois relativement simple dans des systèmes physiques simples, et extrêmement complexe - à la limite de la faisabilité - dans des systèmes biologiques, économiques, sociaux. S'il est relativement facile de répondre à la question du changement du mode de propagation de la chaleur dans une tige mince avec des changements dans son alliage constitutif, il est alors incomparablement plus difficile de retracer (prédire) les conséquences environnementales et climatiques de la construction d'un grande centrale hydroélectrique ou les conséquences sociales des modifications de la législation fiscale. Peut-être, là aussi, les méthodes de modélisation mathématique apporteront-elles une aide plus importante à l'avenir.

La deuxième étape : détermination des paramètres d'entrée et de sortie du modèle ; division des paramètres d'entrée selon le degré d'importance de l'impact de leurs changements sur la sortie. Ce processus est appelé classement ou division par rang (voir . “Formalisation et modélisation”).

Troisième étape : construction d'un modèle mathématique. A ce stade, il y a une transition de la formulation abstraite du modèle à une formulation qui a une représentation mathématique spécifique. Un modèle mathématique est constitué d'équations, de systèmes d'équations, de systèmes d'inégalités, d'équations différentielles ou de systèmes de telles équations, etc.

Quatrième étape : le choix d'une méthode d'étude du modèle mathématique. Le plus souvent, on utilise ici des méthodes numériques qui se prêtent bien à la programmation. En règle générale, plusieurs méthodes conviennent pour résoudre le même problème, différant par leur précision, leur stabilité, etc. Le succès de l'ensemble du processus de modélisation dépend souvent du choix correct de la méthode.

La cinquième étape : le développement d'un algorithme, la compilation et le débogage d'un programme informatique est un processus difficile à formaliser. Parmi les langages de programmation, de nombreux professionnels de la modélisation mathématique préfèrent FORTRAN: à la fois en raison de la tradition et en raison de l'efficacité inégalée des compilateurs (pour le travail de calcul) et de la présence d'énormes bibliothèques soigneusement déboguées et optimisées de programmes standard de méthodes mathématiques écrites en ce. Des langages tels que PASCAL, BASIC, C sont également utilisés, selon la nature de la tâche et les inclinations du programmeur.

Sixième étape : tester le programme. Le fonctionnement du programme est testé sur un problème test dont la réponse est connue. Ce n'est que le début d'une procédure de test difficile à décrire de manière formellement exhaustive. Habituellement, les tests se terminent lorsque l'utilisateur, selon ses caractéristiques professionnelles, considère que le programme est correct.

La septième étape : l'expérience de calcul proprement dite, au cours de laquelle il s'avère si le modèle correspond à un objet réel (processus). Le modèle est suffisamment adéquat au processus réel si certaines caractéristiques du processus obtenues sur ordinateur coïncident avec les caractéristiques obtenues expérimentalement avec un degré de précision donné. Si le modèle ne correspond pas au processus réel, on revient à l'une des étapes précédentes.

Classification des modèles mathématiques

La classification des modèles mathématiques peut reposer sur divers principes. Il est possible de classer les modèles par branches de la science (modèles mathématiques en physique, biologie, sociologie, etc.). Elle peut être classée selon l'appareil mathématique appliqué (modèles basés sur l'utilisation d'équations aux dérivées ordinaires, d'équations aux dérivées partielles, de méthodes stochastiques, de transformations algébriques discrètes, etc.). Enfin, si l'on part des tâches générales de modélisation dans différentes sciences, quel que soit l'appareil mathématique, la classification suivante est la plus naturelle :

modèles descriptifs (descriptifs);

· modèles d'optimisation ;

· modèles multicritères ;

modèles de jeux.

Expliquons cela avec des exemples.

Modèles descriptifs (descriptifs). Par exemple, des simulations du mouvement d'une comète qui envahit le système solaire sont faites pour prédire la trajectoire de son vol, la distance à laquelle elle passera de la Terre, etc. Dans ce cas, les objectifs de la modélisation sont descriptifs, puisqu'il n'y a aucun moyen d'influencer le mouvement de la comète, d'y changer quelque chose.

Les modèles d'optimisation sont utilisés pour décrire les processus qui peuvent être influencés pour tenter d'atteindre un objectif donné. Dans ce cas, le modèle comprend un ou plusieurs paramètres qui peuvent être influencés. Par exemple, en changeant le régime thermique dans un grenier, on peut se fixer comme objectif de choisir un tel régime afin d'obtenir une conservation maximale des grains, c'est-à-dire optimiser le processus de stockage.

modèles multicritères. Il est souvent nécessaire d'optimiser le processus sur plusieurs paramètres à la fois, et les objectifs peuvent être très contradictoires. Par exemple, connaissant les prix des denrées alimentaires et les besoins alimentaires d'une personne, il est nécessaire d'organiser des repas pour de grands groupes de personnes (dans l'armée, un camp d'été pour enfants, etc.) physiologiquement correctement et, en même temps, le moins cher possible. Il est clair que ces objectifs ne coïncident pas du tout ; lors de la modélisation, plusieurs critères seront utilisés, entre lesquels un équilibre doit être recherché.

Les modèles de jeu peuvent être liés non seulement aux jeux informatiques, mais aussi à des choses très sérieuses. Par exemple, avant une bataille, s'il y a des informations incomplètes sur l'armée adverse, un commandant doit élaborer un plan : dans quel ordre amener certaines unités au combat, etc., en tenant compte de la réaction possible de l'ennemi. Il existe une section spéciale des mathématiques modernes - la théorie des jeux - qui étudie les méthodes de prise de décision dans des conditions d'information incomplète.

Dans le cursus scolaire d'informatique, les étudiants reçoivent une première idée de la modélisation mathématique informatique dans le cadre du cours de base. Au lycée, la modélisation mathématique peut être approfondie dans un cours de formation générale pour les classes de physique et de mathématiques, ainsi qu'au sein d'un cours optionnel spécialisé.

Les principales formes d'enseignement de la modélisation mathématique informatique au lycée sont les cours magistraux, les cours de laboratoire et les cours crédités. Habituellement, le travail de création et de préparation à l'étude de chaque nouveau modèle prend 3-4 leçons. Au cours de la présentation du matériel, des tâches sont définies, qui à l'avenir devraient être résolues par les étudiants eux-mêmes, en termes généraux, des moyens de les résoudre sont décrits. Des questions sont formulées, dont les réponses doivent être obtenues lors de l'exécution des tâches. Une documentation supplémentaire est indiquée, ce qui permet d'obtenir des informations auxiliaires pour une meilleure exécution des tâches.

La forme d'organisation des cours dans l'étude de nouveaux matériaux est généralement une conférence. Après avoir terminé la discussion du modèle suivant, les étudiants ont à leur disposition les informations théoriques nécessaires et un ensemble de tâches pour un travail ultérieur. En préparation de la tâche, les étudiants choisissent la méthode de résolution appropriée, en utilisant une solution privée connue, ils testent le programme développé. En cas de difficultés tout à fait possibles dans l'exécution des tâches, une consultation est donnée, une proposition est faite pour élaborer ces sections plus en détail dans la littérature.

La plus pertinente pour la partie pratique de l'enseignement de la modélisation informatique est la méthode des projets. La tâche est formulée pour l'élève sous la forme d'un projet pédagogique et se déroule sur plusieurs leçons, et la forme organisationnelle principale dans ce cas est le travail en laboratoire informatique. L'apprentissage de la modélisation par la méthode du projet d'apprentissage peut être mis en œuvre à différents niveaux. Le premier est un énoncé du problème du processus de mise en œuvre du projet, qui est dirigé par l'enseignant. La seconde est la mise en œuvre du projet par les élèves sous la direction d'un enseignant. Le troisième est la mise en œuvre autonome par les étudiants d'un projet de recherche pédagogique.

Les résultats des travaux doivent être présentés sous forme numérique, sous forme de graphiques, de schémas. Si possible, le processus est présenté sur l'écran de l'ordinateur en dynamique. Une fois les calculs terminés et la réception des résultats, ils sont analysés, comparés aux faits connus de la théorie, la fiabilité est confirmée et une interprétation significative est effectuée, qui est ensuite reflétée dans un rapport écrit.

Si les résultats satisfont l'étudiant et l'enseignant, le travail est considéré comme terminé et sa dernière étape est la préparation d'un rapport. Le rapport comprend de brèves informations théoriques sur le sujet à l'étude, la formulation mathématique du problème, l'algorithme de résolution et sa justification, un programme informatique, les résultats du programme, l'analyse des résultats et des conclusions, une liste de références.

Lorsque tous les rapports ont été rédigés, lors de la séance de test, les étudiants font des rapports succincts sur le travail effectué, défendent leur projet. Il s'agit d'une forme efficace de rapport de l'équipe de projet à la classe, y compris la définition du problème, la construction d'un modèle formel, le choix des méthodes de travail avec le modèle, la mise en œuvre du modèle sur un ordinateur, le travail avec le modèle fini, l'interprétation des résultats, prévision. En conséquence, les étudiants peuvent recevoir deux notes : la première - pour l'élaboration du projet et la réussite de sa soutenance, la seconde - pour le programme, l'optimalité de son algorithme, son interface, etc. Les étudiants reçoivent également des notes au cours d'enquêtes sur la théorie.

Une question essentielle est de savoir quel type d'outils utiliser dans le cours d'informatique scolaire pour la modélisation mathématique ? L'implémentation informatique des modèles peut être réalisée :

à l'aide d'un tableur (généralement MS Excel);

· en créant des programmes dans les langages de programmation traditionnels (Pascal, BASIC, etc.), ainsi que dans leurs versions modernes (Delphi, Visual Basic for Application, etc.) ;

· à l'aide de progiciels spéciaux pour résoudre des problèmes mathématiques (MathCAD, etc.).

Au primaire, le premier remède semble être celui à privilégier. Cependant, au lycée, alors que la programmation est, avec la modélisation, un sujet clé de l'informatique, il est souhaitable de l'impliquer comme outil de modélisation. Au cours du processus de programmation, les détails des procédures mathématiques deviennent disponibles pour les étudiants; de plus, ils sont simplement obligés de les maîtriser, ce qui contribue également à l'éducation mathématique. Quant à l'utilisation de progiciels spécifiques, elle est appropriée dans un cursus d'informatique de profil en complément d'autres outils.

Les modèles utilisés dans diverses sciences (physique, biologie, économie, etc.) sont des images mathématiques de processus et de phénomènes relativement isolés. Chacun d'eux vous permet de résoudre des problèmes importants pour une science ou un type d'activité particulier. Mais tout cela, dans son importance humaine universelle, est inférieur à la question la plus importante pour les gens : quel est l'avenir proche de l'humanité en tant qu'espèce dans son ensemble ? Comment le monde va-t-il évoluer dans un avenir prévisible ? Nous soulignons que nous ne parlons pas de prévisions politiques ou économiques pour un pays ou une société en particulier, mais de l'humanité dans son ensemble - quel est son avenir (nous vivons tous sur Terre) ?

Les gens de la vie courante ont beaucoup de problèmes spécifiques et sont peu enclins à de telles réflexions générales. La vie d'un individu est trop courte, et même il y a un siècle ou deux, les changements globaux dans le monde au cours de la vie d'une personne étaient à peine perceptibles, même s'il vivait à une époque plutôt turbulente. Mais au XXe siècle, le rythme des événements s'est accéléré comme jamais auparavant dans l'histoire de l'humanité. Les prédictions de futures catastrophes mondiales ont commencé à sonner de plus en plus souvent : la mort de la nature due à la pollution industrielle, l'apparition de « trous d'ozone » dans la stratosphère qui nous protège du rayonnement cosmique, l'épuisement des installations de reproduction d'oxygène dû à la déforestation massive, etc. Même un événement moins catastrophique - par exemple, l'épuisement des ressources naturelles - peut entraîner des changements radicaux dans le mode de vie de l'humanité, et en particulier dans les pays qui sont aujourd'hui les plus industrialisés.

L'avenir de l'humanité est déterminé par un grand nombre de processus, en partie contrôlés par lui, en partie non, et ces processus sont si interconnectés et ont des conséquences si contradictoires que seule leur modélisation mathématique dans leur ensemble raisonnable, mis en œuvre sur des ordinateurs modernes, peut donner une prévision qualitativement correcte. Quelle que soit l'ampleur de l'inévitable grossissement de la réalité dans une telle simulation, il y a tellement de facteurs d'une importance primordiale que même l'esprit le plus puissant ne peut retracer leur interaction.

Les modèles correspondants, nommés global(complet), apparu pour la première fois dans les années 70 du siècle dernier. Les modèles les plus célèbres sont WORLD-1 (MIR-1), WORLD-2, WORLD-3, formulés et étudiés par un groupe d'employés du Massachusetts Institute of Technology (USA) sous la direction de D.Kh. Meadows et D. Forrester. Les résultats de leur travail à un moment donné ont fait sensation dans le monde, car la plupart des scénarios pour le développement possible d'événements ont conduit à la finale, que l'on peut appeler la fin du monde (bien sûr, du point de vue de humanité). Dans le même temps, les auteurs ont souligné à plusieurs reprises qu'il ne s'agit pas d'un avenir prédéterminé, mais du choix des voies pour le développement de l'humanité, parmi lesquelles il y a celles qui conduisent à la stabilité, à l'existence prospère de l'humanité.

Quelle peut être la cause d'une éventuelle instabilité ? Un trait caractéristique de la vie humaine à l'époque qui a suivi le début de la révolution industrielle était la croissance rapide - souvent exponentielle - de nombreux indicateurs. La période de doublement de la population de la Terre est d'environ 40 ans (la présence d'une telle période constante est un trait caractéristique de la croissance exponentielle). Les biologistes et les écologistes savent bien que la croissance exponentielle de la population se termine le plus souvent par un désastre - les sources qui soutiennent son existence sont épuisées. Du point de vue de l'existence d'une espèce, ce n'est pas un drame (sauf cas unique où une espèce donnée est réduite à une population). Cependant, à notre époque, l'humanité a utilisé presque toutes les ressources pour une croissance et une expansion extensives "en largeur". Le volume de la production industrielle au 20ème siècle a également augmenté de manière quasi exponentielle avec un taux de croissance annuel de 3,3% en moyenne. Cela conduit à l'épuisement des ressources naturelles - minéraux, eau propre, air pur. La teneur de l'un des composés stables de carbone (dioxyde) dans l'atmosphère à la suite de la combustion de combustibles fossiles et de l'épuisement des forêts a augmenté d'un tiers depuis le début du siècle ; potentiellement cela conduit au réchauffement climatique sur Terre avec les conséquences les plus catastrophiques. Plus il y a de personnes, plus il faut de nourriture, et l'application mondiale d'engrais minéraux augmente de façon exponentielle, doublant environ 15 ans. Il est clair et sans aucune modélisation qu'une telle vie avec la croissance effrénée de tout et de tout ne peut pas durer longtemps - et maintenant «longue» est comparable à la durée de vie de deux ou trois générations.

La difficulté de suivre les conséquences d'un tel cours d'événements réside également dans le fait que chaque processus global individuel ne peut pas être appelé sans ambiguïté « bon » ou « mauvais » en termes d'influence sur le destin de l'humanité. Par exemple, une augmentation de la production d'engrais entraîne une augmentation de la production alimentaire - c'est « bien ». Mais il est «mauvais» que le même processus entraîne une diminution de l'approvisionnement en eau douce propre, qui est gâchée par les engrais qui traversent le sol avec la pluie dans les rivières et les sources souterraines. De plus, une augmentation de la production d'engrais entraîne la nécessité d'augmenter la production d'énergie et la pollution chimique et thermique associée du sol, de l'atmosphère, etc. Il n'est possible de mesurer l'impact de telles situations sur le développement de l'humanité qu'en prenant en compte tous les facteurs simultanément.

Existe-t-il des possibilités d'éviter des conséquences catastrophiques pour le développement humain ? À la suite de la modélisation, les trois règles suivantes ont été formulées, dont le respect, selon les auteurs des modèles, est nécessaire pour la durabilité globale :

1. Pour les ressources renouvelables (forêt, eau, poisson, etc.), le taux de consommation ne doit pas dépasser le taux de récupération naturelle.

2. Pour les ressources non renouvelables (charbon, pétrole, minerais, etc.), le taux de consommation ne doit pas dépasser le taux de leur remplacement par des ressources renouvelables (développement de l'énergie solaire et éolienne, plantation de forêts, etc.) et la rythme de développement des nouvelles technologies pour assurer un changement des ressources ; de sorte qu'après la disparition, par exemple, du pétrole, un afflux d'énergie à partir d'une nouvelle ressource est assuré.

3. Pour les polluants, le taux d'émission maximal ne doit pas dépasser le taux auquel ces substances sont traitées ou perdent leurs propriétés nocives pour l'environnement.

Actuellement, l'humanité, malheureusement, n'est pas guidée par ces règles. Si au cours des siècles passés cela ne représentait pas un danger pour l'espèce dans son ensemble, aujourd'hui la situation a changé.

Décrivons brièvement l'un des modèles mondiaux - WORLD-3 (MIR-3). Le modèle se compose de cinq secteurs :

pollution persistante;

ressources non renouvelables;

· population;

agriculture (production alimentaire, fertilité des terres, aménagement du territoire);

Economie (production industrielle, production de services, emplois).

Les relations primaires sont initiales, telles que :

population et stocks de capital industriel;

population et superficie des terres cultivées;

· la superficie des terres cultivées et le volume du capital industriel ;

· le nombre d'habitants et le capital du secteur des services ;

· capital du secteur des services et capital industriel, etc.

Dans chaque secteur, toutes les relations primaires sont tracées et exprimées par des relations mathématiques. Au besoin, les processus de retard matériel et informationnel sont pris en compte, puisque la réaction, par exemple, de la population à une meilleure nutrition n'est pas instantanée, mais retardée. Ceci est typique pour la plupart des processus considérés.

Le modèle WORLD-3 possède des fonctions descriptives et d'optimisation. Son objectif principal est de présenter les voies possibles pour l'économie (au sens large du terme) pour parvenir à une telle population de la planète qui puisse être soutenue indéfiniment par l'environnement. Il ne prédit pas le développement d'un pays en particulier, ne résout aucun problème local. Le modèle suppose qu'il existe une communauté mondiale sur Terre.

La dynamique des populations est une caractéristique intégrale qui intègre tous les facteurs. De manière purement spéculative, deux types de dynamiques stables sont possibles (croissance continue ou approche douce de l'équilibre) et trois types de dynamiques instables associées au dépassement des limites admissibles (oscillations avec arrêt ultérieur, oscillations chaotiques et effondrement, c'est-à-dire la disparition de l'espèce). La croissance continue semble totalement irréaliste, la dernière des dynamiques instables est une tragédie pour l'humanité, et derrière les fortes fluctuations, comme vous pouvez le deviner, se cachent des guerres, des épidémies, des famines - ce qui se produit souvent dans la réalité.

Les relations typiques du modèle WORLD, qui trouvent des expressions par des moyens mathématiques (équations différentielles et "ordinaires"), sont présentées dans la figure. Il montre les liens entre la population, le capital industriel, la superficie des terres cultivées et la pollution de l'environnement. Chaque flèche de la figure indique la présence d'une relation causale, qui peut être immédiate ou différée, positive ou négative.

Boucles de rétroaction de la taille de la population, du capital, de la production agricole et de la pollution de l'environnement

Les concepts de rétroaction positive et négative sont tirés de la théorie de la commande automatique (section de cybernétique). Une relation causale entre deux éléments est appelée négatif, si le changement d'un élément est transféré au second, revient de celui-ci au premier et le change dans la direction opposée à l'original (suppression), et positif si ce changement, revenant au premier, le fortifie. S'il n'y a pas deux éléments, mais plus, alors ils disent à propos de boucle de rétroaction, à travers lequel le signal passe en cercle, retournant à la source et l'affectant.

Certains ensembles de tels dessins épuisent graphiquement le modèle WORLD. Cependant, derrière chaque flèche se trouvent des relations primaires, et derrière chacune d'elles se trouvent des équations qui incluent un certain nombre de paramètres. En fait, ce sont les valeurs de ces paramètres qui déterminent les résultats, par conséquent, leur analyse implique à la fois de nombreux spécialistes étroits et de nombreuses données empiriques (statistiques) collectées dans des dizaines d'ouvrages de référence, des rapports de l'ONU et des États individuels. Le nombre de variables interdépendantes dans le modèle WORLD-3 est de 225, et il y a encore plus de paramètres.

Résultats de la simulation globale

Les "scénarios" publiés du développement humain, issus des modèles MONDIAUX, couvrent la période de 1900 à 2100. Les 100 premières années, qui se sont déjà écoulées, permettent de « régler » le modèle, de déterminer son degré de fiabilité.

Le premier des scénarios repose sur l'hypothèse que tout se développera sans changements majeurs, sans cataclysmes politiques mondiaux, sans trop d'efforts pour conserver les ressources et réduire la pollution de l'environnement. Le modèle prédit les résultats catastrophiques d'un tel développement.

Dans le même temps, le modèle WORLD permet de trouver des voies de développement régulé, ce qui conduit à un comportement lisse ("sigmoïde") des principales variables. Cette voie est associée à la maîtrise de soi et à la transition vers des technologies industrielles et agricoles améliorées.

5. Modélisation des processus de planification optimale

Énoncé du problème de planification optimale

La planification est l'étape la plus importante de l'activité économique et managériale. L'objet de la planification peut être l'activité d'une subdivision ou de l'ensemble de l'entreprise, de l'industrie ou de l'agriculture, d'une région et enfin d'un État.

La formulation du problème de planification dans le cas général est la suivante :

Il y a quelques indicateurs prévus : X, Oui, …;

Certaines ressources sont disponibles : R 1, R 2, ..., grâce auquel ces indicateurs prévus peuvent être atteints ;

· il existe un certain objectif stratégique, en fonction des valeurs des indicateurs planifiés, sur lequel la planification doit être orientée.

Problème de planification optimale est de déterminer les valeurs des indicateurs prévus, en tenant compte des ressources limitées, sous réserve de la réalisation de l'objectif stratégique.

Donnons des exemples. Que l'objet de la planification soit un jardin d'enfants. Nous nous limitons à seulement deux indicateurs prévus : le nombre d'enfants et le nombre d'éducateurs. Les principales ressources pour les activités du jardin d'enfants sont le montant du financement et la taille des locaux. Quels sont les objectifs stratégiques ? Naturellement, l'un d'eux est la préservation et le renforcement de la santé des enfants. La mesure quantitative de cet objectif est de minimiser l'incidence des élèves de maternelle.

Un autre exemple est la planification de l'activité économique de l'État. Bien sûr, c'est une tâche trop complexe pour une analyse détaillée. De nombreux indicateurs sont prévus : la production de divers types de produits industriels et agricoles, la formation de spécialistes, la production d'électricité, les salaires des travailleurs du secteur public, et bien plus encore. Les ressources comprennent : le nombre de personnes valides, le budget de l'État, les ressources naturelles, l'énergie, les possibilités des systèmes de transport, etc. Bien sûr, chacun de ces types de ressources est limité. De plus, la ressource la plus importante est le temps alloué à la mise en œuvre du plan.

La question des objectifs stratégiques dans ce cas est très compliquée. L'État en a beaucoup, mais à différentes périodes de l'histoire, les priorités peuvent changer. Par exemple, en temps de guerre, l'objectif principal est la capacité de défense maximale, la puissance militaire du pays. En temps de paix, dans un État civilisé moderne, l'objectif prioritaire devrait être d'atteindre le niveau de vie maximum de la population.

La solution des problèmes de planification optimale est le plus souvent complexe et inaccessible en utilisant uniquement l'expérience humaine (méthodes empiriques). Pour résoudre de tels problèmes, un modèle mathématique A qui établit une relation entre les paramètres de la tâche. D'où, une planification optimale est réalisée en appliquant une modélisation mathématique. En règle générale, de tels modèles pour des situations réelles ne se prêtent pas à une solution analytique; par conséquent, des méthodes de résolution numérique mises en œuvre sur un ordinateur sont utilisées.

Un exemple de modèle mathématique de planification optimale

Considérons un exemple simple à l'aide duquel on peut se faire une idée sur l'une des classes de problèmes de planification optimale.

La pâtisserie de l'école prépare des tartes et des gâteaux. En raison de la capacité limitée de l'entrepôt, pas plus de 700 produits peuvent être préparés par jour. La journée de travail dans la confiserie dure 8 heures. Étant donné que la production de gâteaux demande plus de main-d'œuvre, alors si seulement ils sont produits, pas plus de 250 peuvent être produits par jour, tandis que 1000 tartes peuvent être produites (si aucun gâteau n'est produit en même temps). Le coût d'un gâteau est deux fois plus élevé que celui d'une tarte. Il est nécessaire d'établir un plan de production quotidien qui assure le plus grand revenu à la confiserie.

Formulons mathématiquement ce problème. Les indicateurs prévus sont :

x - plan quotidien de sortie des tartes ;

y - plan quotidien pour la production de gâteaux.

Les moyens de production sont :

Heures de travail - 8 heures;

· Capacité de stockage - 700 places.

Nous obtiendrons les ratios qui découlent des conditions de durée limitée de l'atelier et de la capacité de l'entrepôt, c'est-à-dire le nombre total de produits. De l'énoncé du problème, il s'ensuit que la production d'un gâteau prend 4 fois plus de temps que 1 tarte. Si vous indiquez le temps de confection de la tarte t min., puis le temps de préparation du gâteau est de 4 t min. Par conséquent, le temps de production total X tartes et y Gâteaux tx + 4ty=(X+ 4y)t. Mais ce temps ne peut être supérieur à la durée de la journée de travail. Cela implique l'inégalité ( X + 4y)t huit ? 60, ou ( X + 4y)t 480.

Puisque 1000 tartes peuvent être faites en une journée de travail, 480/1000 = 0,48 minutes sont consacrées à une. En remplaçant cette valeur dans l'inégalité, on obtient : ( X + 4y) ? 0,48 480. D'ici X + 4y 1000. La limite du nombre total de produits donne une inégalité évidente X+ y 700.

Aux deux inégalités obtenues, il faut ajouter les conditions de positivité des valeurs des quantités X et y(il ne peut y avoir un nombre négatif de tartes et de gâteaux). On obtient alors un système d'inégalités :

X + 4y 1000,X + y 700, X 0, y 0 ()

Formalisons l'objectif stratégique : obtenir le maximum de revenus. Le revenu est la valeur de tous les produits vendus. Laissez le prix d'une tarte r roubles. Selon l'état du problème, le prix d'un gâteau est deux fois plus élevé, c'est-à-dire 2 r roubles. Par conséquent, le coût de toute la production produite par jour est égal à réception + 2ry = r(X + 2y). Le but de la production est de maximiser les revenus. On considérera l'expression écrite en fonction de X,y:F(x, y)= r(X + 2y). Dans la mesure où r est une constante, alors la valeur maximale F(x, y) sera atteint à la valeur maximale de l'expression X + 2y. Par conséquent, en tant que fonction dont le maximum correspond à l'objectif stratégique, nous pouvons prendre

F(X, y) = X + 2y ()

Par conséquent, l'obtention du plan optimal a été réduite au problème mathématique suivant : trouver les valeurs des indicateurs planifiés x et y qui satisfont le système d'inégalités()et donnant la valeur maximale de la fonction objectif().

L'exemple ci-dessus appartient à la classe des tâches programmation linéaire. Il existe plusieurs classes de problèmes dans la théorie de la planification optimale, dont la programmation linéaire est la plus simple. L'étude des méthodes mathématiques de résolution de tels problèmes dépasse les objectifs de l'enseignement scolaire.

En même temps, il serait illogique de se limiter à la formulation théorique des problèmes de planification optimale. Les technologies modernes de l'information permettent de résoudre certains problèmes de planification optimale (et, en particulier, de programmation linéaire) sans pénétrer dans l'essence des méthodes mathématiques appliquées. En particulier, ces outils sont disponibles dans la feuille de calcul Excel et, sur leur base, les étudiants peuvent voir comment résoudre des problèmes spécifiques. L'outil en question s'appelle Trouver la solution. La commande correspondante se trouve dans le menu Outils. Décrivons brièvement comment utiliser l'outil indiqué pour résoudre le problème ci-dessus.

Tout d'abord, préparons un tableau pour résoudre le problème de planification optimale.

Les cellules B5 et C5 sont réservées respectivement aux valeurs X(prévoir de faire des tartes) et y(prévoir pour faire des gâteaux). Les parties gauches des inégalités sont dans la colonne B, les parties droites sont dans la colonne D ; panneaux "<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Appelons le programme d'optimisation et indiquons-lui où se trouvent les données. Pour ce faire, exécutez la commande Yu Service Yu Rechercher une solution. Le formulaire approprié s'ouvrira à l'écran. Nous agirons selon l'algorithme suivant :

1. Entrez la coordonnée de la cellule avec la fonction objectif. Dans notre cas, il s'agit de B15. (Notez que si vous placez d'abord le curseur sur la cellule B15, la saisie se fera automatiquement.)

2. Cochez la case "Égal à la valeur maximale", c'est-à-dire Disons au programme que nous sommes intéressés à trouver le maximum de la fonction objectif.

3. Dans le champ "Modifier les cellules", saisissez B5:C5, c'est-à-dire nous vous dirons quelle place est réservée aux valeurs des variables - indicateurs prévus.

4. Dans le champ « Restrictions », saisissez des informations sur les inégalités de contrainte, qui ressemblent à : B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Les restrictions sont saisies comme suit :

Cliquez sur le bouton "Ajouter" ;

Dans la boîte de dialogue "Ajout d'une contrainte" qui apparaît, entrez une référence à la cellule B10, sélectionnez le signe d'inégalité "<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Fermez la boîte de dialogue Ajouter une contrainte. Devant nous se trouve le formulaire préparé «Rechercher une solution».

6. Cliquez sur le bouton "Exécuter" - la solution optimale apparaît dans les cellules B5 et C5 (numéros 600 et 100), ainsi que le nombre 800 dans la cellule B15 - la valeur maximale de la fonction objectif.

6. Modélisation des systèmes et processus physiques

La science physique est inextricablement liée à la modélisation mathématique depuis l'époque d'Isaac Newton (XVII-XVIII siècles). I. Newton a découvert les lois fondamentales de la mécanique, la loi de la gravitation universelle, les décrivant dans le langage des mathématiques. I. Newton (avec G. Leibniz) a développé le calcul différentiel et intégral, qui est devenu la base de l'appareil mathématique de la physique. Toutes les découvertes physiques ultérieures (en thermodynamique, électrodynamique, physique atomique, etc.) ont été présentées sous la forme de lois et de principes décrits en langage mathématique, c'est-à-dire sous forme de modèles mathématiques.

On peut dire que la solution de tout problème physique est théoriquement modélisation mathématique. Cependant, la possibilité d'une solution théorique du problème est limitée par le degré de complexité de son modèle mathématique. Plus le modèle mathématique est complexe, plus le processus physique décrit avec son aide est complexe, et plus il devient problématique d'utiliser un tel modèle pour les calculs.

Dans la situation la plus simple, la solution du problème peut être obtenue « manuellement » analytiquement. Dans la plupart des situations pratiquement importantes, il n'est pas possible de trouver une solution analytique en raison de la complexité mathématique du modèle. Dans ce cas, utilisez méthodes numériques résolution de problèmes, dont la mise en œuvre effective n'est possible que sur un ordinateur. En d'autres termes, la recherche physique basée sur des modèles mathématiques complexes est effectuée par modélisation mathématique par ordinateur. À cet égard, au XXe siècle, parallèlement à la division traditionnelle de la physique en théorique et expérimentale, une nouvelle direction est apparue - la «physique computationnelle».

L'étude des processus physiques sur un ordinateur s'appelle une expérience informatique. Ainsi, la physique computationnelle construit une passerelle entre la physique théorique, dont elle tire des modèles mathématiques, et la physique expérimentale, réalisant une expérience physique virtuelle sur ordinateur. L'utilisation de l'infographie dans le traitement des résultats des calculs assure la visibilité de ces résultats, qui est la condition la plus importante de leur perception et de leur interprétation par le chercheur.

La loi fondamentale de la mécanique est la deuxième loi de Newton, qui relie la force agissant sur un corps, sa masse et l'accélération résultant de l'action de la force. En physique scolaire, cette loi se présente sous la forme suivante :

Cela implique que la force et la masse sont des constantes. Dans ce cas, l'accélération sera également une valeur constante. Par conséquent, l'équation (1) modélise le mouvement uniformément accéléré d'un corps de masse constante sous l'action d'une force constante.

L'applicabilité de ce modèle est limitée. Il ne peut pas être utilisé pour calculer le mouvement de corps de masse variable et de force variable. Par exemple, pendant le vol d'une fusée, sa masse diminue en raison de l'épuisement du carburant, c'est-à-dire la masse est fonction du temps : m(t). De ce fait, l'accélération devient également une variable et le modèle mathématique va changer :

On tient compte du fait que l'accélération est une dérivée de la vitesse ( v) au fil du temps, et décrivez la fonction du changement de masse avec le temps (qu'elle soit linéaire) ; on obtient le modèle mathématique de mouvement suivant :

(2)

Ici m 0 - la masse initiale de la fusée, q(kg / s) - un paramètre qui détermine le taux de combustion du carburant. L'équation (2) est une équation différentielle, par opposition à une équation algébrique linéaire (1). Le modèle mathématique est devenu plus compliqué ! Résoudre l'équation (2) est beaucoup plus difficile que (1). Si nous prenons également en compte la possibilité d'un changement de la force dans le temps F(t) (la poussée du moteur-fusée lors du lancement est une variable), alors le modèle deviendra encore plus compliqué :

(3)

Lorsque des corps se déplacent dans l'atmosphère (ou dans un milieu liquide), il faut tenir compte de la résistance du milieu - la force de frottement. La force de frottement a deux composantes : proportionnelle à la première puissance de la vitesse du corps et proportionnelle à son carré. Maintenant, l'équation du mouvement prendra la forme :

, (4), (5)

Ici k 1 et k 2 - coefficients empiriques. L'équation (5) relie la vitesse au déplacement. Le modèle (4)–(5) est devenu plus proche d'une situation physiquement réelle, mais plus compliqué d'un point de vue mathématique. En l'utilisant, vous pouvez obtenir des réponses à des questions pratiquement importantes. Par exemple : donné F(t) pour déterminer combien de temps et à quelle altitude la fusée atteindra la première vitesse cosmique. Ou résoudre le problème inverse : quelle doit être la force de poussée du moteur pour que la fusée atteigne la première vitesse spatiale à une altitude donnée ? Considérant également le fait que les coefficients k 1 et k 2 - variables, puisqu'elles dépendent de la densité de l'air atmosphérique, qui diminue avec l'altitude, le modèle mathématique (4)–(5) devient assez complexe. La solution basée sur un tel modèle des problèmes formulés ci-dessus nécessite l'utilisation de méthodes numériques et d'un ordinateur.

Les méthodes numériques sont méthodes qui réduisent la solution de tout problème mathématique à des calculs arithmétiques. Montrons l'application de la méthode de résolution numérique sur l'exemple d'un problème de mécanique plus simple que le problème du vol de fusée. Considérons le problème de la chute libre d'un corps de masse constante m sous l'influence d'une gravité constante. Les équations de mouvement prenant en compte la résistance de l'air (ceci a été discuté ci-dessus) ont la forme :

, (6)

Ici v- composante verticale du vecteur vitesse. Soit la hauteur initiale du corps au-dessus du sol s 0 , et la vitesse initiale - v 0 .

Nous montrerons l'application de la méthode, dite méthode d'Euler, au calcul du mouvement d'un corps en chute. Le calcul est effectué à partir de l'instant initial t= 0 avec un petit pas de temps fini

(n = 0, 1, 2, …). (8)

En appliquant une approche similaire à l'équation (7), nous obtenons la formule de la méthode d'Euler pour calculer le déplacement d'un corps tombant avec le temps :

Ayant les valeurs initiales de vitesse et de déplacement et en utilisant les formules (8), (9), il est possible étape par étape de calculer les valeurs v et sà des moments successifs. Ce procédé est facile à programmer, et les résultats obtenus sont affichés sous forme de tableau numérique et présentés graphiquement.

La figure montre le résultat du traitement graphique de la dépendance numériquement obtenue de la vitesse de chute du corps sur le temps pour un certain ensemble de paramètres m, k 1 et k 2 .

La dépendance du taux de chute au temps, en tenant compte de la résistance de l'air

La dépendance n'a rien à voir avec le changement linéaire de vitesse, qui est obtenu sans tenir compte de la résistance de l'air. La vitesse atteint une valeur constante dans le processus d'approche de la force de résistance de l'air à la force de gravité. Lorsqu'ils sont égaux, le mouvement devient uniforme.

Notez que la limite de vitesse en régime permanent peut être calculée analytiquement sans recourir à des méthodes numériques. Équation dans la formule (6) dv/dt(accélération) à zéro, on obtient que la vitesse stabilisée sera égale à

A partir de ce modèle, il est possible, par exemple, de résoudre un problème d'optimisation en formulant la condition comme suit : un parachutiste saute d'une certaine hauteur et vole sans ouvrir de parachute ; à quelle altitude (ou après quelle heure) doit-il ouvrir son parachute pour avoir une vitesse de sécurité au moment de l'atterrissage ? Autre problème : comment la hauteur du saut est-elle liée à la section transversale du parachute (incluse dans k 2) pour que la vitesse d'atterrissage soit sûre ?

Un problème important lors de l'utilisation de la méthode numérique décrite est le choix du pas de temps t. La précision des résultats obtenus et la stabilité de la procédure de calcul dépendent de cette valeur. Tous ces problèmes sont étudiés dans la discipline mathématique appelée "Méthodes numériques", ou "Mathématiques computationnelles".

La connaissance des étudiants avec des modèles informatiques de processus physiques dans le cours d'informatique de base peut se produire au niveau des exemples de démonstration. La figure montre un exemple de démonstration de formation qui simule le vol d'un projectile tiré d'un canon. La tâche qui est confiée aux élèves est de sélectionner les paramètres (vitesse initiale et angle de tir) qui garantissent que le projectile atteigne la cible (ce programme est inclus dans la collection fédérale des ressources pédagogiques numériques). Des développements similaires sont disponibles dans d'autres sources éducatives.

Le vol d'un projectile tiré d'un canon

Dans les classes supérieures du profil physique et mathématique, les questions de modélisation des processus physiques devraient être incluses dans le programme de formation du profil. Nous pouvons proposer la liste suivante d'objets de modélisation liés au mouvement des corps :

Le mouvement des corps, en tenant compte de la résistance de l'environnement (chute libre, mouvement d'un corps projeté en biais par rapport à l'horizon, décollage de fusée, etc.) ;

· mouvement oscillatoire du pendule, tenant compte de la résistance du milieu, des oscillations forcées, de la résonance, etc. ;

· mouvement des corps célestes (problème des deux corps) ;

· mouvement de particules chargées dans des champs électriques.

D'autres types de problèmes, à partir desquels il est possible de mettre en œuvre la modélisation de processus physiques, sont associés à la description de processus physiques dans l'approximation d'un milieu continu et dans des champs électromagnétiques :

· modélisation du processus de conduction thermique, etc. ;

· modélisation des distributions de champs statiques - électriques et magnétiques.

Ci-dessus, un exemple de modélisation de la chute libre d'un corps dans l'atmosphère a été analysé en détail, dans lequel des équations différentielles et des méthodes numériques pour les résoudre sont utilisées. Si la formation mathématique des étudiants n'est pas suffisante pour comprendre cette approche, alors il est possible de construire immédiatement un modèle mathématique sous une forme de différences finies, sans utiliser d'équations différentielles. Montrons comment appliquer cette approche.

Nous rappelons aux élèves que l'accélération est un incrément de vitesse par unité de temps et que la vitesse est un incrément de déplacement par unité de temps : .

Les signes d'égalité approximative indiquent que ces rapports sont d'autant plus précis que l'intervalle est petit t; dans la limite t 0 ils deviennent précis.

Si à un moment donné t 0 valeur s a le sens s (t 0), et la valeur v- sens Vermont 0), puis à la prochaine fois t 1 = t 0 + t aura:

On suppose que l'accélération pendant cette période de temps n'a pas changé et est restée égale à une(t 0). Ici, nous utilisons également la notation F 0 = F(t0), m = m(t0), c'est à dire. ce qui signifie que la force et la masse peuvent généralement être des variables.

Lors du calcul des valeurs v et s dans les moments suivants, vous pouvez faire de même. Si les valeurs sont connues v je et s je sur le moment t je, ensuite

Ainsi, les mêmes formules de la méthode d'Euler sont obtenues, mais méthodiquement différemment. Dans ce cas, les équations différentielles ne sont pas du tout mentionnées.

Lors de la construction de ce modèle et de modèles similaires, les élèves doivent prêter attention au fait que dans la division du temps continu en segments de longueur t l'une des idées fondamentales de l'informatique sur l'universalité d'une forme discrète de représentation de l'information se manifeste, reflétée à la fois dans la conception d'un ordinateur et dans de nombreuses applications de l'informatique.

Notez qu'il existe de nombreux programmes informatiques qui simulent des processus physiques simples. Ils implémentent une interface de dialogue qui vous permet d'entrer des paramètres, d'obtenir des tableaux, des graphiques, des images animées à l'écran. Cependant, lors de leur utilisation, les lois physiques qui déterminent le processus, les limites du modèle et les possibilités d'amélioration restent cachées. Ces programmes sont plutôt utiles à titre d'illustration et d'établissement des faits. Les étudiants qui étudient l'informatique au niveau du profil doivent être orientés vers une analyse détaillée des modèles mathématiques et le développement indépendant de programmes.

Les informations initiales dans la construction des processus MM de fonctionnement des systèmes sont des données sur le but et les conditions de fonctionnement du système S étudié (conçu). Ces informations déterminent le but principal de la modélisation, les exigences pour le MM, le niveau d'abstraction et le choix. d'un schéma de modélisation mathématique.

concept schéma mathématique permet de considérer les mathématiques non pas comme une méthode de calcul, mais comme une méthode de pensée, un moyen de formuler des concepts, ce qui est le plus important dans le passage d'une description verbale à une représentation formalisée du processus de son fonctionnement sous forme de quelques MM.

Lors de l'utilisation d'un tapis. En premier lieu, le chercheur du système doit s'intéresser au schéma de l'adéquation de l'affichage sous la forme de schémas spécifiques de processus réels dans le système étudié, et non à la possibilité d'obtenir une réponse (résultat de la solution) à une question de recherche précise.

Par exemple, la représentation du processus de fonctionnement du SVI à usage collectif sous la forme d'un réseau de schémas de file d'attente permet de bien décrire les processus intervenant dans le système, mais avec des lois complexes de flux entrants et de flux de services, il ne permet pas d'obtenir des résultats sous une forme explicite.

schéma mathématique peut être défini comme un maillon du passage d'une description significative à une description formalisée du processus de fonctionnement du système, en tenant compte de l'impact de l'environnement externe. Celles. il y a une chaîne : modèle descriptif - schéma mathématique - modèle de simulation.

Chaque système spécifique S est caractérisé par un ensemble de propriétés, qui s'entendent comme des valeurs qui reflètent le comportement de l'objet simulé (système réel) et prennent en compte les conditions de son fonctionnement en interaction avec l'environnement extérieur (système) E .

Lors de la construction d'un système MM S, il est nécessaire de résoudre le problème de sa complétude. La complétude de la modélisation est réglée principalement par le choix des frontières "Système S - environnement E". La tâche de simplification du MM doit également être résolue, ce qui permet de mettre en évidence les principales propriétés du système, en écartant les objectifs secondaires en termes de modélisation.

MM de l'objet de simulation, c'est-à-dire les systèmes S peuvent être représentés comme un ensemble de grandeurs décrivant le processus de fonctionnement d'un système réel et formant dans le cas général les sous-ensembles suivants :

Set X - actions d'entrée sur Sx i X, i=1…n x ;

La totalité des influences environnementales v l V, l=1…n v ;

L'ensemble des paramètres internes (intrinsèques) du systèmeh k H, k=1…n h ;

L'ensemble des caractéristiques de sortie du système y j Y, j=1…n y .

Dans les ensembles énumérés, il est possible de distinguer les grandeurs contrôlées et non contrôlées. Dans le cas général, X, V, H, Y sont des ensembles disjoints qui contiennent à la fois des composantes déterministes et stochastiques. Les actions d'entrée E et les paramètres internes S sont variables indépendantes (exogènes), Caractéristiques de sortie - variables dépendantes (endogènes). Le processus de fonctionnement S est décrit par l'opérateur F S :

(1)

Trajectoire de sortie.F S - la loi de fonctionnement S.FS peut être une fonction, des conditions fonctionnelles, logiques, un algorithme, un tableau ou une description verbale des règles.

Algorithme de fonctionnement A S - méthode d'obtention des caractéristiques de sortie, en tenant compte des effets d'entrée Évidemment, le même F S peut être mis en œuvre de différentes manières, c'est-à-dire en utilisant de nombreux A S différents.

La relation (1) est une description mathématique du comportement de l'objet de modélisation au temps t, c'est-à-dire le reflète propriétés dynamiques. (1) est le modèle dynamique du système S. Pour les conditions MM statiques, il existe des mappages X, V, H dans Y, c'est-à-dire (2)

Les relations (1), (2) peuvent être données par des formules, des tableaux, etc.

De plus, dans certains cas, des relations peuvent être obtenues grâce aux propriétés du système à des moments précis, appelés états.

Les états du système S sont caractérisés par des vecteurs :

et , où à l'instant t l (t 0 , T)

à l'instant t ll (t 0 , T), etc. k=1…n Z .

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) sont les coordonnées d'un point dans l'espace des phases k-dimensionnel. Chaque mise en œuvre du processus correspondra à une trajectoire de phase.

L'ensemble de toutes les valeurs possibles d'états () est appelé l'espace d'états de l'objet de modélisation Z, et z k Z.

État du système S dans l'intervalle de temps t 0 , où sont l'entrée, les paramètres internes et les influences environnementales qui ont eu lieu sur une période de temps t * - t 0 en utilisant 2 équations vectorielles :

; (3)

autrement: . (5)

Temps en mod. S peut être considéré sur l'intervalle de simulation (t 0 , T) à la fois continu et discret, c'est-à-dire quantifié sur un segment de longueurs.t.

Ainsi, sous le MM d'un objet, nous entendons un ensemble fini de variables () ainsi que des relations mathématiques entre elles et des caractéristiques.

La modélisation est dite déterministe si les opérateurs F, Ф sont déterministes, c'est-à-dire pour une entrée particulière, la sortie est déterministe. La modélisation déterministe est un cas particulier de la modélisation stochastique. En pratique, en modélisant des objets dans le domaine de l'analyse des systèmes aux stades initiaux de la recherche, il est plus rationnel d'utiliser des schémas mathématiques typiques : dif. équations, automates finis et probabilistes, QS, etc.

Ne pas posséder. un tel degré de généralité que les modèles (3), (4), typiques schémas mathématiques ont l'avantage de la simplicité et de la clarté, mais avec un rétrécissement significatif de la possibilité d'application.

Comme déterministe modèles, lorsqu'un fait aléatoire n'est pas pris en compte dans l'étude, des équations différentielles, intégrales et autres sont utilisées pour représenter des systèmes fonctionnant en temps continu, et des automates finis et des schémas de différences finies sont utilisés pour représenter des systèmes fonctionnant en temps discret.

Au début des modèles stochastiques (prenant en compte le facteur aléatoire), des automates probabilistes sont utilisés pour représenter des systèmes à temps discret, et des systèmes à file d'attente (QS) sont utilisés pour représenter des systèmes à temps continu. D'une grande importance pratique dans l'étude des systèmes complexes de gestion individuelle, qui comprennent des systèmes de contrôle automatisés, sont les soi-disant agrégatif des modèles.

Les modèles agrégatifs (systèmes) permettent de décrire une large gamme d'objets de recherche avec une mise en évidence du caractère systémique de ces objets. C'est lors de la description agrégative qu'un objet complexe est divisé en un nombre fini de parties (sous-systèmes), tout en maintenant des connexions, assurant l'interaction des parties.